导函数与原函数图象关系
导数知识点各种题型归纳方法总结
导数的基础知识一．导数的定义：2.利用定义求导数的步骤：①求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；②求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③取极限得导数：00'()limx yf x x∆→∆=∆（下面内容必记）二、导数的运算：（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：①'0()C C =为常数；②1()'nn x nx -=；11()'()'n n n x nx x---==-；1()'m mn n m x x n -== ③(sin )'cos x x =； ④(cos )'sin x x =- ⑤()'x x e e = ⑥()'ln (0,1)x xa a a a a =>≠且；⑦1(ln )'x x =； ⑧1(log )'(0,1)ln a x a a x a=>≠且法则1：[()()]''()'()f x g x f x g x ±=±；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差).法则2：[()()]''()()()'()f x g x f x g x f x g x ⋅=⋅+⋅(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号) 法则3：2()'()()()'()[]'(()0)()[()]f x f xg x f x g x g x g x g x ⋅-⋅=≠ (口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号)（2）复合函数(())y f g x =的导数求法：①换元，令()u g x =，则()y f u =②分别求导再相乘[][]'()'()'y g x f u =⋅③回代()u g x =题型一、导数定义的理解 题型二：导数运算 1、已知()22sin f x x x π=+-，则()'0f =2、若()sin x f x e x =，则()'f x = 3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ，4)1(=-'f ，则a=（）三．导数的物理意义1.求瞬时速度：物体在时刻0t 时的瞬时速度0V 就是物体运动规律()S f t =在0t t = 时的导数()0f t '，即有()00V f t '=。
2016届原创§37 原函数与导函数的关联
先猜后证二导法 变换主元放缩法
3.放缩法
4.变换主元法
导数的应用--导数不等式
抽象函数不等式
抽象函数具体化 数形结合性质法 辅助函数是关键 增大减小是根本
导数的应用--导数不等式
数列不等式
1.导数法：
近几年高考题的主要特征是：
(1).①用导数法解证给出的“半成品”辅助函数 ②对此“半成品”辅助函数作一简单的变形 ③结合对数及数列知识从而解得目标不等式
(1)设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，
则 f /(2015)=_____0____
(2)(2009年北京)设f(x)是偶函数,若曲线y=f(x)在点(1, f (1)) 处的切线的斜率为1,则该曲线在点 (1, f (1)) 处的切线的 斜率为_________ 法1：令 f (x) x2 ,则 f / (x) x ,即 k f / (1) 1
(2).“半成品”辅助函数
大多数是 1 1 ln x x 1 的衍变 x
2.定积分法：
导数的应用--导数不等式
极值点偏移
1.含义：已知 f( x1 ) = f( x2 ) ( x1＜x2 ) 求 x1, x2 的和差商积的上下确界
2.方法： 法1：对称法构造辅助函数：
F( x ) = f( x0 ＋ x ) －f( x0 －x ) 法2：换元法构造辅助函数：
①不含参型 单参型 ②含参型 双参型
多参型
3.按知识分类： 数列不等式……
二、辅助函数的构造：
三、常见的技巧：
常见题型解证最 含参不等四成立 引申双参及多参 数列不等积放缩
含参不等式——四成立：
形法 (1)
数法
高中数学导数知识点归纳总结
范围是（ ）
A．
3 2e
,1
B．
3 2e
,
3 4
【解析】方法一：分离函数---数形结合法
C．
3 2e
,
3 4
D．
3 2e
,1
-7-
巧辨“任意性问题”与“存在性问题” 一．方法综述
注意：当 x=x0 时，函数有极值 f/(x0)＝0。但是，f/(x0)＝0 不能得到当 x=x0 时，函数有极值；
判断极值，还需结合函数的单调性说明。
题型一、求极值与最值
题型二、导数的极值与最值的应用
题型四、导数图象与原函数图象关系
导函数
原函数
f '(x) 的符号
f (x) 单调性
f '(x) 与 x 轴的交点且交点两侧异号
（2）分离参数：将含参不等式转化为转化为 f (x) a; f (x) a ，进而研究直线 y a与y f (x) 图像位
置关系，寻找临界状态，求参数的范围。
（3）分离函数：通过变形将不等式转化为形如（ f (x) 或 g(x); f (x) 或 g(x) 的形式，参数通常
在直线形式的函数里），进而研究两个函数图像的位置关系，寻找临界状态，求解参数的范围。 （4）特殊点法：根据图形从特殊点的值入手求参数范围。 【典例分析】
(3)下结论
① f '(x) 0 f (x) 该区间内为增函数； ② f '(x) 0 f (x) 该区间内为减函数；
题型二、利用导数求单调区间
求函数 y f (x) 单调区间的步骤为： （1）分析 y f (x) 的定义域； （2）求导数 y f (x) （3）解不等式 f (x) 0 ，解集在定义域内的部分为增区间 （4）解不等式 f (x) 0 ，解集在定义域内的部分为减区间
原函数与导函数奇偶性关系
原函数与导函数奇偶性关系
原函数与导函数奇偶性关系是位于数学分析中所学习的一个重要内容。
它由一般性强函数f（x）来定义，它具有原函数f（x）和导函数
f'（x），这两个函数存在着以下关系：
当f (x) 满足f (-x) = - f(x)时，称函数f (x) 为奇函数或奇偶性函数；此时，它的导函数f’(x) 满足f’(-x) = f’(x)，即f'(x) 是偶函数。
