安徽大学高等数学理科答案

安徽大学高等数学理科（下）期中测试试题答案 一，填空题

1. 4；

2. 2

2e

π；3. 32a π ；4.

1101d (,)d y f x y x ⎰⎰ 二、选择题

5 B ；

6 C ；

7 A ；

8 D .

三、计算题

9. 解:令(,,)23,z F x y z z e xy =-+-则

(1,2,0)(1,2,0)(1,2,0)(1,2,0)24,(1,2,0)22,(1,2,0)(1)

z x y z F y F x F e =====-=曲面在点(1,2,0)处的一个法向量为 {}4,2,0n =

故切平面方程为 4(1)2(2)0x y -+-=

即 240x y +-=

法线方程为 120210

x y z ---==

10. 解：设窗户的宽为2x ，矩形的高为y ，则22x y x l π++=

窗户的面积为 2122

s xy x π=+ 令21(,,)2(22)2

L x y xy x x y x l λπλπ=++++- 由2(2)0220220x

y L y x L x L x y x l λπλπλπ⎧'=+++=⎪⎪'=+=⎨⎪'=++-=⎪⎩

得4l x y π==+ 由于窗户面积最大值存在且驻点(,)44

l l ππ++唯一，故当窗户的宽为

24l π+，矩形高为4

l π+时，窗户采光面积最大。 11. -2/5(利用对称性)。

12．解：作柱坐标变换

令cos ,sin ,[0],02x r y r r θθθπ==∈≤≤则，2

2222200/2r I d rdr r dz π

θ=⎰⎰⎰ =163

π 13. 解：添加:0,:40BO y x =→

L 与BO 围成封闭曲线，设L 与BO 围成的区域为D

因24,356P x y Q x y =--=+-

所以 1,3P Q y x

∂∂=-=∂∂ 由Green 公式

(24)(356)L BO x y dx x y dy +--++-⎰

(31)16D d σ=-+=-⎰⎰

(24)(356)BO x y dx x y dy --++-⎰

4

(24)x dx =-⎰24(4)0x x =--=0 因此

(24)(356)L

x y dx x y dy --++-⎰16016=--=-