北师版八年级上第七章平行线的证明知识点总结及习题
北师大版数学八年级上《平行线的证明 》习题含答案
八年级上册第7章《平行线的证明》专题演练1．（1）如图1，AC平分∠DAB，AB∥CD，求证：∠1＝∠2；（2）如图2，在（1）的条件下，AB的下方两点E、F满足：BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，若∠DFB＝25°，∠CDE＝80°，求∠ABE的度数；（3）在前面的条件下，若P是BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，PQ∥GN，GM平分∠DGP，如图3，则∠MGN＝．2．如图1，点A、B分别在直线GH、MN上，∠GAC＝∠NBD，∠C＝∠D．（1）求证：GH∥MN；（2）如图2，AE平分∠GAC，DE平分∠BDC，若∠AED＝∠GAC，求∠GAC与∠ACD之间的数量关系；（3）如图3，BF平分∠DBM，点K在射线BF上，∠KAG＝∠GAC，若∠AKB＝∠ACD，直接写出∠GAC的度数．3．已知，如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，延长BC至点E，连接AE交CD于点F，使∠BAC＝∠DAE，∠ACB＝∠CFE（1）求证：∠BAF＝∠CAD；（2）求证：AD∥BE；（3）若BF平分∠ABC，请写出∠AFB与∠CAF的数量关系．（不需证明）4．如图，E、F分别在AB和CD上，∠1＝∠D，∠2与∠C互余，AF⊥CE于G，求证：AB∥CD．证明：∵AF⊥CE，∴∠CGF＝90°，∵∠1＝∠D，∴AF∥，∴∠4＝＝90°（），又∵∠2与∠C互余（已知），∠2+∠3+∠4＝180°，∴∠2+∠C＝∠2+∠3＝90°，∴∠C＝，∴AB∥CD．5．（1）①如图1，已知AB∥CD，点E在直线AB、CD之间，探究∠ABE、∠BED、∠CDE之间的数量关系，并说明理由．②将图1中射线BA绕B逆时针方向旋转一定角度后，射线BA交射线DC于F，得到图2，形成四边形BFDE，探究四边形中∠B、∠E、∠D、∠BFD之间有何数量关系，并说明理由．（2）在图3中，AB∥CD，∠ABE与∠CDE的角平分线交于点N，∠ABM＝∠ABN，∠CDM ＝∠CDN，写出∠M与∠E之间数量关系，并说明理由．6．已知：∠BDG+∠EFG＝180°，∠B＝∠DEF．（1）如图1，求证：DE∥BC．（2）如图2，当∠A＝∠EFG＝90°时，请直接写出与∠C互余的角．7．如图，直线EF交直线AB、CD与点M、N，NP平分∠ENC交直线AB于点P．已知∠EMB＝112°，∠PNC＝34°．（1）求证：AB∥CD；（2）若PQ将分∠APN成两部分，且∠APQ：∠QPN＝1：3，求∠PQD的度数．8．已知：如图，∠1＝∠2，∠B＝∠C．（1）求证AB∥CD；（2）若∠A＝30°，求∠D的度数．9．完成下面的证明：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，连接DE，DF，DE∥AB，∠BFD＝∠CED，连接BE交DF于点G，求证：∠EGF+∠AEG＝180°．证明：∵DE∥AB（已知），∴∠A＝∠CED（）又∵∠BFD＝∠CED（已知），∴∠A＝∠BFD（）∴DF∥AE（）∴∠EGF+∠AEG＝180°（）10．如图，若∠ADE＝∠ABC，BE⊥AC于E，MN⊥AC于N，试判断∠1与∠2的关系，并说明理由．参考答案1．解：（1）∵AC平分∠DAB，∴∠1＝∠3，∵AB∥CD，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2；（2）过F作作FQ∥AB，∵AB∥CD，∴CD∥FQ，∵DF平分∠CDE，∴∠CDF＝∠EDF＝CDE＝＝40°，∵CD∥FQ，∴∠DFQ＝∠CDF＝40°，∵∠DFB＝25°，∴∠BFQ＝15°，∵AB∥FQ，∴∠ABF＝∠QFB＝15°，∵BF平分∠ABE，∴∠ABE＝2∠ABF＝30°；（3）过P作PK∥AB，则PK∥DG，∴∠BPK＝∠ABP＝30°，∵PQ平分∠BPG，∴∠GPQ＝∠BPQ，设∠GPQ＝∠BPQ＝x，∴∠GPK＝2x+30°，∵DG∥PK，∴∠DGP＝∠GPK＝30°+2x，∵GM平分∠DGP，∴∠DGM＝∠PGM＝DGP＝15°+x，∵PQ∥GN，∴∠PGN＝∠GPQ＝x，∴∠MGN＝∠PGM﹣∠PGN＝15°，故答案为：15°．2．解：（1）如图1，延长AC交MN于点P，∵∠ACD＝∠D，∴AP∥BD，∴∠NBD＝∠NPA，∵∠GAC＝∠NBD，∴∠GAC＝∠NPA，∴GH∥MN；（2）延长AC交MN于点P，交DE于点Q，∵∠E+∠EAQ+∠AQE＝180°，∠EQA+∠AQD＝180°，∴∠AQD＝∠E+∠EAQ，∵AC∥BD，∴∠AQD＝∠BDQ，∴∠BDQ＝∠E+∠EAQ，∵AE平分∠GAC，DE平分∠BDC，∴∠GAC＝2∠EAQ，∠CDB＝2∠BDQ，∴∠CDB＝2∠E+∠GAC，∵∠AED＝∠GAC，∠ACD＝∠CDB，∴∠ACD＝2∠GAC+∠GAC＝3∠GAC；（3）设射线BF交GH于I，∵GH∥MN，∴∠AIB＝∠FBM，∵BF平分∠MBD，∴∠DBF＝∠FBM＝，∴∠AIB＝∠DBF，∵∠AIB+∠KAG＝∠AKB，∠AKB＝∠ACD，∴∠ACD＝∠DBF+∠KAG，∵∠KAG＝∠GAC，∠GAC＝∠NBD，∴∠GAC+＝∠ACD＝3∠GAC，即∠GAC+∠GAC＝3∠GAC，解得∠GAC＝．故答案为．3．解：（1）∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAF＝∠DAE+∠CAF，∴∠BAF＝∠CAD；（2）∵∠BAC＝∠DAF，∠ACB＝∠CFE＝∠AFD，∴∠B＝∠D，∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD＝180°，∴∠D+∠BCD＝180°，∴AD∥BE；（3）如图2，∵AD∥BE，∴∠E＝∠1＝∠2，∵BF平分∠ABC，∴∠3＝∠4，∵∠AFB是△BEF的外角，∴∠AFB＝∠4+∠E＝∠4+∠1，∴∠AFB＝3+∠2，又∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∴∠3+∠4+∠1+∠CAF+∠2＝180°，即2∠AFB+∠CAF＝180°．故答案为：2∠AFB+∠CAF＝180°．4．证明：如图所示：∵AF⊥CE（已知），∴∠CGF＝90°，∵∠1＝∠D（已知），∴AF∥ED，∴∠4＝∠CGF＝90°（两直线平行，同位角相等），又∵∠2与∠C互余（已知），∠2+∠3+∠4＝180°，∴∠2+∠C＝∠2+∠3＝90°，∴∠C＝∠3，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故答案为：已知，已知，ED，两直线平行，同位角相等；∠3，内错角相等，两直线平行．5．解：（1）①如图1，过E作EF∥AB，∴∠FEB+∠EBA＝180°，∵CD∥AB，EF∥AB，∴CD∥EF，∴∠CDE+∠DEF＝180°，∴∠CDE+∠DEB+∠ABE＝360°，②如图2，过点B作GB∥CD，∴∠BFD＝∠GBF，由（1）知∠GBE+∠E+∠D＝360°，∴∠B+∠E+∠D+∠BFD＝360°；（2）如图3，过M作MF∥AB，∵AB∥CD，∴MF∥CD，∵∠ABM＝∠ABN，∠CDM＝∠CDN，∴设∠MBN＝x，∠MDN＝y，则∠MDC＝2y，∠ABM＝2x，∠EBN＝3x，∠EDN＝3y，∴∠BMF＝2x，∠DMF＝2y，∠ABE＝6x，∠CDE＝6y，∴∠BMD＝2（x+y），过E作EG∥AB，∵AB∥CD，∴EG∥CD，∴∠BEG＝180°﹣∠ABE＝180°﹣6x，∠DEG＝180°﹣∠CDE＝180°﹣6y，∴∠BED＝∠BEG+∠DEG＝360°﹣（6x+6y）＝360°﹣3∠BMD，∴3∠BMD+∠BED＝360°．6．（1）证明：∵∠EFD+∠EFG＝180°，∠BDG+∠EFG＝180°，∴∠BDG＝∠EFD，∴BD∥EF，∴∠BDE+∠DEF＝180°，又∵∠DEF＝∠B，∴∠BDE+∠B＝180°，∴DE∥BC；（2）解：∵∠A＝∠EFG＝90°，∴∠ADE+∠AED＝90°，∠B+∠C＝90°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∵∠B＝∠DEF，∴与∠C互余的角有∠B，∠ADE，∠DEF．7．（1）证明：∵∠EMB＝112°，∴∠PMN＝112°，∵NP平分∠EN，∴∠CNE＝2∠CNP，∵∠CNP＝34°，∴∠CNE＝68°，∴∠PMN+∠CNE＝180°，∴AB∥CD；（2）解：∵∠APN＝∠PMN+∠PNM＝112°+34°＝146°，∵∠APQ：∠QPN＝1：3，∴∠APQ＝36.5°，∵AB∥CD，∴∠PQD＝∠APQ，∴∠PQD＝36.5°．8．解：（1）∵∠1＝∠2，∠1＝∠FMN，∴∠2＝∠FMN，∴CF∥BE，∴∠C＝∠BED．又∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠BED，∴AB∥CD．（2）∵AB∥CD，∴∠A＝∠D．又∵∠A＝30°，∴∠D＝30°．9．证明：∵DE∥AB（已知），∴∠A＝∠CED（两直线平行，同位角相等）又∵∠BFD＝∠CED（已知），∴∠A＝∠BFD（等量代换）∴DF∥AE（同位角相等，两直线平行）∴∠EGF+∠AEG＝180°（两直线平行，同旁内角互补）故答案为：两直线平行，同位角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．10．解：∠1与∠2相等．理由如下：∵∠ADE＝∠ABC，∴DE∥BC，∴∠1＝∠EBC，∵BE⊥AC于E，MN⊥AC于N，∴BE∥MN，∴∠EBC＝∠2，∴∠1＝∠2．。
