概率论与数理统计连续型随机变量函数的密度函数

答案：
f
S
(
y)
2
1
y
,
y 4 ,
0,
otherwise,
10
此类问题的基本做法:先确定Y的取值范围,其密度 函数在此范围外的取值为零,对此范围内用公式法 或者分布函数求导法,最后写出函数. 以下练习:
例题1,…
11
练习题:
12
2.分段严格单调可导函数
定理3.2 若随机变量X和随机变量Y=g(X)的密度 函数分别为f X (x), fY (y), 当g(x)在不相重叠的区间
x ,
2
则 Y X 2 概率密度函数为：
fY
y
1
2
1 y
y 2e 2 ,
0,
y0 y0
此时称Y 服从自由度为1的-2分布,记作 Y ~ 2 1
结论：若 X ~ N,则0,1 X 2 ~ 2 1. 14
解 1).公式法 (自己看)
首先注意到 y x2 , 则 y 0 因此对于 y 0, 有 fY ( y) 0.
17
例3.15(3). 设X的密度函数
f
(x)
8
9
2
(x
2
),
2
x
,
0,
otherwise,
求 Y sin X 的密度函数.
解. 因为 1 Y 1, 所以只要考虑 1 y 1.
当 1 y 0 时,
FY ( y) P{Y y} P{sin X y}
P{
2
X
arcsin
基本方法(分布函数求导法),分2个步骤:
(1) 求Y的分布函数 FY ( y)
FY ( y)
根据分布函数 的定义
P{Y y} P{g(X ) y}
P X x g(x) y
f (x)dx.
x g ( x) y
(2) 对 FY求( y导) ，
fY ( y) FY( y).
2
1. y g(x) 是严格单调且可导的函数.
I1， I2，…,Ik上是严格单调函数且可导，则
k
fY ( y) fX [(hi ( y)] hi '( y) . i 1
其中x Gi为( y) y 在gIii上(x)的反函数
最好不要套用定理,还是由”分布函数求导法” 来求解!
13
例 设X ~ N（0，1），其概率密度为：
f x
1
x2
e 2,
P{ y X y}
y
f (t)dt 2
y
1
e
t2 2
dt
,
y
0
2
对其求导,
fY ( y) 2
e 1
y 2
1
2
2y
e , 1
y 2
2 y
所以,
fY
(
y)
e , 1
y 2
2 y
y 0,
0,
y 0. 16
若 Y X , 结果怎样?
fY
(
y)
e , 2
y2 2
0,
y 0, y 0.
f
(x)
解
6x(1 0,
体积 Y
x), x (0,1)
otherwise
4的分X布3 函数为
试求体积的概率密度。
y 4 x3
3
严格单调递增函数
3
FY
( y)
P
4 3
X3
y
P
X
3
3y
4
FX
3
3y
4
所以体积的
fY ( y)
fX
3
3y
4
3
3y
4
概率密度为
fX
3
3y
4
对 y 0, y x2, 不是单调的，但却是分段单调的。
I1 : x (, 0] y x2 是单调下降的，x h1( y) y I2 : x (0, ) y x2 是单调上升的，x h2 ( y) y
fY ( y)
fX
[(h1 ( y)]
h
' 1
(
y)
f X [(h2 ( y)] h'2 ( y)
1). 定理3.1. 设 X ~ fX (x), 而 y g(x) 是严格单 调且且处处可导的, 设 x h( y)是g的反函数, 则 Y g(X ) 是连续型随机变量,其密度函数为
fY
(
y)
f
X
(h(
y)) 0
|
h(
y)
|,
a y b, otherwise,
其中 a min(| g(x) |), b max(| g(x) |).
求 Y aX b 的概率密度。 请同学自己用分布函
解 先求分布函数 FY (y)。
数求导法证明!
FY ( y) P{Y y} P{aX b y}
当 a 0 时，
FY ( y)
P{X
y b} a
FX
yb a
所以，
fY ( y)
f
( y b) 1 aa
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
yba 2
1
e 2(a )2
其实就是变限积分求导
3
证明
4
推论. 如果Y=aX+b,则Y 的密度函数为
f , yb 1 X a |a|
特别的, 对于正态分布 X
~ N(, 2)
, 设Y
X
,
我们有 Y ~ N(0,1). 更一般的, Z aX b, 则
Z ~ N (a b, a2 2 ).
5
设随机变量X服从正态分布 N , 2
2 a
6
当 a 时0，
FY ( y)
P( X
y b) a
FY
( y)
P{X
y b} 1 P{X a
y b} a
yb 1
fY ( y) f (
a
) a
yb 1 FX ( a )
yba2
1
e 2(a )2
2 a
所以， Y ~ N a b,( a )2
7
例 设球的半径X的概率密度为
1 3
3y
4
2
3
3
4
8
所以体积的
fY ( y)
fX
3
3y
4
3
3y
4
概率密度为
fX
3
3y
4
1 3
3y
4
2
3
3
4
代入f(x).
即
3 4
fY ( y)
2
3
3y
1 ,
y
0,
4 3
,
0,
otherwise.
9
练习 设圆的半径X服从区间(1,2)上的均匀分布，求 圆面积的分布密度函数。
第三节 连续型随机变量函数的密度函数
复习:变限积分的求导公式
b(x) f (t)dt f (b(x))b '(x) f (a(x))a '(x). a(x)
若a为常数,则
b(x)
a f (t)dt f (b(x))b '(x);
若b为常数?
1
一.一维随机变量函数的密度函数
目标:设X 为一个连续型随机变量，其概率密度函数为 f (x)。y = g(x)为一个连续函数(分段严格单调)，求随机 变量Y=g(X)的密度函数 f.Y ( y)
f X [ y ] ( y )' f X [ y ] ( y )'
1 ( y )2
1 [ 1 e2
2y
2
1 ( y )2
1 e2
]
2
1 y
1 e2
15
2 y
2).分布函数求导法:
首先Y X 2 0, 因此对 y 0, 有 fY ( y) 0.
当 y 时0,
FY ( y) P{Y y} P{X 2 y}