对称矩阵的相似矩阵
线代第五章(3)相似矩阵及对称矩阵的对角化
则
1 此时 Λ = 0 0
0 3 0
0 0 , 2
亦有 P-1AP = Λ .
23
例 2 设
0 0 1 A = 1 1 x , 1 0 0
4
故
|B - λE| = |P-1AP - λP-1EP| = |P-1| |A - λE| |P| = |A - λE| .
证毕
推论 若 n 阶方阵 A 与对角矩阵
Λ = diag(λ1 , λ2 , ··· , λn)
相似，则 λ1 , λ2 , ··· , λn 即是 A 的 n 个特征值. 个特征值. 相似，
第 三 节
主要内容
相似矩阵的概念
相似矩阵
相似矩阵的性质 矩阵对角化的步骤
1
一、相似矩阵的概念
阶方阵, 定义 7 设 A , B 为 n 阶方阵, P 为 n 阶可逆 矩阵, 矩阵, 且 P-1AP = B , 则称矩阵 A 相似于矩阵 B. 对 A 进行运算 P-1AP 称为对 A 进行相似变换，可逆矩阵 P 称 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵. 的相似变换矩阵.
8
定理 4 n 阶方阵 A 相似于对角矩阵 Λ 的充
要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量 个线性无关的特征向量. 证 必要性 设有可逆矩阵 P , 使得 P-1AP = Λ , 其中 Λ =diag (λ 1 , λ 2 , ··· , λn ). 将矩阵 P 按列分块, 按列分块 令 P = ( p1 , p2 , ··· , pn ), 则由 P-1AP = Λ , AP = PΛ , 即
21
此时
相似矩阵
第三讲Ⅰ 授课题目：§5.3 相似矩阵§5.4 对称矩阵的相似矩阵 Ⅱ 教学目的与要求：1. 了解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的充分条件.2. 会求实对称矩阵的相似对角形. Ⅲ 教学重点与难点：重点：相似矩阵的性质及矩阵对角化的条件. 难点：求实对称矩阵的相似对角矩阵. Ⅳ 讲授内容：一、相似矩阵的定义及性质定义1 设B A ,都是n 阶矩阵，若有可逆矩阵P ，使B AP P =-1，则称B 是A 的相似矩阵，或说矩阵A 与B 相似，记为B A ~.对A 进行运算AP P 1-称为对A 进行相似变换，可逆矩阵P 称为把A 变成B 的相似变换矩阵. 注 矩阵相似是一种等价关系.（1）反身性：A A ~.（2）对称性：若B A ~，则A B ~.（3）传递性：若B A ~，C B ~，则C A ~. 性质1 若B A ~，则（1）T T B A ~； （2）11~--B A ； （3）E B E A λλ-=-； （4）B A =； （5）)()(B R A R =.推论 若n 阶矩阵A 与对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Λn λλλ21相似，则n λλλ,,,21 是A 的n 个特征值.性质2 若1-=PBPA ，则A 的多项式1)()(-=PB P A φφ.推论 若A 与对角矩阵Λ相似，则1211)()()()()(--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Λ=P P PP A n λφλφλφφφ.注 （1）与单位矩阵相似的只有它本身； （2）有相同特征多项式的矩阵不一定相似. 二、矩阵可对角化的条件对n 阶方阵A ，如果可以找到可逆矩阵P ，使Λ=-AP P 1为对角阵，就称为把方阵A 对角化。
定理1 n 阶矩阵A 可对角化（与对角阵相似）A ⇔有n 个线性无关的特征向量。
推论 如果n 阶矩阵A 的n 个特征值互不相等，则A 与对角阵相似.（逆命题不成立） 注：（1）若A ～Λ，则Λ的主对角元素即为A 的特征值，如果不计i λ的排列顺序，则Λ唯一，称之为矩阵A 的相似标准形。
5.4 对称矩阵的相似矩阵
λ
i
为实数,所以齐次
λ
i
E )x = 0
是 实 系 数 方 程 组 ,由 A −
λ
i
E = 0知 必 有 实 的 基 础 解
系,从 而 对 应 的 特 征 向 量 可 以 取 实 向 量 .
定理 2 设λ1 , λ 2 是对称矩阵 A的两个特征值 , p1 , p2是对应的特征向量 , 若λ1 ≠ λ 2 , 则p1与p2正交 .
