基本不等式专题复习
高考数学复习专题 基本不等式 (文 精讲)
专题7.3 基本不等式【核心素养分析】1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 【知识梳理】知识点一 基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 知识点二 几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R)； (5)2ab a ＋b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)． 知识点三 算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四 利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)． 【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 【典例剖析】 高频考点一 利用基本不等式求最值【例1】【2020·江苏卷】已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是 ▲ ．【举一反三】（2020·江苏省南京模拟）函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________【方法技巧】利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有三种思路： (1)对条件使用基本不等式直接求解．(直接法)(2)针对待求最值的式子，通过拆项(添项)、分离常数、变系数、凑因子等方法配凑出和或积为常数的两项，然后用基本不等式求解．(配凑法)(3)已知条件中有值为1的式子，把待求最值的式子和值为1的式子相乘，再用基本不等式求解．(常数代换法)【变式探究】(2019·天津卷)设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(x ＋1)(2y ＋1)xy 的最小值为 ．【变式探究】（2020·辽宁省葫芦岛模拟）已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab －1，则a ＋2b 的最小值为( ) A ．5＋2 6B ．8 2C ．5D ．9高频考点二 利用基本不等式解决实际问题【例2】【2019·北京卷】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．，，，，，，，，【方法技巧】利用基本不等式解决实际问题的三个注意点 (1)设变量时，一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．【变式探究】（2020·山西省大同模拟）经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y (L)与速度x (km /h )(50≤x ≤120)的关系可近似表示为y ＝⎩⎨⎧175（x 2－130x ＋4 900），x ∈[50，80），12－x60，x ∈[80，120].(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？(2)已知A ，B 两地相距120 km ，假定该型号汽车匀速从A 地驶向B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？专题7.3 基本不等式【核心素养分析】1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 【知识梳理】知识点一 基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 知识点二 几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R)； (5)2ab a ＋b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)． 知识点三 算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四 利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)． 【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 【典例剖析】高频考点一 利用基本不等式求最值【例1】【2020·江苏卷】已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是 ▲ ． 【答案】45【解析】∵22451x y y +=∴0y ≠且42215y x y -=∴422222222114144+2555555y y y x y y y y y-+=+=≥⋅=，当且仅当221455y y =，即2231,102x y ==时取等号. ∴22xy +的最小值为45. 【举一反三】（2020·江苏省南京模拟）函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________【答案】23＋2【解析】∵x >1，∴x －1>0，∴y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立．【方法技巧】利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有三种思路： (1)对条件使用基本不等式直接求解．(直接法)(2)针对待求最值的式子，通过拆项(添项)、分离常数、变系数、凑因子等方法配凑出和或积为常数的两项，然后用基本不等式求解．(配凑法)(3)已知条件中有值为1的式子，把待求最值的式子和值为1的式子相乘，再用基本不等式求解．(常数代换法)【变式探究】(2019·天津卷)设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(x ＋1)(2y ＋1)xy 的最小值为 ．【答案】92【解析】(x ＋1)(2y ＋1)xy ＝2xy ＋x ＋2y ＋1xy ＝2xy ＋5xy ＝2＋5xy ，∵x ＞0，y ＞0且x ＋2y ＝4， ∴4＝x ＋2y ≥22xy ，∴xy ≤2，∴1xy ≥12，∴2＋5xy ≥2＋52＝92.【变式探究】（2020·辽宁省葫芦岛模拟）已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab －1，则a ＋2b 的最小值为( ) A ．5＋2 6 B ．8 2 C ．5 D ．9【答案】A【答案】∵a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab －1， ∴a ＝b ＋1b －2＞0，∴b ＞2，∴a ＋2b ＝b ＋1b －2＋2b ＝2(b －2)＋3b －2＋5≥5＋22（b －2）·3b －2＝5＋2 6.当且仅当2(b －2)＝3b －2，即b ＝2＋62时取等号．∴a ＋2b 的最小值为5＋26，故选A 。
基本不等式复习
均值不等式中取“=”
号过渡，而这两次取
“=”号的条件是不同的，
2
故结果错。
广东碧桂园学校
陟乃赋
1 1 （4）已知正数x、y满足2x+y=1，求 的最小值 x y 正解： 1 1 2 x y 2 x y x y x y
y 2x 3 x y 3 2 2
当且仅当
由于 为锐角, 此时 最大,
即学生距墙壁 ab时看黑板的视角最大.
问题与思考
4。某种商品准备两次提价, 有三种方案:
A.第一次提价 m％, 第二次提价 n％ ; B.第一次提价 n％, 第二次提价 m％ ; mn C.两次均提价 ％. 2 试问哪种方案提价后的价格高?
设原价为M元, 令a = m％, b = n％, 则 按三种方案提价后的价格分别为:
+
五：公式应用（三）—解决实际问题 例3. 如图，教室的墙壁上挂着一块黑 板，它的上、下边缘分别在学生的 水平视线上方a米和b米，问学生距 离墙壁多远时看黑板的视角最大？
例3.如图，教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、下
边缘分别在学生的水平视线上方a米和b米，问学 A 生距离墙壁多远时看黑板的视角最大？
问题与思考
5.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其 3 容积为 4800 m ,深为3m，如果池底每平方 米的造价为150元，池壁每平方米的造价为 120元，问怎样设计水池才能使造价最低， 最低造价是多少元？
½½½½½½½½±½½½½ è × ½ ¤ m½½½½×½½½ ½½ ½ ½ì
4800 则另一边的长度为 3x
1 求证：ab bc ca 3
证明： a b c
a b c 2ab 2bc 2ca
总复习《第33讲 基本不等式》
1 8 ； , ( x 1) 的最小值是___ 变式2. 函数 f ( x) 4 x x 1
2x 1 ； 变式3. 函数 f ( x) 2 , ( x 0) 的最大值是___ x 1
1 9 1,则 x y min 15 ； 变式4.已知x>0,y>0且 x 1 y
总复习 第33讲
基本不等式代数背景几 Nhomakorabea背景A
ab 2
b
a b 2ab
2 2
a0 b0
a 换a b换 b
ab
a b 2 a b
ab 2
B
O E
ab
a
AO AE
ab 2
C
ab
1．基本不等式
ab ab 2 ：
几何平均数 称呼： 算术平均数 前提： a，b是正实数 . 取等： 当且仅当a=b .
2．常用的几个重要不等式 (1) a2＋b2≥ 2ab 2 . (a，b∈R)； ab ≤ (2) ab (a，b∈R)；
22 2 2 a b a b (3) 2 2
(a，b∈R)；
1. 利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则 x＝y 时， (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当______
2 p . x＋y有_____ 最小 值是 _____
简记：积定和最小.
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当 x＝y时， 最大 值是 xy有_____
p2 ______. 4
简记：和定积最大.
