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闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法

闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法一、引言函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，连续函数又是数学分析中非常重要的一类函数。

在数学中，连续是函数的一种属性。

而在直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。

函数极限的存在性、可微性，以及中值定理、积分等问题，都是与函数的连续性有着一定联系的，而闭区间上连续函数的性质也显得非常重要。

在闭区间上连续函数的性质中，有界性定理又是最值定理和介值定理等的基础。

在极限绪论中，我们知道闭区间上连续函数具有5 个性质，即：有界性定理、最大值最小值定理、介值定理、零点定理和一致连续定理，零点定理是介值定理的一个重要推论。

而闭区间上连续函数的有界性定理的证明，在很多数学教材中，所采用的方法大致相同，一般都是用致密性定理和有限覆盖定理来加以证明的。

并且在文献中作者也分别利用闭区间套定理、确界定理、单调有界定理和柯西收敛准则证明了此定理。

但是我们知道，分析数学上所列举的实数完备性的7 个基本定理是相互等价的，因而从原则上讲，任何一个都可以证明该定理，只不过是有繁简之分，笔者考虑如何能用最简单的方法将闭区间上连续函数的有界性定理证明出来，上述文献中已经用其他6 个基本定理证明了闭区间连续函数的有界性定理，下面本文用实数完备性定理中的聚点原则和构造数列的办法给出了该定理的新证明方法。

二、一种新的证明方法（一）预备知识【1】（二）有界性定理的新证法下面将给出实数完备性定理中的聚点原则对闭区间连续函数的有界性定理的证明。

【2】三、有界性定理在数学建模中的应用本文以一道数学建模的问题为例，介绍闭区间上连续函数的有界性定理如何应用于实际问题。

在2013 年“深圳杯”数学建模夏令营D 题中，根据题意所述：农业灾害保险是政府为保障国家农业生产的发展，基于商业保险的原理并给予政策扶持的一类保险产品。

农业灾害保险也是针对自然灾害，保障农业生产的重要措施之一，是现代农业金融服务的重要组成部分。

闭区间上连续函数有界性的教学研究与应用

闭区间上连续函数有界性的教学研究与应用在数学中，一个函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上是连续的，当且仅当对于任意 $\epsilon > 0$ 都存在 $\delta > 0$，使得对于所有 $x,y \in [a,b]$ 满足 $|x-y| < \delta$ 时，都有 $|f(x) - f(y)| < \epsilon$。

也就是说，函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，当且仅当在区间 $[a,b]$ 上的任意两点的函数值的差值都可以被任意小的正数 $\epsilon$ 所包含。

当函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上有界时，我们称其为有界函数。

这意味着存在一个实数$M$，使得在区间$[a,b]$ 上的所有$x$ 都满足 $|f(x)| \le M$。

在数学中，闭区间上连续有界函数的性质是非常重要的。

这些性质可以用来证明许多其他的定理，并且在应用数学中也经常被用到。

例如，在微积分中，闭区间上连续有界函数的性质与函数的连续导数有关。

函数的连续导数是指函数的导数在整个区间 $[a,b]$ 上都是连续的。

闭区间上连续有界函数的性质还可以用来证明 Riemann 积分的一些重要性质，例如函数的有界性对积分的有界性的影响。

在应用数学中，闭区间上连续有界函数的性质还可以用来解决许多实际问题。

例如，在工程学中，闭区间上连续有界函数可以用来描述物体在特定时间内的运动轨迹。

在经济学中，闭区间上连续有界函数可以用来描述不同的经济指标之间的关系。

在医学中，闭区间上连续有界函数可以用来描述药物在人体内的吸收、分布和排泄过程。

总的来说，闭区间上连续有界函数在数学和应用数学中都扮演着重要的角色，因此对它们的研究和应用是非常有意义的。

在研究闭区间上连续有界函数的性质时，可以使用许多数学工具和方法。

这些工具和方法包括：1、微积分：闭区间上连续有界函数的性质与函数的连续导数有关，因此在研究闭区间上连续有界函数的性质时，可以使用微积分的知识。

高等数学闭区间上连续函数的性质

利用函数性质判定
有些函数由于其自身的性质，如周期性、有界性等，可以很容易地判定其一致连续性。
一致连续与非一致连续函数区别
一致连续函数
对于一致连续函数，无论区间I上的点x'和x"如何接近，只要它们的距离小于某一正数δ （这个δ只与ε有关），那么函数在这两点上的函数值的差就小于ε。这说明一致连续函
数在整个区间I上都有一种“均匀”的连续性。
相关定理与引理01源自零点定理如果函数$y=f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)$与$f(b)$异号，则
在开区间$(a,b)$内至少存在一点$c$，使得$f(c)=0$。
02 03
介值定理
如果函数$y=f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且在这区间的端点取不同的函数值$f(a)=A$及$f(b)=B$，则对于$A$与$B$之间的任意一个数 $C$，在开区间$(a,b)$内至少存在一点$c$，使得$f(c)=C$ （$a<c<b$）。
判定零点存在性方法
判断函数在区间端点的函数值是否异号。
如果异号，则根据零点存在性定理，该区间内必存在使得函数值
为零的点。
如果同号，则需要进一步分析，如通过求导判断函数的单调性等。
零点存在性在解决实际问题中应用
1
在求解方程根的问题中，可以利用零点存在性定理判断方程在给定区间内是否存在根。
2
理论研究
在数学的各个分支中，连续函数的最值性质都是重要的研究对象，具有广泛的应用价值。
04 零点存在性定理及其应用
零点存在性定理内容
01
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号，则在开区间(a,b) 内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=0。