当f (x) 满足f (-x) = f(x) 时，称函数f (x) 为偶函数或奇偶性函数；此时，它的导函数f'(x) 满足f’(-x) = -f’(x)，即f’(x)是奇函数。
例子1：函数f（x）=cos(x) 是偶函数（f（-x）=cos（-x）= cos x），
因此它的导函数f'(x)= -sin(x) 为奇函数（f’(x) = -sin x，f’(-x)= -sin（-x）= sin x）。
例子2：函数f（x）=sin(x) 是奇函数（f（-x）= sin（-x）= -sin x），
因此它的导函数f'(x)= cos(x) 为偶函数（f'(x)= cos x，f’(-x)= cos（-x）= cos x）。
以上只是关于原函数与导函数奇偶性关系的简单示例，在数学分析中，这一概念将被用于许多不同的函数，例如多重导函数、Fourier变换等等。
这将为解决微积分问题提供重要的思路，比如计算曲线的总斜率
或最大值等。
总的来说，原函数与导函数的奇偶性关系是数学分析中
学习的一个重要内容，它有助于建立简洁而有效的基于物理规律的数学模型，从而让我们更准确地推導出一般问题的解决方案。
高考数学母题题源系列专题18应用导数研究函数的性质
专题十八应用导数研究函数的性质【母题原题1】【2018浙江，22】已知函数f(x)=−ln x．（Ⅰ）若f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8−8ln2；（Ⅱ）若a≤3−4ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析【解析】分析: （Ⅰ）先求导数，根据条件解得x1，x2关系，再化简f(x1)+f(x2)为，利用基本不等式求得取值范围，最后根据函数单调性证明不等式，（Ⅱ）一方面利用零点存在定理证明函数有零点，另一方面，利用导数证明函数在上单调递减，即至多一个零点.两者综合即得结论. 详解：（Ⅰ）函数f（x）的导函数，由得，因为，所以．由基本不等式得．因为，所以．由题意得．设，则，所以所以g （x ）在[256，+∞）上单调递增， 故，即．设h （x ）=，则h ′（x ）=，其中g （x ）=．由（Ⅰ）可知g （x ）≥g （16），又a ≤3–4ln2， 故–g （x ）–1+a ≤–g （16）–1+a =–3+4ln2+a ≤0，所以h ′（x ）≤0，即函数h （x ）在（0，+∞）上单调递减，因此方程f （x ）–kx –a =0至多1个实根． 综上，当a ≤3–4ln2时，对于任意k >0，直线y =kx +a 与曲线y =f （x ）有唯一公共点． 点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略：(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 【母题原题2】【2017浙江，7】函数()()y y f x f x ==，的导函数的图像如图所示，则函数()y f x =的图像可能是A. B.C. D.【答案】Dx=位于增区间内，因此选D．【解析】原函数先减再增，再减再增，且0【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x轴的交点为0x，且图象在0x两侧'f x 附近连续分布于x轴上下方，则0x为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数()f x的单调区间．的正负，得出原函数()【命题意图】考查导数的概念、导数公式求导法则导数的几何意义及导数的应用，考查数学式子变形能力、运算求解能力、分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想及分析问题与解决问题的能力．【命题规律】从全国看，高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一般有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，如零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题.浙江卷2018年作为压轴题，其考查的灵活性可见一斑.【答题模板】求解应用导数研究函数的性质问题的一般思路：第一步：牢记求导法则，正确求导.在函数与导数类解答题中，通常都会涉及求导，正确的求导是解题关键，因此要牢记求导公式，做到正确求导，解题时应先写出函数定义域．第二步：研究（1）（2）问的关系，注意利用第(1)问的结果.在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决．第三步：根据条件，寻找或构造目标函数，注意分类讨论.高考函数与导数解答题，一般都会涉及分类讨论，并且讨论的步骤也是得分点，所以一定要重视分类讨论．第四步：选择恰当的方法求解，注意写全得分关键：在函数与导数问题中，求导的结果、分类讨论的条件、单调区间、零点等一些关键式子和结果都是得分点，在解答时一定要写清楚． 【方法总结】1.导数法证明函数()f x 在(,)a b 内的单调性的步骤 (1)求'()f x ；(2)确认'()f x 在(,)a b 内的符号；(3)作出结论：'()0f x ≥时为增函数；'()0f x ≤时为减函数．2.图象法确定函数()f x 在(,)a b 内的单调性：导函数的图象在哪个区间位于x 轴上方(下方)，说明导函数在该区间大于0(小于0)，那么它对应的原函数在那个区间就单调递增(单调递减)．3.已知函数单调性，求参数范围的两个方法：(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f(x)在(a ，b)上单调，则区间(a ，b)是相应单调区间的子集．(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”来求解． 4.求函数f(x)极值的步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x 0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x 0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x 0处取极小值．【温馨提醒】导数值为0的点不一定是函数的极值点，“函数在某点的导数值为0”是“函数在该点取得极值”的必要不充分条件．