北师大版八年级数学上册第七章平行线的证明复习与小结课件
课后巩固
第七章
练一练
完成相关作业.
平行线的证听
平行线的证明
第六章
数据的分析
九条基本事实
目前我们学习了九条基本事实中的八条，它们是：
基本事实1：两点确定一条直线。 基本事实2：两点之间线段最短。
基本事实3：过一点有且只有一条直线与这条直线垂直。
基本事实4：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，
那么两直线平行. 简述：同位角相等，两直线平行.
基本事实5：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。
于它的任意一个内角C. 三角形的一个外角大于与它
不相邻的任意内角D. 三角形的外角和是180°
基础训练
第七章
4. 如图AB∥CD,∠C=110°,∠B=120°,
则∠E等于 (
)
C
A. 110°
B. 120°
C. 130°
D. 150°
5.如图,将三角板的直角顶点放在直尺的一边上,若
∠1=65°,则∠2的度数为 25° .
什么是证明？ 演绎推理的过程称为证明.
什么是定理？经过证明的真命题称为定理. 定理都只能经过公
理、定义和已经证明为真的命题来证明.
什么是推论？ 由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫做这个
基本事实或定理的推论. 推论可以当作定理使用.
什么是三角形
由三角形的一边与另一边的反向延长线构成的角.
的外角？
基本事实
证明：∵EF⊥AB,CD⊥AB,，
∴CD∥EF,
∴∠BCD=∠CFG,∠DCG=∠CGF.
∵∠CGF=∠CFG,
∴∠BCD=∠DCA,
∴CD平分∠ACB.
第七章
平行线的证明
北师大版八年级数学上册第七章《平行线的证明 》章末练习题含答案解析 (44)
一、选择题1.如图，直线a，b被直线c所截．在下列条件中，不能判定a∥b的是( )A．∠3=∠4B．∠3+∠5=180∘C．∠2=∠3D．∠1=∠42.如图，a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1=36∘，那么∠2=( )A．54∘B．56∘C．44∘D．46∘3.下列语句：①两点之间，线段最短；②不许大声讲话；③连接A，B两点；④鸟是动物；⑤不相交的两条直线是平行线；⑥ n为任意自然数，n2−n+11的值都是质数吗？其中不是命题的有( )A．2个B．3个C．4个D．5个4.下列命题是真命题的是( )A．同位角相等B．两直线平行，同旁内角相等C．同旁内角互补D．平行于同一条直线的两条直线平行5.如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠BAE等于( )A．12∘B．15∘C．30∘D．45∘6.下列命题中是真命题的个数是( )①同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③若a∥b，b∥c，则a∥c；④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤三条直线两两相交，总有三个交点．A．1个B．2个C．3个D．4个7.如图，点E在BC的延长线上，下列条件不能判断AB∥CD的是( )A．∠5=∠B B．∠1=∠2C．∠B+∠BCD=180∘D．∠3=∠48.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且AD=AE，设∠BAD=α，∠CDE=β，则α，β之间的关系为( )A．β=12αB．β=23αC．β=90∘−12αD．β=90∘−23α9.下列命题中，属于真命题的是( )A．三角形的一个外角大于内角B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等C．无理数与数轴上的点是一一对应的D．对顶角相等10.下列命题中是真命题的为( )A．两锐角之和为钝角B．直角三角形的两锐角互余C．若a⊥b，a⊥c，则b⊥c D．内错角相等二、填空题11.下列命题：①两直线平行，内错角相等；②如果m是无理数，那么m是无限小数；③同旁内角相等，两直线平行；④如果a是实数，那么√a是无理数；⑤ 64的立方根是8，其中真命题是．12.△ABC中，∠B=65∘，∠A比∠C小35∘，则∠C的外角=．13.“两个全等的三角形必成轴对称或中心对称”是命题．（填“真”或“假”）14.如图，已知直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1=30∘，则∠2=度．15.命题“如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等”的结论是．16.如图，AB∥EF，∠ABC=30∘，∠DEF=120∘，则∠BCD+∠CDE=．17.如图将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1的大小为度．三、解答题18.如图所示：(1) 若DE∥BC，∠1=∠3，∠CDF=90∘，求证：FG⊥AB．(2) 若把（1）中的题设“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题是否是真命题？说明理由．19.如图，根据直线平行的判定方法填空：(1) 因为∠1=∠2（已知），所以∥( )．(2) 因为∠3=∠4（已知），所以∥( )．20.已知：如图，DB平分∠ADC，∠1+∠2=180∘．(1) 求证：AB∥CD．(2) 若ED⊥DB，∠A=50∘，求∠EDC的大小．21.根据题意，完成推理填空：如图，AB∥CD，∠1=∠2，试说明∠B=∠D．证明：∵∠1=∠2（已知），∴（内错角相等，两直线平行），∴∠BAD+∠B=180∘（两直线平行，同旁内角互补），∵AB∥CD（已知），∴+=180∘（，），∴∠B=∠D（等量代换）．22.补全下列的推理依据：如图，(1) ∵∠1=∠2（已知），∴a∥b( )．(2) ∵∠3=∠4（已知），∴a∥b( )．23.指出下列命题的题设和结论，并把下列命题改写成“如果⋯⋯，那么⋯⋯”的形式．面积相等的两个三角形全等．24.已知：如图，m∥n，∠2=∠4=∠1，求证：∠2+∠3=180∘．25.如图，已知AD∥BE，∠1=∠2．试说明∠A=∠E的理由解：因为∠1=∠2（已知），所以∥（），所以∠E+∠=180∘（），因为AD∥BE（已知），所以∠A+∠=180∘（），所以∠A=∠E（）．答案一、选择题1. 【答案】D【知识点】内错角2. 【答案】A【解析】∵AB⊥BC，∠1=36∘，∴∠3=90∘−∠1=54∘．∵a∥b，∴∠3=∠2=54∘．【知识点】平行线的性质3. 【答案】B【解析】判断一件事情的句子叫做命题．故不是命题的有②③⑥，故选B．【知识点】命题的概念4. 【答案】D【知识点】命题的真假5. 【答案】B【解析】由题意得：∠ECD=90∘，∠D=30∘，∴∠DEC=60∘，∵∠B=45∘，∴∠1=∠DEC−∠B=15∘．【知识点】三角形的外角及外角性质6. 【答案】B【解析】①两直线平行，同位角相等，故错误，是假命题；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故错误，是假命题；③若a∥b，b∥c，则a∥c，正确，是真命题；④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确，为真命题；⑤三条直线两两相交，总有三个或一个交点，故错误，为假命题．【知识点】命题的真假7. 【答案】D【知识点】同旁内角、内错角8. 【答案】A【解析】设∠ABC=x，∠AED=y，∵AB=AC，AD=AE，∴∠ACB=∠B=x，∠AED=∠ADC=y，在△DEC中，y=β+x，在△ABD中，α+x=y+β=β+x+β，∴α=2β．【知识点】等腰三角形的性质、三角形的外角及外角性质9. 【答案】D【知识点】命题的真假10. 【答案】B【知识点】命题的真假二、填空题11. 【答案】①②【解析】①两直线平行，内错角相等，是真命题；②如果m是无理数，那么m是无限小数，是真命题；③同旁内角互补，两直线平行，是假命题；④如果a是实数，那么√a不一定是无理数，如a=4，是假命题；⑤ 64的立方根是4，是假命题．【知识点】命题的真假12. 【答案】105∘【知识点】三角形的外角及外角性质13. 【答案】假【知识点】命题的真假14. 【答案】30【知识点】平行线的性质15. 【答案】同位角相等【知识点】命题的概念16. 【答案】270°【知识点】平行公理的推论、内错角相等、同旁内角互补17. 【答案】75【知识点】三角形的外角及外角性质三、解答题18. 【答案】(1) ∵DE∥BC（已知），∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等），∵∠1=∠3（已知），∴DC∥FG（同位角相等，两直线平行），∴∠BFG=∠FDC=90∘（两直线平行，同位角相等）∴PG⊥AB（垂直定义）；(2) 是真命题．理由：∵FG⊥AB（已知），∴∠BFG=90∘=∠FDC，∴DC∥FG（同位角相等，两直线平行），∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等），∵∠1=∠3（已知），∴∠1=∠2（等量代换），∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．【知识点】平行线的性质、命题的真假、平行线及其判定19. 