2019湖北重点高中联考协作体数学(理)
2019届下学期湖北省重点高中联考协作体高三4月月考试卷 数学(理)
2019届下学期湖北省重点高中联考协作体高三4月月考试卷理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，只有一个选项正确，请把答案写．．．．．在答题卷上．．．．．） 1．在复平面内，复数满足，则的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合，集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．根据如下样本数据：得到回归方程，则（ ） A ．变量与之间是函数关系 B ．变量与线性正相关 C ．线性回归直线经过上述各样本点D ．4．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，A ．30尺 B ．150尺 C ．90尺 D ．180尺5．已知实数满足，则目标函数的最大值等于（ ）A ．-14B ．-5C ．4D ．66．已知直线，平面，且，，下列命题：①； ②③；④其中正确的序号是（ ） A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④7．运行如图所示的程序框图，若输出是126，则①应为（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．9．若双曲线的中心为原点，是双曲线的焦点，过直线与双曲线交于两点，且的中点为，则双曲线的方程为（ ）z (1)2z i -=z {12}M x x =-<{(1)(3)0}N x Z x x =∈+-≤M N ={0,1,2}{1,0,1,2}-{1,0,2,3}-{0,1,2,3}^1.412.4yx =-+x y x y 5a =,x y 11021x y x x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩42Zx y =+,l m ,αβl α⊥m β⊂//l m αβ⇒⊥//l m αβ⊥⇒//l m αβ⇒⊥//l m αβ⊥⇒S 7?n ≤5?n <5?n ≤6?n ≤112π163π173π356π(2,0)F -F l ,M N (1,3)P 此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号考场号 座位号A ．B ．C ．D ． 10．已知函数（）的图象与直线的某两个交点的横坐标分别为，若的最小值为，且将函数的图象向右平移个单位得到的函数为奇函数，则函数的一个递增区间为（ ） A ． B ． C ．D ．11．已知点是抛物线的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心离为（ ） A ．BC ．D12．已知函数是上的奇函数，当时，，则函数在上的所有零点之和为（ ） A ．0B ．4C ．8D ．16第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．） 13．在中，，，则 ． 14．已知，的展开式中项的系数为1，则的值为 ． 15．已知各项都为正数的数列，对任意的，恒成立，且，则 ．16．若以曲线上任意一点为切点作切线，曲线上总存在异于的点，以点为切点作线，且，则称曲线具有“可平行性”，下列①；②；③；④三、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演．．．．．．．．．．．．．．．．．．．算步骤，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．．．．．） 17．（12分）在中，设内角的对边分别为，且．（1）求角；（2）若且，求的面积．18．（12分）从某校高中男生中随机选取100名学生，将他们的体重（单位：）数据绘制成频率分布直方图，如图所示：2213x y -=2213x y -=2213y x -=2213y x-=()2sin()f x x ωϕ=+0ϕπ<<2y =12,x x 21x x -π()f x 4π()f x (,0)2π-(,)44ππ-(0,)2π3(,)44ππ1F 24x y =2F 2F A A 12,F F 2121()f x R 0x >112,02()1(2),22x x f x f x x --⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩()()1g x xf x =-[7,)-+∞ABC ∆AB AC AB AC -=+3AB =AB BC ∙=0a >4(1)(2)ax x ++2x a {}n a *,m n N ∈m n m n a a a +∙=35472a a a ∙+=212227log log log a a a +++=()y f x =(,)M x y l M 11(,)N x y N 1l 1//l l ()y f x =1y x=3y x x =-cos y x =2(2)ln y x x =-+ABC ∆,,A B C ,,a b c sin()sin()442C C ππ-++=C c =sin 2sin A B +ABC ∆kg（1）估计该校的100名同学的平均体重（同一组数据以该组区间的中点值作代表）； （2）若要从体重在，内的两组男生中，用分层抽样的方法选取5人，再从这5人中随机抽取3人，记体重在内的人数为，求其分布列和数学期望．19．（12分）等边的边长为3，点分别为上的点，且满足（如图1），将沿折起到的位置，使二面角成直二面角， 连接，（如图2） （1）求证：平面；（2）在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在， 求出的长；若不存在，请说明理由．20．（12分）在平面直角坐标系中，点，圆， 点是圆上一动点，线段的中垂线与线段交于点． （1）求动点的轨迹的方程；（2）若直线与曲线相交于两点，且存在点（其中不共线），使得被轴平分，证明：直线过定点．[60,70)[70,80)[60,70)ξ()E ξABC ∆,E F ,AB BC 12AD CE DB EA ==ADE ∆DE 1A DE ∆1A DE B --1A B 1A C 1A D ⊥BCED BC P 1PA 1A BD 060PBxOy 1(F222:130F x y +--=Q 1F Q 2F Q P P E l E ,A B (4,0)D ,,A B D ADB ∠x l21．（12分）已知函数．（1）若，函数的极大值为，求实数的值；（2）若对任意的，，在上恒成立，求实数的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知曲线的参数方程为，其中为参数，且在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线的极坐标方程；（2）设是曲线上的一点，直线被曲线点的极坐标．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数，（1）求，的取值范围；（2）若，对，都有不等式恒成立，求的取值范围．2()()x f x ax x a e -=++()a R ∈0a ≥()f x 5ea 0a ≤()ln(1)f xb x ≤+[0,)x ∈+∞b C cos 1sin x y αα=+⎧⎨=⎩α[0,]απ∈xOy O x C T C OT C T ()f x x x a =-a R ∈(1)(1)1f f +->a 0a >,(,]x y a ∀∈-∞5()4f x y y a ≤++-a2019届下学期湖北省重点高中联考协作体高三4月月考试卷理 科 数 学 答 案一、选择题． 1-5：DADCC6-10：BDBDA 11-12：BC二、填空题． 13．9-14．15．21 16．①③三、简答题． 17．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），故由已知可得：，即， 又．（2）由及正弦定理得， 由（1），又，故由余弦定理得，解得，从而，． 18．【答案】（1）；（2）分布列见解析，．【解析】（1）依频率分布直方图得各组的频率依次为， 故估计100名学生的平均体重约为：61π3C =ABC S =△ )4cos(42sin )4sin(C C C +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-ππππ22)4sin()4cos(=+++C C ππ21cos 22)2sin(2=∴=+C C π30ππ=∴<<C C B A sin 2sin =b a 2=3π=C 33=c 3cos )2(2)2()33(222πb b b b -+=3=b 6=a 239233621sin 21=⨯⨯⨯==∴∆C ab S ABC 64.5() 1.8E ξ=10.0,20.0,30.0,35.0,05.0．（2）由（1）及已知可得：体重在的男生分别为：， ，从中用分层抽样的方法选5人，则体重在内的应选3人，体重在内的应选2人，从而的可能取值为1，2，3，且得，， ，其分布列为：故得． 19．【答案】（1）证明见解析；（2）存在满足条件的点P ，且PB 的长为． 【解析】（1）证明：如图1，由已知可得：， 从而， 故得，， 即图2中：，为二面角的平面角，而二面角为直二面角，，即，，．（2）由（1）两两垂直，分别以建立5.6410.08520.07530.06535.05505.045=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯[)[)807070,60，及0.30100=30⨯（人）0.20100=20⨯（人）[)60,70[)70,80ξ()10313513===C C P ξ()532352312===C C C P ξ()10133533===C C P ξ8.110135321031)(=⨯+⨯+⨯=ξE 2560,1,2===A AD AE 360cos 2122122=⨯⨯⨯-+= DE 222AE DE AD =+DE BD DE AD ⊥⊥∴,DE BD DE D A ⊥⊥,1DB A 1∠∴B DE A --1B DE A --1 901=∠∴DB A DB D A ⊥1BCED ,平面且⊂=DB DE D DB DE BCED D A 平面⊥∴1DE DB DA ,,1轴所在直线为z y x DA DE DB ,,,,1空间直角坐标系，则由已知及（1）可得， 令，则因， 故， 即，由（1）知为平面的一个法向量， 又， 若存在满足条件的P ，则， 即， 解得，而，故存在满足条件的点P ，且PB 的长为． 20．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）由已知，，圆的半径为， 依题意有：，，故点P 的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，即，故点P 的轨迹E 的方程为．（2）令，因A ，B ，D 不共线，故的斜率不为0，)0,233,21(),1,0,0(),0,0,2(),0,0,0(1C A B D )10(≤≤=→→λλBC BP )0,0,2(),0,233,23(=-=→→DB BC )0,233,232()0,233,23()0,0,2(λλλλ-=-+=+=+=→→→→→BC DB BP DB DP )0,233,232(λλ-P )0,1,0(=→n BD A 1)1,233,232(1--=→λλAP 2360sin ,cos 1==→→ P A n 23)1()233()232(233222=-++-λλλ65=λ25,3==∴=→→→BC BP BC λ251422=+y x )0,3(1-F )0,3(2F 2F 4=r PQ PF =142221===+=+∴r QF PF PQ PF PF 21,F F 1,2,3=∴==b a c 1422=+y x ),(),,(2211y x B y x A l可令的方程为，则由，得， 则，① 被轴平分，， 即，亦即② 而， 代入②得③①代入③得， 时得：此时的方程为：过定点（1，0）， 时，亦满足此时的方程为：，综上所述，直线恒过定点（1，0）． 21．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由题意，．①当时，， 令，得；，得，所以在单调递增单调递减． 所以的极大值为，不合题意． ②当时，，令，得；，得或，l n my x +=2244x my n x y =+⎧⎨+=⎩042)4(222=-+++n mny y m 44,422221221+-=⋅+-=+m n y y m mn y y ADB ∠ x 0=+∴DB DA k k 0442211=-+-x y x y 0)(4211221=+-+y y x y x y )(2)()(212112211221y y n y my n my y n my y x y x y ++=+++=+0))(4(22121=+-+y y n y my m 2)44(22+-m n 0)42)(4(2=+--+m mn n 0≠m 1=n l 1+=my x 0=m 1=n l 1=x l 2=a 1b ≥)(x f )1,(-∞),1(+∞)(x f ee f 51)1(≠=所以在单调递增，，单调递减．所以的极大值为，得． 综上所述． （2）令，，当时，，故上递增，， 原问题上恒成立，①当时，，，，此时，不合题意．②当时，令，，则，其中，，令，则在区间上单调递增， （ⅰ）时，，所以对，，从而在上单调递增，所以对任意，， 即不等式在上恒成立． （ⅱ）时，由，及在区间上单调递增， 所以存在唯一的使得，且时，．从而时，，所以在区间上单调递减，)(x f )1,11(a -)11,(a --∞),1(+∞)(x f ee af 512)1(=+=2=a 2=a (]0-)(，于∞a g )0(,)0()(≥=≤∴-x xe g a g x ∴[)+∞∈+≤⇔-,0)1ln(x x b xe x 于)(x p [)+∞,0则时，，即，不符合题意．综上所述． 22．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）根据曲线的参数方程得曲线C 的普通方程为， 曲线的极坐标方程为．（2）由题得，，则解得． 故点的极坐标为． 23．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由得或或，， 综上所述，． （2）当时，记， 则， 即， 当，， 2cos (0,)2πρθθ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦)6πC 22（x-1）1y +=C 2cos (0,)2πρθθ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦3=OT 2cos θ=0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦6πθ=(3,)6π)21,(--∞∈a (]0,5a ∈R a a x x x f ∈-=,)(1111)1()1(>+--⇔>-+a a f f {11)1()1(-<>++-⇔a a a {111)1()1(≤≤->+--a a a {11)1()1(>>+--a a a φ∈-<≤--<⇔a a a 或或211121-<⇔a )21,(--∞∈a (])0(,>∞-∈a a y a y y y g -++=45)()45(,454545)(=≤≤-+=+≥-++=时取a y a a y a y y g a y g +45)(的最小值为(])0(,>∞-∈a a x 4)2()()(22a a x x a x x f +--=-=时的最大值为， 故原问题， 又，∴．2a x =∴)(x f 42a 5105445422≤≤-⇔≤--⇔+≤⇔a a a a a 0a >(]0,5a ∈。
2019-2020学年湖北省重点高中联考协作体高一下学期期中联考理科数学试题解析版
