几类特殊类型函数的积分
几种特殊类型积分因子的求法
1.1:(y)解: 变形为1 J(x, y) - P 2(x)q 1(y)(x -1)(y -1)运用积分因子方法求解几种特殊类型微分方程方小，数学与计算机科学学院摘 要：针对满足某些条件的微分方程，着重研究如何直接地、有效地求出其积 分因子的方法,从而方便快捷地求出其通解•引言：方程取形式M(x,y)dx • N(x,y)dy =0时的求解问题教材中主要介绍了五 种类型的初等解法，实际上作为基础的还是恰当微分方程，其他类型均可借助积分因子化为这种类型，掌握一些特殊类型的积分因子求法及部分特殊结构微分方 程的积分因子的求法，从而大提高解微分方程的效率和可操作性•一.几种特殊类型结构的微分方程 M(x,y)dx ，N(x,y)dy = 0的积分因子 的求法1 •常见一阶微分方程几种运用积分因子转化成恰当微分方程 可分离变量方程= f (x) ( y)很容易求得积分因子为■-dx求(xy - x)dx (xy x - y -1)dy = 0 的积分因子x(y -1)dx (x -1)(y 1)dy = 0积分因子为方程两边乘以上积分因子得:dy = 0 x-1y -1两边积分得原方程的通解为x y ln(x T)( y T)2 二 C1 .2 线性微分方程—g(x)「g(x ),设f(x ,y )及三连续'试证方程d y _f(x ,y g o 为线性微分方程它有仅依赖于x 的积分因子• 证明：设方程dy - f (x, y)dx =0是线性微分方程.即存在g(x), h(x)使得f(x, y)二 yg(x) h(x)这样M 二-f (x, y)二-yg(x) -h(x), N = 1, .:M :N.:y；xN所以，方程具有积分因子C-g(x)dx.二=e这即证明了方程有仅依赖于x 的积分因子.例2 :解方程:(ycosx-ysinx)dx (ysinx xc°sx)dy = 0解： • .M = ycosx - xsinx, N = ysinx xcosx:N ：:M=y于是积分因子为ydy yu =e 二e•••通解为e y (xcosx ysinx-sinx)=C” __n-(n -J p(x)dx)1.3 伯努利微分方程方程的积分因子是'=y e证明: 设伯努利方程为改写为dy _ p(x)ydx _ q(x) y n dx 二 0,乘以y』得y 』dy - p(x)y 1』dx _q(x)dx = 01 _n 1 _od(y )一(1 一 n)p(x)y dx —(1 - n)q(x)dx = 0,再乘以_(1』)p(x)dxe41』)p(x)dxe(1 - n)q(x)dx 二 0,_(1_n) p(x)dx」 dx ] = 0.少=p( x) y q( x)y ndx p( )y q( )y 5式0,1)11-(1-n) fp(x)dx [d(y )-(1 - n)p(x)y dx]-e1 _n _(1 _n [ p ( s) dxd[y e]—d[ .(1 - n)q(x)e这是全微分方程，因此所求积分因子是■— 」n_]p(x)dx)y e例 求3 • y 二(cosx —sinx) y 2的积分因子及通解 dx解：积分因子/、.np(x )dx/ 菽(x, y) = y ey e原方程两边同乘以 y °e ，并化为对称式为y 2e"dy y °e*dx = (cosx -sin x)e»dx凑微分为：d( —e^y J) = d(e 亠 sin x)两边同时求积分得：e^si nx e "^y = C1.4齐次微分方程M(x,y)dx • N(x,y)dy =0当xM • yN = 0时有积分因子(・N) xxM N - MNex-xN(xM yN)2由于方程是齐次的，我们不妨设 M(x, y)和N(x, y)是m 次齐次函数，则有.:M:x;:M*x匕cN 冰* y = m • M 与—*x — * y = m * N ex cy由上:M :N :N :M yNyMxMxNcycyexex从而得到：因此方程 M (x, y)dx N (x, y)dy =0当xM ■ yN = 0时有积分因子-1xM yNxM yN证明由于切(x,y) = ^<jN(x,yr^^xM +yN xM +yN则有.:MNN(xM yN) - M (x N y )；：(」M) _ ：：y jy ；:y訶一 (xM yN)2MNyN MN - yM * —dycy-(xM +yN)2J同理，例(y 2「3x 2)dy 2x y d x 0yy 2 -0 1 y 3-0 1 N(y)P(x)解此为齐次方程，故有积分因子J =1 (Px Qy) =1 (2x 2y y 3 _3x 2y) =1 (y 3 _x 2y)乘以积分因子，原方程化为■2222』 32[2x (y -x )]dx [(y -3x ) (y -xy)]dy = O这是一个全微分方程，它的通解为x 2x dx 0 2 2 0y - x2 2 2In y -In(y -x ) In y = C 其中C 为常数2、具有特殊结构的一阶微分方程 M (x, y)dx • N(x, y)dy = 0的积分因子的求法 2.1 方程 M (x)N(y)dx P(x)Q(y) =0有积分因子：显然,直接验证可得= 1旷 N(y)P(x)为上式的积分因子..f (x)dx • ■ (y)dy若(：：P).(：y) -(：Q) (：：X )二 Qf (x) -P “y)」「I-是方程的积分因子解：因为(：：P).(：：y) -(9) (；:x)2=6y x (2x 6y ) =(x 6y 2) 2(3y x)2 21 2 2一(x6xy)(-—)-(3y xy)(——)xy1 = Q(-—)-P()x y故有积分因子dx1 2xy于是原u[f(u)-gL )]dx g(」)d —0(1)(3 x 1 y)dx -(x y 1 2) 6)dy 二 0 (3 x)dx-6dy [(1 y) dx -(x y 2)dy] = 0这是一个全微分方程，积分得出通解为3ln x - 6y x y = C或 3yln x - 6y 2 x =cy2.2 设函数f(u),g(u)连续、可微且, 则方程yf(xy)dx - xg(xy)dy =0有积分因子:xy[f (xy)-g(xy)]证明:令沁二」,则原方程可化为，但对于一个较复杂的方程，往往不容易直接求得它的积分因(xy[ f (xy) -g(xy)]子•(1)式两边同乘以fT 齐得显然(2)为恰当方程，故(1)有积分因子 」[f(」)_g(」)]”因而原方程有积分因子dxg(Jdu = 01 2x故有积分因子■' - 1 2 2 2 2{xy[(x 2y 21) -(x 2y 2 一1)]}1乘上 —得2xy^xy 2dx 丄 dx -x 2ydy 2 2x 22（xy 2dx x 2ydy ） 2（空-包）=0x y二.针对满足某些条件的微分方程，运用积分因子方法求出通解但是如果把它的左端分成几组，比如分成两组：（M 1dx N 1dy ） （M 2dx N 2dy ） =0（3）后,可分别求得各组的积分因子 叫和^,也就是如果有J 1/l 2使SM 1 叫 N j dy 二J2M 2 」2N 2dy 二 d 」2于是借助于7,常可求得Mdx • NdY =0的积分因子.