【答案】(1) AB；CD；内错角相等，两直线平行(2) AD；BC；内错角相等，两直线平行【知识点】内错角20. 【答案】(1) ∵∠1+∠DCB=180∘，∠1+∠2=180∘，∴∠DCB=∠2，∴AB∥CD（内错角相等两直线平行）．(2) ∵AB∥CD，∴∠A+∠ADC=180∘，∴∠ADC=180∘−50∘=130∘，又∵DB平分∠ADC，∠ADC=65∘，∴∠ADB=∠CDB=12又∵ED⊥DB，∴∠EDB=90∘，又∵∠EDC=∠EDB−∠CDB，∴∠EDC=90∘−65∘=25∘，∴∠EDC=25∘．【知识点】内错角、同旁内角互补21. 【答案】AD∥BC；∠BAD；∠D；两直线平行；同旁内角互补【知识点】平行线的性质、平行线及其判定22. 【答案】(1) 同位角相等，两直线平行(2) 内错角相等，两直线平行【知识点】内错角23. 【答案】题设：面积相等的两个三角形．结论：全等．如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等．【知识点】命题的概念24. 【答案】∵∠2=∠4，∴l∥m，∵m∥n，∴l∥n，∴∠3+∠1=180∘，∵∠2=∠1，∴∠2+∠3=180∘．【知识点】平行公理的推论、同旁内角互补、内错角25. 【答案】∵∠1=∠2，∴DE∥AC（内错角相等，两直线平行），∴∠E+∠ABE=180∘（两直线平行，同旁内角互补），∵AD∥BE，∴∠A+∠ABE=180∘（两直线平行，同旁内角互补），∴∠A=∠E（同角的补角相等）．【知识点】内错角相等、内错角。
(完整版)北师大新版数学八年级上册第七单元平行线的证明经典习题
1．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，△ABC的两条高线BE、CF交于点H，CF、BE分别交AD于M、N两点，HG平分∠BHC，下列结论：①∠ABE＝∠ACF；②∠HMN＝∠HNM；③∠AMF＝∠BAC；④AD∥HG，其中正确的结论有（只填序号）．2．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD与CE交于点M．若MN⊥BC于N，∠A＝60°，则∠1﹣∠2＝度．3．如图，在△ABC 中，D 、E分别是边AB、AC上一点，将△ABC沿DE折叠，使点A落在边BC上．若∠A＝55°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝度．4．如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A＝55°，∠1＝95°，则∠2的度数为．5．如图，把△ABC的一部分沿DE折叠，点C落在点C′的位置，若∠C＝38°，那么∠1﹣∠2的度数为．6．如图，在△ABC中，∠A＝20°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是．7．如图，BD是∠ABC的平分线，ED∥BC，∠4＝∠5，8．如图，已知：E、F分别是AB和CD上的点，DE、AF分别交BC于点G、H，AB∥CD，∠A＝∠D，试说明：（1）AF∥ED；（2）∠BED＝∠A；（3）∠1＝∠29．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．（1）求证：∠A+∠C＝∠B+D；（2）如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N．①以线段AC为边的“8字型”有个，以点O为交点的“8字型”有个；②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；③若角平分线中角的关系改为“∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．10．如图1，点E在直线AB上，点F在直线CD 上，EG⊥FG．（1）若∠BEG+∠DFG＝90°，请判断AB与CD 的位置关系，并说明理由；（2）如图2，在（1）的结论下，当EG⊥FG保持不变，EG上有一点M，使∠MFG＝2∠DFG，则∠BEG与∠MFD存在怎样的数量关系？并说明理由．（3）如图2，若移动点M，使∠MFG＝n∠DFG，请直接写出∠BEG与∠MFD的数量关系．11．完成下面推理过程：求证：AD∥BE12．如图，聪聪将一块直角三角形的两个锐角顶点A和B分别放在平面直角坐标系的x轴和y轴上，细心的他发现BC恰好是∠ABY的平分线，于是他将CB反向延长与∠BAO的平分线相交得到点P，并计算得∠P＝45°．如果点A、点B为x轴、y轴上任意位置（不与原点重合），是否仍存在“两角平分线”的交角仍等于45°？若存在，请在备用图上作图，并写出过程；若不存在，说明理由．13．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“智慧三角形”．如图，∠MON ＝60°，在射线OM 上找一点A ，过点A 作AB ⊥OM 交ON 于点B ，以A 为端点作射线AD ，交射线OB 于点C ．（1）∠ABO 的度数为 °，△AOB （填“是”或“不是”智慧三角形）；（2）若∠OAC ＝20°，求证：△AOC 为“智慧三角形”；（3）当△ABC 为“智慧三角形”时，求∠OAC 的度数．14．如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，点E 在AC 上，AD 交BE 于F ．已知EG ∥AD 交BC 于G ，EH ⊥BE 交BC 于H ，∠HEG ＝50°． （1）求∠BFD 的度数； （2）若∠BAD ＝∠EBC ，∠C ＝41°，求∠BAC 的度数． 15．在△ABC 中，BM 平分∠ABC 交AC 于点M ，点P 是直线AC 上一点，过点P 作PH ⊥BM 于点H ．（1）如图1，当∠ACB ＝110°，∠BAC ＝30°，且点P 与点C 重合时，∠APH ＝ °； （2）如图2，当点P 在AC 的延长线上时，求证：2∠APH ＝∠ACB ﹣∠BAC ；（3）如图3，当点P 在线段AM 上（不含端点）时， ①补全图形；②直接写出∠APH 、∠ACB 、∠BAC 之间的数量关系： ．16．已知：如图，△ABC 中，D ，E ，F 三点分别在AB ，AC ，BC 三边上，过点D 的直线与线段EF 的交点为点H ，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠C ． （1）求证DH ∥EC ；（2）若∠4＝32°，求∠EFC ．17．综合与探究如图，已知AM∥BN，∠A＝60°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合）．BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．【发现】（1）∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠；（2）求∠ABN、∠CBD的度数；【操作】（3）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．【探究】（4）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC 的度数是．18．如图，在△ABC中，∠1＝110°，∠C＝80°，∠2＝∠3，BE平分∠ABC，求∠4的度数．19．动手操作：一个三角形的纸片ABC，沿DE折叠，使点A落在点Aˊ处．观察猜想（1）如图1，若∠A＝40°，则∠1+∠2＝°；若∠A＝55°，则∠1+∠2＝°；若∠A＝n°，则∠1+∠2＝°．探索证明：（2）利用图1，探索∠1、∠2与∠A有怎样的关系？请说明理由．拓展应用（3）如图2，把△ABC折叠后，BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠1+∠2＝108°，利用（2）中结论求∠BA′C的度数．20．（1）如图，在△ABC 中，∠A ＝40°，∠B ＝70°，CD 是AB 边上的高，CE 是∠ACB 的平分线，DF ⊥CE 于F ，求∠CDF 的度数．21．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，∠B ＝50°，∠BAD ＝30°，将△ABD 沿AD 折叠得到△AED ，AE 与BC 交于点F ．（1）求∠AFC 的度数； （2）求∠EDF 的度数．22．△ABC 中，∠A ＝60°，点D 、E 分别是△ABC 边AC 、AB 上的点（不与A 、B 、C 重合），点P 是一动点，令∠PDC ＝∠1，∠PEB ＝∠2，∠DPE ＝∠则∠1+∠2＝ °．（2）若点P 在边BC 上运动，如图2，试判断∠α、∠1、∠2之间的关系，并证明．（3）直接写出：若点P 运动到△ABC 形外，如图3，则∠α、∠l 、∠2之间的关系为 ．23．如图1，在△ABC 中，∠B ＝90°，分别作其内角∠ACB 与外角∠DAC 的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E ． （1）∠E ＝ °；（2）分别作∠EAB 与∠ECB 的平分线，且两条角平分线交于点F ．①依题意在图1中补全图形； ②求∠AFC 的度数；（3）在（2）的条件下，射线FM 在∠AFC 的内部且∠AFM ＝∠AFC ，设EC 与AB 的交点为H ，射线HN 在∠AHC 的内部且∠AHN ＝∠AHC ，射线HN 与FM 交于点P ，若∠F AH ，∠FPH 和∠FCH 满足的数量关系为∠FCH ＝m ∠F AH +n ∠FPH ，请直接写出m ，n 的值．。
