初一数学定义新运算题型专题训练
全国通用版七年级数学有理数专题练习-------定义新运算题库(含解析)
（6）=4，则 G(36)+G(42)= 【考点】定义新运算之直接运算
。 【难度】2 星
【题型】计算
【解析】36 的约数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36。42 的约数有：1、2、3、6、7、14、21、42。所
以有 G（36） G（42） 9 8 17 。 【答案】 17
【巩固】如果 a & b a b 10 ,那么 2 & 5
原式 (6 4) 2 5 .
【答案】 5
【巩固】x 为正数,<x>表示不超过 x 的质数的个数,如<5.1>=3,即不超过 5.1 的质数有 2,3,5 共 3 个.那么
<<19>+<93>+<4>×<1>×<8>>的值是
.
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】3 星
【题型】计算
【解析】<19>为不超过 19 的质数,有 2,3,5,7,11,13,17,19 共 8 个.<93>为不超过的质数,共 24 个,易知
。
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】2 星
【题型】计算
【解析】2&5=2+5÷10=2.5 【答案】 2.5
【例 7】 “华”、“杯”、“赛”三个字的四角号码分别是“2440”、“4199”和“3088”，将“华杯赛”的
编码取为 244041993088，如果这个编码从左起的奇数位的数码不变，偶数位的数码改变为关于
果 1 4＝2 3，那么 3 4 等于________。
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】2 星
定义新运算练习题(含解析)
定义新运算练习题1．定义一种新的运算*：规定a*b＝30×a＋20×b，例如5*6＝30×5＋20×6＝270，计算3*8＝＝。
2．定义新运算a△b＝（a＋b）×（a﹣b），则6.2△3.8＝。
3．定义新运算：△表示一种运算符号，其意义是a△b＝2.5a﹣b，计算（4△5）△6。
4.如果2△3＝2＋3＋4＝9，5△4＝5＋6＋7＋8＝26，照这样计算，求9△5。
5．定义一种新运算：3△2＝3＋33＝36，5△4＝5＋55＋555＋5555＝6170，那么7△4的结果是。
6．定义新运算：若2※3＝2＋3＋4，5※4＝5＋6＋7＋8，求2※（3※2）的值。
7.规定：符号“△”为选择两数中较大的数，“○”为选择两数中较小的数．例如5△2＝5，3○6＝3，求[（8○3）△5]×（4○7）。
附加题：8.2▽4＝8，5▽3＝13，3▽5＝11，9▽7＝25．按此规律计算，求10▽12。
定义新运算-解析1．定义一种新的运算*：规定a*b＝30×a＋20×b，例如5*6＝30×5＋20×6＝270，计算3*8＝＝。
【分析】根据规定a*b＝30×a＋20×b，计算3*8时，a＝3，b＝8。
运用新定义计算。
【解答】a*b＝30×a＋20×b3*8＝30×3＋20×8＝2502．定义新运算a△b＝（a＋b）×（a﹣b），则6.2△3.8＝。
【分析】△的运算是两数和与两数差的乘积；据此解答即可。
【解答】6.2△3.8＝（6.2＋3.8）×（6.2﹣3.8）＝10×2.4＝243．定义新运算：△表示一种运算符号，其意义是a△b＝2.5a﹣b，计算（4△5）△6。
【分析】根据a△b＝2.5a﹣b，把4△5改写为2.5×4﹣5，算出结果，再用这个结果的2.5倍减6，即是（4△5）△6的结果。
七年级数学有理数定义新运算灵活运用练习题(含答案)
七年级数学有理数定义新运算（一）一、填空题1.规定a ☉b =ab b a -,则2☉(5☉3)之值为 . 2.规定“※”为一种运算,对任意两数a ,b ,有a ※b 32b a +=,若6※x 322=,则x = . 3.设a ,b ,c ,d 是自然数,定义bc ad d c b a +>=<,,,.则<><><<,3,2,1,4,4,3,2,13, 4, 1, 2>>=<>1,4,3,2, .4.[A ]表示自然数A 的约数的个数.例如,4有1,2,4三个约数,可以表示成[4]=3.计算:]7[])22[]18([÷+= .5.规定新运算※:a ※b=3a -2b .若x ※(4※1)=7,则x= .6.两个整数a 和b ,a 除以b 的余数记为a ☆b .例如,13☆5=3,5☆13=5,12☆4=0.根据这样定义的运算,(26☆9) ☆4= .7.对于数a ,b ,c ,d 规定d c ab d c b a +->=<2,,,.如果7,5,3,1>=<x ,那么x = .8.规定:6※2=6+66=72,2※3=2+22+222=246, 1※4=1+11+111+1111=1234.7※5= .9.规定:符号“△”为选择两数中较大数,“☉”为选择两数中较小数.例如:3△5=5,3☉5=3.那么,[(7☉3)△5]×[5☉(3△7)]= .10.假设式子b a a ⨯#表示经过计算后,a 的值变为原来a 与b 的值的积,而式子b a b -#表示经过计算后,b 的值为原来a 与b 的值的差.设开始时a =2,b =2,依次进行计算b a a ⨯#,b a b -#,b a a ⨯#,b a b -#,则计算结束时,a 与b 的和是 .二、解答题11.设a ,b ,c ,d 是自然数,对每两个数组(a ,b ),(c ,d ),我们定义运算※如下: (a ,b )※(c ,d )= (a+c ,b +d );又定义运算△如下: (a ,b )△(c ,d )= (ac+bd ,ad+bc ).试计算((1,2) ※(3,6))△((5,4)※(1,3)).12.羊和狼在一起时,狼要吃掉羊,所以关于羊及狼,我们规定一种运算,用符号△表示羊△羊=羊;羊△狼=狼;狼△羊=狼;狼△狼=狼.运算意思是羊与羊在一起还是羊,狼与狼在一起还是狼,但是狼与羊在一起便只剩下狼了.小朋友总是希望羊能战胜狼,所以我们规定另一种运算,用符号☆表示为羊☆羊=羊;羊☆狼=羊;狼☆羊=羊;狼☆狼=狼.运算意思是羊与羊在一起还是羊,狼与狼在一起还是狼,由于羊能战胜狼,当狼与羊在一起时,它便被羊赶走而只剩下羊了.对羊或狼,可用上面规定的运算作混合运算,混合运算的法则是从左到右,括号内先算.运算的结果是羊,或是狼.求下式的结果:羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼).13.22264⨯⨯=222⨯⨯⨯表示成()664=f ; 33333243⨯⨯⨯⨯=表示成()5243=g . 试求下列的值:(1)()=128f ; (2))()16(g f =; (3)6)27()(=+g f ;(4)如果x , y 分别表示若干个2的数的乘积,试证明:)()()(y f x f y x f +=⋅.14.两个不等的自然数a 和b ,较大的数除以较小的数,余数记为a ☉b ,比如5☉2=1,7☉25=4,6☉8=2.(1)求1991☉2000,(5☉19)☉19,(19☉5)☉5;(2)已知11☉x =2,而x 小于20,求x ;(3)已知(19☉x )☉19=5,而x 小于50,求x .答 案1. 120411.5☉3=15165335=-,2☉(5☉3)=2☉12041112016121516151621516==-=. 2. 8.依题意,6※326x x +=,因此322326=+x ,所以x=8. 3. 280.;1421343,2,1,4;1032414,3,2,1=⨯+⨯>=<=⨯+⨯>=<.1443121,4,3,2;1014232,1,4,3=⨯+⨯>=<=⨯+⨯>=<原式2801014141014,10,14,10=⨯+⨯>==<.4. 5.因为23218⨯=有6)12()11(=+⨯+个约数,所以[18]=6,同样可知[22]=4,[7]=2.原式52)46(=÷+=.5. 9.因为4※1=101243=⨯-⨯,所以x ※(4※1)= x ※10=3x -20.故3x -20=7,解得x =9.6. 0.89226+⨯=,26☆9=8,又428⨯=,故(26☆9)☆4=8☆4=0.7. 6.因为x x x +=+-⨯⨯>=<15312,5,3,1,所以71=+x ,故6=x .8. 86415.7※5=7+77+777+7777+77777=86415.9. 25.原式=[3△5]×[5☉7]=5×5=25.10. 14. 第1次计算后,422=⨯=a ;第2次计算后,224=-=b ;第3次计算后,824=⨯=a ;第4次计算后,628=-=b .此时1468=+=+b a .11. (1,2)※(3,6)=(1+3,2+6)=(4,8),(5,4)※(1,3)=(5+1,4+3)=(6,7).原式=(4,8)△(6,7)=(4×6+8×7,4×7+8×6)=(80,76).12. 原式=羊△羊☆羊△狼=羊☆羊△狼=羊△狼=狼.13. (1)()72)128(7==f f ; (2)()())81(342)16(44g g f f ====;(3)因为()())8(233636)27(633f f g g ===-=-=-,所以6)27()8(=+g f ;(4)令,2,2n m y x ==则n y f m x f ==)(,)(.()())()(222)(y f x f n m f f y x f n m n m +=+==⋅=⋅+.14. (1)1991☉2000=9;由5☉19=4,得(5☉19)☉19=4☉19=3;由19☉5=4,得(19☉5)☉5=4☉5=1.(2)我们不知道11和x 哪个大(注意,x ≠11),即哪个作除数,哪个作被除数,这样就要分两种情况讨论.1) x <11,这时x 除11余2, x 整除11-2=9.又x ≥3(因为x 应大于余数2),所以x =3或9.2) x >11,这时11除x 余2,这说明x 是11的倍数加2,但x <20,所以x =11+2=13. 因此(2)的解为x =3,9,13.(3)这个方程比(2)又要复杂一些,但我们可以用同样的方法来解.用y 表示19☉x ,不管19作除数还是被除数,19☉x 都比19小,所以y 应小于19. 方程y ☉19=5,说明y 除19余5,所以y 整除19-5=14,由于y ≥6,所以y =7,14. 当y =7时,分两种情况解19☉x =7.1)x <19,此时x 除19余7,x 整除19-7=12.由于x ≥8,所以x =12.2) x >19,此时19除x 余7, x 是19的倍数加7,由于x <50,所以x =19+7=26或7219+⨯=x =45.当y =14时,分两种情况解19☉x =14.1) x<19,这时x除19余14, x整除19-14=5,但x大于14,这是不可能的.2)x>19,此时19除x余14,这就表明x是19的倍数加14,因为x<50,所以x=19+14=33.总之,方程(19☉x)☉19=5有四个解,x=12,26,33,45.。
