多重方差分析概述.
多因素方差分析
多因素方差分析1. 基本思想：用来研究两个及两个以上控制变量是否对观测变量产生显著影响。
可以分析多个控制变量单独作用对观测变量的影响（这叫做主效应），也可以分析多个控制因素的交互作用对观测变量的影响（也称交互效应），还可以考虑其他随机变量是否对结果产生影响，进而最终找到利于观测变量的最优组合。
根据观测变量（即因变量）的数目，可以把多因素方差分析分为：单变量多因素方差分析（也叫一元多因素方差分析）与多变量多因素方差分析（即多元多因素方差分析）。
一元多因素方差分析:只有一个因变量，考察多个自变量对该因变量的影响。
例如，分析不同品种、不同施肥量对农作物产量的影响时，可将农作物产量作为观测变量，品种和施肥量作为控制变量。
利用多因素方差分析方法，研究不同品种、不同施肥量是如何影响农作物产量的，并进一步研究哪种品种与哪种水平的施肥量是提高农作物产量的最优组合。
多元多因素方差分析：是对一元多因素方差分析的扩展，不仅需要检验自变量的不同水平上，因变量的均值是否存在差异，而且要检验各因变量之间的均值是否存在差异。
例如，用四个班级学生分别对两种教材、两种教学方法进行试验，除了要考虑着两种教材、两种教学方法的四种搭配以外，还要考虑四个班级学生的学习能力这些因素。
2. 原理：通过计算F统计量，进行F检验。
F统计量是平均组间平方和与平均组内平方和的比。
尸$控制您童H卜尸6小=的机竇量这里，把总的影响平方和记为SST它分为两个部分，一部分是由控制变量引起的离差，记为SSA组间离差平方和），另一部分是由随机变量引起的SS（组内离差平方和）。
即SST=SSA+SS组间离差平方和SSA是各水平均值和总体均值离差的平方和，反映了控制变量的影响。
组内离差平方和是每个数据与本水平组平均值离差的平方和，反映了数据抽样误差的大小程度。
通过F值看出，如果控制变量的不同水平对观测变量有显著影响，那观测变量的组间离差平方和就大，F值也大；相反，如果控制变量的不同水平没有对观测变量造成显著影响，那组内离差平方和就比较大，F值就比较小。
方差分析之多重比较
方差分析之多重比较目前对于均数的多重比较的方法较多，例如SPSS软件共提供18种均数的多重比较的方法。
对于均数多重比较，当资料满足正态性方差齐性时，可采用的比较方法有LSD法、Bonferroni法、Sidak法、Scheffe法、R-E-G-W F法、R-E-G-W Q法、S-N-K法、Tukey法、Tukey-b法、Duncan法、Hochberg GT2法、Gabriel法、Waller Duncan法、Dunnett法；当资料满足正态性但不符合方差齐性时，可采用Tamhane T2法、Dunnett T3、Games-Howell法、Dunnett C法。
1.常见的多重比较方法介绍1.1 LSD法原理：LSD与独立样本t检验非常相近，主要差别在于LSD法在首先满足F检验达到显著的基础上，将F检验的误差均方作为合并方差。
优点：在ANOVA中F检验显著时，LSD方法是检验效率最高的多重比较方法.缺点：①涉及过多的要比较均数对；②犯I型错误的概率较高；③这种方法只控制了每次比较犯I型错误概率，没有对总犯I型错误概率进行控制。
1.2 Bonferroni法原理：利用Bonferroni不等式来控制多次比较的总I型错误，Bonferroni不等式是指一个或多个事件发生的总概率不高于这些事件各自发生概率的加和。
通过将每次检验的α设置为总α除以检验次数，从而控制总α。
优点：用途最广，几乎可用于任何多重比较的情形，包括组间例数相等或不等、成对两两比较或综合多重比较等。
缺点：会增加犯Ⅱ型错误的概率。
1.3 Sidak法原理：基本思路与Bonferroni法接近，只是在调整仅值时采用不同的策略。
若控制单次比较犯I型错误的概率为αpc，一次比较不犯I型错误的概率为1-αpc，n次比较均不犯I型错误的概率为(1-αpc)n，则n次比较总的犯I型错误的概率为1-(1-αpc)n。
优点：调整多重比较的显著性水平，提供比Bonferroni 更严密的边界。
统计学中的方差分析与多元分析
统计学中的方差分析与多元分析在统计学中，方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）和多元分析（Multivariate Analysis，简称MA）是两个重要的分析方法。
它们在不同场景下可以用来解释和理解数据，提供对比和相关性的信息。
本文将分别介绍方差分析和多元分析的概念、应用和计算方法，帮助读者更好地理解它们在统计学中的作用。
方差分析是一种用于比较两个或多个组间差异的统计方法。
它通常用于分析实验数据，例如通过不同处理方法获得的观测结果。
方差分析的基本原理是比较组内变异（Within-group Variation）和组间变异（Between-group Variation）。
如果组间变异远大于组内变异，即组间差异显著，则可以得出结论表明不同处理方法对观测结果有显著影响。
方差分析的计算方法包括计算平方和、自由度、均方和及F比值，并绘制方差分析表以进行比较和推断。