§3闭区间上连续函数性质的证明(4时)解读

§3 闭区间上连续函数性质的证明( 4 时 )一. 有界性:命题1 , 在上.证法一 ( 用区间套定理 ). 反证法.证法二 ( 用列紧性 ). 反证法.证法三 ( 用有限复盖定理 ).二.最值性:命题 2 , 在上取得最大值和最小值.( 只证取得最大值 )证 ( 用确界原理 ) 参阅[1]P226[ 证法二 ] 后半段.三.介值性:证明与其等价的“零点定理”.命题3 ( 零点定理 )证法一 ( 用区间套定理 ) .证法二 ( 用确界原理 ). 不妨设.令, 则非空有界, 有上确界. 设有. 现证, ( 为此证明且 ). 取>且.由在点连续和, ,. 于是. 由在点连续和,. 因此只能有.证法三 ( 用有限复盖定理 ).四.一致连续性:命题4 ( Cantor定理 )证法一 ( 用区间套定理 ) .证法二 ( 用列紧性 ).二.实数基本定理应用举例：例1设是闭区间上的递增函数, 但不必连续 . 如果,, 则, 使. ( 山东大学研究生入学试题 )证法一 ( 用确界技术 . 参阅[3] P76例10 证法1 )设集合. 则, 不空;,有界 . 由确界原理 ,有上确界. 设, 则.下证.ⅰ）若, 有; 又, 得.由递增和, 有, 可见. 由,. 于是 , 只能有.ⅱ）若, 则存在内的数列, 使↗, ; 也存在数列, ↘,. 由递增, 以及, 就有式对任何成立 . 令, 得于是有.证法二 ( 用区间套技术, 参阅[3] P77例10 证法2 ) 当或时,或就是方程在上的实根 . 以下总设. 对分区间, 设分点为. 倘有, 就是方程在上的实根.(为行文简练计, 以下总设不会出现这种情况) . 若, 取; 若, 取, 如此得一级区间. 依此构造区间套, 对,有. 由区间套定理, , 使对任何,有.现证.事实上, 注意到时↗和↘以及递增,就有.令, 得于是有.例2设在闭区间上函数连续, 递增 , 且有,. 试证明: 方程在区间内有实根 .证构造区间套,使.由区间套定理,, 使对,有. 现证. 事实上, 由在上的递增性和的构造以及↗和↘,, 有.注意到在点连续，由Heine归并原则, 有,, . 为方程在区间内的实根.例3试证明: 区间上的全体实数是不可列的 .证 ( 用区间套技术, 具体用反证法 ) 反设区间上的全体实数是可列的,即可排成一列:把区间三等分，所得三个区间中至少有一个区间不含，记该区间为一级区间. 把区间三等分，所得三个区间中至少有一个区间不含，记该区间为二级区间. …… .依此得区间套, 其中区间不含. 由区间套定理, , 使对, 有. 当然有. 但对有而, . 矛盾.习题课（ 4 时）一．实数基本定理互证举例：例4用“区间套定理”证明“单调有界原理”.证设数列递增有上界. 取闭区间, 使不是的上界, 是的上界. 易见在闭区间内含有数列的无穷多项, 而在外仅含有的有限项. 对分, 取使有的性质.…….于是得区间套,有公共点. 易见在点的任何邻域内有数列的无穷多项而在其外仅含有的有限项, .例5用“确界原理”证明“区间套定理”.证为区间套. 先证每个为数列的下界, 而每个为数列的上界. 由确界原理 , 数列有上确界, 数列有下确界 .设, .易见有和.由，.例6用“有限复盖定理”证明“聚点原理”.证 ( 用反证法 ) 设为有界无限点集, . 反设的每一点都不是的聚点, 则对, 存在开区间, 使在内仅有的有限个点. …… .例7用“确界原理”证明“聚点原理”.证设为有界无限点集. 构造数集中大于的点有无穷多个.易见数集非空有上界, 由确界原理, 有上确界. 设. 则对,由不是的上界中大于的点有无穷多个; 由是的上界,中大于的点仅有有限个. 于是, 在内有的无穷多个点,即是的一个聚点 .。