找函数的极值点，即先找导数的零点，但并不是说导数的零点就是极值点(如y ＝x 3)，还要保证该零点为变号零点．6.求函数f(x)在[a ，b]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a ，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．【温馨提醒】函数在限定区间内最多只有一个最大值和一个最小值，如果存在最大或最小值，最大值一般是在端点或极大值点取得，最小值一般是在端点或极小值点取得．极值与最值的区别(1)“极值”反映函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质；“最值”是个整体概念，是整个区间上的最大值或最小值，具有绝对性．(2)从个数上看，最值若存在，则必定是惟一的，而极值可以同时存在若干个或不存在，且极大(小)值并不一定比极小(大)值大(小)．(3)从位置上看，极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得；有极值未必有最值，有最值未必有极值．7. 解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理． 8.关于最值问题：①对求函数在某一闭区间上，先用导数求出极值点的值和区间端点的值，最大者为最大值，最小者为最小值，对求函数定义域上最值问题或值域，先利用导数研究函数的单调性和极值，从而弄清函数的图像，结合函数图像求出极值；②对已知最值或不等式恒成立求参数范围问题，通过参变分离转化为不等式()f x ≤（≥）()g a （x 是自变量，a 是参数）恒成立问题，()g a ≥max ()f x （≤min ()f x ），转化为求函数的最值问题，注意函数最值与极值的区别与联系.1．【2018届河北省衡水中学三轮复习系列七】已知函数(为自然对数的底)，则的大致图象是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：求出导函数，利用导函数判断函数的单调性，根据数形结合，利用零点存在定理判断极值点位置，结合，利用排除法可得结果.详解：函数的极值点就是的根，相当于函数和函数交点的横坐标，画出函数图象如图，由图知函数和函数有两个交点，因为,.所以，可排除选项；由，可排除选项，故选C.点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.2．【2018届浙江省杭州市第二中学仿真】设函数，，（Ⅰ）求曲线在点（1,0）处的切线方程；（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．【答案】（1）（2）（Ⅱ）,,因为，所以.令，，则在单调递减，因为，所以在上增，在单调递增.,,因为，所以在区间上的值域为.3．【浙江省杭州市学军中学2018年5月模拟】已知函数，其中.（Ⅰ）若函数在区间上不单调，求的取值范围；（Ⅱ）若函数在区间上有极大值，求的值.【答案】(1) .(2) .【解析】分析：（1）先求导，再分离参数转化为在上有解，再求a的取值范围.(2)先对a分类讨论求函数在区间上极大值，得，再求和a的值.详解：（1）∵=在上有解，所以在上有解，设g(x)=所以函数g(x)在（1，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数.所以∴所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，由极大值，得（*）又∵，∴代入（*）得设函数，则所以函数在上单调递增，而所以，所以∴当时，函数在由极大值.点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调性和最值、极值，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理的能力.(2)解答本题的难点求得极大值，得（*）后，如何求的值.这里又利用了构造函数和求导解答.4．【2018届浙江省温州市9月一模】已知函数．（1）求的单调递增区间；（2）当时，求证：．【答案】(1) 的单调递增区间为和；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）求出，解不等式即可得的单调增区间；（2）等价于，利用导数研究函数的单调性，证明，从而可得结果.试题解析：（1）∵，令，解得或，又由于函数的定义域为，∴的单调递增区间为和．（2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减，所以，当时，，因此，当时，恒有，即．5．【2018届山东省潍坊市青州市三模】已知(1)求的单调区间;(2)设，为函数的两个零点，求证：.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】分析：（1）由函数，求得，通过讨论实数的取值范围，即可求出函数的单调区间；（2）构造函数，与图象两交点的横坐标为，问题转化为，令，根据函数的单调性即可作出证明.详解：（1）∵，∴当时，∴，即的单调递增区间为，无减区间；当时，∴，由，得，时，，时，，∴时，易知的单调递增区间为，单调递减区间为，（2）由（1）知的单调递增区间为，单调递减区间为，不妨设，由条件知，即构造函数，与图象两交点的横坐标为由可得而，∴知在区间上单调递减，在区间上单调递增，可知欲证，只需证，即证，考虑到在上递增，只需证由知，只需证令，则，所以为增函数，又，结合知，即成立，即成立.点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.6．【2018届江苏省盐城中学全仿真】已知函数，.(I)若，求函数的单调区间；(Ⅱ)若存在极小值点，且，其中，求证: ；(Ⅲ)试问过点可作多少条直线与的图像相切?并说明理由.【答案】(Ⅰ)单调减区间为单调增区间为；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)答案见解析.【解析】分析：（1）对进行求导计算即可得到单调区间；（2）若存在极小值点，，则，由可得，化简代入，即可得到证明；解析：(1) ，所以的单调减区间为单调增区间为；(2) ，存在极小值点，则.，则，所以代入所以，则，又，所以；(3) 时，有1条切线；时，有2条切线.设切点坐标是，依题意：即，化简得：设，故函数在上零点个数，即是曲线切线的条数.