题目： 4 ； 函数f(x)＝4x＋1/x,(x>0)的最小值是____
变式1.函数f(x)＝4x＋a/x (x>0，a>0)在x＝3时 36 ； 取得最小值，则a＝________
第二节 基本不等式【高考文数专题复习——不等式 推理与证明 程序框图】
[解题方略] 利用基本不等式解决实际问题的步骤
(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定 为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值 问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值．
[过关训练] 经 测 算 ， 某 型 号 汽 车 在 匀 速 行 驶 的 过 程 中 每 小 时 耗 油 量 y(L) 与 速 度 x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表示为
答案：30
四、“基本活动经验”不可少 已知直角三角形的面积为 8 cm2，当两条直角边各为多长时，两条直角边的 长度和最小，最小值是多少？
解：设直角边边长分别为 a，b， 则 S＝12ab＝8，∴ab＝16. ∵a>0，b>0，∴a＋b≥2 ab＝8， 当且仅当 a＝b＝4 时，等号成立． 因此，当这两条直角边都为 4 cm 时，两条直角边的长度和最小，最小值 是 8 cm.
2．(转化思想)某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万 元/次，一年的总存储费用为 4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之 和最小，则 x 的值是________． 解析：总费用为60x0×6＋4x＝490x0＋x≥4×2 900＝240，当且仅当 x＝30 时等号成立，故 x 的值是 30.
[典例] 某厂家拟定在 2021 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年 销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用 m(m≥0)万元满足 x＝3－m＋k 1(k 为 常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是 1 万件．已知 2021 年 生产该产品的固定投入为 8 万元，每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元， 厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的 1.5 倍(产品成本包括固 定投入和再投入两部分资金)．
高三数学复习(理)：第4讲 基本不等式
第4讲 基本不等式[学生用书P132]1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0． (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎛⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． (4)a 2＋b 22≥⎛⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．常用结论已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( ) (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22成立的条件是ab >0.( ) (3)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．( ) (4)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值是2a .( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、易错纠偏 常见误区|Ｋ(1)忽视不等式成立的条件a >0且b >0；(2)忽视等号成立的条件． 1．若x <0，则x ＋1x ( ) A ．有最小值，且最小值为2 B ．有最大值，且最大值为2 C ．有最小值，且最小值为－2 D ．有最大值，且最大值为－2 解析：选D.因为x <0，所以－x >0， －x ＋1－x≥21＝2，当且仅当x ＝－1时，等号成立， 所以x ＋1x ≤－2.2．若x ≥2，则x ＋4x ＋2的最小值为________．解析：设x＋2＝t，则x＋4x＋2＝t＋4t－2.又由x≥2，得t≥4，而函数y＝t＋4t－2在[2，＋∞)上是增函数，因此当t＝4时，t＋4t －2取得最小值4＋44－2＝3.答案：3[学生用书P133]利用基本不等式求最值(多维探究)角度一通过拼凑法利用基本不等式求最值(1)已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________．(2)已知x<54，则f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为________．【解析】(1)x(4－3x)＝13·(3x)(4－3x)≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x＋（4－3x）22＝43，当且仅当3x＝4－3x，即x＝23时，取等号．(2)因为x<54，所以5－4x>0，则f(x)＝4x－2＋14x－5＝－⎝⎛⎭⎪⎫5－4x＋15－4x＋3≤－2 （5－4x）15－4x＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.【答案】 (1)23 (2)1通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 角度二 通过常数代换法求最值已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b 的最小值为________．【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b b ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.当且仅当a ＝b ＝12时，取等号．【答案】 9【迁移探究1】 (变问法)若本例中的条件不变，则1a ＋1b 的最小值为________．解析：因为a >0，b >0，a ＋b ＝1， 所以1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·a b ＝4，即1a ＋1b 的最小值为4，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．答案：4【迁移探究2】 (变条件)若本例条件变为已知a >0，b >0，4a ＋b ＝4，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b 的最小值为________． 解析：由4a ＋b ＝4得a ＋b4＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋a ＋b 4a ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋a ＋b 4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b 4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫54＋a b ＝52＋2a b ＋5b 16a ＋14≥114＋258＝114＋102.当且仅当42a ＝5b 时取等号．答案：114＋102常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 角度三 通过消元法求最值若正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0，则x ＋2y 的最小值是( ) A.223B ．23 C.33D.233【解析】 因为正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0，所以y ＝1－x 26x .由⎩⎨⎧x >0，y >0，即⎩⎨⎧x >0，1－x 26x >0，解得0<x <1.所以x ＋2y ＝x ＋1－x 23x ＝2x 3＋13x ≥22x 3·13x ＝223，当且仅当2x 3＝13x ，即x ＝22，y ＝212时取等号．故x ＋2y 的最小值为223.【答案】 A通过消元法求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围．角度四 多次利用基本不等式求最值若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________．【解析】 因为ab ＞0，所以a 4＋4b 4＋1ab ≥24a 4b 4＋1ab ＝4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab≥24ab ·1ab ＝4，当且仅当⎩⎨⎧a 2＝2b 2，ab ＝12时取等号，故a 4＋4b 4＋1ab的最小值是4.【答案】 4当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法．1．(2021·湖北八校第一次联考)已知x ＞0，y ＞0，且1x ＋9y ＝1，则x ＋y 的最小值为( )A ．12B ．16C ．20D ．24解析：选B.方法一：由题意x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y (x ＋y )＝1＋y x ＋9x y ＋9≥1＋2y x ×9xy＋9＝16，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，y x ＝9x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝12时取等号，故选B.方法二：由1x ＋9y ＝1得9x ＋y －xy ＝0，即(x －1)(y －9)＝9，可知x ＞1，y ＞9，所以x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10≥2（x －1）（y －9）＋10＝16，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，y ＞9，1x ＋9y＝1，x －1＝y －9＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝12时取等号，故选B. 2．