方差分析有多种类型，其中一元方差分析（One-way ANOVA）是最常用和基础的类型。
一元方差分析适用于只有一个自变量（或因素）和一个因变量的情况。
例如，我们想要比较不同教学方法对学生成绩的影响，可以使用一元方差分析来分析数据。
此外，如果有多个自变量和一个因变量，我们可以使用多因素方差分析（Factorial ANOVA）。
除了这些基础类型外，还有重复测量方差分析（Repeated Measures ANOVA）和多元方差分析（MANOVA）等，它们针对特定的数据结构和问题提供更精细的分析。
多元分析是一种用于研究多个变量之间关系的统计方法。
它主要关注不同变量之间的相关性、差异和模式。
多元分析常用于降维、分类和聚类分析等领域，例如在市场调研中用于综合多个指标评估产品表现，或者在社会科学研究中用于理解不同因素对人们态度和行为的影响。
多元分析的主要技术包括主成分分析（Principal Component Analysis，简称PCA）、因子分析（Factor Analysis）、判别分析（Discriminant Analysis）和聚类分析（Cluster Analysis）等。
多因素方差分析简介
SSw SSt SSb 579.8333 331.3333 248.5000
于是A因素组间平方和为：
2 2 （X a） （X a） SSA na na K a
7082 6962 7182 21222 30.3333 8 8 3
B因素平方和为：
所以 A因素F=1.10<3.55= B因素F=0.77<4.41=
F( 2， )0。 6.01 18 01
F(1， )0。 8.29 18 01
F( 2， ) 0。 ，p>0.05，保留零假设 18 05
F(1， )0。 ，p>0.05，保留零假设 18 05
F( 2， )0。 ，p<0.01，拒绝零假设 18 01
MS B 10.6666 F 0.7726 MSW 13.8056
MS AB 145.1667 F 10.5151 MSW 13.8056
第三步：统计决断
根据分子自由度、分母自由度查附表3，找到各 个临界值，即
F( 2， )0。 3.55 18 05
F(1， )0。 4.41 18 05
解：第一步：提出假设
首先，提出关于A因素的假设：
H 0 a a a
1 2
3
H1
A因素至少有两个水平的总体平均数不相等 然后，提出关于B因素的假设：
1
2
最后，提出关于A、B两个因素交互作用是否显著 的假设：
H0
A、B两个因素交互作用不显著 A、B两个因素交互作用显著
MS B F MSW
对于A因素与B因素的交互作用，检验统计量的计算 公式为：
MS AB F MSW
第三步：统计决断 根据分子和分母自由度及=0.05和=0.01两个 显著性水平查附表3寻找F临界值。然后，将实际计 算出的F值与这两个临界值相比较，若实际计算出的
多元方差分析及重复测量方差分析
§8.5重复测量的方差分析重复测量的方差分析指的是一个应变量被重复测量好几次，从而同一个个体的几次观察结果间存在相关，这样就不满足普通分析的要求，需要用重复测量的方差分析模型来解决。
8.5.1Repeated measures对话框界面说明实际上，如果对普通方差分析模型作出正确的设置，两者的分析结果是完全相同的，即都正确，那么，重复测量的方差分析过程有何优势呢？我们通过下面的例子来看看：例8.3 在数据集anxity2.sav中判断：anxiety和tension对实验结果（即trial1~trial4）有无影响；四次试验间有无差异；试验次数和两个变量有无交互作用。
anxity2.sav和anxity.sav实际上是同一个数据，但根据不同的分析目的采用了不同的数据排列方式。
如果采用anxity.sav进行分析，我们可以分析四次试验间有无差异的问题，但对另两个问题就无能为力了，因为用普通的方差分析模型，anxity和tension的影响被合并到了subject中，根本就无法分解出来进行分析，这时，我们就只能求助于重复测量的方差分析模型。
在菜单中选择Analyze==>General Lineal model==>Repeated measures，系统首先会弹出一个重复测量因子定义对话框如下：因为是重复测量的模型，应变量被重复测量了几次，分别存放在几个变量中，所以我们这里要自行定义应变量。
默认的名称为factor1，我们将其改为trail，下面的因素等级数填入4(因一共测量了四次)。
单击Add钮，则该变量被加入，我们就完成了模型设置的第一步：应变量名称和测量次数定义。
单击define，我们开始进行下一个步骤：具体重复测量变量定义及模型设置，对话框如下：这个对话框和我们以前看到的方差分析对话框不太一样：它没有应变量框，而是改为了组内效应框，实际上是一回事，上面我们定义了trial有四次测量，此处就给出了四个空让你填入相应代表四次测量的变量，选中trial1~trial4，将其选入；然后要选择自变量了（这里又将其称为了between subjects factor），将剩下的三个都选入即可。
多因素方差分析的重要公式详解
多因素方差分析的重要公式详解多因素方差分析是一种常用的统计分析方法，可以用于研究实验设计中多个自变量对因变量的影响。