高等数学上闭区间上连续函数的性质-文档资料

因
f(x)a0xn1aa01x aa0xnn,
13
可见：
lim f(x) ,lim f(x)
x
x
故，存在 x1 0 , 使得 f (x1) 0;
同理存在 x 2 0 , 使得 f (x2) 0.
因 f(x)C[x2,x1], 由零点定理，知存在 x0 x2,x1
使得 f (x0) 0.
和最小值. 证明从略.
从右边的图中可以看出, y
若函数 f ( x ) 在闭区间上连续, 则 f ( x ) 在点和处
y f x
分别取到最大值和最小值.
O a
bx
5
用简单的数学符号，定理1可表述为：
f C[a,b]
, [a ,b ],使 f() m a x { f(x )} , x [a ,b ] f()min{f(x)}. x[a,b]
由零点定理, 存在 x0 (a,b) 使得
F(x0) 0.
即
f (x0) .
15
注零点定理是介值定理的特殊情况.
y
y f x
o a x0
bx
y y f x
o a x0
bx
16
推论1 闭区间上的连续函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值. 即
f C[a,b]
xm [a in ,b]f(x),x m [a a,x b]f(x),
值得注意的是，定理1中的条件 f ( x ) 在闭区间上连续，
不能改为开区间.
6
例设函数 f ( x ) 在 a , b 内连续，且 f ( a ) 存在，证明 f ( x ) 在 a , b 内有界.
证因 f ( a ) 存在，由局部有界性定理，存在 0 ,

闭区间上连续函数的性质

y f在(x)上有I 界
y 在x 上(1有, 2界) ，但无最值
定理1. (有界性与最大值最小值定理) 闭区间上连续函数在该区间上有界并且一定能取得最大、最小值
注意: 若函数在开区间上连续, 或在闭区间内有间断点，结论不一定成立 .
例如, 无最大值和最小值又如,
y
y y f (x)
1
o
1x
y
o a1 2 b x
第十节闭区间上连续函数的性质
一、最大值最小值
设函数f (x)在区间I 上有定义，如果 x0 I ，对于 x I ，都有 f (x) f (x0)(或f (x) f (x0))，则称f (x0)是f (x)在区间I 上的最大值（或最小值）分别记为M 或m
最大值和最小值统称为最值
y f在(x)上有I最值
内容小结
在在在 4. 当
上有界;
上达到最大值与最小值;
上可取最大与最小值之间的任何值;
时, 必存在
使
备用题证明
正根 . 证：令显然
至少有一个不超过 4 的且
根据零点定理 , 在开区间
内至少存在一点
原命题得证 .
y
条件:
1.函数连续；
b
2.两端点处的值异号.
oa
x
定理 3. ( 介值定理 ) 设 f ( x) C [ a , b ] , 且 f (a) A ,
f (b) B , A B , 则对 A 与 B 之间的任一数 C , 至少有
一点
使
证: 作辅助函数 ( x) f ( x) C
则 (x)C[a, b] , 且 (a) (b) ( A C)(B C)
2
1
也无最大值和最小值

闭区间上连续函数性质的证明精编版

,
a1
2
b1
]与[a1
2
b1
,
b1
]，同样f
(
x)至少在其
中之一上无界，把它们记为[a2 , b2 ]；这样的步骤一
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直做下去，便得到一个闭区间套{[an , bn ]}, f ( x)在其中
任何一个闭区间[an ,bn ]上都是无界的. 根据闭区间套定
理, 存在唯一的实数属于所有的闭区间[an , bn ],并且
证法一(应用致密性定理证明) 采用反证法
假设 f ( x)在闭区间[a,b]上非一致连续，
由于x ( y)是严格单调增加的, 因此要不等式 x0 x x0 成立,只需
f (x0 ) f (x) f (x0 ) 即f (x0 ) f (x0 ) y y0 f (x0 ) f (x0 )
因此取 minf (x0 ) f (x0 ), f (x0 ) f (x0 )，则当
将[a, b]等分为两个子区间[a, c]与[c, b]，
若f (c) 0,则c即为所求;
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若f (c) 0,则当f (c) 0时记[a1,b1] [a,c]，
当f (c) 0时记[a1,b1] [c,b]，
则有f (a1) 0，f (b1) 0,
都存在一点 xn [a,b], 使得 f (xn ) n. 取n 1, 2
3,,得到一列xn，xn [a,b] 并且 f (xn ) n, 即
lim
n
f
(xn )

