随机过程poisson过程 中科大
泊松(possion)过程
显然有：
p( i
m j
)
(n)
≥
0
(i, j ∈ S)
∑ p(m) ij
(n)
=
1
j∈S
m = 1时，即为一步转移矩阵。
(i ∈ S)
规定：
p( i
0) j
(n)
= δi j
=
1 0
i= j i≠ j
（二）切普曼－柯尔莫哥洛夫（C－K）方程
定理：对于 m 步转移概率有如下的 C－K 方程：
∑ p (m+r ij
= ∑ P{X (n + m + r) = j X (n + m) = k}P{X (n + m) = k X (n) = i} k∈S
∑ =
p(m) ik(n)Leabharlann p(r) kj(n
+
m)
k∈S
对于齐次马氏链的情形：我们可以写成矩阵的形式即有：
P = P P (m+r)
(m) (r)
中科院研究生院 2008～2009 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞
考虑顾客到达一服务台排队等待服务的情况。
若服务台前至少有一顾客等待，则在单位时间周期内，服务员完成一个顾客
的服务后，该顾客立刻离去；若服务台前没有顾客，则服务员空闲。
在一个服务周期内，顾客可以到达，设第 n 个周期到达的顾客数ξn 是一个取 值为非负整数的随机变量，且{ξn , n ≥ 1} 相互独立同分布。在每个周期开始时 系统的状态定义为服务台前等待服务的顾客数。若现在状态为 i ，则下周期的状 态 j 应该为：
中科院研究生院 2008～2009 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞
第二章 Markov 过程
随机过程poisson过程 中科大
Poisson 过程1.考虑电子管中的电子发射问题.设单位时间内到达阳极的电子数目N 服从参数为λ的Poisson 分布,而每个电子携带的能量各自不相关且与N 独立,并均服从于区间[1,2]上的均匀分布.记单位时间内阳极接收的能量为S .求S 的期望和方差.2.设{X (t ),t ≥0}为一个独立增量过程,且X (0)=0,分别记V (t ),R (t,s )为{X (t ),t ≥0}的方差函数和协方差函数,证明:R (t,s )=V (min {t,s }).3.设N (t )是一强度为λ的Poisson 过程,s,t >0,试求:(a)P(N (s )=k |N (s +t )=n )=?k =1,...,n ;(b)E[N (s )N (s +t )]=?(c)Cov(N (s ),N (s +t ))=?(d)E[N (s +t )|N (s )]的期望和分布;(e)E[W k |N (t )=n ]=?E[W k ]=?(W k 为第k 个事件发生的时刻)4.某路口蓝车,白车和黄车的到达分别为强度λ1,λ2和λ3的Poisson 过程,且相互独立.试求:(a)第一辆蓝车到达的平均时间和第一辆车到达的平均时间;(b)蓝车首先到达的概率;(c)蓝车先于黄车但落后于白车的概率;(d)在相继到达的两辆蓝车之间,恰有k 辆车到达的概率以及数学期望;(e)在t 0处观察到一辆黄车,在接下来恰有k 辆蓝车连续到达的概率以及数学期望.5.设要做的试验的次数服从参数为λ的Poisson 分布,试验有n 个可能的结果,每次试验出现第j 个结果的概率为p j ,∑n j =1p j =1.若各次试验相互独立,并以X j 记第j 个结果发生的次数,试求E[X j ]、Var[X j ],j =1,...,n .又问X j 服从什么分布？且X 1,...,X n 是否相互独立？为什么？6.某人甲负责订阅杂志.设前来订阅杂志的人数服从强度为6的Poisson 过程,每人分别以概率1/2,1/3,1/6订阅1季,2季,3季杂志,且各人的选择相互独立.现以N i (t )表示(0,t ]时段内订阅i 季杂志的人数,i =1,2,3.1(a)试问N i (t ),i =1,2,3分别是什么过程？又问N 1(t ),N 2(t ),N 3(t )是否相互独立？若独立,请证明.(b)若每订出1季杂志可获1元手续费,现以X (t )表示(0,t ]内所获全部手续费,试求E[X (t )]与Var[X (t )].7.一电梯从底层（第0层）开始上升,设在第i 层进入电梯的人数N i 服从参数为λi 的Poisson 分布,且诸N i 相互独立（i =0,1,...）.又设在第i 层进入的每个人相互独立地以p i,j 在第j 层离开,且∑j>i p i,j =1.若记O j 在第j 层离开电梯的人数（j =1,2,3,...）,试求O j 的数学期望.8.已知汽车以强度为λ的Poisson 过程进入一条相当长的单行道均匀行驶.设第i 辆车的速度为V i ,诸V i 相互独立且同分布.记P a,b =1t ∫t 0P(a <V 1(t −s )<b )d s.(a)试求在时刻t 时位于路段(a,b )的平均汽车数目;(b)试求在时刻t 时位于路段(a,b )的汽车数的分布.9.一部仪器受到的冲击数N (t )为强度λ的Poisson 过程,设第i 次的冲击造成的损伤为D i ,{D i ,i =1,2,...}独立同分布,并与N (t )独立.若损伤随时间指数递减,即经过t 时间后,D i 变为D i e −αt (α>0),则时刻t 仪器所受的总损伤为:D (t )=N (t )∑i =1D i e −α(t −W i ),其中W i 为第i 次冲击来到的时刻,试求E[D (t )](假定E[D i ]=D ).10.假定参加健康的保险者中出险的人数X (t )为一强度λ的Poisson 过程,现以Y n 代表第n 个出险者应获得的赔偿,设Y 1,...,Y n ,...独立（且与X (t )独立）,都服从参数为µ的指数分布.若以Y (t )表示到t 时刻为止保险公司必须支付的全部赔偿,试求E[Y (t )]、Var[Y (t )]和Y (t )的矩母函数g Y (t )(s ).11.设移民到某地区定居的户数N (t )是一个Poisson 过程,平均每周有2户定居,即强度λ=2.如果每户的人口数为独立同分布的随机变量Y i ,i =1,2,...,且分布律为(123416131316).记X (t )=N (t )∑i =1Y i ,2(a)试求5周内移民到该地区人口的数学期望和方差;(b)求X(t)的矩母函数.3。
随机过程第三章-泊松过程
N (tk )
X (tk ) X (tk1)
Yi
iN (tk1 )1
相互独立,即 X (t)具有独立增量性.
