第六讲 二次函数与实际问题(一)

第六讲：二次函数与实际问题（一） 教学设计者：黄 勇 教学接受者：

一、 考点梳理：

考点一：利润问题： 总利润=总售价 – 总成本

总利润=每件商品的利润×销售数量

二、典型例题

例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其中AF=2，BF=1．试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积．

例2 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x （元）•与产品的日销售量y （件）之间的关系如下表：

x （元） 15 20 30 … y （件） 25 20 10 …

若日销售量y 是销售价x 的一次函数．

（1）求出日销售量y （件）与销售价x （元）的函数关系式；

（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？•此时每日销售利润是多少元？ 解析:（1）设此一次函数表达式为y=kx+b ．则1525,

220k b k b +=⎧⎨

+=⎩

解得k=-1，b=40，•即一次函数表达式为y=-x+40．

（2）设每件产品的销售价应定为x 元，所获销售利润为w 元

w=（x-10）（40-x ）=-x 2+50x-400=-（x-25）

2+225．

产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元．

例3.你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名

学生拿绳的手间距为4 m ，距地面均为1m ，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m 、2．5 m 处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5 m ，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示) ( )

A ．1．5 m

B ．1．625 m

C ．1．66 m

D ．1．67 m 分析：本题考查二次函数的应用 答案：B

二、经典练习题

1、（2009年内蒙古包头）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是cm2．

2、(2010年聊城冠县实验中学二模)某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是________________

3、用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成,并且在与砖墙相对的一面开2米宽的门(不用篱笆),问养鸡场的边长为多少米时,养鸡场占地面积最大?最大面积是多少?

4、某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，经调查发现，若每件衬衫每降价1元，商场平均每天可以多售出2件．（1）若每件降价x元，每天盈利y元，求y与x的关系式．（2）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（3）每件衬衫降价多少元时，商场每天盈利最多？盈利多少元？

5、某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x元．求：

（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式．

（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式．

（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？

6、某商店经营一批进价每件为2元的小商品，在市场营销的过程中发现：如果该商品按每件最低价3元销售，日销售量为18件，如果单价每提高1元，日销售量就减少2件．设销售单价为x（元），日销售量为y（件）．（1）写出日销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）设日销售的毛利润（毛利润=销售总额-总进价）为P（元），求出毛利润P（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（3）在下图所示的坐标系中画出Ｐ关于x的函数图象的草图，并标出顶点的坐标；

（4）观察图象，说出当销售单价为多少元时，日销售的毛利润最高？是多少？

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1 1

2 1

60 50 40 30 20 10 P/元

O

x/元

7、我州有一种可食用的野生菌，上市时，外商李经理按市场价格20元/千克收购了这种野生菌1000千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元；但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元，而且这类野生菌在冷库中最多保存160元，同时，平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售．

（1）设x 到后每千克该野生菌的市场价格为y 元，试写出y 与x 之间的函数关系式．

（2）若存放x 天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为P 元，试写出P 与x 之间的函数关系式．

（3）李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润W 元？ （利润＝销售总额－收购成本－各种费用）

8、为了扶持大学生自主创业，市政府提供了80万元无息贷款，用于某大学生开办公司生产并销售自主研发的一种电子产品，并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款．已知该产品的生产成本为每件40元，员工每人每月的工资为2500元，公司每月需支付其它费用15万元．该产品每月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系如图所示．

（1）求月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系式；

（2）当销售单价定为50元时，为保证公司月利润达到5万元（利润＝销售额－生产成本－员工工资－其它费用），该公司可安排员工多少人？

（3）若该公司有80名员工，则该公司最早可在几个月后还清无息贷款？

4 2 1 40 60 80 x （元）

（万

y O