.
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闭区间上的连续函数

零点存在定理定理3.4.3 若函数 f ( x ) 在闭区间 [a, b] 连续，且 f (a) ⋅ f (b) < 0 ，则一定存在 ξ ∈ (a, b) ，使 f (ξ ) = 0 。证不失一般性，设 f (a) < 0 ， f (b) > 0 ，定义集合V： V = { x f ( x) < 0, x ∈ [a, b] } 。集合V 有界，非空，所以必有上确界。令 ξ = sup V ，现证 ξ ∈ (a, b) ，且 f (ξ ) = 0 。再由 f (b) > 0 ，由于 f ( x ) 连续，f (a) < 0 ， ∃ δ 1 > 0 ， ∀x ∈ [a, a + δ 1 ] ：f ( x) < 0 ； ∃ δ 2 > 0 ， ∀ x ∈ (b − δ 2 , b) ： f ( x) > 0 。于是可知 a + δ1 ≤ ξ ≤ b − δ 2 ，即 ξ ∈ ( a, b) 。
在上面定义中，若固定 x′′ = x0 ∈ X ，就得到 f ( x ) 在点 x 0 的连续性。由于 x0 可以是 X 中的任意一点，于是得到 f ( x ) 在区间 X 上一致连续 ⇒ f ( x ) 在区间 X 上连续。至于反向的命题，就不一定成立。
例3.4.3 f ( x) = sin x 在 (−∞,+∞) 上一致连续。证由不等式 | sin x′ − sin x′′ | = 2 cos
例 3.4.4 证
1 f ( x) = 在 (0,1) 连续，但非一致连续。 x
对于任意给定的 ε, 0 < ε <1 ，我们通过精确地解出
x0
δ * ( x 0 , ε ) = inf δ ( x 0 , ε )，来说明不存在适用于整个区间 (0,1) 的 δ (ε ) > 0 。

高等数学1-10 闭区间上连续函数的性质

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二、零点定理与介值定理
定理3(零点定理)
设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续, 且f(a)与f(b)异号, 那么在开区间(a, b)内至少存在一点ξ, 使f(ξ)=0.
定理4(介值定理)
设函数 f(x)在闭区间[a, b]上连续, 且f(a)≠f(b), 那么, 对于 f(a)与f(b)之间的任意一个数C, 在开区间(a, b)内至少有一点ξ, 使得f(ξ)=C.
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定理1(最大值和最小值定理)
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值.
应注意的问题:
如果函数仅在开区间内连续, 或函数在闭区间上有间断点, 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值. 例如, 函数f(x)=x在开区间(a, b) 内既无最大值又无最小值.
闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理二、零点定理与介值定理
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一、有界性与最大值最小值定理
最大值与最小值
对于在区间I上有定义的函数f(x), 如果有x0∈I, 使得对于0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值).
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定理1(最大值和最小值定理)
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值.
定理2(有界性定理)
在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界. 证明设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续. 根据定理1, 存在f(x)在区间[a, b]上的最大值M和最小值 m, 使任一x∈[a, b]满足 m≤f(x)≤M. 上式表明, f(x)在[a, b]上有上界M和下界m , 因此函数f(x)在 [a, b]上有界.

闭区间连续函数的性质

闭区间连续函数的性质
有界性：闭区间上的连续函数在该区间上一定有界。

1、有界性
所谓有界就是指，存有一个正数m，使对于任一x∈[a,b]，都存有|f(x)|≤m。

证明：利用致密性定理：有界的数列必有收敛子数列。

2、最值性
所谓最大值是指，[a,b]上存在一个点x0，使得对任意x∈[a,b]，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为f(x)在[a,b]上的最大值。

最小值可以同样作定义，只需把上面的不等号反
向即可。

3、多值性
这个性质又被称作介值定理，其包含了两种特殊情况：
（1）零点定理。

也就是当f(x)在两端点处的函数值a、b异号时（此时存有0在a和
b之间），在开区间(a,b)上必存有至少一点ξ，并使f(ξ)=0。

（2）闭区间上的连续函数在该区间上必定取得最大值和最小值之间的一切数值。

闭区间上的连续函数在该区间上一致已连续。

所谓一致连续是指，对任意ε>0（无论其多么小），总存在正数δ，当区间i上任
意两个数x1、x2满足|x1-x2|<δ时，有|f(x1)-f(x2)|<ε，就称f(x)在i上是一致连续的。