k 1,2, , n
(2) （2）的证明需要用到矩母函数（略）.
例3.10 在保险中的索赔模型中,设索赔 要求以平均2次/月的速率的泊松过程到达 保险公司.每次赔付为均值为10000元的 正态分布,则一年中保险公司平均赔付额 是多少?
例3.3 设进入商店的顾客数可以用一个泊松过程来近似.
第 i 个顾客在商店购物支付的款数记作 Yi ,并设 Y1,Y2 ,
相互独立同分布,则在时段 (0,t] 中商店的营业额
N (t)
X (t) Yi i 1
是一个复合泊松过程.
例3.4 设保险公司接到的索赔次数服从一个泊松过程,每 次要求赔付的金额独立同分布,则在任一时段内保险公司 需要赔付的总金额就是一个复合泊松过程.
事件A发生的次数.
如果在不相交的时间区间中发生的事件数是独立的,则该 计数过程有独立增量.即到时刻t已发生的事件个数必须独 立于时刻t与t+s之间所发生的事件数.这就意味着, N(t)与 N(t s) N(t) 相互独立.
若在任一时间区间中发生的事件个数 N(t) 的分布只依 赖于时间区间的长度,则称计数过程 N(t) 有平稳增量.这就 意味着此时 N (t2 s) N (t1 s)与 N(t2 ) N(t1) 有相同的分布.
,
x0
0,
x0
则称 X 服从参数为 , 的 分布,记为 X ~ ( , )
当 1 时,就是参数为 的指数分布.
(4) 分布关于参数 具有可加性.即若 X ~ (1, ),
Y ~ (2, ), 且 X 与 Y 独立,则
现代通信系统-2-建模理论-3
状态转移概率矩阵的性质
对于齐次Markov过程，利用上述定义可以验证状态转移 概率矩阵 P( t ) = { pij ( t )}( i , j ∈ S ) 满足如下性质：
(1) (2) (3) pij ( t ) ≥ 0, i , j ∈ S ;
∑ p (t ) = 1;
j∈S ij
pij ( u + t ) = ∑ pik ( u) pkj ( t ), u, t ≥ 0, i , j ∈ S ;
∑π
i
i∈S i
=1
( πe = 1) e 是单位纵向量
12
π = {π 1 ,π 2 , ,π i , }, π i 为处于 i 状态的概率分布。
连续时间Markov过程
记状态空间为 S = {0,1, 2,
}
定义1 设随机过程 X = { X ( t ), t ≥ 0} 对任意
0 ≤ t0 < t1 <
¾ 矩阵表示：
[ P ( n ) ] = [ P ] [ P ( n−1 ) ] = [ P ] [ P ][ P ( n− 2 ) ] = = [ P ]n
¾ 可见，对于齐次M链来说，一步转移概率完全决定了n 步转移概率。 ¾ 非周期不可约的有限状态 M 链，其平稳状态概率分布 存在，且满足
π j = ∑ π i pij ( π = π P) π是横向量
n =1 n =1
∞
∞
Fn ( t ) 是 Tn 的分布函数。 式中，
24
剩余时间与工作时间
¾ 定义： Yn ( t ) = Tn − t 为剩余时间 (剩余寿命) ； Z n ( t ) = t − Tn−1为已工作时间 (使用寿命)。 ¾ 定理： 时间间隔分布为F(x)，平均更新时间为λ −1 的更新过 程，其剩余时间分布 H Y ( x )等于使用寿命的分布 H Z ( x )
3.2011年随机过程 第3章
例10 解
设某飞机场到达的客机数服从的泊松过程，平均 每小时到达的客机数为5架，客机共有A,B,C三种 机型，它们承载的客机数分别为180人，145人， 80人，且这三种飞机出现的概率相等，求在3小时 内到达机场的乘客数的数学期望与方差。
P{N (s1 t) N (s1) 0}
P{N (t) N (0) 0} （独立增量过程）
P{N (t) 0} et
可见 T2 也服从均值为1/ 的指数分布
且T2 与T1 独立同分布。
一般地
P{Tn
对 n 1和t，s1，s2，，sn1 0 t | T1 s1,T2 s2 ,,Tn1 sn1}
解 反映甲、乙两路公共汽车到达情况的泊松分布
N1(t) 和 N2 (t) 的强度分别为 1 1/10 ， 2 1/15
下面证明两路车混合到达过程 N (t) 服从强度为
1 2 的泊松分布
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事实上 1） N(t) = N1(t) + N2 (t) 是独立增量
2) P{N (t s) N (s) n} P{N2 (t s) N2 (s) N1(t s) N1(s) n}
kn (k 1)!
kn (k )!