，①当时，，在上恰有一个零点1；②当时，在上恒成立，在上单调递减，且，故在上有且只有一个零点，当时，在上恰有个零点；③时，在上递减，在上递增，故在至多有两个零点，且又函数在单调递增，且值域是，故对任意实数，必存在，使，此时由于，函数在上必有一零点；先证明当时，，即证若，，而，由于若，构建函数，在为增函数，综上时，，所以，故又，，所以在必有一零点.当时，在上有两个零点综上：时，有1条切线；时，有2条切线.点睛：导数在研究函数零点中的作用(1)研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点，归根到底是研究函数的性质，如单调性、极值等．(2)用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．7．【2018届湖南省长沙市长郡中学模拟卷（二）】已知函数，（，且）. （1）当时，若对任意，恒成立，求实数的取值范围；（2）若，设，是的导函数，判断的零点个数，并证明.【答案】（1）（2）见解析【解析】分析：（1）由题意，求导，若k≤0，则g′（x）＞0，根据函数的单调性即可求得g（x）最大值，即可求得实数k的取值范围；（2）构造辅助函数，求导，根据函数的单调性及函数零点的判断，即可求得f'（x）的零点个数．详解: （1）当时，对任意，恒成立，令，求导，由，则，若，则，所以在上是增函数，所以，符合题意，当时，令，解得，，则在上是减函数，当时，，不符合题意，综上可知的取值范围为.其中，则，，，当时，，由零点存在定理及单调性可知在上存在唯一的零点，取，则，令，知在上是减函数，故当时，，即，由零点存在定理及单调性可知在上存在唯一，，由的单调递减区间是，则在上仅存在唯一的零点，综上可知共有三个零点.点睛：（1）函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：①结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；②利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．（2）本题将方程实根个数的问题转化为两函数图象交点的问题解决，解题时注意换元法的应用，以便将复杂的问题转化为简单的问题处理.8．【2018届四川省成都市龙泉驿区第二中学校3月市“二诊”】设a >0，已知函x >0)．(Ⅰ)讨论函数()f x 的单调性；(Ⅱ)试判断函数()f x 在()0,+∞上是否有两个零点，并说明理由． 【答案】(1)见解析(2) 函数()f x 没有两个零点【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）假设2个零点，推出矛盾即可． 试题解析：()()22'0220f x x a x a <⇔+-+<，设()()2222g x x a x a =+-+，则()161a ∆=-，①当1a ≥时， 0∆≤， ()0g x ≥，即()'0f x ≥， ∴()f x 在()0,+∞上单调递增；②当01a <<时， 0∆>，由()0g x =得可知120x x <<，由()g x 的图象得：()f x 在()f x 在（Ⅱ）解法：函数()f x 在()0,+∞上不存在两个零点 假设函数()f x 有两个零点，由（Ⅰ）知， 01a <<， 因为()0ln 0f a =->，则()20f x <，即由()2'0f x =知 ，则()ln 2t t <（＊），，得()1,2t ∈， 设()()ln 2h t t t =-，得所以()h t 在()1,2递增，得()()11ln20h t h >=->，即()ln 2t t >， 这与（＊）式矛盾，所以上假设不成立，即函数()f x 没有两个零点． 9．【2018届安徽亳州市涡阳一中最后一卷】已知.（1）若，函数在其定义域内是增函数，求的取值范围； （2）当，时，证明：函数只有一个零点；（3）若的图像与轴交于，两点，中点为，求证：.【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析【解析】分析：（1）在上递增， ∴ 对恒成立即对恒成立，∴只需即可；（2）利用导数研究函数的单调性，可得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，∴当时，函数取得最大值，其值为，当时，，即，从而可得结果；（3）由已知得，化为，可得，，，只需证明即可得结论.（2）当，时，，其定义域是，∴ ，∵ ，∴ 时，；当时，∴ 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减∴ 当时，函数取得最大值，其值为当时，，即∴ 函数只有一个零点（3）由已知得两式相减，得，由及，得令，，∵ ，∴ 在上递减，∴∵ ，∴10．【2018届河南省洛阳市第三次统一考试】已知函数，其中.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，证明：不等式恒成立（其中，）.【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】分析：（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为证明恒成立．设，则上式等价于，要证明对任意，恒成立，要证明g（x1+x2）＞g（x1-x2）对任意x1∈R，x2∈（0，+∞）恒成立，即证明在上单调递增，根据函数的单调性证明即可．详解：（1）由于.1）当时，，当时，，递增，当时，，递减；2）当时，由得或.当时，，当时，，递增，当时，，递减，当时，，递增；当时，，递增；③当时，.当时，，递增，当时，，递减，当时，，递增.综上，当时，在上是减函数，在上是增函数；当时，在，上是增函数，在上是减函数；当时，在上是增函数；当时，在，上是增函数，在上是减函数.（2）依题意恒成立.设，则上式等价于，要证明对任意，恒成立，即证明在上单调递增，又，只需证明即可.令，则，当时，，当时，，∴，即，，那么，当时，，所以；当时，，，∴恒成立.从而原不等式成立.11．【2018届四川省南充市三诊】函数.（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求单调递减区间和极值（其中为自然对数的底数）；（Ⅱ）若对任意，恒成立.求的取值范围.【答案】（Ⅰ）的单调递减区间为，极小值为2，无极大值.