6有限长单位脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计

N 1
( )
0Biblioteka Baidu

2
2
2
2

π 2
( )

0
2
π( N - 1 )
3 (N ) 2
二、线性相位FIR滤波器幅度函数的特点
1、h(n)=h(N-n-1)，N=奇数
由前面推导的幅度函数H (ω)为：
H (ω) H g ( )
n 0 N 1
N 1 h(n ) cos[( n ) ] 2
H(0z ) h(m) z n
n 0
m=0
n 0
z

h(m) z
H (z ) 1 1 H H ( ()] [( z )(()[ z ) ( z zz ) zH hH z nz H ) 2 2
1

N 1
1)
1
nN 0 1
( N 1)
( n1) N 1
N 1
N 1
N

m 0
2
N 1 N 1 N 1 1 ( N 11) n 1 ( Hz((z )]) [( zh( )[ z z( z )]z] 1 h()n )[1z n z ( N 1) n nN21 n N21 H H z) H ) n z ( H N 2 h( n )[ 1 [ z z ] z ]] e )e 2 ) 2 h(n) cos[(n 22 nz0 ] n0 2 1 1 n N21j n N21j ( N 1 ) N 1 N 1 [z z z ]] h(n )[ [ zH ( e z e ]] 2 N 1 N21 ) h(n) cos[(n 2 2 n 0 ( N 1 j ) N 1 n N 10 j 2 ) ] ( ) H h) n ) e ( e ( cos[( n h ( n]) cos[( n ) 2 2 n 0 n 0 N 1 N 1 1 H ( ) ( N 1) H g ( ) h( n ) cos[( n ) ] N 2 1 2 n N 10 H g ( ) h( n ) cos[( n ) ] 幅度函数 2 ( ) 1 ( N 1) n 0 相位函数 2
2 n 0
第二类线性相位条件证明
N 1
1) H ( z ) hH ()z ) (n )(zN n zh( N n (n z h h
n 0
n 0 n 0 n 0
z n h(NN1 n 1) z n N 1 N 1 n n ( 1) N Hn(z0) h(n ) z h( N 1 1) z ) ( 1)h( m) z NN 1)mN1 z ( N n H (z N m ( m n 0
特点： h(n)对(N-1)/2偶对称，余弦项也对(N-1)/2偶对称；
以(N-1)/2为中心，把两两相等的项进行合并 ，因N为奇数，余下中间项
n=(N-1)/2
N 1 ( N 3) / 2 N 1 H g ( ) h( ) ( N 3) / 2 2h( n ) cos[( n ) ] H (ω) 3) / 2 N2 1 ( N0 N N 1) n 2h(n ) cos[(n 2N 1) ] 1 H g ( ) h( H g ( ) h( 2 ) n 0 2h(n )cos[(n 2 ) ] N 1 N 1 H g ( ) h( ) ( N 1) / 2 2h( m) cos n 2 N2 1 N 1 n 0 H g ( ) h(1) / 2 ) ( N 1) / 2 2h( m) cos n (N N 1 N2 1 n 0 H gg(( )) (h(1) /2 a ()ncos n 2h( m)cos n H N 2 ) m=1
H ( z ) z ( N 1) H ( z 1 ) n 0 ( N 1)1 1 ( N m 1) ( N 1) m 1 N 1 m) z N 1 z h(H) z ) H z z ) 1H[( z ( z)) z ( N 1) H ( z 1 )] h m (z ( N H n 2 n 0 H ( z ) h(m)0z ( N m1) z ( N 1) 2 h(m) z m
2 令m=(N-1)/2-nN n /0 ( 1) 2

