2020届天津南开中学高三第五次月考数学(文)试题Word版含解析

2020届天津南开中学高三第五次月考

数学（文）试题

一、单选题

1．已知全集U={1,2,3,4,5}，集合A={1,5}，集合B={2,3,5}，则(∁U B)∩A=（）A．{2}B．{2,3}C．{1}D．{1,4}

【答案】C

【解析】算出C U B={1,4}后可得(C U B)∩A={1}.

【详解】

C U B={1,4}，所以(C U B)∩A={1}，选C.

【点睛】

本题考查集合的交补运算，属于基础题.

2．实数x，y满足不等式组{x+y−2≥0

x−y−2≤0

y≥1

，则目标函数z=x+2y的最小值是（）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【解析】作出不等式组所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入即可求解目标函数的最小值，得到答案.

【详解】

由题意，作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，

目标函数z=x+2y，可化为直线y=−1

2x+z

2

，

当直线经过点B时，此时直线y=−1

2x+z

2

在y轴上的截距最小，目标函数取得最小值，

又由{y=1

x+y−2=0，解得B(1,1)，

所以目标函数的最小值为z min=1+2×1=3，故选B.

【点睛】

本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．

3．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是( )

A．1 B．2 C．4 D．7

【答案】C

【解析】试题分析：第一次循环；第二次循环；第三次循环；结束循环，输出选C.

【考点】循环结构流程图

【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.

4．若a=(1

2)

1

3，b=log

1

3

2，c=log1

2

3，则a，b，c的大小关系是（）

A．b

【答案】D

【解析】根据指数函数与对数函数的图象与性质，分别求得a,b,c的取值范围，即可得到答案. 【详解】

由题意，根据指数函数的性质，可得a =(1

2)1

3∈(0,1)，

根据对数函数的图象与性质，可得b =log 13

2>log 13

3=−1，c =log 12

3

2=−1，

所以c

本题主要考查了指数函数与对数的图象与性质及其应用，其中解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质，合理得到实数a,b,c 的取值范围是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 5．设x R ∈，则“1x <”是“20x x -<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A

【解析】由20x x -<，解得(-∞，由()(,1-∞⊆-∞，可知“1x <”是“20x x -<”的充分不必要条件，选A.

6．已知双曲线x 2

a −y 2

b =1(a >0，b >0)的左右焦点分别为F 1(−

c ，0)，F 2(c ，0)，若直线y =2x 与双曲线的一个交点P 的横坐标恰好为c ，则双曲线的离心率为（ ） A ．√5 B ．2 C ．√2+1 D ．√2−1

【答案】C

【解析】联立直线的方程和双曲线的方程，解得交点的横坐标，得到a,b,c 的方程，结合c 2=a 2+b 2和e =c

a ，化简整理，即可得到双曲线的离心率. 【详解】

由题意，把直线y =2x 代入双曲线的方程x 2

a 2−y 2

b 2=1(a >0，b >0)， 可得x =，所以

c =，

又由c 2=a 2+b 2，整理得c 4−6a 2c 2+a 2=0，

又由e =c

a ，可得e 4−6e 2+1=0，解得e 2=3+2√2或e 2=3−2√2（舍去）， 即有e =1+√2，故选C. 【点睛】

本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的

关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a,c 的值，代入公式e =c

a

；②

只需要根据一个条件得到关于a,b,c 的齐次式，转化为a,c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．

7．函数f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0，|φ|<π

2)的最小正周期是π，若其图象向左平移π

3个单位后得到的函数为偶函数，则函数f (x )的图象（ ） A ．关于点(π

12，0)对称 B ．关于直线x =π

12对称 C ．关于点(π6，0)对称

D ．关于直线x =π

6对称

【答案】A

【解析】根据函数f (x )的最小正周期是π，求得w =2，即f (x )=sin (2x +φ)，再根据三角函数的图象变换求得g(x)=sin(2x +

2π3

+φ)，利用三角函数的对称性，求得φ=−π6，得到函数f (x )=sin (2x −π

6)，

再利用三角函数的性质，即可求解. 【详解】

由题意，函数f (x )=sin (ωx +φ)的最小正周期是π，即2πw

=π，解得w =2，

所以f (x )=sin (2x +φ)，

将函数f (x )的向左平移π

3个单位后得到函数g(x)=sin[2(x +π

3)+φ]=sin(2x +

2π3

+φ)

因为g (x )为偶函数，所以g(0)=sin(2π

3+φ)=±1，即2π

3+φ=π

2+kπ,k ∈Z ， 解得φ=−π

6+kπ,k ∈Z ，因为|φ|<π

2，所以φ=−π

6， 所以f (x )=sin (2x −π

6)，令2x −π

6=kπ,k ∈Z ，解得x =π

12+

kπ2

,k ∈Z ，

令k =0，则x =π

12，所以函数f (x )关于(π

12，0)对称，故选A. 【点睛】

本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象变换求得函数的解析式，再利用三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

8．在ΔABC 中，AB =2，AC =3，∠BAC =120°，AH ⊥BC 于点H ，M 为AH 的中点，若AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +μAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则实数λ=（ ） A ．6

19

B ．7

38

C ．5

14

D ．3

7