（Ⅱ）【解析】分析：（Ⅰ）先利用导数的几何意义求出k的值，然后利用导数求该函数单调区间及其极值；（Ⅱ）由题意可知，函数f（x）-x在（0，+∞）上递增，即该函数的导数大于等于零在（0，+∞）恒成立，然后转化为导函数的最值问题来解．详解：（Ⅰ）由，知，.因为曲线在点处的切线与直线垂直，所以，即，得.所以.当时，，在单调递减；当时，，在单调递增.所以当时，有极小值，且极小值为.综上，的单调递减区间为，极小值为2，无极大值.（Ⅱ）因为对任意，恒成立所以对任意恒成立，令，则在单调递减，所以在恒成立，所以恒成立.令，则.所以的取值范围是.点睛：利用函数的导数研究函数的单调性有两种题型，一种是求单调区间，只需令导数大于0求增区间，令导数小于0求减区间；另一种是已知函数的单调性求参数，若已知函数单增，只需函数导数在区间上恒大于等于0即可，若已知函数单减，只需函数导数小于等于0即可.注意等号！12．【2018届安徽省合肥市高三三模】已知函数有两个极值点，（为自然对数的底数）. （Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）求证：.【答案】（1）（2）见解析【解析】分析：(Ⅰ) 函数有两个极值点，只需有两个根，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理与函数图象可得当时，没有极值点；当时，当时，有两个极值点；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，为的两个实数根，，在上单调递减，问题转化为，要证，只需证，即证，利用导数可得，从而可得结论.详解：(Ⅰ)∵，∴.设，则.令，解得.∴当时，；当时，.∴.当时，，∴函数单调递增，没有极值点；当时，，且当时，；当时，. ∴当时，有两个零点.不妨设，则.∴当函数有两个极值点时，的取值范围为.∵函数在上也单调递减，∴.∴要证，只需证，即证.设函数，则.设，则，∴在上单调递增，∴，即.∴在上单调递增，∴.∴当时，，则，∴，∴.。
原函数与导函数的关系
课题：探究原函数与导函数的关系首师大附中数学组王建华设计思路这节课是在学完导数和积分之后，学生从大量的实例中对原函数和导函数的关系有了一定的认识的基础上展开教学的。
由于这部分内容课本上没有，但数学内部的联系规律和对称美又会使学生既觉得有挑战性又充满探究的兴趣。
备这个课的过程中我虽然参考了大量已有的资料，但需要做更深入地思考这些命题间的联系，以什么方式展开更利于学生拾级而上，最终登上高峰体会一览众山小的乐趣和成就感。
教师实际上是在引导学生进行一次理论的探险，大胆地猜，小心地证，谨慎地修改条件，步步逼近真理。
最终学生能否记住这些结论并不重要，重要的是研究相互关联的事物的一般思路和方法。
对优秀生或热爱数学的学生来说会有更多的收获。
整个教学流程1. 从经验观察发现，猜想得命题p,q. 这两个命题为真命题，证明它们的方法用复合函数求导，比较容易上手。
2. 学生自然会想到这个命题的逆命题是否成立，尝试证明。
证明的思路也要逆向思考。
发现由于导数确定后原函数不能唯一确定，有上下平移的可能，这样关于y轴对称的性质能够保持，但关于原点对称的性质就不能保证了。
3. 函数的平移不改变函数图象的对称性，因此将奇函数的性质拓展为关于中心对称，将偶对称，研究前面的四个命题还是否成立。
研究方法可以类函数的性质拓展为关于直线x a比迁移前面的方法。
能成立的严格证明，不能成立的举出反例，并尝试通过改变条件使之成为真命题。
4.已有成果的应用：利用二次函数的对称性性质研究三次函数的对称性。
教学目标在这个探究过程中1.加强学生对导函数与原函数相生相伴的关系的理解；2.增强学生对函数对称性的理解和抽象概括表达能力；3体验研究事物的角度，一个新定理是怎样诞生的，怎样才是全面地认识了一个事物。
4.培养学生的思辨能力，分析法解决问题的能力，举反例的能力等等。
教学重点以原函数与导函数的对称性的联系为载体让学生体验观察发现、概括猜想、辨别真伪的过程。
原函数与导函数的区别
原函数与导函数的区别
函数的最基本定义是一个把一个变量X映射到另一个变量Y的关系式。
函数分为原函数与导函数。
原函数是一个函数表达式，简单地说是把自变量x对应到因变量y上。
而导函数是原函数的变形，是原函数的切线斜率值。
两者都是函数，有着不同的用途，也有着不同的特点。
原函数
原函数是一种函数，只能表示x与y之间的关系，而不能表示代入x变化时y的变化情况。
原函数可以表示如x的平方、平方根、三角函数等，也可以表示经过高次拟合的复杂的函数。
从数学角度来讲，原函数是计算x变化时y的变化情况的基础。
导函数
导函数是原函数的变形，是原函数在每一个点处的斜率。
也就是说，是求解每个点处函数的梯度。
导函数可以描述原函数的变化趋势，比如当x变小时y是减小还是增大。
而且可以用来求解各种数学问题，比如求解函数的极值以及求解微分方程。
原函数与导函数的区别
原函数与导函数有着明显的不同，从功能上来说，它们各自有着不同的作用。
1.能上的区别：原函数是把x与y之间的关系表达出来，而导函
数是把x变化时y的变化情况表达出来。
2.质上的区别：原函数是一个可以描述因变量y随自变量x变化关系的函数，而导函数是原函数的变形，表示每个点的斜率，是原函数的梯度。
3.解上的区别：原函数可以用来求解x与y之间的关系，比如求函数极值、做图等；而导函数可以用来求函数极值以及求解微分方程。
结论
原函数与导函数是数学中不可分割的组成部分。
二者在功能上、性质上和求解上都有着明显的不同，它们各自有着不同的作用，要想在数学中取得更好的效果，就要正确掌握它们的特点和用法。
函数与原函数的关系
函数与原函数的关系
一个函数与它的原函数之间存在一种特殊的关系。
如果一个函数 f(x) 在某个区间内连续，且在该区间内存在一个函数 F(x)，使得 F'(x) = f(x)，那么 F(x) 称为 f(x) 的原函数，同时也可以表示为F(x) = ∫f(x)dx。
原函数与函数之间具有以下性质：
1. 不同常数的原函数是原函数的一般形式，因为原函数的导数具有多项式的可加性质，即 (f+g)' = f'+g'。
2. 函数 f(x) 和它的原函数 F(x) 的图像关于直线 y=x 对称。
3. 函数 f(x) 在某个区间内连续，则它在该区间内存在无穷多个原函数，它们互相区别只是一个常数。
4. 如果函数 f(x) 在某个区间内连续，且有一个原函数 F(x)，那么它在该区间内的任何一个不同的原函数都能写成 F(x) + C 的形式，其中 C 是任意常数。
原函数与导函数的奇偶关系证明