(2021·贵阳市四校联考)已知a ＋b ＝2，且a ＞－1，b ＞0，则1a ＋1＋1b的最小值为( )A.23 B ．1 C.43D.32解析：选C.由a ＋b ＝2，得a ＋1＋b ＝3.因为a ＞－1，所以a ＋1＞0，所以1a ＋1＋1b ＝13(a ＋1＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2＋b a ＋1＋a ＋1b ≥13·⎝⎛⎭⎪⎪⎫2＋2ba ＋1·a ＋1b ＝43，当且仅当b a ＋1＝a ＋1b ，即a ＝12，b ＝32时等号成立，所以1a ＋1＋1b 的最小值为43，故选C.3．已知x ，y 为正实数，则4x x ＋3y＋3y x 的最小值为( )A.53 B ．103 C.32 D ．3解析：选 D.由题意得x >0，y >0，4x x ＋3y ＋3y x ＝4x x ＋3y ＋x ＋3y x －1≥24x x ＋3y ·x ＋3yx－1＝4－1＝3(当且仅当x ＝3y 时等号成立)．基本不等式的实际应用(师生共研)某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，则每批应生产产品() A．60件B．80件C．100件D．120件【解析】若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是800x元，仓储费用是x8元，总的费用是800x＋x8≥2800x·x8＝20，当且仅当800x＝x8，即x＝80时取等号，故选B.【答案】 B利用基本不等式求解实际问题的注意事项(1)根据实际问题抽象出目标函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的最值．(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．(2021·安徽安庆大观模拟)如图所示，矩形ABCD的边AB靠在墙PQ上，另外三边是由篱笆围成的．若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD 所需要篱笆的()A ．最小长度为8B ．最小长度为4 2C ．最大长度为8D ．最大长度为4 2解析：选B.设BC ＝a ，a ＞0，CD ＝b ，b ＞0，则ab ＝4，所以围成矩形ABCD 所需要的篱笆长度为2a ＋b ＝2a ＋4a ≥22a ·4a ＝42，当且仅当2a ＝4a ，即a ＝2时取等号，此时长度取得最小值4 2.故选B.基本不等式的综合应用(多维探究) 角度一 与其他知识的交汇问题(2021·吉林通钢一中等三校第五次联考)在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，CA ＝3，CB ＝4，P 为线段AB 上的一点，且CP →＝x ·CA →|CA →|＋y ·CB →|CB →|，则1x ＋1y 的最小值为( )A.76 B ．712C.712＋33D.76＋33【解析】 因为CA ＝3，CB ＝4，即|CA →|＝3，|CB →|＝4， 所以CP →＝x CA →|CA →|＋y CB →|CB →|＝x 3CA →＋y 4CB →，因为P 为线段AB 上的一点，即P ，A ，B 三点共线， 所以x 3＋y4＝1(x ＞0，y ＞0)，所以1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋y 4＝712＋x 3y ＋y 4x ≥712＋2112＝712＋33， 当且仅当x 3y ＝y 4x 时等号成立，所以1x ＋1y 的最小值为712＋33，故选C. 【答案】 C角度二 求参数的值或取值范围已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________．【解析】 (x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2(x ，y ，a >0)，当且仅当y ＝ax 时取等号，所以(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2，所以(a ＋1)2≥9恒成立． 所以a ≥4. 【答案】 4(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解． (3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．1．已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4D ．2 3解析：选C.因为lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，所以lg(2x ·8y )＝lg 2，所以2x ＋3y ＝2，所以x ＋3y ＝1.因为x >0，y >0，所以1x ＋13y ＝(x ＋3y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋13y ＝2＋3y x ＋x 3y ≥2＋23y x ·x 3y ＝4，当且仅当x ＝3y ＝12时取等号，所以1x ＋13y 的最小值为4.故选C.2．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是________．解析：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n （1＋n ）2，所以S n ＋8a n ＝n （1＋n ）2＋8n ＝12(n ＋16n ＋1) ≥12⎝⎛⎭⎪⎫2n ·16n ＋1＝92，当且仅当n ＝4时取等号．所以S n ＋8a n 的最小值是92.答案：923．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．解析：对任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立， 即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3.设g (x )＝x ＋8x ，当x ＝8x ，即x ＝22时，g (x )取得最小值，又x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173.因为g (2)＞g (3)，所以g (x )min ＝173，所以－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3≤－83，所以a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞[学生用书P135]核心素养系列12 逻辑推理——利用基本不等式连续放缩求最值已知a >b >0，那么a 2＋1b （a －b ）的最小值为________．【解析】 因为a >b >0，所以a －b >0，所以b (a －b )≤⎝⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a 24，所以a 2＋1b （a －b ）≥a 2＋4a 2≥2a 2·4a 2＝4，当且仅当b ＝a －b 且a 2＝4a 2，即a ＝2且b ＝22时取等号，所以a 2＋1b （a －b ）的最小值为4.【答案】 4设a >b >0，则a 2＋1ab ＋1a （a －b ）的最小值是________．【解析】 因为a >b >0，所以a －b >0，所以a 2＋1ab ＋1a （a －b ）＝(a 2－ab )＋1（a 2－ab ）＋1ab＋ab ≥2（a 2－ab ）·1（a 2－ab ）＋21ab ×ab ＝4(当且仅当a 2－ab ＝1a 2－ab且1ab ＝ab ，即a ＝2，b ＝22时取等号)．【答案】 4利用基本不等式求函数或代数式的最值时一定要注意验证等号是否成立，特别是当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法．已知正实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝1，c ＋d ＝1，则1abc ＋1d 的最小值是( )A ．10B ．9C ．42D.3 3解析：选B.因为a ＋b ＝1，a >0，b >0，所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，所以1ab ≥4，当且仅当a ＝b ＝12时取等号．又因为c ＋d ＝1，c >0，d >0，所以1abc ＋1d ≥4·1c ＋1d ＝(c ＋d )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4c ＋1d ＝5＋4d c ＋c d ≥5＋24d c ·c d ＝9，当且仅当a ＝b ＝12，且c ＝23，d ＝13时取等号，即1abc ＋1d 的最小值为9，故选B.[学生用书P393(单独成册)][A 级 基础练]1．若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，则1xy 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A.因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝2， 所以xy ≤（x ＋y ）24＝224＝1，所以1xy ≥1.2．若a >0，b >0，a ＋b ＝ab ，则a ＋b 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选B.方法一：由于a ＋b ＝ab ≤（a ＋b ）24，因此a ＋b ≥4或a ＋b ≤0(舍去)，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故选B.方法二：由题意，得1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋a b ＋ba ≥2＋2＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故选B.方法三：由题意知a ＝b b －1(b >1)，所以a ＋b ＝b b －1＋b ＝2＋b －1＋1b －1≥2＋2＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故选B.3．已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为( )A.12 B ．43 C ．－1D ．0解析：选D.f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．又1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值是0.4．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4解析：选C.