当abc ≠ 0 时，ax + by + cz = 0 的两个正交解为 ( −b, a , 0)T ,(ac, bc, − a 2 − b2 )T 当abcd ≠ 0 时, ax + by + cz + dw = 0 的三个两两正交解为 ( − b, a , 0,0)T ,(0, 0 − d , c )T , (a(c 2 + d 2 ), b(c 2 + d 2 ), − c(a 2 + b2 ), −d (a 2 + b2 ))T
则
说明： 说明： （1）在不计对角矩阵中对角元的排列次序条件下，对 ）在不计对角矩阵中对角元的排列次序条件下， 称矩阵的正交相似标准形唯一的，但是所用的正交矩阵 称矩阵的正交相似标准形唯一的， 却不是唯一的。 却不是唯一的。 （2）对于一般的齐次线性方程，有如下公式： ）对于一般的齐次线性方程，有如下公式：
第四节 对称矩阵的相似标准形
一、对称矩阵的性质
说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明， 说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明， 均指实对称矩阵 实对称矩阵． 均指实对称矩阵． 定理1 对称矩阵的特征值为实数， 定理1 对称矩阵的特征值为实数，其特征向量一定是 实向量。 实向量。 证明略 定理1 定理1的意义
ch5-4 实对称矩阵的相似矩阵
解: 由 A E
1 1 1 对1 1,由A E ~ 0 0 , 得 1 1 ; 1 1 1 对2 3,由A 3 E ~ 0 0 , 得 2 1
1
素的对角矩阵.
福 州 大 学
2013-7-21
4
三、利用正交矩阵将实对称矩阵 对角化的方法
根据上述结论，利用正交矩阵将实对称矩阵 化为对角矩阵，其具体步骤为： 1. 求A的特征值 1 , 2 ,, n ; 2. 由 A i E x 0, 求出A的特征向量 ; 3. 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化得 P1 , P2 ,, Pn . 5。写出正交阵 P P 1
征向量，求A的属于特征值 1的特征向量。
T 解 设A的属于特征值 1的特征向量为 3 x1，x2，x3） , （
3与1 , 2正交， [3 ,1] [3 ,2 ] 0
x1 x2 x3 0 2 x1 2 x2 x3 0
1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 2 2 1 令 x2 = 1 x1 x2 T 3 11 0 （ ，） ， x3 0
福Hale Waihona Puke 州 大 学2013-7-21
3
性质3：实对称矩阵A的k重特征值所对应的线性无 关的特征向量恰有k个。 由此推出：实对称矩阵A一定能对角化。
二、实对称矩阵的相似对角化：
定理1：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。
实
定理2： A为n阶对称矩阵, 则必有正交矩阵P , 使 设
P AP , 其中 是以 A的 n 个特征值为对角元
实对称矩阵正交相似于对角矩阵的证明
为了证明实对称矩阵正交相似于对角矩阵，我们可以按照以下步骤进行推导：
第一步，我们首先需要了解实对称矩阵的定义，即实对称矩阵A 的所有特征值都是实数，并且对于任意的实数x，都有Ax=xA。
第二步，我们设实对称矩阵A的n个特征值为λ1,λ2,...,λn，并且设P为可逆矩阵，使得P-1AP为对角矩阵。
第三步，我们设P-1AP=diag(λ1,λ2,...,λn)，根据对角矩阵的定义，我们可以得到方程组P-1AP=diag(λ1,λ2,...,λn)，即
AP=Pdiag(λ1,λ2,...,λn)。
第四步，我们根据矩阵乘法的性质，将AP=Pdiag(λ1,λ2,...,λn)两边同时转置，得到APT=Pdiag(λ1,λ2,...,λn)T，即ATP=Pdiag(λ1,λ2,...,λn)。
第五步，由于实对称矩阵A的所有特征值都是实数，因此我们可以将diag(λ1,λ2,...,λn)替换为diag(λ1,λ2,...,λn)T，得到
ATP=Pdiag(λ1,λ2,...,λn)T，即ATPAP=diag(λ1,λ2,...,λn)。