原函数与导函数的奇偶关系证明原函数与导函数的奇偶关系是微积分中一个重要的概念。
在研究函数的性质时，我们常常需要分析函数及其导函数的奇偶性。
通过研究函数的奇偶性，我们可以得到函数在坐标系中的对称关系，从而更好地理解函数的行为。
我们来回顾一下奇函数和偶函数的定义。
一个函数被称为奇函数，当且仅当对于任意的x，有f(-x)=-f(x)成立。
换句话说，奇函数在原点对称。
例如，函数f(x)=x^3就是一个奇函数。
因为f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)。
另一方面，一个函数被称为偶函数，当且仅当对于任意的x，有f(-x)=f(x)成立。
换句话说，偶函数在y轴对称。
例如，函数f(x)=x^2就是一个偶函数。
因为f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)。
现在，让我们来研究原函数和导函数之间的奇偶关系。
假设f(x)是一个函数，F(x)是它的原函数，即F'(x)=f(x)。
我们可以推导出以下结论：1. 如果f(x)是奇函数，那么F(x)是偶函数。
这是因为由于f(x)是奇函数，我们有f(-x)=-f(x)。
然后，根据原函数和导函数的关系，我们可以得到F'(-x)=-f(-x)=-(-f(x))=f(x)，即F'(-x)=f(x)。
这意味着F(x)在y 轴对称，即F(x)是偶函数。
2. 如果f(x)是偶函数，那么F(x)是奇函数。
这是因为由于f(x)是偶函数，我们有f(-x)=f(x)。
然后，根据原函数和导函数的关系，我们可以得到F'(-x)=f(-x)=f(x)，即F'(-x)=f(x)。
这意味着F(x)在原点对称，即F(x)是奇函数。
通过这样的推导，我们可以看到原函数和导函数的奇偶关系。
这个关系告诉我们，如果我们知道一个函数是奇函数或偶函数，我们可以推断出它的原函数是什么奇偶性。
这对于研究函数的性质和行为非常有用。
举例来说，我们考虑函数f(x)=sin(x)。
我们知道sin(x)是一个奇函数，因为sin(-x)=-sin(x)。
导函数与原函数对称性的联系
导函数与原函数对称性的联系反函数与原函数的关系：反函数的定义域与值域分别是原来函数的值域与定义域；函数的反函数，本身也是一个函数；偶函数必无反函数；奇函数如果有反函数，其反函数也是奇函数。
什么是原函数未知函数f(x)就是一个定义在某区间的函数，如果存有可微函数f(x)，使在该区间内的任一点都存有df(x)=f(x)dx，则在该区间内就表示函数f(x)为函数f(x)的原函数。
例如：sinx是cosx的原函数。
什么就是反函数一般来说，设函数y=f(x)(x∈a)的值域是c，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x=g(y)(y∈c)叫做函数y=f(x)(x∈a)的反函数，记作y=f^-1(x)。
反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。
最具有代表性的'反函数就是对数函数与指数函数。
通常地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应当，y=f（x），则y=f（x）的反函数为x=f(y)或者y=f^-1（x）。
存有反函数(预设为单值函数）的条件就是原函数必须就是一一对应的（不一定就是整个数域内的）。
特别注意：上标"?1"所指的就是函数幂，但不是指数幂。
①函数的反函数，本身也是一个函数，由反函数的定义，原来函数也是其反函数的反函数，故函数的原来函数与反函数互称为反函数。
②反函数的定义域与值域分别就是原来函数的值域与定义域。
③只有确定函数的映射是一一映射的函数才存在反函数，由此得出下面4点：⑤单调函数必存有反函数。
⑥奇函数如果有反函数，其反函数也是奇函数。
⑦原函数与其反函数在他们各自的定义域上单调性相同。
函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象关于直线y＝x对称，关于这一关系的理解要注意以下三点：1、函数y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线y=x等距，这个结论就是在坐标系中横坐标轴为x轴，纵坐标轴为y轴，而且横坐标轴与纵坐标轴的单位长度一致的前提下得出结论的；2、（a,b）在y=f(x)的图象上＜＝＞（b,a）在y=f-1(x)的图象上；3、若y＝f(x)存有反函数y=f-1(x)，则函数y=f(x)的图象关于直线y=x等距的充份必要条件为f(x)＝f-1(x)，即为原、反函数的解析式相同。
原函数与导函数的奇偶关系证明
原函数与导函数的奇偶关系证明原函数与导函数的奇偶关系是微积分中一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点。
在本文中，我们将探讨原函数与导函数的奇偶关系，并通过一些例子来加深理解。
我们需要了解什么是奇函数和偶函数。
一个函数f(x)被称为奇函数，当且仅当f(-x)=-f(x)。
一个函数f(x)被称为偶函数，当且仅当f(-x)=f(x)。
例如，函数f(x)=x^3是一个奇函数，而函数f(x)=x^2是一个偶函数。
接下来，我们来探讨原函数与导函数的奇偶关系。
假设f(x)是一个偶函数，那么它的导函数f'(x)是一个奇函数。
为什么呢？我们来看一下导函数的定义：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h如果f(x)是一个偶函数，那么f(x+h)和f(x)的差值也是一个偶函数，因为偶函数的性质是f(-x)=f(x)，所以f(x+h)-f(x)也是一个偶函数。
因此，导函数f'(x)中的差值也是一个偶函数。
另外，由于h是一个实数，所以h的取值可以是正数或负数。
当h取负数时，f(x-h)-f(x)也是一个偶函数。
因此，导函数f'(x)中的差值也是一个奇函数。
综上所述，如果f(x)是一个偶函数，那么它的导函数f'(x)是一个奇函数。
同样地，如果f(x)是一个奇函数，那么它的导函数f'(x)是一个偶函数。
这是因为，当f(x)是一个奇函数时，f(x+h)-f(x)是一个奇函数，而f(x-h)-f(x)也是一个奇函数。
因此，导函数f'(x)中的差值是一个偶函数。
下面，我们通过一些例子来加深理解。
假设f(x)=x^2是一个偶函数，那么它的导函数f'(x)=2x是一个奇函数。