初中数学新定义题专题
初中数学新定义题专题类型一新运算型1. 我们根据指数运算，得出了一种新的运算，下表是两种运算对应关系的一组实例：指数运算21＝222＝423＝8 (31)＝332＝933＝27…新运算log 22 ＝1 log 24 ＝2 log 28 ＝3 …log 33 ＝1 log 39 ＝2 log 327 ＝3…根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log 216＝4，②log 525＝5，③log 212＝－1.其中正确的是() A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③B 【解析】①∵24＝16，∴log 216＝4，故①正确；②∵52＝25，∴log 525＝2≠5，故②不正确；③∵2－1＝12，∴log 212＝－1，故③正确．2. 阅读材料：设a →＝(x 1，y 1)，b →＝(x 2，y 2)，如果a →∥b →，则x 1·y 2＝x 2·y 1.根据该材料填空：已知a →＝(2，3)，b →＝(4，m )，且a →∥b →，则m ＝________. 6【解析】∵a →∥b →，∴2m ＝3×4，解得m ＝6. 3. 对于实数p ，q ，我们用符号min{p ，q }表示p ，q 两数中较小的数，如min{1，2}＝1.因此，min{－2，－3}＝________；若min{(x －1)2，x 2}＝1，则x ＝______．－3，2或－1【解析】∵－2＞－3，∴min{－2，－3}＝－3；当(x －1)2＝1时，解得x ＝0或x ＝2，当x ＝0时，min{(x －1)2，x 2}＝min{1，0}＝0，不符合题意舍去，当x ＝2时，min{(x －1)2，x 2}＝min{1，4}＝1；当x 2＝1时，x ＝－1或x ＝1，当x ＝1时，min{(x －1)2，x 2}＝min{0，1}＝0，不符合题意舍去，当x ＝－1时，min{(x －1)2，x 2}＝min{4，1}＝1，综上所述，x ＝2或x ＝－1. 4. 阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于－1，记为i 2＝－1，这个数i 叫做虚数单位，把形如a ＋bi (a ，b 为实数)的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部．它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：(2－i )＋(5＋3i )＝(2＋5)＋(－1＋3)i ＝7＋2i ；(1＋i )×(2－i )＝1×2－i ＋2×i －i 2＝2＋(－1＋2)i ＋1＝3＋i ；根据以上信息，完成下列问题：(1)填空：i 3＝________，i 4＝________；(2)计算：(1＋i )×(3－4i )； (3)计算：i ＋i 2＋i 3＋…＋i2017. 解：(1)－i ；1； 【解法提示】∵i 2＝－1， ∴i 3＝i 2·i ＝－i ，i 4＝i 2·i 2＝1. (2)原式＝3－4i ＋3i －4i 2＝3－i ＋4 ＝7－i ；(3)根据题意可得i ＝i ，i 2＝－1，i 3＝－i ，i 4＝1，i 5＝i ，i 6＝－1，…，i 2016＝1，i 2017＝i ，∵i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0，2017÷4＝504……1，∴i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2017＝i . 类型二 新概念型5. 已知点A 在函数y 1＝－1x (x ＞0)的图象上，点B 在直线y 2＝kx ＋1＋k (k 为常数，且k ≥0)上，若A ，B 两点关于原点对称，则称点A 、B 为函数y 1，y 2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为( ) A. 有1对或2对B. 只有1对C. 只有2对D. 有2对或3对A 【解析】设A 坐标为(x ，－1x )，则B 坐标为(－x, 1x )，把B (－x, 1x )代入y 2＝kx ＋1＋k ，得1x ＝－kx ＋1＋k ，整理得：kx 2－(k ＋1)x ＋1＝0.当k ＝0时，x ＝1，只有一组解；当k ≠0时，b 2－4ac ＝(k ＋1)2－4k ＝(k －1)2≥0，该方程有两个实数根．综上所述，x 有一个或两个值，即“友好点”有1对或2对．对．6. 新定义：[a ，b ]为一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0，a ，b 为实数)的“关联数”．若“关联数”[1，m －2]的一次函数是正比例函数，则关于x 的方程1x －1＋1m＝1的解为________． x ＝3 【解析】根据题意可得：y ＝x ＋m －2，∵“关联数”[1，m －2]的一次函数是正比例函数，∴m －2＝0，解得m＝2，则关于x 的方程1x －1＋1m ＝1变为1x －1＋12＝1，解得x ＝3，检验：把x ＝3代入最简公分母2(x －1)＝4≠0，故x ＝3是原分式方程的解．原分式方程的解．7. 在平面直角坐标系中，将一点(横坐标与纵坐标不相等)的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如(－3，5)与(5，－3)是一对“互换点”．是一对“互换点”．(1)任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？(2)M 、N 是一对“互换点”，若点M 的坐标为(m ，n )，求直线MN 的表达式(用含m 、n 的代数式表示)；(3)在抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的图象上有一对“互换点”A 、B ，其中点A 在反比例函数y ＝－2x 的图象上，直线AB 经过点P (12，12)，求此抛物线的表达式．，求此抛物线的表达式．解：(1)不一定，理由如下：不一定，理由如下：设这一对“互换点”的坐标为P (m ，n )、Q (n ，m )． ①当mn ＝0时，它们不在反比例函数的图象上；时，它们不在反比例函数的图象上；②当mn ≠0时，点P (m ，n )在反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象上，则mn ＝k ， ∵nm ＝k ，∴点Q 在反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象上；的图象上；综上所述，任意一对“互换点”不一定都在一个反比例函数的图象上；综上所述，任意一对“互换点”不一定都在一个反比例函数的图象上； (2)点M (m ，n )的互换点N 的坐标为(n ，m )； 设直线MN 的解析式为y ＝k ′x ＋a ，将点M ，N 代入得îïíïìmk ′＋a ＝n nk ′＋a ＝m ，解得îïíïìk ′＝－1a ＝m ＋n， ∴直线MN 的解析式为y ＝－x ＋m ＋n ；(3)∵点A 在反比例函数y ＝－2x 的图象上，则设点A 的坐标为(t ，－2t )， ∵点A 和点B 是互换点，是互换点， ∴点B 的坐标为(－2t ，t )，由(2)知直线AB 的解析式为y ＝－x ＋t －2t ，∵点P (12，12)在直线AB 上，上， ∴－12＋t －2t ＝12，解得t 1＝－1，t 2＝2， 则点A的坐标为(－1，2)或(2，－1)，则对应的互换点B 的坐标为(2，－1)或(－1，2)，∵点A ，B 在抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 上，将点(－1，2)，(2，－1)代入得，代入得，îïíïì1－b ＋c ＝24＋2b ＋c ＝－1，解得îïíïìb ＝－2c ＝－1，∴抛物线解析式为y ＝x 2－2x －1. 拓展类型 新方法型8. 阅读下面的材料：阅读下面的材料：如果函数y ＝f (x )满足：对于自变量x 的取值范围内的任意x 1，x 2. (1)若x 1＜x 2，都有f (x 1)＜f (x 2)，则称f (x )是增函数：是增函数： (2)若x 1＜x 2，都有f (x 1)＞f (x 2)，则称f (x )是减函数．是减函数． 例题：证明函数f (x )＝2x (x ＞0)是减函数．是减函数． 证明：假设x 1＜x 2，x 1＞0，x 2＞0，f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－2x 2＝2x 2－2x 1x 1x 2＝2（x 2－x 1）x 1x 2， ∵x 1＜x 2，且x 1＞0，x 2＞0，∴x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0，∴2（x 2－x 1）x 1x 2＞0，即f (x 1)－f (x 2)＞0， ∴f (x 1)＞f (x 2)，∴函数f (x )＝2x (x ＞0)是减函数．是减函数． 根据以上材料，解答下面的问题：根据以上材料，解答下面的问题：(1)函数f (x )＝1x 2(x ＞0), f (1)＝112＝1, f (2)＝122＝14. 计算， f (3)＝________，f (4)＝________，猜想f (x )＝1x 2(x ＞0)是________函数(填“增”或“减”)；(2)请仿照材料中的例题证明你的猜想．请仿照材料中的例题证明你的猜想．解：(1)19，116，减；，减；【解法提示】∵f (x )＝1x 2(x ＞0)，f (1)＝211＝1，f (2)＝122＝14，∴f (x )＝1x 2(x ＞0)， f (3)＝132＝19，f (4)＝142＝116， ∵19＞116， ∴猜想f (x )＝1x 2(x ＞0)是减函数；(2)证明：假设x 1＜x 2，且x 1＞0，x 2＞0， f (x 1)－f (x 2)＝1x 21－1x 22＝x 22－x 21x 21x 22＝()x 2－x 1()x 2＋x 1x 21x 22， ∵x 1＜x 2，且x 1＞0，x 2＞0， ∴x 2－x 1＞0，x 2＋x 1＞0，x 21·x 22＞0，∴()x 2－x 1()x 2＋x 1x 21x 22＞0，即f (x 1)－f (x 2)＞0， ∴f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )＝1x 2(x ＞0)是减函数．是减函数．9. 