2019-2020学年湖北省重点高中联考协作体下学期期中联考高一理科数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题给出的四个备选答案中，有且仅一个是符合题目要求的）1. 已知a＞b＞0，c≥d＞0，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵c＞d＞0，∴，又a＞b＞0，∴，因此＞．故选：A．2. 在数列{a n}中，若a1＝－2，且对任意n∈N＋有2a n＋1＝1＋2a n，则数列{a n}的前20项和为（）A. 45B. 55C. 65D. 75【答案】B【解析】分析：由题意首先确定数列为等差数列，然后利用等差数列前n项和公式即可求得最终结果. 详解：由数列的递推公式可得：，则数列是首项为，公比为的等差数列，其前项和为本题选择B选项.点睛：本题主要考查等差数列的定义，等差数列的前n项和公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3. △ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，b＝2，B＝60°，若这个三角形有两解，则a的范围（）A. B. C. a＞2 D. a＜2【答案】A【解析】分析：由题意结合余弦定理将原问题转化为二次方程有两个不相等的实数根的问题，据此整理计算即可求得最终结果.详解：很明显，否则三角形只有一个解，且由余弦定理有：，即：，整理可得：，满足题意时，关于的方程有两个不同的实数解，据此有：，求解关于边长的不等式可得：，综上可得：a的范围是.本题选择A选项.点睛：本题主要考查三角形解的个数问题，余弦定理的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4. 已知数列{a n}满足，a1＝2，则a2018＝（）A. 2B. －3C.D.【答案】B【解析】分析：由题意首先确定数列为周期数列，然后结合数列的周期即可求得最终结果.详解：由题意可得：，，，，据此可得数列是周期为4的周期数列，则.本题选择B选项.点睛：周期数列是周期现象的应用，周期数列问题在高考中常出现．这类试题综合性强一般会融汇数列，数论，函数等知识解题，方法灵活多变，具有较高的技巧性．学生进行相关的培训，才能在应付这些试题时有比较好的把握．5. 设数列，，，，…，则是这个数列的（）A. 第6项B. 第7项C. 第8项D. 第9项【答案】B【解析】分析：由题意首先归纳出数列的通项公式，然后结合通项公式即可求得最终结果.详解：数列即：，据此可归纳数列的通项公式为，令可得：，即是这个数列的第7项.本题选择B选项.点睛：根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的变化特征；拆项后的各部分特征；符号特征．应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．6. 某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C北偏东30°，灯塔B 在观察站C正西方向，则两灯塔A、B间的距离为（）A. 500米B. 600米C. 700米D. 800米【答案】C【解析】在中，由余弦定理得AB2=5002+3002－2×500×300cos120°="490" 000．所以AB=700（米）．故选C．7. 等比数列{a n}的各项均为正数，且a1007a1012＋a1008a1011＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a2018＝A. 2017B. 2018C. 2019D. 2020【答案】B【解析】分析：由题意结合等比数列的性质首先求得，然后结合对数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由等比数列的性质可得：，结合题意可知：，则：=.本题选择B选项.点睛：熟练掌握等比数列的一些性质可提高解题速度，历年高考对等比数列的性质考查较多，主要是考查“等积性”，题目“小而巧”且背景不断更新．解题时要善于类比并且要能正确区分等差、等比数列的性质，不要把两者的性质搞混．8. 已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是[，]，则不等式x2－bx－a＜0的解集是（）A. （2，3）B. （，）C. （－∞，）∪（，＋∞）D. （－3，－2）【答案】D【解析】分析：由题意首先求得a,b的值，然后求解一元二次不等式即可求得最终结果.详解：ax2－bx－1≥0的解集是[，]，则：且，解得：，则不等式x2－bx－a＜0即，求解一元二次不等式可得：，表示为区间形式即.本题选择D选项.点睛：本题主要考查一元二次不等式的解法，二次不等式与二次方程的区别于联系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9. △ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，，b＝3，c＝2，则△ABC的面积是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：由正弦定理首先求得sinC的值，据此可得sinA的值，最后利用面积公式即可求得最终结果.详解：由正弦定理有：，则：，，则，据此可得：，则：，结合面积公式有：.本题选择C选项.点睛：在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.10. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座七层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A. 5盏B. 4盏C. 3盏D. 2盏【答案】C【解析】设塔顶的a1盏灯，由题意{a n}是公比为2的等比数列，∴S7==381，解得a1=3．故选：C．11. 如图，在△ABC中，D为边AC上的点，且AB＝AD，，BC＝2BD，则cosC的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意首先求得sinA的值，然后结合正弦定理求解sinC的值，进一步可得cosC的值. 详解：设，则：，在△ABD中，由余弦定理可得：，则在△ABC中，由正弦定理可得：，故，，即为锐角，据此可得：.本题选择C选项.点睛：本题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12. 设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n＝1，2，3，…，若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，a n＋1＝a n，，，则（）A. {S n}为递减数列B. {S n}为递增数列C. {S2n－1}为递增数列，{S2n}为递增数列D. {S2n－1}为递增数列，{S2n}为递增数列【答案】B【解析】因为，不妨设，；故；，，，；显然；同理，，，，，显然.【考点定位】本题考查创新型数列，在解题的过程中构使用海伦秦九韶公式进行计算，考查学生特殊到一般的数学思想.视频二、填空题（本题共4小题）13. 已知数列{a n}的前n项和为，则数列{a n}的通项公式a n＝________．【答案】【解析】分析：由题意分类讨论n=1和两种情况即可求得数列的通项公式.详解：当时，,当时，,且当时，，据此可得：数列{a n}的通项公式a n＝点睛：本题主要考查已知数列的前n项和求解其通项公式的方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14. 如图，一辆汽车在一条水平公路上向西行驶，到A处测得公路北侧有一山顶D在西偏北30°方向上，行驶300m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m．【答案】【解析】分析：由题意结合所给的三视图利用正弦定理和直角三角形的三角函数值的定义整理计算即可求得最终结果.在△ABC中,由正弦定理可得：，即，.在Rt△BCD中,∠CBD=30°，∴tan30°=，∴DC=.即此山的高度CD＝m.点睛：解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.15. 已知S n是等差数列{a n}（n属于N＋）的前n项和，且S6＞S7＞S5，有下列四个命题：①d＜0；②S11＞0；③S12＜0；④数列{S n}中的最大项为S11．其中正确命题的序号是________．【答案】①②【解析】分析：由题意结合等差数列的前n项和与通项公式之间的关系逐一考查所给命题的真假即可. 详解：由题意可得，，则，说法①正确；，说法②正确；，且，则，说法③错误；数列单调递增，且，据此可知数列{S n}中的最大项为S6，说法④错误.综上可得：正确命题的序号是①②.点睛：本题主要考查等差数列的性质，等差数列前n项和公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，，则角C＝________．【答案】【解析】由1＋＝和正弦定理得，cos A＝，∴A＝60°．由正弦定理得，＝，∴sin C＝．又c<a，∴C<60°，∴C＝45°．三、解答题（本大题共6小题，解答时写出必要的文字说明、验算步骤）17. 已知，求的值．【答案】【解析】略视频18. 已知{a n}为等差数列，前n项的和为S n（n∈N＋），数列{b n}是首项为2的等比数列且公比大于0，b3＋b5＝40，b2＝a4－6a1，S11＝11b4．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式．（2）求数列{a2n b n}的前n项和．【答案】（1），；（2）【解析】分析：(1)设公差为，公比为，由题意可得，则，结合题意得到关于首项、公差的方程组可得，则 .(2)由题意可得：，错位相减可得其前n项和为.详解：(1)设公差为，公比为，，，即，，又，，又，即①由，即②解①②得 .(2),，设前项和为，则，，上述两式相减，得：==.点睛：本题的核心是考查错位相减求和的方法，一般地，如果数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，求数列{a n·b n}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n}的公比，然后作差求解．19. 解关于x的不等式mx2＋（2m－1）x－2＞0（m∈R）．【答案】见解析...........................详解：(i)当时，不等式为解得 .(ii)当时，不等式变形为，①若时，则，②若时，，③若时，，④当时，则 .综合上述知：当，当，当，当，当.点睛：解含参数的一元二次不等式分类讨论的依据：(1)二次项中若含有参数应讨论是小于0，等于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．20. 已知a，b，c分别是△ABC角A、B、C的对边长，，．（1）求的最大值（2）若，，，求a值．【答案】（1）1；（2）2【解析】试题分析：（1）利用数量积坐标运算化简得到，进而求最值即可；（2），结合条件得到又，从而由正弦定理即可求出值. 试题解析：(1)=当时，取最大值1(2)即又由正弦定理得21. 游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C；另一种是先从A 沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m／min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m／min，山路AC长为1260m，经测量，，．（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？【答案】（1）1040；（2）乙出发分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短；（3）【解析】试题分析：（1）根据两角和公式求得，再根据正弦定理即可求得的长；（2）假设乙出发后，甲、乙两游客距离为，分别表示出甲、乙二人行走的距离，根据余弦定理建立的二次函数关系，求出使得甲乙二人距离最短时的值；（3）根据正弦定理求得,乙从出发时，甲已走了，还需走才能到达,设乙步行的速度为，由题意得,解不等式即可求得乙步行速度的范围.试题解析：（1）在中，因为，，所以，，从而．由正弦定理，得（）．（2）假设乙出发后，甲、乙两游客距离为，此时，甲行走了，乙距离处，所以由余弦定理得，由于，即，故当时，甲、乙两游客距离最短．（3）由正弦定理，得（）．乙从出发时，甲已走了（），还需走710才能到达．设乙步行的速度为，由题意得，解得，所以为使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在（单位：）范围内．考点：正弦、余弦定理在实际问题中的应用.【方法点睛】本题主要考查了正弦、余弦定理在实际问题中的应用，考查了考生分析问题和利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.解答应用问题，首先要读懂题意，设出变量建立题目中的各个量与变量的关系，建立函数关系和不等关系求解.本题解得时，利用正余弦定理建立各边长的关系，通过二次函数和解不等式求解，充分体现了数学在实际问题中的应用.视频22. 如图是由正整数构成的数表，用a ij表示i行第j个数（i，j∈N＋）．此表中a il＝a ii＝i，每行中除首尾两数外，其他各数分别等于其“肩膀”上的两数之和．（1）写出数表的第六行（从左至右依次列出）．（2）设第n行的第二个数为b n（n≥2），求b n．（3）令，记T n为数列前n项和，求的最大值，并求此时n的值．【答案】（1）见解析；（2）；（3）答案见解析.【解析】分析：(1)由题意可得第6行为：6、16、25、25、16、6 ；(2)观察数表累加求和可得 .(3)结合 (2)的结论可得时，则，裂项求和可得，则，结合均值不等式的结论可得当且仅当时取得最大值.详解：(1)第6行为：6、16、25、25、16、6 ，(2)观察数表可知：，，，……，以上诸式相加得：，.(3)，，，，（当且仅当时取等号），，取最大值时.点睛：本题的核心是考查裂项求和的方法，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．。
湖北省部分重点中学2019届高三第二次联考高三理科数学试卷与参考答案
(
)
(
)
2 r |= 4 ， | n | . | DC |
r r n.DC
解得 =
2 . 3
所以当
PQ 2 = 时, 存在 Q 使 DC 与面 DEQ 所成角的正弦值为 PC 3
…………………………12 分
2 4
19.（1）由已知 F1 ( −1, 0 ) ， F2 (1, 0 )
，圆 F2 的半径为 r = 2 2
湖北省部分重点中学 2019 届高三第二次联考
高三数学理科试卷参考答案
一．选择题： 1 C 2 D 3 D 4 B 5 D 6 C 7 B 8 C 9 A 10 B 11 D 12 A
二．填空题：13）60
14）583
15） 30
16） ( −, 0 ) , +
1 e
经检验知 k 2 = y=
6 ( x − 2) 6
…………………………12 分
20.（1）由频率分布直方图可得第 4 组的频率为 1-0.1-0.3-0.3-0.1=0.2， 故 x=0.02. 故可估计所抽取的 50 名学生成绩的平均数为 (55 0.01+65 0.03+75 0.03+85 0.02+95 0.01) 10=74（分）. ……………3 分 由于前两组的频率之和为 0.1+0.3=0.4，前三组的频率之和为 0.1+0.3+0.3=0.7，故中位数 在第 3 组中.设中位数为 t 分， 则有(t-70) 0.03=0.1，所以 t = 73
(
)
(
)
(
)
(
)
又因为 PQ = PC = −2 , 3 , − ,所以 { y = 3
高三理数试卷-2019年春季湖北省重点高中联考协作体期中考试
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湖北省重点高中联考协作体2019届高三上学期期中考试数学(理)---精校解析Word版