它通过计算各种不同因素所引起的变异程度来确定因素之间的差异是否显著。
本文将详细解析多因素方差分析中的重要公式，帮助读者更好地理解和运用这一方法。
1. 总变异(SST)公式总变异是指因变量整体的变异情况，可以通过计算各观测值与总体均值之间的离差平方和来得到。
总变异公式如下：SST = Σ(yij - ȳ..)^2其中，yij表示第i个处理水平下的第j个观测值，ȳ..表示所有观测值的均值。
2. 处理效应(SSA)公式处理效应是指不同因素水平对因变量的影响程度，可以通过计算各处理水平下观测值与总体均值之间的离差平方和来得到。
处理效应公式如下：SSA = rΣ(ȳi. - ȳ..)^2其中，ȳi.表示第i个处理水平下的观测值均值，r表示每个处理水平下的观测次数。
3. 误差(SSW)公式误差是指无法被因素解释的随机因素引起的变异，可以通过计算各观测值与其所在处理水平均值之间的离差平方和来得到。
误差公式如下：S SW = Σ(yij - ȳi.)^24. 自由度(df)公式自由度是指数据集中独立变动的观测个数。
在多因素方差分析中，自由度的计算有以下几个关键公式：- 总自由度(dft) = 总处理次数 - 1 = I - 1- 处理自由度(dfa) = 处理水平数 - 1 = a - 1- 误差自由度(dfe) = 总观测次数 - 总处理次数 = N - I其中，I表示总处理次数，a表示处理水平数，N表示总观测次数。
5. 均方(MS)公式均方是指各来源变异的均值，可以通过总平方和除以相应的自由度来得到。
均方公式如下：- 处理均方(MSA) = SSA / dfa- 误差均方(MSE) = SSW / dfe6. F比值公式F比值是判断因素之间差异是否显著的依据，可以通过处理均方除以误差均方来计算。
多元方差分析与重复测量方差分析
多元方差分析与重复测量方差分析多元方差分析（MANOVA）是一种多变量分析方法，它将多个因变量同时考虑在内，通过比较组别之间的多个平均值来进行分析。
多元方差分析的核心思想是基于协方差矩阵的比较，通过检验各个组别的协方差矩阵是否相等来判断组别之间的差异是否显著。
多元方差分析可以同时比较多个因变量之间的差异，从而避免了多次进行单变量方差分析可能带来的问题。
重复测量方差分析（Repeated Measures ANOVA）也是一种常用的分析方法，主要用于分析同一组个体在不同时间点或不同实验条件下的多次测量结果之间的差异。
重复测量方差分析通常包括对同一组个体在不同时间点或实验条件下的多次测量结果进行统计分析，以比较各个时间点或实验条件之间的平均差异是否显著。
它通过考虑同一组个体之间的相关性，来提高统计分析的效果。
与多元方差分析不同，重复测量方差分析主要关注不同时间点或不同实验条件下的变化趋势和差异，而不是直接比较组别之间的差异。
重复测量方差分析可以用于研究个体在一段时间内的发展趋势，或在不同实验条件下的变化情况，从而揭示出时间和实验因素对变量的影响。
数据结构方面，多元方差分析通常要求每个组别有多个观测值，每个观测值都对应于多个因变量的取值。
而重复测量方差分析要求在相同的个体或实验单位上进行多次测量，并将多次测量结果作为相同个体或实验单位的多个观测值。
分析方法方面，多元方差分析主要依赖协方差矩阵的比较来进行统计推断。
而重复测量方差分析通常使用协方差矩阵的分解来提取主要成分，并通过分析主要成分之间的差异来进行统计推断。
综上所述，多元方差分析和重复测量方差分析是两种常用的统计分析方法，它们在数据结构和分析方法上存在一些差异。
多元方差分析主要用于比较不同组别之间的平均差异，而重复测量方差分析主要用于分析同一组个体在不同时间点或实验条件下的多次测量结果之间的差异。
选择合适的方法需要根据具体问题和数据特点来决定。
以上就是对多元方差分析与重复测量方差分析的详细介绍。
统计学——方差分析概念和方法
统计学——方差分析概念和方法方差分析是一种用于比较两个或多个样本均值之间差异的统计分析方法。
它主要用于分析一个因变量和一个或多个自变量之间的关系，并判断这些自变量对因变量的影响是否存在显著差异。
方差分析主要包括以下几个概念和方法：1.因变量和自变量：方差分析中，我们首先需要明确研究的因变量和自变量。
因变量是我们感兴趣的变量，我们想要比较的两个或多个样本均值；而自变量是我们认为对因变量有影响的变量，可以是类别变量（如性别、教育程度等）或连续变量（如年龄、收入等）。
2.假设检验：在进行方差分析之前，我们需要假设样本均值之间没有显著差异，即为零假设（H0）。
然后，我们通过方差分析来检验零假设是否成立。
3.方差分析的类型：根据自变量的个数和类型的不同，方差分析可以分为单因素方差分析、多因素方差分析和混合方差分析。
单因素方差分析适用于只有一个自变量的情况，多因素方差分析适用于含有多个自变量的情况，而混合方差分析适用于自变量同时包含类别变量和连续变量的情况。
4.方差分析表：方差分析表是用来总结方差分析结果的常用工具。
在方差分析表中，我们可以看到组间方差（组间均方）、组内方差（组内均方）、总体方差（总体均方）以及统计量F值。