为了说明这一点，先注意 下一事实•如果「是Mdx • NdY =0的一个积分因子，且 ％」Ndy 二d ，,则」^1）也是Mdx • NdY =0的积分因子.此处 C 1）是，的任一连续函数. 事实上」3） Mdx "_ （」）Ndy 二（」）（」Mdx 订：Ndy ）二（Jd 」 其中①表示©的一个原函数•据此知,对于任意的函数 V ）及7（\）、2：：（」2）都分别是⑶的第一组和第 二组的积分因子.函数有着广泛选择的可能性.若能选择：：使亠=U 1 C\）「f ）则卩就既是（3）的第一组也是第二组的积分因子.因而也就是Mdx • NdY =0的积分因子.3y 2 x例:解方程：( 3x )dx - (1 )dy =0x y解:原方程改写为3(上dx dy) (3x2—)dy = 0x y显然丄i 二x,鋼=xy,丄2 二y,丄2 二x‘ y为使x \xy)二y (x3y),只须取丫")二"2,「(")= J于是求得原方程的一个积分因子：」二x (xy)二y (x3y)二x3y2而以之乘方程的两端，便得2 2 ^52、，，32 6x y 3x y )dx (x y x y)dy = 0于是/ \3 z 3 2P(x, y) = 0 (x2y3 +3x5y2)dx= —+ —(取c = 0) •••通解为(xy)3 . (x3y)2结论1 :设u(x, y)是方程M (x, y)dx N(x,y)dy =0的积分因子，从而求得可微方程U(x,y)使dU =亠(Mdx • Ndy) /(x,y)=曲(U )时」i(x,y)也是方程的积分因子,其中：(t)是t的可微函数.结论2:设u (x, y) , U2(x, y)是方程M (x, y)dx N(x, y)dy = 0的两个积分因子，且 F =常-2数，则匚1二C (任意常数)是方程的通解•^2结论3:假设当方程M(x,y)dx ・N(x,y)dy=O为齐次方程时，且为恰当方程，则它的通解可表示为xM (x, y)dx ■ yN(x, y)dy =c (c为任意常数).参考文献(顶格、宋体、小四号加粗)：[1] 刘广珠.高中生考试焦虑成因分析[J].陕西师大学报(哲社版)，1995,24( 1): 161-164.(参考文献序号在文中采用右上标注的方式，用数字加方括号表示，如[1]，[2]，…，序号应连续。
不定积分,习题
联立并令 C1 = C ,
1 可得 C 2 = ＋C , C 3 = 1 + C . 2
1 2 − 2 x + C , x < −1 1 故 ∫ max{1, x }dx = x + + C , − 1 ≤ x ≤ 1. 2 1 2 2 x + 1 + C, x > 1
= x2 − 1 1 − arcsin + C . x x
例4
求 ∫ xarctan xln(1 + x2 )dx.
2
解 ∵ ∫ x ln(1 + x 2 )dx = 1 ∫ ln(1 + x 2 )d (1 + x 2 )
1 1 2 2 2 = (1 + x ) ln(1 + x ) − x + C . 2 2 1 1 2 2 2 原式 = ∫ arctan xd [ (`1 + x ) ln(1 + x ) − x ] 2 2 1 = [(`1 + x 2 ) ln(1 + x 2 ) − x 2 ] arctan x 2 1 x2 ]dx − ∫ [ln(1 + x 2 ) − 2 2 1+ x
5、函数 f ( x) = ( x + x )2 的一个原函数F (x) = ( ) 4 3 4 （A） x ; （B） x x 2 ; 3 3 2 2 2 2 2 （C) x( x + x ) ; （D） x ( x + x ) . 3 3 6 、 已 知 一 个 函 数 的 导 数 为 y′ = 2 x ， 且 x = 1 时 y = 2,这个函数是（ ） 这个函数是（ y = x2 + C ; （A） 2 （B） y = x + 1 ; x2 （C） y = + C ; 2 （D） y = x + 1 .
特殊类型函数积分
1）
Q（x）中如果含有因式
( x a)
k
则
要分解成称 k 个部分之和。且
A1 、 A2 、….
An 为常数，特别的
k=1 时，分解后得到：
A ( x a )
A3 Ak A1 A2 .... ( x a) k ( x a) k 1 ( x a) k 2 ( x a)
P( x) a0 x n a1 x n1 a2 x n2 ....... an Q( x) b0 x m b1 x m1 b2 xห้องสมุดไป่ตู้m2 ...... bn
=
A3 A A1 A2 .... k k k 1 k 2 ( x a) ( x a) ( x a) ( x a)
2
x 2 x 2 x 2
2
cos x
2
三、 简单无理式的积分
这里只讨论 R ( x ,
n
ax b ) 及
R (x,
n
ax b ) cx e 这两类函数的积分
3） 最后求 A、 M、 N、 最后用待定系数法 带入特殊 x 值 特殊有理式分解：
1】 2】 3】
A B 1 x2 x3 x 2 5x 6 1 A B C x ( x 1) 2 x ( x 1) 2 x 1
1 A Bx c 2 2 (1 2 x )( x 1) (1 2 x ) 1 x2
特殊类型函数积分
一、 有理函数的积分 1）有理式的定义：
由两个多项式的商所表示的函数：
P( x) a0 x n a1 x n1 a2 x n2 ....... an Q( x) b0 x m b1 x m1 b2 x m2 ...... bn
08几种特殊类型函数的积分
(t
2tdt
2
− 1)
2
,
2t t 2dt 1 1+ x (t 2 − 1)t 2 2 dt = −2∫ 2 ∫ x x dx = − ∫ t −1 (t − 1)
t −1 1 +C = −2 ∫ 1 + 2 dt = −2t − ln t +1 t − 1
2 1+ x 1+ x = −2 − ln x − 1 + C . x x
都是非负整数； 其中 m 、 n都是非负整数； a0 , a1 ,L, a n 及
b0 , b1 ,L, bm 都是实数，并且 a0 ≠ 0， b0 ≠ 0 . 都是实数，
假定分子与分母之间没有公因式 这有理函数是真分式 真分式； (1) n < m , 这有理函数是真分式； 这有理函数是假分式 假分式； ( 2) n ≥ m , 这有理函数是假分式； 利用多项式除法, 利用多项式除法 假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和. 多项式和一个真分式之和
2 k
M1 x + N1 M2 x + N2 Mk x + Nk + 2 + L+ 2 2 k k −1 ( x + px + q ) ( x + px + q ) x + px + q
其中 M i , N i 都是常数( i = 1,2,L , k ) .