第六步，我们根据对角矩阵的定义，可以发现ATPAP实际上是一个对角矩阵，因此我们证明了实对称矩阵A正交相似于对角矩阵
diag(λ1,λ2,...,λn)。
综上所述，我们证明了实对称矩阵正交相似于对角矩阵。
相似矩阵的定义及性质
P1A3P P1(3A)P P1EP
(P1AP)(P1AP)(P1AP) 3P1AP E
1
3 1
1
2
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
2
3
1
1
1
3
19
所以矩阵
B
能与对角阵相似。 23
（2）有相同特征多项式的矩阵不一定相似。
三. 矩阵可对角化的条件（利用相似变换把方阵对角化） 对 n 阶方阵 A，如果可以找到可逆矩阵 P， 使得 P1AP 为对角阵，就称为把方阵 A 对角化。
4
定理1： n 阶矩阵 A 可对角化（与对角阵相似） A 有 n个线性无关的特征向量。
推论：若 n 阶方阵 A 有 n 个互不相同的特征值, 则 A 可对角化。（与对角阵相似） (逆命题不成立)
再求乘积即为行列式的值。
设 f (x) x 3
A 的特征值是 2,4, ,2n 即 i 2i, A 3E 的特征值是 f (i ) 2i 3
n
A 3E 2i 3 (1) 1 3 (2n 3) i 1
20
方法2：已知 A有 n 个不同的特征值，所以 A 可以对角化，
二. 相似矩阵的定义及性质
定义: 设 A, B 都是 n 阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得 P1AP B
则称矩阵 B是矩阵A 的相似矩阵，
或称矩阵 A 与矩阵 B 相似，记作 A B 对 A进行运算 P－1 AP 称为对 A 进行相似变换， 可逆矩阵 P 称为把矩阵 A 变成矩阵 B 的相似变换矩阵。
第五章 相似矩阵(2)
i的特征向量。因为 P可逆，得 A的n个特征向量线性无关。
(2) 充分性（命题：已知n阶方阵A有n个线性无关的特征 向量，则A相似于）
14
设A有n个线性无关的特征向量 P , P2 ,...Pn , 它们分别属于 1 A的特征值 1，2， n ..., AP A( P , P2 ,...Pn ) ( AP , AP2 ,...APn ) 1 1 (1 P , 2 P2 ,...n Pn ) 1 1 2 ( P , P2 ,...Pn ) 1 P n P 1 AP A相似于对角矩阵
2 1
T X 1 X 2 0 X 1与X 2正交。
20
定理10：设A为n阶实对称矩阵，则一定存在正交矩阵Q，使 1 2 T 1 Q AQ Q AQ ..., , 其中1，2， n为A的特征值
n
1
(2)当A可逆时, A是A的伴随矩阵A*的特征值;
是A-1的特征值;
(3)f(x)是x的一个一元多项式,则f()是f(A)的一个特征值,并且x仍 是矩阵A-1,A*,f(A)的分别对应于特征值
1
,
A
, f()的特征向量.
定理3：设1，2，m 是方阵A的m个互不相同的特征 值， X1，X2，Xm依次为与之相对应的特征向 量， 则X1，X2，Xm线性无关。 证明：采用数学归纳法进行证明 （1）当m=1时，∵X10，所以X1线性无关
令P ( X 1 , 2 ,... n ),则P正交， P 1 AP P T AP 1 0 B 0 1 1 T T T T T T 又( P AP ) P A P P AP T B 0 B 0, B T B , 所以B为n 1阶实对称矩阵，由归纳假设 存在n 1阶正交矩阵P1 , 使 P1 BP1 P1 BP1 diag{2 ,...,n }
第五篇第四节实对称矩阵的相似矩阵
2 ( p1' p2 ).
(1 2 )( p1' p2 ) 0.
1 2 , 即 1 2 0.
p1' p2 0. 即 p1与 p2 正交. 证毕.
3
返回
定理八. 设是实对称阵A的k重特征值,
那么对应与的所有特征向量中, 其最大线
性无关组所包含的向量个数恰为k.
推论. 实对称矩阵必与对角矩阵相似.
2
返回
性质2.设1 , 2是 实 对 称 阵A的 两 个 特 征 值, p1, p2 是相应的特征向量, 若1 2 ,
则 p1与 p2 正交.
证明: Ap1 1 p1, Ap2 2 p2 .
1( p1' p2 ) (1 p1') p2 ( Ap1 )' p2
( p1' A') p2 p1'( Ap2 ) p1 '(2 p2 )
求出A的特征向量.