在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程x 2－5x ＋2＝0，操作步骤是：，操作步骤是：第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点A (0，1)，B (5，2)；第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A ，另一条直角边恒过点B ；第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x 轴上点C 处时，点C 的横坐标m 即为该方程的一个实数根(如图①)；第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x 轴上另一点D 处时，点D 的横坐标n 即为该方程的另一个实数根．即为该方程的另一个实数根．(1)在图②中，按照“第四步”的操作方法作出点D (请保留作出点D 时直角三角板两条直角边的痕迹)；(2)结合图①，请证明“第三步”操作得到的m 就是方程x 2－5x ＋2＝0的一个实数根；的一个实数根； (3)上述操作的关键是确定两个固定点的位置．若要以此方法找到一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，b 2－4ac ≥0)的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；(4)实际上，(3)中的固定点有无数对，一般地，当m 1，n 1，m 2，n 2与a ，b ，c 之间满足怎样的关系时，点P (m 1，n 1)，Q (m 2，n 2)就是符合要求的一对固定点？就是符合要求的一对固定点？第9题图解：(1)如解图①，如解图①，第9题解图①先作出AB 的中点O 1，以O 1为圆心，12AB 为半径画圆．x 轴上另外一个交点即为D 点；点； (2) 证明：如解图②，过点B 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，第9题解图②∵∠ACB ＝90°，∴∠ACO ＋∠BCE ＝90°， ∵∠OAC ＋∠ACO ＝90°， ∴∠OAC ＝∠BCE ，∵∠AOC ＝∠CEB ＝90°， ∴△AOC ∽△CEB ， ∴AO CE ＝OC EB ，即15－m ＝m 2， ∴m 2－5m ＋2＝0， ∴m 是x 2－5x ＋2＝0的一个实数根；的一个实数根；(3) (0，1)、(－b a ，ca)(答案不唯一)；(4)如解图③中，P 在AD 上，Q 在BD 上，过P ，Q 分别作x 轴的垂线交x 轴于M ，N ，第9题解图③易得△PMD ∽△DNQ ，∴PM DN ＝MD NQ ，即n 1m 2－x＝x －m 1n 2， ∴x 2－(m 1＋m 2)x ＋m 1m 2＋n 1n 2＝0与ax 2＋bx ＋c ＝0同解，同解， ∴－b a ＝m 1＋m 2，ca＝m 1m 2＋n 1n 2. 10. 在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)的“非常距离”，给出如下定义：出如下定义：若|x 1－x 2|≥|y 1－y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|x 1－x 2|； 若|x 1－x 2|＜|y 1－y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|y 1－y 2|. 例如：点P 1(1，2)，点P 2(3，5)，因为|1－3|＜|2－5|，所以点P 1与点P 2的“非常距离”为|2－5|＝3，也就是图①中线段P 1Q 与线段P 2Q 长度的较大值(点Q 为垂直于y 轴的直线P 1Q 与垂直于x 轴的直线P 2Q 的交点)．(1)已知点A (－12，0)，点B 为y 轴上的一个动点，轴上的一个动点，①若点A 与点B 的“非常距离”为2，求满足条件的点B 的坐标；的坐标； ②直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值；的“非常距离”的最小值； (2)已知C 是直线y ＝34x ＋3上的一个动点，上的一个动点，①如图②，点D 的坐标是(0，1)，求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标；的坐标；②如图③，点E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C 与点E 的“非常距离”的最小值及相应的点E 和点C 的坐标．的坐标．第10题图解：(1)①∵B 为y 轴上的一个动点，轴上的一个动点， ∴设点B 的坐标为(0，y )； ∵|－12－0|＝12≠2，∴|0－y |＝2，解得y ＝2或y ＝－2. ∴点B 的坐标是(0，2)或(0，－2)；②点A 与点B 的“非常距离”的最小值为12；(2)①取点C 与点D 的“非常距离”的最小值，根据运算定义“若|x 1－x 2|≥|y 1－y 2|，则点P 1与点P 2的‘非常距离’为|x 1－x 2|”，此时|x 1－x 2|＝|y 1－y 2|. ∵C 是直线y ＝34x ＋3上的一个动点，点D 的坐标是(0，1)，∴设点C 的坐标为(x ，34x ＋3)，由题意知，此时点C 位于第二象限，|x C －x D |＝－x ，|y C －y D |＝34x ＋2，∴－x ＝34x ＋2，此时，x ＝－87，y ＝34x ＋3＝157，∴点C 与点D 的“非常距离”的最小值为87，此时，点C 的坐标为(－87，157)；②当点E 在过原点且与直线y ＝34x ＋3垂直的直线上时，点C 与点E 的“非常距离”最小，设点E (x ，y )(点E 位于第二象限)，则îïíïìy x ＝－43x 2＋y 2＝1，解得：îíìx ＝－35y ＝45，故E (－35，45)，设点C 的坐标为(x ，34x ＋3)，∴－35－x ＝34x ＋3－45，解得x ＝－85，当x ＝－85时，y ＝34x ＋3＝95，－35－x ＝1，∴点C 的坐标为(－85，95)时，与点E 的“非常距离”最小，最小值为1. 。
初中数学新定义题型试卷
一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列哪个选项不是新定义运算？A. 两个数a和b的“和差”定义为a + bB. 两个数a和b的“积商”定义为a bC. 两个数a和b的“和差”定义为a - bD. 两个数a和b的“积商”定义为a / b2. 以下哪个新定义符合“初、高中知识衔接新知识”的特点？A. 定义新运算：两个数a和b的“和差”定义为a + bB. 定义新概念：定义“奇数”为不能被2整除的整数C. 定义新运算：定义“数列”为一系列有规律的数D. 定义新概念：定义“对数”为y = log_a(x)3. 下列哪个新定义不属于“定义新概念”的类型？A. 定义“偶数”为能被2整除的整数B. 定义“质数”为除了1和它本身外，没有其他因数的自然数C. 定义“平行四边形”为对边平行且相等的四边形D. 定义“正方体”为所有面都是正方形的立体图形4. 在解决“新定义”题型时，以下哪个步骤最为关键？A. 理解新定义的含义B. 分析题目背景和条件C. 运用已学知识进行运算和推理D. 总结解题方法和技巧5. 下列哪个选项不属于新定义题型？A. 定义“函数”为一种映射关系B. 定义“极限”为当自变量趋于无穷大时，函数值趋于一个固定值C. 定义“几何体”为具有一定形状和尺寸的立体图形D. 定义“复数”为形如a + bi的数，其中a和b是实数，i是虚数单位二、填空题（每题5分，共25分）6. 若定义“数字a的奇偶性质”为：若a为偶数，则值为1；若a为奇数，则值为-1，则“数字5的奇偶性质”为______。
7. 下列数列中，若定义“数列的“和”为所有项之和，则数列1, 2, 3, ... 的“和”为______。
8. 已知定义“平行四边形的对角线”为连接非相邻顶点的线段，则平行四边形ABCD中，对角线AC的长度为______。
9. 若定义“三角形的“面积”为底边乘以高的一半，则三角形ABC的底边BC长度为3，高为4，则其面积为______。
七年级数学-上册-有理数-定义新运算-专题练习(含答案)
七年级数学-上册-有理数-定义新运算-专题练习(含答案)本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March七年级数学 上册 有理数 定义新运算 专题练习一、选择题：1、对于两数a 、b ，定义运算：a*b=a+b —ab ，则在下列等式中，正确的为（ ）①a*2=2*a ；②（—2）*a=a*（—2）； ③（2*a ）*3=2*（a*3）；④0*a=aA.①③B.①②③C.①②③④D.①②④2、a 为有理数，定义运算符号“※”：当a ＞－2时，※a=－a ；当a ＜－2时，※a=a ；当a=－2时，※a=0.根据这种运算，则※[4＋※(2－5)]的值为（ ）B.－1 D.－73、对有理数a 、b ，规定运算如下：a ※ b=a ＋ab ，则－2 ※ 3的值为（ ）A.－8B.－6C.－4D.－24、若※是新规定的运算符号，设a*b=ab+ab+b ，则在2*x=-16中，x 的值( )A.－8 D.－65、a 为有理数，定义运算符号“※”：当a ＞﹣2时，※a=﹣a ，当a ＜﹣2时，※a=a ，当a=﹣2时，※a=0，根据这种运算，则※[4+※（2﹣5）]的值为( )B.﹣1 D.﹣76、规定a ○b=b a b a -+, 则（6○4）○3等于（ ）7、定义一种运算☆，其规则为a ☆b=b a 11+，根据这个规则计算2☆3的值是( ) A.65 B.51 8、规定符号的意义为：a*b=ab b a +，那么−3*4等于（ ） A.121 121 C.127 127 9、在有理数范围内定义运算“*”，其规则为a*b=32b a +，则方程（2*3）（4*x ）=49的解为（ ）二、填空题10、定义一种新运算a ※b=ab+a+b ，若3※x=27 ，则x 的值是 .11、如果定义新运算“※”，满足a ※b=a ×b ﹣a ÷b ，那么1※（﹣2）= .12、定义一种新运算x*y=x y x 2+，如：2*1=22122=⨯+,则(4*2)*(-1)= . 13、定义运算a۞b=a(1－b)，下面给出了关于这种运算的四个结论：①2۞(－2)=6；②a ۞b=b۞a ；③若2 ۞a=0，则a=1； ④a۞1=0其中正确结论的序号是 (填上你认为所有正确结论的序号)14、对于有理数，规定新运算：x ※y=ax+by+xy ，其中a 、b 是常数，等式右边的是通常的加法和乘法运算.已知：2※1=7 ，（-3）※3=3 ，则31※b= . 