通过比较F值与给定的显著性水平，我们可以判断不同样本均值之间是否存在显著差异。
5.假设检验的步骤：进行方差分析时，需要按照以下几个步骤进行假设检验：a.建立假设：H0（样本均值没有显著差异）和H1（至少有一组样本的均值存在显著差异）；b.计算各个组的均值；c.计算组间方差和组内方差；d.计算统计量F值；e.判断结果：通过比较F值和临界值来判断是否拒绝零假设。
6. 方差分析的扩展：在方差分析中，我们可以进行一些扩展的分析，如多重比较和建模。
多重比较是用来判断哪些组之间存在显著差异，常用的方法有Tukey法、Duncan法和Scheffe法等。
建模则是通过增加其他变量（如交互效应）来更好地解释因变量的变化。
方差分析与多重比较
方差分析与多重比较方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种统计方法，用于比较两个或多个组之间的均值差异是否显著。
它被广泛应用于实验研究、社会调查、医学研究等领域，可以帮助我们确定组间的差异是否由于随机因素引起。
而多重比较则是方差分析的扩展，用于比较多个组间的均值差异。
一、方差分析方差分析是一种通过分解总体总体差异来检验组间均值是否有显著差异的方法。
在进行方差分析之前，我们需要先提出假设，即原假设和备择假设。
原假设（H0）：所有组的均值相等。
备择假设（H1）：至少有一个组的均值与其他组有显著差异。
方差分析通常采用F检验来检验组间均值是否存在显著差异。
F统计量的计算依赖于组内均方（Mean Square Within，MSW）和组间均方（Mean Square Between，MSB）。
若F值大于临界F值，则拒绝原假设，即组间均值存在显著差异。
二、多重比较多重比较是对方差分析中拒绝原假设的组进行进一步比较的方法。
当我们发现组间均值存在显著差异时，我们希望进一步了解哪些组之间存在差异。
常用的多重比较方法包括：1. LSD法（最小显著差异法）：对所有可能的组合进行两两比较，判断均值差异是否显著。
这种方法简单，但容易产生错误的正差异判断。
2. Bonferroni校正法：将显著性水平除以组合数量来校正，保证整体错误率不超过显著性水平。
这种方法控制了错误率，但可能导致过度保守。
3. Tukey HSD法（Tukey Honestly Significant Difference）：相较于LSD法，Tukey HSD法更为保守，适合进行大样本比较。
4. Duncan多重比较法：根据多重比较，将组间均值划分成若干个不同类型。
在进行多重比较时，我们需要注意研究目的、数据类型和样本容量的差异，选择适合的方法进行比较。
三、实际应用方差分析与多重比较方法广泛应用于各个领域的研究中。
以医学研究为例，研究人员可能会针对不同药物进行实验，比较各个药物对患者的疗效是否存在显著差异。
方差分析与多重比较
方差分析与多重比较方差分析是一种统计分析方法，用于比较多个个体、组或处理之间的平均数差异。
它的主要目的是确定因素对于所观察到的变量是否具有显著影响。
在进行方差分析之后，如果发现了显著差异，那么就需要进行多重比较来确定哪些组或处理之间存在着实质性的差异。
1. 方差分析方差分析可以分为单因素和多因素方差分析。
单因素方差分析用于比较一个因素对于变量的影响，而多因素方差分析则考虑了多个因素的影响。
方差分析的原假设是各组或处理的均值相等，备择假设是各组或处理的均值不相等。
方差分析模型的基本假设是各组或处理的观测值是来自于正态分布总体。
在进行方差分析之前，需要检验各组或处理的观测值是否满足方差齐性的假设。
如果方差齐性假设成立，则可以使用方差分析方法进行推断；如果方差齐性假设不成立，则需要采取相应的修正方法，如Welch方法。
方差分析的结果通常以F统计量的形式呈现，根据F统计量的显著性水平，可以判断各组或处理之间是否存在显著差异。
2. 多重比较在进行方差分析后，如果发现了显著差异，则需要进行多重比较来确定具体是哪些组或处理之间存在着实质性的差异。
多重比较可以采用多种方法，常用的方法包括两两比较法、多重t 检验法和Tukey HSD法等。
在进行多重比较时，需要对比较结果进行适当的校正，以控制错误发现率。
两两比较法是最直观的方法，它通过对所有可能的组合进行t检验或其他适当的检验来确定差异的组合。
然而，当组数较多时，两两比较会导致多个假设检验，从而增加了错误发现的可能性。
多重t检验法是通过对多个均值进行比较来确定差异的组合。
不同于两两比较，多重t检验可以同时比较多个组之间的差异，从而减少错误发现的机会。
然而，多重t检验法需要进行适当的校正，以控制错误发现率。
Tukey HSD（Honestly Significant Difference）法是一种经典的多重比较方法，它通过估计多个均值之间的差异来确定差异的组合。
Tukey HSD法可以提供一个整体的比较结果，并以置信区间的形式表示差异的大小。
统计实验设计中的方差分析与多重比较方法
统计实验设计中的方差分析与多重比较方法方差分析（ANOVA）和多重比较方法是统计学中常用于研究实验设计的重要工具。
方差分析用于比较多个组别之间的均值是否有显著差异，而多重比较方法则用于确定哪些组别之间存在差异。