湖北省重点高中联考协作体2019届高三上学期期中考试数学（理）试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则集合（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通过运算分别得到集合A和B，再根据交集并集的运算得到结果即可.【详解】由于,又=集合.故选B.【点睛】与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集．（2）看这些元素满足什么限制条件．（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．2.下列命题正确的是（）A. 命题“若，则”的逆否命题为真命题；B. 命题“”为假命题，则命题与命题都是假命题；C. “”是“”成立的必要不充分条件；D. 命题“存在，使得”的否定是：“对任意，均有”.【答案】A【解析】【分析】A.逆否命题与原命题同真同假,故判断原命题即可；B命题“”为假命题，则两个命题至少有一个是假命题即可；C举出反例即可；D，根据特称命题的否定是全称命题可得到选项不正确.【详解】A.逆否命题与原命题同真同假，由可得故命题为真; B. 命题“”为假命题有三种情况，(i)真假，(i i)假真，(iii) 假假； C.；则“a<b”，反之当m=0，，故“”是“”成立的充分不必要条件;D否定是：“对任意，均有”.故选A.【点睛】本题考查了命题的真假的判断，其中涉及特称命题和全称命题的判断，要判定特称命题“”是真命题，只需在集合中找到一个元素，使成立即可；如果在集合中，使成立的元素不存在，那么这个特称命题是假命题．判断特称命题的真假时，一定要结合生活和数学中的丰富实例，通过相关的数学知识进行判断．3.记为等差数列的前项和，若，则（）A. B. C. 10 D.【答案】D【解析】【分析】将题干中的条件化为基本量，可得到，进而得到d，通过等差数列的通项公式可得到结果.【详解】设等差数列的公差为,解得,.故选D.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题，对于等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.4.函数在上单调递减，且为奇函数.若，则满足的的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性得到等价于，再由函数的单调性得到，进而得到结果.【详解】因为为奇函数，所以，于是等价于,又在单调递减,.故选C.【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性的应用，较为简单,和奇偶性有关的题目常见的有判断奇偶性，函数奇偶性的判断，先要看定义域是否关于原点对称，接着再按照定义域验证和的关系，函数的单调性，一般小题直接判断函数在所给区间内是否连续，接着再判断当x变大时y的变化趋势，从而得到单调性.5.如图，在平行四边形中，相交于点，为线段的中点，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据平行四边形的图像特点得到＝λ＋2μ，又因为＝(＋)，根据平面向量基本定理得到对应系数相等得到结果.【详解】∵＝2，＝λ＋μ，∴＝λ＋2μ.∵E为线段AO的中点，∴＝(＋)，根据平面向量基本定理得到对应系数相等∴λ＝，2μ＝，解得μ＝，∴λ-μ＝.故选B.【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，向量的主要应用体现在以下几方面：(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法；(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.6.已知数列满足:.若，则数列的通项公式是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题干得到变形为，故是等比数列,公比为2，根据等比数列的公式得到，进而得到.【详解】由得所以,故是等比数列,公比为,,.故选C.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题，对于等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.7.已知函数是奇函数，其中，则函数的图象（）A. 关于点对称B. 关于轴对称C. 可由函数的图象向右平移个单位得到D. 可由函数的图象向左平移个单位得到【答案】A【解析】【分析】根据函数是奇函数得到，进而得到函数的解析式，根据左加右减的原则得到CD是错误的，由，得到B错误，A正确.【详解】∵函数是奇函数，其中，∴，∴f（x）=sin2x=cos（2x﹣）=cos2（x﹣），则函数g（x）=cos（2x﹣）=cos（2x﹣）=cos2（x﹣）的图象可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到的，C,D错;由,得时,B错.因为，故A正确.故选A．【点睛】本题考查的是三角函数的平移问题，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将x的系数提出来，针对x 本身进行加减和伸缩.8.已知函数，则函数的大致图象为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数奇偶性的概念得到BC错误，再由特殊值得到答案.【详解】故函数非奇非偶，排除B,C..故选A．【点睛】这个题目考查了已知函数的表达式选择函数的图像，这类题目通常是从表达式入手，通过表达式得到函数的定义域，值域，奇偶性，等来排除部分选项，或者寻找函数的极限值，也可以排除选项.9.设双曲线的离心率为，且一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题干得双曲线的焦点在y轴上，再由离心率得到进而求得a,b,c得到方程，再得到渐近线.【详解】由已知得抛物线的焦点为,所以双曲线的焦点在y轴上，故,,故a=,b=1,所以双曲线的方程是.渐近线方程是.选D.【点睛】这个题目考查了双曲线的标准方程和几何意义的应用，以及抛物线的几何意义，将两个圆锥曲线结合到一起，要善于发现两者的共同点，建立等量关系.10.已知函数，，若存在两个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将存在两个零点,等价于有两个不同的实根，函数的图象与直线有两个交点即可.【详解】由已知存在两个零点,等价于有两个不同的实根，即函数的图象与直线有两个交点，作图可得直线y=-x+2a,斜率固定，只需要上下平移即可，在y轴上的截距小于等于2即可，.选D.【点睛】这个题目考查了函数的零点问题，函数零点问题和图像的交点问题和方程的根是同一个问题，可以互相转化，解决分段函数的一个有效的方法就是画出图像，通过图像得到性质和结论.11.中有：①若，则；②若，则—定为等腰三角形；③若，则—定为直角三角形；④若，且该三角形有两解，则的范围是.以上结论中正确的个数有（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】①根据正弦定理可得到结果；②根据或可得到结论不正确；③可由余弦定理推得，三角形为直角三角形; ④根据正弦定理得到：sinC=，由题意得：当C∈（90°，120°）时，满足条件的△ABC有两个，所以：，进而得到b的范围.【详解】①根据大角对大边得到a>b,再由正弦定理知①正确；②，则或是直角三角形或等腰三角形；所以②错误；③由已知及余弦定理可得，化简得，所以③正确；④在△ABC中，∵B=60°，c=2，若满足条件的三角形恰有两个，由正弦定理得：变形得：sinC=，由题意得：当C∈（90°，120°）时，满足条件的△ABC有两个，所以：，解得：＜b＜2，则b的取值范围是（，2）．故④错误.故答案为：B.【点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据,解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.12.将直角三角形沿斜边上的高折成的二面角，已知直角边，那么下面说法正确的是（）A. 平面平面B. 四面体的体积是C. 二面角的正切值是D. 与平面所成角的正弦值是【答案】C【解析】【分析】先由图形的位置关系得到是二面角的平面角，，故A不正确；B 由于故得到B错误；易知为二面角的平面角,，由题意可知∠BDC为B﹣AD﹣C的平面角，即∠BDC=120°，作DF⊥BC于F，连结AF，sin∠BCO=.【详解】沿折后如图,,易知是二面角的平面角,,由余弦定理得,可得,过作于,连接,则,由面积相等得,可得.根据,易知是二面角的平面角, 故A 平面与平面不垂直,错;B由于,错;C易知为二面角的平面角,,对;D故如图，由题意可知∠BDC为B﹣AD﹣C的平面角，即∠BDC=120°，作DF⊥BC于F，连结AF，AF=，BD=4，DC=8，AD=4，过O作BO垂直BO⊥CO于O，则∠BCO就是BC与平面ACD 所成角，BO=2，OD=2，BC=，sin∠BCO=．选【点睛】本题考查了平面的翻折问题，考查了面面垂直的证明，线面角的求法，面面角的求法以及四面体体积的求法，求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可。
2019年3月湖北省高三联合考试数学试卷(理科)含答案
2019年3月湖北省七市（州）教科研协作体高三联合考试理 科 数 学命题单位：荆门教研室 十堰教科院审题单位：荆州教科院 孝感教科院 恩施教科院本试卷共6页，23题（含选考题），全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，请考生认真阅读答题卡上的注意事项。
务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上指定位置，贴好考号条形码或将考号对应数字凃黑。
用2B 铅笔将试卷类型A 填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3．非选择答题用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。
4．考生必须保持答题卡的清洁。
考试结束后，监考人员将答题卡收回。
第Ⅰ卷一、选择题:本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合{}1 , 0 , 1 , 2 , 3A =-,{}2log (1)2B x x =+<，则AB 等于A ．{1,0,1,2}-B ．｛0,1,2｝C ．｛-1,0,1,2,3｝D ．｛0,1,2,3｝2．设i 为虚数单位，则复数1+2i z i=的虚部为A. 2-B. i -C. iD. 1-3．在各项都为正数的数列{}n a 中,首项12a =，且点(221 , n n a a -)在直线90x y -=上, 则数列{}n a 的前n 项和n S 等于A. 31n- B. ()132n-- C. 132n+ D. 232n n +4．广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如下表（单位：万元）：由上表可得回归方程为ˆˆ10.2yx a =+，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为 A ．101.2 B ．108.8 C ．111.2 D ．118.2 5．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的 《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法， 至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图 给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例， 若输入,n x 的值分别为3,4，则输出v 的值为 A ．6 B ．25 C ．100D ．4006．函数π()sin()(0 , >0 , )2f x A x A ωϕωϕ=+><的部分图象如图所示， 若12ππ, (,)63x x ∈-，12x x ≠且 12()()f x f x =，则12()f x x += A ．1 B ．12C．2D．27．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间( , 0]-∞上单调递增，若实数a满足3log (2)(a f f >，则a 的取值范围是A. (-∞B.C. )∞D.8．已知圆222:(1)(0)C x y r r -+=>．设条件:03p r <<，条件:q 圆C 上至多有2个点到直线30x +=的距离为1，则p 是q 的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件第6题图第5题图9．从数字1，2，3 ，4，5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位 数字之和等于12的概率为 A ． 225 B ． 13125C ．12518 D ． 912510．一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面积为 A. 36π B.112π3C. 32πD. 28π11．关于曲线C ：241x y +=，给出下列四个命题： ①曲线C 有两条对称轴，一个对称中心； ②曲线C 上的点到原点距离的最小值为1； ③曲线C 的长度l满足l >④曲线C 所围成图形的面积S 满足π4S <<. 上述命题中，真命题的个数是A ．4B ．3C ．2D ．112．已知正三角形ABC 的顶点 , A B 在抛物线24y x =上，另一个顶点(4 , 0)C ，则这样的正三角形有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
湖北省重点高中联考协作体2019届高三数学上学期期中试题理2018112002219
湖北省重点高中联考协作体 2019届高三上学期期中考试数学（理）试卷第Ⅰ卷（共 60分）一、选择题：本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1．设集合， Bx x，则集合（ ） A x xxlog2C AB22 02RA ．x 0 x 4B ．x 0 x 2C ．x x 2D ．x x 42．下列命题正确的是（ ） A.命题“若 x y ，则sin xsin y ”的逆否命题为真命题；B.命题“p q ”为假命题，则命题 p 与命题 q 都是假命题；C.“am 2bm 2 ”是“a b ”成立的必要不充分条件；D.命题“存在 ，使得 ”的否定是：“对任意，均有 ”.xR 2x 0 x 01 0 x R x2 x10 03．记 为等差数列的前 项和，若 ，则 （ ）Sa n3SSS ,a 2 annn2416A ． 12B ． 10C ．10D ． 134．函数 f x在,上单调递减，且为奇函数.若 f 11，则满足 1 f x11的 x的取值范围是（ ） A ．2,2B ．1,1C ．0,2D ．1, 35．如图，在平行四边形 ABCD 中， AC ,BD 相交于点O ， E 为线段 AO 的中点，若BEBABD, R，则（ ）3 1 1 A ． B ．C ．D ．3 44 44a16．已知数列a 满足:.若，则数列 的通项公a 1 1,a1nn N *bblog1nnnn2a2ann- 1 -式是（）1A．B．C．D．n n1n2n27．已知函数sin23是奇函数，其中，则函数cos2的f x x0,g x x22图象（）A.关于点,0对称35x6B. 关于轴对称C.可由函数f x的图象向右平移个单位得到6D.可由函数f x的图象向左平移个单位得到32ln x8．已知函数，则函数y f x的大致图象为（）f x xxA．B．C．D．x y23229．设双曲线1的离心率为，且一个焦点与抛物线x28y的焦点相同，则此双曲m n3线的渐近线方程是（）3A．B．C．D．y x y2x y x y3x3x2e,x010. 已知函数，g x f x x2a，若g x存在两个零点，则a的取值范f xln x,x围是（）A．,1B．1,C．1,D．,1（11．ABC中有：①若A B，则sinA sinB；②若sin2A sin2B，则ABC—定为等腰三角形；③若acosB b cos A c，则ABC—定为直角三角形；④若B,AB2，且该三角3- 2 -形有两解，则 AC 的范围是3,.以上结论中正确的个数有（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 412．将直角三角形 ABC 沿斜边上的高 AD 折成120 的二面角，已知直角边 AB 4 3, AC 4 6 ，那么下面说法正确的是（ ） A.平面 ABC平面 ACDB.四面体 D ABC 的体积是8 642C.二面角 A BC D 的正切值是D.BC 与平面 ACD 所成角的正弦值是3217第Ⅱ卷（共 90分）二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上） 13．已知向量 a1, 2,b2,2,c1,，若 c / /a b，则．14．已知sincos 1，cossin3 ，则sin．x15．定义在 R 上的函数 f x 满足 f x6 f x ，当x 3, 3时，，则f x1x2f log 122．16．已知 F F 是椭圆和双曲线的公共焦点， P 是它们的一个公共点，且 F PF，椭圆、 1, 2123双曲线的离心率分别为 e 1,e 2 ，则 12 2 22 的最小值是．e e三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.ABC 的内角 A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c ，且b 2c 2 a 2 ac .（1）求 B ； 7 2 （2）若，求的面积. a 2,cos AABC1018．如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA 平面 ABCD ， AD / /BC , AD CD ，且AD CD 2 ， BC 2 2,PA 2 .- 3 -（1）求证： AB PC ；（2）在线段 PD 上，是否存在一点 M ，使得二面角 M ACD 的大小为 45，如果存在，求PM PD的值；如果不存在，请说明理 由.19.已知函数4 tansincos3 . f xxxx23（1）求 f x 的定义域与最小正周期；（2）讨论 fx在区间 , 上的单调性.3 320.已知数列中，，其前 项和 S 满足.a12, 2 3 aanS 1S12S 1 n 2,nN*nnnnn（1）求证：数列a为等差数列，并求的通项公式；ann（2）设3n ，求数列 b 的前 n 项和T . bannnn21.党的“十八大”之后，做好农业农村工作具有特殊重要的意义.国家为了更 好地服务于农 民、开展社会主义新农村工作，派调查组到农村某地区考察.该地区有 100户农 民，且都从事 蔬菜种植.据了解，平均每户的年收入为 6万元.为了调整产业结构，当地政府决 定动员部分 农民从事蔬菜加工.