两点间的距离 说课稿 教案 教学设计
《两点间的距离》(教案)-2024-2025学年浙教版小学数学四年级上册
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一、核心素养目标
1. 空间观念
- 学生能够通过观察、操作等活动,理解两点间距离的概念,在脑海中构建起两点间线段最短的空间表象,体会空间与图形之间的联系。
- 例如,在探究从 A 点到 B 点的不同路径时,能想象出线段 AB 是最短的路径,培养对空间的感知和理解能力。
2. 逻辑推理
- 经历探究两点间距离的过程,能根据已知条件进行简单的逻辑推理,如证明为什么两点间线段最短。
- 像在比较折线和线段连接两点的长度时,通过推理得出线段最短的结论。
3. 数学建模
- 能够将生活中的实际问题抽象为两点间距离的数学模型,如在规划最短路线等问题时,用两点间距离的知识来解决。
- 例如,把校园中两个建筑物之间的最短路径问题建模为两点间距离问题,运用所学知识求解。
- 设计意图:通过拓展练习,提高学生的逻辑思维能力和知识迁移能力,让学生能够灵活运用所学知识解决不同类型的问题。
6. 课堂总结
- 引导学生回顾本节课所学的两点间距离的概念和两点之间线段最短的性质,以及在生活中的应用。
- 让学生分享自己在本节课中的收获和遇到的问题。
- 设计意图:通过课堂总结,帮助学生梳理所学知识,加深记忆,同时让学生对自己的学习情况进行反思。
- 让学生在自己的白纸上画出两点,并用线段连接,测量线段的长度,同桌之间互相交流。
- 设计意图:通过直观的实物演示和学生自己动手操作,让学生亲身感受两点间距离就是连接两点的线段的长度,从直观到抽象逐步理解概念。
3. 探究两点之间线段最短
- 在黑板上画出两点 C 和 D,然后用不同形状的线(如折线、曲线等)连接这两1. 教学重点
第四单元 第2课时 认识两点间距离(说课稿)-2022-2023学年四年级数学上册同步备课(冀教版)
第四单元第2课时认识两点间距离(Word说课稿)一、教学目标1.能够认识直线及两点之间的距离的概念与计算方法。
2.能够运用所学知识进行实际计算。
3.能够掌握测量长度的基本方法,并正确使用尺子进行测量。
二、教学重难点1.直线和两点之间的距离的概念与计算方法。
2.测量长度的基本方法,正确使用尺子进行测量。
三、教学内容与教法(一)认识直线与两点之间的距离1.通过画图展示直线和两点的概念,并与学生进行互动交流,让学生自行发现并总结出直线和两点之间距离的定义。
2.通过让学生观察实物并进行测量,让学生了解直线和两点之间距离的含义,并通过发现实例推广到日常生活中,活化课堂。
(二)直线和两点之间的距离的计算方法1.通过在黑板上画出示例,并配合实物让学生实际操作,让学生掌握直线和两点之间距离的计算方法。
2.通过引导学生思考,让学生学会利用数学式子进行计算,发现其中的规律,并在老师的指导下,理解和掌握计算的技巧和方法。
(三)测量长度的基本方法及正确使用尺子进行测量1.通过实物展示,让学生掌握测量长度的方法,并演示正确使用尺子进行测量。
2.引导学生注意尺子的放置和读数的方法,让学生掌握正确测量长度的技能。
四、教学过程1.导入(5分钟)教师通过互动方式导入直线和两点间距离的概念,让学生了解直线和两点距离的含义,并在实例中进行探究和引导。
2.认识直线与两点之间的距离(10分钟)教师通过讲解概念和实物示范,帮助学生掌握直线和两点之间距离的含义。
3.直线和两点之间的距离的计算方法(15分钟)教师通过示范实例,让学生理解并掌握直线和两点之间距离的计算方法。
4.测量长度的基本方法及正确使用尺子进行测量(20分钟)教师通过实物展示和掌握技巧指导,帮助学生学会测量长度的基本方法,并掌握正确使用尺子进行测量的技能。
5.练习(15分钟)老师出一些练习题,让学生运用所学知识进行实际计算,并手把手帮助学生解答题目,帮助学生巩固所学知识。
6.总结(5分钟)老师对本节课的知识点进行总结,并引导学生思考,提高学生的思维和创造力。
”两点间的距离“说课读稿
“两点间的距离”说课稿(读稿)尊敬的各位评委、老师:大家好!我叫王云丽,来自湘潭市工贸学校。
今天跟大家展示的说课课题是“两点间的距离”。
(PPT)我将从教材内容、教学策略、教学过程、教学反思四个部分进行阐述。
一、教材内容本课题选自《数学基础模块(下册)》第八章第一节,它既是第七章《平面向量》和初中“勾股定理”相关知识的延伸,也是第八章《直线和圆的方程》中点线距离、线线距离、线圆位置关系的基础,具有承上启下的作用,是平面解析几何的一个重要知识点,也是学生学好第八章的一个关键点。
根据教学大纲和教材内容,(PPT)我制订了如下教学目标:知识目标:掌握两点间的距离公式及其运用能力目标:培养学生整合信息及分析与解决问题等能力情感目标:培养学生良好的学习习惯,提高学生的数学素养和职业素养。
(PPT)本节课的教学重点是两点间的距离公式的理解与运用,难点是两点间距离公式的理解。
(PPT)二、教学策略我所教学的对象为中职一年级数控专业的学生,这些学生全部为男生,喜爱电脑和网络;思维灵活,易于接受新鲜事物;但自我控制能力不强。
学生已学过数轴上两点间的距离、勾股定理及平面向量的基本知识,但数学基础比较薄弱,理解与计算能力不强。
而数控专业需要运用数学和信息技术相关知识来解决专业上的相关问题,所以,学好相关课程对数控专业学生来说势在必行。
(PPT)叶圣陶先生曾说过“教是为了不需要教”,掌握获取知识的策略更重要,让学生学会学习。
根据学生特点和教学内容的需要,本节课我采用的教法是:任务驱动法、启发式教学法、讨论演示法;与之对应的学法是:自主学习法、探究学习法、合作学习法。
为了更好地完成教育教学任务,课里课外,我设计了(PPT)从“课前预习精心准备”到“布置作业巩固知识”等八个环节,通过“课前自学’、“课中导学”、“课后助学”这种“翻转式课堂”,使学生化“被动”为“主动”,变“要我学”为“我要学”,充分体验了自主学习、合作学习的快乐,从感性认识提升到理性认识。
四年级数学上册《两点间的距离》教案、教学设计
在教学过程中,教师将引导学生:
1.通过观察、实践、探讨等途径,发现并理解两点间的距离概念。
2.掌握运用工具进行实际测量的方法,培养学生动手操作能力和实际应用能力。
3.通过小组合作、讨论交流等形式,培养学生团队协作能力和解决问题的能力。
4.通过问题导入、案例分析等教学方法,激发学生的探究欲望,培养学生的创新思维。
2.你能想到哪些方法来测量两点间的距离?