(t)n1 et (t)k1 et (t)k et
(n 1)! kn1 (k 1)!
kn (k )!
et (t)n1
(n 1)!
它是n个相互独立的服从指数分布 的随机变量之和的概率密度
例：P35
X1(t)和X 2 (t)是两个相互独立的强度为1和2的泊松
主讲教师：蔡吉花 黑龙江科技学院
(解答)《随机过程》第三章习题
（1）试求随机过程{Z (t); t 0}的均值函数 E{Z (t)}和二阶矩 E{Z 2 (t)} ；
（2）试证明： pn (t)u n exp{(1 2 )t } exp{1ut 2u 1t }。 n
P{X (s) i}
P{N (s) 2(i 1)}
P{N (s) 2(i 1)}P{N (t s) 2( j i)} [(t s)]2( ji) e(ts) ; ( j i, t s)
P{N (s) 2(i 1)}
[2( j i)]!
lim
h0
Pt
2
h 2
S2
t2
h 2 ,t5 h2
h 2
S5
t5
h
2
5 2
t2 (t5
t2 )2 et5
,
0 t2 t5
（2）由于{N (t) 1} {S1 t} ，由泊松过程与指数分布的关系可知，在{S1 t} 条件 下， S1 的分布密度函数为
（3）由于{N (t) 1} {S1 t S2} ，令： 0 t1 t t2 ，取充分小的 h1, h2 0 ，
使得： t1 h1 t1 t t2 h2 t2 ，由
t1 h1 S1 t1, t2 h2 S2 t2 N t1 h1 0, N t1 N t1 h1 1,
3、 设{N1 (t); t 0}和{N 2 (t); t 0} 是相互独立的 Poisson过程,其参数分别为 1 和 2 ．若 N0 (t) N1 (t) N 2 (t) ，问: （1） {N0 (t); t 0} 是否为 Poisson 过程，请说明理由； （2） {N0 (t); t 0} 是否为平稳过程，请说明理由。 解：（1）由于 N 0 (t) 的状态空间为 S {,1, 0,1,} ，因此 N 0 (t) 不是计数过程，更
随机过程第三章 泊松过程
解：设一年开始为 0 时刻，1 月末为时刻 1，则年末为时刻 12，依泊松过程的定义可知
PN (12) N (0) n e412 (412)n
n!
平均索赔请求次数及金额
E[N(12) N(0)] 412 48
3.2 与泊松过程相联系的若干分布
记 Tn , n 1, 2,表示第 n 次事件发生的时刻，规定T0 0 。记 Xn , n 1,2, 表示第 n
即
N(t) n Tn t
因此
PTn
T
P N (t )
n
in
et
(t)i i!
对上式求导，得到Tn 的概率密度函数
f (t)
et (t)i
et
(t)i1
et
(t )( n 1)
in
i! in
(i 1)!
(n 1)!
命题得证。
注：Tn 的数字特征
ETn
n
,
DTn
n 2
；且
ETn
nEX n
P ti Ti ti hi ,i 1, 2,, n N (t) n
PN (ti
hi )
N (ti )
1,
N (ti1) N (ti hi )
PN (t) n
0,1
i
n,
N (t1)
0
h1e h1
h e e hn (th1h2 hn ) n et (t)n / n!
n! tn
-2-
P0 (t) et
类似地，当 n 1时
Pn (t h) PN (t h) n PN (t) n, N (t h) N (t) 0 PN (t) n 1, N (t h) N (t) 1
第二章-泊松过程-随机过程
布的指数随机变量。Sn Xi ,n 1，第 n 个事件在时刻 Sn 发生，N(t) i1
表示到时刻 t 为止已发生的“事件”的总数，即 N (t) sup{n : Sn t}， 则
计数过程{N(t),t≥0}是参数为的泊松过程。
三、来到时刻的条件分布（conditional distribution of the arrival
X1=x1
X2=x2
x1
x1+ x2
Xn-1=xn-1 x1+ x2+…+ xn-1
Xn>t x1+ x2+…+ xn-1+t
所以，从上可得，Xn 也是一个具有均值 1/的指数随机变量，且 Xn
独立于 X1, …, Xn-1。
注记 这个命题不应使我们惊奇。平稳独立增量的假定等价于说在概率 意义上过程在任何时刻都重新开始，即从任何时刻起过程独立于先前已 发生的一切(由独立增量)，且有与原过程完全一样的分布(由平稳增量)。 换言之，过程无记忆，因此指数间隔是预料之中的。
n
f ( yi1 ) f ( yin ) f ( yi ) ， 所 以 Y(1),Y(2),, Y(n) 的 联 合 密 度 为 i1 n
f ( y1, y2 , , yn ) n! f ( yi ), y1 y2 yn i1
若 Yi，i=1,2,,n,都是(0,t)上均匀分布，则由上面的讨论可知，顺序统
Pn (t ) Pn (t ) Pn1(t ) 于是
Pn (t ) et ( Pn1(t )etdt Cn )
P1(t ) et ( P0 (t )etdt C1 )＝et ( etetdt C1 )＝et (t C1 )，