因为1a ＋2b ＝ab ，所以a ＞0，b ＞0， 由ab ＝1a ＋2b ≥21a ×2b ＝22ab ，所以ab ≥22(当且仅当b ＝2a 时取等号)， 所以ab 的最小值为2 2. 5．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( ) A ．0 B ．12 C ．1D.32解析：选A.y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0.故选A.6．(2021·四省八校第二次质量检测)已知a ＝(1，x )，b ＝(y ，1)，x ＞0，y ＞0.若a ∥b ，则xyx ＋y的最大值为( ) A.12 B ．1 C. 2D ．2解析：选 A.方法一：a ∥b ⇒xy ＝1，所以y ＝1x ，所以xy x ＋y ＝1x ＋y ＝1x ＋1x≤12x ×1x ＝12(当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号)，所以xy x ＋y的最大值为12，故选A.方法二：a ∥b ⇒xy ＝1，又x ＞0，y ＞0，所以xy x ＋y ＝1x ＋y ≤12xy＝12(当且仅当x ＝y ＝1时取等号)，所以xy x ＋y的最大值为12，故选A.7．(2020·高考天津卷)已知a >0，b >0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为________．解析：依题意得12a ＋12b ＋8a ＋b ＝a ＋b 2ab ＋8a ＋b ＝a ＋b 2＋8a ＋b≥2a ＋b 2×8a ＋b ＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0，ab ＝1，a ＋b 2＝8a ＋b ，即⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝1，a ＋b ＝4时取等号．因此，12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为4.答案：48．(2020·高考江苏卷)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是__________．解析：方法一：由5x 2y 2＋y 4＝1得x 2＝15y 2－y 25，则x 2＋y 2＝15y 2＋4y 25≥215y 2·4y 25＝45，当且仅当15y 2＝4y 25，即y 2＝12时取等号，则x 2＋y 2的最小值是45.方法二：4＝(5x 2＋y 2)·4y 2≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤（5x 2＋y 2）＋4y 222＝254·(x 2＋y 2)2，则x 2＋y 2≥45，当且仅当5x 2＋y 2 ＝4y 2＝2，即x 2＝310，y 2＝12时取等号，则x 2＋y 2的最小值是45.答案：459．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x （4－2x ）的最大值． 解：(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32. 当x <32时，有3－2x >0， 所以3－2x 2＋83－2x ≥23－2x 2·83－2x＝4，当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12(x ＝72舍去)时取等号． 于是y ≤－4＋32＝－52， 故函数的最大值为－52. (2)因为0<x <2，所以2－x >0， 所以y ＝x （4－2x ）＝2·x （2－x ）≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号， 所以当x ＝1时，函数y ＝x （4－2x ）取最大值，为 2.10．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，又x >0，y >0， 则1＝8x ＋2y ≥2 8x ·2y ＝8xy. 得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋22x y ·8yx ＝18. 当且仅当x ＝12，y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.[B 级 综合练]11．已知a ＞0，b ＞0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立，则m 的最大值为( )A ．9B ．12C ．18D ．24解析：选B.由3a ＋1b ≥ma ＋3b，得m ≤(a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b ＝9b a ＋ab ＋6.又9b a ＋ab ＋6≥29＋6＝12，当且仅当9b a ＝ab ，即a ＝3b 时等号成立， 所以m ≤12，所以m 的最大值为12. 12．(2020·福建龙岩一模)已知x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，则x ＋y 的最小值为( )A ．3B ．5C．7 D．9解析：选C.因为x>0，y>0.且1x＋1＋1y＝12，所以x＋1＋y＝2⎝⎛⎭⎪⎫1x＋1＋1y(x＋1＋y)＝2(1＋1＋yx＋1＋x＋1y)≥2⎝⎛⎭⎪⎪⎫2＋2yx＋1·x＋1y＝8，当且仅当yx＋1＝x＋1y，即x＝3，y＝4时取等号，所以x＋y≥7，故x＋y的最小值为7，故选C.13．若a＋b≠0，则a2＋b2＋1（a＋b）2的最小值为________．解析：a2＋b2＋1（a＋b）2≥（a＋b）22＋1（a＋b）2≥212＝2，当且仅当a＝b＝2－34时，a2＋b2＋1（a＋b）2取得最小值 2.答案： 214．某厂家拟定在2021年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－km＋1(k为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的 1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2021年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？解：(1)由题意知，当m＝0时，x＝1(万件)，所以1＝3－k⇒k＝2，所以x＝3－2m＋1(m≥0)，每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(元)，所以2021年的利润y＝1.5x×8＋16xx－8－16x－m＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋（m ＋1）＋29(m ≥0)． (2)因为m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， 所以y ≤－8＋29＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3时，y max ＝21.故该厂家2021年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，为21万元．[C 级 提升练]15．已知角α，β的顶点都为坐标原点，始边都与x 轴的非负半轴重合，且都为第一象限的角，α，β终边上分别有点A (1，a )，B (2，b )，且α＝2β，则1a ＋b 的最小值为( )A ．1B ． 2 C. 3D ．2解析：选C.由已知得，a >0，b >0，tan α＝a ，tan β＝b2，因为α＝2β，所以tan α＝tan 2β，所以a ＝2·b 21－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22＝4b 4－b 2，所以1a ＋b ＝4－b 24b ＋b ＝1b ＋3b 4≥21b ·3b4＝3，当且仅当1b ＝3b 4，即b ＝233时，取等号．故1a ＋b 的最小值为 3.16．(2021·江西吉安期末)已知函数f (x )＝sin 2xsin x ＋2，则f (x ) 的最大值为________．解析：设t ＝sin x ＋2，则t ∈[1，3]，则sin 2x ＝(t －2)2，则g (t )＝（t －2）2t ＝t ＋4t －4(1≤t ≤3)，由“对勾函数”的性质可得g (t )在[1，2)上为减函数，在(2，3]上为增函数，又g (1)＝1，g (3)＝13，所以g (t )max ＝g (1)＝1.即f (x )的最大值为1.答案：1。
一轮复习：基本不等式
2
课时分层作业
)
5
2
2
(2)当 ＜x＜ 时，函数y＝ 2 − 1 + 5 − 2的最大值为________．
(1)BC
(2)2
+ 2
2
2
2
[(1)由x ＋y －xy＝1，可得(x＋y) －3xy＝1，而xy≤
，即1＝(x＋y)2 －
4
3 + 2
+ 2
2
3xy≥(x＋y) －
A．1
D
B．2
C．2 2
1
的最小值是(
−2
)
D．4
√
1
1
[∵x>2，∴x＋ ＝x－2＋ ＋2≥2
−2
−2
1
，即x＝3时，等号成立．故选D.]
−2
−2
1
·
＋2＝4，当且仅当x－2＝
−2
第4课时
基本不等式
链接教材 夯基固本
典例精研
核心考点
课时分层作业
3．(多选)(人教A版必修第一册P46练习T2改编)若a，b∈R，则下列不等式成立的
＝2＋ ，
+1
+1
故2x＋y＝4＋
4
＋y＋1－1≥4＋2
+1
4
·
+1
+ 1 －1＝7，当且仅当
即x＝3，y＝1时取等号．故选C.
(3)令x－1＝m，2y－1＝n，
则m>0，n>0且m＋n＝x－1＋2y－1＝1，
1
1
1
∴
+
＝
−1
2−1
1
1
+ ＝
基本不等式专题复习
学习目标
•1.理解并掌握基本不等式； •2.掌握一些常见的技巧，会应用基本 不等式及其变形求一些最值问题.
1．基本不等式： ab a b
2
2．基本不等式的变形：
（1） a+b 2 ab （2） ab (a b)2
2
3.基本不等式使用条件： 一正二定三相等
考点一：直接利用基本不等式及其变形求最值
A．5,5
B．10,5
C．10，52
D．10,10
解析：xy＝x＋4y＋5≥4 xy＋5，当且仅当 x＝4y 时，取等号．
令 xy＝t，则上式为 t2－4t－5≥0(t＞0)，整理得(t－2)2≥9，解得
t≥5(t≤－1 舍去)，当 t＝5 时，取等号，即 t＝5 为最小值，xy 最小值为
x＝4y， t2＝25.当源自L＝2 r2－d2＝24－ 4 ＝2 3，所以 4a2＋b2＝4. 4a2＋b2
则 t＝a
1＋2b2＝212·(2 2a)· 1＋2b2≤212×12×2 2a2＋
1＋2b22
＝4
1
2·[8a2＋1＋2(4－4a2)]＝4
9
8a2＝1＋2b2， 2，当且仅当4a2＋b2＝4
时等号成立，
此时 a＝34，故选 D.