对于连续性，在自然界中存有bai许多现象，例如气温du的变化，植物的`生长等都
就是已连续地zhi变化着的。

这种现象在函dao数关系上的充分反映，就是函数的连续性。

直观地说道，如果一个函数的图像你可以一笔画出，整个过程不必抬笔，那么这个函数就
是已连续的。

数学分析7.2闭区间上连续函数性质的证明

第七章实数的完备性2 闭区间上连续函数性质的证明有界性定理：若函数f 在闭区间[a,b]上连续，则f 在[a,b]上有界. 证法一：(应用有限覆盖定理)由连续函数局部有界性知，对每一点x 0∈[a,b]，都存在邻域U(x 0, δx )及正数M x , 使得|f(x)|≤M x , x ∈U(x 0, δx )∩[a,b]，则开区间集H={U(x 0, δx )|x 0∈[a,b]} 是[a,b]的一个无限开覆盖. 由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集 H ’={U(x i , δi )|x i ∈[a,b], i=1,2,…k}覆盖住[a,b]，且存在正数M 1,M 2,…M k , 使得对一切x ∈U(x i , δi )∩[a,b]，有|f(x)|≤M i , i=1,2,…k. 令M=k i 1max ≤≤M i , 则对任何x ∈[a,b]，x 必属于某U(x i , δi )，且|f(x)|≤M i ≤M. ∴f 在[a,b]上有界.证法二：(应用致密性定理)若f 在[a,b]上无上界，则对任何正整数n ，存在x n ∈[a,b]，使得f(x n )>n. 依次取n=1,2,…，则得到数列{x n } ⊂[a,b]. 由致密性定理，{x n }含有收敛子列{x k n }，记∞→k lim x kn =ξ. 由a ≤x kn ≤b 及数列极限的保不等式性，ξ∈[a,b]. ∵f 在ξ连续，∴∞→k lim f(x kn )=f(ξ)<+∞. 又f(x k n )>n k ≥k →+∞=>∞→k lim f(x kn )=+∞矛盾，∴f 在[a,b]上有上界. 同理可证f 在[a,b]上有下界，∴f 在[a,b]上有界.最大、最小值定理：若函数f 在闭区间[a,b]上连续，则f 在[a,b]上有最大值与最小值.证：(应用确界原理)根据连续函数在[a,b]上的有界性及确界原理知，f 的值域f([a,b])有上确界，记为M.若对一切x ∈[a,b]都有f(x)<M. 令g(x)=f(x )-M 1, x ∈[a,b]，则g 在[a,b]上连续且有上界. 设g 有上界G ，则 0<g(x)=f(x )-M 1<G, x ∈[a,b]，得f(x)<M-G1与M 为f([a,b])的上确界矛盾. ∴必存在ξ∈[a,b]，使f(ξ)=M ，即f 在[a,b]上有最大值.同理可证f 在[a,b]上有最小值.介值性定理：设函数f 在闭区间[a,b]上连续，且f(a)≠f(b). 若μ是介于f(a)与f(b)之间的任何实数，则存在x 0∈[a,b]，使得f(x 0)=μ. 证法一：(应用确界原理)不妨设f(a)<μ<f(b)，令g(x)=f(x)-μ, 则 g 在[a,b]上连续，且g(a)<0, g(b)>0.记E={x|g(x)>0, x ∈[a,b]}，则E 非空有界，E ⊂[a,b]且b ∈E ，由确界原理，E 有下确界，记x 0=inf E.∵g(a)<0, g(b)>0，由连续函数的局部保号性，存在δ>0，使得在[a,a+δ]内g(x)<0，在[b-δ,b]内g(x)>0， ∴x 0≠a, x 0≠b, 即x 0∈(a,b). 若g(x 0)≠0，不妨设g(x 0)>0，则又由局部保号性，存在U(x 0,η)⊂(a,b)，使其内有g(x)>0，特别有g(x 0-2η)>0=>x 0-2η∈E 与x 0=inf E 矛盾， ∴g(x 0)=0，即f(x 0)=μ.证法二：(应用区间套原理)同证法一令g(x)=f(x)-μ.将[a,b]二等分为[a,c]与[c,b]. 若g(c)=0，则c 为所求.若g(c)>0，则记[a 1,b 1]=[a,c]，若g(c)<0，则记[a 1,b 1]=[c,b]，则g(a 1)<0,g(b 1)>0且[a 1,b 1]⊂[a,b]，b 1-a 1=21(b-a).从区间[a 1,b 1]出发，重复上述过程，得g(c 1)=0或g(a 2)<0,g(b 2)>0且[a 2,b 2]⊂[a 1,b 1]，b 2-a 2=221(b-a). 不断重复以上过程，可得g(c n )=0或g(a n+1)<0,g(b n+1)>0且[a n+1,b n+1]⊂[a n ,b n ]，b n -a n =n 21(b-a), n=1,2,…. 即{[a n ,b n ]}是闭区间套，由区间套定理知，存在x 0∈[a n ,b n ], n=1,2,… 若g(x 0)≠0，不妨设g(x 0)>0，由局部保号性，存在U(x 0, δ)，使其内有g(x)>0.又当n 充分大时，有[a n ,b n ]⊂U(x 0, δ)，∴g(a n )>0矛盾. ∴g(x 0)=0，即f(x 0)=μ.一致连续性定理：若函数f 在[a,b]上连续，则f 在[a,b]上一致连续. 证法一：(应用有限覆盖定理)由f 在[a,b]上的连续性，任给ε>0，对每一点x ∈[a,b]，都存在δx >0，使得当x 0∈U(x,δx )时有|f(x 0)-f(x)|<2ε. 令H={U(x,2δx )|x ∈[a,b]}，则H 是[a,b]的一个开覆盖. 由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集H ’={U(x i ,2δi )|i=1,2,…,k}， H ’覆盖了[a,b]. 记δ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤2δmin i k i 1>0. 