15、定义一种新运算“*”，规定：a*b=31a ﹣4b ，例如：6*531×6﹣4×5=﹣18，则12*（﹣1）= .16、若规定“*”的运算法则为a*b=ab ﹣10，则2*5= .17、定义a*b=ab+a+b,若3*x=27，则x 的值是 .18、规定a*b=5a+2b ﹣1，则（﹣4）*6的值为 .19、规定*是一种新的运算符号，且a*b=a 2﹣ab+a ，则根据此规定2*3的值为 .20、现规定一种运算：a۞b=ab-21（a-b ），其中a ，b 为有理数，则3۞（-61）的值是___________ 21、定义运算“*”：规定x*y=ax+by （其中a 、b 为常数），若1*1=3，1*(-1)=1，则1*2=22、规定符号※的意义为：a ※b=ab －a －b ＋1，那么(—2)※5=23、定义运算：a ☆b=a （b ＋7），则方程3☆x=2☆（－4）的解为24、定义一种新运算：a*b=b a -41,那么4*(-1)= . 25、如果定义a*b 为（﹣ab ）与（﹣a+b ）中较大的一个，那么（﹣3）*2= .26、规定a*b=5a+2b-1，则(－4)*6的值为 .27、若定义新运算：a △b=（﹣2）×a ×3×b ，请利用此定义计算：（1△2）△（﹣3）= .28、有理数a 、b 规定运算★如下：a ★b=（a ﹣b ）2﹣a 2﹣b 2，则3★6= .29、小明与小刚规定了一种新运算*：若a 、b 是有理数，则a*b=3a ﹣2b.小明计算出2*5=﹣4，请你帮小刚计算2*（﹣5）= .30、规定a*b=﹣a+2b，则（﹣2）*3的值为 .31、若a，b为有理数，现规定一种新运算“⊕”，满足a⊕b=ab+1，则（2⊕3）⊕（-3）的值是32、定义“*”是一种运算符号，规定a*b=5a+4b+2015,则(-4)*5的值为 .33、定义运算：a※b=b﹣2a，下面给出了关于这种运算的四个结论：①（﹣2）※（﹣5）=﹣1；②a※b=b※a；③若a+b=0，则（a※a）+（b※b）=0；④若3※x=0，则x=6.其中，正确结论的序号是（填上你认为所有正确结论的序号）.34、如果定义新运算“※”，满足a※b=a×b－a÷b，那么1※2= .35、若a☆b=a－ab，则7☆（－6）=_________.36、用“”、“”定义新运算：对于任意实数a，b，都有a b=a和a b=b，例如32=3，32=2.则（)(）的值是37、我们规定一种运算法则“※”，对任意两个有理数a、b，有a※b=2a＋6.若有理数x满足(2x＋1)※(－4)=5※(3－x)，则x= .38、若”*”是一种新的运算符号，并且规定a*b=b ba,则[2*(-2)]*(-2)= .参考答案1、答案为：D.2、答案为：B.3、答案为：A.4、答案为：D.5、答案为：B.6、答案为：A.7、答案为：A.8、答案为：B.9、答案为：B.10、答案为：6.11、答案为：﹣.12、答案为：0.13、答案为：①③④.14、答案为：361.15、答案为8.16、答案为：0.17、答案为：6.18、答案为：﹣9.19、答案为：0.20、答案为：-1225.21、答案为：4.22、答案为：-12.23、答案为：x=－5.24、答案为：2.25、答案为：6.26、答案为：－9.27、答案为：﹣216.28、答案为：﹣36.29、答案为：16.30、答案为：8.31、答案为：-20.32、答案为：201533、答案为：①③④34、答案为：；35、答案为：4936、答案为：201437、答案为：338、答案为：1。
七年级数学有理数专题： 定义新运算练习(解析版)
【分析】求 2014i+2013i﹣2012i+2011i+…+5i﹣4i+3i﹣2i+1i 的结果的个位数，只用 分别求 2014i，2013i，2012i，…，3i，2i，1i 的个位数即可，然后通过加减，再 求结果的个位数． 【解答】解：由新定义 ni=1×2×3×…×n 可知： 2014i=1×2×3×4×5×6×…×2012×2013×2014 2013i=1×2×3×4×5×6×…×2012×2013 2012i=1×2×3×4×5×6×…×2012 … 5i=1×2×3×4×5 由观察很容易知道，2014i，2013i，2012i，…，6i，5i 的因式中均含有 2×5，所 以他们的个位数都为 0； 又因为： 4i=1×2×3×4=24 3i=1×2×3=6 2i=1×2=2 1i=1 所以 2014i+2013i﹣2012i+2011i+…﹣4i+3i﹣2i+1i 的个位数为：0﹣4+6﹣2+1=1． 故选：B． 【点评】本题注意两点：第一，没有必要把每个数算出来，只要求算出各个部分 的个位数即可，注意 2×5=10，含有 2×5 部分的个位数皆为 0；第二，注意运算 符号的变化，有加有减．
5．如果 P↑表示 P+1，P↓表示 P﹣1，则 4↑×3↓等于 （ A．9↓ B．10↓C．11↓D．12↑ E．13↓
）
【分析】 根据定义的新运算， 计算 4↑×3↓的结果， 再把结果用新运算表示即可． 【解答】解：根据定义的新运算得， 4↑×3↓=（4+1）×（3﹣1）=5×2=10， 因为 9↑=10 或 11↓=10，所以 4↑×3↓=9↑=11↓． 故选：C．
第 3页（共 24页）
七年级上册数学培优专题训练3 定义新运算附解析学生版
七年级上册数学培优专题训练3定义新运算附解析学生版一、单选题(共10题；共20分)1．（2分）如果规定符号“*”的意义为：a*b=H r，则2∗(−3)的值是（）A．6B．－6C．65D．－65 2．（2分）现定义一种新运算“*”，规定∗=2−，如3∗1=12−3=−2，则(−2)∗(−3)等于（）A．11B．－11C．7D．－73．（2分）规定新运算“⊕”：对于任意实数a、b都有⊕=B−+−1，例如：2⊕5=2×5−2+5−1，则方程2⊕=1的解是（）A．23B．1C．43D．534．（2分）对于有理数，，定义⊙=2−，则[(−p⊙(+p]⊙3化简后得（）A．−+B．−−6C．−+6D．−+45．（2分）任意四个有理数a、b、c、d，定义了一种新运算：||=B−B，若|231|=6，则x 的值为（）A．2B．3C．6D．−66．（2分）若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1，…，则2017!2016!的值为（）A．2017B．2016C．2017！D．2016! 7．（2分）已知32=3×21×3=3，35=5×4×31×2×3=10，64=6×5×4×31×2×3×4=15，……观察以上计算过程，寻找规律．计算C85=（）A．72B．56C．42D．408．（2分）已知：[x]表示不大于x的最大整数．例：[3.6]＝3，[﹣0.9]＝﹣1，现定义：{x}＝x﹣[x]，例：{1.6}＝1.6﹣[1.6]＝0.6，计算{4.9}﹣{﹣1.8}的结果为（）A．6.7B．3.1C．1.1D．0.79．（2分）我们常用的十进制数，如2639＝2×103＋6×102＋3×101＋9，我国古代《易经》一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，并采用七进制（如2513＝2×73＋5×72＋1×71＋3），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（）A ．1435天B ．565天C ．365天D ．13天10．（2分）已知有理数≠1，我们把11−称为的差倒数，如：2的差倒数是11−2=−1，-1的差倒数是11−(−1)=12．如果1=−3，2是1的差倒数，3是2的差倒数，4是3的差倒数…依此类推，那么1−2+3−4⋯+2017−2018+2019−2020的值是（）A ．-3B ．−114C ．114D ．1312二、填空题(共10题；共10分)11．（1分）规定一种新运算：a ⊗b ＝a 2﹣2b ，若2⊗[3⊗（﹣x ）]＝6，则x 的值为12．（1分）如果定义新运算：※=r K(≠p ，那么（1※2）※3的值为．13．（1分）定义一种新运算“※”：对于任意有理数x 和y ，x※y=B +o +p +1（a 为常数）.例如：2※3=2×3+（2+3）a+1=5a+7.若2※（-1）的值为3，则a 的值为.14．（1分）定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a ⊕b ＝a （a ﹣b ）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5＝2×（2﹣5）+1＝2×（﹣3）+1＝﹣6+1＝﹣5．则（﹣2）⊕3＝．15．（1分）如图定义一种新运算“⊗”，如：2⊗1＝2+2×12＝2；x ⊗y ＝r2，则（4⊗2）⊗（﹣1）＝．16．（1分）已知a ，b 均为有理数，现我们定义一种新的运算，规定：a#b ＝a 2+ab ﹣5，例如：1#2＝12+1×2﹣5＝﹣2，则（﹣3）#6的值是.17．（1分）已知a ，b 为有理数，如果规定一种新的运算“※”，规定：a※b ＝2b ﹣3a ，例如：1※2＝2×2﹣3×1＝4﹣3＝1，计算：（3※2）※5＝．18．（1分）符号“”表示和，如J14=1+2+3+4，则J153 −J15(2−3) −J15 =.19．（1分）符号“”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：①o1)=0，o2)=1，o3)=2，o4)=3，…；②o12)=2，o13)=3，o14)=4，o15)=5，…．利用以上规律计算：o12008)−o2008)=．20．（1分）在计算1+3+32⋅⋅⋅+3100的值时，可设=1+3+32+⋅⋅⋅+3100，①则3=3+32+33+⋅⋅⋅+3101②．∴②-①，得2=3101−1，所以=3101−12，试利用上述方法求1+8+82+⋅⋅⋅+82004的值：．三、解答题(共9题；共96分)21．（5分）若“三角表示运算a﹣b+c，“方框”表示运算x﹣y+z+w.求：×表示的运算，并计算结果.22．（10分）已知x，y为有理数，现规定一种新运算“⊗”，满足⊗=B−2021．（1）（5分）求(2⊗5)⊗(−4)的值；（2）（5分）记=⊗(−p，=⊗−⊗，请猜想P与Q的数量关系，并说明理由．23．（10分）设，，，为实数，则我们把形如||的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为||=B−B，请利用此法则解决以下问题：（1）（5分）求|12−12|的值；（2）（5分）若|231−5|=22，求的值.24．（15分）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab2＋2ab＋a，如：1☆3＝1×32＋2×1×3＋1＝16．（1）（5分）求（－2）☆3的值；（2）（5分）若（r12☆3）☆(−12)＝8，求a的值；（3）（5分）若2☆x＝m，(14p☆3＝n（其中x为有理数），写出m，n的大小．25．（20分）用“⊗”定义一种新运算：对于任何有理数x和y，规定x⊗y＝2+12o≤p−12o>p．