答案：5
35xy·152xy＝153＋152＝5，
[方法总结]
常数代换法求最值的步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)． (2)把确定的定值(常数)变形为1. (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和 或积的形式． (4)利用基本不等式求解最值．
考点三：通过换元，利用基本不等式及其变形求最值
2．若正数 x，y 满足 x＋3y＝5xy，则 3x＋4y 的最小值是________．
第04讲 基本不等式高考数学大一轮复习核心题型讲与练+易错重难点专项突破(新高考版)
G ( x )万元，且 G ( x )＝
2 + 120，0 < ≤ 50，
4 900
201＋
− 2 100，50 < ≤ 100，
200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
每台该产品的售价为
(1)写出年利润 W ( x )(单位：万元)关于年产量 x (单位：台)的函数解析式(利润＝销售
2．几个重要的不等式
2ab
1a2＋b2≥______a，b∈R；
b a
2
2a＋b≥___a，b同号且不为零；
当且仅当a＝b
2
a＋b
3ab≤
时等号成立
a，b∈R；
2
2
2
2
a ＋b
a＋b
4
a，b∈R.
≤
2
2
(2)[2024宁夏银川模拟]已知0＜ x ＜4，则 (4 − ) 的最大值为 2
[解析] 0＜ x ＜4，则0＜4－ x ＜4，由基本不等式可得 (4
.
+4−
− ) ≤
＝2，
2
当且仅当 x ＝4－ x ，即 x ＝2时，等号成立.故 (4 − ) 的最大值为2.
角度2 常数代换法
−4
8
−4
＞0，因为 a ＞0，所以 a ＞4，所以8 a ＋ b ＝8 a
＋5]≥8×(2 4 ＋5)＝72，当且仅当 a ＝6时取等号.故选C.
8
4
8
4
解法二 ∵8 a ＋4 b ＝ ab ， a ＞0， b ＞0，∴ ＋ ＝1，∴8 a ＋ b ＝(8 a ＋ b )( ＋ ) ＝
高一数学复习考点题型专题讲解7 基本不等式
高一数学复习考点题型专题讲解第7讲 基本不等式一、单选题1．下列不等式恒成立的是（ ） A ．222a b ab +≤B ．222a b ab +≥-C ．a b +≥-．a b +≤【答案】B【分析】由基本不等式，可判定A 不正确；由2222()0a b ab a b ++=+≥，可判定B 正确；根据特例，可判定C 、D 不正确；【解析】由基本不等式可知222a b ab +≥，故A 不正确；由222a b ab +≥-，可得2220a b ab ++≥，即()20a b +≥恒成立，故B 正确； 当1,1a b =-=-时，不等式不成立，故C 不正确； 当0,1a b ==时，不等式不成立，故D 不正确. 故选：B.2．已知0x >，则2x x+的最小值为（ ） A．2C ．．4 【答案】C【分析】根据给定条件利用均值不等式直接计算作答.【解析】因为0x >，则2x x +≥2x x=，即x =“=”， 所以2xx+的最小值为故选：C3．已知a ＞0，b ＞0，a +b ＝4，则下列各式中正确的是（ ）A ．1114ab+…B ．111a b +…C 2D ．11ab…【答案】B【分析】利用基本不等式逐个分析判断即可 【解析】解：因为a ＞0，b ＞0，a +b ＝4，所以111112(22)1444a b a b b a a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫+=+=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…， 当且仅当a ＝b ＝2时取等号，B 正确，A 错误；由基本不等式可知ab 22a b +⎛⎫⎪⎝⎭…＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，2,C 错误；114ab …，D 错误． 故选：B ．4．0ab >是2ba ab+>的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【分析】解法一:根据充分条件与必要条件的概念，结合不等式的基本性质直接判断，即可得出结果.解法二:利用基本不等式的等号成立的条件可以否定充分性，利用代数变形，结合不等式的基本性质可以论证必要性.【解析】解法一：当1a b ==时，满足10ab =>，但2b a ab+=，2b a ab+>不成立，故0ab >是2b aa b+>的不充分条件； 当0ab <时02b a a b +<<，2b a a b +>不成立，当0ab =时b a a b +无意义，即2b a a b+>不成立，故0ab >是2b a a b+>的必要条件；综上，0ab >是2b a ab+>的必要不充分条件.解法二：当0ab >时，0,0b a ab>>，2b a ab+≥=，当且仅当a b =时取等号，所以0ab >是2ba a b+>的不充分条件；若2b a a b +>，则222b a b a a b ab++=>，所以0ab >,故0ab >是2b a a b +>的必要条件； 综上，0ab >是2b a a b+>的必要不充分条件. 故选：B.5．已知0x >，0y >，48x y +=，则x y的最大值为（ ）A．．4C ．6D ．8 【答案】B【分析】利用基本不等式化简已知条件，由此求得x y的最大值【解析】因为48x y =+≥2，从而4x y ≤．当且仅当44,1x x y y=⇒==时等号成立. 故选：B6．若a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，则（ ）A．2a b +2a b +C2a b +D 2a b + 【答案】B【解析】利用基本不等式或作差法判断选项. 【解析】∵a ，b ∈R +，且a ≠b ，∴a +b ＞2a b+， 而222()24a b a b ++-＝2()4a b -＞0，∴2a b +故选：B7．已知0x >，0y >，251x y +=，则1125x y+的最小值是（ ） A ．2B ．8C ．4D ．6 【答案】C【分析】根据题意，结合“1”的妙用，即可求解. 【解析】解析：由251x y +=得()1111522522224252525y x x y x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=++≥=+= ⎪⎝⎭，当且仅当5225y x x y =，即14x =，110y =时，等号成立，所以1125x y +的最小值是4． 故选：C ．8．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．下图是我国古代数学家赵爽创作的弦图，弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形的直角边长分别为a 和b ，则该图形可以完成的无字证明为（ ）．A．)0,02a b a b +>>B ．()22200a b ab a b +≥>>， C()20,011a b a b≥>>+D()002a ba b +>>，【答案】B【分析】由图可知大正方形的面积大于等于4个直角三角形的面积和，从而可得结论 【解析】解：因为直角三角形的直角边长分别为a 和b ，所以大正方形的面积为22a b + 由图可知大正方形的面积大于等于4个直角三角形的面积和，所以221422a b ab ab +≥⨯=（0,0a b >>）故选：B9．下列结论正确的是（ ）A ．当0x >，0y >且21x y +=时，11x y+≤B ．当0x >4≥ C ．当2x ≥时，2x x+的最小值是D ．当0a >时，11a a ++的最小值为1 【答案】B【分析】根据1122x y x yx y x y+++=+结合基本不等式，即可判断A ；直接利用基本不等式即可判断BC ，注意取等号的条件； 根据111111a a a a +=++-++结合基本不等式，即可判断D. 【解析】解：因为0x >，0y >且21x y +=，所以112221233x y x y y x xyx y x y +++=+=+++≥+=+当且仅当2y x x y =，21x y +=，即1x ，1y =113x y +≥+A 错误：当0x >4≥=4x =时等号成立，故B 正确；当0x >时，2x x +≥当且仅当2x x=．