随机过程第三章泊松过程
随机过程第三章泊松过程泊松过程是随机过程中的一类重要过程，在许多领域都有广泛应用，如排队论、可靠性分析、金融工程等。
泊松过程的概念由法国数学家泊松提出，它具有无记忆性、独立增量和平稳增量等重要特征。
在本文中，我们将介绍泊松过程的定义、性质以及一些实际应用。
泊松过程的定义：设N(t)是在区间[0,t]内发生的事件个数，若满足以下三个条件，则称N(t)是具有独立增量和平稳增量的泊松过程：1.N(0)=0，表示在时间0之前没有事件发生；2.对于任意的s<t，N(t)-N(s)的分布只与时间间隔t-s有关，与s时刻之前的事件个数无关，这表明泊松过程具有无记忆性；3.对于任意的s<t，N(t)-N(s)的分布是一个参数为λ(t-s)的泊松分布，其中λ是过程的强度参数。
泊松过程具有很多重要的性质。
首先，泊松过程的均值和方差等于其强度参数λ。
其次，泊松过程的增量独立，即在非重叠区间上的增量相互独立。
此外，泊松过程的时间间隔也是独立同分布的指数分布。
泊松过程具有广泛的应用。
在排队论中，泊松过程可用于描述到达队列的顾客数量。
在可靠性分析领域，泊松过程可用于描述设备的故障次数。
在金融工程中，泊松过程可用于模拟股票价格的变动和交易的发生。
在实际应用中，对于给定的泊松过程，我们通常感兴趣的是估计其强度参数λ。
常用的估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计通过最大化观测到的事件发生次数和估计的事件发生率之间的似然函数，来估计λ的值。
矩估计则是通过将观测到的事件个数的平均值等于λ的估计值，来确定λ的值。
此外，在泊松过程的应用中，我们还可能遇到泊松过程的两个重要扩展：非齐次泊松过程和二维泊松过程。
非齐次泊松过程是指强度参数λ是时间的一个函数，而不是常数。
二维泊松过程是指同时考虑两个独立的泊松过程，其事件发生次数可能影响到对方的发生次数。
综上所述，泊松过程是一种重要的随机过程，具有无记忆性、独立增量和平稳增量等特征。
研究生随机分析2.Poisson过程
= Pn (t )P0 (h ) + Pn − 1 (t )P1 (h ) + o(h )
= Pn (t )e − λh + Pn − 1 (t )[λh + o(h )] + o(h )
(独立， 平稳增量)
= Pn (t )[1 − λh + o(h )] + Pn −1 (t )[λh + o(h )] + o(h ) = Pn (t )[1 − λh] + Pn −1 (t )λh + o(h )
n!
,n ≥ 0
由(3)可知，EN (t ) = λt , λ称为过程的率.
定义2.
{N (t ), t
≥ 0} 称为Poisson过程如果
(1) (3) (4)
N (0 ) = 0 ≥ 0}有平稳、 独立增量 P( N (t ) = 1) = λt + o(t ) P ( N (t ) ≥ 2 ) = o(t )
(2) {N (t ), t
定理1
定义 1 与定义 2 等价
证
先证定义2 ⇒ 定义 1
令 Pn (t ) = P( N (t ) = n )
导出关于P0 (t )的微分方程， 再求出P0 (t )的表示式
P0 (t + h ) = P( N (t + h ) = 0)
= P( N (t ) = 0, N (t + h ) − N (t ) = 0 )
∑X
k =1
n
k
,
则 {N (t ), t ≥ 1}是 Poisson 过程.
事实上： P( N (t ) = n ) = P( N (t ) ≥ n ) − P( N (t ) ≥ n + 1)
第4章Poisson过程
第4章Poisson过程Poisson过程是一种常见的随机过程，被广泛应用于各个领域，包括计算机科学、物理学、生物学等。
本章将介绍Poisson过程的定义、特性和应用，并详细解释其背后的数学原理。
1. Poisson过程的定义与特性Poisson过程是一个连续时间随机过程，其特点是在一定时间内事件发生的数量满足泊松分布。
具体来说，Poisson过程满足以下几个条件：1)事件发生的间隔是独立的，即事件之间的时间间隔是随机的且相互独立。
2)事件发生的概率是相等的，即在单位时间内事件发生的概率是恒定的。
3)事件发生的次数满足泊松分布，即在给定时间内事件发生的次数服从参数为λ的泊松分布，其中λ是单位时间内事件发生的平均次数。
Poisson过程的重要特性包括：1)非负增量性质：即在给定时间内，事件发生的次数是非负的。
2)无记忆性质：即给定过去的事件信息，事件发生的概率与未来的事件无关。
3)稀疏性质：即在大部分时间段内，事件都不会发生。
2. Poisson过程的应用Poisson过程在实际应用中有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用例子：2) 网络流量建模：在网络流量分析中，可以使用Poisson过程来描述网络中的数据包到达情况，进而进行网络拥塞控制和负载均衡。
