正弦函数余弦函数的图象学案(人教A版必修4)

1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
自主学习
知识梳理
1．正弦曲线、余弦曲线 (1)定义：正弦函数y ＝sin x (x ∈R )和余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图象分别叫做__________曲线和________曲线．
(2)图象：如图所示．
2．“五点法”画图 步骤： (1)列表：
x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 cos x
1
－1
1
(2)描点：
画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是________________________；画余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是__________________________________．
(3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正、余弦曲线的简图． 3．正、余弦曲线的联系
依据诱导公式cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，要得到y ＝cos x 的图象，
只需把y ＝sin x 的图象向______平移π
2
个单位长度即可．
自主探究
已知0≤x ≤2π，结合正、余弦曲线试探究sin x 与cos x 的大小关系．
对点讲练
知识点一 利用“五点法”作正、余弦函数的图象
例1 利用“五点法”画函数y ＝－sin x ＋1(0≤x ≤2π)的简图．
回顾归纳作正弦、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即y＝sin x或y＝cos x的图象在一个最小正周期内的最高点、最低点和与x轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法．
变式训练1利用“五点法”画函数y＝－1－cos x，x∈[0,2π]的简图．
知识点二利用三角函数图象求定义域
例2求函数f(x)＝lg sin x＋16－x2的定义域．
回顾归纳一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍．
变式训练2求函数f(x)＝cos x＋lg(8x－x2)的定义域．
知识点三利用三角函数的图象判断方程解的个数
例3在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图象，根据图象判断出方程sin x ＝lg x的解的个数．
回顾归纳三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用．
变式训练3求方程x2＝cos x的实数解的个数．
1．正、余弦曲线在研究正、余弦函数的性质中有着非常重要的应用，是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础．
2．五点法是画三角函数图象的基本方法，要熟练掌握，与五点法作图有关的问题是高考常考知识点之一.
课时作业
一、选择题
1．函数y ＝sin x (x ∈R )图象的一条对称轴是( ) A ．x 轴 B ．y 轴
C ．直线y ＝x
D ．直线x ＝π
2
2．函数y ＝－cos x 的图象与余弦函数y ＝cos x 的图象( ) A ．只关于x 轴对称 B ．关于原点对称 C ．关于原点、x 轴对称 D ．关于原点、坐标轴对称
3．如果x ∈[0,2π]，则函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域为( )
A ．[0，π] B.⎣⎡⎦⎤
π2，3π2 C.⎣⎡⎦⎤π2，π D.⎣⎡⎦
⎤3π2，2π 4．在(0,2π)内使sin x >|cos x |的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 B.⎝⎛⎦⎤π4，π2∪⎝⎛⎦⎤5π4，3π2 C.⎝⎛⎭⎫π4，π2 D.⎝⎛⎭
⎫5π4，7π4 5．已知函数y ＝2sin x ⎝⎛⎭⎫π2
≤x ≤5π
2的图象与直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，那么此封闭图形的面积( )
A ．4
B ．8
C ．4π
D ．2π
二、填空题
6．函数y ＝cos x
1＋sin x
的定义域为____________．
7．函数y ＝2cos x ＋1的定义域是______________．
8．设0≤x ≤2π，且|cos x －sin x |＝sin x －cos x ，则x 的取值范围为________．
三、解答题
9．利用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y ＝－sin x (0≤x ≤2π)；(2)y ＝1＋cos x (0≤x ≤2π)．
10．分别作出下列函数的图象．
(1)y ＝|sin x |，x ∈R ；(2)y ＝sin|x |，x ∈R .
§1.4 三角函数的图象与性质 1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象
答案
知识梳理
1．(1)正弦 余弦
2．(2)(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0) (0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π
2，0，
(2π，1) 3．左 自主探究
解 正、余弦曲线如图所示．
由图象可知①当x ＝π4或x ＝5π
4
时，sin x ＝cos x ，
②当π4<x <5π
4
时，sin x >cos x .
③当0≤x <π4或5π
4
<x ≤2π时，sin x <cos x .
对点讲练
例1 解 利用“五点法”作图 取值列表：
x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x
1
1
2
1
变式训练1 解 取值列表得：
x 0 π2 π 3π2 2π cos x 1 0 －1 0 1 －1－cos x
－2
－1
－1
－2
描点连线，如图所示．
例2 解 由题意，x 满足不等式组⎩⎨⎧
sin x >0
16－x 2≥0， 即⎩⎨⎧
－4≤x ≤4sin x >0
，作出y ＝sin x 的图象，如图所示．
结合图象可得：x ∈[－4，－π)∪(0，π)．
变式训练2 解 由⎩⎨⎧
8x －x 2>0cos x ≥0
，得⎩⎪⎨⎪
⎧
0<x <8cos x ≥0.
画出y ＝cos x ，x ∈[0,3π]的图象，如图所示．
结合图象可得：x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2∪⎣⎡⎦
⎤3π2，5π
2. 例3 解 建立坐标系xOy ，先用五点法画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y ＝sin x 的图象．
描出点⎝⎛⎭⎫110，－1，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到y ＝lg x 的图象，如图所示．
由图象可知方程sin x ＝lg x 的解有3个． 变式训练3 解 作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图象，如图所示，
由图象，可知原方程有两个实数解．
课时作业
1．D
2．C [结合图象易知．]
3．C [∵sin x ≥0且－cos x ≥0，∴x ∈⎣⎡⎦⎤
π2，π.] 4．A
[∵sin x >|cos x |，
∴sin x >0，∴x ∈(0，π)，在同一坐标系中画出y ＝sin x ，x ∈(0，π)与y ＝|cos x |，
x ∈(0，π)的图象，观察图象易得x ∈⎝⎛⎭⎫
π4，3π4.] 5．C [数形结合，如图所示．
y ＝2sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，5π2的图象与直线y ＝2围成的封闭平面图形面积相当于由x ＝π
2，x ＝5π
2
， y ＝0，y ＝2围成的矩形面积，即S ＝⎝⎛⎭⎫
5π2－π2×2＝4π.] 6.⎝⎛⎦
⎤－π2＋2k π，π
2＋2k π (k ∈Z ) 解析 x 应满足：⎩
⎪⎨⎪⎧
1＋sin x ≠0⇒sin x ≠－1，cos x ≥0，
综合正、余弦函数图象可知：
－π2＋2k π<x ≤π
2
＋2k π. 7.⎣
⎡⎦⎤2k π－2π3，2k π＋2π
3 ，(k ∈Z ) 解析 由2cos x ＋1≥0，得cos x ≥－12
，
∴2k π－2π3≤x ≤2k π＋2π
3，k ∈Z .
8.⎣⎡⎦⎤π4，5π4
解析 由题意知sin x －cos x ≥0，即cos x ≤sin x ，在同一坐标系画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π] 与y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，如图所示：
观察图象得：π4≤x ≤5π4.
9．解 利用“五点法”作图． (1)列表：
x
π
2
π
3π2
2π
sin x 0 1 0 －1 0 －sin x
－1
1
描点作图，如图所示．
(2)列表：
x 0 π2 π 3π2 2π cos x 1 0 －1 0 1 1＋cos x
2
1
1
2
10．解 (1)y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧
sin x (2k π≤x ≤2k π＋π)
－sin x (2k π＋π<x ≤2k π＋2π)
(k ∈Z )．
其图象如图所示，
(2)y ＝sin|x |＝⎩
⎨⎧
sin x (x ≥0)
－sin x (x <0)，
其图象如图所示，。