Mx + N ; 特殊地： 特殊地：k = 1, 分解后为 2 x + px + q
代入特殊值来确定系数 A, B , C 取 x = 0, ⇒ A = 1 取 x = 1, ⇒ B = 1 取 x = 2, 并将 A, B 值代入 (1) ⇒ C = −1
几种特殊类型的函数的积分
dt dt 6 原式 6 3 2 (1 t t t ) t (t 1)(t 2 1) t
dt 3 2 ln( t 1) 3 arctan t C 6 ln t 3 ln t 1 2
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
解 原式
1 [ln x 10 ln( x 10 2)] C 20 1 1 ln x ln( x 10 2) C . 2 20
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例16 求
3
3
dx . 2 4 ( x 1) ( x 1)
2 4 3
x 1 4 ) ( x 1) 2 . 解 ( x 1) ( x 1) ( x1 2 x 1 则有 dt dx , 令t , 2 ( x 1) x1 4 1 dx 原式 t 3 dt x 1 4 2 2 3 ( ) ( x 1) x1 33 x 1 3 1 3 C. t C 2 x 1 2
ln 2 ln 3
C
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例2
计算
x2 dx 6 6 a x
3 3 1 1 3 1 x a 解:原式 3 2 dx ln 3 C 3 2 3 3 3 ( x ) (a ) 6a x a 例3 计算 1 cos x dx x sin x d ( x sin x ) ln | x sin x | C 解:原式 x sin x
x1 例10 求 2 dx. 2 x x 1 1 解 令x , (倒代换)
1 1 1 1 t t 原式 ( 2 )dt dt 2 1 12 t 1 t ( ) 1 t2 t 1 d (1 t 2 ) 2 arcsin t 1 t C dt 2 2 1 t 2 1 t
几种典型函数的积分举例
① 比较系数法
x2 2 x 2 x3 1
A Bx C 2 x 1 x x 1
等式两端同时乘以x3 1 ，得到
x 2 2 x 2 A x 2 2 x 2 Bx C x 1
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例4.6. 计算不定积分
解.
x
2
2x 2
2
x2
2
dx.
原式
x2 2 x 2 2 x 2
x
2
2 x 2
dx
2x 2
x
x2 2x 2
2
2x 2
dx 2
x
2
2x 2
2
dx
1 1 2 d x d x 2x x2 2 x 2 x2 2 x 2 2
4 1 B 1 5. 5 2 11 1 2 1 1 1
2 于是，B . 5
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例4.4. 将
解.
x 1 x
x
x
2
1
分解为部分分式之和.
2
③ 拼凑法
2 2
x 1 x2 1
x
x 1 x 2 1
1 tan x 5
C
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例4.5. 计算不定积分
x2 dx. 2 x 2x 3
1 2x 2 1 2 2 解. 原式 dx 2 x 2x 3 1 2x 2 3 2 2 dx x 2x 3
空间解析几何基础知识总结
(10) (11)
∫ sec x tan xdx = sec x + C ∫ csc x cot xdx =
x x e dx = e +C ∫
( 5)
( 6)
∫
1 dx = arcsin x + C 2 1− x
− csc x + C
∫ cos xdx = sin x + C
(12)
x a +C (13) ∫ a x dx = ln a
连续，则积分上限的函数 Φ( x ) =
x 1 1 arctan dx = +C ∫ a2 + x 2 a a
( 21)
∫
x−a 1 1 dx = ln | | +C 2 2 x −a 2a x+a
( 22)
a+ x 1 1 dx = ln | ∫ a 2 − x 2 2a a − x | + C
( 23)
∫
1 x dx = arcsin + C 2 2 a a −x
（3） 简单无理函数的积分
讨论类型: R( x , ax + b )
n
ax + b R( x , ) cx + e
n
解决方法: 作代换去掉根号．
令t = ax + b;
n
ax + b ; 令t = n cx + e
定积分
问题1:
曲边梯形的面积
问题2:
变速直线运动的路程
存在定理
定积分 的性质
定积分
广义积分
定积分的 计算法
牛顿-莱布尼茨公式
∫
b
a
f ( x )dx = F ( b ) − F (a )
数学分析知识点总结
估值不等式、积分第一、第二中值定理。
5、定积分与不定积分旳联络
（1）变上限积分旳导数公式；
d
x
f (t )dt f ( x),
dx a
d
b( x)
f (t)dt
f b( x)b( x)
f a( x)a( x)
dx a( x)
（2）牛-莱公式。
（3）可积函数不一定有原函数，有原函 数旳函数不一定可积。
n 但其极限是无理数 e.
即数列旳单调有界定理在有理数域不成立。
3. 区间套定理
若{[ an,bn ]}是一种区间套，则在实数系中存在唯一旳点
,使 [an ,bn ],n 1,2,
反例：取单调递增有理数列{an },使an 2, 取单调递减有理数列{bn },使bn 2,
则 有理数域内构成闭区间 套 [an ,bn ]Q， 其在实数系内唯一的公 共点为 2 Q.
1）恒等变形（加一项减一项、乘一项除一项、 三角恒等变形）；
2）线性运算；
3）换元法： 第一类（凑分法）——不需要变换式可逆； 第二类——变换式必须可逆；
4）分部积分法——常可用于两个不同类型函数乘积 旳积分； “对反幂三指，前者设为u”
5）三种特殊类型函数 “程序化”旳积分法。
注：检验积分成果正确是否旳基本措施。
(6) cos xdx sin x C
(12) e xdx e x C
(13)
a xdx
ax C ln a
(20)
a2
1
x 2 dx
1 a
arctan
x a
C
(21)
x2
1
a 2 dx
1 2a
ln
几种特殊积分的计算方法
积分的基本定义：设F 为函数 的一个原函数，我们把函数f 的所有原函数F C（C为任意常数）叫做函数f 的不定积分记做 .其中∫叫做积分号，f 叫被积函数， 叫做积分变量，f 叫做被积因式.C叫积分常数，求已知函数不定积分的过程叫做对这个函数进行积分.
积分的基本原理：微积分基本定理，由艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨在十七世纪分别独自确立.微积分基本定理将微分和积分联系在一起，这样，通过找出一个函数的原函数，就可以方便地计算它在一个区间上的积分.积分和导数已成为高等数学中最基本的工具，并在自然科学和工程学中得到广泛运用.