（1）（5分）求2⊗（﹣3）的值；（2）（5分）若（﹣a2）⊗2＝m，求m的最大整数；（3）（5分）若关于n的方程满足：1⊗n＝﹣32n﹣2，求n的值；（4）（5分）若−13=133−832−2−2，12=−12t3+2t2+3t+1，且A⊗B＝﹣2，求5+12t﹣2t3的值．26．（12分）对于有理数a，b，定义了一种新运算“※”为：※=2−o≥p−23o<p，如：5※3＝2×5﹣3＝7，1※3=1−23×3=−1．（1）（1分）计算：①2※（﹣1）＝；②（-4）※（﹣3）＝；（2）（5分）若3※m＝﹣1+3x是关于x的一元一次方程，且方程的解为x＝2，求m的值；（3）（5分）若A＜B，A＝﹣x3+4x2﹣x+1，B＝﹣x3+6x2﹣x+2，且A※B＝﹣3，求2x3+2x的值．27．（7分）阅读下列材料，并解决下面的问题：我们知道，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算，其实乘方运算也有逆运算，如我们规定式子23=8可以变形为log28=3，log525=2也可以变形为52=25.在式子23=8中，3叫做以2为底8的对数，记为log28.一般地，若=o＞0且≠1，＞0)，则叫做以为底的对数，记为l o即log=p，且具有性质：①log=Eog；②log=；③log+l=l(⋅p，其中＞0且≠1，＞0，＞0.根据上面的规定，请解决下面问题：（1）（1分）计算：log31；log1025+log104(请直接写出结果)；（2）（5分）已知=log32，请你用含的代数式来表示，其中=log372(请写出必要的过程).28．（10分）对于数轴上的两点P，Q给出如下定义：P，Q两点到原点O的距离之差的绝对值称为P，Q两点的友好距离，记为（POQ）．例如：P，Q两点表示的数，如图1所示：则（POQ）＝|PO﹣QO|＝|2﹣1|＝1．（1）（5分）A，B两点表示的数，如图所示：①A，B两点的友好距离为▲；②若C为数轴上一点（不与点O重合），且（AOB）＝2（AOC），求点C表示的数；（2）（5分）M，N为数轴上的两点（点M在点N左边），且MN＝4，若（MON）＝2，直接写出点N表示的数．29．（7分）定义：若，，为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离2倍，我们就称点是[，p的美好点．例如；如图1，点表示的数为-1，点表示的数为2．表示1的点到点的距离是2，到点的距离是1，那么点是[，p的美好点；又如，表示0的点到点的距离是1，到点的距离是2，那么点就不是[，p的美好点，但点是[，p的美好点．如图2，，为数轴上两点，点所表示的数为−7，点所表示的数为2．（1）（1分）点，，表示的数分别是−3，6.5，11，其中是[，p美好点的是；写出[，p美好点所表示的数是．（2）（5分）现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当为何值时，点恰好为[，p的美好点?答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：由题意得：2∗(−3)=2×(−3)2+(−3)=−6−1=6，故答案为：A．【分析】根据a*b=H r，计算求解即可。
初中数学新定义题专题
初中数学新定义题专题类型一 新运算型1. 我们根据指数运算，得出了一种新的运算，下表是两种运算对应关系的一组实例：根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log 216＝4，②log 525＝5，③log 212＝－1.其中正确的是( )A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③B 【解析】①∵24＝16，∴log 216＝4，故①正确；②∵52＝25，∴log 525＝2≠5，故②不正确；③∵2－1＝12，∴log 212＝－1，故③正确．2. 阅读材料：设a →＝(x 1，y 1)，b →＝(x 2，y 2)，如果a →∥b →，则x 1·y 2＝x 2·y 1.根据该材料填空：已知a →＝(2，3)，b →＝(4，m )，且a →∥b →，则m ＝________.6 【解析】∵a →∥b →，∴2m ＝3×4，解得m ＝6.3. 对于实数p ，q ，我们用符号min{p ，q }表示p ，q 两数中较小的数，如min{1，2}＝1.因此，min{－2，－3}＝________；若min{(x －1)2，x 2}＝1，则x ＝______．－3，2或－1 【解析】∵－2＞－3，∴min{－2，－3}＝－3；当(x －1)2＝1时，解得x ＝0或x ＝2，当x ＝0时，min{(x －1)2，x 2}＝min{1，0}＝0，不符合题意舍去，当x ＝2时，min{(x －1)2，x 2}＝min{1，4}＝1；当x 2＝1时，x ＝ －1或x ＝1，当x ＝1时，min{(x －1)2，x 2}＝min{0，1}＝0，不符合题意舍去，当x ＝－1时，min{(x －1)2，x 2}＝min{4，1}＝1，综上所述，x ＝2或x ＝－1.4. 阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于－1，记为i 2＝－1，这个数i 叫做虚数单位，把形如a ＋bi (a ，b 为实数)的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部．它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：(2－i )＋(5＋3i )＝(2＋5)＋(－1＋3)i ＝7＋2i ； (1＋i )×(2－i )＝1×2－i ＋2×i －i 2＝2＋(－1＋2)i ＋1＝3＋i ； 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：i 3＝________，i 4＝________；(2)计算：(1＋i )×(3－4i )； (3)计算：i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2017.解：(1)－i ；1；【解法提示】∵i 2＝－1， ∴i 3＝i 2·i ＝－i ，i 4＝i 2·i 2＝1. (2)原式＝3－4i ＋3i －4i 2 ＝3－i ＋4 ＝7－i ；(3)根据题意可得i ＝i ，i 2＝－1，i 3＝－i ，i 4＝1，i 5＝i ，i 6＝－1，…，i 2016＝1，i 2017＝i ， ∵i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0，2017÷4＝504……1， ∴i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2017＝i .类型二 新概念型5. 已知点A 在函数y 1＝－1x (x ＞0)的图象上，点B 在直线y 2＝kx ＋1＋k (k 为常数，且k ≥0)上，若A ，B 两点关于原点对称，则称点A 、B 为函数y 1，y 2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为( )A. 有1对或2对B. 只有1对C. 只有2对D. 有2对或3对A 【解析】设A 坐标为(x ，－1x )，则B 坐标为(－x, 1x )，把B (－x, 1x )代入y 2＝kx ＋1＋k ，得1x ＝－kx ＋1＋k ，整理得：kx 2－(k ＋1)x ＋1＝0.当k ＝0时，x ＝1，只有一组解；当k ≠0时，b 2－4ac ＝(k ＋1)2－4k ＝(k －1)2≥0，该方程有两个实数根．综上所述，x 有一个或两个值，即“友好点”有1对或2对．6. 新定义：[a ，b ]为一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0，a ，b 为实数)的“关联数”．若“关联数”[1，m －2]的一次函数是正比例函数，则关于x 的方程1x －1＋1m ＝1的解为________．x ＝3 【解析】根据题意可得：y ＝x ＋m －2，∵“关联数”[1，m －2]的一次函数是正比例函数，∴m －2＝0，解得m＝2，则关于x 的方程1x －1＋1m ＝1变为1x －1＋12＝1，解得x ＝3，检验：把x ＝3代入最简公分母2(x －1)＝4≠0，故x ＝3是原分式方程的解．7. 在平面直角坐标系中，将一点(横坐标与纵坐标不相等)的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如(－3，5)与(5，－3)是一对“互换点”．(1)任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？(2)M 、N 是一对“互换点”，若点M 的坐标为(m ，n )，求直线MN 的表达式(用含m 、n 的代数式表示)；(3)在抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的图象上有一对“互换点”A 、B ，其中点A 在反比例函数y ＝－2x 的图象上，直线AB 经过点P (12，12)，求此抛物线的表达式．解：(1)不一定，理由如下：设这一对“互换点”的坐标为P (m ，n )、Q (n ，m )． ①当mn ＝0时，它们不在反比例函数的图象上；②当mn ≠0时，点P (m ，n )在反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象上，则mn ＝k ，∵nm ＝k ，∴点Q 在反比例函数y ＝kx(k ≠0)的图象上；综上所述，任意一对“互换点”不一定都在一个反比例函数的图象上； (2)点M (m ，n )的互换点N 的坐标为(n ，m )； 设直线MN 的解析式为y ＝k ′x ＋a ，将点M ，N 代入得⎩⎪⎨⎪⎧mk ′＋a ＝n nk ′＋a ＝m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ′＝－1a ＝m ＋n ，∴直线MN 的解析式为y ＝－x ＋m ＋n ；(3)∵点A 在反比例函数y ＝－2x 的图象上，则设点A 的坐标为(t ，－2t )，∵点A 和点B 是互换点， ∴点B 的坐标为(－2t，t )，由(2)知直线AB 的解析式为y ＝－x ＋t －2t ，∵点P (12，12)在直线AB 上，∴－12＋t －2t ＝12，解得t 1＝－1，t 2＝2，则点A 的坐标为(－1，2)或(2，－1)，则对应的互换点B 的坐标为(2，－1)或(－1，2)，∵点A ，B 在抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 上，将点(－1，2)，(2，－1)代入得，⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝24＋2b ＋c ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2c ＝－1， ∴抛物线解析式为y ＝x 2－2x －1.