3) 突发事件模拟：在灾难响应和紧急情况下的资源调度中，可以使用Poisson过程来模拟事件的发生情况，进而进行调度和分配。
4) 电子设备故障：在电子设备可靠性分析中，可以使用Poisson过程来建模设备故障的发生情况，进而进行设备寿命评估和维修策略制定。
3. Poisson过程的数学原理Poisson过程的数学原理基于泊松分布和指数分布的性质。
泊松过程的定义要求事件发生的间隔是独立的，而指数分布的性质恰好满足了这一要求。
具体来说，如果事件之间的时间间隔满足参数为λ的指数分布，那么事件发生的次数就会满足参数为λ的泊松分布。
Poisson过程的数学表示可以使用随机变量N(t)来表示在时间段[0,t]内事件发生的次数。
随机过程讲义中科院
第一章 概率论基础知识1. 事件、概率和概率空间1.1 随机事件的运算和概率1.2 σ代数(域)和Borel 集设全集为， 为一些的子集构成的集类，若满足 ΩF ΩF 1)F ∈Ω2) 对任意F ∈A ，F ∈A3)对任意有限或至多可数的{}F ⊂n A ，F ∈n nA U则称为一个F σ代数(域)给定一个集合Ω，就可以构造一个包含它的一个σ代数。
推广：给定一个集类，可以构造一个的一个C F C ⊂σ代数。
包含C 的最小的F σ代数，称为由C 生成的σ代数，记作()C σ。
例如设R =Ω，{}R b a a b b a R A A ∈∞−∞==,),,(),(),[:任意或或或C为R 上的一个集类，()C σ中的集合称为Borel 集，()C σ称为直线上的Borel 域，记为。
)(R B1.3 Kolmogorov 概率公理化定义给定全集和其子集构成的一个Ωσ代数，若定义在上的函数满足F F )(⋅P 1) 任意，F ∈A 1)(0≤≤A P ；2) ； 1)(=ΩP 3)对任意两两不交的至多可数集{}F ⊂n A ，∑=⎟⎠⎞⎜⎝⎛nn n n A P A P )(U 称为上的概率测度，)(⋅P F ),,(P F Ω称为概率空间。
1.4 随机变量的概念定义：设为一概率空间，(P ,,F Ω))(w X X =为Ω上的一个实值函数，若对任意实数x ，，则称()F ∈−∞−),(1x X X 为()P ,,F Ω上的一个（实）随机变量。
称()()()),()),(()(1x X P x X P x X P x F −∞=−∞∈=<=−为随机变量X 的分布函数。
随机变量实质上是到()F ,Ω())(,R R B 上的一个可测映射(函数)。
记{}F B ⊂∈=−)()()(1R B B X X σ，称)(X σ为随机变量X 所生成的σ域。
推广到多维情形，随机向量是T n X X X X ),,(21L =()F ,Ω到())(,n n R R B 上的一个可测映射。
随机过程——泊松过程
随机过程——泊松过程计数过程 在(0,t)内出现事件A的总数所组成的过程{N(t),t＞0}称为计数过程。
如果⽤N(t)表⽰到时刻t为⽌已发⽣的“事件A”的总数，若N(t)满⾜下列条件：1. N(t)≥02. N(t)取正整数值3. 对任意两个时刻t1<t2，有N(t1)≤N(t2)4. 对任意两个时刻t1<t2，N(t2)-N(t1)等于在区间(t1,t2]中发⽣的“事件A”的次数 则随机过程{N(t),t≥0}称为⼀个计数过程。
注意：如果在不相交的时间区间中发⽣的事件个数是独⽴的，则称计数过程有独⽴增量。
若在任⼀时间区间中发⽣的事件个数的分布只依赖于时间区间的长度，则称计数过程有平稳增量。
独⽴增量过程 如果在不相交的时间间隔内出现事件A的次数是互相统计独⽴的则A事件的计数过程为独⽴增量过程。
平稳(齐次)增量计数过程 在时间间隔(t,t+s)内出现事件A的次数[N(t+s)-N(t)]仅与s有关⽽与t⽆关，则称N(t)为平稳增量计数过程。
泊松过程 设随机过程{X(t),t≥0}是⼀个计数过程，满⾜1. X(0)=02. X(t)是独⽴增量过程3. 对任⼀长度为t的区间中事件的个数服从参数为λt(λ>0)的泊松分布，即对⼀切s,t≥0，有P{X(t+s)-X(s)=k}=(λt)k/(k!).exp(-λt)(其中k=0,1,2,…) 则称X(t)为具有参数λ的泊松过程。
注意：从条件3可知泊松过程有平稳增量，且E[X(t)]=λt并称λ为此过程的⽣起率或强度（单位时间内发⽣事件的平均个数）。
说明： 要确定计数过程是泊松过程，必须证明它满⾜三个条件：条件1只是说明事件的计数是从时刻t=0开始条件2通常可从对过程的了解的情况去直接验证然⽽全然不清楚如何去确定条件3是否满⾜ 为此给出⼀个与泊松过程等价的定义定义 设随机过程{X(t),t≥0}是⼀个计数过程，参数为λ(λ>0)，满⾜1. X(0)=02. X(t)是独⽴平稳增量过程3. X(t)满⾜下列两式：①P{X(t+h)-X(t)=1}=λh+o(h)；②P{X(t+h)-X(t)≥2}=o(h)；其中o(h)表⽰当h→0时对h的⾼阶⽆穷⼩ 则称X(t)为具有参数λ的泊松过程。
随机过程的泊松过程探讨
随机过程的泊松过程探讨
一、背景介绍
随机过程是指一系列随机变量的集合，其取值随着时间、空间或其他变量的变化而变化。