这意味着，f(x)的图像是关于y轴对称的，而f'(x)的图像是关于原点对称的。
另外，如果我们在f(x)的图像上选择一个点(x,f(x))，那么在f'(x)的图像上对应的点就是(x,f'(x))。
原函数与导函数的关系
课题：探究原函数与导函数的关系首师大附中 数学组 王建华设计思路这节课是在学完导数和积分之后，学生从大量的实例中对原函数和导函数的关系有了一定的认识的基础上展开教学的。
由于这部分内容课本上没有，但数学内部的联系规律和对称美又会使学生既觉得有挑战性又充满探究的兴趣。
备这个课的过程中我虽然参考了大量已有的资料，但需要做更深入地思考这些命题间的联系，以什么方式展开更利于学生拾级而上，最终登上高峰体会一览众山小的乐趣和成就感。
教师实际上是在引导学生进行一次理论的探险，大胆地猜，小心地证，谨慎地修改条件，步步逼近真理。
最终学生能否记住这些结论并不重要，重要的是研究相互关联的事物的一般思路和方法。
对优秀生或热爱数学的学生来说会有更多的收获。
整个教学流程1. 从经验观察发现，猜想得命题p,q. 这两个命题为真命题，证明它们的方法用复合函数求导，比较容易上手。
2. 学生自然会想到这个命题的逆命题是否成立，尝试证明。
证明的思路也要逆向思考。
发现由于导数确定后原函数不能唯一确定，有上下平移的可能，这样关于y 轴对称的性质能够保持，但关于原点对称的性质就不能保证了。
3. 函数的平移不改变函数图象的对称性，因此将奇函数的性质拓展为关于中心对称，将偶函数的性质拓展为关于直线x a =对称，研究前面的四个命题还是否成立。
研究方法可以类比迁移前面的方法。
能成立的严格证明，不能成立的举出反例，并尝试通过改变条件使之成为真命题。
4.已有成果的应用：利用二次函数的对称性性质研究三次函数的对称性。
教学目标在这个探究过程中1.加强学生对导函数与原函数相生相伴的关系的理解；2.增强学生对函数对称性的理解和抽象概括表达能力；3体验研究事物的角度，一个新定理是怎样诞生的，怎样才是全面地认识了一个事物。
4.培养学生的思辨能力，分析法解决问题的能力，举反例的能力等等。
教学重点以原函数与导函数的对称性的联系为载体让学生体验观察发现、概括猜想、辨别真伪的过程。
原函数和导函数的奇偶性关系
原函数和导函数的奇偶性关系奇偶性在微积分中涉及到的概念，其中最重要的两个点是原函数的奇偶性和导函数的奇偶性。
本文将在介绍原函数和导函数的奇偶性的基础上，简要地讨论一下原函数和导函数之间的奇偶性关系。
关于原函数的奇偶性，我们需要知道一个重要的定义：一个函数$f(x)$在$x=a$处是奇函数，当且仅当$f(-a)= -f(a)$成立。
由这个定义可以发现，原函数的奇偶性取决于$f(-a)$和$f(a)$之间的大小关系。
同样，对于导函数的奇偶性，我们也需要知道一个重要的定义：一个函数$f(x)$在$x=a$处是奇函数，当且仅当$f(-a)= -f(a)$成立。
这里的$f(x)$是$f(x)$的导函数。
同样，导函数的奇偶性取决于$f(-a)$和$f(a)$之间的大小关系。
既然我们已经了解了原函数和导函数的奇偶性的定义，我们可以来讨论一下原函数和导函数之间的奇偶性关系。
先，我们要知道，如果$f(x)$是一个偶函数，那么$f(x)$也是一个偶函数。
这是由于导数的连续性特性决定的，因为如果$f(x)$在$x = a$处是一个偶函数，则$f(x)$在$x$附近也会是一个偶函数，从而$f(x)$也是一个偶函数。
其次，如果$f(x)$是一个奇函数，那么$f(x)$是一个奇函数也是一个偶函数。
这是由于偏导数的运算特性决定的，由于$f(x)$是奇函数，$f(x)$是它对$x$的导数，从而$f(x)$可以同时是奇函数也是偶函数。
综上所述，可以得出原函数和导函数之间的奇偶性关系：（1）如果原函数是偶函数，那么它的导函数也是偶函数。
（2）如果原函数是奇函数，那么它的导函数可能是奇函数也可能是偶函数。
在本文的最后，我们来总结一下原函数和导函数的奇偶性关系：原函数的奇偶性与$f(-a)$和$f(a)$之间的大小关系有关，而导函数的奇偶性则与$f(-a)$和$f(a)$之间的大小关系有关；原函数是偶函数时，它的导函数也是偶函数；原函数是奇函数时，它的导函数可能是奇函数也可能是偶函数。
导函数的性质和应用
导函数的性质和应用随着数学理论的发展，导数的概念也越来越重要。
其中，导数的一个重要概念就是导函数。
导函数的求解过程有其严谨的数学推导，但是从应用的角度来看，我们更关心的是导函数的性质和用途。
本文将从这两方面着手，探讨导函数的相关内容。
一、导函数的性质1. 导函数的定义在微积分学中，如果函数y=f(x)在其定义域内具有导数，则称f(x)在这一点处可导。
函数f(x)对于自变量x的导函数记为y'=f'(x)，它表示函数f(x)在点x处的切线斜率。
导函数的求解过程可以使用各种各样的计算方法，例如应用导数的定义、牛顿-莱布尼茨公式、求导法则等。
2. 导函数的定义域和值域导函数和原函数一样，也具有其定义域和值域的特定取值范围。
导函数的定义域与原函数的定义域相同，因为导函数是原函数的导数，它的定义域必须是原函数所在的定义域。
导函数的值域则根据具体的函数形式而不同，有时甚至和原函数的值域存在差异。
3. 导函数与原函数的关系导函数和原函数是密切相关的，它们之间的关系体现在：(1) 原函数的导函数是导函数的反函数，即f'(x) = g(x) 的反函数是f(x) = ∫ g(x) dx + C，其中C为任意常数。
(2) 如果一个函数在其定义域内具有可导性，那么其导函数在此定义域内也存在，并且导函数的导函数就是原函数。
(3) 如果一个函数在一个点处的导数存在，那么该点就是这个函数的连续点。
反之，如果一个函数在某点不连续，那么在这个点处它的导数也不存在。
二、导函数的应用1. 优化问题导函数在优化问题的解决过程中发挥着非常重要的作用。
例如，我们希望在某个范围内求得一个函数的最大值或最小值，那么在这个范围内导数等于0的点就是可能的极值点。
因此，我们可以通过求解导数的根来求得函数的极值点。
如果导数的根是孤立的，那么这些点就是函数的极值点。
2. 函数的曲线图像通过导函数，我们可以获取函数的一些重要特征，例如极值点和趋势。
导数与原函数独立
导数与原函数独立在微积分学中，导数和原函数是两个非常重要的概念。
导数可以用来衡量函数在某一点的斜率，原函数可以用来求解函数在给定区间内的面积。
而在讨论这两个概念时，一个有趣的问题是它们之间是否是独立的。
简单来说，导数与原函数是独立的。
这意味着，一个函数可以存在导数但没有原函数，反之亦然。
在接下来的文章中，我们将详细阐述这个问题，并提供一些例子来说明。
