《组合数学》试题

《组合数学》试题
姓名 学号 评分
一、填空题（每小题3分，共18分）
1、 红、黄、蓝、白4个球在桌上排种排法。

成一圈，有
2、设P 、Q 为集合，则|P ∪Q| |P| + |Q|.
3、0max i n n i ≤≤⎧⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭ 。

4. 366个人中必有 个人生日相同。

5.的系数为的展开式中，342326
41x x x x i i ⎪⎭
⎫ ⎝⎛∑= 。

6.解常系数线性齐次递推关系的常用方法称为 法 。

二、单项选择题（每小题2分，共12分）
1、数值函数f = (1,1,1,...)的生成函数F(x) =（ ）
A 、(1+x)n
B 、1－x
C 、(1－x)－1
D 、(1+x)－n 2、递推关系f(n) = 4f(n －1)－4f(n －2)的特征方程有重根2，则（ ）是它的一般解 。

A 、C 12n －1+C 22n
B 、(
C 1+C 2n)2n C 、C(1+n)2n
D 、C 12n +C 22n .
3、由6颗不同颜色的珠子可以做成 （ ）种手链。

A 、720
B 、120
C 、60
D 、6
4、=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑=n
k k k n 0
)1(（ ）。

A 、2n B 、0 C 、n2n －1 D 、1
5、设F(x),G(x)分别是f 和g 的生成函数，则以下不成立的是（ ） 。

A 、F(x)+G(x) 是f+g 的生成函数
B 、F(x)G(x) 是fg 的生成函数
C 、x r F(x) 是S r (f)的生成函数
D 、F(x)－xF(x) 是∇f 的生成函数.
6、在无柄茶杯的四周画上四种不同的图案，共有（ ）种画法。

A 、24
B 、12
C 、6
D 、3
三、 解答题（每小题10分，共70分） 1. 有4个相同的红球，5个相同的白球，那么这9个球有多少种不同的排列方
式？
2. 公司有5台电视机，4台洗衣机，7台冰箱，现要把其中3台电视机，2台洗
衣机，4台冰箱选送到展销会，试问有多少种选法？
3. 设S = {1, 3∙2, 3∙3, 2∙4, 5}是一个多重集，那么由集合S 的元素能组成多少个
不同的四位数。

4.试求在1到300之间那些不能被3, 5和7中任何一个整除的整数个数。

5. 解非齐次递推关系
1201
693,20,1n n n a a a n a a --++=≥⎧⎨==⎩ 6. 将字母a,b,c,d,e,f,g 排成一行，使得模式beg 和cad 都不出现的排列总数是多少？
7. 某次会议有10个代表参加，每一位代表至少认识其余9位中的一位，则10位代表中至少有两位代表认识的人数相等。

《组合数学》试题参考答案
一、填空题（每小题3分，共18分）
1、6；
2、≤；
3、2n n ⎛⎫
⎪⎡⎤ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
； 4、2； 5、60； 6、特征方程； 二、单项选择题（每小题2分，共12分）
1、C ；
2、B ；
3、C ；
4、B ；
5、B ；
6、C ；
三、 解答题（每小题10分，共70分）
1. 解：设有限多重集S = {4∙红球，5∙白球}，
则9-重复排列数为：
9!4!5!
= 126. 即9个球有126种不同的排列方式.
2. 解：547.324⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
电视机有种选法；洗衣机有种选法；冰箱有种选法 由乘法法则得， 5472100.324⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
共有种选法
3. 解：从多重集{1, 3∙2, 3∙3, 2∙4, 5}产生
无重复的四位数有：45P 个；
有1个2-重复的四位数有：344!122!
⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭个；
有2个2-重复的四位数有：34!22!2!
⎛⎫ ⎪⎝⎭个；
有1个3-重复的四位数有：244!113!⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭个； 共有120 + 216 + 18 + 32 = 386个四位数。

4. 解：令A 1,A 2和A 3分别表示1到300之间能被3, 5和7整除的整数集合，则有
123300300300||100,||60,||42,357A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤======⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
121323300300300||20,||14,||8353757A A A A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋂==⋂==⋂==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅⋅⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 123300||2357A A A ⎡⎤⋂⋂==⎢⎥⋅⋅⎣⎦
根据容斥原理知：
123||300(1006042)(20148)2
138.
A A A ⋂⋂=-+++++-=
5. 解：特征方程为：x 2 + 6x + 9 = 0
解得特征根为- 3, - 3. 因此齐次通解
(A + Br) (-3) r 设非齐次的特解为 C , 代入递推关系式有
C + 6C + 9C = 3
所以特解为 316
C = 非齐次的通解 3()(3)16
r r a A Br =+-+
为一般解，由边界条件得 30163()(3)116A A B ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-+=⎪⎩
解此线性方程组得唯一解 31,1612
A B =-=- 因此所求的解为 313(3)(3)161216r r r a r =-
---+
6 . 解：仅有beg 模式，或cad 模式的排列数都是P(5,5)=5!(将模式捆在一起视为一个元素，再和其余4个元素构成5个元素的全排列)。

即有beg 模式又有cad 模式出现的排列数为3！。

根据容斥原理，符合题意的排列数是
7！－2×5！＋3！＝4 806
7. 解：10位代表认识的人数有1、2、3、4、5、6、7、8、9，共九种情况（抽屉），根据抽屉原理： 10个代表中至少有两位代表认识的人数相等。