北师版八年级数学上册第七章 平行线的证明3 平行线的判定
感悟新知
知识点 2 平行线的判定定理 1
知2－讲
语言叙述
两条直线被第三 条直线所截，如 果内错角相等， 那么这两条直线 平行，简述为： 内错角相等，两 直线平行
几何语言
图示
位置关系，内错角
∵ ∠ 1= ∠ 2(已 知)，∴ a ∥ b(内 错角相等，两直 线平行)
数量关系，∠1=∠2
感悟新知
知2－讲
(2)“同位角相等，两直线平行”是通过两个同位角的大 小关系(相等)推导出两直线的位置关系(平行) . 它是联系角的 大小关系与直线的位置关系的桥梁 .
知1－练
例1 [母题 教材P172图7-6]如图7-3-1，已知直线AB，CD被 直线EF所截，∠ 1＋∠ 2＝180°，AB与CD平行吗？ 请说明理由.
知3－练
解：∵∠1＝∠AOD(对顶角相等)，∠1＝70°， ∴∠AOD＝70° . 又∵∠A＝110°， ∴∠A＋∠AOD＝180°(等式的性质). ∴ AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行).
知3－练
方法归纳：判断两直线平行的常用方法 (1) 平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫 做平行线； (2) 同位角相等，两直线平行；(3) 内错角相 等，两直线平行；(4)同旁内角互补，两直线平行；(5) 平 行于同一条直线的两条直线平行 (平行线的传递性 )；(6) 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 .
知3－练
平行线的判定
平行线 的判定
公理 定理
同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
特别解读： 利用“内错角相等”确定“两直线平行”的 关键是弄清这对内错角是哪两条直线被第三条直线所截得到 的，再说明这两条直线平行 .
第7章 平行线的证明(知识清单)-八年级数学上期中期末考试满分全攻略(北师大版)
第7章平行线的证明知识清单一、定义与命题1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.要点诠释：（1）定义实际上就是一种规定.（2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题.2.命题：判断一件事情的句子叫做命题.真命题：正确的命题叫做真命题.假命题：不正确的命题叫做假命题.要点诠释：（1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论.（2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，不能保证结论正确，即结论不成立.二、证明的必要性要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理. 推理的过程叫做证明.三、公理与定理1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理.要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理.2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理.要点诠释：证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程.四、平行公理及平行线的判定定理1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．要点诠释：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.2．平行线的判定定理判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.五、平行线的公理、定理公理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同位角相等.（简记为：两直线平行，同位角相等）.定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角相等）.定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补(简记为：两直线平行，同旁内角互补).要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”．(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．六、平行线的性质定理的探究过程1.两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角相等）.因为a ∥b,所以∠1=∠2（两直线平行，同位角相等），又∠3=∠1 (对顶角相等)所以∠2=∠3.2.两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补(简记为：两直线平行，同旁 内角互补).因为a ∥b,所以∠3=∠2（两直线平行，内错角相等），又∠3+∠1=180°（补角的定义），所以∠2+∠1=180°.要点诠释：平行线性质定理的证明，要借助平行线线性质公理，因为公理是人们在生产和生活中总结出来的正确的结论，不需要证明，但是定理、性质或推论到的证明其正确性.七、平行线的性质与判定（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．（3）平行线的判定与性质的联系与区别区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．321cba八、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．九、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．。
北师大版八年级数学上册平行线的证明知识点归纳
北师大版八年级数学上册《平行线的证明》知识点归纳北师大版八年级数学上册《平行线的证明》知识点归纳第七章平行线的证明1、为什么要证明？实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确，因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有理有据的证明。
2、定义与命题（1）定义：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义。
（2）命题：判断一件事情的句子，叫做命题。
一般地，每个命题都由条件和结论两部分组成。
条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。
命题可以写成“如果......那么......”的形式，其中如果引出的部分是条件，那么引出的部分是结论。
（3）真命题：正确的命题称为真命题。
（4）假命题：不正确的命题称为假命题。
要说明一低点命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具备命题的结论，这种例子称为反例，3、公理、定理公理：公认的真命题称为公理。
证明：演绎推理的过程称为证明。
定理：经过证明的真命题称为定理。
4、本书认定的真命题：（1）、两点确定一条直线。
（2）、两点之间的距离最短。
（3）、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
（4）、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
（5）、过直线外一点有且只有一条直线�_ 这条直线平行。
（6）、两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。
（7）、两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。
（8）、三边分别相等的两个三角形全等。
（9）、数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质，以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据。
（10、）同角（等角）的补角相等。
同角（等角）的余角相等。
（11）、三角形的任意两边之和大于第三边。
（12）、对顶角相等。
5、平行线的判定;两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
（内错角相等，两直线平行）。
两条直线被第三条直线所载，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
(典型题)北师大版八年级上册数学第七章 平行线的证明含答案