本文将介绍方差分析和多重比较方法的原理、应用以及相关注意事项。
一、方差分析（ANOVA）的原理方差分析是用于比较两个或多个组别之间差异的一种统计方法。
它基于总体均值之间的方差来判断各组别之间是否存在显著差异。
方差分析的核心思想是将总体方差分为组内方差与组间方差，并通过比较两者的大小来判断组别之间的差异是否显著。
在进行方差分析时，需要满足以下假设：各组别之间的样本来自于正态分布的总体，各组别的方差相等，样本之间独立。
对于一个因变量和一个自变量，可以使用单因素方差分析；对于一个因变量和多个自变量，可以使用多因素方差分析。
方差分析的结果通常通过F统计量来体现。
F统计量是组间方差与组内方差的比值，如果F值足够大，就可以认为组别之间存在显著差异。
如果显著性水平小于设定的阈值（通常是0.05），则可以拒绝无差异的假设，认为组别之间存在显著差异。
二、多重比较方法当我们得出方差分析结果显示组别之间存在显著差异时，接下来需要进行多重比较以确定具体差异在哪些组别之间。
多重比较方法可以帮助我们进行两两组别之间的比较，以确定哪些组别之间存在差异。
常见的多重比较方法包括Tukey方法、Bonferroni方法和Duncan方法等。
这些方法的原理和步骤有所不同，但基本思想是进行多次假设检验，并通过控制错误率来确定具体差异是否显著。
Tukey方法是一种常用的多重比较方法，它通过计算各组别之间的平均差异和置信区间来判断是否存在显著差异。
Bonferroni方法则是将显著性水平除以比较的次数，以控制整体错误率。
Duncan方法是利用多重范围检验校正标准来确定差异的存在。
三、方差分析与多重比较方法的应用方差分析和多重比较方法在统计实验设计中有广泛的应用。
方差分析及多重比较
第六章 方差分析第五章所介绍的t 检验法适用于样本平均数与总体平均数及两样本平均数间的差异显著性检验，但在生产和科学研究中经常会遇到比较多个处理优劣的问题，即需进行多个平均数间的差异显著性检验。
这时，若仍采用t 检验法就不适宜了。
这是因为：1、检验过程烦琐 例如，一试验包含5个处理，采用t 检验法要进行25C =10次两两平均数的差异显著性检验；若有k 个处理，则要作k (k-1)/2次类似的检验。
2、无统一的试验误差，误差估计的精确性和检验的灵敏性低 对同一试验的多个处理进行比较时，应该有一个统一的试验误差的估计值。
若用t 检验法作两两比较，由于每次比较需计算一个21x x S ，故使得各次比较误差的估计不统一，同时没有充分利用资料所提供的信息而使误差估计的精确性降低，从而降低检验的灵敏性。
例如，试验有5个处理，每个处理重复6次，共有30个观测值。
进行t 检验时，每次只能利用两个处理共12个观测值估计试验误差，误差自由度为2(6-1)=10；若利用整个试验的30个观测值估计试验误差，显然估计的精确性高，且误差自由度为5(6-1)=25。
可见，在用t 检法进行检验时，由于估计误差的精确性低，误差自由度小，使检验的灵敏性降低，容易掩盖差异的显著性。
3、推断的可靠性低，检验的I 型错误率大 即使利用资料所提供的全部信息估计了试验误差，若用t 检验法进行多个处理平均数间的差异显著性检验，由于没有考虑相互比较的两个平均数的秩次问题，因而会增大犯I 型错误的概率，降低推断的可靠性。
由于上述原因，多个平均数的差异显著性检验不宜用t 检验，须采用方差分析法。
方差分析(analysis of variance)是由英国统计学家，把观测值总变异的平方和及自由度分解为相应于不同变异来源的平方和及自由度，进而获得不同变异来源总体方差估计值；通过计算这些总体方差的估计值的适当比值，就能检验各样本所属总体平均数是否相等。
方差分析(ANOVA)、 多重比较(LSD Duncan)、q检验(student)
方差分析（ANOV A）、多重比较（LSD Duncan）、q检验(student)实际研究中，经常需要比较两组以上样本均数的差别，这时不能使用t检验方法作两两间的比较（如有人对四组均数的比较，作6次两两间的t检验），这势必增加两类错误的可能性（如原先a定为0.05，这样作多次的t检验将使最终推断时的a>0.05）。
故对于两组以上的均数比较，必须使用方差分析的方法，当然方差分析方法亦适用于两组均数的比较。
方差分析可调用此过程可完成。
Least-significant difference(LSD)：最小显著差法。
a可指定0~1之间任何显著性水平，默认值为0.05；Bonferroni：Bonferroni修正差别检验法。
a可指定0~1之间任何显著性水平，默认值为0.05；Duncan’s multiple range test：Duncan多范围检验。
只能指定a为0.05或0.01或0.1，默认值为0.05；Student-Newman-Keuls：Student-Newman-Keuls检验，简称N-K检验,亦即q 检验。
a只能为0.05；(以前都以SNK法最为常用，但研究表明，当两两比较的次数极多时，该方法的假阳性非常高，最终可以达到100%。
因此比较次数较多时，包括SPSS和SAS在内的权威统计软件都不再推荐使用此法。
