工程矩阵理论(第5章-范数及矩阵函数)

定理5.1.2 (Minkowski不等式) 设p 1, xi, yi , i = 1, 2, …, n, 则 ( |xi+yi|p)1/p ( |xi|p)1/p + ( |yi|p)1/p.
i=1 i=1
i=1 n n n
证明: 令X = (x1, …, xn)T, Y = (y1, …, yn)T, 当X = Y = 0 或 p = 1时, 结论显然成立. 下面设X, Y不全为零而且p > 1.
第五章 范数及矩阵函数
§5.1 范数的基本概念
(2) 对于任意的 = (1, 2, …, n)XV, k ||k ||V = ||kX|| = |k|||X|| = |k||| ||V . (3) 对于任意的 = (1, 2, …, n)X V以及 = (1, 2, …, n)Y V, 有 + = (1, 2, …, n)(X + Y), || + ||V = ||X + Y|| ||X|| + ||Y||
i=1 i=1
根据引理5.1.1可得 |xi||yi|
( |xi|p)1/p ( |yi|q)1/q
n n
= aibi |yi|q
aip biq p + q =
i=1
i=1
p |xi|p
i=1
n
|xi|p
+
q |yi|q
i=1
n
.
第五章 范数及矩阵函数
§5.1 范数的基本概念
将上述n个式子相加得
i=1 n i=1
|xi||yi|
n i=1
n
( |xi|p)1/p ( |yi|q)1/q 故
i=1 n n
1 1 p+ q = 1,
|xi||yi| ( |xi|p)1/p ( |yi|q)1/q.
i=1 i=1
n
第五章 范数及矩阵函数
§5.1 范数的基本概念
第五章 范数及矩阵函数
§5.1 范数的基本概念
三. 由已知的范数构造新的范数 例2 设||||为 n上的范数, A nn. X = (x1, x2, …, xn)T n, 定义 ||X||A = ||AX||.
证明: ||||A为
n上的范数
detA 0.
证明: () 假若detA = 0, 则存在0 X n使得AX = 0, 于是||X||A = ||AX|| = 0. 这与||||A的正定性矛盾. 故detA 0.
定义5.1.1 设F = 或 , V为F上的线性空间, 映射: V 满足 (1)正定性: () > 0, 0 V; (2)齐次性: (k) = |k|(), V, kF; (3)三角不等式: (+) ()+(), , V, 则称为V上的范数.
第五章 范数及矩阵函数
§5.1 范数的基本概念
p 1 1 记q = p1 , 则q > 1, 且 p+ q = 1,
i=1 n
|xi+yi|p (|xi|+|yi|)p
i=1 n i=1
n
n
= |xi|(|xi|+|yi|)p1 + |yi|(|xi|+|yi|)p1
i=1 n
n,
则||||p是
p+
n上的范数,
而且
lim ||X||p = ||X||.
证明: ||||p的正定性和齐次性是显然的; 由定理5.1.2可知||||p满足三角不等式. 故||||p是
n上的范数.
第五章 范数及矩阵函数
§5.1 范数的基本概念
当X = 0, lim ||X||p = ||X||显然成立.
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§5.1 范数的基本概念
事实上, (x1(t), …, xn(t))T = P( y1(t), …, yn(t))T, (a1, …, an)T = lim(x1(t), …, xn(t))T = limP( y1(t), …, yn(t))T = Plim( y1(t), …, yn(t))T = P(b1, …, bn)T, 因而 = a11 + a22 + … + ann = (1, 2, …, n)(a1, …, an)T = (1, 2, …, n)P(b1, …, bn)T = (1, 2, …, n)(b1, …, bn)T = b11 + b22 + … + bnn = .
i=1 n
i=1 n
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§5.1 范数的基本概念
[(
i=1 n
i=1 n
(|xi|+|yi|)p
i=1 n
n
|xi|p)1/p
+(
n
i=1
|yi|p)1/p][
i=1
(|xi|+|yi|)p](p1)/p
n
[ (|xi|+|yi|)p]1/p [( |xi|p)1/p + ( |yi|p)1/p].
n上的范数.
||||1, ||||2, ||||分别称为1-范数, 2-范数和 -范数.
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二. p-范数 设 p 1. X = (x1, x2, …, xn)T ||X||p = ( |xi|p)1/p.
i=1
n,
定义
n
1 1 引理5.1.1 若实数p, q > 1, 且 p+ q = 1,
i=1 i=1 n
[ |xi+yi|p]1/p [ (|xi|+|yi|)p]1/p.
i=1 i=1
i=1 n
|xi+yi|p (|xi|+|yi|)p
i=1 n
n
n
…
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§5.1 范数的基本概念
定理5.1.3 设 p 1. X = (x1, x2, …, xn)T 定义 ||X||p = ( |xi|p)1/p.