对于 1 2, 解方程组 (2E A)X 0.
2
2E
A
0
0
0 1 1
0
1 1
r1
(
1 2
)
r3 r2
1
0 0
0 1 0
0
1. 0
取同解方程组:
x1 x2
0 x3
0.
7
返回
x1 x2
0 k1
x3 k1
x1 0
x2
k1
1
.
x3 1
8
返回
0
基础解系:
1
1
.
1
对于 2 3 4, 解方程组 (4E A)X 0.
0
4E A 0 0
0 1 1
矩阵的相似和对角化的性质和应用
矩阵的相似和对角化的性质和应用矩阵的相似和对角化是线性代数中比较基础的概念，也是常常用到的重要工具。
在本文中，我将介绍矩阵相似的定义及其一些性质，探讨矩阵对角化的方法和应用。
一、矩阵相似1.1 定义设 $A$ 和 $B$ 是 $n$ 阶矩阵，若存在一个可逆矩阵 $P$，使得$B=P^{-1}AP$，则称 $B$ 与 $A$ 相似，$P$ 叫做相似变换矩阵。
1.2 性质（1）相似关系是一种等价关系。
对于任意的 $n$ 阶矩阵 $A$，有 $A\sim A$。
若 $A\sim B$，则$B\sim A$。
若 $A\sim B$，$B\sim C$，则 $A\sim C$。
（2）相似关系保持一些矩阵的特性。
若 $A$ 是一个对称矩阵，则 $B=P^{-1}AP$ 也是对称矩阵。
若$A$ 是一个正定矩阵，则 $B=P^{-1}AP$ 也是一个正定矩阵。
（3）相似矩阵有相同的特征值和相同的秩。
若 $A\sim B$，则 $A$ 和 $B$ 有相同的特征值。
即它们的特征多项式相同。
并且相似矩阵有相同的秩。
二、对角化2.1 定义设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵。
若存在一个可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP=D$，其中 $D$ 是一个对角矩阵，则称 $A$ 可对角化，$D$ 叫做 $A$ 的一个对角化矩阵，$P$ 叫做对角化矩阵。
2.2 对角化的必要条件若$A$ 可对角化，则$A$ 必须有$n$ 个线性无关的特征向量。
即存在一组线性无关的向量$\{\vec{v_1},\vec{v_2},\cdots,\vec{v_n}\}$，使得$A\vec{v_i}=\lambda_i\vec{v_i}$，其中 $\lambda_i$ 是 $A$ 的特征值。
2.3 对角化的方法（1）在求解 $A$ 的特征值 $\lambda$ 和特征向量 $\vec{v}$ 后，将特征向量按列组成矩阵 $P$，得到 $D=P^{-1}AP$。
第四节 实对称矩阵的相似矩阵
0 − 1 1 0 0 0 . 0 0 0
0 ⋅ x1 − x2 + x3 = 0.
9
返回
x1 = k2 x2 = k 3 x3 = k 3
x1 1 0 x = k 0 + k 1 . ⇒ 2 3 2 0 1 x3 1 0 ξ 2 = 0 , ξ 3 = 1 . 基础解系: 基础解系 0 1
4
返回
二、求正交矩阵的方法
求正交矩阵的具体步骤为: 求正交矩阵的具体步骤为
1. 求出n阶实对称阵A的所有特征值λ1 ,L , − A) x = 0, 求出A
的线性无关的特征向量 p1 , p2 , L pn
3. 将 p1 , ,pn 正交规范化得 e1 ,L , en ; L 4. 写出正交矩阵 P = (e1 ,L , en ).
12
返回
0 1 0 0 − 1 − 1 . 0 0 0
x1 = 0 取同解方程组: 取同解方程组 x2 + x3 = 0.