3.在计算两点间的距离时,需要注意哪些问题?
4.结合实际生活,举例说明两点间距离的计算方法的应用。
在讨论过程中,教师要密切关注各小组的讨论情况,及时给予指导和帮助。讨论结束后,每组选派一名代表进行汇报,分享本组的研究成果。
(四)课堂练习,500字
课堂练习环节,教师设计具有梯度性的练习题,让学生独立完成。练习题可以分为基础题和提高题,涵盖以下几个方面:
2.学生在测量和计算距离时的方法和技巧,以及他们在实际操作中可能遇到的困难。
3.学生在解决与距离相关的问题时,能否运用所学知识进行推理和分析。
4.学生在情感根据以上学情分析,教师在教学过程中应采取针对性的教学方法,注重启发式教学,激发学生的兴趣和探究欲望,帮助他们克服学习难点,提高数学素养。同时,关注学生的情感需求,营造轻松愉快的学习氛围,使学生在愉快的氛围中掌握知识,发展能力。
三、教学重难点和教学设想
(一)教学重难点
1.理解并掌握两点间的距离计算方法,能够熟练运用到实际问题中。
2.学会在平面直角坐标系中准确地找到两点,并能进行实际距离的测量。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
(二)教学设想
1.创设情境,导入新课
教学开始时,可以通过一个与学生生活相关的问题情境导入新课,例如:“小明的家和小华的家相距多远?”引导学生思考如何用数学方法解决这个问题。
浙教版四年级数学上册8 两点间的距离 优秀教学设计
两点间的距离
【教学目标】
1.理解两点间的距离,知道点的运动及由此带来的线段长度之间的关系。
2.通过活动,培养学生的口头表达能力、初步的观察推理能力和探究问题的能力。
进一步培养学生的发散思维和创新能力。
3.培养学生学习数学的兴趣,扩展学生的视野,感受数学与现实的联系,养成善于和同学合作,共同讨论和探索问题的习惯。
【教学重难点】
理解两点间的距离。
【教学准备】
课件、多媒体、投影仪。
【教学过程】
一、创设情境,引入新课。
课件出示情境图,引导学生思考。
(一)大胆猜测。
(二)小组讨论交流。
(三)说说想法。
(四)教师归纳总结:两点之间线段最短。
(五)体会“距离”和“最短”之间的关系。
二、分类探究,掌握特征。
(一)研究点的运动和线段长度的关系。
提出问题。
学生独立思考,小组合作探究。
全班汇报交流。
教师引导总结,得出结论。
结合探究结论,探索规律。
尝试用规律解决问题。
(二)深入探究点的运动和线段长度的关系。
出示下图:
提出问题:
小组合作探究。
全班汇报交流。
教师指导,师生共同总结规律。
三、巩固练习。
(一)中点的应用,让学生直观感受中垂线定理。
(二)研究到定点距离相等的点的集合。
四、全课小结,应用生活。
本节课你有哪些收获?。
空间两点间的距离公式 说课稿 教案 教学设计
空间两点间的距离公式【教学目标】1.掌握空间两点间的距离公式,会用空间两点间的距离公式解决问题.2.通过探究空间两点间的距离公式,灵活运用公式,初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法,培养类比、迁移和化归的能力.3.通过棱与坐标轴平行的特殊长方体的顶点的坐标,类比平面中两点之间的距离的求法,探索并得出空间两点间的距离公式,充分体会数形结合的思想,培养积极参与、大胆探索的精神.【重点难点】教学重点:空间两点间的距离公式.教学难点:一般情况下,空间两点间的距离公式的推导.【课时安排】1课时【教学过程】导入新课我们知道,数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值,即d=|x 1-x 2|;平面直角坐标系中,两点之间的距离是d=212212)()(y y x x -+-.同学们想,在空间直角坐标系中,两点之间的距离应怎样计算呢?又有什么样的公式呢?因此我们学习空间两点间的距离公式.推进新课新知探究提出问题①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么?它是如何推导的?②设A(x,y,z)是空间任意一点,它到原点的距离是多少?应怎样计算?③给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的依据.④同学们想,在空间直角坐标系中,你猜想空间两点之间的距离应怎样计算?⑤平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示什么图形?在空间中方程x 2+y 2+z 2=r 2表示什么图形?⑥试根据②③推导两点之间的距离公式.活动:学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,大胆猜想,发散思维.①学生回忆学过的数学知识,回想当时的推导过程;②解决这一问题,可以采取转化的方法,转化成我们学习的立体几何知识来解;③首先考虑问题的实际意义,直接度量,显然是不可以的,我们可以转化为立体几何的方法,也就是求长方体的对角线长.④回顾平面直角坐标系中,两点之间的距离公式,可类比猜想相应的公式;⑤学生回忆刚刚学过的知识,大胆类比和猜想;⑥利用③的道理,结合空间直角坐标系和立体几何知识,进行推导.讨论结果:①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,它是利用直角三角形和勾股定理来推导的.图1②如图1,设A(x,y,z)是空间任意一点,过A 作AB ⊥xOy 平面,垂足为B,过B 分别作BD ⊥x 轴,BE ⊥y 轴,垂足分别为D,E.根据坐标的含义知,AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于三角形ABO 、BOD 是直角三角形,所以BO 2=BD 2+OD 2,AO 2=AB 2+BO 2=AB 2+BD 2+OD 2=z 2+x 2+y 2,因此A 到原点的距离是d=222z y x ++.③利用求长方体的对角线长的方法,分别量出这块砖的三条棱长,然后根据对角线长的平方等于三条边长的平方的和来算.④由于平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,是同名坐标的差的平方的和再开方,所以我们猜想,空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-,即在原来的基础上,加上纵坐标差的平方. ⑤平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示以原点为圆心,r 为半径的圆;在空间x 2+y 2+z 2=r 2表示以原点为球心,r 为半径的球面;后者正是前者的推广.图2⑥如图2,设P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离.我们分别过P 1P 2作xOy 平面的垂线,垂足是M,N,则M(x 1,y 1,0),N(x 2,y 2,0),于是可以求出|MN|=212212)()(y y x x -+-.