即x 但已知条件中2x ≥，故C 错误；当10a +>时，1111121111a a a a +=++-≥=-=++，当且仅当111a a +=+，即0a =时等号成立，但已知条件中0a >，故D 错误．故选：B.10．已知0a >，0b >，若不等式41ma b a b+≥+恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．10B ．12C ．16D ．9【答案】D【分析】利用参变分离的方法将不等式变形为41()m a b a b⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭恒成立，再由基本不等式得出代数式的最值，可得选项.【解析】由已知0a >，0b >，若不等式41ma b a b+≥+恒成立， 所以41()m a b a b⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭恒成立，转化成求41()y a b a b⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小值，414()559b a y a b a b a b ⎛⎫=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4b aa b=时取等 所以9m ≤． 故选：D ．11．若x >1，则22222x x x -+-有（ ）A ．最小值1B ．最大值1C ．最小值-1D ．最大值-1 【答案】A【分析】将给定表达式整理变形，再利用基本不等式即可作答.【解析】因x >1，则()()()2211221*********x x x x x x x -+-+⎡⎤=⋅=-+≥⎢⎥---⎣⎦1，当且仅当111x x -=-，即2x =时取等号. 所以22222x x x -+-有最小值为1.故选：A12．设a ，b ，c ，d 均为大于零的实数，且abcd ＝1，令m ＝a （b +c +d ）+b （c +d ）+cd ，则a 2+b 2+m 的最小值为（ ）A ．8B ．．．【答案】B【分析】根据条件可得2222()()a b m a b a b c d ab cd ++=++++++，然后利用重要不等式和基本不等式可求出22a b m ++的最小值．【解析】解：a ，b ，c ，d 均大于零且1abcd =，()()m a b c d b c d cd =+++++，2222()()a b m a b a b c d ab cd ∴++=++++++ 2243ab ab cd ab cd ab cd +++=++…44++…当且仅当a b =，c d =，3ab cd=，即141()3a b ==，143c d ==时取等号，22a b m ∴++的最小值为4+故选：B ．【点睛】本题考查了重要不等式和基本不等式在求最值中的应用，考查了转化思想，属中档题．二、多选题13．(多选题)下列不等式不一定成立的是（ ）A．x ＋1x ≥2B 2．2212x x +≥D ．2－3x －4x ≥2【答案】AD【分析】取0x <可判断A ；2B ；由基本不等式可判断C ；取0x >可判断D.【解析】对于选项A ：当x <0时，102x x+<<，故A 错误；对于选项B 2B 正确；对于选项C ：221122x x x x+≥⋅=，故C 正确； 对于选项D ：变形为430x x+≤，当x 取正数时不成立，故D 错误． 故选：AD.14．已知0,0a b >>，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．114ab+B ．11()()4a b ab++≥C 22a b≥+D ．2≥+aba b 【答案】ABC【分析】对A ，利用基本不等式a b +≥B ，将不等式左边展开，再利用基本不等式即可判断；对C ，利用()2222a b a b ++≥以及a b +≥D ，利用特殊值即可判断.【解析】解：对A ，114a b ++≥， 当且仅当“a b =”时“=”成立，故A 正确；对B ，11()224baa b a b a b ⎛⎫++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当“a b =”时“=”成立，故B 正确；对C ()2222a b a b a b a b ++≥≥=++， 当且仅当“a b =”时“=”成立，故C 正确；对D ，当1,2a b ==时，2224123ab a b ⨯==++=2≥+aba b 不成立，故D 错误； 故选：ABC.15．某公司一年购买某种货物800吨，现分次购买，设每次购买x 吨，运费为8万元/次.已知一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和y 最小，则下列说法正确的是（ ） A ．当40x =时，y 取得最小值 B ．当45x =时，y 取得最小值 C ．min 320y = D ．min 360y = 【答案】AC【分析】根据题意列出总存储费用之和80084y x x=⨯+的表达式，再利用基本不等式求最值即可判断选项【解析】一年购买某种货物800吨，每次购买x 吨，则需要购买800x次，又运费是8万元/次，一年的总存储费用为4x 万元， 所以一年的总运费与总存储费用之和80084y x x=⨯+万元.因为80084320y x x =⨯+≥=，当且仅当64004x x =，即40x =时，等号成立， 所以当40x =时，y 取得最小值，min 320y =. 故选：AC .16．设0,0a b >>，则下面不等式中恒成立的是（ ） A ．221a b a b ++>+BC．211ab≤+．114a b a b+≤+ 【答案】ABC【解析】利用做差法可判断A ；讨论,a b ，平方作差可判断B ；利用基本不等式可判断C 、D.【解析】对于A ，()222222111110222a b a b a a b b a b ⎛⎫⎛⎫++-+=-+-+=-+-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以221a b a b ++>+，故A 正确；对于B ，当a b <当a b ≥时，2a b b a b b a =-+=-+≥，a b =时取等号，故B 正确；对于C ，0,0a b >>，2211ab a b ab=≤=++ 当且仅当a b =时取等号，故C 正确；对于D ，0,0a b >>，()11224b a a b ab ab⎛⎫∴++=++≥+ ⎪⎝⎭，114a b a b∴+≥+，当且仅当a b =时取等号，故D 错误. 故选：ABC【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 17．下列不等式正确的是（ ）A ．若0x <，则12xx +≤-B ．若x ∈R 22≥ C ．若x ∈R ，则2111x <+D ．若0x >，则()1114⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭x x 【答案】ABD【解析】利用基本不等式可判断ABD 选项的正误；取0x =可判断C 选项的正误.【解析】对于A 选项，当0x <时，0x ->，则()()112x x xx ⎡⎤+=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦， 当且仅当1x =-时，等号成立，A 选项正确； 对于B 选项，x R ∈Q ，则222x ≥+，22212x ++==≥，时，即221x +=，显然不成立，等号不成立，22>，B 选项正确；对于C 选项，取0x =，可得2111x =+，C 选项错误；对于D 选项，0x >，()1111224x x x x⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时，等号成立，D 选项正确. 故选：ABD.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.18．若不等式()2232a b x a b ++≥+对任意正数a ，b 恒成立，则实数x 的可能取值为（ ） A．2C．1 【答案】AD【分析】由题设可得()()2260,02a b a b a b x ++>>+≤恒成立，应用基本不等式求不等式右边的最小值，即可确定x 的范围.