对任何x 1,x 2∈[a,b]，|x 2-x 1|<δ. x 1必属于H ’的某个开区间U(x i ,2δi )，即|x 1-x i |<2δi ，则有 |x 2-x i |≤|x 2-x 1|+|x 1-x i |<δ+2δi ≤2δi +2δi =δi ，又|f(x 1)-f(x i )|<2ε, |f(x 2)-f(x i )|<2ε, 有|f(x 2)-f(x 1)|< ε.∴f 在[a,b]上一致连续.证法二：(应用致密性定理)若f 在[a,b]上不一致连续，则存在某ε0>0，对任何δ>0，都存在相应的两点x ’,x ”∈[a,b]，尽管|x ”-x ’|<δ, 但有|f(x ”)-f(x ’)|≥ε0.令δ=n 1(n 为正整数)，与它相应的两点记为x ’n ,x ”n ∈[a,b]，尽管|x ’n -x ”n |<n1, 但有|f(x ’n )-f(x ”n )|≥ε0.当n=1,2,…时，可得数列{x ’n }与{x ”n }⊂[a,b].由致密性定理，存在{x ’n }的收敛子列{x ’k n }，设x ’k n →x 0∈[a,b](k →∞)，由|x ’k n -x ”k n |<kn 1=>| x ”k n -x 0|≤| x ”k n - x ’k n |+| x ”k n -x 0|→0(k →∞)，得 x ”kn →x 0(k →∞)，又由f 的连续性及数列极限的保不等式性，得：0=|f(x 0)-f(x 0)|=∞→k lim |f(x ’k n )-f(x ”kn )|≥ε0，与ε0>0矛盾， ∴f 在[a,b]上一致连续.习题1、设f 为R 上连续的周期函数. 证明：f 在R 上有最大值与最小值. 证：设f 的周期为T ，∵f 在[0,T]上连续，∴有最大值f(M)和最小值f(m)， M,m ∈[0,T]. 任给x ∈R ，则存在某整数k ，使x ∈[kT,(k+1)T]， ∴x-kT ∈[0,T]，从而有f(m)≤f(x)=f(x-kT)≤f(M)，∴f(M)=R x max ∈{f(x)}, f(m)=Rx min ∈{f(x)}，即 f 在R 上有最大值f(M)与最小值f(m).2、设I 为有限区间. 证明：若f 在I 上一致连续，则f 在I 上有界，举例说明此结论当I 为无限区间时不一定成立.证：设区间I 的左右端点为a,b. ∵f 在I 上一致连续，∴对ε=1，存在δ>0，不妨取δ<2a -b , 当|x ’-x ”|<δ(x ’,x ”∈I)时，有|f(x ’)-f(x ”)|<1. 令a 1=a+2δ, b 1=b-2δ, 则a<a 1<b 1<b.∵f 在[a 1,b 1]上连续，∴f 在[a 1,b 1]上有界，设|f(x)|≤M 1, x ∈[a 1,b 1]. 当x ∈[a,a 1)∩I 时，∵0<a 1-x<2δ<δ，∴|f(x)-f(a 1)|<1, 有|f(x)|<|f(a 1)|+1. 同理当x ∈(b 1,b]∩I 时，有|f(x)|<|f(b 1)|+1.令M=max{M 1,|f(a 1)|+1,|f(b 1)|+1}，则对一切x ∈I ，必有|f(x)|≤M. ∴f 在有限区间I 上有界.例证：y=x 2, x ∈R 一致连续，但∞→x lim x 2=+∞无界.3、证明：f(x)=x sinx 在(0,+∞)上一致连续. 证：∵∞→x lim xsinx =0，由柯西收敛准则知，对∀ε>0，存在M 1>0，使当x ’,x ”>M 1时，有|f(x ’)-f(x ”)|<ε. 又∵0x lim →xsinx =1，同理可知，存在M 2>0，使当0<x ’,x ”<M 2时，有|f(x ’)-f(x ”)|<ε.将(0,+∞)分成三个相交的区间(0,M 2],[2M 2,M 1+2M 2]和[M 1,+∞). ∵f 在[2M 2,M 1+2M 2]连续，∴f 在[2M 2,M 1+2M 2]一致连续. 从而必存在δ>0(δ<2M 2)，当x ’,x ”∈[2M 2,M 1+2M 2]且|x ’-x ”|<δ时，有 |f(x ’)-f(x ”)|<ε. 于是对一切x ’,x ”∈(0,+∞)，当|x ’-x ”|<δ时， x ’,x ”必属于上述区间之一，且都有|f(x ’)-f(x ”)|<ε，∴f 在(0,+∞)上一致连续.4、试用有限覆盖定理证明根的存在性定理.证：设f在[a,b]上连续，且f(a),f(b)异号，不妨设f(a)<0, f(b)>0.若在(a,b)内没有f(x)=0的根，即对每一个x∈(a,b)，都有f(x)≠0，从而对一切x∈[a,b]，有f(x)≠0. 由f的连续性，对每一个x∈[a,b]，存在δx >0，使得f在U(x,δx)∩[a,b]上同号，而H={(x,δx)|x∈[a,b]}是[a,b]的一个开覆盖，由覆盖定理知在H中必存在有限个开邻域H’={(x j,δj)|x j∈[a,b], j=1,2,…,n}覆盖[a,b]，设a∈(x k,δn)(k为1,2,…,n中某一个值)，则f(x)<0, x∈(x k,δk n)∩[a,b].k又∵H’覆盖了[a,b]，∴恒有f(x)<0, x∈[a,b]，即f(b)<0矛盾.∴在(a,b)内f(x)=0至少有一个根. 根的存在性定理得证.5、证明：在(a,b)上连续函数f为一致连续的充要条件是f(a+0)、f(b-0)存在且有限.证：[必要性]设f在[a,b]一致连续，则对任给的ε>0，存在δ>0，使当x’,x”∈(a,b)且|x’-x”|<δ时，有|f(x’)-f(x”)|<ε，则有当x’,x”∈(a,a+δ)时，有|x’-x”|<δ，从而有|f(x’)-f(x”)|<ε，由函数极限的柯西准则知f(a+0)存在且为有限值，同理可证f(b-0)存在且为有限值.[充分性]设f在(a,b)，且f(a+0)、f(b-0)存在且有限，补充定义f(a)=f(a+0), f(b)=f(b-0)，使f在[a,b]上连续，从而一致连续，∴f在[a,b]一致连续.。

