数学：2..2..1《综合法和分析法》教案(新人教A版选修2-2)

数学：2.2.1《综合法和分析法》教案

教学目标：

＜一）知识与技能：

结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法 和综合 法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

＜二）过程与方法：

培养学生的辨析能力和分析问题和解决问题的能力；

＜三）情感、态度与价值观：

通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 第一课时221 综合法和分析法＜一）

教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方

法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特 点.tFAx82mkCG 教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程 .

教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择 适当的证明方法.

教学过程：

一、 复习准备：

1. 已知“若三I ,且耳，则回”，试请此结论推广 猜想.

＜答案：若 ，且 ，贝S ㈢ I 回） 2. 已知 ， ，求证：

先完成证明 -讨论：证明过程有什么特点？

二、 讲授新课：

1. 教学例题：

① 出示例1:已知a, b, c 是不全相等的正数，求证：a （b2 + c2＞ + b （c2 + a2＞ + c （a2 + b2＞ ＞ 6abc.tFAx82mkCG

分析：运用什么知识来解决？ ＜基本不等式）

—板演证明过 程 ＜ 注意等号的处理）

-讨论：证明形式的特点

② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经

过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立

.tFAx82mkCG 导果.

c 是全不相等的正实数，求证 ④出示例2:在厶ABC

中，三个内角 A B C 的对边分别为a 、b 、 c ,且A 、

B 、

C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列.求证：ABC 等

边三角形.tFAx82mkCG

框图表示:

要点：顺推证法；由因

③练习：已知

分析：从哪些已知，可以得到什么结论？如何转化三角形中边

角关系？

f板演证明过程f讨论：证明过程的特点.

-小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件＜内角和）

2. 练习：

①回为锐角，且■■，求证：. ＜提

示：算二^ ）

②已知|㈢求证：| 乂|

3. 小结：综合法是从已知的P出发，得到一系列的结论三| , 直到最后的结论是Q.运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.tFAx82mkCG

三、巩固练习：

1. 求证：对于任意角0, ■. ＜教材P100练习1

题）

＜两人板演f 订正f 小结：运用三角公式进行三角变换、思

维过程）

2. I上J的三个内角㈢|成等差数列，求证：I x7"! .

3. 作业：教材P102 A组2、3题.

第二课时2.2.1 综合法和分析法＜二）

教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方

法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特

点.tFAx82mkCG

教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.

教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.

教学过程：

一、复习准备：

1. 提问：基本不等式的形式？

2. 讨论：如何证明基本不等式I = I .

＜讨论f板演f分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）

二、讲授新课：

1. 教学例题：

①出示例1:求证I * I .

讨论：能用综合法证明吗？ T 如何从结论出发，寻找结论成立 的充分条件？

T 板演证明过程 ＜ 注意格式）

T 再讨论：能用综合法证明吗？ T 比较：两种证法

② 提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条

件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件

＜已 知条件、定理、定义、公理等）为止.tFAx82mkCG

索因. ③ 练习：设x ＞ 0 , y ＞ 0 ,证明不等式：

=I .

先讨论方法 T 分别运用分析法、综合法证明. ④ 出示例2:见教材P97. 讨论：如何寻找证明思路？ ＜从结论出 发，逐步反推）

⑤ 出示例3:见教材P99. 讨论：如何寻找证明思路？ ＜从结论与

已知出发，逐步探求）

2. 练

习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面 ＜指 横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管 流量大.tFAx82mkCG

提示：设截面周长为I ，则周长为I 的圆的半径为因，截面积为 ,冈，周长为I 的正方形边长为I ，截面积为回，问题只需证：

_ .tFAx82mkCG

3. 小结：分析法由要证明的结论 Q 思考，一步步探求得到 Q 所需要

的已知上j ，直到所有的已知P 都成立；

比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法 进行书

写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需 知”（分析 ＞，从“已知”推“可知” ＜综合），双管齐下，两面夹 击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的 途径. ＜ 框图示意）

tFAx82mkCG 三、巩固练习:

1. 设a, b, c 是的△ ABC 三边，S 是三角形的面积，求证:

略证：正弦、余弦定理代入得： ■ ,

即证：| 厂—，即：|

,即证： KI ＜ 成立）.

2. 作业：教材P100练习2、3题.

要点：逆推证法；执果

框图表示: