江西省南昌市2015届高三第一轮复习训练 数学(4)(导数及其应用)

20143－20154学年度南昌市新课标高三第一轮复习训练题数学（四）（导数及其应用）命题人：刘婷 学校：江西师大附中 审题人：朱涤非 学校：江西师大附中一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．30(),()6f x x f x '==，则0x =BC ．D ．1±2．设P 为曲线2:23C y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[0,]4π，则点P 横坐标的取值范围为A ．1[1,]2--B ．[－1,0]C ．[0,1] D.1[,1]23．函数321()5(0)3f x ax x a =-+>在(0,2)上不单调，则a 的取值范围是A ．01a <<B ．102a << C.112a << D ．1a >4．（理）⎰-1021dx x 的值是A ．8πB ．4πC ．2πD ．π(文) 若c bx ax x f ++=24)(满足2)1(='f ，则=-')1(fA ．4-B ．2-C ．2D ．45．已知向量,a b 满足||2||0a b =≠，且关于x 的函数3211()||()32f x x a x a b x =++⋅在R 上单调递增，则,a b 的夹角的取值范围是 A.[0,)3πB.[0,]3πC.(,]3ππD.2(,]33ππ6．（理）由直线1,2,2x x ==曲线1y x=-及x 轴所围图形的面积为 A ．2ln 2 B ．2ln 2- C ．1ln 22 D ．154(文)设函数()142cos 3sin 323-++=x x x x f θθ，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡π∈θ650，，则导数()1-'f 的取值范围A ．[]63，B ．[]343+，C ．[]634，-D ．[]3434+-，7．已知函数))((R x x f ∈满足1)1(=f ，且)(x f 的导函数21)('<x f ，则212)(+<x x f 的解集为A. {|11}x x -<<B. {|1}x x <-C. {|1x x <-或1}x >D. {}1>x x8．设函数()f x 在R 上可导,其导函数为()f x ',且函数(2)()y x f x '=-的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是A ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)fB ．函数()f x 有极大值(1)f 和极小值(2)fC ．函数()f x 有极大值(1)f 和极小值(1)f -D ．函数()f x 有极大值(1)f -和极小值(2)f9．若函数321(02)3x y x x =-+<<图象上任意点处切线的斜率为k ，则k 的最小值是 A ．1 B ．12C ．0D ．1-10．已知βα,是三次函数bx ax x x f 22131)(23++=的两个极值点，且)2,1(),1,0(∈∈βα,则2-b 的取值范围是号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案二、填空题：本大题共5小题；每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上。

11．函数x x f ln )(=的图像在点1=x 处的切线方程是 ． 12．若θ为曲线3232y x x ax =+++的切线的倾斜角，且所有θ组成的集合为[,)42ππ，则实数a 的值为______．13．已知函数11()sin 24f x x x x =-的图象在点00(,())A x f x 处的切线斜率为12,则0tan 2x 的值为________.14．函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是15．设56)1()1()(x x x f -+=，则函数()f x '中3x 的系数是 .三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。

16．已知函数3211()(,)32a f x x x bx a ab +=-++∈R ，且其导函数()f x '的图像过原点. (1）当1a =时，求函数()f x 的图像在3x =处的切线方程； (2）若存在0x <，使得()9f x '=-，求a 的最大值.17．二次函数()f x 满足(0)(1)0f f ==，且最小值是14-． （1）求()f x 的解析式；（2）实数0a ≠，函数22()()(1)g x xf x a x a x =++-，若()g x 在区间(3,2)-上单调递减，求实数a 的取值范围．18．已知函数2()(33)xf x x x e =-+⋅定义域为[]t ,2-(2t >-).(1)试确定t 的取值范围,使得函数)(x f 在[]t ,2-上为单调函数; (2)当14t <<时,求满足()()201320-='t ex f x 的0x 的个数.19．设函数2()ln (1)(0,2a f x x x a x a a =+-+>为常数)． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若1a =，证明：当1x >时，212()21x f x x x <--+20．已知函数)()(b ax e x f x+=，曲线)(x f y =经过点)2 , 0(P ，且在点P 处的切线为l ：24+=x y ．（1）求证：曲线)(x f y =和直线 l 只有一个公共点；（2）是否存在常数k ，使得]1 , 2[--∈x ，)24()(+≥x k x f 恒成立？若存在，求常数k 的取值范围；若不存在，说明理由．21．设函数1()ln ()f x x a x a R x=--∈． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有两个极值点1x 和2x ，假设过点1122(,()),(,())A x f x B x f x 的直线的斜率 为k .问：是否存在a ，使得2k a =-？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．2014－2015学年度南昌市新课标高三第一轮复习训练题数学（四）参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分题号 1 2 3 45 67 8 9 10答案CADBBADCDA二.填空题：本大题共5小题；每小题5分，共25分11．1-=x y ; 12．4a =; 13 14．()+∞,2; 15．40． 三.解答题：本大题共6小题，共75分16．解：3211()32a f x x x bx a +=-++,2()(1)f x x a x b '=-++ 由(0)0f '=得 0b =,()(1)f x x x a '=--.(1) 当1a =时, 321()13f x x x =-+,()(2)f x x x '=-，(3)1f =,(3)3f '=所以函数()f x 的图像在3x =处的切线方程为13(3)y x -=-,即380x y --= (2) 存在0x <,使得()(1)9f x x x a '=--=-,991()()6a x x x x --=--=-+-≥=，7a ≤-， 当且仅当3x =-时，7.a =-所以a 的最大值为.17．解：（1）由二次函数()f x 满足(0)(1)0f f ==．设()(1)(0)f x mx x m =-≠，则221()()24m f x mx mx m x =-=--． 又()f x 的最小值是14-，故144m -=-．解得1m =．∴2()f x x x =-； （2）2232222322()()(1)g x xf x a x a x x x ax x a x x ax a x =++-=-++-=+-．∴22()32(3)()g x x ax a x a x a '=+-=-+．由'()0g x =，得3a x =，或x a =-，又0a ≠，故3aa ≠-． 当3a a >-，即0a >时，由'()0g x <，得3a a x -<<． ∴()g x 的减区间是(,)3aa -，又()g x 在区间(3,2)-上单调递减，∴323a a -≤-⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得36a a ≥⎧⎨≥⎩，故6a ≥（满足0a >）；当3a a <-，即0a <时，由'()0g x <，得3ax a <<-． ∴()g x 的减区间是(,)3aa -，又()g x 在区间(3,2)-上单调递减，∴332aa ⎧≤-⎪⎨⎪-≥⎩，解得92a a ≤-⎧⎨≤-⎩，故9a ≤-（满足0a <）．综上所述得9a ≤-，或6a ≥．∴实数a 的取值范围为(,9][6,)-∞-+∞． 另解：22()32g x x ax a '=+-，∵0a ≠，∴ 2(0)0g a '=-< ∵()g x 在区间(3,2)-上单调递减，∴22(3)02760(2)01240g a a g a a '-≤⎧--≤⎧⇒⎨⎨'≤+-≤⎩⎩，解得9a ≤-，或6a ≥． ∴实数a 的取值范围为(,9][6,)-∞-+∞．18．解：(1)解:因为2()(33)(23)(1)x x xf x x x e x e x x e '=-+⋅+-⋅=-⋅ 由()010f x x x '>⇒><或;由()001f x x '<⇒<<, 所以()f x 在(,0),(1,)-∞+∞上递增,在(0,1)上递减, 欲)(x f 在[]t ,2-上为单调函数,则20t -<≤(2)因为02000()x f x x x e '=-,所以020()2(1)3x f x t e '=-即为22002(1)3x x t -=-, 令222()(1)3g x x x t =---,从而问题转化为求方程222()(1)3g x x x t =---=0在(2,)t -上的解的个数,因为222(2)6(1)(2)(4)33g t t t -=--=-+-,221()(1)(1)(2)(1)33g t t t t t t =---=+-,所以当14t <<时,(2)0()0g g t ->>且,但由于22(0)(1)03g t =--<,所以()0g x =在(2,)t -上有两解.