积分的一个严格的数学定义由波恩哈德·黎曼给出（参见条目“黎曼积分”）.黎曼的定义运用了极限的概念，把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限.从十九世纪起，更高级的积分定义逐渐出现，有了对各种积分域上的各种类型的函数的积分.比如说，路径积分是多元函数的积分，积分的区间不再是一条线段（区间[a,b]），而是一条平面上或空间中的曲线段；在面积积分中，曲线被三维空间中的一个曲面代替.对微分形式的积分是微分几何中的基本概念.
几种特殊积分的计算方法
1前言
积分发展的动力来自于实际应用中的需求.实际操作中，有时候可以粗略的方式进行估算一些未知量，但随着科技的发展，很多时候需要知道精确的数值.要求简单几何形体或者体积，可以套用已知的公式.比如一个长方体状的游泳池的容积可以用长乘宽乘高求出.但如果游泳池是卵形、抛物型或者更加不规则的形状，就需要用积分来求出容积.物理学中，常常需要知道一个物理量（比如位移）对另一个（比如力）的累积效果，这时候也需要积分.在古希腊数学的早期，数学分析的结果是隐含给出的.比如，芝诺的两分法悖论就隐含了无限几何和.再后来，古希腊数学家如欧多克索斯和阿基米德使数学分析变得更加明确，但还不是很正式.他们在使用穷竭法去计算区域和固体的面积和体积时，使用了极限和收敛的概念.
求不定积分的基本方法
1 例13. 求不定积分 ∫ dx . (2 + cos x) sin x sin x 解: 原式 = ∫ (令 u = cos x) dx 2 (2 + cos x ) sin x 1 =∫ du 2 ( 2 + u )(u − 1) A=1
1 ( 2+u )(u −1)
习题课 不定积分的计算方法
一、 求不定积分的基本方法 二、几种特殊类型的积分
第四章
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一、 求不定积分的基本方法
1. 直接积分法 通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 . 2. 换元积分法
∫ f ( x ) dx
第一类换元法 第二类换元法
∫ f [ϕ (t )]ϕ ′(t ) dt
分部积分
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1 dx . 例4. 设 y ( x − y ) = x , 求积分 ∫ x − 3y 解: y ( x − y ) 2 = x 令 x − y = t, 即 y = x −t
2
t3 x= 2 , t −1
t t 2 (t 2 − 3) y = 2 , 而 dx = 2 dt 2 t −1 (t − 1)
=
x x − 3 ln(e 6
+ 1) − 2
x 3 ln(e 3
x + 1) − 3 arctan e 6
+C
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3 cos x − sin x dx . 例11. 求 ∫ cos x + sin x
几种特殊函数的积分
p p x px q x q , 2 4 p 令 x t 2
记 x 2 px q t 2 a 2 ,
则
Mx N Mt b,
p2 2 a q , 4
Mp b N , 2
Mx N 2 dx n ( x px q ) Mt b 2 dt 2 dt 2 n 2 n (t a ) (t a )
真分式化为部分分式之和的待定系数法
x3 x3 A B 例1 2 , x 5 x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
x 3 A( x 3) B( x 2), x 3 ( A B ) x ( 3 A 2 B ),
1 dx . 例4 求积分 2 x( x 1) 1 1 1 1 dx 解 2 2 dx x ( x 1) x ( x 1) x 1 1 1 1 dx dx dx 2 x ( x 1) x 1
1 ln x ln x 1 C. x 1
三、简单无理函数的积分
ax b 讨论类型 R( x, ax b ), R( x , ), cx e
n
n
解决方法 作代换去掉根号.
1 1 x 例10 求积分 dx x x
解
1 x 2 1 x 令 t t , x x
1 sin x dx. 例9 求积分 sin 3 x sin x A B A B 解 sin A sin B 2 sin cos 2 2 1 sin x 1 sin x sin 3 x sin x dx 2 sin 2 x cos x dx 1 sin x dx 2 4 sin x cos x 1 1 1 1 dx dx 2 2 4 sin x cos x 4 cos x
几种特殊类型的函数积分
反三角函数积分公式
∫sinxdx=−cosx+Cint sin x , dx = -cos x + C∫sinxdx=−cosx+C
∫cosxdx=sinx+Cint cos x , dx = sin x + C∫cosxdx=sinx+C
∫tanxdx=ln|secx|+Cint tan x , dx = ln |sec x| + C∫tanxdx=ln∣secx∣+C
底数小于1的对数函数积分公式
∫logₐ(x) dx = xlogₐ(x) - ∫x/lna dx = xlogₐ(x) x/lna + C，其中C为积分常数。
对数函数积分应用
解决对数方程
计算对数值
通过积分的方法，可以将对数方程转 化为代数方程，从而更容易求解。
利用对数函数的积分公式，可以计算 对数值，例如计算ln(e)、lg(10)等。
积分性质
对于三角函数的积分，有基本的 积分公式，如∫sin(x)dx = -cos(x) + C，∫cos(x)dx = sin(x) + C等。
三角函数的积分具有一些重要的 性质，如∫[sin(x)]^2dx = ∫[1 cos(2x)]/2dx = x/2 - sin(2x)/4 + C。
积分变换
底数小于1的对数函 数
如以0.5为底的对数函数，记作 logₐ(x)，其定义域为(0, +∞)， 其中a为正实数且a≠1。
对数函数积分公式
自然对数函数积分公式
∫ln(x) dx = xln(x) - x + C，其中C为积分常数。
常用对数函数积分公式
高等数学方明亮44几种特殊类型函数的积分.ppt
,
1 A(1 x2 ) (Bx C)(1 2x),
整理得 1 ( A 2B)x2 (B 2C)x C A,
A 2B 0,
B A
(1
2C 0, C 1,
1 2x)(1
x2)
A 4, 5 4
5 1 2
B 2,C 52xx来自5 1 x21 5
1 5.
,
2024年9月27日星期五
一、 有理函数的积分
(Integration of Rational Function)
有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数.
P(x) Q( x)
a0 xn b0 x m
a1 x n1 b1 x m1
an1 x an bm1 x bm
其中m、n都是非负整数；a0 ,a1 ,,an及b0 ,b1,,bm 都是实数，并且a0 0，b0 0.