北师大版八年级上册数学第七章平行线的证明含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，若，则的度数为（）A.70°B.90°C.40°D.60°2、如图，在证明“△ABC内角和等于180°”时，延长BC至D，过点C作CE∥AB，得到∠ABC=∠ECD，∠BAC=∠ACE，由于∠BCD=180°，可得到∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，这个证明方法体现的数学思想是（）A.数形结合B.特殊到一般C.一般到特殊D.转化3、如图，在△ABC中，∠A＝20°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是（）A.24°B.25°C.30°D.36°4、如图，在△ABC中，∠BAC=62°，∠C=48°，AD垂直BC于点D，则∠BAD的度数是（）A.15°B.16°C.18°D.20°5、如图，在△ACD和△BCE中，AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，AD与BE相交于点P，则∠BPD的度数为（）A.120°B.125°C.130°D.155°6、已知一个等腰三角形一内角的度数为，则这个等腰三角形顶角的度数为（）A. B. C. 或 D. 或7、直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数是（）A.45°B.135°C.45°或135°D.都不对8、如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BOC=110°，AD//OC,则∠ABD 等于( )A. B. C. D.9、如图，在△ABC中，PM、QN分别是线段AB、AC的垂直平分线，若∠PAQ＝40°，则∠BAC的度数是（）A.110°B.100°C.120°D.70°10、如图：在△ABC中，∠B=45°，D是AB边上一点，连接CD，过A作AF⊥CD 交CD于G，交BC于点F.已知AC=CD，CG=3，DG=1，则下列结论正确的是（）①∠ACD=2∠FAB② ③ ④ AC=AFA.①②③B.①②③④C.②③④D.①③④11、如图，已知 AB=AC,AD=BD=BC,则∠A 等于（）A.30°B.35°C.36°D.45°12、如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=（）A.180°B.260°C.270°D.360°13、下列叙述中，正确的有（）①如果，那么；②满足条件的n不存在；③任意一个三角形的三条高所在的直线相交于一点，且这点一定在三角形的内部；④ΔABC中，若∠A+∠B=2∠C, ∠A-∠C=40°，则这个△ABC为钝角三角形.（）A.0个B.1个C.2个D.3个14、如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（）A.18°B.24°C.30°D.36°15、在△ABC中，∠C=80°，∠B=40°，则∠A的度数为（）A.30°B.40°C.50°D.60°二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，完成证明及理由已知：∠1=∠E，∠B=∠D求证：AB∥CD证明：∵∠1=∠E(________）∴________∥________（________）∴∠D+∠2=180°（________）∵∠B=∠D（________）∴∠________+∠________=180°（________）∴AB∥CD（________）17、阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小凡利用两块形状相同的三角尺进行如下操作：老师说：“小凡的作法正确．”请回答：小凡的作图依据是________18、如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A=36°，∠C′=24°，则∠B=________.19、如图，AB∥CD，CB平分∠ACD，若∠BCD=35°，则∠A的度数为________.20、等腰三角形的一个角是80°，则这个等腰三角形的顶角的度数是________．21、如图，把一张长方形纸条按图中那样折叠后，若得到∠AOB′=70°，则∠OGC=________.22、如图，直线a∥b，则∠A的度数是________．23、请看杨辉三角(1)，并观察下列等式(2)根据前面各式的规律，则(a+b)6=________ 。
北师大版八年级上册 第七章 平行线的证明 复习回顾(知识点+典型题)
八上第七章《平行线的证明》复习回顾一.基本概念（一）定义：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，这就是定义。
在表示定义的句子中常有“叫…，称为…，是…”等关键字眼。
（二）命题：判断一件事情的句子，叫做命题 1.它包含两层含义：①命题必须是一个完整的句子，常为陈述句； ②命题必须对某件事作出肯定或否定的判断； 2. 每个命题都由条件和结论两部分组成。
条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出来的事项。
一般地，命题都可以写成“如果……，那么……”的形式。
3.命题有真命题、假命题、逆命题之分。
（三）公理：公认的真命题称为公理；公理是不需要经过推理证实的真命题。
（四）定理：经过证明的真命题称为定理；公理和定理都可以作为判断其他命题真假的依据。
（五）证明：推理的过程称为证明 例1．下列命题是真命题的是（ ）A ．若直角三角形其中两边为3和4，则第三边为5B ．﹣1的立方根是它本身C ．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行D ．内错角相等 例2.下列四个命题中,真命题有（ ）①两条直线被第三条直线所截,内错角相等；②如果∠1和∠2是对顶角,那么∠1=∠2；③ 三角形的最大角不小于60°；④如果，＞02x 那么.0＞x A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 例3.下列命题中，真命题的是( ) A. 同旁内角互补 B. 相等的角是对顶角 C. 同位角相等，两直线平行 D. 直角三角形两个锐角互补 二.基本性质（一）平行线的性质与判定1.性质①两直线平行，同位角相等； ②两直线平行，内错角相等； ③两直线平行，同旁内角互补； ④平行于同一直线的两直线平行； 2.判定①同位角相等，两直线平行； ②内错角相等，两直线平行； ③同旁内角互补，两直线平行；④在同一平面内，不相交的两直线平行；（定义判别） ⑤平行于同一直线的两直线平行；⑥在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行；例4．在下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB ∥CD 的是（ ）A ．B ．C ．D ．例5.如图,直线EF 分别交AB 、CD 于点E 、F,EG 平分∠BEF,AB ∥CD.若∠1=72°,则∠2的度数为（ ） A.54° B.59° C.72° D.108°例6.将一副直角三角板如图放置,使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合,则∠1的度数为_________.例7.如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的平分线交于点D ，过点D 作BC 的平行线交AB 于点E ，交AC 于点F ，已知∠BED +∠CFD =240∘，则∠BDC =______． 例8.如图，在△ABC 中，D 为AB 上一点，E 为AC 中点，连接DE 并延长至点F ，使得EF =ED ，连CF ．(1)求证：CF//AB(2)若∠ABC =50∘，连接BE ，BE 平分∠ABC ，AC 平分∠BCF ，求∠A 的度数．练习：1.如图，已知AB ∥CD ，BC ∥DE ，那么∠B +∠D =__________.2、如图，写出两个能推出直线AB ∥CD 的条件________________________. 3.如图，AD=CD ，AC 平分∠DAB ，求证DC ∥AB .例5图32例6图第2题第1题CAB DE4.已知：如图，AB∥CD，∠BPF与∠CGE是一对内错角，PQ平分∠BPF，GH平分∠CGE．求证：PQ∥GH．5.如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠3=∠C.求证：∠1=∠2.6．如图，AB∥CD，∠1＝58°，FG平分∠EFD，求∠FGB的度数7．如图，AB∥CD，点E在CB的延长线上，若∠ABE＝60°，求∠ECD的度数AB GD F CE132（二）复杂图形中平行线的构造和应用解题关键：遇到拐点处作已知平行线的平行线，然后根据同位角、内错角和同旁内角的关系求角的度数。
北师大版八年级数学上册《平行线的性质》平行线的证明
,
∴AD∥BE(
).
,即∠
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=∠
,
答案 BAE;两直线平行,同位角相等;BAE;等量代换;∠1;∠2;BAE; DAC;DAC;内错角相等,两直线平行
4 平行线的性质
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6.如图7-4-6,已知∠1+∠2=180° ,∠A=∠C,DA平分∠FDB,试证明∠3= ∠4.
图7-4-6
4 平行线的性质
栏目索引
解析 (1)∵四边形ABCD为长方形,∴AD∥BC, ∴∠1+∠2=180° , ∵∠1=110° ,∴∠2=70° . (2)由折叠的性质得∠D'=90° , 若D'C'∥BC,则有∠EGF=∠D'=90° , ∵AD∥BC, ∴∠2=∠EGF=90° , 则当∠2等于90度时,D'C'∥BC.