再过点P 1作P 1H ⊥P 2N,垂足为H,则|MP 1|=|z 1|,|NP 2|=|z 2|,所以|HP 2|=|z 2-z 1|.在Rt △P 1HP 2中,|P 1H|=|MN|=212212)()(y y x x -+-,根据勾股定理,得|P 1P 2|=2221||||HP H P +=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.因此空间中点P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)之间的距离为|P 1P 2|=221221221)()()(z z y y x x -+-+-. 于是空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-.它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根.应用示例例1 已知A(3,3,1),B(1,0,5),求:(1)线段AB 的中点坐标和长度;(2)到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件.活动:学生审题,教师引导学生分析解题思路,已知的两点A 、B 都是空间直角坐标系中的点,我们直接利用空间两点间的距离公式求解即可.知识本身不难,但是我们计算的时候必须认真,决不能因为粗心导致结果错误.解:(1)设M(x,y,z)是线段AB 的中点,则根据中点坐标公式得 x=213+=2,y=203+=23,z=215+=3.所以AB 的中点坐标为(2,23,3). 根据两点间距离公式,得 d(A,B)=29)15()30()31(222=-+-+-,所以AB 的长度为29.(2)因为点P(x,y,z)到A,B 的距离相等,所以有下面等式:222222)5()0()1()1()3()3(-+-+-=-+-+-z y x z y x .化简得4x+6y-8z+7=0,因此,到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件是4x+6y-8z+7=0. 点评:通过本题我们可以得出以下两点:①空间两点连成的线段中点坐标公式和两点间的距离公式是平面上中点坐标公式和两点间的距离公式的推广,而平面上中点坐标公式和两点间的距离公式又可看成空间中点坐标公式和两点间的距离公式的特例.②到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)构成的集合就是线段AB 的中垂面.变式训练在z 轴上求一点M,使点M 到点A(1,0,2),B(1,-3,1)的距离相等.解:设M(0,0,z),由题意得|MA|=|MB|,2222222)1()30()30()10()2()00()10(-+++++-=++-+-z z ,整理并化简,得z=-3,所以M(0,0,-3).例2 证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的△ABC 是一等腰三角形.活动:学生审题,教师引导学生分析解题思路,证明△ABC 是一等腰三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,根据边长来确定.证明:由两点间距离公式得: |AB|=,72)12()31()47(222=-+-+- |BC|=6)23()12()75(222=-+-+-, |CA|=6)31()23()54(222=-+-+-.由于|BC|=|CA|=6,所以△ABC 是一等腰三角形.点评:判断三角形的形状一般是根据边长来实现的,因此解决问题的关键是通过两点间的距离公式求出边长.变式训练三角形△ABC 的三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),试证明△ABC 是一直角三角形.活动:学生先思考或交流,然后解答,教师及时提示引导,要判定△ABC 是一直角三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,利用勾股定理的逆定理来判定.解:因为三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),所以 |AB|=222)13()12()11(+-++-++=3, |BC|=23)15()10()10(222=+-++++, |CA|=222)53()02()01(+-+--+-=3.又因为|AB|2+|CA|2=|BC|2,所以△ABC 是直角三角形.例3 已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),则|AB|的最小值为( )A.0B.735C.75D.78活动:学生阅读题目,思考解决问题的方法,教师提示,要求|AB|的最小值,首先我们需要根据空间两点间的距离公式表示出|AB|,然后再根据一元二次方程求最值的方法得出|AB|的最小值.解析:|AB|=222)33()23()1(-+-+-x x x=1932142+-x x =73575)78(142≥+-x . 当x=78时,|AB|的最小值为735. 故正确选项为B.答案:B点评:利用空间两点间的距离公式转化为关于x 的二次函数求最值是常用的方法. 拓展提升已知三棱锥P —ABC(如图4),PA ⊥平面ABC,在某个空间直角坐标系中,B(3m,m,0),C(0,2m,0),P(0,0,2n),画出这个空间直角坐标系并求出直线AB 与x 轴所成的较小的角.图3解:根据已知条件,画空间直角坐标系如图3:以射线AC 为y 轴正方向,射线AP 为z 轴正方向,A 为坐标原点建立空间直角坐标系O —xyz,过点B 作BE ⊥Ox,垂足为E,∵B(3m,m,0),∴E(3m,0,0).在Rt △AEB 中,∠AEB=90°,|AE|=3m,|EB|=m,∴tan ∠BAE=mm AE EB 3||||==33.∴∠BAE=30°, 即直线AB 与x 轴所成的较小的角为30°.课堂小结。
小学四年级数学《两点间的距离》说课稿及教学教案设计模板
小学数学《两点间的距离》说课稿及教学教案设计模板小学数学《两点间的距离》说课稿模板说课就是教师口头表述具体课题的教学设想及其理论依据,也就是授课教师在备课的基础上,面对同行或教研人员,讲述自己的教学设计,然后由听者评说,达到互相交流,共同提高的目的的一种教学研究和师资培训的活动。
所以说课稿本身没有太多要求,更多的是对说课者在口述过程中的思路和条理要求比较更多一些。
尊敬的各位评委、各位老师:一、教材与学情分析1.地位与作用点是组成空间几何体最基本的元素之一,两点间的距离也是最简单的一种距离。
本章是用坐标法研究平面中的直线,而点又是确定直线位置的几何要素之一。
对本节的研究,为点到直线的距离公式、两条平行直线的距离公式的推导以及后面空间中两点间距离的进一步学习,奠定了基础,具有重要作用。
