对称矩阵的相似矩阵

证明： (1 2 )[1,2 ] 1[1,2 ] 2[1,2 ]
[11,2 ] [1, 22 ] (Q 1, 2都是实数)
[ A1,2 ] [1, A2 ]
Q1,1,2是2是相A应的的特特征征值向，量
[A1,2] [A1,2] 0,
Q A是实对称矩阵
由于1 2
0，故必有
[1
,
2
定理1. 实对称矩阵A的特征值都是实数。
证明：设是A的任一特征值， 是相应的单位特征向量，
则
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线性代数（工）同济大学第五版
[, ] [, ] [ A, ] [, A] [,]
[,] , 因此是实数。
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一、对称矩阵的性质
共轭转置的概念：设A是一个m n阶复矩阵，
a11 a12 L
A
a21
a22
L
M M O
am1
am2
L
a1n
a2n
,
M
amn
a11
定义
A†
a12
M
a1n
a21 L a22 L MO a2n L
am1
am2
,
M
amn
即 A† A T ，称为A的共轭转置矩阵。
于是
A
Q
0
bT
QT
1 Q
B
0
0T
Q11
0
0T 1
1
0
0T
QT
,
Q1
令
1
P
Q
0
0T
Q11
,
0
0T 1
，则
PPT
1 Q
0
0T 1
Q11
0
0T
QT
QQT
E,
Q1
因此P是正交矩阵，且 A PP1 P1AP .
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1, 2 ,, k，相应的特征子空间为V1 , V2 ,,Vk，则
n =V1 V2 Vk , 且上述直和为正交直和。
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如果我们能够求得每一个特征子空间Vi的一个正交 规范基，则可以得到 n =V1 V2 Vk的一个正 交规范基，在这个基下线性变换
由归纳假设，存在k阶正交矩阵Q1使得Q11BQ1 1，其中 1是一个k阶的对角矩阵，于是
bT 0T 1 0T 0T 1 0T
0
B
0
B
0
Q11
0
1
0
Q1
,
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0
b11
b12
L
b0k
b1k
AQ
(
Av,
Aw1
,,
Awk
)
(v,
w1
,,
wk
)
0 M
b21 M
b22 M
L O
bM2k
bT
@Q
,
0 B
其中 bT (b01, b02 ,K , b0k ),
0 bk1 bk 2 L
b11 b12 L
B
b21
b22
L
M M O
bkk
b1k
[u, v] u1v1 u2v2 L unvn u†v, 性质： [u v, w] [u, w] [v, w], [u, v] [v,u],
[u, v] [u, v],
[u,v] [u, v].
特别地， [u,u] u1 2 u2 2 L un 2 ,
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如果A是一个实矩阵，则A† AT ;
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对于复矩阵Amn , Bmn , Cn p及复数有 ( A B)† A† B†, ( AC)† C† A†, ( A)† A†.
对于n维的复向量u (u1,u2 ,,un )T , v (v1, v2,, vn )T ， 其内积为
]
0，即1与
正交。
2
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定理3. 设A是一个n阶实对称矩阵，则一定存在正交矩 阵P使得P1AP ，其中是一个对角矩阵，其对角 元素就是A的特征值。 证明：我们对矩阵A的阶数n用数学归纳法。 当n 1时命题显然成立； 设若当n k时命题成立，往证当n k 1时命题亦成立， 从而完成归纳证明。
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推论1. 设A是一个n阶实对称矩阵，则对于A的任一特征
值i一定有A(i ) G(i )，即i的代数重数等于几何重数。
推论2. 设 A为 n阶对称矩阵, 是A的特征方程的 r重根, 则 (A E)x 0的解空间的维数是r，从而
R(A E) n r.
推论3. 设 n阶对称矩阵A的所有不相同的特征值为
注：由于对称矩阵A的特征值 为实数,所以齐次 i
线性方程组
(A E)x 0 i
是实系数方程组,由 A E 0知必有实的基础解 i
系, 从而对应的特征向量可以取实向量.
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定理2. 设1,2是实对称矩阵A的两个不同特征值，1,2 分别是关于特征值1,2的特征向量，则1, 2彼此正交。
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称 u [u,u] 为复向量u的范数。 注：如果u是实向量，则 u u12 u22 L un2，与第 一节定义的欧氏范数相同。 若A是n阶实对称矩阵，则A† AT A，因此
[Au, v] ( Au)†v (u† A†)v) u†( Av) [u, Av].
b2k
,
M
bk1 bk 2 L bkk
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注意到
A
AE
来自百度文库
A(QQT ) ( AQ)QT
Q
0
另一方面，A
AT
Q
b
0T BT
QT
,
bT
QT
,
B
因此必有 b 0, BT B，即B是一个k阶对称矩阵，
设是A的任一特征值，v是关于特征值的一个单位特征
向量，将其扩充为¡ k1的一个正交规范基：v, w1,, wk ,
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令Q (v, w1,, wk )，则Q是一个正交矩阵，且
b01 b02 L