首先我们来看一个常见的例子：函数 $f(x)=|x|$。
显然这个函数在 $x=0$ 的导数不存在。
因为在 $x=0$ 附近，函数的图像是一个 V 形，左右两边的斜率不同，所以导数不存在。
如果我们尝试求解 $f(x)$ 的原函数，会发现其并不存在。
这是因为 $f(x)$ 不是连续可微的，即它不满足牛顿-莱布尼茨公式的条件。
我们可以得出结论：这个函数存在导数但没有原函数。
接下来再看一个例子：函数 $f(x)=x^2$。
这个函数的导数是 $f'(x)=2x$，即导数存在且为 $2x$。
而对于原函数，我们可以非常容易地得到 $F(x)=\frac{1}{3}x^3+C$，其中 $C$ 为任意常数。
我们可以得出结论：这个函数存在原函数也存在导数。
再看一个例子：函数 $f(x)=\frac{\sin x}{x}$。
这个函数没有原函数，但是它在$x=0$ 处的导数是 $f'(0)=\frac{1}{0}$，即它的导数不存在。
这说明了导数和原函数的独立性，即这个函数不存在原函数但存在导数。
导数与原函数是独立的。
一个函数可以存在导数但没有原函数，反之亦然。
在求解导数和原函数时，我们需要根据具体的函数性质来决定是否存在原函数或导数，不能简单地认为它们之间必然存在对应关系。
对于导数存在但原函数不存在的函数，我们需要通过其他方式来计算函数在给定区间内的面积。
常见的方法是通过积分，其中不定积分和定积分是最基本的两种类型。
不定积分是原函数的一个概念，它可以用来求解某个函数 $f(x)$ 的所有原函数。
一阶导单调递增说明原函数
一阶导单调递增说明原函数在高中数学或者大学高阶数学中，我们通常会遇到求导和求原函数的问题。
其中，如果一个函数的一阶导单调递增，那么我们可以通过这一性质来说明这个函数的原函数是什么样子的。
接下来，我们将分步骤阐述这一逻辑过程。
Step 1：了解导数和原函数在讲解一阶导单调递增说明原函数之前，我们需要先梳理一下导数和原函数之间的关系。
在微积分中，导数和原函数是两个重要的概念。
导数是函数在某个点处的变化率，表示函数曲线在某一个点的切线的斜率。
而原函数则是指导数为该函数的函数。
如果我们把导数看作是一条线性的函数，那么原函数就是这条线性函数的反函数，即将导数函数进行积分得到的函数。
Step 2：理解一阶导数单调递增当我们说一个函数的一阶导单调递增时，意味着它的导数在定义域上是单调递增的。
也就是说，随着自变量的增大，导数的值也在逐渐变大。
如果我们将这个单调递增的导数看作是一条线性函数，那么它的倾斜度也会越来越大。
Step 3：推论原理：一阶导单调递增说明原函数在前两步的基础上，接下来就可以得出结论：若一个函数的一阶导数单调递增，那么这个函数的原函数一定是单调递增的凸函数。
（凸函数是一类类似“山峰”的函数，具有比较普遍的数学特性）。
为什么这是成立的呢？我们可以从函数的图像入手，通过观察导数函数的变化，来推论出原函数的变化。
举个简单的例子，假设有一条导数为$y=x$的直线。
那么对于原函数，我们可以得到$y=\dfrac{x^2}{2}$。
这个函数恰好就是一个单调递增的凸函数，符合前述推论的理论。
Step 4：证明原理：一阶导单调递增推出凸函数既然我们可以从函数图像中观察到一阶导数单调递增的规律，那么在更深入的数学层面上，我们是否可以通过求导和积分来证明这一点呢？答案是肯定的。
如果一个函数的一阶导数单调递增，那么其一阶导数在不同点取的斜率不同，而这种差异性导致了图像上的“弯曲”和“拐点”，最终使得该函数成为了一个凸函数。
导数还原成原函数公式
导数还原成原函数公式要将导数还原成原函数公式，我们需要理解导数和原函数之间的关系以及常见的反函数求解方法。
在微积分中，导数的定义是描述函数在特定点处的瞬时变化率。
而原函数指的是函数的不定积分或积分的逆运算。
导数和原函数之间存在一一对应的关系，即如果函数f(x)的导数为f'(x)，则f'(x)的原函数就是f(x)加上一个常数C。
这一关系可以表示为：∫f'(x)dx = f(x) + C其中，C表示不定积分的常数项，因为导数只能确定函数的斜率，而无法确定函数在x轴上的位置。
因此，原函数可以存在无穷多个，它们只在常数项上有差异。
具体求解导数还原成原函数公式的方法有以下几种常见的情况：1. 常数函数的导数还原：对于任意常数c，它的导数恒为0。
因此，常数函数f(x) = c的原函数为F(x) = cx + C。
2.幂函数的导数还原：对于幂函数f(x)=x^n，其中n不等于-1时，经过求导和积分运算可以得到：f'(x) = nx^(n-1)∫f'(x)dx = 1/(n+1) * x^(n+1) + C其中，C表示常数项。
这个公式适用于大多数的幂函数，如x的任意次方函数、三角函数的高次方等。
3.指数函数的导数还原：指数函数f(x)=a^x（其中a>0且a≠1）的导数为：f'(x) = ln(a) * a^x∫f'(x)dx = 1/ln(a) * a^x + C其中，C表示常数项。
这个公式适用于以a为底的指数函数。
4. 对数函数的导数还原：自然对数函数f(x) = ln(x)的导数为：f'(x)=1/x∫f'(x)dx = ln(，x，) + C其中，C表示常数项。
由于对数函数的定义域为正实数，因此需要加上绝对值符号。
5. 三角函数的导数还原：三角函数f(x) = sin(x)、cos(x)、tan(x)的导数分别为：f'(x) = cos(x)、-sin(x)、sec^2(x)∫f'(x)dx = -sin(x)、sin(x)、tan(x) + C其中，C表示常数项。
导函数连续,原函数
导函数连续,原函数
导函数连续是指函数的导数在定义域内连续，也就是导数的极限和函数的极限相等。
如果一个函数的导函数连续，那么这个函数就是连续可导的。
连续可导的函数一定是连续的，但是连续的函数不一定可导。
如果一个函数的导函数连续，并且在一定区间内有定义，那么它就有原函数。
原函数可以通过积分得到，积分是求导的逆运算。
原函数和导函数有一个重要的关系，就是它们的图像关于x轴对称。
这个性质可以用不定积分的“反证法”证明。
在实际问题中，我们经常需要求一个函数的原函数。
这个过程可以通过积分解决。
如果一个函数的导函数连续，那么它在一定区间内一定有原函数。
通过求出原函数，我们可以得到这个函数在这个区间内的所有性质，包括最值、单调性、凸凹性等等。
因此，导函数连续是研究函数性质的重要前提。
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