) Tukey’s honestly significant difference：Tukey显著性检验。
a只能为0.05；Tukey’s b：Tukey另一种显著性检验。
a只能为0.05；Scheffe：Scheffe差别检验法。
a可指定0~1之间任何显著性水平，默认值为0.05。
根据对相关研究的检索结果，除了参照所研究领域的惯例外，一般可以参照如下标准：如果存在明确的对照组，要进行的是验证性研究，即计划好的某两个或几个组间（和对照组）的比较，宜用Bonferoni(LSD)法；若需要进行的是多个平均数间的两两比较（探索性研究），且各组样本数相等，宜用Tukey法，其他情况宜用Scheffe法。
SPSS分析技术：多元方差分析
SPSS分析技术：多元方差分析展开全文下面要介绍多元方差分析的内容，多元方差分析是研究多个自变量与多个因变量相互关系的一种统计理论方法，又称多变量分析。
多元方差分析实质上是单因变量方差分析（包括单因素和多因素方差分析）的发展和推广，适用于自变量同时对两个或两个以上的因变量产生影响的情况，用来分析自变量取不同水平时这些因变量的均值是否存在显著性差异。
分析原理多元方差分析可以看做是多因素方差分析和协方差分析合并后的拓展，能够一次性做两个以上因变量的多因素方差分析和协方差分析。
多元方差分析的优点是可以在一次研究中同时检验具有多个水平的多个因素各自对多个因变量的影响以及各因素交互作用后对多个因变量的影响，以及多个因变量作为一个整体模型，自变量对模型的影响。
多元方差分析的条件是：各个自变量的每个水平必须是独立的随机样本，服从正态分布且各总体方差相等。
因变量和协变量必须是数值型变量且协变量与因变量相关。
自变量可以是数值型分类变量，也可以是字符型分类变量，这是方差分析的基本条件。
案例分析随着经济的发展，城市生活的节奏也是越来越快，白领的健康状况成为了社会的热门话题。
人们晨练和早餐的状况很能够反映人们的生活习惯和健康状况，所以有研究者对不同婚姻状况、性别、年龄阶段的人做了一次较大规模的随机调查，获得880个有效数据。
现在用多元方差分析方法分析不同婚姻状况、性别和年龄阶段的人的晨炼状况和早餐状况是否有显著性的差别。
（例题数据文件已经上传到QQ群中，需要的朋友可以前往下载）分析步骤1、选择菜单【分析】-【一般线性模型】-【多变量】，选择“锻炼情况”和“早餐状况”作为因变量；再选择“年龄”、“婚姻状况”和“性别”作为自变量。
本题中不涉及协变量，所以不用选择协变量。
按照下图所示操作。
2、单击【选项】按钮，打开“多变量：选项”对话框，按下图操作。
3、单击【确定】，输出分析结果。
结果解读1、协方差矩阵的齐性检验结果；该检验的零假设是：因变量的协方差矩阵在各组中相等。
第三讲-方差分析与多重比较-
比值越小，两者越接近，即处理间的差异
与处理内的差异差不多，说明处理间差异不
显著。反之，差异显著。
F 通过查F表判断： dft(1) dfe(2)
F＞ F0.05=? F0.01=?
F＞ ＞ F0.01 p＜＜ 0.01
例1:将4个不同药厂生产的阿司匹林片用崩解仪 法进行片剂释放度的测定,每个样品进行5次实验, 以释放63%所需时间的对数值作为指标问4个药 厂生产的片剂释放度是否有差异?
方差分析可以帮助我们掌握客观 规律的主要矛盾或技术关键，是科学 研究工作的一个十分重要的工具。
二、方差分析的基本原理
• 重复数相等的几个均数的比较
符号：
nn knk knn k k
xxiijj xxijij x为ij 表中所有观测数据之和
ii11 jij111 jii111j1j1
作用：检验多个总体均值是否相等
• 在前面讲了两个样本平均数差异 显著性检验，所用的一般为t检验。 • t检验可判断两组数据平均数的差 异显著性。
• 而方差分析可以同时判断多组数 据平均数（样本≥3）之间的差异显著性。
当然，在多组数据的平均数之间做比较 时，可以在平均数的所有对之间做t检验。但 这样做会提高工作量和显著水平的概率，因 而是不可取的。
1.10 0.57 0.77 0.88 0.83 6.178 1.787 2.971 3.914 14.85
解: dfT=kn-1=4×5-1=19
dft=k-1=4-1=3 dfe=dfT-dft=19-3=16
n nnk kn1 i
nk kn
( x(
ij11 ji11
xjikj 1ij(xixj))2i 2nxi1n)12jjikkn11 ((ijxknk1x11ij(jikxj 1iijj(xx)i2xjxx )ii ))2x22 )i2ni1nnkk1 iijnjnkkk1111(((x(xxixiijij xxx))2)222x)2
多重方差分析
第十三章多变量统计分析简介
第一节多因素方差分析
• 因素：指实验中的自变量。 • 水平：指因素它有几个考察指标（即有几 个不同的状态），如性别这个因素有两个 水平（男和女）这就是因素水平；噪音 （强、中、无）。
1
多因素实验设计中主效应、 交互作用的介绍
通过例子对几个概念的理解：
自变量：学生的学习能力；老师的教学方式。 因变量：学生的学习成绩。 设计：2（自学能力：强，弱）×2（教学方式： 传统讲授，学生集体讨论）的实验。