即,满足020()2(1)3x f x t e '=-的0x 的个数为2 19．解：(1)()f x 的定义域为(0,)+∞，21(1)1(1)(1)()(1)ax a x ax x f x ax a x x x-++--'=+-+==.当01a <<时，由()0f x '>解得01x <<或1x a >，由()0f x '<解得11x a<<，所以函数()f x 在(0,1)，1(,)a +∞上单调递增，在1(1)a，上单调递减．当1a =时，()0f x '≥对0x >恒成立，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增．当1a >时，由()0f x '>解得1x >或10x a <<，由()0f x '<解得11x a<<.所以函数()f x 在1(0)a ，，(1,)+∞上单调递增，在1(,1)a上单调递减．(2)证明：当1a =时，原不等式等价于2ln 201xx x x -+<+. 因为1x >12x +=，因此221ln 2ln 2112x x x x x x x x x +-+-++++. 令21()ln 212x x g x x x x +=-+++，则322352122()(1)x x x g x x x --++'=+. 令3235()2122h x x x x =--++，当1x >时，295()4022h x x x '=--+<，所以()h x 在(1,)+∞上单调递减，从而()(1)0h x h <=，即()0g x '<， 所以()g x 在(1,)+∞上单调递减，则()(1)0g x g <=，所以当1x >时，212()21xf x x x <-+20．解：（1）()()x f x e ax a b '=++依题意，⎩⎨⎧==4)0(2)0(/f f 即⎪⎩⎪⎨⎧=++⨯=+⨯4)0(2)0(00b a a e b a e ，解得2==b a记)12(2)1(2)24()()(+-+=+-+=x x e x b ax e x g x x ，则()2(2)4x g x e x '=+- 当0=x 时，()0g x '=；当0>x 时，()0g x '>；当0<x 时，()0g x '<， 所以0)0()(=≥g x g ，等号当且仅当0=x 时成立，即24)(+≥x x f ， 等号当且仅当0=x 时成立，曲线)(x f y =和直线 l 只有一个公共点 （2）]1 , 2[--∈x 时，024<+x ，所以)24()(+≥x k x f 恒成立当且仅当12)1(24)(++=+≥x x e x x f k x记12)1()(++=x x e x h x ，]1 , 2[--∈x ，22(23)()(21)x e x x h x x +'=+，由()0h x '=得0=x （舍去），23-=x当232-<≤-x 时，()0h x '>；当123-≤<-x 时，()0h x '< ，所以12)1()(++=x x e x h x 在区间]1 , 2[--上的最大值为2341)23(-=-e h ，常数k 的取值范围为321[,)4e -+∞ .21.解：(1)()f x 的定义域为(0,)+∞，2211()1a x ax f x x x x-+'=+-=．令2()1g x x ax =-+，其判别式24a ∆=-.①当||2a ≤时，0∆≤，()0f x '≥.故()f x 在(0,)+∞上单调递增．②当2a <-时，0∆>，()0g x =的两根都小于0.在(0,)+∞上，()0f x '>. 故()f x 在(0,)+∞上单调递增．③当2a >时，0∆>，()0g x =的两根为12x x ==. 当10x x <<时，()0f x '>；当12x x x <<时，()0f x '<；当2x x >时，()0f x '>. 故()f x 分别在1(0,)x ，2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减． (2)由(1)知，2a >.因为1212121212()()()(ln ln )x x f x f x x x a x x x x --=-+--，所以1212121212()()ln ln 11f x f x x x k a x x x x x x --==+-⋅--. 又由(1)知，121x x =，于是1212ln ln 2x x k a x x -=-⋅-.若存在a ，使得2k a =-，则1212ln ln 1x x x x -=-.即1212ln ln x x x x -=-.亦即222212ln 0(1).(*)x x x x --=>再由(1)知，函数1()2ln h t t t t=--在(0,)+∞上单调递增，而21x >，所以222112ln 12ln101x x x -->--=.这与(*)式矛盾．故不存在a ，使得2k a =-.。