【解析】∵不等式()2232a b x a b ++≥+对任意正数a ，b 恒成立， ∴()()2260,02a b a b a b x ++>>+≤恒成立. ∵()()()2226632224a b a b a b a b a b a b +++++≥=+≥=+++a b =.∴x ≤A ，D. 故选：AD.三、填空题19．给出下面三个推导过程：①∵a ，b 为正实数，∴b a ＋a b 2；②∵a ∈R ，a ≠0，∴4a＋a 4；③∵x ，y ∈R ，xy <0，∴xy ＋yx ＝－x y y x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦≤－ 2.其中正确的推导过程为________. 【答案】①③【分析】①符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确； ②不符合基本不等式的条件，所以②的推导过程错误；③x y⎛⎫- ⎪⎝⎭，y x ⎛⎫- ⎪⎝⎭均为正数，符合基本不等式的条件，故③的推导过程正确.【解析】①∵a ，b 为正实数，∴ba ，a b为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确；②a ∈R ，a ≠0，不符合基本不等式的条件，∴②的推导过程错误；③由xy <0，得xy ，y x均为负数，∴x y⎛⎫- ⎪⎝⎭，y x ⎛⎫- ⎪⎝⎭均为正数，符合基本不等式的条件，故③的推导过程正确.故选①③. 故答案为：①③【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 20．若0a b <<，且1a b +=，则实数12、b 、2ab 、22a b +中最大的一个是______． 【答案】b【分析】由0a b <<，1a b +=，所以12a b <<，再结合222a b ab +>，则可判断22122a ab a b b <<<+<，得解.【解析】因为0a b <<，1a b +=，所以12a b <<，222ab a b <+，因为22222a b a b +⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以2212a b +>，又()222221a b a a b a b b b b b b +=⋅+<⋅+=-+=，所以2212a b b <+<，又212222a b ab +⎛⎫<= ⎪⎝⎭，1222ab a a >⨯=， 所以122a ab <<.所以22122a ab a b b <<<+<. 故答案为：b .21．若a 、b 、x 、y ∈R ，221x y +=，221a b +=，则ax by +的最大值是______． 【答案】1【分析】利用基本不等式得最大值． 【解析】因为221x y +=，221a b +=，所以22222222222222222()2()()1ax by a x abxy b y a x a y b x b y a b x y +=++≤+++=++=， 当且仅当ay bx =即a xb y =时等号成立．故答案为：1．22．设0,0a b >>，且不等式110ka b a b++≥+恒成立，则实数k 的最小值等于___________. 【答案】4-【分析】先分离出参数k ，得11()()k a b a b -++…，然后利用基本不等式求得11()()a b a b -++的最大值即可．【解析】解：由110ka b a b +++…，得11()()k a b a b-++…，11()()(2)(24b a a b a b a b -++=-++-+=-…， 当且仅当a b =时取等号，4k ∴-…，即实数k 的最小值等于4-.故答案为：4-.23．若一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，设()12p a b c =++，则该三角形的面积S =这就是著名的“秦九韶-海伦公式”若△ABC 的周长为8，2AB =，则该三角形面积的最大值为___________. 【答案】【分析】计算得到4p =，2c =，6a b +=，根据均值不等式得到9ab ≤，代入计算得到答案.【解析】()142p a b c =++=，2c =，6a b +=，6a b +=≥9ab ≤， 当3a b ==时等号成立.S ==故答案为：24．已知a b c >>2a c-的大小关系是____________2a c-. 【分析】将2a c -化为()()2a b b c -+-，然后运用基本不等式比较大小. 【解析】∵a b c >>，∴0a b ->，0b c ->，∴()()22a b b c a c -+--=a b b c -=-，即2b a c =+时取等号，2a c-. 【点睛】本题考查利用基本不等式的运用，属于简单题，将2a c -化为()()2a b b c -+-是关键.四、解答题25．已知实数a 和b ，判断下列不等式中哪些是正确的． (1)222a b ab +≥； (2)222a b ab +≥-(3)2a b+≥ (4)2b a a b+≥； (5)12a a +≥； (6)2b aa b+≥； (7)()()2222a b a b +≥+． 【答案】(1)正确 (2)正确 (3)错误 (4)错误 (5)错误 (6)正确 (7)正确【分析】（1）由()20a b -≥判断不等式成立. （2）由()20a b +≥判断不等式成立. （3）利用特殊值判断不等式错误. （4）利用特殊值判断不等式错误. （5）利用特殊值判断不等式错误. （6）结合基本不等式判断不等式成立. （7）利用差比较法判断不等式成立. (1)由于()20a b -≥，222220,2a ab b a b ab -+≥+≥，所以不等式正确. (2)由于()20a b +≥，222220,2a ab b a b ab ++≥+≥-，所以不等式正确. (3)当,a b 为负数时，不等式2a b+≥. (4)当,b a a b 为负数时，不等式2b a a b+≥不成立，所以不等式错误. (5)当a 为负数时，不等式12a a +≥不成立，所以不等式错误. (6)依题意,a b 不为零，,b a a b同号，2b a b a a b a b +=+≥，当且仅当1b a =±时等号成立，所以不等式正确.()()()222220a b a b a b +-+=-≥，所以()()2222a b a b +≥+，所以不等式正确.26．下列结论是否成立？若成立，试说明理由；若不成立，试举出反例．(1)若0ab >，则a b +≥(2)若0ab >2； (3)若0ab <，则2b a ab+≤-． 【答案】(1)不成立，理由见解析； (2)成立，理由见解析； (3)成立，理由见解析；【分析】取特殊值判断（1），由均值不等式判断（2）（3）. (1)取1,2a b =-=-满足0ab >，此时a b +≥ (2)0ab >，0,0a bb a∴>>，2，当a b =时等号成立. (3)0ab <，0,0b aa b∴<<，2b a b a a b a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+=--+-≤-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当a b =-时等号成立. 27．证明下列不等式，并讨论等号成立的条件： (1)若0a >，则322a a a +≥； (2)若4ab =，则228a b +≥；(3)若11x -≤≤12； (4)若0ab ≠，则2b aa b+≥； (5)对任意实数a 和b ，2222431a b a b ++≥++．【答案】(1)证明见解析，当且仅当1a =时等号成立； (2)证明见解析，当且仅当2a b ==±时，等号成立．(3)证明见解析，当且仅当x = (4)证明见解析，当且仅当220a b =≠时，等号成立． (5)证明见解析，当且仅当221a b +=时等号成立．【分析】（1）直接利用作差法对关系式进行变换，进一步求出结果． （2）利用基本不等式的应用求出结果．（3）利用算术平均数和几何平均数的运用及整体思想的应用求出结果． （4）利用分类讨论思想的应用和均值不等式的应用求出结果． （5）利用关系式的变换和均值不等式的应用求出结果． (1)证明：由于3232222()()(1)a a a a a a a a a -+=---=-，当0a >时，2(1)0a -≥，所以20(1)a a -≥，即3202a a a -+≥，所以322a a a +≥，当且仅当1a =时，等号成立．