2
H g ( )
H g ( )
其中
( Nn1) / 2 0

n 0
2
a ( n ) cos n

n 0
2
N 1 a (0) h ( ) 2 N 1 N 1 N 1 a (0) h ( ) ， a ( n ) 2h ( n ), n 1, 2, 3, , 2 2 2 a ( n ) 2h ( N 1 n ), n 1, 2, 3, , N 1 2 2
1 ] h(n ) [ z 2 n 0 N 1 N 1 j
z
N 1 n 2
]
2 n 0 N 1 第一类相位函数条件:h(n)偶对称) ] ) h( n ) cos[( n 2 n 0 N 1 N 1 N 1 N 1 ( ) h( ) cos[( nhn )sin[ )( H g (n ) ( ( ) ( N 1) H g 第二类相位函数条件:h(n)奇对称] 2 2 n 0 n 0 2 1 N 1 ＋ ) (Q ( N 1) ) ( ) (
N 1 N 1 N 1 N 12 N 1 j1 j 2 j j N j j j j 22 z e z e z z e e j j n 0 n 0 nn 0 0 N 1 N N 1 j j N 11 N 1 j N 1 N1 j N 1 2 2 j j2 ＋j 2 j 22 22 n 0 n 0 nn 0 0
h( N n H ( z ) h(mN z1 ( N m1) z ( N 1) 1) z n ) n 0 H ( z )n0 h(m) z ( N m1) z ( N 1) h(m) z m m 0 m m 0 m 0 N 1 H ( z ) z ( N 1) H ( z 1 ) N 1 N 1 N 1) ( N m 1) z H ( z ) z ( h( N n (m) z )n z(z ) 1) H[( z 1z)) z ( N 1) H ( z 1 )] 1 h(n ) h 1) z m H ( N 1 H ( H (z
特点：FIR滤波器永远稳定和容易实现线性相位
一、线性相位条件
N 1 N 1 对于长度为N的h(n)，传输函数为： ) j h ( n) e H (e ) h(n )e j n

n 0 N 1

n 0
j n
) j ) H (e H hH ()e( n=Hg(ω))e j ( (n ej j) H ( e ) ) g
第六章 有限长脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计 本章主要内容
线性相位FIR数字滤波器的特点
用窗函数法设计FIR滤波器 用频率采样法设计FIR滤波器
线性相位数字滤波器的实现
方法1： 设计满足幅度指标要求的IIR滤波器，再加线性相位校正网络 （如全通网络）；设计复杂，成本高； 方法2： 用FIR滤波器的设计方法，幅度特性满足技术要求，又保证严 格的线性相位。
H (z 11) z( N
n 0
1 1 z h)[h (n ) z[ z )] (n z z ] 2 H (e ) e 2
n
n 0 1 1 N 1 N N
2
n 0
j n 0
N 1 n n n N 1 ( N 1) 2 j( ) N 1 2
6.1 线性相位FIR数字滤波器的特点
h(n)是FIR滤波器的单位脉冲响应，长度为N，则其系统函数为： o 收敛域包括单位圆； o z平面上有N-1个零点； o z=0是N-1阶极点;
H (e j ) h(n )z -n n e j H(z)=
n 0
N 1
H (e j ) H g ( )e j ( )
N 1 2
n
0
N 1 2
n
N为奇数的情况
N为偶数的情况
3、第二类线性相位条件
h(n)是以(N-1)/2奇对称实序列，即： h(n) =－h(Nn1)
h(n) h(n)
0
N 1 2
n
0
N 1 2
n
N为奇数的情况
N为偶数的情况
H ( z ) h(n ) z n 0 4、第一类线性相位特点

n 0
z ] z
] h ( n ) cos[( n
n
N 1 2
1 [z 2
N 1 N n 将z=e jωn N 11 N 1 代入上式，得到： n N 1 2 2 2 2
z z
N 1 N 1 N 1 N 1 N 1 N1(n相位函数) sin[ ) NH g1 ( ) ) cos[(h( n h )] n H( je )sin[ ( n hH g)sin[ ( n H ( H (e ) jez ) z) h(n (n ( ) )] ( (e )) H ((zz ) e H ) je h(( 2(n n 0 )] 2 je h n )sin[ ( n n )sin[ )] 2 n 0 2 2 1 N 1 N 1 N 1 Q) ) ((N 1))＋ ( e n )sin[ ( h n N)] ( eh( hh((nn)sin[()sin[11 nn)] n)] ( 2 ((Nn 2 )] 2 2 2 e e )sin[ 22 幅度函数
H ( z ) h(H) z ) n (z
n N 1
令：m=N-n-1,则有
N 1
n 0 N 1 1) 1 1 ( Nn 1) N 1 j( ) N 1 j 2 n 0 N 1 N N N 1 1 n1 0 n ( n ) 将z=e jω代入上式，得到： 2 2 2
θ(ω) =－τω, τ为常数；
θ(ω)=θ0－τω，θ0是起始相位
第二类线 性相位
d (-)( ) d = 但上两种情况都满足群时延是一个常数 d d
2、第一类线性相位条件
h(n)是以(N-1)/2偶对称实序列，即： h(n) = h(Nn1)
h(n) h(n)
0

n 0

j ( )
H (e j ) H g ( )e j ( ) H (ω)称为幅度函数，θ(ω)称为相位函数
注意： H (ω)为ω的实函数，可能取负值； |H(ejω)|称为幅度响应，总是正值
1、什么是线性相位
线性相位是指θ(ω)是ω的线性函数，即： 第一类线 性相位