泊松过程是一种常见的随机过程，描述了随机事件以固定的平均速率独立地发生的过程。
泊松过程在各个领域都有广泛的应用，如通信系统、排队论、金融领域等。
二、泊松过程的定义
泊松过程是一类特殊的计数过程，其具有以下性质： - 事件在任意时间段内发生的次数服从泊松分布； - 事件之间的时间间隔满足指数分布； - 事件之间是独立的。
三、泊松过程的参数
泊松过程有一个重要的参数λ（lambda），表示单位时间内事件发生的平均速率。
泊松过程的性质受λ 值的影响，λ 越大，事件发生的频率越高。
四、泊松过程的性质
1.泊松过程的计数过程是非负整数序列；
2.泊松过程的时间间隔具有无记忆性，即已经等待的时间不会影响未来
的等待时间；
3.泊松过程的计数过程是独立增量的，不受之前计数事件的影响；
4.泊松过程是齐次的，即事件发生的速率在整个时间段内是不变的。
五、泊松过程的应用
1.通信系统：泊松过程常用于描述消息到达系统的频率，信道使用情
况等。
2.排队论：泊松过程可用于描述顾客到达某个服务台的情况，以及服
务台的繁忙情况。
3.金融领域：泊松过程可以用于模拟股票价格的波动，利率变动等。
六、结论
泊松过程作为一种重要的随机过程，在各个领域都有着广泛的应用。
通过对泊松过程的深入探讨，我们能更好地理解和分析随机事件的发生规律，从而为实际问题的建模和求解提供参考。
希望本文对读者对泊松过程有所启发，激发更多有关随机过程的讨论和研究。
泊松随机过程
泊松随机过程
泊松随机过程是一种常见的随机过程，它描述了在一定时间间隔内随机事件发生的次数。
这种过程的特点是事件之间相互独立，且发生的概率在任意时间点上都是相等的。
因此，泊松随机过程在很多实际应用中都有着广泛的应用，比如在通信领域中，用于描述数据包的到达时间；在金融领域中，用于描述股票价格的波动等。
泊松随机过程的数学模型可以用泊松分布来描述。
泊松分布是一种离散概率分布，它描述了在一个固定时间间隔内，某个事件发生的次数的概率分布。
在泊松随机过程中，事件发生的次数服从泊松分布，其参数为事件发生的平均次数。
在实际应用中，我们可以通过对历史数据的分析，来估计泊松随机过程的参数，并利用这个模型来预测未来的事件发生情况。
比如，在网络流量控制中，我们可以利用泊松随机过程来估计网络流量的峰值，从而调整网络带宽，以保证网络的稳定性和可靠性。
泊松随机过程是一种重要的数学模型，它在很多实际应用中都有着广泛的应用。
通过对泊松随机过程的研究，我们可以更好地理解随机事件的发生规律，从而更好地应对各种实际问题。
中科大随机过程引论例题集含解答
1
(d) Poisson 过程； (e) Gauss 过程。
【“平稳增量过程”定义：令 Y (t) = X(t + s) − X(t)，其中 s > 0，则 Y (t) 为平稳过程。 “平稳独立增量过程是“独立增量过程”加上“平稳增量过程”。】
1 2
,D(Y ) =
1 4
+
n−1 3n
。
【因为
Y |X
=
x
∼
B(n, x)，所以
E{Y |X
=
x}
=
n·
x n
=
x，D{Y |X
=
x}
=
n·
x n
·
2.3 Wiener 过程
4. 设 Brown 运动 W (t), t ≥ 0 是标准 Brown 运动过程（取 C=1），则 W (t) 满足 a, c 。 (a) E{W (t)W (s)} = min(t, s)； (b) W (t) − W (s) ∼ N (0, t − s)； (c) 对任意 0 ≤ t1 < t2 < t3 < t4, E{(W (t2) − W (t1))(W (t4) − W (t2))} = 0； (d) W (t) ∼ N (0, 1)。
2.2 二阶矩过程
2. 设 Xn, x ∈ H 分别是二阶矩随机变量序列和随机变量，称 Xn 以均方收敛到 X，则下述 等价说法正确的是 b, d 。 (a) limn→∞ Xn = X； (b) limn→∞ d(Xn, X) = 0； (c) limn→∞(Xn, X) = 0； (d) limn→∞ ∥Xn − X∥ = 0。
随机过程第五章 Poisson过程
第四节 更新过程
一、更新过程的定义及概念
1、定义
二、更新过程的均值函数 1、更新函数的定义
详细证明见本教材72页
定理4-12
三、更新方程
1、定义
定理4-14
例1：
四、极限定理和基本更新定理
1、定理4-15，设N={N(t),t≥0}为更新过程，则有 P(N(∞)=∞）=1
定理4-1的结论是合理的。事实上，由于Poisson过程 具有平稳独立增量，即过程在任何时刻都重新开始，所以 从任何时刻起，过程独立于先前发生的一切情况，且有与 原过程完全一样的分布，即过程是无记忆的。由于指数分 布具有无记忆性，因此，从直观上讲，到达时间间隔序列 服从指数分布是合理的。
二、等待时间服从卡方分布
• 所以，由式 • 和定理2-5，可知Sn的距母函数为：
• 而等式右边正是参数为n，λ的Γ分布的母距 函数，由母距函数的唯一定理，于是就证 明了Sn服从Γ分布。于是就得出下面的定理。
二、定理4-2
三、定理4-3
四、顺序统计量
五、定理4-4
例1：
六、定理4-5
