九年级上册数学 二次函数中考真题汇编[解析版]

九年级上册数学

二次函数中考真题汇编[解析版]

一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）

1．如图1，抛物线y＝mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点C（﹣1，0）与y轴交于点B （0，3），在线段OA上有一动点E（不与O、A重合），过点E作x轴的垂线交直线AB 于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．

（1）分别求出抛物线和直线AB的函数表达式；

（2）设△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，当1

236 25

S

S

=时，求点P的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转的到OE′，旋转角为α

（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E'A+2

3

E'B的最小值．

【答案】（1）抛物线y＝﹣3

4

x2+

9

4

x+3，直线AB解析式为y＝﹣

3

4

x+3；（2）P（2，

3 2）；（3

410

【解析】

【分析】

（1）由题意令y＝0，求出抛物线与x轴交点，列出方程即可求出a，根据待定系数法可以确定直线AB解析式；

（2）根据题意由△PNM∽△ANE，推出

6

5

PN

AN

=，以此列出方程求解即可解决问题；

（3）根据题意在y轴上取一点M使得OM′＝4

3

，构造相似三角形，可以证明AM′就是

E′A+2

3

E′B的最小值．

【详解】

解：（1）∵抛物线y＝mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点C（﹣1，0）与y轴交于点B （0，3），

则有

3

30 n

m m n

⎧

⎨

⎩++

＝

＝

，解得4

3

3

m

n

⎧

⎪

⎨

⎪

-

⎩

＝

＝

，

∴抛物线2

39

3

44

y x x

=-++，

令y＝0，得到2

39

3

44

x x

-++＝0，

解得：x＝4或﹣1，

∴A（4，0），B（0，3），

设直线AB解析式为y＝kx+b，则

3

40

b

k b

+

⎧

⎨

⎩

＝

＝

，

解得

3

3

4

k

b

⎧

-

⎪

⎨

⎪⎩

＝

＝

，

∴直线AB解析式为y＝3

4

-x+3．

（2）如图1中，设P（m，2

39

3

44

m m

-++），则E（m，0），

∵PM⊥AB，PE⊥OA，

∴∠PMN＝∠AEN，

∵∠PNM＝∠ANE，

∴△PNM∽△ANE，

∵△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，1

2

36

25

S

S

＝，

∴6

5

PN

AN

=，

∵NE∥OB，

∴AN AE

AB OA

=，

∴AN＝5

4

5

4

5

4

5

4

（4﹣m），

∵抛物线解析式为y ＝239

34

4

x x -++， ∴PN ＝239344m m -

++﹣（34-m+3）＝3

4

-m 2+3m ， ∴23

364

55(4)4

m m

m -+=-， 解得m ＝2或4（舍弃）， ∴m ＝2， ∴P （2，

3

2

）． （3）如图2中，在y 轴上 取一点M′使得OM′＝4

3

，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE ．

∵OE′＝2，OM′•OB ＝4

3

×3＝4， ∴OE′2＝OM′•OB ， ∴

OE OB

OM OE '=''

， ∵∠BOE′＝∠M′OE′， ∴△M′OE′∽△E′OB ，

∴

M E OE BE OB '''='＝2

3

， ∴M′E′＝2

3BE′，

∴AE′+23BE′＝AE′+E′M′＝AM′，此时AE′+2

3BE′最小（两点间线段最短，A 、M′、E′共线

时），

最小值＝AM′2244()3

+410

． 【点睛】

本题属于二次函数综合题，考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知

识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段AM′就是AE′+2

3

BE′的最小值，属于中考压

轴题．

2．如图，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（1，0）和点B（3，0），交y轴于点C，抛物线上一点D的坐标为（4，3）

（1）求该二次函数所对应的函数解析式；

（2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上的一个动点，PE//x轴，PF//y轴，求线段EF的最大值；

（3）如图2，点M是线段CD上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点N，当△CBN是直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．

【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）EF的最大值为

2

4

；（3）M点坐标为可以为（2，

3），（55

2

+

，3），（

55

2

-

，3）．

【解析】

【分析】

（1）根据题意由A、B两点坐标在二次函数图象上，设二次函数解析式的交点式，将D点坐标代入求出a的值，最后将二次函数的交点式转化成一般式形式．

（2）由题意可知点P在二次函数图象上，坐标为（p，p2﹣4p+3）．又因为PF//y轴，点F 在直线BC上，P的坐标为（p，﹣p+3），在Rt△FPE中，可得FE2PF，用纵坐标差的绝对值可求线段EF的最大值．

（3）根据题意求△CBN是直角三角形，分为∠CBN＝90°和∠CNB＝90°两类情况计算，利用三角形相似知识进行分析求解．

【详解】

解：（1）设二次函数的解析式为y＝a（x﹣b）（x﹣c），

∵y＝ax2+bx+与x轴r的两个交点A、B的坐标分别为（1，0）和（3，0），

∴二次函数解析式：y＝a（x﹣1）（x﹣3）．

又∵点D（4，3）在二次函数上，

∴（4﹣3）×（4﹣1）a＝3，