第十一节闭区间上连续函数的性质

x
证由最大值最小值定理可知, 在[a,b]上存在两点 1和 2 使得
f (1 ) m, f (2 ) M
令于是
F ( x) f ( x) C
F (1 ) 0, F (2 ) 0
F ( ) f ( ) C 0
由零点定理得, 至少存在一点 (a , b ) , 使得
(a, b), 使得 f ( ) C .
几何意义: 介于[a, b]内的连续曲线的最高与最低点之间的任意直线 y C (m C M ), 至少与该曲线 y f ( x ) 相交

于相交于一点.
y
M B y f ( x) C a o x1 1 A m
2 3 x2 b
方程在 (1, 0) 有一个根 x2
f ( 3) 1 0
f (4) 27 0
方程在 (3, 4) 有一个根 x3
根据代数基本定理三次多项式最多有三个实根
x1 , x 2 , x 3 是方程的全部实根
[例] 设函数f C [0, 1],且f (0) f (1), 证明 : 1 x0 [0, 1], 使 f ( x0 ) f ( x0 ) 3 1 [证] 令 g( x ) f ( x ) f ( x )
最大值和最小值统称为最值, 最大值点和最小值点统
称为最值点. 例如, y 1 sin x ,
在[0,2]上, ymax 2, ymin 0;
y sgn x, 在(,)上,
ymax 1,
ymin 1;
在(0,)上,
ymax ymin 1.
定理2(最大值和最小值定理) 若函数 f ( x ) 在闭区间

闭区间上连续函数基本性质——最值定理和有界性定理(老黄学高数第125讲)

. f在[a,+∞)上有界. 又问f在[a,+∞)必有最大值或最小值吗？
若M<A+ε0且m>A-ε0，则M>A-ε0且m<A+ε0，取εM =M-(A-ε0)=M-A+ε0>0，有正数c，使x>c时，有 |f(x)-A|<εM，即A-(M-A+ε0)<f(x)<A+(M-A+ε0)=M+ε0. 由ε0的任意性可知f(x)≤M，又f在[b,c]上有最大值N，取xM=max(M,N)，则xM为f在[a,+∞)上的最大值；
A+ε0
A
A-ε0
ab
且f在[a,+∞)一定有最大值或最小值。
1、设f在[a,+∞)上连续，且
f(x)存在. 证明：
. f在[a,+∞)上有界. 又问f在[a,+∞)必有最大值或最小值吗？
f在闭区间[a,b]⊂[a,+∞)上连续,
∴f在[a,b]上有最大值M和最小值m.
若M≥A+ε0，则M为f在[a,+∞)上的最大值；
M
A+ε0

a
b
1、设f在[a,+∞)上连续，且
f(x)存在. 证明：
. f在[a,+∞)上有界. 又问f在[a,+∞)必有最大值或最小值吗？
f在闭区间[a,b]⊂[a,+∞)上连续,
∴f在[a,b]上有最大值M和最小值m.
若m≤A-ε0，则m为f在[a,+∞)上的最小值；
A
A-ε0
m
a
b
1、设f在[a,+∞)上连续，且
证：定义函数F(x)=