1 6a3
ln
x3 a3 x3 a3
C
（2） 原式
sin2 x sin3
x
cos2 cos x
x
dx
dx sin x cos x
cos sin 3
x x
dx
d tan x tan x
d sin sin 3
x x
2024年9月27日星期五
29
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2. 求
(a
sin
x
1 b
解法 2 令
a sin ,
a2 b2
b cos
a2 b2
原式
a2
1
b2
dx
cos2 (x )
a
2
1
b2
tan(x
)
几种特殊类型函数地积分
几种特殊类型函数的积分一、有理函数的不定积分1.化有理函数为简单函数两个多项式的商所表示的函数)(x R 称为有理函数，即mm m m m nn n n n b x b x b x b x b a x a x a x a x a x Q x P x R ++++++++++==------122110122110)()()( （1） 其中n 和m 是非负整数；n a a a a ,,,,210 及m b b b b ,,,,210 都是实数，并且0,000≠≠b a ．当（1）式的分子多项式的次数n 小于其分母多项式的次数m ，即m n <时，称为有理真分式；当m n ≥时，称为有理假分式．对于任一假分式，我们总可以利用多项式的除法，将它化为一个多项式和一个真分式之和的形式．例如12)1(112224+++-=+++x x x x x x ． 多项式的积分容易求得，下面只讨论真分式的积分问题．设有理函数（1）式中m n <，如果多项式)(x Q 在实数围能分解成一次因式和二次质因式的乘积：μλβα)()()()()(220s rx x q px x b x a x b x Q ++++--= ．其中s r q p b a ,,,,,,, 为实数；042<-q p ，…，042<-s r ；,,,βα μλ,, 为正整数，那末根据代数理论可知，真分式)()(x Q x P 总可以分解成如下部分分式之和，即βααα)()()()()(1121b x B a x A a x A a x A x Q x P -++-++-+-=-λββ)()(21112q px x N x M b x B b x B ++++-++-+-μλλλ)()(21121222s rx x S x R q px x N x M q px x N x M ++++++++++++++-srx x S x R s rx x S x R +++++++++-21222)(μμμ ． （2） 其中i i i i i i S R N M B A ,,,,,,, 都是待定常数，并且这样分解时，这些常数是唯一的．可见在实数围，任何有理真分式都可以分解成下面四类简单分式之和： （1）a x A - ， （2）k a x A )(- （k 是正整数，2≥k ）， （3）qpx x B Ax +++2（042<-q p ）， （4）kq px x B Ax )(2+++ （k 是正整数，04,22<-≥q p k ）．2. 有理函数的不定积分求有理函数的不定积分归结为求四类简单分式的积分．下面讨论这四类简单分式的积分．（1）C a x A a x d ax A dx a x A +-=--=-⎰⎰ln )(1，（2）C a x k A a x d a x A dx a x A k k k+-⋅--=--=---⎰⎰1)(11)()()(， （3）dx qpx x B Ax ⎰+++2（042<-q p ）． 将分母配方得)4()2(222p q p x q px x -++=++，作变量代换2px u +=，则du dx p u x =-=,2；由于04,0422>-<-p q q p ，记224a p q =-，于是 du a u B pu A dx p q p x B Ax dx qpx x B Ax ⎰⎰⎰++-=-+++=+++22222)2()4()2( du au ApB du a u Au ⎰⎰+-++=22222C au a Ap B a u A +-++=arctan 2)ln(222 C pq p x p q Ap B q px x A +-+--+++=22242arctan 42)ln(2．（4）dx q px x B Ax k⎰+++)(2 (04,22<-≥q p k )．作变量代换2px u +=，并记224a p q =-，于是⎰⎰⎰+-++=+++du a u ApB du a u Au dx q px x B Ax k k k )(2)()(22222． 其中第一个积分C a u k A a u d a u A du a u Au k k k ++⋅--=++=+--⎰⎰122222222)(1)1(2)()(2)(． 第二个积分可通过建立递推公式求得．记 ⎰+=kk a u du I )(22 利用分部积分法有⎰⎰++++=+=12222222)(2)()(k kk k a u du u k a u u a u du I du a u a a u k a u u k k ⎰++-+++=12222222)()(2)(122222)(+-++=k k kkI a kI a u u ．整理得 k k k I ka k a u u k a I 22221212)(21-++⋅=+． 于是可得递推公式]2232)()1(21[111222----++⋅-=k k k I k k a u u k a I ． （3）利用（3）式，逐步递推，最后可归结为不定积分C a u aa u du I +=+=⎰arctan 1221． 最后由2px u +=全部换回原积分变量，即可求出不定积分⎰+++dx q px x B Ax k )(2． 例1 求⎰++-dx x x x 22)32(1． 解⎰⎰++-+=++-dx x x dx x x x 2222]2)1[(21)32(1 ⎰⎰+-++=2222)2(2)2(1u du du u u x u]2212121[212)2(21222⎰+++⋅⨯⨯-+-=u du u u uC u u u +-++-=2arctan 221)2(212`C x x x x ++-+++-=21arctan 221)32(222．例2 求dx x x ⎰-2)1(1． 解 因为2)1(1-x x 可分解为1)1()1(122-+-+=-x C x B x A x x ． 其中A ，B ，C 为待定系数．可以用两种方法求出待定系数．第一种方法：两端去掉分母后，得)1()1(12-++-=x Cx Bx x A ． （4）即 A x C A B x C A +--++=)2()(12由于（4）式是恒等式，等式两端2x 和x 的系数及常数项必须分别相等，于是有⎪⎩⎪⎨⎧==--=+1020A C A B C A ， 从而解得 1=A ，1=B ，1-=C ．第二种方法：在恒等式（4）中，代入特殊的x 值，从而求出待定系数．如令0=x ，得1=A ；令1=x ，得1=B ；把A ，B 的值代入（4）式，并令2=x ，得C 2211++=，即1-=C ．于是⎰⎰---+=-dx x x x dx x x )11)1(11()1(122 ⎰⎰⎰---+=dx x dx x dx x 11)1(112C x x x +----=1ln 11ln ． 例3 求⎰+-+dx x x x 22)1)(1(22． 解 因为1)1(1)1)(1(2222222++++++-=+-+x E Dx x C Bx x A x x x ， 两端去分母得)1)(1)(()1)(()1(22222+-++-+++=+x x E Dx x C Bx x A x234)2()()(x B E D A x D E x D A +-++-++=)()(C E A x C B E D --++-+-+．两端比较系数得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=+-+-=+-+=-=+220200C E A C B ED BE D A D E D A ，解方程组得1=A ，2-=B ，0=C ，1-=D ，1-=E ，故dx x x x x x dx x x x )11)1(211()1)(1(2222222⎰⎰++-+--=+-+ dx x x dx x x dx x ⎰⎰⎰++-+--=11)1(211222C x x x x +-+-++-=arctan )1ln(21111ln 22 C x x x x +-+++-=arctan 1111ln22． 例4 求⎰+-+dx x x x 6532． 解 因为32)3)(2(36532-+-=--+=+-+x B x A x x x x x x ，两端去分母得 )2()3(3-+-=+x B x A x ． 令2=x ，得5-=A ；令3=x ，得6=B ．于是Cx x dx x x dx x x x +---=---=+-+⎰⎰2ln 53ln 6)2536(6532C x x +--=56)2()3(ln ． 