7
返回
x1 = 0 ⇒ x2 = k1 x3 = − k1
x1 0 x = k 1 . 1 2 − 1 x3
§4 实对称矩阵的相似矩阵
一、实对称矩阵的特征值的有关性质 二、求正交矩阵的方法
1
返回
一、实对称矩阵的特征值的有关性质
a11 a 12 对称阵 A = L a 1n a12 L a1n a22 L a2 n ⇔ A' = A. L L L a 2 n L a nn
5
返回
4 0 0 例. 设 A = 0 3 1 , 求一个正交阵 P , 0 1 3 使 P −1 AP = Λ . 第一步: 求出A的所有特征值 的所有特征值. 解: 第一步: 求出 的所有特征值. A的特征多项式 的特征多项式: 的特征多项式 0 0 λ −4 λE − A = 0 λ − 3 − 1 = (λ − 2)(λ − 4)2 . 0 −1 λ − 3
相似度矩阵
相似度矩阵相似度矩阵是数据挖掘领域中用于比较两个数据集之间相似度的一种数学模型。
在机器学习和深度学习领域中，相似度矩阵的应用十分广泛，特别是在图像处理和自然语言处理方面。
相似度矩阵可以通过一些简单的算法生成，并且很容易在计算机中实现。
本文将介绍相似度矩阵的概念、常见的生成方法及应用场景。
一、相似度矩阵的概念相似度矩阵指的是两个数据集之间的相似程度，其中包含了所有可能的相似度值。
它是一个方阵，其中的每一个元素表示两个样本之间的相似程度。
相似度矩阵可以是对称的或者非对称的。
对于对称矩阵，它们的矩阵元素是可对称交换的；而对于非对称矩阵，相似度是单向的，不可对称交换。
相似度矩阵可以用于解决很多重要的数据挖掘问题，如聚类、分类、检索和相似度匹配等。
例如，在图像处理领域，图像相似度矩阵可以帮助我们识别照片中人脸的相似度，以便为每个人脸分配独特的标识符。
在自然语言处理中，相似度矩阵可以帮助我们找出两个文本之间的相似度，并帮助我们计算出文本语义的相似度得分。
二、生成相似度矩阵的方法1. 欧几里得距离欧几里得距离是最常见的相似度计算方法之一，它是基于两个向量之间的空间距离计算的。
对于两个向量 a 和b，其欧几里得距离可以用以下公式表示：d(a,b)=√(∑_(i=1)^n(a(i)-b(i))^2)其中，a(i) 和 b(i) 分别指向量 a 和 b 中的第 i 个元素，n 是向量的维度大小。
欧几里得距离越小，说明向量越相似。
2. 余弦相似度余弦相似度是另一种广泛使用的相似度计算方法。
与欧几里得距离不同，余弦相似度主要考虑向量的角度而非空间距离。
对于两个向量 a 和 b，余弦相似度可以用以下公式表示：similarity(a,b)=cos(θ)=a·b/||a|| ||b||其中，a·b 是两个向量的点积，||a|| 和 ||b|| 分别是 a 和 b 向量的模数。
余弦相似度也可以反映两个向量的方向，而不受它们的绝对大小影响。
§4 对称矩阵的相似矩阵
对 2 1, 解方程
x1 2 x2 0 即 2 x1 2 x3 0 2x x 0 2 3
© §4 2009, Henan Polytechnic University 对称矩阵的相似矩阵
A E x 0,
2 解之得基础解系 2 1 . 2
1616
第五章 相似矩阵及二次型
1 1 1 1 1 对应于1 1，由 A E 1 1 ~ 0 0 得1 1
1 1 1 1 对应于2 3，由 A 3 E 1 1 ~ 0 0
1717
第五章 相似矩阵及二次型
小结
1. 对称矩阵的性质： (1)特征值为实数； (2)属于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的 特征向量的个数相等； (4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵， 且对角矩阵对角元素即为特征值． 2. 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤： (1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向量 正交化；(4)最后再将特征向量单位化．
解： A为对称矩阵，可以对角化
即存在可逆矩阵 及对角阵，使得P 1 AP P
即A PP
1
从而A P P
n n
1
由 A E
2 1
1 2
( 1)( 3)
得1 1, 2 3
© §4 2009, Henan Polytechnic University 对称矩阵的相似矩阵
1 1 1 1 1 1 P (1 , 2 ) 1 1 , P 2 1 1
5.4实对称矩阵的相似矩阵
1
1=5: 基础解系: P1 1
1 1
1
2=3=
1
:
基础解系:
P2
1
,
P3
0
0
1
将P2,P3正交化: 取2=P2
1
3
P3
[ 2 , P3 ] [2, 2]
2
0 1
1 2
1
1
0
1
2 1
2
1
将P1,2,3单位化,得:
e1
1
3 1
3
,
e2
那么对应于的所有特征向量中,其最大线
性无关组所包含的向量个数恰为k.