2.学情分析(1)知识与能力:在上一节,学生已经在平面直角坐标系中建立了各种形式的直线方程,对坐标法解决几何问题有了初步的认识。
(2)学生实际:我校学生实际是基础扎实、思维活跃,但抽象思维的能力比较欠缺,所以需要老师循序渐进的引导。
二、目标分析1.教学目标根据新课程标准的理念,以及上述教材结构与内容的分析,考虑到学生已有的知识结构及心理特征,制定如下三维教学目标:【知识与技能】(直接性目标)(1)让学生理解平面内两点间的距离公式的推导过程,掌握两点间距离公式及其简单应用,会用坐标法证明一些简单的几何问题;(2)通过由特殊到一般的归纳,培养学生探索问题的能力。
【过程与方法】(发展性目标)(1)利用勾股定理推导出两点间的距离公式,并由此用坐标法推证其它问题。
通过推导公式方法的发现,培养学生观察发现、分析归纳、抽象概括、数学表达等基本数学思维能力;(2)在推导过程中,渗透数形结合的数学思想。
【情感态度价值观】(可持续性目标)培养学生思维的严密性和条理性,同时感受数学的形式美与简洁美,从而激发学生学习兴趣。
2.教学重点、难点根据教学目标,应有一个让学生参与实践——探索发现——总结归纳的探索认知过程。
3.3.2两点间的距离(教学设计)
3.3.2两点间的距离(教学设计)教学目标1.知识与技能掌握直角坐标系两点间距离,用坐标法证明简单的几何问题。
2. 过程和方法通过两点间距离公式的推导,能更充分体会数形结合的优越性。
3.情感、态度和价值观体会事物之间的内在联系,能用代数方法解决几何问题教学重点,难点:重点:两点间距离公式的推导.难点:应用两点间距离公式证明几何问题。
教学过程:(一)创设情景,导入新课设问1:回忆数轴上两点间的距离公式,同学们能否用以前所学的知识来解决以下问题.已知平面上两点P 1(x 1,y 1)和P 2(x 2,y 2),如何求点P 1和P 2间的距离|P 1P 2|?(二)师生互动,探究新知在平面直角坐标系中两点,分别向x 轴和y 轴作垂线,垂足分别为()()112200N y M x ,,,直线12PN N 12与P 相交于点Q.在直角∆ABC 中,2221212PP PQ QP =+,为了计算其长度,过点1P 向x 轴作垂线,垂足为 ()110M x , 过点2p 向y 轴作垂线,垂足为()220N y , ,于是有2222221212121221PQ M M x x QP N N y y ==-==-, 所以,2221212PP PQ QP =+=222121x x y y -+-。
由此得到两点间的距离公式21221221)()(||y y x x p p -+-=在教学过程中,可以提出问题让学生自己思考,教师提示,根据勾股定理,不难得到。
(三)概念辨析,巩固提高.例1(课本P105例3):以知点A (-1,2),B (2,在x 轴上求一点,使 PA PB =,并求 PA 的值。
解:设所求点P (x ,0),于是有=由 PA PB =得 2225411x x x x ++=-+解得 x=1.所以,所求点P (1,0)且 PA ==变式训练1:(课本P106练习NO :1;2)例2(课本P105例4) 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
《两点间的距离》教学设计
《两点间的距离》教学设计一、教学目标1、 知识目标探索并掌握两点间的距离公式的发生、发展过程。
利用坐标法证明简单的平面几何问题。
2、 能力目标掌握渗透于本节课中的数形结合思想、由特殊到一般的思想。
培养学生探索能力、研究能力、表达能力、团结协作能力。
3、 情感目标探索过程中体验与他人合作的重要性、感受发现所带来的快乐。
体验由特殊到一般、由感性认识上升到理性认识的基本规律。
二、教学重点和难点重点:两点间的距离公式及公式的推导过程。
难点:用坐标法证明简单的平面几何问题,本节课中的例4是教学中的难点。
三、教学基本流程四、教学情景设计 (一)提出问题已知:平面上两点()111,y x p ,()2212,y x p ,怎样求两点1p ,2p 间的距离? (二)探究两点间的距离公式思考题1、如图(1),求两点A (—2,0),B (3,0)间的距离学生能很快地寻找出解决办法即:5)2(3=--=AB提出 问题 师生共同探究两点间的距离公式 合作完成例题 对例4进一步的探 究小结、布置作业 A1 1 223 3 -1 -1 -2-2o• •By xAA' 112 233 -1 -1 -2-2o •• B•y x(图1) (图2)思考题2、将图(1)中的A 点移到第二象限()2,2'-A 处。
如何求'A 、B 间的距离?学生可能想到连结A A ',构造出一个直角△AB A ',利用勾股定理求B A '∵AB =5,A A '=2,∴29''22=+=A A AB B A思考题3、将图(2)中的B 点移到第三象限()2,3'-B 处。
怎样求','B A 间的距离?从思考题2中能得到启发,利用勾股定理。
让学生在图(3)中构造出一个直角△C B A ''∵4'=C A ,5'=C B ,∴41''''22=+=CB C A B A 。
3.3.2两点间距离教案两点间的距离公式教案
3.3.2两点间距离教案两点间的距离公式教案张喜林制§3.3.2两点间的距离【教学目标】1.掌握直角坐标系两点间距离,用坐标法证明简单的几何问题. 2.通过两点间距离公式的推导,能更充分体会数形结合的优越性. 3.体会事物之间的内在联系,能用代数方法解决几何问题.【重点难点】教学重点:①平面内两点间的距离公式. ②如何建立适当的直角坐标系.教学难点:如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题. 【教学过程】一、导入新课、展示目标问题已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|?二、检查预习、交流展示核对课前预习中的答案。
1、(1,0);2、1并说出自己的疑惑处。
三、合作探究、精讲精练探究一平面内两点间的距离公式问题(1)如果A、B是x轴上两点,C、D是y轴上两点,它们的坐标分别是xA、xB、yC、yD,那么|AB|、|CD|怎样求?(2)求B(3,4)到原点的距离.(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),求|AB|.教师①如果A、B是x轴上两点,C、D是y轴上两点,它们坐标分别是xA、xB、yC、yD,那么|AB|、|CD|怎样求?②求点B(3,4)到原点的距离. ③已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|. ④同学们已知道两点的距离公式,请大家回忆一下我们怎样知道的(回忆过程). 学生回答①|AB|=|xB-xA|,|CD|=|yC-yD|. ②通过画简图,发现一个Rt△BMO,应用勾股定理得到点B到原点的距离是5. ③图1在直角坐标系中,已知两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),如图1,从P1 、P2分别向x轴和y轴作垂线P1M1、P1N1和P2M2、P2N2,垂足分别为M1(x1,0)、N1(0,y1)、M2(x2,0)、N2(0,y2),其中直线P1N1和P2M2相交于点Q. 