从理论上讲，多项式)(x Q 总可以在实数围分解成一次因式和二次质因式的乘积，从而把有理函数)()(x Q x P 分解为多项式与四类简单分式之和，而简单分式都可以积出．所以，任何有理函数的原函数都是初等函数．但我们同时也应该注意到，在具体使用此方法时会遇到困难．首先，用待定系数法求待定系数时，计算比较繁琐；其次，当分母的次数比较高时，因式分解相当困难．因此，在解题时要灵活使用各种方法．例5 求dx x x x x x ⎰+++++12232． 解dx x dx x dx x x x x dx x x x x x ⎰⎰⎰⎰+++=+++++=+++++1111)1)(1()1()1(12222232C x x +++=arctan 1ln ．例6 求dx x x x x ⎰+-+-)54)(44(122 ．解 dx x x x x x x x x dx x x x x ⎰⎰+-+-+--+-=+-+-)54)(44()44()54()54)(44(1222222dx x x dx x x ⎰⎰+--+-=54144122 ⎰⎰-+----=)2(1)2(1)2()2(122x d x x d xC x x +----=)2arctan(21．例7 求dx x ⎰+114． 解⎰⎰⎰+--++=+dx x x dx x x dx x 112111211142424dx x x x dx x x x ⎰⎰+--++=2222221112111121 )1(2)1(121)1(2)1(12122xx d xx x x d x x +-+--+-=⎰⎰C x x x x x x ++++---=1212ln 24121arctan 221222．二、三角函数有理式的积分由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数称为三角函数有理式．因为所有三角函数都可以表示为x sin 和x cos 的有理函数，所以，下面只讨论)cos ,(sin x x R 型函数的不定积分．由三角学知道，x sin 和x cos 都可以用2tan x 的有理式表示，因此，作变量代换2tan x u =，则222122tan12tan22sec 2tan22cos 2sin 2sin u u x xx x x x x +=+===, 22222222112tan 12tan 12sec 2tan 12sin 2cos cos u u x xx x x x x +-=+-=-=-=． 又由u x arctan 2=，得du u dx 212+=，于是 ⎰⎰++-+=du u u u u u R dx x x R 222212)11,12()cos ,(sin ． 由此可见，在任何情况下，变换2tan x u =都可以把积分dx x x R )cos ,(sin ⎰有理化．所以，称变换2tan x u =为万能代换．例8 求dx xx ⎰++cos sin 11． 解 设2tan x u =，则du u du u u u u u dx x x ⎰⎰⎰+=+⋅+-+++=++1112111211cos sin 112222C xC u ++=++=2tan1ln 1ln ． 例9 求dx xx ⎰-+cos 1sin 1．解 设2tan x u =，则du u u u u du u u u u u dx xx ⎰⎰⎰+++=+⋅+--++=-+)1(2)1(12111121cos 1sin 12222222du u u du u ⎰⎰++=)1(2122du u u u u du u ⎰⎰+-++=)1()1(212222⎰⎰⎰+-+=du u u du u du u 2212121C u u u ++-+-=)1ln(ln 212 C x x x +--=)2ln(sec 2cot 2tan ln 22．虽然利用代换2tan x u =可以把三角函数有理式的积分化为有理函数的积分，但是，经代换后得出的有理函数积分一般比较麻烦．因此，这种代换不一定是最简捷的代换．例10 求dx xx ⎰+sin 1sin ． 解 dx x x x dx xx x dx x x ⎰⎰⎰-=--=+222cos sin sin sin 1)sin 1(sin sin 1sin dx xx dx x x ⎰⎰--=222cos cos 1cos sin ⎰⎰⎰+--=dx dx x x d x 22cos 1cos cos 1C x x x ++-=tan cos 1． 例11 求dx x ⎰+2cos 311． 解x d x dx x x dx xtan 4tan 13sec sec cos 3112222⎰⎰⎰+=+=+ C x +=)2tan arctan(21．三、简单无理函数的积分（一）),(nb ax x R +型函数的积分),(u x R 表示x 和u 两个变量的有理式．其中a ，b 为常数．对于这种类型函数的积分，作变量代换u b ax n=+，则a b u x n -=，du anu dx n 1-=，于是 du a nuu a b u R dx b ax x R n n n 1),(),(-⋅-=+⎰⎰ ． （5）（5）式右端是一个有理函数的积分．例12 求⎰++dx x 3211． 解 令u x =+32，则23-=u x ，du u dx 23=，于是⎰⎰⎰++-=+=++du u u du u u dx x 111313211223 C u u u du u u +++-=++-=⎰)1ln 2(3)111(32C x x x +++++-+=333221ln 323)2(23．例13 求dx xx ⎰+31．解 为了同时去掉被积函数中的两个根式，取3和2的最小公倍数6，并作变量代换u x =6，则6u x =，du u dx 56=，23u x =，3u x =，于是du u u du u u dx xx⎰⎰⎰+=+=+1616128283u d uu u u ⎰++-+-=)111(62246 C u u u u u ++-+-=arctan 6625676357 C x x x x x x ++-+-=66656arctan 6625676．（二）),(ndcx b ax x R ++型函数的积分 这里),(u x R 仍然表示x 和u 两个变量的有理式．其中d c b a ,,,为常数．对于这种类型函数的不定积分，作变量代换u d cx b ax n=++，则nn cu a b du x --=，du cu a bc ad nu dx n n 21)()(--=-，于是du cu a bc ad nu u cu a b du R dx d cx b ax x R n n n nn21)()(),(),(--⋅--=++-⎰⎰． （6） （6）式右端是一个有理函数的积分．例14 求dx xx x ⎰+11． 解 令u x x =+1, 则112-=u x ，du u u dx 22)1(2--=，于是 duu u du u u du u u u u dx x x x ⎰⎰⎰⎰-+--=--=--⋅-=+111212)1(2)1(112222222C u u u du u ++---=-+-=⎰11ln 2)111(22C u u u +--++-=1ln )1ln(222 C x x xx x++++++-=ln )11ln(212．例15 求dx x x ⎰-+342)1()1(1．解 ⎰⎰+--+=-+dx x x x x dx x x 334211)1)(1(1)1()1(1，令ux x =+-311，则311u x x =+-，3311u u x -+=，du u u dx 232)1(6-=， 于是du u dx x x x dx x x ⎰⎰⎰=+--=-+23234212311)1(1)1()1(1C x x C u +-+-=+-=3112323．。
几种特殊类型函数的积分
2
．
解 设 3 x 2 u ．于是xu22，dx3u2d u ，从而
1
dx 3x
2
1
1 u
·3u2d u
3
u2 1
1du u
3 (u
1 1 )du 1 u
3(
u2 2
uln|1u|)C
3 3 (x 2)2 33 x 2 ln |1 3 x 2 | +C． 2
练习
求积分：
(1)
2
dx cos
an bm
其中m和n都 是非负整数；a0 ，a1 ，a2 ，… ，an 及b0 ，b1 ，b2
，… ，bm都是实数，并且a00，b00．当n<m时，称这有理函数
是真分式；而当nm时，称这有理函数是假分式．假分式总可以
化成一个多项式与一个真分式之和的形式．例如
x3 x 1 x2 1
x
1 x2 1
．
例2 求
x
2
x
2 2x
3
dx
．
解
x2
x
2
2 x
3
dx
(1 2
x
2x 2 2 2x
3
3
x
2
1 2
x
)dx 3
1 2
x
2x 2 2 2x
dx 3
3
x
2
1 2
x
dx 3
1 2
d (x2 2x 3) x2 2x 3
3
d (x 1) (x 1)2 ( 2)2
1 ln(x2 2x 3) 3 arctan x 1 C ．
2
dx.