图7-4-8
4 平行线的性质
证明 ∵AD⊥BC,EF⊥BC(已知), ∴∠ADC=∠EFD=90° (垂直的定义), ∴AD∥EF(同位角相等,两直线平行), ∴∠3=∠BAD(两直线平行,内错角相等), ∠DAC=∠E(两直线平行,同位角相等), ∵AD平分∠BAC(已知), ∴∠BAD=∠DAC(角平分线的定义), ∴∠E=∠3(等量代换).
4 平行线的性质
栏目索引
3.(2016四川资阳安岳期末) 是大众汽车的标志图案,其中蕴涵着许多 几何知识.如图,已知BC∥AD,BE∥AF.
(1)∠A与∠B相等吗?请说明理由; (2)若∠DOB=135° ,求∠A的度数.
4 平行线的性质
栏目索引
解析 (1)相等.理由:因为BC∥AD(已知),所以∠B=∠DOE(两直线平行, 同位角相等).因为BE∥AF(已知),所以∠A=∠DOE(两直线平行,同位角 相等),所以∠A=∠B(等量代换). (2)因为BC∥AD(已知),所以∠B+∠DOB=180° (两直线平行,同旁内角互 补),又因为∠DOB=135° ,所以∠B=180° -135° =45° ,又∠A=∠B,所以 ∠A=45° .
北师版八年级上第七章平行线的证明知识点总结及习题
八年级上册第七章平行线的证明【要点梳理】要点一、定义、命题及证明1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.2.命题：判断一件事情的句子，叫做命题.要点诠释：（1）每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.（2）正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题.（3）公认的真命题叫做公理.(4) 经过证明的真命题称为定理.3.证明:在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这种演绎推理的过程称为证明.要点诠释：（1）实验、观察、操作所得出的结论不一定都正确，必须推理论证后才能得出正确的结论．（2）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等.（3）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可．要点二、平行线的判定与性质1．平行线的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行．判定方法2：内错角相等，两直线平行．判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.2．平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．要点三、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．推论：（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．要点诠释：（1）由一个公理或定理直接推出的真命题，叫做这个公理或定理的推论.（2）推论可以当做定理使用.基础训练一、选择题1.下列语句中，是命题的是( ).A.作线段AB=CDB.在线段AB上任取一点C.作∠A的平分线AMD.两个锐角的和大于直角2.下列命题中，属于定义的是( ).A.两点确定一条直线B. 点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度C.两直线平行，内错角相等D. 同角或等角的余角相等3.下列命题中，是真命题的是( ).A.同位角相等B.同位角相等，两直线平行C.互补的两角一定有一条公共边D.一个角的余角大于这个角4.下列命题中，假命题是( ).A.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行B.两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行C.两条直线被第三条直线所截，如果内错角互补，那么这两条直线平行D.如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行5.如图1，可以得到DE∥BC的条件是( ).图1 图2 图3 图4 A.∠ACB=∠BAC; B.∠ABC+∠BAE=180°C.∠ACB+∠BAD=180;D.∠ACB=∠BAD6.如图2，如果∠1=∠2，那么下面结论正确的是( ).A.AD∥BCB.AB∥CDC.∠3=∠4D.∠A=∠C7.如图3，∠B=75°，∠DEC=100°，∠EDB=105°，则∠C等于( ).A.75°B.115°C.80°D.100°8.如图4，AB∥CD，∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是( ).A.60°B.70°C.80°D.65°9.如图5，直线l1∥l2，AF∶FB=2∶3，BC∶CD=2∶1，则AE∶EC是（）.A.5∶2B.4∶1C.2∶1D.3∶210.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点G，E为AD的中点，连接BE交AC于点F，连接FD，若∠BFA=90°，则下列四对三角形：①△BEA与△ACD；②△FED与△DEB；③△CFD与△ABC；④△ADF与△CFB。
北师大版初中数学八年级上册 第七章 平行线的证明复习题 ——探究三角形内外角平分线夹角 课件
∠A＋∠P＝( C)
A．70° B．80°
C．90° D．100°
2. 如图所示，BE平分∠ABC，CE平分∠ACM，CE交BF 的延长线于点E，请你判断∠ACE与∠ABE的大小关系 ， 并证明。
课后作业：
3.如图，在△ABC中，∠A=52°，∠ABC与∠ACB的角平
分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此 类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C 的度数是（ ）
∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…以此类推得到∠A2019，
则∠A2019的度数是
.
课前问题
2、如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分别平分∠ABC、 ∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE 分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ， 则∠F=__1_5_°__．
CE平分∠ACM，
∴∠ECM＝
1∠ACM， 2
1 ∠CBE＝2
∠ABC.
∵∠ACM＝∠A＋∠ABC，
∠ECM＝∠E＋∠CBE，
∴∴∠ ∠EE＋＝∠1∠CBAE. ＝12
(∠A＋∠ABC)＝1∠A＋1∠ABC.
2
2
2
类型3 一个内角平分线与一个外角平分线的夹角
【方法归纳】
三角形的一个内角平分线与一个外角平分线 交于一点，所形成的夹角的度数等于第三角度数 的一半。
如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分
线相交于点D，则∠BDC＝90°＋1 ∠A.
2
变式训练：
1．(大庆中考)如图，在△ABC中，∠A＝40°，D点是∠ABC和
∠ACB平分线的交点，则∠BDC＝ —11—0—°— ．
新北师大版八年级数学上册第七章平行线的证明知识点复习
AB E P DC F平行线的证明知识点复习知识点1:命题（1）判断一件事情的句子，叫_____________. _______的命题是真命题，不正确的命题是___________.（2）公认的真命题称为____________,经过证明的真命题称为_____________.典型练习：1：判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例：①．若a>b ，则ba 11 ． ②．两个锐角的和是锐角．③．同位角相等，两直线平行． ④．一个角的邻补角大于这个角． ⑤．两个负数的差一定是负数．2．甲、乙、丙、丁四个小朋友在院里玩球，忽听“砰”的一声，球击中了李大爷家的窗户.李大爷跑出来查看，发现一块窗户玻璃被打裂了.李大爷问:“是谁闯的祸?”甲说:“是乙不小心闯的祸.” 乙说:“是丙闯的祸.”丙说:“乙说的不是实话.” 丁说:“反正不是我闯的祸.”如果这四个小朋友中只有一个人说了实话,请你帮李大爷判断一下,究竟是谁闯的( )A.甲B. 乙C.丙D.丁知识点2：平行线（1）.平行线的判定：公理:____________相等,两直线平行. 判定定理1:___________相等,两直线平行.判定定理2:_______________,两直线平行. 定理：平行于同一直线的两直线___________.（2）.平行线的性质公理:两直线平行,同位角___________. 性质定理1:两直线平行,内错角_________.性质定理2:两直线平行,同旁内角__________.典型练习：1、已知如图∠1=∠2，BD 平分∠ABC ，求证：AB//CD2.已知：BC//EF ，∠B=∠E ，求证：AB//DE 。