拓展类型 新方法型8. 阅读下面的材料：如果函数y ＝f (x )满足：对于自变量x 的取值范围内的任意x 1，x 2. (1)若x 1＜x 2，都有f (x 1)＜f (x 2)，则称f (x )是增函数： (2)若x 1＜x 2，都有f (x 1)＞f (x 2)，则称f (x )是减函数． 例题：证明函数f (x )＝2x (x ＞0)是减函数． 证明：假设x 1＜x 2，x 1＞0，x 2＞0，f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－2x 2＝2x 2－2x 1x 1x 2＝2（x 2－x 1）x 1x2， ∵x 1＜x 2，且x 1＞0，x 2＞0，∴x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0， ∴2（x 2－x 1）x 1x 2＞0，即f (x 1)－f (x 2)＞0， ∴f (x 1)＞f (x 2)，∴函数f (x )＝2x (x ＞0)是减函数． 根据以上材料，解答下面的问题：(1)函数f (x )＝1x 2(x ＞0), f (1)＝112＝1, f (2)＝122＝14.计算， f (3)＝________，f (4)＝________，猜想f (x )＝1x 2(x ＞0)是________函数(填“增”或“减”)；(2)请仿照材料中的例题证明你的猜想．解：(1)19，116，减；【解法提示】∵f (x )＝1x 2(x ＞0)，f (1)＝211＝1，f (2)＝122＝14，∴f (x )＝1x 2(x ＞0)， f (3)＝132＝19，f (4)＝142＝116，∵19＞116， ∴猜想f (x )＝1x 2(x ＞0)是减函数；(2)证明：假设x 1＜x 2，且x 1＞0，x 2＞0，f (x 1)－f (x 2)＝1x 21－1x 22＝x 22－x 21x 21x 22＝()x 2－x 1()x 2＋x 1x 21x 22， ∵x 1＜x 2，且x 1＞0，x 2＞0，∴x 2－x 1＞0，x 2＋x 1＞0，x 21·x 22＞0， ∴()x 2－x 1()x 2＋x 1x 21x 22＞0，即f (x 1)－f (x 2)＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )＝1x2(x ＞0)是减函数．9. 在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程x 2－5x ＋2＝0，操作步骤是：第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点A (0，1)，B (5，2)；第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A ，另一条直角边恒过点B ；第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x 轴上点C 处时，点C 的横坐标m 即为该方程的一个实数根(如图①)；第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x 轴上另一点D 处时，点D 的横坐标n 即为该方程的另一个实数根．(1)在图②中，按照“第四步”的操作方法作出点D (请保留作出点D 时直角三角板两条直角边的痕迹)；(2)结合图①，请证明“第三步”操作得到的m 就是方程x 2－5x ＋2＝0的一个实数根； (3)上述操作的关键是确定两个固定点的位置．若要以此方法找到一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，b 2－4ac ≥0)的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；(4)实际上，(3)中的固定点有无数对，一般地，当m 1，n 1，m 2，n 2与a ，b ，c 之间满足怎样的关系时，点P (m 1，n 1)，Q (m 2，n 2)就是符合要求的一对固定点？第9题图解：(1)如解图①，第9题解图①先作出AB 的中点O 1，以O 1为圆心，12AB 为半径画圆．x 轴上另外一个交点即为D 点；(2) 证明：如解图②，过点B 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，第9题解图②∵∠ACB ＝90°，∴∠ACO ＋∠BCE ＝90°， ∵∠OAC ＋∠ACO ＝90°， ∴∠OAC ＝∠BCE ，∵∠AOC ＝∠CEB ＝90°， ∴△AOC ∽△CEB ， ∴AO CE ＝OC EB ，即15－m ＝m 2， ∴m 2－5m ＋2＝0，∴m 是x 2－5x ＋2＝0的一个实数根； (3) (0，1)、(－b a ，ca)(答案不唯一)；(4)如解图③中，P 在AD 上，Q 在BD 上，过P ，Q 分别作x 轴的垂线交x 轴于M ，N ，第9题解图③易得△PMD ∽△DNQ ， ∴PM DN ＝MD NQ ，即n 1m 2－x＝x －m 1n 2， ∴x 2－(m 1＋m 2)x ＋m 1m 2＋n 1n 2＝0与ax 2＋bx ＋c ＝0同解， ∴－b a ＝m 1＋m 2，ca＝m 1m 2＋n 1n 2.10. 在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)的“非常距离”，给出如下定义：若|x 1－x 2|≥|y 1－y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|x 1－x 2|； 若|x 1－x 2|＜|y 1－y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|y 1－y 2|.例如：点P 1(1，2)，点P 2(3，5)，因为|1－3|＜|2－5|，所以点P 1与点P 2的“非常距离”为|2－5|＝3，也就是图①中线段P 1Q 与线段P 2Q 长度的较大值(点Q 为垂直于y 轴的直线P 1Q 与垂直于x 轴的直线P 2Q 的交点)．(1)已知点A (－12，0)，点B 为y 轴上的一个动点，①若点A 与点B 的“非常距离”为2，求满足条件的点B 的坐标； ②直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值； (2)已知C 是直线y ＝34x ＋3上的一个动点，①如图②，点D 的坐标是(0，1)，求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标；②如图③，点E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C 与点E 的“非常距离”的最小值及相应的点E 和点C 的坐标．第10题图解：(1)①∵B 为y 轴上的一个动点， ∴设点B 的坐标为(0，y )； ∵|－12－0|＝12≠2，∴|0－y |＝2，解得y ＝2或y ＝－2. ∴点B 的坐标是(0，2)或(0，－2)；②点A 与点B 的“非常距离”的最小值为12；(2)①取点C 与点D 的“非常距离”的最小值，根据运算定义“若|x 1－x 2|≥|y 1－y 2|，则点P 1与点P 2的‘非常距离’为|x 1－x 2|”，此时|x 1－x 2|＝|y 1－y 2|.∵C 是直线y ＝34x ＋3上的一个动点，点D 的坐标是(0，1)，∴设点C 的坐标为(x ，34x ＋3)，由题意知，此时点C 位于第二象限，|x C －x D |＝－x ，|y C －y D |＝34x ＋2，∴－x ＝34x ＋2，此时，x ＝－87，y ＝34x ＋3＝157， ∴点C 与点D 的“非常距离”的最小值为87，此时，点C 的坐标为(－87，157)；②当点E 在过原点且与直线y ＝34x ＋3垂直的直线上时，点C 与点E 的“非常距离”最小，设点E (x ，y )(点E 位于第二象限)，则⎩⎪⎨⎪⎧y x ＝－43x 2＋y 2＝1，解得：⎩⎨⎧x ＝－35y ＝45，故E (－35，45)，设点C 的坐标为(x ，34x ＋3)，∴－35－x ＝34x ＋3－45，解得x ＝－85，当x ＝－85时，y ＝34x ＋3＝95，－35－x ＝1，∴点C 的坐标为(－85，95)时，与点E 的“非常距离”最小，最小值为1.。
七年级上册数学考点培优专题训练3 定义新运算附解析教师版
七年级上册数学考点培优专题训练3 定义新运算附解析教师版一、单选题(共10题；共20分)1．（2分）如果规定符号“*”的意义为：a*b=a×ba+b，则2∗(−3)的值是（）A．6B．－6C．65D．－65【答案】A【解析】【解答】解：由题意得：2∗(−3)=2×(−3)2+(−3)=−6−1=6，故答案为：A．【分析】根据a*b=a×ba+b，计算求解即可。
2．（2分）现定义一种新运算“*”，规定a∗b=b2−a，如3∗1=12−3=−2，则(−2)∗(−3)等于（）A．11B．－11C．7D．－7【答案】A【解析】【解答】∵a∗b=b2−a，∴(−2)∗(−3)=(−3)2−(−2)=9+2=11；故答案为：A．【分析】根据定义新运算a∗b=b2−a直接进行计算即可.3．（2分）规定新运算“⊕”：对于任意实数a、b都有a⊕b=ab−a+b−1，例如：2⊕5= 2×5−2+5−1，则方程2⊕x=1的解是（）A．23B．1C．43D．53【答案】C【解析】【解答】解：由题意得2x-2+x-1=13x=4解之：x=4 3 .故答案为：C.【分析】利用定义新运算，建立关于x的方程，解方程求出x的值.4．（2分）对于有理数a，b，定义a⊙b=2a−b，则[(x−y)⊙(x+y)]⊙3x化简后得（）A ．−x +yB ．−x −6yC ．−x +6yD ．−x +4y【答案】B【解析】【解答】解：原式＝[2（x−y ）−（x ＋y ）]⊕3x＝（2x−2y−x−y ）⊕3x ＝（x−3y ）⊕3x ＝2（x−3y ）−3x ＝2x−6y−3x ＝−x−6y ， 故答案为：B.【分析】根据新定义的计算法则，将原式化为整式的加减运算，然后去括号合并同类项即可解答. 5．（2分）任意四个有理数a 、b 、c 、d ，定义了一种新运算：|a cb d |=ad −bc ，若|23x 1x|=6，则x 的值为（ ） A ．2B ．3C ．6D ．−6【答案】D【解析】【解答】解：由题意得：将|23x1x|=6可化为：2x-3x=6， 解得：x=-6． 故答案为：D ．【分析】根据题干中的定义及计算方法列出方程2x-3x=6，再求出x 的值即可。
七年级上册新定义题目