解
x2
3x 1 3x
几种特殊类型函数的积分
x 2 tan 2
2u 1 u
2 du dx 1 u
2
2
1 u 1 u
2
2
2
2 tan
万能代换
sin x dx. 例7. 求(1) 1 sin x
1 dx. (2) 3 cos x
利用万能公式处理比较复杂，更多地是利 用三角恒等式化简被积函数
1 dx. 例8. 求 2 sec x sin x tan x
例5. 求
( x 2 x 2) (2 x 2) dx 解: 原式 2 2 ( x 2 x 2)
dx d( x 2 2 x 2) 2 2 ( x 1) 1 ( x 2 x 2) 2
2
1 arctan(x 1) 2 C x 2x 2
( m n)
例9. 求
和差化积公式
解:
1 1 ∴原式 = sin 4 x dx sin 2 x d x 2 2 1 1 sin 4 x d(4 x) sin 2 x d(2 x) 4 8
1 sin x cos3x (sin 4 x sin 2 x) 2
解: (1)用赋值法
1 A B C 1 1 1 2 2 x( x 1) x x 1 ( x 1) x x 1 ( x 1) 2
右端通分后比较两端分子得
1 A( x 1)2 Bx( x 1) Cx 令 x=0 得 A=1 令 x=1 得 C=1 令 x=2 得 B=-1
例2. 求 解: 原式 1
4 1 2x 1 dx dx 2 5 1 2x 5 1 x 2 d(1 2 x) 1 2 x dx 1 dx 1 x2 1 x2 5 5 5 1 2x 2 2 1 d ( 1 x ) 1 arctan x ln 1 2 x 5 5 5 1 x2
43某些特殊类型函数的不定积分
x3
x5 x
2
x2
1
2x2 x 2 x3 x 2
由代数学定理: Q(x)=b0(x-a) …(x-b) (x2 +px+q) …(x2+rx+s)
难点: 将有理函数化为最简分式之和.
部分分式分解的步骤： 第一步 对分母 Q(x) 在实系数内作标准分解：
Q(x) (x a1)1 (x as )s (x2 p1x q1)1 (x2 pt x qt )t
则可令 t tan x , 此时,
sin 2
x
1
t2 t
2
,
cos x
1
1 t
2
,
dx
1
d
t t
2
.
(2) 若 R(sin x , cos x) R(sin x , cos x) , 则可令 t cos x .
(3) 若 R(sin x , cos x) R(sin x , cos x) , 则可令 t sin x . (4) 运用三角函数恒等式可将一些三角函数有理式的积分化
sin2 x
dx
(
csc2
x
cos x sin2 x
csc
x
cos sin
x x
)d
x
cot x 1 ln | csc x cot x | ln | sin x | C sin x
1 cos x | 1 cos x | sin x ln sin2 x C .
三、简单无理函数的积分
x
6
. 3
例
1 x( x1)2
A x
(x
B 1)2
C, x1
1 A( x 1)2 Bx Cx( x 1)
几种特殊类型函数的积分
假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式．例如，
x3 x 1 x(x2 1) 1
x
1
．
x2 1
x2 1
x2 1
求真分式的不定积分时，如果分母可因式分解，则先因式分解，然后化成部分分式再积分．
1.1 有理函数的积分
例1
求
x2
x
3 5x
6
dx
．
解 设 x 3 x 3 A B ，则
x ln sec x ln 1 tan x C ．
2
2
2
1.2 三角函数有理式的积分
说明 并非所有三角函数有理式积分计算都要通过变换化为有理函数的积分．例如，
1
cos x sin
x
dx
1
1 sin
x
d(1
sin
x)
ln(1
sin
x)
C
．
高等数学
x2 5x 6 (x 2)(x 3) x 2 x 3
A(x 3) B(x 2) (A B)x 3A 2B x 3 ，
即 A B 1， 3A 2B 3，
解得 A 5 ， B 6 ，所以
x2
x
3 5x
6
dx
5 x2
x
6
3
dx
5
x
1
2
dx
6
x
1
3
dx
5ln | x 2 | 6ln | x 3| C ．
7
7
1.2 三角函数有理式的积分
三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数，其特点是分子 分母都包含三角函数的和差与乘积运算．由于各种三角函数都可以用 sin x 及 cos x 的有理式表 示，故三角函数有理式也就是 sin x ， cos x 的有理式．
高等数学 第4章 第四节 几种特殊类型函数的积分
例
求
1
cos x sin
x
dx
解
1
cos x sin
x
dx
d1 sin x
1 sin x
ln(1 sin x) C
17
三. 简单无理函数的积分：
只讨论R
x, n
ax b
及R x, n
ax b cx d
作代换n ax b t及n ax b t。 cx d
例7
求
x 1 dx x
b dt
t2 a2 n
11
Mt
b
dt
dt
t2 a2 n
t2 a2 n
当 n 1时，如例4。
当 n 1时，
Mx N dx M
1 d t 2 a2 b dt
x2 px q n
2 t2 a2 n
t2 a2 n
M
b dt
2 n 1 t 2 a 2 n1
A
3
B A
1
2B
3
A 5, B 6
法2. （赋值法） x 3 Ax 3 Bx 2
令x 2，得A 5; 令x 3， 得B 6.
x2
x
3 5x
6
x
5
2
x
6
3
3
例1
可分解为
xx 12
1
xx 12
A x
x
B
1
x
C
12
A( x 1)2 Bx( x 1) Cx x( x 1)2
6t 2dt 1 t2
6
1
1
1 t
2
dt
6t arctan t C 6 6 x arctan 6 x C
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1 1)a 2
(x2
x a2 )n1
2n 3 2(n 1)a 2
Jn1.