据统计，若动员 xx0户农民从事蔬菜加工，则剩下的继续 从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入有望提高3x % ，而从事蔬菜加工的农民平均每户的年收入为3x万元.6a a050（1）在动员x户农民从事蔬菜加工后，要使剩下100x户从事蔬菜种植的所有农民总年收入不低于动员前100户从事蔬菜种植的所有农民年总年收入，求的取值范围；x x0,x N*（2）在（1）的条件下，要使这x户农民从事蔬菜加工的总年收入始终不高于100x户从事- 4 -100100100蔬菜种植的所有农民年总年收入，求a的最大值.（参考数据：57.7, 1.75, 1.72)35758及57 5822.已知动圆C过定点F，并且内切于定圆F x y..21,01:11222（1）求动圆圆心C的轨迹方程；（2）若y24x上存在两个点M,N，（1）中曲线上有两个点P,Q，并且M,N,F三点共线，2P,Q,F PQ MN PMQN三点共线，，求四边形的面积的最小值.2试卷答案一、选择题1-5: BADCB 6-10:CAADD 11、12：BC1.B【解析】由于A(,1)(2,),C A1,2,又B=x x x4集合R(C A)B(0,2.选B.R2.A【解析】A.逆否命题与原命题同真同假，由x y可得sin x sin y;B.命题“”为假命题有三种情况，(i) p真q假，(i i) p假q真，(iii) p假q假；C.“”是“”成立的充分不必要条件;D否定是：“对任意，均有x2x10”.故选A.323.D【解析】设等差数列的公差为,a d3(3a d)2a3S S S,n324112433a12,d3,a6a15d13d4a d,d a解得,.故选D.11224.C 【解析】因为f x为奇函数，所以f1f11，于是1≤f x1≤1等价于f1≤f x1≤f1f x，1≤x1≤10≤x≤2 ,又在单调递减, . 故选C.→→→→→→→→→5.B【解析】∵BD＝2BO，BE＝λBA＋μBD，∴BE＝λBA＋2μBO.∵E为线段AO的中点，∴BE＝1 → → 1 1 1 1 (BA ＋BO )，∴λ＝ ，2μ＝ ，解得 μ＝ ，∴λ-μ＝ .选 B.2 2 2 4 4a 1 21 111an1,1 2(1)6.C 【解析】由得所以,故是等比数n1a2aaaaa nn 1nn 1nn11 1 列,公比为2 ,12n 1(1) 2n ,blog (1)log 2nn .故选 C.n 122aaan1n- 5 -7.A 【解析】∵函数 f (x ) sin(2x 3 )是奇函数，其中(0, )，∴， 22 6∴f （x ）=sin2x=cos （2x ﹣ ）=cos2（x ﹣），则函数 g （x ）=cos （2x ﹣）=cos （2x ﹣）=cos2（x ﹣） 的图象可由函数 f （x ）的图象向左平移 个单位得到的，C,D 错;由k 2xk, k1x,得时6 1225xg ( ) 0,B 错.，故选 A ．123 8.A 【解析】f (x ) f (x ), f (x )f (x ), 排除 B,C. f (e ) e 2 1 0,e1 1 1 1f ( ) e 0, f ( )ee ee e.故选 A ．229.D 【解析】由已知得抛物线的焦点为 (0, 2) ,所以 n0,m 0, 2,2 ,所以双曲线的 cc a3y2方程是 .渐近线方程是 .选 D.x 21y3x310.D 【解析】由已知 f (x )x 2a 有两个不同的实根，即函数 f (x ) 的图象与直线yx 2a2a 2,a 1有两个交点，作图可得.选D.11.B 【解析】①由正弦定理及大对大角可知①正确；② A B 或 AB, ABC 是直角三2角形或等腰三角形；所以②错误；③由已知及余弦定理可得 ac bbca222222a b c2ac 2bc，化简得 ，所以③正确；④由画圆弧法得a 2b 2c 2 a 2 b 2c 23AC2.所以④错误. 故选 B.12. C 【解析】沿 AD 折后如图, AD BC ,易知 CDB 是二面角C AD B 的平面角,CDB 120CD 12, BD 4, AD 4 2,BC2CD 2 BD 2 2CD,由余弦定理得BD cos120BC 4 7D DF BC FAF AF BC,可得 ,过 作于 ,连接 ,则,由面积相等114 21得,可得.①平面与平面不垂直,CD BD sin120 DF BC DF ABC ACD A227 11 1 32 6VVSADAB( 8 4 sin120 )4 2错;②由于, 错;③易知D ABC A BCDBCD3 3 2 3- 6 -A BC D tan4242AFD AFDC BC为二面角的平面角, , 对;④与ADDF42137平面ACD所成的角是BCD,sin sin6021, 错．故选BCDD C.BDBC14二、填空题13.0【解析】a b (3,0),由c A(a b)得，0．14.1【解析】sin cos1,cos sin1,sin2cos22sin cos1, cossin2cos sin322(sin coscos sin )4 22,相加得,sin()1.16162815. (或)【解析】log log322333161628log (log3).2233312f(log12)f(log)22623f(log)21676x y x y11222216. 【解析】设椭圆方程是,双曲线方程是,由定义可得42a b a b222 21122PF1PF22a1,P F1PF22a2,PF1a1a2,PF2a1a2F PF,在中由余弦12定理可得(2c)2(a a)2(a a)22(a a)(a a)cos,即4c2a23a2,12121212123c c1a a a a1a a71a a712233323222222222A 2(12212)(1216)(21)26a a4a a4a a44a a442222222 2 12121212 7642.三、解答题17.解：（1）由已知得cos Bc2a2b2ac 12ac2ac 2π由B0,π，得.B=37222（2）由cos，得，sin A 1cos A ，AA0,π1010在△ABC中，sin C sin(B A)sin B cos A cos B sin A- 7 -3 7 2 1 2 2 7 62102 1020，ab asin 2 103 5 3 由正弦定理得，，bBsin A sin Bsin A221 Sab sin C 所以△ABC2127 63 21 25 32204. 18. 【解析】(1)证明：如图，由已知得四边形 ABCD 是直角梯形，由已知 AD CD 2, B C 2 2 ，可得 ABC 是等腰直角三角形，即 AB AC ， 又 PA 平面 ABCD ，则 PA AB ， 又 AP ACA ,所以 AB平面 PAC ，所以 ABPC ;（2）建立如图所示空间直角坐标系，则zPMAD0, 0, 0, 2,2,0,0, 2,0, ACDy0,0,2,2,2,0,0,2,2. P BPDB Cx 设PMtPD0t 1，则M 的坐标为0,2t,22t设nx,y,z是平面AMC的一个法向量，则A n AC02x2y0n，得，则可取n A AM 02ty 22t z 02t1,1,2(1t)- 8 -又m0,0,1是平面ACD的一个法向量，2t2(t1)m A n2cos m,ncos45t所以，m n t23222(t 1)PMPD23.19. 解：（1）f(x)的定义域为x xk,k Z.21 3f(x)4tan x sin(x)A cos(x )34s in x(cos xsin x) 3 23222s in x cos x 23sin x 3sin2x 3(1cos2x)32sin2x 3cos2x 2sin(2x )32所以f(x)的最小正周期是T.2(2)令z 2x,易知y 2s in z的单调递增区间是2k,2k,k Z,由3225, 2k2x2k,k xk k Z得23212125B x kx k ,kZ设 A,, ,12123 3易知 AB , .3 12所以,当,时, f (x ) 在区间,上单调递增, 在区间, 上单调递减.x3 33 12 12 320.解：（1）由已知，SSSS（ n 2 ， ），n N* nnnn111 2 11即 （， ），且．a 1a1 n2 *a anN nn∴数列是以为首项，公差为 1的等差数列．∴aaan 1nn12 （2）由（Ⅰ）知b n(n 1)2n 它的前 n 项和为Tn- 9 -T2 3 3 3 4 3n 3(n 1) 3(1)123n 1n n3T2 3 3 34 3n 3 (n 1) 3(2)nn2341n(1) (2) : 2T n 2333 3 3n(n 1)3n123413(13 )33 n3(1)3 (3)3nn 1nn13223 3 3T n( n )3n2 443x21. 解：（1）由题意得6(100 x )(1 ) 6100,1002200 3x 200x 0,0 x，3又 xN * ，所以 0 x 66(x N * )；3x（2） x 户农民从事蔬菜加工的总年收入为 6(a )x 万元，从事蔬菜种植的所有农民年总年506(a 3 )x 6(100)(1 3 ) 3xxx 收入万元，依题意得恒成立，6(100 x )(1)x10050100ax3 xx 100 3x 2100 3x 1001002ay(0,)，恒成立，在上递减，在2100x100x 100 3100100 357,100 x 57, y21.751.71 2 5.46递增，，357100100358x58,y2 1.72 1.742 5.46a 5.46，.5810022. 【解析】(1)设动圆的半径为r，则CF2r，所以CF r123,C F1CF223F1F2,CF F1,2由椭圆的定义知动圆圆心的轨迹是以为焦点的椭圆，x y221a3,c1b2C3 2 所以，动圆圆心的轨迹方程是；(2)当直线MN斜率不存在时,直线PQ的斜率为0,易得MN4,PQ23,四边形PMQN S4 3.的面积当直线MN斜率存在时,设其方程为y k(x1)(k0),联立方程得- 10 -y k (x 1)y 4x 2,消元得 k 2 x 2 (2k 2 4)x k 24x x设 M (x 1, y 1), N (x 2 , y 2 ), 则122kx x 11 224 4 MN 1k (2)44.22kk22PQPQ MN , 直线的方程为1y (x1),k1y (x 1)k xy221 32,得(2k 2 3)x 2 6x 36k 2 06x x3 422k3设 P (x 3, y 3 ),Q (x 4 , y 4 ), 则3 6k2x x 1 222k 3PQ1636k43(k1)221()42k2k32k32k3222211443(k 1)(k 1)222四边形PMQN的面积SMN PQ(4)()83, 22k2k 3k(2k 3)2222令k21t,t 1,上式St8383832(t1)(2t1)2()2111112t t t242t11111,01()2,由二次函数图像可知的范围是2(0,2)t t2483S24 3.综上可得S 43，最小值为43.- 11 -。
湖北省重点高中联考协作体2019届高三数学上学期期中试题理(含答案)
湖北省重点高中联考协作体2019届高三上学期期中考试数学（理）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}220A x x x =-->，{}2log 2B x x =≤，则集合()R C A B ⋂=（ ） A ．{}04x x <≤ B ．{}02x x <≤ C ．{}2x x ≥ D ．{}4x x ≤ 2．下列命题正确的是（ ）A.命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题；B.命题“p q ∧”为假命题，则命题p 与命题q 都是假命题；C.“22am bm <”是“a b <”成立的必要不充分条件；D.命题“存在0x R ∈，使得20010x x ++<”的否定是：“对任意x R ∈，均有210x x ++<”. 3．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若2413,2n S S S a =+=，则6a =（ ） A ．12- B ．10- C ．10 D ．13-4．函数()f x 在(),-∞+∞上单调递减，且为奇函数.若()11f =-，则满足()111f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）A ．[]2,2-B ．[]1,1-C ．[]0,2D ．[]1,35．如图，在平行四边形ABCD 中，,AC BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点，若(),BE BA BD R λμλμ=+∈，则λμ-=（ ）A ．34 B ．14 C ．14- D ．34- 6．已知数列{}n a 满足:()*111,2n n n a a a n N a +==∈+.若21log 1n n b a ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则数列{}n b 的通项公式是（ ）A ．12n B ．1n - C ．n D ．2n7．已知函数()sin 232f x x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是奇函数，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则函数()()cos 2g x x ϕ=-的图象（ ）A.关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称B. 关于轴56x π=-对称C.可由函数()f x 的图象向右平移6π个单位得到 D.可由函数()f x 的图象向左平移3π个单位得到8．已知函数()2ln x f x x x=-，则函数()y f x =的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．9．设双曲线221x y m n+=且一个焦点与抛物线28x y =的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程是（ ）A ．y =B ．2y x =±C ．y x =±D ．y = 10. 已知函数()2,0ln ,0x e x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，()()2g x f x x a =+-，若()g x 存在两个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞-B ．[)1,+∞C ．[)1,-+∞D ．(],1-∞（11．ABC ∆中有：①若A B >，则sinA sinB >；②若22sin A sin B =，则ABC ∆—定为等腰三角形；③若cos acosB b A c -=，则ABC ∆—定为直角三角形；④若,23B AB π∠==，且该三角形有两解，则AC 的范围是)+∞.以上结论中正确的个数有（ ）A. 1B. 2C. 3D. 412．将直角三角形ABC 沿斜边上的高AD 折成120︒的二面角，已知直角边AB AC == ）A.平面ABC ⊥平面ACDB.四面体D ABC -的体积是C.二面角A BC D --D.BC 与平面ACD第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量()()()1,2,2,2,1,a b c λ==-=，若()//c a b +，则λ= ．14．已知sin cos 1αβ+=，cos sin αβ+=，则()sin αβ+= ．15．定义在R 上的函数()f x 满足()()6f x f x +=，当[)3,3x ∈-时，()12xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()2log 12f = ．16．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，椭圆、双曲线的离心率分别为12,e e ，则22122e e +的最小值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且222b c a ac =+-. （1）求B ；（2）若a A =ABC ∆的面积.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//,AD BC AD CD ⊥，且AD CD ==2BC PA ==.（1）求证：AB PC ⊥；（2）在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M AC D --的大小为45︒，如果存在，求PM PD的值；如果不存在，请说明理 由.19.已知函数()4tan sin cos 23f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）求()f x 的定义域与最小正周期； （2）讨论()f x 在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性.20.