3、小明到工厂去进行社会实践活动时，发现工人师傅生产了一种如图所示的零 件，要求AB ∥CD ，∠BAE=35°，∠AED=90°．小明发现工人师傅只是量出∠BAE=35°，∠AED=90°后，又量了∠EDC=55°，于是他就说AB 与CD 肯定是平行的，你知道什么原因吗？4．如图，某湖上风景区有两个观望点A，C和两个度假村B，D．度假村D在C的正西方向，度假村B在C的南偏东30°方向，度假村B到两个观望点的距离都等于2km．（1）求道路CD与CB的夹角；（2）如果度假村D到C是直公路，长为1km，D到A是环湖路，度假村B到两个观望点的总路程等于度假村D到两个观望点的总路程．求出环湖路的长；（3）根据题目中的条件，能够判定DC∥AB吗？若能，请写出判断过程；若不能，请你加上一个条件，判定DC∥AB．5.与平行线有关的探究题（1）、利用平行线的性质探究：如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①②③④四个部分，规定线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA、PB，构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角．当动点P落在第①部分时，小明同学在研究∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系时，利用图1，过点P 作PQ∥BD，得出结论：∠APB=∠PAC+∠PBD．请你参考小明的方法解决下列问题：（1）当动点P落在第②部分时，在图2中画出图形，写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系；（2）当动点P落在第③、第○4部分时，在图3、图4中画出图形，探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系，写出结论并选择其中一种情形加以证明．知识点三：三角形的内角和外角(1)三角形内角和定理：三角形的内角和等于__________.(2) 定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的____________________.(3) 定理：三角形的一个外角大于任何一个和它____________________.典型练习：1.如下几个图形是五角星和它的变形．（1）图（1）中是一个五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E；（2）图（2）中的点A向下移到BE上时，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化？说明你的结论的正确性；（3）把图（2）中的点C向上移到BD上时，如图（3）所示，五个角的和（即∠CAD+∠B+ ∠ACE+∠D+∠E）有无变化？说明你的结论的正确性．2.．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题.探究1：如图1，在△ABC 中，O 是∠AB C 与∠ACB 的平分线BO 和CO 的交点，通过分析发现∠BOC =90°+21∠A,理由如下: ∵BO 和CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，∴∠1=21∠ABC ，∠2=21∠ACB ∴∠1+∠2=21(∠ABC+∠ACB)又∵∠ABC+∠ACB=180°—∠A∴∠1+∠2=21（180°—∠A ）=90°—21∠A ∴∠BOC=180°—（∠1+∠2）=180°—（90°—21∠A ） ∴∠BOC=90°+21∠A 探究2：如图2,O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A 有怎样的关系？ 请说明理由.探究3：如图3，O 是外角∠DBC 与外角∠ECB 的平分线BO 和CO 的交点，则∠BOC 与∠A 有怎样的关系？（只写结论，不需证明）综合测试题：一、填空题1.如上图，AD ∥BC ，AC 与BD 相交于O ，则图中相等的角有_____对.2.如上右图，已知AB ∥CD ，∠1=100°，∠2=120°，则∠α=_____.3.如右图，DAE 是一条直线，DE ∥BC ，则∠BAC =_____.4.“一次函数y=kx-2，当k>0时，y 随x 的增大而增大”是一个_______命题（填“真”或“假”）二、选择题1.下列命题正确的是( )A.内错角相等B.相等的角是对顶角C.三条直线相交 ，必产生同位角、内错角、同旁内角D.同位角相等，两直线平行2.两平行直线被第三条直线所截，同位角的平分线( )A.互相重合B.互相平行C.互相垂直D.相交3. 下列句子中,不是命题的是( )A.三角形的内角和等于180度;B.对顶角相等;C.过一点作已知直线的平行线;D.两点确定一条直线.4.如右图，已知∠1=∠B ，∠2=∠C ，则下列结论不成立的是( )A.AD ∥BCB.∠B =∠CC.∠2+∠B =180°D.AB ∥CD5.如右图，若AB∥CD，则∠A、∠E、∠D之间的关系是( )A.∠A+∠E+∠D=180°B.∠A－∠E+∠D=180°C.∠A+∠E－∠D=180°D.∠A+∠E+∠D=270°三、解答题1.如图，已知AB∥CD，∠B=65°，CM平分∠BCE，∠MCN=90°，求∠DCN的度数.2.如图，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，问直线EF与AB有怎样的位置关系，为什么？3.如图，如图，在三角形ABC中，∠C=70°，∠B=38°，AE是∠BAC的平分线，AD⊥BC于D．（1）求∠DAE的度数；（2）判定AD是∠EAC的平分线吗？说明理由．（3）若∠C=α°，∠B=β°，试猜想∠DAE与∠C—∠B有何关系，并证明你的猜想.∠DAE的度数．（∠C＞∠B）4.如图，y轴的负半轴平分∠AOB，P为y轴负半轴上的一动点，过点P作x轴的平行线分别交OA、OB 于点M、N．（1）如图1，MN⊥y轴吗？为什么？（2）如图2，当点P在y轴的负半轴上运动到AB与y轴的交点处，其他条件都不变时，等式∠APM=（∠OBA﹣∠A）是否成立？为什么？（3）当点P在y轴的负半轴上运动到图3处（Q为BA、NM的延长线的交点），其他条件都不变时，试问∠Q、∠OAB、∠OBA之间是否存在某种数量关系？若存在，请写出其关系式，并加以证明；若不存在，请说明理由．。
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因为 AB∥CD，所以 FG∥CD. 所以∠CDF＝∠DFG. 所以∠ABF＋∠CDF＝∠BFG＋∠DFG＝∠BFD＝120°. 因为 BE 平分∠ABF，DE 平分∠CDF， 所以∠ABE＝12∠ABF，∠CDE＝12∠CDF.
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所以∠ABE＋∠CDE＝12(∠ABF＋∠CDF)＝12×120°＝60°. 过点 E 作 EH∥AB，所以∠BEH＝∠ABE. 因为 AB∥CD，所以 EH∥CD. 所以∠DEH＝∠CDE. 所以∠BEH＋∠DEH＝∠ABE＋∠CDE，即∠BED＝60°.
同学们下课啦
授课老师：xxx
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教师课堂用语在学科专业方面重在进行“引”与“导”，通过点拨、搭桥等方式让学生豁然开朗，得出结论，而不是和盘托 出，灌输告知。一般可分为：启发类、赏识类、表扬类、提醒类、劝诫类、鼓励类、反思类。
一、启发类
1. 集体力量是强大的，你们小组合作了吗?你能将这个原理应用于生活吗?你的探究目标制定好了吗? 2. 自学结束，请带着疑问与同伴交流。 3. 学习要善于观察，你从这道题中获取了哪些信息? 4. 请把你的想法与同伴交流一下，好吗? 5. 你说的办法很好，还有其他办法吗?看谁想出的解法多? 二、赏识类
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8 ． 如 图 ， CE平 分 ∠ BCD， DE 平 分 ∠ CDA， ∠ EDC＋ ∠ECD＝90°，∠A＝100°，求∠B的度数． 解：因为 CE 平分∠BCD，DE 平分∠CDA， 所以∠EDC＋∠ECD＝ 12(∠ADC＋∠BCD)＝90°.
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所以∠ADC＋∠BCD＝180°. 所以AD∥BC. 所以∠A＋∠B＝180°. 因为∠A＝100°， 所以∠B＝80°.
北师八年级上册数学第7章 平行线的证明 全章热门考点整合应用
9 如图，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA，∠EDC ＋∠ECD＝90°，∠A＝100°，求∠B的度数．
解：∵CE 平分∠BCD，DE 平分∠CDA，
∴∠EDC＋∠ECD＝12(∠ADC＋∠BCD)＝90°. ∴∠ADC＋∠BCD＝180°. ∴AD∥BC. ∴∠A＋∠B＝180°. ∵∠A＝100°， ∴∠B＝80°.
(答案不唯一)
【2020·杭州采荷中学期末】有下面四个命题：
4
①若 x＜0，则 x2＝－x；
②在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边 的平方； ③函数 y＝－2x 中，y 随 x 的增大而减小； ④样本 8，8，9，10，12，12，12，13 的中位数与 众数分别是 12，12. 其中真命题的序号是__①__②__③____．
＝12×120°＝60°. 过点 E 作 EH∥AB，∴∠BEH＝∠ABE. 又∵AB∥CD，∴EH∥CD.∴∠DEH＝∠CDE. ∴∠BEH＋∠DEH＝∠ABE＋∠CDE，即∠BED＝60°.