七年级上册新定义题目一、有理数相关新定义题目。
1. 定义一种新运算：ab = a + b 1，求( 2)3的值。
解析：根据新定义ab=a + b 1，这里a=-2，b = 3，则(-2)3=-2+3 1=0。
2. 对于有理数a、b，定义a⊗ b=3a 2b。
若x⊗( 1)=5，求x的值。
解析：因为a⊗ b = 3a-2b，那么x⊗(-1)=3x-2×(-1)。
已知x⊗(-1) = 5，即3x + 2 = 5，移项可得3x=5 2=3，解得x = 1。
3. 规定一种新运算：a⊙ b=(a + b)/(2)，计算(3⊙5)⊙(-2)。
解析：首先计算3⊙5=(3 + 5)/(2)=4。
然后计算4⊙(-2)=(4+(-2))/(2)=1。
二、整式相关新定义题目。
4. 定义一种新的整式运算：(a,b)=(a + b)(a b)，求(3,2)的值。
解析：根据新定义(a,b)=(a + b)(a b)，这里a = 3，b = 2，则(3,2)=(3 + 2)(32)=5×1 = 5。
5. 对于整式A和B，定义AΔ B=A 2B。
若A = 3x^2-2x+1，B=x^2-x，求AΔ B。
解析：因为AΔ B = A-2B，A = 3x^2-2x + 1，B=x^2-x，所以AΔ B=(3x^2-2x + 1)-2(x^2-x)=3x^2-2x + 1-2x^2+2x=x^2+1。
6. 规定一种新运算：M⊕ N=(M N)^2，当M = 2x+1，N=x 1时，求M⊕ N。
解析：根据定义M⊕ N=(M N)^2，将M = 2x+1，N=x 1代入可得：[(2x + 1)-(x1)]^2=(2x+1 x + 1)^2=(x + 2)^2=x^2+4x + 4。
三、一元一次方程相关新定义题目。
7. 定义：若关于x的方程ax + b = 0(a≠0)的解为x=(b)/(a)，则称该方程为“和谐方程”。
【初中数学】人教版七年级上册中考特训（二） 新定义运算(练习题)
人教版七年级上册中考特训（二）新定义运算(270) 1.定义一种新运算※，观察下列式子：1※3=1×3+3=6;3※2=3×2+2=8;3※5=3×5+5=20;5※3=5×3+3=18.（1）填一填：2※4=，a※b=;（2）请你依照题中上述运算方法，计算(−3※7)※2=．2.定义一种关于“⊙”的新运算，观察下列式子：1⊙3=1×4+3=7；3⊙(−1)=3×4+(−1)=11；5⊙4=5×4+4=24；4⊙(−3)=4×4+(−3)=13.(1)填空：5⊙(−6)=；(2)请你判断：当a≠b时，a⊙b b⊙a(填“=”或“≠”)，并说明理由．3.用表示不超过x的整数中的最大整数，例如:[2.23]=2，[−3.24]=−4.计算下列各式：(1)[3.5]+[−3]；(2)[−7.25]+[−1]．34.有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则如下：任取1至13之间四个互不相等的自然数，将四个数(每个数都要使用并且只能用一次)进行加减乘除运算，使其结果等于24.例如对1，2，3，4，可做如下运算：(1+2+3)×4=24[上述运算与4×(1+2+3)视为同一种运算]．(1)现有四个有理数3，4，−6，10，运用上述规则已经写出了下列三种不同的运算，请你再写出一种不同的运算：①3×[4+(−6)+10]=24；②4−(−6)÷3×10=24；③10−4−3×(−6)=24；④．(2)用3，2，−6，10四个数玩“二十四点”游戏，请你再写出一种不同的运算：①[10−(−6)÷3]×2=24；②[10−(−6)]÷2×3=24；③(2×3−10)×(−6)=24；④[10+(−6)]×2×3=24；⑤ ．5.有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是这样的：任取1至13之间四个自然数，将这四个数(每个数都要使用且只用一次)进行加减乘除四则运算，使其结果等于24.将下面的四张扑克牌凑成24: ．(注：Q 表示12，K 表示13)6.有一种“二十四点”的扑克牌游戏，其游戏规则如下：一副扑克牌去掉大、小王，剩下的每张牌对应1至13之间的一个整数，任取4张扑克牌，得到4个对应的整数，现对这4个整数进行加减乘除运算(每张扑克牌对应的数都要使用且只能用一次)，使其结果等于24.(1)现有4个有理数2，3，4，6，运用上述规则写出3种不同的运算式，使其结果等于24；(2)另有4个有理数4，4，5，5，运用上述规则，你能使其结果为24吗？如果能，请写出算式．7.在有理数的范围内，我们定义三个数之间的新运算“#”法则：a #b #c = |a−b−c|+a+b+c2．如：(−1)#2#3=|−1−2−3|+(−1)+2+32=5.(1)计算：4#(−2)#(−5)= ．(2)计算：3#(−7)#113= ．(3)在−67，−57，…，−17，0，19，29，…，89这15个数中：①任取三个数作为a,b,c 的值，进行“a #b #c ”运算，求所有计算结果中的最小值；②若将这15个数任意分成五组，每组三个数，进行“a #b #c ”运算，得到五个不同的结果，由于分组不同，所以五个运算的结果也不同，求五个结果之和的最大值．参考答案1.【答案】:12；ab+b；−26【解析】:(1)根据题意得2※4=2×4+4=8+4=12，a※b=ab+b；(2)根据题意得(−3※7)※2=(−21+7)※2=(−14)※2=−28+2=−262(1)【答案】14(2)【答案】解：当a≠b时，a⊙b≠b⊙a．理由：依题意，得a⊙b=4×a+b，b⊙a=4×b+a．∵a≠b，∴4×a+b≠4×b+a，即a⊙b≠b⊙a.3(1)【答案】解：[3.5]+[−3]=3−3=0(2)【答案】解：[−7.25]+[−1]3=(−8)+(−1)=−94(1)【答案】3×(10−4)−(−6)=24(2)【答案】(2−10)×[3+(−6)]=245.【答案】:12×(3−13÷13)=246(1)【答案】解：2+4+3×6=24，6×(3−2)×4=24，(4÷2+6)×3=24.(答案不唯一)(2)【答案】解：能．如(4+4÷5)×5=24.(答案不唯一)7(1)【答案】4【解析】:原式=|4+2+5|+4−2−52=4 (2)【答案】3【解析】:原式=|3+7−113|+3−7+1132=3(3)【答案】解：当a ≤b +c 时，a #b #c =b +c ；当a >b +c 时，a #b #c =a ． ①当a =b +c 时，a #b #c 的值最小，令b =−57，c =−17，则原式=−57−17=−67．②∵当a =−67，b =19，c =29时，原式=19+29 =13； 当a =−57，b =39，c =49时，原式=39+49 =79；当a =−47，b =59，c =69时，原式=59+69=119；当a =−37，b =79，c =89时，原式=79+89=159；当a =0，b =−17，c =−27时，原式=0，∴五个结果之和的最大值为13+79+119+159=4.。
七年级数学有理数定义新运算灵活运用练习题(含答案)
七年级数学有理数定义新运算（一）一、填空题1.规定a ☉b =ab b a -,则2☉(5☉3)之值为 . 2.规定“※”为一种运算,对任意两数a ,b ,有a ※b 32b a +=,若6※x 322=,则x = . 3.设a ,b ,c ,d 是自然数,定义bc ad d c b a +>=<,,,.则<><><<,3,2,1,4,4,3,2,13, 4, 1, 2>>=<>1,4,3,2, .4.[A ]表示自然数A 的约数的个数.例如,4有1,2,4三个约数,可以表示成[4]=3.计算:]7[])22[]18([÷+= .5.规定新运算※:a ※b=3a -2b .若x ※(4※1)=7,则x= .6.两个整数a 和b ,a 除以b 的余数记为a ☆b .例如,13☆5=3,5☆13=5,12☆4=0.根据这样定义的运算,(26☆9) ☆4= .7.对于数a ,b ,c ,d 规定d c ab d c b a +->=<2,,,.如果7,5,3,1>=<x ,那么x = .8.规定:6※2=6+66=72,2※3=2+22+222=246, 1※4=1+11+111+1111=1234.7※5= .9.规定:符号“△”为选择两数中较大数,“☉”为选择两数中较小数.例如:3△5=5,3☉5=3.那么,[(7☉3)△5]×[5☉(3△7)]= .10.假设式子b a a ⨯#表示经过计算后,a 的值变为原来a 与b 的值的积,而式子b a b -#表示经过计算后,b 的值为原来a 与b 的值的差.设开始时a =2,b =2,依次进行计算b a a ⨯#,b a b -#,b a a ⨯#,b a b -#,则计算结束时,a 与b 的和是 .二、解答题11.设a ,b ,c ,d 是自然数,对每两个数组(a ,b ),(c ,d ),我们定义运算※如下: (a ,b )※(c ,d )= (a+c ,b +d );又定义运算△如下: (a ,b )△(c ,d )= (ac+bd ,ad+bc ).试计算((1,2) ※(3,6))△((5,4)※(1,3)).12.羊和狼在一起时,狼要吃掉羊,所以关于羊及狼,我们规定一种运算,用符号△表示羊△羊=羊;羊△狼=狼;狼△羊=狼;狼△狼=狼.运算意思是羊与羊在一起还是羊,狼与狼在一起还是狼,但是狼与羊在一起便只剩下狼了.小朋友总是希望羊能战胜狼,所以我们规定另一种运算,用符号☆表示为羊☆羊=羊;羊☆狼=羊;狼☆羊=羊;狼☆狼=狼.运算意思是羊与羊在一起还是羊,狼与狼在一起还是狼,由于羊能战胜狼,当狼与羊在一起时,它便被羊赶走而只剩下羊了.对羊或狼,可用上面规定的运算作混合运算,混合运算的法则是从左到右,括号内先算.运算的结果是羊,或是狼.求下式的结果:羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼).13.22264⨯⨯=222⨯⨯⨯表示成()664=f ; 33333243⨯⨯⨯⨯=表示成()5243=g . 试求下列的值:(1)()=128f ; (2))()16(g f =; (3)6)27()(=+g f ;(4)如果x , y 分别表示若干个2的数的乘积,试证明:)()()(y f x f y x f +=⋅.14.两个不等的自然数a 和b ,较大的数除以较小的数,余数记为a ☉b ,比如5☉2=1,7☉25=4,6☉8=2.(1)求1991☉2000,(5☉19)☉19,(19☉5)☉5;(2)已知11☉x =2,而x 小于20,求x ;(3)已知(19☉x )☉19=5,而x 小于50,求x .答 案1. 120411.5☉3=15165335=-,2☉(5☉3)=2☉12041112016121516151621516==-=. 2. 8.依题意,6※326x x +=,因此322326=+x ,所以x=8. 3. 