已知数列{}n a 中，122,3a a ==，其前n 项和n S 满足()*11212,n n n S S S n n N +-+=+≥∈. （1）求证：数列{}n a 为等差数列，并求{}n a 的通项公式； （2）设3n n n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .21.党的“十八大”之后，做好农业农村工作具有特殊重要的意义.国家为了更 好地服务于农民、开展社会主义新农村工作，派调查组到农村某地区考察.该地区有100户农 民，且都从事蔬菜种植.据了解，平均每户的年收入为6万元.为了调整产业结构，当地政府决 定动员部分农民从事蔬菜加工.据统计，若动员()0x x >户农民从事蔬菜加工，则剩下的继续 从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入有望提高3%x ，而从事蔬菜加工的农民平均每户的年收入为()36050x a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭万元.（1）在动员x 户农民从事蔬菜加工后，要使剩下()100x -户从事蔬菜种植的所有农民总年收 入不低于动员前100户从事蔬菜种植的所有农民年总年收入，求()*0,x x x N >∈的取值范围； （2）在（1）的条件下，要使这x 户农民从事蔬菜加工的总年收入始终不高于()100x -户从事蔬菜种植的所有农民年总年收入，求a 的最大值.10010057.7, 1.75, 1.725758===)及 57 5822.已知动圆C 过定点()21,0F ，并且内切于定圆()221:112F x y ++=.. （1）求动圆圆心C 的轨迹方程；（2）若24y x =上存在两个点,M N ，（1）中曲线上有两个点,P Q ，并且2,,M N F 三点共线，2,,P Q F 三点共线，PQ MN ⊥，求四边形PMQN 的面积的最小值.试卷答案一、选择题1-5: BADCB 6-10:CAADD 11、12：BC 1.B 【解析】由于[](,1)(2,),1,2R A C A =-∞-+∞∴=-,又B ={}4x x x <≤∴集合]()(0,2R C A B =.选B.2.A 【解析】A.逆否命题与原命题同真同假，由x y =可得sin sin x y =; B. 命题“”为假命题有三种情况，(i)p 真q 假，(i i)p 假q 真，(iii) p 假q 假； C.“”是“”成立的充分不必要条件;D 否定是：“对任意，均有210x x ++≤”.故选A.3.D 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ,3243,S S S =+ 11323(3)22a d a ⨯∴+= 1434,2d a d ⨯+++解得132d a =-,1612,3,513a d a a d =∴=-∴=+=-.故选D. 4.C 【解析】因为()f x 为奇函数，所以()()111f f -=-=，于是()111f x --≤≤等价于()()()111f f x f --≤≤,又()f x 在()-∞+∞，单调递减,111x ∴--≤≤ 0x ∴≤≤2. 故选C. 5.B 【解析】∵BD →＝2BO →，BE →＝λBA →＋μBD →，∴BE →＝λBA →＋2μBO →.∵E 为线段AO 的中点，∴BE →＝12(BA →＋BO →)，∴λ＝12，2μ＝12，解得μ＝14，∴λ-μ＝14.选B. 6.C 【解析】由12nn n a a a +=+得1121,n n a a +=+所以11112(1)n n a a ++=+,故11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列,公比为2,111112(1)2n n n a a -+=+=,1221log (1)log 2n n nb n a +=+==.故选C. 7.A 【解析】∵函数()sin(23)2f x x πϕ=+-是奇函数，其中(0,)2πϕ∈，∴6πϕ=，∴f （x ）=sin2x=cos （2x﹣）=cos2（x﹣），则函数g （x ）=cos （2x ﹣ϕ）=cos （2x﹣）=cos2（x﹣） 的图象可由函数f （x）的图象向左平移个单位得到的，C,D 错;由26x k ππ-=,得,122k x ππ=+1k =-时 512x π=-,B 错.()03g π=，故选A ．8.A 【解析】()(),()(),f x f x f x f x -≠-≠-排除B,C. 21()0,f e e e=->211()0,f e e e =+> 211()0f e e e-=-<.故选A ．9.D 【解析】由已知得抛物线的焦点为(0,2),所以0,0n m ><,2,c c a ==,所以双曲线的方程是2213y x -=.渐近线方程是y =.选D. 10.D 【解析】由已知()2f x x a =-+有两个不同的实根，即函数()f x 的图象与直线2y x a =-+有两个交点，作图可得22,1a a ≤∴≤.选D.11.B 【解析】①由正弦定理及大对大角可知①正确；②A B =或,2A B π+=ABC ∆是直角三角形或等腰三角形；所以②错误；③由已知及余弦定理可得22222222a c b b c a a b c ac bc +-+--=，化简得222a b c =+，所以③正确；④由画圆弧法得2.AC <<所以④错误. 故选B.12. C 【解析】沿AD 折后如图,AD BC ⊥,易知CDB ∠是二面角C AD B --的平面角,120CDB ∠=,12,4,CD BD AD ===由余弦定理得2222BC CD BD CD =+-cos120BD ⋅,可得BC =过D 作DF BC ⊥于F ,连接AF ,则AF BC ⊥,由面积相等得11sin12022CD BD DF BC ⋅=⋅,可得DF =.①平面ABC 与平面ACD 不垂直,A 错;②由于111(84sin120)423323D ABC A BCD BCDV V S AD --==⋅=⨯⨯=,B 错;③易知AFD ∠为二面角A BC D --的平面角,tan 3AD AFD DF ∠===,C 对;④BC 与平面ACD 所成的角是BCD ∠,sin 6021sin BD BCD BC ⋅∠==,D 错．故选.C二、填空题13.0【解析】(3,0),a b +=由()c a b +得，0λ=．14.1【解析】22sin cos 1,cos sin 1,sin cos 2sin cos 1,αβαβαβαβ+=+=∴++=22cos sin 2cos sin 3αβαβ++=,相加得22(sin cos cos sin )4αβαβ++=,sin()1αβ∴+=.15.21616log 33+(或228log 33-)【解析】22612(log 12)(log )2f f =23(log )16f == 21616log 33+228(log 3)3=-.16. 74+2222111x y a b +=,双曲线方程是2222221x y a b -=,由定义可得1212,PF PF a +=1221122122,,PF PF a PF a a PF a a -=∴=+=-,在12F PF ∆中由余弦定理可得22212121212(2)()()2()()cos3c a a a a a a a a π=++--+-,即2221243,c a a =+22222222221212212122222222121212123332321171712(2)(16)()26444444a a a a a a a a c c a a a a a a a a +++=+=+++=++≥+74=+三、解答题17.解：（1）由已知得2221cos 222c a b ac B ac ac +-===由()0,πB ∈，得π=3B . （2）由cos 10A =，()0,πA ∈得，sinA ==，在ABC △中，sinsin()sin cos cos sinC B A B A B A =+=+121021020=⨯+⨯=，由正弦定理sin sin a b A B =得，sin sin 2a b B A =⋅==所以1sin 2ABC S ab C =△12==.18. 【解析】(1)证明：如图，由已知得四边形ABCD是直角梯形，由已知AD CD BC===可得ABC∆是等腰直角三角形，即AB AC⊥，又PA⊥平面ABCD，则PA AB⊥，又AP AC A=,所以AB⊥平面PAC，所以AB PC⊥;（2）建立如图所示空间直角坐标系，则)2.则M的坐标为),22t-设(),,n x y z=是平面AMC的一个法向量，则n ACn AM⎧=⎨=⎩，得()220t z⎧=⎪+-=，则可取1,1,2(1)nt⎛⎫=-⎪⎪-⎝⎭又()0,0,1m=是平面ACD的一个法向量，所以2(cos,cos45m nm nm n===，23t=2.3PM PD ∴= 19. 解：（1）()f x 的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭. 1()4tan sin()cos()4sin (cos )2322f x x xx x x x ππ=-+=-22sincos sin 2cos 2)x x x x x =-=-+sin 222sin(2)3x x x π==+所以()f x 的最小正周期是2.2T ππ==(2)令23z x π=+,易知2sin y z =的单调递增区间是2,2,,22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦由222,232k x k πππππ-+≤+≤+得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 设,33A ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦,5,1212B x k x k k Z ππππ⎧⎫=-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭,易知,.312AB ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦所以,当,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时, ()f x 在区间,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.20. 解：（1）由已知，()()111n n n n S S S S +----=（2n ≥，*n ∈N ），即11n n a a +-=（2n ≥，*n ∈N ），且211a a -=．∴数列{}n a 是以12a =为首项，公差为1的等差数列．∴1n a n =+（2）由（Ⅰ）知nn n b 2)1(⋅+= 它的前n 项和为n T12312341T 2333433(1)3(1)3T 2333433(1)3(2)n n n n n n n n n n -+=⋅+⋅+⋅++⋅++⋅=⋅+⋅+⋅++⋅++⋅12341(1)(2):2T 233333(1)3n n n n +--=⋅+++++-+⋅13(13)333(1)3(3)31322n n n n n +-=+-+⋅=--⋅+- 333T ()3244n n n ∴=+⋅- 21. 解：（1）由题意得36(100)(1)6100,100x x -+≥⨯ 220032000,03x x x -≤∴<≤， 又*x N ∈，所以066x <≤(*x N ∈)； （2）x 户农民从事蔬菜加工的总年收入为36()50x a x -万元，从事蔬菜种植的所有农民年总年收入36(100)(1)100x x -+万元，依题意得36()50x a x -≤36(100)(1)100x x -+恒成立， 231002100ax x x ≤++，10032100x a x ≤++恒成立，1003100x y x =+在上递减，在⎫⎪⎭递增，10035757,2 1.75 1.712 5.4657100x y ⨯==++=++=，10035858,2 1.72 1.742 5.4658100x y ⨯==++=++=， 5.46a ∴≤ . 22. 【解析】(1)设动圆的半径为r ，则2CFr =，1,CF r =所以1212,CF CF F F +=>由椭圆的定义知动圆圆心C 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，1a c ==所以b =C 的轨迹方程是22132x y +=；(2)当直线MN 斜率不存在时,直线PQ 的斜率为0,易得4,MN PQ ==四边形PMQN 的面积S =当直线MN 斜率存在时,设其方程为(1)(0),y k x k =-≠联立方程得2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩,消元得2222(24)0k x k x k -++= 设1122(,),(,),M x y N x y 则12212421x x k x x ⎧+=+⎪⎨⎪=⎩244.MN k ==+,PQ MN ⊥ ∴直线PQ 的方程为1(1),y x k =--221(1)132y x k x y⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,得222(23)6360k x x k +-+-=设3344(,),(,),P x y Q x y 则34221226233623x x k kx x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩221)23k PQ k +==+四边形PMQN的面积2221141)(4)()2223k S MN PQ k k +==+=+ 令21k t +=,1t >,上式22111112()224S t t t ===--+-+++11,01t t >∴<<,由二次函数图像可知2111()224t -+++的范围是(0,2)S >=综上可得S ≥。
湖北省重点高中联考协作体2019届高三上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
湖北省重点高中联考协作体2019届高三上学期期中考试数学（理）试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则集合（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通过运算分别得到集合A和B，再根据交集并集的运算得到结果即可.【详解】由于,又=集合.故选B.【点睛】与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集．（2）看这些元素满足什么限制条件．（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．2.下列命题正确的是（）A. 命题“若，则”的逆否命题为真命题；B. 命题“”为假命题，则命题与命题都是假命题；C. “”是“”成立的必要不充分条件；D. 命题“存在，使得”的否定是：“对任意，均有”.【答案】A【解析】【分析】A.逆否命题与原命题同真同假,故判断原命题即可；B命题“”为假命题，则两个命题至少有一个是假命题即可；C举出反例即可；D，根据特称命题的否定是全称命题可得到选项不正确.【详解】A.逆否命题与原命题同真同假，由可得故命题为真; B. 命题“”为假命题有三种情况，(i)真假，(i i)假真，(iii) 假假；C.；则“a<b”，反之当m=0，，故“”是“”成立的充分不必要条件;D否定是：“对任意，均有”.故选A.【点睛】本题考查了命题的真假的判断，其中涉及特称命题和全称命题的判断，要判定特称命题“”是真命题，只需在集合中找到一个元素，使成立即可；如果在集合中，使成立的元素不存在，那么这个特称命题是假命题．判断特称命题的真假时，一定要结合生活和数学中的丰富实例，通过相关的数学知识进行判断．3.记为等差数列的前项和，若，则（）A. B. C. 10 D.【答案】D【解析】【分析】将题干中的条件化为基本量，可得到，进而得到d，通过等差数列的通项公式可得到结果.【详解】设等差数列的公差为,解得,.故选D.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题，对于等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.4.函数在上单调递减，且为奇函数.若，则满足的的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性得到等价于，再由函数的单调性得到，进而得到结果.【详解】因为为奇函数，所以，于是等价于,又在单调递减,.故选C.【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性的应用，较为简单,和奇偶性有关的题目常见的有判断奇偶性，函数奇偶性的判断，先要看定义域是否关于原点对称，接着再按照定义域验证和的关系，函数的单调性，一般小题直接判断函数在所给区间内是否连续，接着再判断当x变大时y的变化趋势，从而得到单调性.5.如图，在平行四边形中，相交于点，为线段的中点，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据平行四边形的图像特点得到＝λ＋2μ，又因为＝(＋)，根据平面向量基本定理得到对应系数相等得到结果.【详解】∵＝2，＝λ＋μ，∴＝λ＋2μ.