在Rt△P1QP2中,|P1P2|2=|P1Q|2+|QP2|2.因为|P1Q|=|M1M2|=|x2-x1|,|QP2|=|N1N2|=|y2-y1|,所以|P1P2|2=|x2-x1|2+|y2-y1|2.22由此得到两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式:|P1P2|=(x2x1) (y2y1)教师④(a)我们先计算在x轴和y轴两点间的距离.(b)又问了B(3,4)到原点的距离,发现了直角三角形. (c)猜想了任意两点间距离公式.(d)最后求平面上任意两点间的距离公式.这种由特殊到一般,由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定理到推导公式、证明定理经常应用的方法.同学们在做数学题时可以采用!应用示例例1 如图2,有一线段的长度是13,它的一个端点是A(-4,8),另一个端点B的纵坐标是3,求这个端点的横坐标.图2解:设B(x,3),根据|AB|=13,即(x+4)2+(3-8)2=132,解得x=8或x=-16.点评:学生先找点,有可能找不全,丢掉点,而用代数解比较全面.也可以引至到A(-4,8)点距离等于13的点的轨迹(或集合)是以A点为圆心、13为半径的圆上与y=3的交点,应交出两个点.变式训练1课本106页练习第一题例2 已知点A(-1,2),B(2,在x轴上求一点,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值. 解:设所求点P(x,0),于是有(x1)(02) 由|PA|=|PB|,得x2+2x+5=x2-4x+11,解得x=1.22即所求点为P(1,0),且|PA|=(11)(02)=22.22(x2)2(07)2.点评:引导学生熟练设点及应用距离公式。
第四单元认识两点间距离第2课时(教学设计)2022-2023学年数学四年级上册-冀教版
第四单元认识两点间距离第2课时(教学设计)一、教学目标1.认识两点间的距离通过学习本课,学生能够初步认识两点间的距离概念,学会如何求解两点间的距离。
2.培养学生的观察能力和计算能力通过练习,让学生能够准确地判断两点的位置和计算两点间的距离,从而提高学生的观察能力和计算能力。
3.培养学生的探究精神和合作意识教育学生在探究的过程中能够积极合作,互帮互助,培养学生的探究精神和合作意识。
二、教学重点与难点教学重点1.认识两点间的距离概念。
2.掌握求解两点间距离的方法。
教学难点求解两点间距离的方法。
三、教学方法1.课前导入:通过与学生的互动交流,激发学生的兴趣,为学习打下基础。
2.讲解教学:通过知识点讲解,培养学生对两点间距离的认识。
3.示范演练:教师对知识点进行演示,并引导学生进行练习,帮助学生理解和掌握知识。
4.巩固训练:让学生进行各种形式的巩固训练,以提高学生的计算能力和观察能力。
5.评价反馈:对学生的学习情况进行反馈,评价学生的学习成果,及时纠正学生的错误。
四、教学内容与过程1.教学内容1.认识两点间的距离概念。
2.掌握求解两点间距离的方法。
2.教学过程2.1 活动一了解知识点1.教师介绍知识点,并对学生进行“口头练习”。
2.学生研读教材上关于两点间距离的概念,并结合教师的讲解进行课堂交流和互动。
2.2 活动二掌握知识点1.学生通过板书实践操作,学习如何测量两点之间的距离。
2.学生分组进行“测量小比赛”,加深对知识点的理解。
2.3 活动三合作探究1.学生通过小组合作探究方法,进行知识点的拓展和提升。
2.学生分组进行两点间距离计算的实践演习,加深对知识点的理解。
2.4 活动四知识运用1.学生完成相应的习题,巩固学习成果。
2.学生通过“点阵绘图”等实际操作,化抽象为具体,掌握知识点的实际应用。
五、板书设计知识点方法两点距离勾股定理两点距离计算立体图形计算六、教学后记本课旨在让学生了解两点间距离的概念和计算方法。
两点间的距离教案共5页
课题:§3.3.2 两点间的距离教学目标:(一)知识与技能目标1、理解直角坐标系中任意两点间的距离;2、掌握两点间距离公式的应用.3、通过两点间距离公式的推导,培养学生探索问题的能力和运用知识的能力;(二)数学思考1、培养学生数学思考的严密性和条理性,体会事物之间的内在联系2、加深对数形结合以及由特殊到一般的思想的认识.(三)解决问题1、初步学会从数学角度提出问题、理解问题,并能运用所学知识与技能解决问题(四)情感目标1、感受数学的形式美和简洁美,从而激发学生的学习兴趣.教学重点:两点间距离公式的理解及应用.教学难点:理解两点间距离公式的推导过程教学方法:探究研讨法,讲练结合法等.教学准备(教具):直尺,彩色粉笔.课型:新授课.教学过程(一)创设情景,引入课题师:我们在初中的时候学过数轴上两点间的距离公式,大家回忆一下怎样求数轴上两点间的距离.问题1:如图,设数轴x上的两点分别为A、B,怎样求AB?生:|AB|=|b-a|.师:那么怎样求直角坐标系中两点间的距离呢?这节课我们就来探讨一下 直角坐标系中两点间的距离的求法.(在黑板上书写课题)(二)探究新知师:首先我们在直角坐标系中给定两点,看看怎样求它们之间的距离.(师生研讨) 请同学们解决以下问题:问题2:如图,在直角坐标系中,点C (4,3),D (4,0),E (0,3)如何求C 、D 间的距离|CD |,C 、E 间的距离|CE |及原点O 与C 的距离|OC |?(让学生思考一分钟,请学生回答)生:|CD |=|3-0|=3 |CE |=|4-0|=4在CDO Rt ∆中,用勾股定理解得:|OC |=2234+=5师:那么,同学们能否用以前所学知识解决以下问题:问题3:对于直角坐标系中的任意两点1P (1x ,1y )、2P (2x ,2y ),如何求1P 、 1P 的距离12PP? 从1P 、2P 这两点的位置来看,我们用以前所学知识很难解决这个问题.师:根据问题2中求原点O 到C 的距离|OC |,构造直角三角形,再用勾股定理计算的方法,我们想求解问题3是不是也可以构造一个直角三角形.如右图,过点1P 分别向轴x 和y 轴作垂线11PM和11PN ,垂足分别为1M (1x ,0)和1N (0,1y ),过点2P 分别向轴x 和y 轴作垂线22P M 和22P N ,垂足为2M (2x ,0)和2N (0,2y ),延长直线11PN 与22P M 相交于点Q .则12PQP ∆是直角三角形。
两点间的距离教案