则对于任意的 正实数a, b, 有
ab p + q . ap bq
y b O
y = x p 1 x = yq1 S 2 = b q/ q S1 = ap/p a x
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§5.1 范数的基本概念
定理5.1.1 (Hö lder不等式)
1 1 若实数p, q > 1, 且 p+ q = 1,
赋范线性空间 = 定义了范数的线性空间.
第五章 范数及矩阵函数
§5.1 范数的基本概念
例1
n中的三种常用的向量范数.
X = (x1, x2, …, xn)T (1) ||X||1 = |xi|;
n i=1 n
n,
定义
(2) ||X||2 = ( |xi|2)1/2;
i=1
(3) ||X|| = max{|x1|, |x2|, …, |xn|}, 则||||1, ||||2, ||||都是
工程矩阵理论
主讲: 张小向
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第五章 范数及矩阵函数
第一节 范数的基本概念 第二节 矩阵的范数 第三节 两个收敛定理 第四节 矩阵函数 第五节 矩阵函数eAt与 线性微分方程组 第六节 矩阵对矩阵的导数
第五章 范数及矩阵函数
§5.1 范数的基本概念
§5.1 范数的基本概念 一. 定义与例子
则对于任意的 x1 y1 X= ,Y= xn yn
n,
有 n n |XHY| = | xiyi| |xi||yi| ( |xi|p)1/p ( |yi|q)1/q.
i=1 i=1 i=1 n i=1 n
…
…
第五章 范数及矩阵函数
§5.1 范数的基本概念
证明: 关键是证明第二个不等式. 不妨设X, Y 0. 对于i = 1, 2, …, n, 令 |xi| |yi| ai = n , bi = n , ( |xi|p)1/p ( |yi|q)1/q
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(2) 由|| || = || + || || || + || || 可得|| || || || || ||. 进而有 || || = || || || || || ||. 于是有|| || | || || || || |.
i=1

( |xi|p)1/p[ (|xi|+|yi|)(p1)q]1/q
n
n
+ ( |yi|p)1/p[ (|xi|+|yi|)(p1)q]1/q
= [( |xi|p)1/p + ( |yi|p)1/p][ (|xi|+|yi|)p](p1)/p.
i=1 i=1 i=1 i=1 n i=1 n n
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(3) 对于任意的 = a11 + a22 +…+ ann V,
0 | || || || || | || || = ||(x1a1)1 + … + (xnan)n|| |x1a1|||1|| + … + |xnan|||n|| max{|x1a1|, …, |xnan|}(||1|| +…+ ||n||), 其中max{|x1a1|, …, |xnan|}0 (xiai).
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§5.1 范数的基本概念
证明: (1) 当|| || = 0时, 假若 0, 则由||||的正定性得|| || > 0, 这与|| || = 0矛盾, 故 = 0. 反之, 若 = 0, 则 || || = ||0|| = ||00|| = |0|||0|| = 0.
(3) 对于任意的X, Y n, ||X+Y||A = ||A(X+Y)|| = ||AX+AY|| ||AX|| + ||AY|| = ||X||A + ||Y||A .
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§5.1 范数的基本概念
定理5.1.4 设V( )为n维线性空间, 1, 2, …, n为V的一组基. = x11 + x22 + … + xnn V, 令X = (x1, x2, …, xn)T, || ||V = ||X||, 则||||V是V上的范数. 证明: (1) 对于任意的非零向量 V, 其坐标向量X 0, 故|| ||V = ||X|| > 0.
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§5.1 范数的基本概念
() (1) 对于任意的非零向量X 由detA 0可得AX 0, 于是||X||A = ||AX|| > 0.
n,
(2) 对于任意的X n, k , ||kX||A = ||A(kX)|| = ||k(AX)|| = |k|||AX|| = |k|||X||A .
p+
下面设|xk| = max{|x1|, |x2|, …, |xn|} 0, 则
n n |x | 1 ( i p 1/p p 1/ p | x | ) = [ ( ) ] 1 |x | i k i=1 i=1 |xk|
n1/p 1 (p+), 由此可得
p+
lim ||X||p = |xk| = ||X||.
故 lim || || = || ||.
xiai
第五章 范数及矩阵函数
§5.1 范数的基本概念
注: 设1, 2, …, n为V的一组基, 1, 2, …, n为V的另一组基, (1, 2, …, n) = (1, 2, …, n)P, (t) = x1(t)1 + x2(t)2 + … + xn(t)n = y1(t)1 + y2(t)2 + … + yn(t)n , limxi(t) = ai , limyi(t) = bi (i = 1, 2, …, n). 令 = a11 + a22 + … + ann , = b11 + b22 + … + bnn , 则 = .
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,
= || ||V + || ||V .
综上所述, ||||V是V上的范数.
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§5.1 范数的基本概念
四. 范数的性质 定理5.1.5 设||||是线性空间V( )上的范数, 则 (1) || || = 0 = 0; (2) || || | || || || || |; (3)当dimV = n时, 设1, 2, …, n为V的一组基, = x11 + x22 + … + xnn V, 则|| ||是x1, x2, …, xn的n元连续 函数.