例2：
第二节 非齐次Poisson过程和复合Poisson过程
注： 关于矩母函数的定义见下一页或参阅本教材P28
矩母函数
案例
二、定理4-2
1、伽马分布 • 伽玛分布是统计学中的一种连续概率函数， 包含两个参数α和β，其中α称为形状参数， β称为尺度参数。
• 假如，第n个事件到来的时刻Sn,也称为第n 个事件的等待时间，显然有
• • • •
若令S0=0,则 Sn=inf{t:t>Sn-1,Nt=n}, n≥1 用距母函数和订立2-5容易证明Sn~Γ（n,λ) 事实上，到达时间间隔序列{Xn}的距母函数 为:
第9-10讲随机过程 孙应飞
第三章 Poisson 过程（Poisson 信号流）一、 基本概念及Poisson 过程的一维分布（1） 独立增量过程定义：设}),({T t t X ∈是一随机过程，如果对于任意的 n t t t <<< 21，N n ∈∀，n i T t i ≤≤∈1,，有随机过程)(t X 的增量：)()(,),()(),()(12312----n n t X t X t X t X t X t X相互独立，则称随机过程}),({T t t X ∈是独立增量过程。
注意：若独立增量过程的参数集-∞>=a b a T ),,[，一般假定0)(=a X ，则独立增量过程是一马氏过程。
特别地，当0)0(=X 时，独立增量过程}0),({≥t t X 是一马氏过程。
证明如下：形式上我们有：})()(,,)(,)({})()(,,)(,)(,)({})(,,)(,)({})(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤=======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P因此，我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与2,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立即可。
由独立增量过程的定义可知，当2,,2,1,1-=<<<-n j t t t a n n j 时，增量)()(a X t X j -与)()(1--n n t X t X 相互独立，由于在条件11)(--=n n x t X 和0)(=a X 下，即有)(j t X 与1)(--n n x t X 相互独立。
应用随机过程第三章Poisson_过程
(u)du的Poisson分布，即
ｎ ［m(t+s)-m(t)] Ｐ(N(t+s)-N(t)=ｎ)＝ exp{[ m(t+s)-m(t)]} ｎ！
例 3.7
见黑板
3.3.2 复合Poisson过程
设{Yi，i 1,2， ...}是一列独立且同分布的随机变量， {N(t),t 0}是Poisson过程，且N(t),t 0}与{Yi， i 1,2， ...}独立.记 X(t)= Yi ,
这定理说明，由于Poisson过程具有平稳独立增量 性，从而在已知[0,t]内事件A发生一次的条件下， 事件发生时刻T1在[0,t]上是“等可能性的”，即T1 的条件分布是[0,t]上的均匀分布.
问题：自然地，我们会问
这个性质是否可推广到 N(t)=n, n 1的情形？
定理 3.4
设{N(t)，t 0}是Poisson过程，则时间相继发 生时刻T1，T2，...,Tn在已知N(t)=n下的条件 概率密度为 n! f(t1,t2 ,..., tn )= n , t 0 t1 t2 ... tn .
i 1 N(t)
我们就称{X(t)，t 0}为复合Poisson过程.
注：复合Poisson过程未必是计数过程；但当Y i = c(常数)，i= 1, 2，...，可化为Poisson过程.
例：考虑一保险公司：它接到索赔次数服从Poisson 过程{N(t)}，每次的索赔额Yi是独立同分布的，且与 其发生时刻无关，那么该公司在[0,t]内的总索赔额 X(t)= Yi
注意 定理3.2的逆命题亦为真，且该逆命题也给出了 Poisson过程的另一个定价定义（即定义3.3），希 望同学们务必记住.
随机过程 第二章 泊松过程
强度为λ的泊松过程，事件A在时刻s到达，则此到达可分解成概率为P(s)的 type-1到达和概率为1- P(s) 的type-2到达，用{Ni ( t ) ，t≥0}，i=1,2，表示 type-i在时间(0,t]的达到次数，则有
pt ( pt ) n qt ( qt ) m P N1 (t ) n, N 2 (t ) m e e n ! m ! 1 t 其中，p P( s)ds，q 1 p t 0
P{ X (t h) X (t ) 2} o(h)
非齐次泊松过程的均值函数（积分强度函数）为
m X (t )
(s)ds
0
t
16
定理： 设{X(t),t≥0}为具有均值函数 则有
m X (t )
(s)ds非齐次泊松过程，
0
t
P{ X (t s) X (t ) n} [m X (t s) m X (t )]n exp{[m X (t s) m X (t )]}, n!