课 题:§3.3.2 3.3.2 两点间的距离两点间的距离 教学目标:(一)知识与技能目标(一)知识与技能目标1、理解直角坐标系中任意两点间的距离;2、掌握两点间距离公式的应用、掌握两点间距离公式的应用..3、通过两点间距离公式的推导,培养学生探索问题的能力和运用知识的能力; (二)数学思考(二)数学思考1、培养学生数学思考的严密性和条理性,体会事物之间的内在联系2、加深对数形结合以及由特殊到一般的思想的认识、加深对数形结合以及由特殊到一般的思想的认识. . (三)解决问题(三)解决问题1、初步学会从数学角度提出问题、理解问题,并能运用所学知识与技能解决问题 (四)情感目标(四)情感目标1、感受数学的形式美和简洁美,从而激发学生的学习兴趣、感受数学的形式美和简洁美,从而激发学生的学习兴趣..教学重点:两点间距离公式的理解及应用两点间距离公式的理解及应用.. 教学难点:理解两点间距离公式的推导过程理解两点间距离公式的推导过程教学方法:探究研讨法,讲练结合法等探究研讨法,讲练结合法等.. 教学准备(教具):直尺,彩色粉笔直尺,彩色粉笔.. 课 型:新授课 教学过程(一)创设情景,引入课题(一)创设情景,引入课题师:我们在初中的时候学过数轴上两点间的距离公式,大家回忆一下怎样求数轴 上两点间的距离.上两点间的距离.问题1:如图,设数轴x 上的两点分别为A 、B ,怎样求AB ? 生:|AB|=|b-a|.师:那么怎样求直角坐标系中两点间的距离呢?这节课我们就来探讨一下直角坐标系中两点间的距离的求法.(在黑板上书写课题)写课题) (二)探究新知(二)探究新知师:首先我们在直角坐标系中给定两点,看看怎样求它们之间的距离.(师生研讨)(师生研讨) 请同学们解决以下问题:请同学们解决以下问题:问题2:如图,在直角坐标系中,点C (4,34,3)),D (4,0)(4,0),,E (0,30,3))如何求C 、D 间的距离间的距离||CD |,C 、E 间的距离间的距离||CE |及原点O 与C 的距离的距离||OC |? (让学生思考一分钟,请学生回答)(让学生思考一分钟,请学生回答) 生:生:||CD |=|3-0|=3 |CE |=|4-0|=4在CDO Rt D 中,用勾股定理解得:中,用勾股定理解得:||OC |=2234+=5 师:那么,同学们能否用以前所学知识解决以下问题:问题3:对于直角坐标系中的任意两点1P (1x ,1y )、2P (2x ,2y ),如何求1P 、 1P 的距离12PP ?从1P 、2P 这两点的位置来看,我们用以前所学知识很难解决这个问题.很难解决这个问题.师:根据问题2中求原点O 到C 的距离的距离||OC |,构造直角三角形,再用勾股定理计算的方法,我们想求解问题3是不是也可以构造一个直角三角形.是不是也可以构造一个直角三角形.如右图,过点1P 分别向轴x 和y 轴作垂线11P M 和11P N ,垂足分别为1M (1x ,0)和1N (0,1y ),过点2P 分别向轴x 和y 轴作垂线22P M 和22P N ,垂足为2M (2x ,0)和 2N (0,2y ),延长直线11P N 与22P M 相交于点Q .则12PQP D 是直角三角形。
四年级上册数学教案-2.8,两点间的距离丨浙教版四年级数学下册教案
四年级上册数学教案-2.8,两点间的距离丨浙教版四年级数学下册教案两点间的距离教学设计【教材分析】教材首先出示了小明从家到学校的三条路线这一情景图,意在使学生初步感知三条路线中直的那条路最近;待学生初步感知后,教材又从情景图中抽象出数学图形,意在使学生从具体思维转向抽象思维。
【学情分析】四年级的学生虽已具备一定的抽象思维能力,但这种能力仍然较弱。
应从具体思维入手,以给学生适当的过渡。
关于距离,学生在实际生活中已有一定的认知,但是实际生活中的距离和数学概念上的距离又有所不同,教学过程中要注意加以区别。
【重点难点】经历探索两点间距离的过程,掌握距离的定义。
【教学目标】l 使学生经历从具体思维到抽象思维的过程,通过大胆猜测和实际测量,理解两点之间连线的关系。
l 使学生掌握距离的定义,会测量两点的距离。
l 使学生体验数学与日常生活的联系,学会合作,学会交流。
【教学过程】【复习导入】画一条长度为15厘米的线段。
设置的作图题,跟本节课所学内容有关。
在全班同学画线段的过程中,教师巡视找两名同学去黑板上画,进行展示。
对小老师的展示进行表扬。
我们今天再来学习一个与线段有关的知识点——距离。
学生齐读学习目标。
学习目标较容易理解,教师不进行解读。
【看图说话】1、出示教材中的情景图,让学生认真观察,说一说从图中你了解到哪些信息。
学生可能说出如下信息。
(1)图上有小明家和学校。
(2)小明家到学校中间有一个湖,湖上有一座小桥。
(3)小明家到学校有三条路。
中间的小桥是直的比较近,两边沿湖边的小路比较远。
2、教师用课件抽出小明从家到学校的3条路示意图,提出问题:你估计小明去学校走哪条路?为什么?学生可能会有如下发言:小明要赶到学校值日,他会走小桥,因为最近。
小明早晨吃的饱的话,可以绕湖走,既消食,又锻炼身体。
教师肯定大家都有道理,小明去学校走哪条路的时候都有。
但是,如果快迟到了,大家说,他会走哪条路呢?为什么?生:走中间的小桥,因为那条路最近,节约时间。
如何应用两点之间的距离:数学教案
如何应用两点之间的距离:数学教案一、教学目标了解与理解两点之间的距离的概念,并应用到实际问题中。
二、教学内容及教学方法2.1 教学内容(1)两点之间的距离的概念及计算方法。
(2)利用两点之间的距离解决实际问题。
2.2 教学方法(1)讲授与演示相结合。
(2)案例分析与讨论。
(3)习题训练。
2.3 教学重难点(1)理解两点之间的距离的概念。
(2)应用两点之间的距离解决实际问题。
三、教学过程3.1 导入教师先让学生回忆定义和计算两点之间的距离的方法。
3.2 演示教师在黑板上画出两个点A(x1, y1)和B(x2, y2),让学生说出这两个点之间的距离是多少。
教师让学生自己计算两点之间的距离。
通过演示这个例子,让学生了解两点之间的距离的概念。
3.3 案例分析与讨论(1)例子一有两个城市,城市A的坐标是(2, 3),城市B的坐标是(5, 6),求这两个城市之间的距离。
(2)例子二有两个人站在操场上,A站在中心点(0,0)的正东方100米处,B 站在中心点的正南方80米处,求这两个人之间的距离。
将这些问题分解,通过分析和讨论让学生依次完成计算。
3.4 习题训练让学生自己领会两点之间的距离的应用方法,自主完成各种类型的计算题。
四、教学评价本课程将理论与实践结合起来。
教师在讲解过程中,注重引导学生通过实际计算来理解概念。
深化学生对两点之间的距离的认识,提高了学生的数学思维和解决问题的能力。
通过习题训练,学生能熟练地解决各种类型的两点之间距离的计算问题。
教学效果良好。
两点之间的距离教学设计人教版数学七年级上册
(1)小明从家出发去学校,已知家和学校的坐标分别为(2,3)和(6,7),求小明从家到学校的最短距离。
(2)在平面直角坐标系中,有一矩形ABCD,已知A点坐标为(1,2),C点坐标为(5,6),求矩形的对角线AC的长度。
3.提高拓展题:
(1)已知线段AB的两个端点坐标分别为A(0,0)和B(x,y),求线段AB的中点M的坐标。
教师在课后进行教学反思,分析课堂教学中的优点和不足,不断调整和优化教学方法,以提高教学效果。
四、教学内容与过程
(一)导入新课,500字
1.教师通过展示生活中常见的地图、路线图等实例,让学生思考:如何在平面图上表示两地之间的距离?这样做的意义是什么?