例子：如果在讨论学生学习能力的研究中， 同时想探讨老师的教学方式对学生成绩的 影响，可以做一个两因素完全随机实验设 计。研究者预期，当学生的学习能力不同 时，老师的教学方式对学生的学习成绩的 影响可能产生变化。
事后比较
• 注意： • 第一，二因素方差分析主效应显著后，不 一定要进行事后多重比较。 • 第二，多因素交互效应显著后，对主效应 必须进行事后比较。 • 第三，主效应的事后比较，包括限定条件 的主效应整体比较，以及达到显著水平后 该限定条件的事后多重比较两种。
• 在统计学中,变量按变量值是否连续可分为 连续变量与离散变量两种.在一定区间内可 以任意取值的变量叫连续变量,其数值是连 续不断的,相邻两个数值可作无限分割,即可 取无限个数值 。例如,生产零件的规格尺寸, 人体测量的身高,体重,胸围等为连续变量,其 数值只能用测量或计量的方法取得。
弱
强
自学能力
整体效应的检验
• 二因素方差分析整体效应的检验包括两个 主效应与交互效应三部分。 • 通过计算各因素内不同水平的平均数离散 量（组间均方和），除以误差离散量 （MSW；被试间组内均方和）得出F值。若 F值达到显著性水平，则表明该效果显著。 • 当整体效应达到显著水平时，研究者必须 进行事后多重比较，明确说明个别平均数 的差异情况。
方差分析中的多重比较
XD XC
XB XE XA
67 69.5 71.5 74 74.5
XC 2.5 XB 4.5 2.0 XE 7.0* 4.5 XA 7.5* 5.0
2 .5 3.0 0.5
等级排列为：
1、2、3、4、5
（2）根 据 比 较 等 级 r, 自 由 度 df w ,
在
附
表
中
查
相
应
的
q
0
或
.05
q
的
0.01
值
。
比 较 等 级 r ri -rj 1, 如 :
X
与
B
X
比
C
较，
r
2-1
1;
X
A
与
X
比
D
较
，
r
5
3
1
3;
[应用心理学专业必修课 心理统计学 淮北煤师院教育学院 李怀龙] Email:lihlong@
由 上 述 结 果 ,可 以 作 出 统 计 结 论
[应用心理学专业必修课 心理统计学 淮北煤师院教育学院 李怀龙] Email:lihlong@
6
Psychology Statistics
2、N-K法（q检验）
步骤：
（1）把要比较的各个平均数从小到大作等级排列；
如5个平均数从小到大顺序是XB,XC,XA,XE,XD, 则
27.3 29.6 26.4 31.5
[应用心理学专业必修课 心理统计学 淮北煤师院教育学院 李怀龙] Email:lihlong@
方差分析及多重比较
第六章 方差分析第五章所介绍的t 检验法适用于样本平均数与总体平均数及两样本平均数间的差异显著性检验，但在生产和科学研究中经常会遇到比较多个处理优劣的问题，即需进行多个平均数间的差异显著性检验。
这时，若仍采用t 检验法就不适宜了。
这是因为：1、检验过程烦琐 例如，一试验包含5个处理，采用t 检验法要进行25C =10次两两平均数的差异显著性检验；若有k 个处理，则要作k (k-1)/2次类似的检验。
2、无统一的试验误差，误差估计的精确性和检验的灵敏性低 对同一试验的多个处理进行比较时，应该有一个统一的试验误差的估计值。
若用t 检验法作两两比较，由于每次比较需计算一个21x x S ，故使得各次比较误差的估计不统一，同时没有充分利用资料所提供的信息而使误差估计的精确性降低，从而降低检验的灵敏性。
例如，试验有5个处理，每个处理重复6次，共有30个观测值。
进行t 检验时，每次只能利用两个处理共12个观测值估计试验误差，误差自由度为2(6-1)=10；若利用整个试验的30个观测值估计试验误差，显然估计的精确性高，且误差自由度为5(6-1)=25。
可见，在用t 检法进行检验时，由于估计误差的精确性低，误差自由度小，使检验的灵敏性降低，容易掩盖差异的显著性。
3、推断的可靠性低，检验的I 型错误率大 即使利用资料所提供的全部信息估计了试验误差，若用t 检验法进行多个处理平均数间的差异显著性检验，由于没有考虑相互比较的两个平均数的秩次问题，因而会增大犯I 型错误的概率，降低推断的可靠性。
由于上述原因，多个平均数的差异显著性检验不宜用t 检验，须采用方差分析法。
方差分析(analysis of variance)是由英国统计学家，把观测值总变异的平方和及自由度分解为相应于不同变异来源的平方和及自由度，进而获得不同变异来源总体方差估计值；通过计算这些总体方差的估计值的适当比值，就能检验各样本所属总体平均数是否相等。
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同理
B因素的主效应=86-84=2
交互作用：当一个因素的水平在另一个因素的不同 水平上变化趋势不一致时，我们称两个因素之间存 在交互作用。
A教学方式：a1传统教学 a2集体讨论
B自学能力：b1能力强
学 习 成 绩
a1
