几类特殊类型函数的积分

a2
)
(x2
1
a2)
dx]
1 2a 2
(x2
x
a2)
1 2a 3
arctg x a
C
二、三角函数有理式的积分
三角有理式的定义：
由三角函数和常数经过有限次四则运算
构成的函数称之．一般记为 R(sin x,cos x)
sin x 2sin x cos x 22
x 2tg 2 se c2 x
2
cos x cos2 x sin2 x ,
2
2
x
2tg
2,
1 tg 2 x
2
1 tg 2 x
cosx
2
se c2 x
2
1 tg 2 x
2,
1 tg 2 x
2
令 u tg x 2
x 2arctgu （万能置换公式）
sin
x
1
2u u2
,
cos
x
1 1
A C 1,
1
(1 2x)(1
x2
)
1
4
5 2
x
2x 5 1 x2
1 5
.
分解后的部分分式必须是最简分式.
例4
求积分
1 x( x 1)2dx.
解
1 x(x
1)2dx
1 x
(x
1 1)2
1 x
1
dx
1
1
1
dx x
(
x
1)2
dx
x
dx 1
ln x 1 ln( x 1) C. x1
假定分子与分母之间没有公因式
(1) n m, 这有理函数是真分式；
(2) n m, 这有理函数是假分式；
利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式 和一个真分式之和.
x3
x5 x
2
x2
1
2x2 x 2 x3 x 2
由代数学定理: Q(x)=b0(x-a) …(x-b) (x2 +px+q) …(x2+rx+s)
难点 将有理函数化为最简分式之和.
设
P( Q(
x) x)
a0 xn b0 xm
a1 xn1 b1 xm 1
an1x an bm1 x bm
是真分式.
P(x) Q( x)
(x
A1 a)
(x
A2 a)1
A (x a)
(x
B1 b)
(x
B2 b)1
B (x b)
M1x ( x2 px
N px
q
;
真分式化为部分分式之和的待定系数法
例1
x
2
x
3 5x
6
(
x
x 2)(
3 x
3)
A x2
B, x3
x 3 A( x 3) B( x 2),
x 3 ( A B)x (3A 2B),
A (3
B A
1, 2B)
3,
A B
5 ,
6
x2
x3 5x
6
5 x2
结论 有理函数的原函数都是初等函数.
1
1 x2 a2 x2
Jn (x2 a2 )n dx a2 (x2 a2 )n dx
1 a2
Jn1
1 2a 2
(x2
x a2 )n
d(x2
a2)
1 a2
Jn1
1 2a 2
[ 1 n1
(x2
x a2 )n1
1
n1
(x2
1 a2 )n1
dx]
Jn
2(n
b a2 )n
dt
b N Mp , 2
(1)
n 1,
Mx N x2 px
q
dx
M ln( x2 px q) b arctan
x
p 2
C;
2
a
a
(2) n 1,
(
x
Mx 2 px
N q)n
dx
2(n
M 1)(t 2
a 2 )n1
b
(t
2
1 a2
)n
dt .
这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数.
(1) 多项式；
(2)
(
x
A a
)n
;
Mx N (3) ( x2 px q)n ;
讨论积分
Mx N ( x2 px q)n dx,
x2
px q x
p 2
q
p2 ,
2
4
(
x
Mx 2 px
N q
)n
dx
令 x pt 2
a2 q p2 , 4
(t2
Mt a2 )n
dt
(t2
1 1)a 2
(x2
x a2 )n1
2n 3 2(n 1)a 2
Jn1.
1
1 x2 a2 x2
J2 (x2 a2 )2 dx a2 (x2 a2 )2 dx
1
1
1
1百度文库
a2 [ x2 a2 dx 2 xd( x2 a2 )]
1 a3
arctg
x a
1 2a 2
[(x2
x
1
例5 求积分 (1 2x)(1 x2 ) dx.
解
(1
1 2 x )(1
x2
)
dx
1
4
5 2x
dx
2x 5 1 x2
1 5dx
2 5
ln(1
2
x)
1 5
1
2
x x2
dx
1 5
1
1 x
2dx
2 ln(1 2x) 1 ln(1 x2 ) 1 arctan x C.
5
5
5
说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出 现三类情况：
xa
（2）分母中若有因式 ( x2 px q)k ，其中 p2 4q 0 则分解后为
M1x ( x2 px
N1 q)k
M2x N2 ( x2 px q)k1
Mk x Nk x2 px q
其中Mi , N i 都是常数(i 1,2,, k).
特殊地：k
1,
分解后为
x
Mx 2
(x
1 1)2
1. x1
例3
(1
1 2x)(1
x2
)
1
A 2x
Bx C 1 x2
,
1 A(1 x2 ) (Bx C )(1 2x),
整理得 1 ( A 2B)x2 (B 2C )x C A,
A 2B 0, B 2C 0,
A 4, B 2,C 1,
5
55
N1 q)
M x N ( x2 px q)
R1 x S1 ( x2 rx s)
R x S ( x2 rx s)
有理函数化为部分分式之和的一般规律：
（1）分母中若有因式 ( x a)k ，则分解后为
(x
A1 a)k
(x
A2 a)k1
Ak , xa
其中A1 , A2 ,, Ak 都是常数. 特殊地：k 1, 分解后为 A ;
第四节 几类特殊类型函数的积分
一、有理函数的积分
有理函数的定义: 两个多项式的商表示的函数.
P( Q(
x) x)
a0 xn b0 x m
a1 x n1 b1 x m1
an1 x bm1 x
an bm
其中m 、n 都是非负整数；a0 , a1 ,, an 及 b0 , b1 ,, bm 都是实数，并且a0 0 ，b0 0 .
x
6
. 3
例2
1 x( x1)2
A x
(x
B 1)2
C, x1
1 A( x 1)2 Bx Cx( x 1)
(1)
代入特殊值来确定系数 A, B,C
取 x 0, A 1 取 x 1, B 1
取 x 2, 并将 A, B 值代入(1) C 1
1 x( x 1)2
1 x