闭区间上连续函数一定有界证明

闭区间上连续函数一定有界证明闭区间上的连续函数一定有界的证明可以从以下三个方面进行展开：1.闭区间上连续函数的最小值和最大值存在。

2.通过反证法证明闭区间上的连续函数无界的假设导致矛盾。

3.构造一个有界的区间，使得闭区间上的连续函数在该区间内有界。

下面将详细介绍这三个方面的证明。

首先，我们来证明闭区间上连续函数的最小值和最大值一定存在。

设$f(x)$是闭区间$[a,b]$上的一个连续函数，我们定义$M=\max\{f(x):x\in[a,b]\}$和$m=\min\{f(x):x\in[a,b]\}$。

我们首先证明$M$存在。

由于$f(x)$是连续函数并且$[a,b]$是一个闭区间，根据连续函数的最值定理，$f(x)$在闭区间$[a,b]$上一定可以取到最大值，即存在$x_1\in[a,b]$使得$f(x_1)=M$。

接下来，我们证明$m$存在。

同理，由于$f(x)$是连续函数并且$[a,b]$是一个闭区间，根据连续函数的最值定理，$f(x)$在闭区间$[a,b]$上一定可以取到最小值，即存在$x_2\in[a,b]$使得$f(x_2)=m$。

综上所述，闭区间上的连续函数一定存在最大值$M$和最小值$m$。

接下来，我们利用反证法来证明闭区间上的连续函数一定有界。

假设存在一个闭区间$[a,b]$上的连续函数$f(x)$是无界的，即对于任意的正整数$N$，存在$x_N\in[a,b]$使得$f(x_N)>N$。

由于$f(x_N)>N$，我们可以构造一个数列$\{x_N\}$，使得$f(x_N)>N$。

根据闭区间的有界性，数列$\{x_N\}$必然有一个收敛子列$\{x_{N_k}\}$，即存在$x_0\in[a,b]$使得$\lim_{k\to\infty}x_{N_k}=x_0$。

由于$f(x)$是连续函数，根据连续函数的性质，$\lim_{k\to\infty}f(x_{N_k})=f(x_0)$。

有界闭域上二元连续函数有界性的证明

有界闭域上二元连续函数有界性的证明
二元函数连续判断：1、确定函数定义域；2、在定义域的端点和函数的特殊点，讨论其连续性的方法就是连续性的定义：在某点左，右极限是否存在，是否相等，且是否等于函数在该点的函数值，如果存在并相等则表示连续。

二元函数连续性的结论：
1、如果函数f（x，y）在区域d内的每一点处都已连续，则表示函数f（x，y）在d 内已连续。

2、一切二元初等函数在其定义区域内是连续的。

所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。

3、在有界闭合区域d上的二元连续函数，必定在d上存有界，且能够获得它的最大值和最小值。

4、在有界闭区域d上的二元连续函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值。

5、在有界闭合区域d上的二元连续函数必定在d上一致已连续。

6、设d为f（x，y）的定义区域，若对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于d上的任意两点p1、p2，只要当|p1p2|\ucδ时，都有|f（p1）-f（p2）|\ucε，则称f（x，y）在d上一致连续。

42闭区间连续函数整体性质的证明

有
f(x)f(i)1M。
定理2、（最值性）若函数 f ( x ) 在闭区间 a , b 连续，则函数 f ( x ) 在 a , b 取到最小
值m 与最大值 M
，即在
a , b 上存在 x
1 与x
，使
2
f (x1) m 与 f (x2) M
且x a,b ，有mf(x)M。
证法只给出取到最大值的证明。根据定理1，函数f ( x ) 在 a , b 有界。设
因此，他们的证明要应用§4。1中描述实数集连续性的定理。
定理1.（有界性) 若函数f ( x ) 在闭区间 a , b 连续，则函数 f ( x ) 在闭区间 a , b 有
界，即 M 0 , x a,b，有
f (x) M
证法有已知条件得到函数有 f ( x ) 在 a , b 的每一点的某个领域有界。要将
n个开区间
k k,k kk a ,b ,k1,2, ,n
也覆盖闭区间 a , b ，且 x kk,kk a,b，有 f(x) f(k)1,
k 1 ,2 , ,n。
取 Mmaxf(1), f(2), , f(n)1。于是， x a ,b , i 1 ,2 ,3 , ,n
，且 xii,ii a,b，
在 a , b 也连续。根据定理1，存在 C 0，x a,b 有
1 C M f (x)
或
f (x) M 1 C
即M 不是数集 f(x)xa,b的上确界，矛盾。于是x2 a,b，使
f (x2) M。
定理3.（零点定理）若函数 f ( x ) 在闭区间 a , b 连续，且
即函数
1 1 , 在x 1 x 2 一致连续。
f (x) 1 a ,1