b2能力弱 • 1.在b1水平，被试在a1，a2两种条 件下分数没有什么差别。在b2水平 上，被试在a1水平的分数远远高于 a2水平的分数。这表明：自学能力 弱的同学的分数受老师教学方式的 影响非常大，而自学能力强的人并 没有因老师的教学方式不同而有大 b1 的差异。所以，b1、b2在A因素两 个水平上的变化趋势是不相同的， b2 即学习能力这个因素受到老师教学 方式的影响非常大。因此我们可以 认为，学生的学习成绩是受到老师 教学方式和学习能力共同作用而改 a2 变的，二者是有交互作用的。
1
多因素实验设计中主效应、 交互作用的介绍
通过例子对几个概念的理解：
自变量：学生的学习能力；老师的教学方式。 因变量：学生的学习成绩。 设计：2（自学能力：强，弱）×2（教学方式： 传统讲授，学生集体讨论）的实验。
例子：如果在讨论学生学习能力的研究中， 同时想探讨老师的教学方式对学生成绩的 影响，可以做一个两因素完全随机实验设 计。研究者预期，当学生的学习能力不同 时，老师的教学方式对学生的学习成绩的 影响可能产生变化。
传 统 教 学 集 教学方式 体 讨 论
学 习 成 绩
学 习 成 绩
弱 弱
强强
自学能力
主效应 由于因素水平的改变而引起的平均数的改变量 称为主效应。
a1 2 a2-a1 平均 b1 82 96 14 84 b2 64 98 34 86 b2-b1 16 32 2 73 87 24 平均 如表，当A因素由a1水平变到a2水平时，A因素的主效应为a2 水平的平均数减去a1水平的平均数。即
主要概念：
• 主效应：实验中由一个因素的不同 水平引起的变异叫因素的主效应。 在一个单因素实验中，由自变量的 不同水平的数据计算的方差即这个 自变量的处理效应，或主效应。而 在两因素实验中要分开来说，例如 例题中的主效应为：学生学习能力 对学生学习成绩的影响为一个主效 应，老师教学方式对学生学习成绩 的影响为另一个主效应。
事后比较
• 注意： • 第一，二因素方差分析主效应显著后，不 一定要进行事后多重比较。 • 第二，多因素交互效应显著后，对主效应 必须进行事后比较。 • 第三，主效应的事后比较，包括限定条件 的主效应整体比较，以及达到显著水平后 该限定条件的事后多重比较两种。
• 自变量的处理水平，即各因素不同水平间 的相互结合。如教学方法(A)和教学态度(B) 对儿童解决数学问题的影响。教学方法 （因素A ）：严肃（ a 水平）和轻松（a2水 平），教学态度（因素B）：集中识字（ b1 水平）和分散识字（b2水平），然后a1b1、 a1b2、a2b1、a2b2就是四种处理水平结合。
整体效应的检验
• 二因素方差分析整体效应的检验包括两个 主效应与交互效应三部分。 • 通过计算各因素内不同水平的平均数离散 量（组间均方和），除以误差离散量 （MSW；被试间组内均方和）得出F值。若 F值达到显著性水平，则表明该效果显著。 • 当整体效应达到显著水平时，研究者必须 进行事后多重比较，明确说明个别平均数 的差异情况。
自变量
多因素方差分析的统计原理
• • • • （一）总平方和的分解 SST=SSA +SSB+SSA×B+SSE SST=SSR+SSA +SSB+SSA×B+SSE SSA表示A因素的组间平方和；SSB表示B因素的组 间平方和；SSA×B表示交互作用的平方和。 • 多因素实验设计中自变量如果是以类别的形式存 在，因变量为连续变量，此时统计分析则需处理 多个均数的关系，也就是说，因变量的变化，可 能受到来自不同因素的不同水平的影响。
无交互作用：
因 变 量
b1
a1
a2
当一个因素的水平在另一个因素的 不同水平上变化趋势一致时，表明 两个因素是相互独立的，即改变B 的水平对被试在A的不同水平上的 分数不产生影响。即自学能力强的 人在老师不同的教学方式上的成绩 差与自学能力弱的人在老师不同的 教学方式上的成绩差是一样的。他 b2 们之间的差只是能力之间的差而不 是老师教学方式的不同。所以说， 教学方式对学习能力并没有影响， 二者是相互独立的，即我们说的变 化趋势是一致的，二者没有交互作 用。
第十三章多变量统计分析简介
第一节多因素方差分析
• 因素：指实验中的自变量。 • 水平：指因素它有几个考察指标（即有几 个不同的状态），如性别这个因素有两个 水平（男和女）这就是因素水平；噪音 （强、中、无）。
单因素实验设计
• 单因素实验设计：只有一个自变量的实验 设计。 • 实验设计是指实施实验处理的一个计划方 案以及与计划方案有关的统计分析。 • 如噪音对解决数学问题的影响；不同强度 的光对视觉反应时的影响。 • 与此相对应的方差分析是单因素方差分析。
多因素实验设计
• 多因素实验设计：有多个自变量的实验设 计。 • 如教学方法(A)和教学态度(B)对儿童解决数 学问题的影响。 • 为了避免汉字的麻烦，通常用数学乘式表 达实验设计是几因素以及每个因素的水平 有几个。 • 如2×2实验设计：表示这个实验有2个自变 量，每个变量有2个水平。那3×2×4呢？
• 在统计学中,变量按变量值是否连续可分为 连续变量与离散变量两种.在一定区间内可 以任意取值的变量叫连续变量,其数值是连 续不断的,相邻两个数值可作无限分割,即可 取无限个数值 。例如,生产零件的规格尺寸, 人体测量的身高,体重,胸围等为连续变量,其 数值只能用测量或计量的方法取得。
弱
强
自学能力