四边形面积二等分问题

连结RD，作 HS∥RD交CD 于S，连结RS， 如图（3）
则RS即为所求。
当点R在B、H之 间时，点S必在F、 D之间，R从B移 动到H时，S从F 移动到D。
连结RD，作 HS∥RD交CD 于S，连结RS， 如图（3）
则RS即为所求。
当点R在H 、E之 间时，点S必在 D 、A之间，R 从H移动到E时， S从D移动到A。
∵ E 为AC的中点, ∴ S △ABE = S △ACE S △ADE = S △DCE ∴ S △ABE + S △ADE = S △ACE + S △DCE 1 S =S = ∴ 五边形BADEF 四边形DCFE 2 S四边形ABCD ∵ EF∥BD ∴ S △BDF = S △BDE ∴ S △BGF= S △DGE ∴ S四边形BADG+ S △BGF= S四边形BADG+ S △DGE ∴ S四边形BADF =S 1 S = 五边形BADEF 2 四边形ABCD ∴直线DF把四边形ABCD分成面积相等的两部分。
答案是肯定的。过A、B、C、D、E、F肯定能做 自不必说了。 A、B、C、D、E、F之外呢？
过四边形ABCD的边上的任意一点R求作直线 RS，把四边形ABCD分成面积相等的两部分。
连结RC，作ES∥RC交CD 于S，连结RS，如图（1）。 则RS即为所求。 连结RD，作BS∥RD交CD 于S，连结RS，如图（2）。
则RS即为所求。
（1） 连结RE，作CS∥RE 交AB于S，连结RS， 如图（2）。 则RS即为所求。 （2）
综上所述，一条对角线过另一条对角线的中点的四边形，过 每一个顶点都有一条直线把四边形分成面积相等的两部分。这 样的直线共三条，这三条直线把四边形的边分成六条线段。过 这六条线段中每条线段上的每一点都有一条直线把四边形分成 面积相等的两部分。所以，过这样的四边形的边上的任意一点 都有一条直线把四边形分成面积相等的两部分。
连结RA，作ES∥RA交AB于S，连结RS，如图（3） 则RS即为所求。
当点R在E 、C之间时，点S必在A 、G之间，R 从E移动到C时，S从A移动到G。
连结RG，作CS∥RG交AB于S，连结RS，如图（3）
则RS即为所求。
当点R在C、F之间时，点S必在G、B之间，R 从C移动到F时，S从G移动到B。
Байду номын сангаас
四边形ABCD中，P为AC的中点，Q为BD的中点， P、Q不重合。此时BD平分四边形ABCD。
注意:左图BD>AC,右图BD<AC。
在这两个图中，除了BD,CE、AF也都能平 分四边形ABCD. 现在的问题是：能不能过四边形ABCD的边 上的任意一点作直线，把四边形ABCD分成面 积相等的两部分？
我要说明的是：过四边形的边上的任意一点都能作一 条直线把四边形分成面积相等的两部分。为了作出这样 的直线，只要先作出过顶点且能把四边形面积二等分的 四条直线及其与四边形的边的交点，弄明白这些交点把 四边形的边分成了哪些线段，然后确定所给的任意点所 在的线段，再就近构造梯形，（这个梯形一定要以四边 形的一个顶点与过这个顶点且能把四边形面积二等分的 直线与四边形的边的交点所连的线段为一条对角线，而 所求作的直线就是过已知的任意点的梯形的另一条对角 线所在的直线。）最后，画出梯形的另一条对角线就是 所求
现在做个练习： 如图，已知任意五边形ABCDE， 求作直线AF，把五边形ABCD 分成面积相等的两部分。
解： 如图：取BE的中点O, 连结AO;
连结CE取CE的中点P， 连结BD,取BD的中点Q， 过点P作RS∥BD交 BE于R交DE于S； 连结DR； 过点Q作MT∥CE交 BC于M交BE于T， 连结CT； 连结OD,作RH∥OD交CD 于H，连结OH； 连结AH,作OF∥AH交CD于F,连结AF; 则AF即为所求。
则RS即为所求。
（1）
此为R在E、B之间时， S必在C、D之间。 （2 ）
此为R在F、B之间时，S 必在A、D之间。 连结RD，作BS∥RD交AD 于S，连结RS，如图（1）。
则RS即为所求。
（1） 连结RD，作BS∥RD 交AD于S，连结RS， 如图（2）。 则RS即为所求。
（2 ）
当R在F、C之间时，S必 在A、E之间。 连结RA，作FS∥RA交AB 于S，连结RS，如图（1）。
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濉溪县新城初级中学 沈源 2014.11.16
对于任意四边形ABCD，如图。 我们可以任作一条直线MN交四边形的两边于M、N 两点，则直线MN把四边形ABCD分成两部分。
现在把直线MN向右平移
细心的你一定会发现： 开始时是左边 的面积较小， 后来是右边的面积较小， 在此过程中，必存在一个位N 置，直线MN移动到此位置时， 把四边形ABCD分成面积相 等的左、右两部分。 如何找到这个位置?请往下看。 M
此时我们会发现线段CF和线段GB长度不一定相等， 但两条线段上的点却存在一一对应的关系，这属于数学 中引进无限的概念以后引发的一个新的悖论。这个问题 有待于人们进一步去研究，在这里就不讨论了。
综上所述没有一条对角线过另一条对角线的中点 的四边形，过每一个顶点都有一条直线把四边形分成 面积相等的两部分。这样的直线共四条，这四条直线 把四边形的边分成八条线段。过这八条线段中每条线 段上的每一点都有一条直线把四边形分成面积相等的 两部分。所以，过这样的四边形的边上的任意一点都 有一条直线把四边形分成面积相等的两部分。
如图，已知任意四边形ABCD， 求作一条直线把四边形分成面积 相等的两部分。 B 解： （1）连结AC; （2）连结BD, （3）取AC的中点E, （4）作EF∥BD A 交BC于点F；
●
F
E C
（5）连结DF.
D
则直线DF把四边形ABCD分成面积相等的两部分。
证明： 连结BE、DE,交点为G;
已知任意四边形ABCD，求作一条直线把四边形 分成面积相等的两部分。 因为四边形是任意四边形，所以，我们不妨 可以先考虑特殊四边形，分三种情况: （1）对角线互相平分的四边形，如图（1）：
此时，由于四边形 是中心对称图形，所以， 过对角线交点的任意一 条直线都可以把四边形 分成面积相等的两部分
（2）一条对角线过另一条对角线的中点的四边形， 如图（2）：
（3）对角线都不过另一条对角线的中点的四边形
如图（3）：四边形ABCD中， P为BD的中点，Q为 AC的中点。
由例题可知：过四边形的每个顶点都有一条直 线把四边形分成面积相等的两部分，这样的直线有 四条。这四条直线把四边形的边分成八条线段，且 每条直线都把原四边形分成一个三角形和一个小四 边形。 图（3）中的 AE、BF、CG、 DH都能把四边 形ABCD分成 面积相等的两 部分 过四边形ABCD的边上的任意一点R求作直线 RS，把四边形ABCD分成面积相等的两部分。