15 【教材P185复习题T9拓展】如图，在△ABC中，AD是边BC 上 的 高 ， AE是 ∠BAC的平分线 ． 若∠ B＝50°， ∠ C＝ 70°，求∠EAD的度数．试猜想：若∠B＝α，∠C＝β(β＞ α)，则∠EAD的度数是多少？(用含α，β的式子表示)
【原创题】某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发 7
现，可以把它抽象成数学问题(如图所示)：已知AB∥CD，
∠BAE＝87°，∠DCE＝121°，则∠E的度数是( )
A．28°B．34°C．46°D．56°
B
8 【中考·日照】将一副直角三角尺按图中所示位置
摆放，保持两条斜边互相平行，则∠1＝( D ) A．30°B．25°C．20°D．15°
第七章 平行线的证明 知识梳理与训练 北师大版数学八年级上册
八年级数学第七章平行线的证明（知识梳理）班级：姓名【考点1：定义与命题】1.下列属于定义的是（）A．太阳从东方升起B．同角的补角相等C．若a＝b，则a＋c＝b＋cD．三角形的外角是三角形内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角2.下列句子属于命题的是（）A．画线段AB B．任何一个角都有余角吗C．画角的平分线D．两点之间线段最短3．下列四个命题中，是真命题的是（）A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等B．无限小数都是无理数C．如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2D．三角形的一个外角大于任何一个内角4．判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（）A．﹣2B．﹣C．0D．【考点2：平行线的性质与判定】5.如图，已知BE∥DF，∠B＝∠D，那么AD与BC有何位置关系？请说明理由．6.如图，直线MN分别与直线AC、DG交于点B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C．（1）求证：BE∥CF；（2）若∠C＝35°，求∠BED的度数．【考点3：三角形内角和与外角和】7．已知：△ABC中，∠A+∠B＝∠C，则∠C＝．8．在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（）A．必有一个内角等于30°B．必有一个内角等于45°C．必有一个内角等于60°D．必有一个内角等于90°9．在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则△ABC是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法确定10．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED内部时，∠A与∠1+∠2之间的数量关系为.11.如图，已知△ABC中，∠A＝54°，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，则∠E＝度．第10题图第11题图第12题图12．如图，△ABC中，∠A＝100°，BI、CI分别平分∠ABC，∠ACB，则∠BIC＝，若BM、CM分别是∠ABC，∠ACB的外角平分线，则∠M ＝．13．如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连CF．（1）求证：CF∥AB（2）若∠ABC＝50°，连接BE，BE平分∠ABC，AC平分∠BCF，求∠A的度数．14.如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D。
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八年级上册第七章平行线的证明
【要点梳理】
要点一、定义、命题及证明
1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.
2.命题：判断一件事情的句子，叫做命题.
要点诠释：
（1）每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.
（2）正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题.
（3）公认的真命题叫做公理.
(4) 经过证明的真命题称为定理.
3.证明:在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这种演绎推理的过程称为证明.要点诠释：
（1）实验、观察、操作所得出的结论不一定都正确，必须推理论证后才能得出正确的结论．
（2）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等.
（3）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可．要点二、平行线的判定与性质
1．平行线的判定
判定方法1：同位角相等，两直线平行．
判定方法2：内错角相等，两直线平行．
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．
要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：
（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.
（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.
（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.
（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
2．平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：
（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．
（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．
要点三、三角形的内角和定理及推论
三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．
推论：（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
要点诠释：
（1）由一个公理或定理直接推出的真命题，叫做这个公理或定理的推论.（2）推论可以当做定理使用.
A B
C D
F
G E
图6
基础训练
一、选择题
1.下列语句中，是命题的是( ).
A.作线段AB=CD
B.在线段AB 上任取一点
C.作∠A 的平分线AM
D.两个锐角的和大于直角 2.下列命题中，属于定义的是( ).
A.两点确定一条直线
B. 点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度
C.两直线平行，内错角相等
D. 同角或等角的余角相等 3.下列命题中，是真命题的是( ).
A.同位角相等
B.同位角相等，两直线平行
C.互补的两角一定有一条公共边
D.一个角的余角大于这个角 4.下列命题中，假命题是( ).
A.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
B.两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
C.两条直线被第三条直线所截，如果内错角互补，那么这两条直线平行
D.如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 5.如图1，可以得到DE ∥BC 的条件是( ).
图1 图2 图3 图4 A.∠ACB =∠BAC ; B.∠ABC +∠BAE =180° C.∠ACB +∠BAD =180; D.∠ACB =∠BAD
6.如图2，如果∠1=∠2，那么下面结论正确的是( ).
A.AD ∥BC
B.AB ∥CD
C.∠3=∠4
D.∠A =∠C 7.如图3，∠B =75°，∠DEC =100°，∠EDB =105°，则∠C 等于( ). A.75° B.115° C.80° D.100°
8.如图4，AB ∥CD ，∠A =25°，∠C =45°，则∠E 的度数是( ). A.60° B.70° C.80° D.65°
9.如图5，直线l 1∥l 2，AF ∶FB=2∶3，BC ∶CD=2∶1，则AE ∶EC 是
（ ）.
A.5∶2
B.4∶1
C.2∶1
D.3∶2 10.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点G ，E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于点F ，连接FD ，若∠BFA
=90°，则下列四对三角形：①△BEA 与△ACD ；②△FED
与△DEB ；③△CFD 与△ABC ；④△ADF 与△CFB 。
其中相
似的为（ ）.
A 、①④
B 、①②
C 、②③④
D 、①②③
图5
二、填空题
11.命题“邻补角的平分线互相垂直”的条件是____________________，结论是 ，这个命题是真命题还是假命题： . 12.一名道路勘测员从A 点出发向北偏东60°方向走到B 点，再从B 点出发向南偏西15°方向走到C 点，则∠ABC 的度数是 . 13.把命题“相似多边形的面积比等于相似比的平方”改写成如果 ， 那么 .
14.若一个三角形的三个内角之比为4︰3︰2，则这个三角形的最大内角为
____________.
15.如图，BE 平分∠ABC ，DE ∥BC ，图中相等的角共有 对. 16.把一张长方形纸片如图所示折叠后，再展开，如果∠1=55°，
那么∠2等于 .
17.三角形的第二个角是第一个角的1.5倍，第三个角比这两个角的和 大30°，则最大角的度数为 .
18.如图所示，三角形的两内角平分线的交角∠BOC= ；两外角 平分线的交角∠BO ′C= .
19.在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C = 2∶3∶4，则∠B = . 20.把“等角的余角相等”改写成 “如果……，那么……”的形式是 .
21.如图7，AD 、BE 、CF 为△ABC 的三条角平分线，则：∠1+∠2+∠3=________.
图7 图8 图
9 图10 22.如图8所示，AD 是△ABC 的外角∠CAE 的平分线，∠B =40°，∠DAE =70°，则∠ACD = . 23.如图10，已知∠1 = 20°，∠2 = 25°，∠A = 35°，则∠BDC 的度数为 . 24.如图9，AB ∥CD ，∠1=100°，∠2=120°，则∠α=________.
三、解答题。
1. 如图，AB ∥CD ，AD ∥BC ，∠B=50°，∠EDA=60°，求∠CDO.
A
2
1
D B
C F
2
B
C
A
D 1 2 E
A B C D
2.直线AB 、CD 与GH 交于E 、F ，EM 平分∠BEF ，FN 平分∠DFH ，∠BEF = ∠DFH ，
求证：EM ∥FN.
3.如图，已知：AB ∥DE ，∠B +∠E =180 ，求证：BC ∥EF.
4.如图所示，已知∠BED = ∠B + ∠D ，求证：AB ∥CD.
5.如图，已知CD 是∠ACB 的平分线，∠ACB = 50°，∠B = 70°，DE ∥BC ， 求：∠EDC 和 ∠BDC 的度数.
6.已知，如图6－83，△ABC 中，∠C >∠B ,AD ⊥BC 于D ，AE 平分∠BA C. 求证：∠DAE =2
1（∠C －∠B ）.
A
B
F 1
2 D C E
3 A B
D
C
E A B
C D
E
H A B C D
E
F M N
G
D E F P
B A
C 7.如图，在梯形ABC
D 中，∠C =60°，AD ∥BC ，且AD =DC=AB ，
E 、
F 分别在AD 、DC 的延长线上， 且DE =CF ，AF 、BE 交于点P ． （1）求证：AF =BE ； （2）请你猜测∠BPF 的度数，并证明你的结论．
8.（8分）如图所示，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B ，试判断∠AED 与∠C 的大小关系，并对结论进行证明.。