故n阶实对称矩阵必有n个线性无关的
特征向量.
推论 实对称矩阵必与对角矩阵相似.
定理九 若A为n阶实对称阵,则总有正交阵
P,使
1
P1AP==
2
n
其中1,2,,n是A的特征值.
二、求正交矩阵的方法
求正交矩阵的具体步骤为: (1)求出n阶实对称矩阵A的所有特征值
1
2 1
2
,
e3
1
6 1
6
1
0
2
3
6
将e1,e2,e3构成正交矩阵:
1
P
(e1 , e2
,
e3
)
3 1
3
1
3
5
有:
P 1 AP
1
1
1 2
1 2
0
1
6 1
6
2
6
定义 设n阶方阵A,B,如果存在可逆矩阵P, 使得P AP=B,则称A与B相合(或合同)
相合满足反身性,对称性和传递性
§5.4 实对称矩阵的相似矩阵
实对称矩阵与相似对角阵
此定理不予证明
二、实对称矩阵的正交相似对角化
复习：
1。定义(107页) 如果n阶实方阵A满足ATA= E，
AAT= E则称 A为 正交矩阵.
A的行（列）向量组都是单位向量且两两正交.
2、 将线性无关的向量组1，2，…，r化为 2. 正交矩阵的性 一组两两正交的单位向量组的方法。 施密特(Schmidt) 质 方法 （108页 ） (1) 将线性无关的向量组1，2，…，r正交化. 令 1=1， = - 2 , 1 ， 2 2 1 1 , 1 3, 2 3 , 1 3 = 31 2， 2, 2 1 , 1 … … … … … … … ， r , 2 r , r 1 r , 1 r = r1 - , 2 - …- , r-1. 1 , 1 2 2 r 1 r 1 (2) 将1，2，…，r单位化，令
1
1
4
1、P中特征向量与对角阵中特征值的顺序要一致
2、实对称阵的重特征值对应的特征向量有多种取法， 故这里的正交矩阵P不唯一。
3、实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交， 可检验计算的正确性
【定理6.4 】设A为 n 阶实对称矩阵， 使得 则必存在 n 阶正交矩阵P，
P AP
P AP
1
Λ
2
例题分析
例2
2 1 1 1 2 1 A 设 1 1 2
求一个正交矩阵P
1 使 P AP 为对角阵.
解
(1)求特征值
A E
2 1 1
1
1
2 1 1 2
( 4)( 1)2
故得特征值
1 2 1
矩阵相似的充要条件
矩阵相似的充要条件
比如：A与B相似的充要条件是相同的jordan标准形
A与B相似的充要条件是相同的初等因子
似推特征值一样很容易，按定义来。
实对称矩阵的特征值相同，那么两矩阵的特征多项式相同。
由实对称矩阵可以相似对角化，假设这2个矩阵分别为A,B，那么分别存在正交矩阵T,P，使得A,B分别相似于同一个对角矩阵，进行适当变换，可以找到可逆矩阵S，使得A相似于B。
比如两个具有相同特征值的方阵，一个可对角化，一个不可对角化，这样它们就不相似。
但是有相同的特征值是两矩阵相似的必要条件的。
而两矩阵相似的充要条件则为它们拥有相同的若尔当标准型，或者说有相同的初等因子
一个矩阵对应着一个线性变换，两矩阵相似其实就是说同一个空间的同一个线性变换在不同坐标系下的表示(矩阵)不同。
两矩阵相似就意味着存在可逆矩阵P使得P^-1AP=B则A与B相似其实就是说A和B相似于同一个对角阵(当然了，前提是可以相似对角化，也就是说，A 和B都有列数个或行数个线性无关的特征向量)
这个结论等价于A与B有完全相同的特征值。
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线性代数（工）同济大学第五版
推论1. 设A是一个n阶实对称矩阵，则对于A的任一特征
值i一定有A(i ) G(i )，即i的代数重数等于几何重数。
推论2. 设 A为 n阶对称矩阵, 是A的特征方程的 r重根, 则 (A E)x 0的解空间的维数是r，从而
R(A E) n r.
推论3. 设 n阶对称矩阵A的所有不相同的特征值为
注：由于对称矩阵A的特征值 为实数,所以齐次 i
线性方程组
(A E)x 0 i
是实系数方程组,由向量可以取实向量.