280.;1421343,2,1,4;1032414,3,2,1=⨯+⨯>=<=⨯+⨯>=<.1443121,4,3,2;1014232,1,4,3=⨯+⨯>=<=⨯+⨯>=<原式2801014141014,10,14,10=⨯+⨯>==<.4. 5.因为23218⨯=有6)12()11(=+⨯+个约数,所以[18]=6,同样可知[22]=4,[7]=2.原式52)46(=÷+=.5. 9.因为4※1=101243=⨯-⨯,所以x ※(4※1)= x ※10=3x -20.故3x -20=7,解得x =9.6. 0.89226+⨯=,26☆9=8,又428⨯=,故(26☆9)☆4=8☆4=0.7. 6.因为x x x +=+-⨯⨯>=<15312,5,3,1,所以71=+x ,故6=x .8. 86415.7※5=7+77+777+7777+77777=86415.9. 25.原式=[3△5]×[5☉7]=5×5=25.10. 14. 第1次计算后,422=⨯=a ;第2次计算后,224=-=b ;第3次计算后,824=⨯=a ;第4次计算后,628=-=b .此时1468=+=+b a .11. (1,2)※(3,6)=(1+3,2+6)=(4,8),(5,4)※(1,3)=(5+1,4+3)=(6,7).原式=(4,8)△(6,7)=(4×6+8×7,4×7+8×6)=(80,76).12. 原式=羊△羊☆羊△狼=羊☆羊△狼=羊△狼=狼.13. (1)()72)128(7==f f ; (2)()())81(342)16(44g g f f ====;(3)因为()())8(233636)27(633f f g g ===-=-=-,所以6)27()8(=+g f ;(4)令,2,2n m y x ==则n y f m x f ==)(,)(.()())()(222)(y f x f n m f f y x f n m n m +=+==⋅=⋅+.14. (1)1991☉2000=9;由5☉19=4,得(5☉19)☉19=4☉19=3;由19☉5=4,得(19☉5)☉5=4☉5=1.(2)我们不知道11和x 哪个大(注意,x ≠11),即哪个作除数,哪个作被除数,这样就要分两种情况讨论.1) x <11,这时x 除11余2, x 整除11-2=9.又x ≥3(因为x 应大于余数2),所以x =3或9.2) x >11,这时11除x 余2,这说明x 是11的倍数加2,但x <20,所以x =11+2=13. 因此(2)的解为x =3,9,13.(3)这个方程比(2)又要复杂一些,但我们可以用同样的方法来解.用y 表示19☉x ,不管19作除数还是被除数,19☉x 都比19小,所以y 应小于19. 方程y ☉19=5,说明y 除19余5,所以y 整除19-5=14,由于y ≥6,所以y =7,14. 当y =7时,分两种情况解19☉x =7.1)x <19,此时x 除19余7,x 整除19-7=12.由于x ≥8,所以x =12.2) x >19,此时19除x 余7, x 是19的倍数加7,由于x <50,所以x =19+7=26或7219+⨯=x =45.当y =14时,分两种情况解19☉x =14.1) x<19,这时x除19余14, x整除19-14=5,但x大于14,这是不可能的.2)x>19,此时19除x余14,这就表明x是19的倍数加14,因为x<50,所以x=19+14=33.总之,方程(19☉x)☉19=5有四个解,x=12,26,33,45.。
新定义运算练习题
新定义运算练习题在数学中，有许多不同的运算符号和符号定义来执行各种数学操作。
本文将为您介绍一些新定义的运算练习题，以帮助您加深对这些运算符号的理解和应用。
1. 定义1：⊕表示两个数的异或运算。
给定两个二进制数A和B，计算A⊕B的结果。
练习题1：计算十进制数8和5的异或运算结果。
2. 定义2：⊗表示两个数的乘积。
给定两个整数A和B，计算A ⊗ B的结果。
练习题2：计算7和3的乘积。
3. 定义3：⊖表示两个数的减法运算。
给定两个实数A和B，计算A ⊖ B的结果。
练习题3：计算10.5和4.2的减法运算结果。
4. 定义4：√表示一个数的平方根。
给定一个正实数A，计算√A的结果。
练习题4：计算25的平方根。
5. 定义5：∑表示一组数的总和。
给定一组数字A1, A2, ... , An，计算∑(Ai)的结果。
练习题5：计算1, 2, 3, 4, 5的总和。
6. 定义6：!表示一个数的阶乘。
给定一个正整数A，计算A!的结果。
练习题6：计算5的阶乘。
7. 定义7：%表示两个数的取余运算。
给定两个整数A和B，计算A%B的结果。
练习题7：计算14除以3的余数。
8. 定义8：^表示一个数的指数运算。
给定一个实数A和一个整数B，计算A 的B次方。
练习题8：计算2的3次方。
9. 定义9：∫表示一个函数的积分运算。
给定一个函数f(x)，计算∫f(x)dx的结果。
练习题9：计算函数f(x) = x^2的积分。
10. 定义10：| |表示一个数的绝对值。
给定一个实数A，计算|A|的结果。
练习题10：计算|-5|的结果。
通过完成这些新定义运算的练习题，您可以巩固对不同运算符号的理解，并进一步提高数学运算的能力。
挑战自己，享受数学的乐趣吧！。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
初一数学‘新定义’题型专题训练
1．历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号f（x）来表示．例如f （x）＝x2+3x﹣5，把x＝某数时多项式的值用f（某数）来表示．例如x＝﹣1时多项式x2+3x﹣5的值记为f（﹣1）＝（﹣1）2+3×（﹣1）﹣5＝﹣7．（1）已知g（x）＝﹣2x2﹣3x+1，分别求出g（﹣1）和g（﹣2）值．
（2）已知h（x）＝ax3+2x2﹣x﹣14，h（）＝a，求a的值．
2．有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解．例如：解方程x+2|x|＝3
解：当x≥0时，方程可化为：x+2x＝3
解得x＝1，符合题意．
当x＜0时，方程可化为：x﹣2x＝3解得x＝﹣3，符合题意．
所以，原方程的解为：x＝1或x＝﹣3．
仿照上面解法，解方程：x+3|x﹣1|＝7．
3．试验与探究：我们知道分数写为小数即0.，反之，无限循环小数
0.写成分数即．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．现
在就以0.为例进行讨论：设0.＝x，由0.＝0.7777…，可知，10x﹣x＝7.77…﹣0.777…＝7，即10x﹣x＝7，解方程得，于是得0.＝．请仿照上述例题完成下列各题：
（1）请你把无限循环小数0.写成分数，即0.＝．
（2）你能化无限循环小数0.为分数吗？请仿照上述例子求解之．
4．阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是＝ad﹣bc
例如：＝1×4﹣2×3＝﹣2，＝（﹣1）×6﹣3×5＝﹣21．按照这个规定，解答下列问题：
（1）计算的值；
（2）计算：当5x2+y＝7时，的值；
（3）若＝0.5，求x的值．
5．如图所示，将连续的奇数1，3，5，7…排列成如下的数表，用十字形框框出5个数．
探究规律一：设十字框中间的奇数为x，则框中五个奇数的和用含x的整式表示为，这说明被十字框框中的五个奇数的和一定是正整数p（p ＞1）的倍数，这个正整数p是．
探究规律二：落在十字框中间且位于第二列的一组奇数是15，27，39…，则这一组数可以用整式表示为12m+3（m为正整数），同样，落在十字框中间且位于第三列的一组奇数可以表示为；（用含m的式子表示）运用规律
（1）被十字框框中的五个奇数的和可能是625吗？若能，请求出这五个数，若不能，请说明理由．
（2）请问（1）中的十字框中间的奇数落在第几行第几列？
6．【背景知识】数轴上A点、B点表示的数为a、b，则A、B两点之间
的距离AB＝|a﹣b|；线段AB的中点M表示的数为．
【问题情境】已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为﹣40和20，点A以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒2个单位向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）运动开始前，A、B两点的距离为；线段AB的中点M所表示的数为．
（2）它们按上述方式运动，A、B两点经过多少秒会相遇，相遇点所表示的数是什么？
（3）当t为多少时，线段AB的中点M表示的数为﹣5？并直接写出在这一运动过程中点M的运动方向和运动速度．
7．某县“贡江新区”位于贡江南岸，由长征出发地体验区、文教体育综合区、贡江新城三大板块组成，与贡江北岸老城区相呼应，构建成“一江两岸”的城市新格局．为建设市民河堤漫步休闲通道，贡江新区现有一段长为180米的河堤整治任务由A、B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天．
（1）根据题意，甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程如下：
甲：12x+8（20﹣x）＝180；乙：+＝20．
根据甲、乙两名同学所列的方程，请你分别指出代数式表示的意义．甲：x表示，20﹣x表示；
乙：x表示，180﹣x表示．
（2）请你从甲、乙两位同学的解答思路中，选择一种你喜欢的思路，求A、B两工程队分别整治河堤的长度．写出完整的解答过程．
8．我们知道：|a |表示数轴上，数a 的点到原点的距离．爱动脑筋的小明联系绝对值的概念和“|a |＝|a ﹣0|”，进而提出这样的问题：数轴上，数a 的点到数1点的距离，是不是可以表示为|a ﹣1|？小明的想法是否正确呢？让我们一起来探究吧!
步骤一：实验与操作：
（1）已知点A 、B 在数轴上分别表示a 、b ．填写表格a 3
﹣5
5﹣10﹣5.5…b 70
﹣1
2﹣1.5…A 、B 两点之间
的距离
45…步骤二：观察与猜想：
（2）观察上表：猜想A 、B 两点之间的距离可以表示为
（用a 、b 的代数式表示）
步骤三：理解与应用：
（3）动点A 从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B 也从原点出发向数轴正方向运动．运动到3秒时，两点相距15个单位长度．已知动点A 、B 的速度之比是3
：2（速度单位：1个单位长度/秒）．
①求两个动点运动的速度；
②A 、B 两动点运动到3秒时停止运动，请在数轴上标出此时A 、B 两点
的位置；③若A 、B 两动点分别从（2）中标出的位置再次同时开始在数轴上运动，运动速度不变，运动方向不限．问：经过几秒后，A 、B 两动点之间相距4个单位长度．。