基本不等式专题复习

基本不等式专题复习

一、基础梳理 1．基本不等式：

a+b 2

≥√ab(a ，b >0)

2.变式：⑴a +b ≥2√ab

⑵ ab ≤(

a+b 2

)2

3.使用条件：一正二定三相等 二、典型例题

例1.若x>0，则x ＋2

x

的最小值是________．

解析：由基本不等式可得x ＋2x ≥2x ·2

x

＝22，

当且仅当x ＝2

x

即x ＝2时取等号，故最小值是2 2.

变式训练：(1) 当x>1时，函数y ＝x ＋1

x －1

的最小值是________．

(2)已知f(x)＝x ＋1

x －2(x<0)，则f(x)的最大值为________．

解析 (1) y ＝x ＋1x －1＝x －1＋1

x －1

＋1≥2

x －1·1

x －1

＋1＝3

当且仅当1

x-1=

x-1

，即x=2时取等号，故最小值是3. （2）∵x<0，∴－x>0，

∴x ＋1x －2＝－(－x ＋1－x )－2≤－2(－x )·1

－x

－2＝－4，

当且仅当－x ＝1

－x

，即x ＝－1时，等号成立．

所以f(x)的最大值为4． 例2.已知x >0，y >0，2x +3y =60，求xy 的最大值． 解： ∵x >0，y >0，2x +3y =60，

∴xy =1

6∙2x ∙3y ≤16(

2x+3y 2

)2

=150，

当{2x =3y 2x +3y =60，即x =15，y =10时，xy 取最大值150． 变式训练：（1）求y =3x(4−5x)(0

5)的最大值．

（2）设0

（3）若a ，b 均为大于1的正数，且ab ＝100，则lg a·lg b 的最大值是________． 解：（1）∵0

5，∴y =15x (4

5−x )≤15(

x+45

−x 2

)2=

125

，

或y =3

5∙5x ∙(4−5x )≤35(

5x+4−5x 2

)2

=

125

当x =45

−x ，即x =25

时，y max =

125

．

（2）∵00，

∴y＝x

4－2x ＝2·x

2－x

≤2·

x ＋2－x

2

＝2， 当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号，

∴当x ＝1时，函数y ＝x 4－2x 的最大值为 2. （3）∵a>1，b>1，∴lg a>0，lg b>0.

lg a·lg b≤lg a ＋lg b 24＝lg ab

2

4

＝1.

当且仅当a ＝b ＝10时取等号．

例3．已知x >0，y >0，1

x

+9

y =1，求⑴xy 的最小值；⑵x +y 的最小值．

解：⑴∵x >0，y >0， ∴1

x +9

y =1≥2√9

xy ，

∴xy ≥36，当x =2，y =18时，(xy )min =36． ⑵∵x >0，y >0，1

x

+9

y =1，

∴x +y =(x +y )∙1=(x +y )(1x

+9y

)=10+

9x y

+y

x

≥10+2√9=16，

当{9x y

=y

x

1

x

+9y

=1

，即x =4，y =12时，(x +y )min =16．

变式训练：（1）已知x>0，y>0且x ＋y ＝1，则8x ＋2

y 的最小值为________．

（2）若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________． 解（1） ∵x>0，y>0，且x ＋y ＝1，

∴8x ＋2y ＝(8x ＋2y )(x ＋y)＝10＋8y x ＋2x y ≥10＋28y x ·2x y

＝18. 当且仅当8y x ＝2x

y ，即x ＝2y 时等号成立，

∴当x ＝23，y ＝13时，8x ＋2

y 有最小值18.

（2）由x ＋3y ＝5xy ，可得

15y ＋3

5x

＝1， 所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y)⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥13

5

＋2

3x 5y ·12y 5x ＝135＋12

5

＝5， 当且仅当x ＝1，y ＝1

2时取等号，故3x ＋4y 的最小值是5.

答案：5

跟踪训练

1.．当x>0时，函数f(x)＝

2x

x 2

＋1

有( ) A ．最小值1 B ．最大值1 C ．最小值2 D ．最大值2 解：f(x)＝

2

x ＋1x ≤2

2 x ·1x

＝1. 当且仅当x ＝1

x ，x>0即x ＝1时取等号．

所以f(x)有最大值1. 答案：B

2.．已知两个正数x ，y 满足x ＋4y ＋5＝xy ，则xy 取最小值时x ，y 的值分别为( )

A ．5,5

B ．10,5

C ．10，5

2 D ．10,10

解：xy ＝x ＋4y ＋5≥4xy ＋5，当且仅当x ＝4y 时，取等号． 令xy ＝t ，则上式为t 2

－4t －5≥0(t＞0)，

整理得(t －2)2

≥9，解得t≥5(t≤－1舍去)，当t ＝5时，

取等号，即t ＝5为最小值，xy 最小值为t 2

＝25.当⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝4y ，x ＋4y ＋5＝25

时，xy 取最小值，

即x ＝10，y ＝5

2

.

答案：C

3．若0＜x ＜1，则当f(x)＝x(4－3x)取得最大值时，x 的值为________．

答案 23

解： ∵0＜x ＜1，

∴f(x)＝x(4－3x)＝13·3x(4－3x)≤13×⎝ ⎛⎭

⎪⎫3x ＋4－3x 22＝4

3，

当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝2

3

时，取得“＝”．

4．已知a>0，b>0，ln(a ＋b)＝0，则ab 的最大值为________．

答案 14

解： ∵ln(a ＋b)＝0，∴a ＋b ＝1，又a>0，b>0，∴a ＋b≥2ab ，∴ab≤1

4

.

5．函数y ＝x 2

＋2x ＋2

x ＋1

(x>－1)的图象最低点的坐标为________．

答案 (0,2)

解： y ＝x ＋12

＋1x ＋1＝x ＋1＋1

x ＋1≥2，

当x ＋1＝1

x ＋1

，即x ＝0时，y 最小值为2．