∵E为线段AO的中点，∴＝(＋)，根据平面向量基本定理得到对应系数相等∴λ＝，2μ＝，解得μ＝，∴λ-μ＝.故选B.【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，向量的主要应用体现在以下几方面：(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法；(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.6.已知数列满足:.若，则数列的通项公式是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题干得到变形为，故是等比数列,公比为2，根据等比数列的公式得到，进而得到.【详解】由得所以,故是等比数列,公比为,,.故选C.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题，对于等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.7.已知函数是奇函数，其中，则函数的图象（）A. 关于点对称B. 关于轴对称C. 可由函数的图象向右平移个单位得到D. 可由函数的图象向左平移个单位得到【答案】A【解析】【分析】根据函数是奇函数得到，进而得到函数的解析式，根据左加右减的原则得到CD是错误的，由，得到B错误，A正确.【详解】∵函数是奇函数，其中，∴，∴f（x）=sin2x=cos（2x﹣）=cos2（x﹣），则函数g（x）=cos（2x﹣）=cos（2x﹣）=cos2（x﹣）的图象可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到的，C,D错;由,得时,B错.因为，故A正确.故选A．【点睛】本题考查的是三角函数的平移问题，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将x的系数提出来，针对x本身进行加减和伸缩.8.已知函数，则函数的大致图象为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数奇偶性的概念得到BC错误，再由特殊值得到答案.【详解】故函数非奇非偶，排除B,C..故选A．【点睛】这个题目考查了已知函数的表达式选择函数的图像，这类题目通常是从表达式入手，通过表达式得到函数的定义域，值域，奇偶性，等来排除部分选项，或者寻找函数的极限值，也可以排除选项.9.设双曲线的离心率为，且一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题干得双曲线的焦点在y轴上，再由离心率得到进而求得a,b,c得到方程，再得到渐近线. 【详解】由已知得抛物线的焦点为,所以双曲线的焦点在y轴上，故,,故a=,b=1,所以双曲线的方程是.渐近线方程是.选D.【点睛】这个题目考查了双曲线的标准方程和几何意义的应用，以及抛物线的几何意义，将两个圆锥曲线结合到一起，要善于发现两者的共同点，建立等量关系.10.已知函数，，若存在两个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将存在两个零点,等价于有两个不同的实根，函数的图象与直线有两个交点即可.【详解】由已知存在两个零点,等价于有两个不同的实根，即函数的图象与直线有两个交点，作图可得直线y=-x+2a,斜率固定，只需要上下平移即可，在y轴上的截距小于等于2即可，.选D.【点睛】这个题目考查了函数的零点问题，函数零点问题和图像的交点问题和方程的根是同一个问题，可以互相转化，解决分段函数的一个有效的方法就是画出图像，通过图像得到性质和结论.11.中有：①若，则；②若，则—定为等腰三角形；③若，则—定为直角三角形；④若，且该三角形有两解，则的范围是.以上结论中正确的个数有（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】①根据正弦定理可得到结果；②根据或可得到结论不正确；③可由余弦定理推得，三角形为直角三角形;④根据正弦定理得到：sinC=，由题意得：当C∈（90°，120°）时，满足条件的△ABC 有两个，所以：，进而得到b的范围.【详解】①根据大角对大边得到a>b,再由正弦定理知①正确；②，则或是直角三角形或等腰三角形；所以②错误；③由已知及余弦定理可得，化简得，所以③正确；④在△ABC中，∵B=60°，c=2，若满足条件的三角形恰有两个，由正弦定理得：变形得：sinC=，由题意得：当C∈（90°，120°）时，满足条件的△ABC有两个，所以：，解得：＜b＜2，则b的取值范围是（，2）．故④错误.故答案为：B.【点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据,解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.12.将直角三角形沿斜边上的高折成的二面角，已知直角边，那么下面说法正确的是（）A. 平面平面B. 四面体的体积是C. 二面角的正切值是D. 与平面所成角的正弦值是【答案】C【解析】【分析】先由图形的位置关系得到是二面角的平面角，，故A不正确；B由于故得到B错误；易知为二面角的平面角,，由题意可知∠BDC为B﹣AD﹣C的平面角，即∠BDC=120°，作DF⊥BC于F，连结AF，sin∠BCO=.【详解】沿折后如图,,易知是二面角的平面角,,由余弦定理得,可得,过作于,连接,则,由面积相等得,可得.根据,易知是二面角的平面角, 故A 平面与平面不垂直,错;B由于,错;C易知为二面角的平面角,,对;D故如图，由题意可知∠BDC为B﹣AD﹣C的平面角，即∠BDC=120°，作DF⊥BC于F，连结AF，AF=，BD=4，DC=8，AD=4，过O作BO垂直BO⊥CO于O，则∠BCO就是BC与平面ACD所成角，BO=2，OD=2，BC=，sin∠BCO=．选【点睛】本题考查了平面的翻折问题，考查了面面垂直的证明，线面角的求法，面面角的求法以及四面体体积的求法，求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可。
2019届湖北黄冈联考协作体期中考试高三理科数学试卷(解析版)
2019届湖北黄冈联考协作体期中考试高三理科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2-5x-6＜0}，B={y|y=+3}，则A∩B=（）A. B. C. D.2.有四个关于三角函数的命题：P1：∃x∈R，sin2+cos2=；P2：∃x、y∈R，sin（x-y）=sin x-sin y；P3：∀x∈[0，π]，=sin x；P4：sin x=cos y⇒x+y=．其中假命题的是（）A. ，B. ，C. ，D. ，3.若a=（），b=2，c=3，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.4.cos105°-cos15°=（）A. B. C. D.5.已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）=3x+m（m为常数），则f（-log35）的值为（）A. 4B.C. 6D.6.为更好实施乡村振兴战略，加强村民对本村事务的参与和监督，根据《村委会组织法》，某乡镇准备在各村推选村民代表．规定各村每15户推选1人，当全村户数除以15所得的余数大于10时再增加1人．那么，各村可推选的人数y与该村户数x之间的函数关系用取整函数y=[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为（）A. B. C. D.7.已知数列{a n}中第15项a15=256，数列{b n}满足log2b1+log2b2+…+log2b14=7，且a n+1=a n•b n，则a1=（）A. B. 1 C. 2 D. 48.若实数x，y满足|x|+|y|≤2，则M=x2+y2-2x的最小值为（）A. B. 0 C. D.9.函数f（x）=x sinx+cos x+x2+2018，则不等式f（ln x）＜f（1）的解集为（）A. B. C. D.10.已知F1、F2是椭圆C：=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且=0，若△PF1F2的面积为9，则b的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 411.已知，是不共线的两个向量，•的最小值为4，若对任意m，n∈R，|+m|的最小值为1，|+n|的最小值为2，则||的最小值为（）A. 2B. 4C.D.12.若函数f（x）满足f（x）=x（f′（x）-ln x），且f（）=，则ef（e x）＜f′（）+1的解集是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量与不共线，且=+m，=n+，m≠1．若A，B，D三点共线，则mn=______．14.已知点P（x，y）在椭圆上，则2x+y的最大值为______；15.+（sin27.5°-cos27.5°）=______．16.已知直线l：y=kx与圆x2+y2-2x-2y+1=0相交于A，B两点，点M（0，b），且MA⊥MB，若∈，，则实数k的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）=c．（1）求C；（2）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18.已知等差数列{a n}的公差为2，且a1-1，a2-1，a4-1成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（n∈N*），S n是数列{b n}的前n项和，求使S n＜成立的最大正整数n．19.已知a，b，c为正数，且f（x）=|x-1|+|x-2|．（1）求函数f（x）的最小值m；（2）若a+b+c=m，求a2+b2+c2的最小值．20.《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资所得不超过3500元时不必纳税，超过3500元的部分应根据个人所得税税率表纳税．从2018年10月起，国家对税收进行改革，个税起征点从3500元升到5000元，即超过5000元需纳税，（Ⅰ）李先生上班正遇到税收改革，每月预发工资为7500元，则他纳税后实际可得薪水多少元？（Ⅱ）若努力工作，李先生缴纳的税收可达到190元，则此时他实际可得薪水多少元？（Ⅲ）根据上图税率表，试简要分析明星逃税的主要原因．21.已知直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方（1）求圆C的方程；（2）过点M（1，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．22.已知函数f（x）=（x-1）e x-ax2．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个零点分别记为x1，x2．①求a的取值范围；②求证：f′（）＜0．答案和解析1.【答案】C【解析】解：集合A={x|x2-5x-6＜0}={x|-1＜x＜6}=（-1，6），B={y|y=+3}={y|y≥3}=[3，+∞），则A∩B=[3，6）．故选：C．化简集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.【答案】A【解析】解：P1：∀x∈R都有sin2+cos2=1，故P1错误；P2：x=y=0时满足式子，故P2正确；P3：∀x∈[0，π]，sinx＞0，且1-cos2x=2sin2x，所以=sinx，故P3正确；P4：x=0，，sinx=cosy=0，故P4错误．故选：A．P1：同角正余弦的平方和为1，显然错误；P2：取特值满足即可；P3将根号中的式子利用二倍角公式化为平方形式，再注意正弦函数的符号即可．P4由三角函数的周期性可判命题错误．本题考查全称命题和特称命题的真假判断、以及三角函数求值、公式等，属基本题．3.【答案】D【解析】解：a=（）＞0，b=2=-log32∈（-1，0），c=3=-log23＜-1，则a，b，c的大小关系是c＜b＜a．故选：D．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：由于：cos15°+sin15°===，所以：cos105°-cos15°=cos（90°+15°）-cos15°=-sin15°-cos15°=-（cos15°+sin15°）=-．故选：D．直接利用三角函数关系式的变换和同角三角函数的关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式和诱导公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：由题意，f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）=3x+m（m为常数），∴f（0）=30+m=0，解得m=-1，故有x≥0时f（x）=3x-1∴f（-log5）=-f（log35）=-（）=-43故选：B．由题设条件可先由函数在R上是奇函数求出参数m的值，求函数函数的解板式，再由奇函数的性质得到f（-log35）=-f（log35）代入解析式即可求得所求的函数值，选出正确选项本题考查函数奇偶性质，解题的关键是利用f（0）=0求出参数m的值，再利用性质转化求值，本题考查了转化的思想，方程的思想．6.【答案】B【解析】解：根据规定15推选一名代表，当各班人数除以15的余数大于10时再增加一名代表，即余数分别为11，12，13，14时可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加4．因此利用取整函数可表示为y=[]．故选：B．由题意，根据规定15推选一名代表，当各班人数除以15的余数大于10时再增加一名代表，即余数分别为11，12，13，14时可以增选一名代表，也就是x 要进一位，所以最小应该加4．进而得到解析式．本题主要考查给定条件求函数解析式的问题，这里主要是要读懂读明白题意，再根据数学知识即可得到答案．对于选择题要会选择最恰当的方法．7.【答案】C【解析】解：数列{bn}满足log2b1+log2b2+…+log2b14=7，则：log2（b1•b2…b14）=7，所以：，由于：a n+1=a n•b n，所以：，则：，所以：，由于：数列{a n}中第15项a15=256，所以：，故选：C．直接利用数列的通项公式和裂项相消法求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．8.【答案】D【解析】解：|x|+|y|≤2，其图形正方形，（如图）M=x2+y2-2x=（x-1）2+y2-1；即M+1=r2=（x-1）2+y2，表示圆心为（1，0）的圆，直线AB方程为：y+x=2；圆心到直线的距离d===r，∴M+1=；可得M=；故选：D．根据|x|+|y|≤2，画出图形，M=x2+y2-2x表示圆心为（1，0）的圆，求解最近交点，可得M本题主要考查函数最值的求解，利用了点到直线的距离公式是解决本题的关键．9.【答案】B【解析】解：函数f（x）=xsinx+cosx+x2+2018，可得f（-x）=-xsin（-x）+cos（-x）+x2+2018=f（x），即有f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）的导数为f′（x）=sinx+xcosx-sinx+2x=x（2+cosx）＞0，即f（x）在x＞0递增，由f（lnx）＜f（1），可得f（|lnx|）＜f（1），即为|lnx|＜1，即-1＜lnx＜1，解得＜x＜e，故选：B．由奇偶性的定义可得f（x）为偶函数，求得x＞0时f（x）的单调性，即可得到|lnx|＜1，解不等式可得所求解集．本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查转化思想和运算能力，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：∵|PF1|+|PF2|=2a，∴，①又=0，∴，②∴①-②得：2|PF1|•|PF2|=4（a2-c2）=4b2，∴|PF1|•|PF2|=b2，∵△PF1F2的面积为9，∴=b2=9，b＞0，∴b=3，故选：C．由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a，依题意，=4c2，联立两式结合三角形PF1F2的面积为9，即可求得b的值．本题考查椭圆的简单性质，考查数量积判断两个平面向量的垂直关系，考查化归思想与运算能力，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：依题意可设，的夹角为θ，则0，由|+m|的最小值为1，|+n|的最小值为2，得||sinθ=1，||sinθ=2，所以||×||×sin2θ=2，所以||×||=，又因为=||||cosθ，所以cos，即sin，所以||=≥4，所以||的最小值为4，故选：B．由平面向量数量积的性质及其运算得：设，的夹角为θ，则0，由题意有||sinθ=1，||sinθ=2，所以||×||=，又因为=||||cosθ，所以cos，即sin，所以||=≥4，所以||的最小值为4，得解．