2.引导学生回顾已学的几何知识,如线段、直线等,为新课的学习做好铺垫。
(三)情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和热情,激发学生学习数学的积极性。
2.培养学生的合作精神,让学生在合作交流中学会倾听、表达、沟通和分享。
3.培养学生勇于探索、积极思考的良好学习习惯,增强学生的自信心和自主学习能力。
4.通过解决实际问题,让学生感受到数学与生活的紧密联系,体会数学在生活中的应用价值,培养学生的应用意识和创新意识。
二、学情分析
七年级学生正处于从小学到初中的过渡阶段,他们在思维方式、学习方法上都需要进行相应的调整。在数学学习方面,学生已经具备了一定的几何知识和逻辑思维能力,但对于坐标系和距离概念的理解还不够深入。此外,学生在解决实际问题时,可能还缺乏将问题转化为数学模型的能力。因此,在本章节的教学中,教师应关注以下几点:
3.鼓励学生在解决问题时,尝试不同的方法,培养创新意识和解决问题的能力。
4.作业完成后,及时进行自查和互查,发现并纠正错误,提高作业质量。
两点间的距离教案
两点间的距离教案课题:§3.3.2 两点间的距离教学目标:(一)知识目标1、理解直角坐标系中任意两点间的距离;2、掌握两点间距离公式的应用.(二)能力目标1、通过两点间距离公式的推导,培养学生探索问题的能力和运用知识的能力;2、加深对数形结合以及由特殊到一般的思想的认识.(三)情感目标1、培养学生的严密性和条理性,体会事物之间的内在联系;2、感受数学的形式美和简洁美,从而激发学生的学习兴趣.教学重点:两点间距离公式的理解及应用.教学难点:理解两点间距离公式的推导过程教学方法:探究研讨法,讲练结合法等.教学准备(教具):直尺,彩色粉笔.课型:新授课.教学过程(一)创设情景,引入课题师:我们在初中的时候学过数轴上两点间的距离公式,大家回忆一下怎样求数轴上两点间的距离.问题1:如图,设数轴x上的两点分别为A、B,怎样求AB?2N (0,2y ),延长直线11P N 与22P M 相交于点Q .则12PQP ∆是直角三角形。
在12Rt PQP ∆中,由勾股定理可以得到,2221212PP PQ QP =+.要求12PP ,必须知道1PQ 和2QP 的值.为了计算1PQ 和2QP ,就要求Q 的坐标,而点Q 的横坐标与2P 的横坐标相同,纵坐标与1P 的纵坐标相同,则Q 的坐标为()12,y x .于是有: 1PQ =21x x -,2QP =21y y -,所以212PP =222121x x y y -+-,则12PP =这就是我们今天所要学习的两点间的距离公式. (三)讲授新课两点1P (1x ,1y )、2P (2x ,2y )间的距离公式:12PP =两点间的距离公式在以后的学习中运用很广泛,其中有一种很常见的情况大家一定要注意,那就是原点O (0,0)与任一点P (,)x y 的距离:OP =(四)基础练习学习了直角坐标系中两点间的距离公式,同学们应该能够求任意两点间的距离了吧?接下来我们来看看几个求两点间距离的练习. 练习1 求下列两点间的距离:(1)A (6,0),B (-2,0) (2)C(0,-4),D (0,-2) (3)P (6,0),Q (0,-2) (4)M(2,-1),N(5,-1) (由学生回答)解:(1)8AB == (2)2CD ==(3)PQ == (4)523MN =-=(四)例题讲解通过这几个练习,同学们应该已经很熟悉两点间的距离公式了吧.我们再来看看两点间的距离公式的应用.首先我们来看一个例题.例 已知点A (-1,2),B (2,在x 轴上求一点P ,使PA PB =,并求PA 的值. (师生研讨)分析:同学们看看这个例题,怎样用两点间的距离公式求解这个问题呢,首先把P 点的坐标设为(x ,0),然后用两点间的距离公式表示出PA 和PB ,再由等式PA PB =列出含x 的方程,求出x ,以就可得到P 的坐标,再用两点间的距离公式就可以求出PA 的值.解:设所求点为P (x ,0),于是有PA =()()22201-++xPB =由PA PB = 得解之得 1x =所以,所求点为(1,0)P 且PA =(五)巩固练习通过对这个例题的求解,同学们对两件距离公式的应用有了初步的了解,下面请同学们独立完成一个练习,看大家能不能做得又快又准.练习2 已知A (1,2),B (5,2),若PA =PB =P 的坐标. (请一个学生到黑板上完成,其余学生独立完成,完成后教师讲解)对于这个问题哪位同学愿意到黑板上来做一下?...同学很积极,我们请他来做一下,其他同学自己完成这道题.分析:...同学已经完成了这道题,其他同学也做好了吗?同学们和...同学得到的结果相同吗?我们先来看看...同学是怎么做的.先设P 点的坐标为(,x y).然后用两点间的距离公式表示出PA =PB =两个关于,x y的方程,联立方程求解出,x y 的值,P 点的坐标就求出来了.他的做法很正确,非常好. 解:设点P 的坐标为(,x y ),则有:()()()()22221210522x y x y ⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩ 解之得:4,1x y ==或3所以,点P 的坐标为(4,1)或(4,3) (六)课时小结这节课的内容就是这些,最后我们来回顾一下这节课的内容. 同学们总结一下,这节课学习了什么?(师生一起总结)首先我们用勾股定理推导了直角坐标系中任意两点间的距离公式,即两点1P (1x ,1y )、2P (2x ,2y)间的距离公式:12PP = 其次同学们要注意一种特殊的情况:原点O (0,0)与任一点P 12(,)x x的距离:OP =同学们要学会用两点间的距离公式求直角坐标系中两点间的距离,并要掌握它的一些应用.(七)课后作业今天的作业如下:(1)复习本节课的内容并预习下节课的内容; (2)必做:110页 A 组 6、8题; (3)选做:110页 B 组 6题;(4)思考:已知一个平行四边形三个顶点的坐标分别为(1,2)、(3,1)、(4,6),怎样求它的第四个顶点的坐标? 板书设计。