s0 0st st
0st 其它
12
分布密度
定理： 设{X(t),t≥0}是泊松过程，已知在[0,t]内事件A发生n次，则这n次到达时间 W1<W2, …<Wn与相应于n个[0,t]上均匀分布的独立随机变量的顺序统计 量有相同的分布。
例题
设在[0,t]内事件A已经发生n次，且0<s<t，对于0<k<n，求 P{X(s)=k|X(t)=n}
2
例题
设某路公共汽车从早上5时到晚上9时有车发出，乘客流量如下：5时 按平均乘客为200人/时计算；5时至8时乘客平均到达率按线性增加， 8时到达率为1400人/时；8时至18时保持平均到达率不变；18时到 21时从到达率1400人/时按线性下降，到21时为200人/时。假定乘客 数在不相重叠时间间隔内是相互独立的。求12时至14时有2000人来 站乘车的概率，并求这两个小时内来站乘车人数的数学期望。
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Poisson 过程
1.考虑电子管中的电子发射问题.设单位时间内到达阳极的电子数目N 服从参数为λ的Poisson 分布,而每个电子携带的能量各自不相关且与N 独立,并均服从于区间[1,2]上的均匀分布.记单位时间内阳极接收的能量为S .求S 的期望和方差.
2.设{X (t ),t ≥0}为一个独立增量过程,且X (0)=0,分别记V (t ),R (t,s )为{X (t ),t ≥0}的方差函数和协方差函数,证明:R (t,s )=V (min {t,s }).
3.设N (t )是一强度为λ的Poisson 过程,s,t >0,试求:
(a)P(N (s )=k |N (s +t )=n )=?k =1,...,n ;
(b)E[N (s )N (s +t )]=?
(c)Cov(N (s ),N (s +t ))=?
(d)E[N (s +t )|N (s )]的期望和分布;
(e)E[W k |N (t )=n ]=?E[W k ]=?(W k 为第k 个事件发生的时刻)
4.某路口蓝车,白车和黄车的到达分别为强度λ1,λ2和λ3的Poisson 过程,且相互独立.试求:(a)第一辆蓝车到达的平均时间和第一辆车到达的平均时间;
(b)蓝车首先到达的概率;
(c)蓝车先于黄车但落后于白车的概率;
(d)在相继到达的两辆蓝车之间,恰有k 辆车到达的概率以及数学期望;
(e)在t 0处观察到一辆黄车,在接下来恰有k 辆蓝车连续到达的概率以及数学期望.
5.设要做的试验的次数服从参数为λ的Poisson 分布,试验有n 个可能的结果,每次试验出现第j 个结果的概率为p j ,∑n j =1p j =1.若各次试验相互独立,并以X j 记第j 个结果发生的次数,试求E[X j ]、Var[X j ],j =1,...,n .又问X j 服从什么分布？且X 1,...,X n 是否相互独立？为什么？
6.某人甲负责订阅杂志.设前来订阅杂志的人数服从强度为6的Poisson 过程,每人分别以概率1/2,1/3,1/6订阅1季,2季,3季杂志,且各人的选择相互独立.现以N i (t )表示(0,t ]时段内订阅i 季杂志的人数,i =1,2,3.
1
(a)试问N i (t ),i =1,2,3分别是什么过程？又问N 1(t ),N 2(t ),N 3(t )是否相互独立？若独立,
请证明.
(b)若每订出1季杂志可获1元手续费,现以X (t )表示(0,t ]内所获全部手续费,试求E[X (t )]
与Var[X (t )].
7.一电梯从底层（第0层）开始上升,设在第i 层进入电梯的人数N i 服从参数为λi 的Poisson 分布,且诸N i 相互独立（i =0,1,...）.又设在第i 层进入的每个人相互独立地以p i,j 在第j 层离开,且
∑j>i p i,j =1.若记O j 在第j 层离开电梯的人数（j =1,2,3,...）,试求O j 的数学期望.
8.已知汽车以强度为λ的Poisson 过程进入一条相当长的单行道均匀行驶.设第i 辆车的速度为V i ,诸V i 相互独立且同分布.记
P a,b =1t ∫t 0P(a <V 1(t −s )<b )d s.
(a)试求在时刻t 时位于路段(a,b )的平均汽车数目;
(b)试求在时刻t 时位于路段(a,b )的汽车数的分布.
9.一部仪器受到的冲击数N (t )为强度λ的Poisson 过程,设第i 次的冲击造成的损伤为D i ,{D i ,i =1,2,...}独立同分布,并与N (t )独立.若损伤随时间指数递减,即经过t 时间后,D i 变为D i e −αt (α>0),则时刻t 仪器所受的总损伤为:
D (t )=N (t )
∑
i =1D i e −α(t −W i ),
其中W i 为第i 次冲击来到的时刻,试求E[D (t )](假定E[D i ]=D ).
10.假定参加健康的保险者中出险的人数X (t )为一强度λ的Poisson 过程,现以Y n 代表第n 个出
险者应获得的赔偿,设Y 1,...,Y n ,...独立（且与X (t )独立）,都服从参数为µ的指数分布.若以Y (t )表示到t 时刻为止保险公司必须支付的全部赔偿,试求E[Y (t )]、Var[Y (t )]和Y (t )的矩母函数g Y (t )(s ).
11.设移民到某地区定居的户数N (t )是一个Poisson 过程,平均每周有2户定居,即强度λ=2.
如果每户的人口数为独立同分布的随机变量Y i ,i =1,2,...,且分布律为
(1
23416131316).
记X (t )=N (t )∑
i =1Y i ,
2
(a)试求5周内移民到该地区人口的数学期望和方差;
(b)求X(t)的矩母函数.
3。