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．12.【答案】A【解析】解：由f（x）=x（f′（x）-lnx），整理得xf′（x）-f（x）=xlnx，即（）′=，两边积分==∫lnxd（lnx）=ln2x+C，整理得：f（x）=ln2x+Cx，f（）=，代入求得c=，∴f（x）=ln2x+x，f′（x）=ln2x+lnx+，令lnx=t，t∈R，∴f′（t）=t2+t+=（t+1）2≥0，∴f（x）单调递增，由f（x）=x（f′（x）-lnx），f（）=，f′（）=0，由ef（e x）＜f′（）+1，整理得：f（e x）＜=f（）=f（e-1），由函数单调性递增，即e x＜e-1，由y=e x，单调递增，则x＜-1，∴不等式的解集（-∞，-1），故选：A．将函数整理得（）′=，两边积分，求得函数的解析式，求导，求得函数的单调性及f′（），则不等式转化成f（e x）＜=f（）=f（e-1），利用函数的单调性即可求得不等式的解集．本题考查求函数的解析式，不等式的解法，考查求函数的不定积分的应用，考查转换思想，属于难题．13.【答案】1【解析】解：∵A，B，D三点共线，∴存在实数k使得，∴+m=k（n+）=kn+k，∵向量与不共线，．∴1=kn，m=k，解得nn=1．故答案为：1．直接利用共线向量基本定理列式计算．本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.【答案】4【解析】解：化椭圆为参数方程可得，其中θ为参数，θ∈R．∴2x+y=2cosθ+2sinθ=4sin（θ+），∴2x+y的最大值等于4．故答案为：4．化椭圆方程为参数方程可得，利用两角和与差的三角函数化简2x+y，然后可得最值．本题考查椭圆的参数方程，涉及三角函数的最值，也可以利用直线的平行线与椭圆相切，求解平行线之间的距离．15.【答案】-【解析】解：+（sin27.5°-cos27.5°）=-====．故答案为：-．化切为弦，再由两角和与差的三角函数化简求值．本题考查三角函数的化简求值，考查两角和与差的三角函数，是基础题．16.【答案】（1，6-）（6+，+∞）【解析】解：联立，消去y得：（k2+1）x2-（2k+2）x+1=0，①设A（x1，y1），B（x2，y2），∴x1+x2=，x1•x2=，∵MA⊥MB，∴，∴（x1，y1-b）（x2，y2-b）=0，即x1•x2+（y1-b）（y2-b）=0．∵y1=kx1，y2=kx2，∴（1+k2）x1•x2-kb（x1+x2）+b2=0，∴（1+k2）•-kb•+b2=0，即=b+，∵b∈（1，），设f（b）=b+，由f（b）在区间（1，）上单调递增，f（b）∈（2，），∴∈（0，），解得：1＜k＜6-或k＞6+，∴k的取值范围（1，6-）（6+，+∞）．故答案为：（1，6-）（6+，+∞）．把直线l的方程代入圆的方程转化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系以及MA⊥MB，求得2+=b+．令f（b）=b+，在区间（1，）上单调递增，求得f（b）∈（2，），化为关于k的不等式求解．本题考查直线和圆相交的性质，一元二次方程根与系数的关系，一元二次不等式的解法，函数的单调性及最值，考查计算能力，属于难题．17.【答案】解：（1）由已知2cos C（a cos B+b cos A）=c，正弦定理得：2cos C（sin A cos B+cos A sin B）=sin C，即2cos C•sin C=sin C，∵0＜C＜π，sin C≠0，∴cos C=，∴C=．（2）由c=，C=，△ABC的面积为=ab sin=，∴ab=6，又由余弦定理c2=b2+a2-2ab cos C，可得：7=b2+a2-ab=（a+b）2-3ab=（a+b）2-18，可得：（a+b）2=25，解得：a+b=5，∴△ABC的周长a+b+c=5+．【解析】（1）利用正弦定理和和与差公式化简已知等式可得2cosC•sinC=sinC，由0＜C ＜π，sinC≠0，可求cosC=，进而可求C的值．（2）根据ABC的面积公式可求ab=6，根据余弦定理可求a+b的值，即可求得周长．本题考查了正余弦定理的运用和计算能力，属于基础题，解题时要注意余弦定理的合理运用．18.【答案】解：（1）由a1-1，a2-1，a4-1成等比数列，可得（a2-1）2=（a1-1）（a4-1），即（a1+1）2=（a1-1）（a1+5），解得a1=3，故a n=2n+1，n∈N*；（2）由b n===（-），得S n=（-+-+…+-）=（-）=，由＜，解得n＜6，故所求的最大正整数n为5．【解析】（1）运用等比数列中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项，即可得到所求通项；（2）求得b n==（-），由裂项相消求和可得S n，解不等式即可得到所求最大值．本题考查等差数列的通项公式和等比数列中项性质，以及数列的求和方法：裂项相消求和，考查方程思想和不等式的解法，属于中档题．19.【答案】（1）f（x）=|x-1|+|x-2|=，，＜＜，，当x≤1时f（x）min=f（1）=1，当x≥2时f（x）min=f（2）=1，∴m=1．（2）由（1）知，a+b+c=m=1．∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1．∵a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≤a2+b2+c2+a2+b2+b2+c2+a2+c2=3（a2+b2+c2）．∴1≤3（a2+b2+c2）．∴a2+b2+c2≥．【解析】（1）f（x）=|x-1|+|x-2|绝对值展开，画图即得；（2）三次项完全平方和展开，基本不等式应用即得；考察去绝对值问题及三次项完全平方和在基本不等式中的应用．20.【答案】解：（Ⅰ）根据税率表，7500-5000=2500＜3000，则需缴纳的税为2500×3%=75元，则始发薪水为7500-75=7425元；（Ⅱ）可设李先生预法工资为x元，则剩下的x-5000元需缴纳的税收，则3000×3%+（x-8000）×10%=190，解得x=9000，则实际可得9000-190=8810元（Ⅲ）由表可知随着收入的增加税率明显提高，即税收变大，从而导致明星逃税（依法纳税是每个公民应尽的义务，严厉打击逃税行为）【解析】（Ⅰ）根据税率表，7500-5000=2500＜3000，则需缴纳的税为2500×3%=75元，（Ⅱ）可设李先生预法工资为x元，则剩下的x-5000元需缴纳的税收，则3000×3%+（x-8000）×10%=190，求解即可！（Ⅲ）由表可知随着收入的增加税率明显提高，即税收变大；本题考查的知识点是分段函数的应用，属于基础题．21.【答案】解：（1）设圆心C（a，0）（a＞-），∵直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，∴d=r，即=2，解得：a=0或a=-5（舍去），则圆C方程为x2+y2=4；（2）当直线AB⊥x轴，则x轴必平分∠ANB，此时N可以为x轴上任一点，当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k（x-1），（k≠0），N（t，0），A（x1，y1），B（x2，y2），由得（k2+1）x2-2k2x+k2-4=0，经检验△＞0，∴x1+x2=，，若x轴平分∠ANB，设N为（t，0）则k AN=-k BN，即+=0，整理得：2x1x2-（t+1）（x1+x2）+2t=0，即+2t=0，解得：t=4，当点N（4，0），能使得∠ANM=∠BNM总成立．【解析】（1）设出圆心C坐标，根据直线l与圆C相切，得到圆心到直线l的距离d=r，确定出圆心C坐标，即可得出圆C方程；（2）当直线AB⊥x轴，则x轴平分∠ANB，当直线AB斜率存在时，设直线AB 方程为y=k（x-1），联立圆与直线方程，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，由若x轴平分∠ANB，则k AN=-k BN，求出t的值，确定出此时N坐标即可．此题考查了直线与圆的方程的应用，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及斜率的计算，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．22.【答案】解：（1）f′（x）=e x+（x-1）e x-2ax=x（e x-2a），（i）当a≤0时，e x-2a＞0，x＜0，f′（x）＜0，此时f（x）递减；x＞0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，（ii）当0＜a＜时，x＜ln2a时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当ln2a＜x＜0时，f′（x）＜0，f（x）递减，x＞0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，（iii）当a=时，f′（x）≥0恒成立，f（x）在R上单增（iv）当a＞时，x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，0＜x＜ln2a时，f′（x）＜0，f（x）递减，x＞ln2a时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，综上所述：a≤0时，f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；0＜a＜时，f（x）在（ln2a，0）单调递减，则（-∞，ln2a）和（0，+∞）上单调递增；a=时，f（x）在R上单调递增；a＞时，f（x）在（0，ln2a）单调递减，在（-∞，0），（ln2a，+∞）上单调递增；（2）①f（0）=-1（i）当a=0时，f（x）=（x-1）e x，只有一个零点，舍去（ii）当a＜0时，f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∴f（x）的最小值为f（0）=-1＜0，又f（1）=-a＞0，取b＜-1且b＜ln（-）则f（b）=（b-1）e b-ab2＞-（b-1）-ab2=-（2b2+b-1）=-（b+1）（2b-1）＞0∴f（x）存在两个零点（iii）当0＜a＜时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，x≤0时，f（x）＜0∴f（x）不可能有两个零点，舍去（iv）当a=时，f（x）在R上单调递增，f（x）不可能有两个零点，舍去（v）当a＞时，f（x）在（0，ln2a）单调递减，（ln2a，+∞）上单调递增，x≤0时，f（x）＜0∴f（x）不可能有两个零点，舍去综上所述：a＜0（本题也可用分离参数法）………（8分）②由①知：a＜0，f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∴要证f′（）＜0．即证＜0．即证x1+x2＜0，令g（x）=f（x）-f（-x），则g′（x）=f′（x）+f′（-x）=x（e x-2a）+（-x）（e-x-2a）=x （e x-e-x），当x＞0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，不妨设x1＞0＞x2，则g（x1）＞g（0），即f（x1）-f（-x1）＞0，又∵f（x1）=f（x2），∴f（x2）＞f（-x1），∴f（x）在（-∞，0）单调递减，∴x2＜-x1，即x1+x2＜0，原命题得证．【解析】（1）求函数的导数，结合函数单调性和导数之间的关系进行判断即可．（2）①根据函数零点的定义，结合函数的单调性进行判断即可．②要证f′（）＜0．即证＜0．即证x1+x2＜0，构造函数，求的导数，研究函数的单调性进行证明即可．本题主要考查导数的综合应用，求函数的导数，结合函数单调性和导数之间的关系，讨论a的范围是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．。
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2019年秋湖北省重点高中联考协作体期中高三数学（理）试卷班级____________ 姓名_____________ 分数__________ 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1.已知全集U={ -2，-1，0，1，2 }，集合 M= {N x 0,<2|2∈--x x x }，则=M C U （ ） A.{-2,1,2} B.{-2，-1,2} C.{-2} D.{2}2.已知复数1z 与2z 在复平面内对应的点关于实轴对称，且2,2222121-=+=+z z z z ，则=||1z （ ） A.1 B. 2 C. 3 D.2 3.下列函数既不是奇函数又不是偶函数的是（ ）A. x y 2sin =B. x xee y 1+= C. |1||1|++-=x x y D. x x y +=||4. 双曲线142222=+--m m y m x (m>0)的离心率最小时，双曲线的渐近线方程为（ ） A. 02=±y x B. 02=±y x C. 03=±y x D. 03=±y x 5.执行如图所示的程序框图，若输入x 的数值是9,则输出的y 值为（ ）A. 1B.9C. 8D.76.若7cos 3)3cos(2+=-απα，则=αtan （ ）A. 23B. 23- C. 23 D. 23- 7.第七届世界军人运动会于2019年10月18日在武汉举行，现有A ，B ，C ，D ，E5名志愿者分配 到甲，乙，丙三个体育馆参加志愿者活动，每个体育馆至少安排一人且A 和B 是同学需分配到 同一体育馆，则甲体育馆恰好安排了 2人的概率是（ ）A. 21B. 31C. 41D. 18.直三棱柱ABC —A1B1C1中，底面ABC 为等腰直角三角形且斜边BC = 2，D是BC 的中点，若21=AA ，则异面直线A 1C 与AD 所成的角为（ ） A.30° B.45° C.60° D.90°9.中医药，是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称，是反映中华民族对生命、健康和疾病的认识，具有悠久历史传统和独特理论及技术方法的医药学体系，是中华民族的瑰宝.某科研机构研究发现，某品种中医药的药物成分甲的含量工(单位:克）与药物功效y(单位！ 药物单位)之间具有关系210x x y -=，检测这种药品一个批次的5个样本，得到成分甲的平均值为4克，标准差为槡克，则估计这批中医药的药物功效的平均值为（ ）A.22药物单位B.20药物单位C.12药物单位D.10药物单位 10.函数ωπω)(3sin()(+=x x f >0)，当],0[π∈x 时函数)(x f 的值域为]1,23[，则函数)(x f 的最小正周期的取值范围是（ ）A. ]3,[ππB. ]6,[ππC.]6,3[ππD. ]12,6[ππ11.等腰三角形ABC 中，点D 在底边BC 上，AB⊥AD，BD = 8，CD=1，则△ABC 的面积为（ ） A.479 B. 74 C.4727D. 78 12.已知314,)11(,)11(=+=+=c b e a e ππ，其中e 是 自然对数的底数，则的大小关系是（ ）A. c ＜a ＜bB. a ＜b ＜cC. c ＜b ＜aD.b ＜a ＜c二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13.已知向量7||,3||),2,1(=-=-=b a c b a ，则=+||b a .14.已知实数y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-+1103y x y x ，则x y z =的最小值为 .15.已知点A ，B 都在抛物线x y 42=上，且关于直线0=-+m y x 对称，若4||=AB ，则实数=m .16.已知三棱锥S —ABC 的所有顶点在球O 的球面上，SA 丄平面ABC ，△ABC 是等腰直角三角形，SA=AB=AC=2，D 是BC 的中点，过点D 作球O 的截面，则截面面积的最小值是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.)17.(12分）已知等比数列{n a }的前n 项和为n S ，首项1a >0,若54,3,a a a n 成等差数列且422+=a a n . (1)求数列{n a }的通项公式；(2) λ为整数，是否存在正整数n 使λπ210+=n n S a 成立？若存在，求正整数n 及λ;若不存在，请说明理由.18.(12分)如图，四棱锥P-ABCD 中，PA⊥平面A)CD ， AD//BC，AB ⊥AD ，AD=2AB= 2BC=2,PA = 2,点 M 满足MD=2PM.（1）求证:PB//平面MAC;（2）求直线PC 与平面MAC 所成角的正弦值.19.(12分)O 是坐标原点，椭圆12222=+by a x (a>0,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，点M 在椭圆上，若△M F1F2的面积最大时∠F1MF2=120°且最大面积为32.