随机过程poisson过程 中科大

Poisson 过程

1.考虑电子管中的电子发射问题.设单位时间内到达阳极的电子数目N 服从参数为λ的Poisson 分布,而每个电子携带的能量各自不相关且与N 独立,并均服从于区间[1,2]上的均匀分布.记单位时间内阳极接收的能量为S .求S 的期望和方差.

2.设{X (t ),t ≥0}为一个独立增量过程,且X (0)=0,分别记V (t ),R (t,s )为{X (t ),t ≥0}的方差函数和协方差函数,证明:R (t,s )=V (min {t,s }).

3.设N (t )是一强度为λ的Poisson 过程,s,t >0,试求:

(a)P(N (s )=k |N (s +t )=n )=?k =1,...,n ;

(b)E[N (s )N (s +t )]=?

(c)Cov(N (s ),N (s +t ))=?

(d)E[N (s +t )|N (s )]的期望和分布;

(e)E[W k |N (t )=n ]=?E[W k ]=?(W k 为第k 个事件发生的时刻)

4.某路口蓝车,白车和黄车的到达分别为强度λ1,λ2和λ3的Poisson 过程,且相互独立.试求:(a)第一辆蓝车到达的平均时间和第一辆车到达的平均时间;

(b)蓝车首先到达的概率;

(c)蓝车先于黄车但落后于白车的概率;

(d)在相继到达的两辆蓝车之间,恰有k 辆车到达的概率以及数学期望;

(e)在t 0处观察到一辆黄车,在接下来恰有k 辆蓝车连续到达的概率以及数学期望.

5.设要做的试验的次数服从参数为λ的Poisson 分布,试验有n 个可能的结果,每次试验出现第j 个结果的概率为p j ,∑n j =1p j =1.若各次试验相互独立,并以X j 记第j 个结果发生的次数,试求E[X j ]、Var[X j ],j =1,...,n .又问X j 服从什么分布？且X 1,...,X n 是否相互独立？为什么？

6.某人甲负责订阅杂志.设前来订阅杂志的人数服从强度为6的Poisson 过程,每人分别以概率1/2,1/3,1/6订阅1季,2季,3季杂志,且各人的选择相互独立.现以N i (t )表示(0,t ]时段内订阅i 季杂志的人数,i =1,2,3.

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(a)试问N i (t ),i =1,2,3分别是什么过程？又问N 1(t ),N 2(t ),N 3(t )是否相互独立？若独立,

请证明.

(b)若每订出1季杂志可获1元手续费,现以X (t )表示(0,t ]内所获全部手续费,试求E[X (t )]

与Var[X (t )].

7.一电梯从底层（第0层）开始上升,设在第i 层进入电梯的人数N i 服从参数为λi 的Poisson 分布,且诸N i 相互独立（i =0,1,...）.又设在第i 层进入的每个人相互独立地以p i,j 在第j 层离开,且

∑j>i p i,j =1.若记O j 在第j 层离开电梯的人数（j =1,2,3,...）,试求O j 的数学期望.

8.已知汽车以强度为λ的Poisson 过程进入一条相当长的单行道均匀行驶.设第i 辆车的速度为V i ,诸V i 相互独立且同分布.记

P a,b =1t ∫t 0P(a

(a)试求在时刻t 时位于路段(a,b )的平均汽车数目;

(b)试求在时刻t 时位于路段(a,b )的汽车数的分布.

9.一部仪器受到的冲击数N (t )为强度λ的Poisson 过程,设第i 次的冲击造成的损伤为D i ,{D i ,i =1,2,...}独立同分布,并与N (t )独立.若损伤随时间指数递减,即经过t 时间后,D i 变为D i e −αt (α>0),则时刻t 仪器所受的总损伤为:

D (t )=N (t )

∑

i =1D i e −α(t −W i ),

其中W i 为第i 次冲击来到的时刻,试求E[D (t )](假定E[D i ]=D ).

10.假定参加健康的保险者中出险的人数X (t )为一强度λ的Poisson 过程,现以Y n 代表第n 个出

险者应获得的赔偿,设Y 1,...,Y n ,...独立（且与X (t )独立）,都服从参数为µ的指数分布.若以Y (t )表示到t 时刻为止保险公司必须支付的全部赔偿,试求E[Y (t )]、Var[Y (t )]和Y (t )的矩母函数g Y (t )(s ).

11.设移民到某地区定居的户数N (t )是一个Poisson 过程,平均每周有2户定居,即强度λ=2.

如果每户的人口数为独立同分布的随机变量Y i ,i =1,2,...,且分布律为

(1

23416131316).

记X (t )=N (t )∑

i =1Y i ,

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(a)试求5周内移民到该地区人口的数学期望和方差;

(b)求X(t)的矩母函数.

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