1
1 x2 a2 x2
J2 (x2 a2 )2 dx a2 (x2 a2 )2 dx
1
1
1
1
a2 [ x2 a2 dx 2 xd( x2 a2 )]
1 a3
arctg
x a
1 2a 2
[(x2
x
第四节 几类特殊类型函数的积分
一、有理函数的积分
有理函数的定义: 两个多项式的商表示的函数.
P( Q(
x) x)
a0 xn b0 x m
a1 x n1 b1 x m1
an1 x bm1 x
an bm
其中m 、n 都是非负整数；a0 , a1 ,, an 及 b0 , b1 ,, bm 都是实数，并且a0 0 ，b0 0 .
(x
1 1)2
1. x1
例3
(1
1 2x)(1
x2
)
1
A 2x
Bx C 1 x2
,
1 A(1 x2 ) (Bx C )(1 2x),
整理得 1 ( A 2B)x2 (B 2C )x C A,
A 2B 0, B 2C 0,
A 4, B 2,C 1,
5
55
(1) 多项式；
(2)
(
x
A a
)n
;
Mx N (3) ( x2 px q)n ;
讨论积分
Mx N ( x2 px q)n dx,
x2
px q x
p 2
q
p2 ,
2
4
(
x
Mx 2 px
N q
)n
dx
令 x pt 2
a2 q p2 , 4
(t2
Mt a2 )n
dt
(t2
x
6
. 3
例2
1 x( x1)2
A x
(x
B 1)2
C, x1
1 A( x 1)2 Bx Cx( x 1)
(1)
代入特殊值来确定系数 A, B,C
取 x 0, A 1 取 x 1, B 1
取 x 2, 并将 A, B 值代入(1) C 1
1 x( x 1)2
1 x
2
2
x
2tg
2,
1 tg 2 x
2
1 tg 2 x
cosx
2
se c2 x
2
1 tg 2 x
2,
1 tg 2 x
2
令 u tg x 2
x 2arctgu （万能置换公式）
sin
x
1
2u u2
,
cos
x
1 1
结论 有理函数的原函数都是初等函数.
1
1 x2 a2 x2
Jn (x2 a2 )n dx a2 (x2 a2 )n dx
1 a2
Jn1
1 2a 2
(x2
x a2 )n
d(x2
a2)
1 a2
Jn1
1 2a 2
[ 1 n1
(x2
x a2 )n1
1
n1
(x2
1 a2 )n1
dx]
Jn
2(n
A C 1,
1
(1 2x)(1
x2
)
1
4
5 2
x
2x 5 1 x2
1 5
.
分解后的部分分式必须是最简分式.
例4
求积分
1 x( x 1)2dx.
解
1 x(x
1)2dx
1 x
(x
1 1)2
1 x
1
dx
1
1
1
dx x
(
x
1)2
dx
x
dx 1
ln x 1 ln( x 1) C. x1
N1 q)
M x N ( x2 px q)
R1 x S1 ( x2 rx s)
R x S ( x2 rx s)
有理函数化为部分分式之和的一般规律：
（1）分母中若有因式 ( x a)k ，则分解后为
(x
A1 a)k
(x
A2 a)k1
Ak , xa
其中A1 , A2 ,, Ak 都是常数. 特殊地：k 1, 分解后为 A ;
N px
q
;
真分式化为部分分式之和的待定系数法
例1
x
2
x
3 5x
6
(
x
x 2)(
3 x
3)
A x2
B, x3
x 3 A( x 3) B( x 2),
x 3 ( A B)x (3A 2B),
A (3
B A
1, 2B)
3,
A B
5 ,
6
x2
x3 5x
6
5 x2
假定分子与分母之间没有公因式
(1) n m, 这有理函数是真分式；
(2) n m, 这有理函数是假分式；
利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式 和一个真分式之和.
x3
x5 x
2
x2
1
2x2 x 2 x3 x 2
由代数学定理: Q(x)=b0(x-a) …(x-b) (x2 +px+q) …(x2+rx+s)
b a2 )n
dt
b N Mp , 2
(1)
n 1,
Mx N x2 px
q
dx
M ln( x2 px q) b arctan
x
p 2
C;
2
a
a
(2) n 1,
(
x
Mx 2 px
N q)n
dx
2(n
M 1)(t 2
a 2 )n1
b
(t
2
1 a2
)n
dt .
这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数.
1
例5 求积分 (1 2x)(1 x2 ) dx.
解
(1
1 2 x )(1
x2
)
dx
1
4
5 2x
dx
2x 5 1 x2
1 5dx
2 5
ln(1
2
x)
1 5
1
2
x x2
dx
1 5
1
1 x
2dx
2 ln(1 2x) 1 ln(1 x2 ) 1 arctan x C.
5
5
5
说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出 现三类情况：
a2
)
(x2
1
a2)
dx]
1 2a 2
(x2
x
a2)
1 2a 3
arctg x a
C
二、三角函数有理式的积分
三角有理式的定义：
由三角函数和常数经过有限次四则运算
构成的函数称之．一般记为 R(sin x,cos x)
sin x 2sin x cos x 22
x 2tg 2 se c2 x
2
cos x cos2 x sin2 x ,
xa
（2）分母中若有因式 ( x2 px q)k ，其中 p2 4q 0 则分解后为
M1x ( x2 px
N1 q)k
M2x N2 ( x2 px q)k1
Mk x Nk x2 px q
其中Mi , N i 都是常数(i 1,2,, k).
特殊地：k
1,
分解后为
x
Mx 2
难点 将有理函数化为最简分式之和.
设
P( Q(
x) x)
a0 xn b0 xm
a1 xn1 b1 xm 1
an1x an bm1 x bm
是真分式.
P(x) Q( x)
(x
A1 a)
(x
A2 a)1
A (x a)
(x
B1 b)
(x
B2 b)1
B (x b)
M1x ( x2 px