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两点间的距离
整体设计
教学分析
距离概念,在日常生活中经常遇到,学生在初中平面几何中已经学习了两点间的距离、点到直线的距离、两条平行线间的距离的概念,到高一立体几何中又学习了异面直线距离、点到平面的距离、两个平面间的距离等.其基础是两点间的距离,许多距离的计算都转化为两点间的距离.在平面直角坐标系中任意两点间的距离是解析几何重要的基本概念和公式.到复平面内又出现两点间距离,它为以后学习圆锥曲线、动点到定点的距离、动点到定直线的距离打下基础,为探求圆锥曲线方程打下基础.
解析几何是通过代数运算来研究几何图形的形状、大小和位置关系的,因此,在学习解析几何时应充分利用“数形”结合的数学思想和方法.
在此之前,学生已学习了直线的方程、两直线的交点坐标,学习本节的目的是让学生知道平面坐标系内任意两点距离的求法公式,以及用坐标法证明平面几何问题的知识,让学生体会到建立适当坐标系对于解决问题的重要性.
课堂教学应有利于学生的数学素质的形成与发展,即在课堂教学过程中,创设问题的情境,激发学生主动地发现问题、解决问题,充分调动学生学习的主动性、积极性;有效地渗透数学思想方法,发展学生个性思维品质,这是本节课的教学原则.根据这样的原则及所要完成的教学目标,下的教学方法:主要是引导发现法、探索讨论法、讲练结合法.
三维目标
1.使学生掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程;通过具体的例子来体会坐标法对于证明简单的平面几何问题的重要性.
2.能灵活运用此公式解决一些简单问题;使学生掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题,培养学生勇于探索,善于发现,独立思考的能力以及不断超越自我的创新品质.
重点难点
教学重点:①平面内两点间的距离公式.
②如何建立适当的直角坐标系.
教学难点:如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|?
思路2.(1)如果A、B是x轴上两点,C、D是y轴上两点,它们的坐标分别是x A、x B、y C、y D,那么|AB|、|CD|怎样求?(2)求B(3,4)到原点的距离.(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),求|AB|. 推进新课
新知探究
提出问题
①如果A、B是x轴上两点,C、D是y轴上两点,它们坐标分别是x A、x B、y C、y D,那么|AB|、|CD|怎样求?
②求点B(3,4)到原点的距离.
③已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|.
④同学们已知道两点的距离公式,请大家回忆一下我们怎样知道的(回忆过程).
讨论结果:①|AB|=|x B-x A|,|CD|=|y C-y D|.
②通过画简图,发现一个Rt△BMO,应用勾股定理得到点B 到原点的距离是5.
③
图1
在直角坐标系中,已知两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2),如图1,从P 1、P 2分别向x 轴和y 轴作垂线P 1M 1、P 1N 1和P 2M 2、P 2N 2,垂足分别为M 1(x 1,0)、N 1(0,y 1)、M 2(x 2,0)、N 2(0,y 2),其中直线P 1N 1和P 2M 2相交于点Q.
在Rt△P 1QP 2中,|P 1P 2|2=|P 1Q|2+|QP 2|2.
因为|P 1Q|=|M 1M 2|=|x 2-x 1|,|QP 2|=|N 1N 2|=|y 2-y 1|,
所以|P 1P 2|2=|x 2-x 1|2+|y 2-y 1|2.
由此得到两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式:|P 1P 2|=212212)()(y y x x -+-. ④(a)我们先计算在x 轴和y 轴两点间的距离.
(b)又问了B(3,4)到原点的距离,发现了直角三角形.
(c)猜想了任意两点间距离公式.
(d)最后求平面上任意两点间的距离公式.
这种由特殊到一般,由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定理到推导公式、证明定理经常应用的方法.同学们在做数学题时可以采用!
应用示例
例1 如图2,有一线段的长度是13,它的一个端点是A(-4,8),另一个端点B 的纵坐标是3,求这个端点的横坐标.
图2
解:设B(x ,3),根据|AB|=13,
即(x+4)2+(3-8)2=132,解得x=8或x=-16.
点评:学生先找点,有可能找不全,丢掉点,而用代数解比较全面.也可以引至到A(-4,8)点距离等于13的点的轨迹(或集合)是以A 点为圆心、13为半径的圆上与y=3的交点,应交出两个点.
例2 已知点A(-1,2),B(2,7),在x 轴上求一点,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值. 解:设所求点P(x ,0),于是有2222)70()2()20()1(-+-=
-++x x .
由|PA|=|PB|,得x 2+2x+5=x 2-4x+11,解得x=1.
即所求点为P(1,0),且|PA|=22)20()11(-++=22.
知能训练
课本本节练习.
拓展提升
已知0<x <1,0<y <1,求使不等式222222)1()1(y x y x y x +-+-+++ 22)1()1(y x -+-+≥22中的等号成立的条件.
答案:x=y=2
1. 课堂小结
通过本节学习,要求大家:
①掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程;
②能灵活运用此公式解决一些简单问题;
③掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题.。