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定理2. 设1,2是实对称矩阵A的两个不同特征值，1,2 分别是关于特征值1,2的特征向量，则1, 2彼此正交。
由归纳假设，存在k阶正交矩阵Q1使得Q11BQ1 1，其中 1是一个k阶的对角矩阵，于是
bT 0T 1 0T 0T 1 0T
0
B
0
B
0
Q11
0
1
0
Q1
,
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设是A的任一特征值，v是关于特征值的一个单位特征
向量，将其扩充为¡ k1的一个正交规范基：v, w1,, wk ,
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令Q (v, w1,, wk )，则Q是一个正交矩阵，且
b01 b02 L
0
b11
b12
L
b0k
b1k
AQ
(
Av,
Aw1
,,
Awk
)
(v,
w1
,,
wk
)
0 M
b21 M
b22 M
L O
bM2k
bT
@Q
,
0 B
其中 bT (b01, b02 ,K , b0k ),
0 bk1 bk 2 L
b11 b12 L
B
b21
b22
L
M M O
bkk
b1k
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称 u [u,u] 为复向量u的范数。 注：如果u是实向量，则 u u12 u22 L un2，与第 一节定义的欧氏范数相同。 若A是n阶实对称矩阵，则A† AT A，因此
[Au, v] ( Au)†v (u† A†)v) u†( Av) [u, Av].
b2k
,
M
bk1 bk 2 L bkk
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注意到
A
AE
A(QQT ) ( AQ)QT
Q
0
另一方面，A
AT
Q
b
0T BT
QT
,
bT
QT
,
B
因此必有 b 0, BT B，即B是一个k阶对称矩阵，
1, 2 ,, k，相应的特征子空间为V1 , V2 ,,Vk，则
n =V1 V2 Vk , 且上述直和为正交直和。
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如果我们能够求得每一个特征子空间Vi的一个正交 规范基，则可以得到 n =V1 V2 Vk的一个正 交规范基，在这个基下线性变换
于是
A
Q
0
bT
QT
1 Q
B
0
0T
Q11
0
0T 1
1
0
0T
QT
,
Q1
令
1
P
Q
0
0T
Q11
,
0
0T 1
，则
PPT
1 Q
0
0T 1
Q11
0
0T
QT
QQT
E,
Q1
因此P是正交矩阵，且 A PP1 P1AP .
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[u, v] u1v1 u2v2 L unvn u†v, 性质： [u v, w] [u, w] [v, w], [u, v] [v,u],
[u, v] [u, v],
[u,v] [u, v].
特别地， [u,u] u1 2 u2 2 L un 2 ,
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一、对称矩阵的性质
共轭转置的概念：设A是一个m n阶复矩阵，
a11 a12 L
A
a21
a22
L
M M O
am1
am2
L
a1n
a2n
,
M
amn
a11
定义
A†
a12
M
a1n
a21 L a22 L MO a2n L
am1
am2
,
M
amn
即 A† A T ，称为A的共轭转置矩阵。
证明： (1 2 )[1,2 ] 1[1,2 ] 2[1,2 ]
[11,2 ] [1, 22 ] (Q 1, 2都是实数)
[ A1,2 ] [1, A2 ]
Q1,1,2是2是相A应的的特特征征值向，量
[A1,2] [A1,2] 0,
Q A是实对称矩阵
由于1 2
0，故必有
[1
,
2
]
0，即1与
正交。
2
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定理3. 设A是一个n阶实对称矩阵，则一定存在正交矩 阵P使得P1AP ，其中是一个对角矩阵，其对角 元素就是A的特征值。 证明：我们对矩阵A的阶数n用数学归纳法。 当n 1时命题显然成立； 设若当n k时命题成立，往证当n k 1时命题亦成立， 从而完成归纳证明。
如果A是一个实矩阵，则A† AT ;
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对于复矩阵Amn , Bmn , Cn p及复数有 ( A B)† A† B†, ( AC)† C† A†, ( A)† A†.
对于n维的复向量u (u1,u2 ,,un )T , v (v1, v2,, vn )T ， 其内积为
定理1. 实对称矩阵A的特征值都是实数。
证明：设是A的任一特征值， 是相应的单位特征向量，
则
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[, ] [, ] [ A, ] [, A] [,]
[,] , 因此是实数。