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线2:=x l 与椭圆C 在第一象限交于点N ，点A 是第四象限的点且在椭圆C 上，线段 AB 被直线l 垂直平分，直线NB 与椭圆交于另一点D ，求证:ON//AD.20.(12分)2019年6月25日，《固体废物污染环境防治法（修订草案）》初次提请全国人大常委会审议，草案对“生活垃圾污染环境的防治”进行了专章规定，草案提出，国家推行生活垃圾分类制度.为了了解人民群众对垃圾分类的认识，某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类网络知识问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分(满分:100分)数据，统计结果如下表所示：(1)由频数分布表可以认为，此次问卷调查的得分Z 服从正态分布N (μ，210)，μ近似为这 1000人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表），请利用正态分布的知识求 P(36＜Z≤79.5)(2)在(1)的条件下，市环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案；①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率为：现市民小王要参加此次问卷调查，记X(单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列及数学期望. 附:①5.14210≈;21.(12分）已知函数)(ln )1()(R a ex x x a x f ∈+-=,其中e 是自然对数的底数.(1)求函数)(x f 在点1=x 处的切线方程；(2)若不等式0)(≤-xe xf 对任意的),1[+∞∈x 恒成立，求实数a 的取值范围.(二）选做题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修4 — 4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为θθθ(sin cos 1⎩⎨⎧=+=y x 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是3)65sin(=+πθρ. (1)求曲线C1的极坐标方程； (2)射线ρπθ(3=>0)与曲线C1交于点A ，点B 在曲线C2上，且OA 丄OB ，求线段的长度. 23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知关于x 的不等式b a x ＜+的解集为{6＜x＜4|x }. (1)求实数b a ,的值； (2)求bt at ++10的最大值.2019秋高三理数参考答案选择题：BCDDAB BCADCA获赠的随机话费（单位:元） 20 40 概率 32 31填空题：13. 3 14.21 15.2716.2π试题解析：1.答案：B集合{}{}1,0,21=∈<<-=N x x x M ，∴{}2,1,2--=M C U5. 答案：C设复数),(1R b a bi a z ∈+=，则bi a z -=2 ∴2221==+a z z ，得1=a()()()2222222221-=-=-++=+b a bi a bi a z z ，∴22=b∴3221=+=b a z3.答案：DA 是奇函数，B 和C 都是偶函数，D 既不是奇函数又不是偶函数 4.答案：D依题m a =2，422+-=m m b ，∴422+=m c设离心率为e ，则m m m m a c e 442222+=+== ∵0>m ，∴44242=⨯≥+=m m m m e ，当且仅当m m 4=即2=m 时取“=” 此时双曲线方程是16222=-y x ，渐近线方程是03=±y x 5.答案：A2(3)110y =-+= 6.答案：B原等式为7cos 3sin 23cos 212+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ααα，即7cos 2sin 3=-αα ∴7cos 72sin 737=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-αα，即()1sin =-ϕα，其中73cos ,72sin ==ϕϕ ∴Z k k ∈+=-,22ππϕα，∴Z k k ∈++=,22ϕππα∴73cos 2sin 22sin sin ==⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ϕϕπϕππαk72sin 2cos 22cos cos -=-=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ϕϕπϕππαk∴23tan -=α 7.答案：A设5个样本的成分甲的含量分别为54321,,,,x x x x x ，平均值为x ，则4=x ， ()()()()1052252221252221=-+⋅⋅⋅++=-+⋅⋅⋅+-+-x x x xxx x x x x∴90252221=+⋅⋅⋅++x x x则对应的()()11010252221521521=+⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++x x x x x x y y y∴225521=+⋅⋅⋅++=y y y y8.答案：C如图，取11C B 的中点1D ，则11//D A AD ，所以异面直线C A 1与AD 所成的角就是C A 1与11D A 所成的角 ∵1111C A B A =，∴1111C B D A ⊥，又111CC D A ⊥ ∴⊥11D A 面11B BCC ，∴C D D A 111⊥∴C D A 11∆为直角三角形，∴11D CA ∠就是异面直线C A 1与AD 所成的角在11CD A Rt ∆中，3,2,11111===CD C A D A ，∴6011=∠D CA 9.答案：B基本事件的总数为3633133323=+A C A C ，甲体育馆恰好安排了2人包含的基本事件数为1222232223=+A C A C ，∴313612==P 10.答案：D 令⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∈+=3,33πωπππωx t ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤≤=33sin πωππt t y ∵12sin ,233sin ==ππ，∴3232ππωππ≤+≤，∴3161≤≤ω 函数()x f 的最小正周期[]ππωπ1262，∈=T 11. 答案：C解：设θ=∠=∠C B ，则θπ2-=∠BAC ，θπ22-=∠DACABD Rt ∆中，θcos 8=AB ，θsin 8=AD ，则θcos 8=ACA C D ∆中，θπ22-=∠DAC ，由正弦定理得CADDAC CD sin sin =∠，即θθθπsin sin 822sin 1=⎪⎭⎫⎝⎛-，∴812cos =θ 得47sin =θ，43cos =θ ∴()43272sin cos 8cos 821sin 21=-⨯⨯⨯=∠⋅⋅=∆θπθθBAC AC AB S ABC12.答案：A对c b a ,,两边都取自然对数得()31ln 31ln ,11ln ln ,11ln ln +=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=c b e e a ππ令()()x x x f 1ln +=（0>x ），得()()21ln 1x x x xx f +-+='，设()()1ln 1+-+=x x x x g 得()()012<+-='x xx g ，∴()x g 在()∞+，0递减，∴()()00=<g x g ∴()0<'x f ，∴()x f 在()∞+，0递减 又()3ln ,1ln ,1ln f c f b e f a =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=π，∴()⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<π113f e f f ，∴b a c <<13.答案：3 ∵7=-b a ，∴7222=⋅-+b a b a ，3,522==b a ，∴12=⋅b a∴92222=⋅++=+b a b a b a ，∴3=+b a 14.答案：21 作出可行域如图，()1,2A ，()2,1B ，()1,1C ，根据xyz =的几何意义， 当1,2==y x 时x y z =有最小值2115.答案：27设()()2211,,,y x B y x A ，线段AB 的中点为()00,y x E ，依题可以设直线AB 的方程为 0=+-a y x 由⎩⎨⎧==+-xy a y x 402得0442=+-a y y ∴421=+y y ，a y y 421=∴20=y ，则a x -=20，∴()2,2a E - 点E 在直线0=-+m y x 上，∴a m -=4()4161624222122121=-⋅=-+⋅=-=a y y y y y y AB∴21=a ，274=-=a m16.答案：π2解：点D 是ABC Rt ∆的外心，过点D 作⊥DO 平面ABC 使121==SA DO ， O 是外接球球心，半径设为R ，R OS OA ==在直角梯形SADO 中，2,1,2===AD OD SA ， 得3=R ，过点D 作球O 的截面，当⊥OD 截面时，截面面积最小，此时截面圆的半径为=-22OD R 2∴截面面积的最小值是π2 17.解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则3546a a a =+即32336a q a q a =+，∴062=-+q q ，∴2=q 或3-=q ……2分又4224+=a a 即()4221=-q q a∵01>a ，∴2=q ，11=a …………4分∴12-=n n a …………6分（2）()12111-=--=n nn q q a S…………8分λλ210+=n n S a ，∴12551225210+-=+⨯=+=n n n n n S a λ∵λ为整数，∴2=n 时4=λ∴存在2=n 时4=λ满足条件 …………12分18. 解：（1）连接BD ，交AC 于点O ，连接OM∵BC AD //，22==BC AD ，∴2==OBODBC AD …………1分 又PM MD 2=∴2==MPDMOB OD ，…………2分 ∴PB OM // …………3分 又⊂OM 平面MAC ,⊄PB 平面MAC∴//PB 平面MAC …………5分（2）以AP AD AB ,,所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系则()2,0,0P ，()0,1,1C ，()0,0,0A ，⎪⎭⎫⎝⎛34,32,0M …………6分 ()2,1,1-=PC ，()0,1,1=AC ，⎪⎭⎫⎝⎛=34,32,0AM …………8分设平面MAC 的法向量为()z y x m ,,=则⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅034320z y AM m y x AC m ，取()1,2,2-=m …………10分 直线PC 与平面MAC 所成角为θ，则96sin =⋅=mPC m PC θ…………12分 19.（1）当M 是椭圆的上顶点或下顶点时21F MF ∆的面积最大，设M 是椭圆的上顶点则360tan ==bc即b c 3= …………2分 又32221=⨯⨯=b c S ，∴6,2,8222===c b a ∴椭圆C 的标准方程为12822=+y x …………4分（2）依题点N 的坐标为()1,2N ，直线ND 不与x 垂直，设直线)2(1:-=-x k y ND 即k kx y 21-+=，直线NA :)2(1--=-x k y ，即12++-=k kx y …………5分 设()D D y x D ,，()A A y x A ,由⎪⎩⎪⎨⎧-+==+k kx y y x 2112822得()041616)21(841222=--+-++k k x k k x k ∴2241416162k k k x D +--=，∴2241288k k k x D +--= …………7分 则2241288kk k x A +-+= …………8分 又k kx y D D 21-+=，k kx y A A 21++-=∴()2141164414164222=+--+-⨯=--+=--=kk k k k k x x k x x k x x y y k A D A D A D A D AD …………10分又21=ON k ，∴ON AD k k =∴AD ON // …………12分20.（1）根据题中所给的统计表,结合题中所给的条件,可以求得6575.45.8875.1625.161175.6875.005.0951.085225.07525.0652.05515.045025.035=++++++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=μ…………2分又210655.79,21026536+≈-≈所以()8186.06827.0219545.0215.7936=⨯+⨯=≤<Z P …………5分 （2）根据题意,可以得出所得话费的可能值有80,60,40,20元得20元的情况为低于平均值，概率313221=⨯=P …………6分得40元的情况有一次机会获40元，2次机会2个20元，概率1873232213121=⨯⨯+⨯=P…………7分得60元的情况为两次机会，一次40元一次20元，概率923132221=⨯⨯⨯=P ………8分得80元的其概况为两次机会，都是40元，概率为181313121=⨯⨯=P …………9分所以变量X 的分布列为:X 20406080P31 187 92 181 所以其期望为()40181809260187403120=⨯+⨯+⨯+⨯=X E …………12分 21.（1）()ex x x a x f +-=ln )1(，()e x x x a x f +⎪⎭⎫ ⎝⎛-+='1ln∴()e f ='1 …………2分 又()e f =1∴切线方程为()1-=-x e e y ，即ex y = …………4分（2）令()()()()1ln 1≥-+-=-=x e ex x x a e x f x g xx()xe e x x a x g -+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+='11ln …………5分①若0≤a ，则()x g '在[)∞+，1上单调递减，又()01='g ∴()0≤'x g 恒成立，∴()x g 在[)∞+，1上单调递减，又()01=g ∴()0≤x g 恒成立 …………7分②若0>a ，令()()xe e x x a x g x h -+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+='=11ln∴()xe x x a x h -⎪⎭⎫ ⎝⎛+='211，易知211x x +与x e -在[)∞+，1上单调递减 ∴()x h '在[)∞+，1上单调递减，()e a h -='21 …………8分 当02≤-e a 即20ea ≤<时，()0≤'x h 在[)∞+，1上恒成立 ∴()x h 在[)∞+，1上单调递减，即()x g '在[)∞+，1上单调递减 又()01='g ，∴()0≤'x g 恒成立，∴()x g 在[)∞+，1上单调递减 又()01=g ，∴()0≤x g 恒成立 …………9分当02>-e a 即2ea >时，()+∞∈∃,10x 使()0='x h∴()x h 在()0,1x 递增，此时()()01=>h x h ，∴()0>'x g∴()x g 在()0,1x 递增，∴()()01=>g x g ，不合题意.…………11分综上，实数a 的取值范围是2ea ≤…………12分 解：（1）曲线1C 的参数方程化为普通方程为()1122=+-y x即0222=-+x y x …………2分化为极坐标方程为θρρcos 22=即θρcos 2= …………5分（2）由⎪⎩⎪⎨⎧==θρπθcos 23得点A 的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛31π，，∴1=OA …………7分 射线OB 的极坐标方程为6πθ-=（0>ρ）由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=365sin 6πθρπθ得点B 的极坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-62π，，∴2=OB ……9分 ∵OB OA ⊥，∴522=+=OB OA AB …………10分23.（1）由||x a b +<知b a x b a --<<-，所以46b a b a --=⎧⎨-=⎩即51a b =-⎧⎨=⎩…………5分（2）依题意知:2221051052(5)1(2)()6(2)23at bt t tt t t t t t ++=-++⎡⎤⎡⎤=⋅-+≤+-+⎣⎦⎣⎦=-+=…………8分 当且仅当512t t=-即13t =时等号成立， 所以所求式子的最大值为23.…………10分。