(2)证明：因为4ab =，所以2228a b ab +≥=，当且仅当2a b ==±时，等号成立． (3)证明：因为11x -≤≤，所以201x ≤≤，210x -≥22(1)122x x +-=，当且仅当221x x =-，即x = (4)证明：因为0ab ≠，当0ab >时，2ba b a a b a b +=+…，当且仅当0a b =≠时，等号成立．当0ab <时，()()2b a b a a b a b +=-+-…，当且仅当0a b =-≠时，等号成立． 综上可得0ab ≠，则2b aa b+≥，当且仅当220a b =≠时，等号成立． (5)证明：对任意实数a 和b ，2211a b ++≥所以222222224411141311a b a b a b a b ++=+++-=-=++++．当且仅当221a b +=时等号成立．28．已知0a >，0b >，21a b +=，求23ab+的最小值．下面是某同学的解答过程：请指出上面解答过程中的错误，并给出正确解答．【答案】解答过程中没有给出取最小值的条件，事实上这个最小值是取不到的，原因是两次利用均值不等式，等号成立的条件不一致；正确解答见解析．【分析】根据基本不等式应用的条件： “一正”、“二定”、 “三相等” 即可得出答案. 【解析】解答过程中没有给出取最小值的条件，事实上这个最小值是取不到的， 原因是两次利用均值不等式，等号成立的条件不一致．具体情况如下：23a b +≥23a b =，即32a b =时，等号成立，2a b +≥2a b =时，等号成立，显然，32a b =和2a b =不可能同时成立． 正确的解答如下：因为0a >，0b >，21a b +=，所以()2323432888baa b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++⎪≥+ ⎝⎭当且仅当43b aa b=时，等号成立，即2b =，代入21a b +=，得a =，从而b =因此23ab+的最小值为8+a =，b =29．已知1y x x=+.（1）已知x ＞0，求y 的最小值； （2）已知x ＜0，求y 的最大值． 【答案】（1）2；（2）－2.【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可（2）由于x ＜0，所以先对式子变形()1y x x ⎡⎤=--+⎢⎥-⎣⎦，然后再利用基本不等式即可【解析】（1）因为x ＞0，所以12y x x=+≥，当且仅当1x x=，即x ＝1时等号成立．所以y 的最小值为2.（2）因为x ＜0，所以－x ＞0.所以()12y x x ⎡⎤=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦，当且仅当1x x -=-，即x ＝－1时等号成立． 所以y 的最大值为－2.【点睛】此题考查基本不等式的应用，属于基础题. 30．已知x ，y 都是正数.求证：()12y xx y+≥； ()2()()()2233338.x y x y x y x y +++≥【答案】()1证明见解析；()2证明见解析.【分析】()1运用基本不等式：a b +≥a b =时取得等号），即可求证；()2运用基本不等式和不等式的基本性质即可求证.【解析】解：()1证明：由x ，y 都是正实数，可得2y x xy+≥（当且仅当x y =时取得等号）；()2证明：由基本不等式可知()()()(()(22332x y x y x y xy +++≥⋅⋅()23388xy xy x y =⋅=，（当且仅当x y =时取得等号）.【点睛】本题考查不等式的证明，运用基本不等式，考查化简推理的能力，属于基础题.31．已知a ，b ，c 均为正数，且1abc =，求证： （1）()()()8a b b c a c +++≥；（2111a b c≤++．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）利用基本不等式直接证明即可. （2）利用基本不等式直接证明即可.【解析】证明：（1）因为a ，b ，c 均为正数，1abc =，所以a b +≥b c +≥a c +≥ 三式相乘，得()()()88a b b c a c abc +++≥=， 当且仅当1a b c ===时，等号成立． （2）因为a ，b ，c 均为正数，1abc =，所以11ab+≥=11b c +≥=11a c +≥=三式相加，得11122a b c⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，111a b c≤++，当且仅当1a b c ===时，等号成立．32．已知0a >，0b >，且(1a b +．(1)求3311a b +的最小值；(2)是否存在实数,a b ，使得1123a b +？若存在，求出,a b 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)不存在，理由见解析【分析】（1a b=+≥12≤ab ，再根据3311a b +≥=求解即可.（2）首先根据基本不等式得到1123a b +≥>，即可判断不存在实数,a b ，使得1123a b +． (1)因为0a >，0b >，(1a b +，a b=+≥a b == 所以12≤ab ．因为3311a b +≥=≥a b == 所以3311a b +的最小值为 (2)因为0a >，0b >，又由（1）知12≤ab ，所以1123a b +≥=≥， 当且仅当23a b =时取等号．因为当且仅当a b ==12ab =，所以1123a b +><,a b ，使得1123a b +． 33．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为2200m 的矩形区域（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排2m 宽的绿化，绿化造价为200元/2m ，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/2m .设矩形的长为(m)x ，总造价为y （元）.（1）将y 表示为关于x 的函数；（2）当x 取何值时，总造价最低，并求出最低总造价. 【答案】（1）8000040018400,050y x xx=++<<；（2）当x =为18400.【解析】（1）根据题设先计算出绿化的面积和硬化地面的面积，从而可得y 表示为关于x 的函数；（2）利用基本不等式可求何时取何最值.【解析】（1）因为矩形区域的面积为2200m ，故矩形的宽为200x， 绿化的面积为20080022224416x x x x ⎛⎫⨯⨯+⨯⨯-=+-⎪⎝⎭，中间区域硬化地面的面积为()200800442164x x x x ⎛⎫--=--⎪⎝⎭，故8008004162002164100y x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-⨯+--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得到8000040018400y x x=++， 由4020040x x->⎧⎪⎨->⎪⎩可得050x <<，故8000040018400,050y x x x=++<<. （2）由基本不等式可得80000400184004001840018400x x++≥⨯=，当且仅当x =故当x =18400.【点睛】方法点睛：利用基本不等式解决应用问题时，注意合理构建数学模型，求最值时注意“一正二定三相等”，特别是检验等号是否可取. 34．（1）已知01x <<，则(43)x x -取得最大值时x 的值为？ （2）已知54x <，则1()4245f x x x =-+-的最大值为？ （3）函数22(1)1x y x x +=>- 的最小值为？ 【答案】（1）23；（2）1；（3）2【分析】（1）积的形式转化为和的形式，利用基本不等式求最值，并要检验等号成立的条件；（2）结构为和的形式转化为积的形式，并使积为定值，同时要检验等号成立的条件；（3）二次式除以一次式求最值，一般二次式用一次式表示出来，然后再分离，最后用基本不等式求解即可.【解析】（1）2113434(43)(3)(43)[]3323x x x x x x +--=⨯⨯-≤⨯=， 当且仅当343x x =-，即23x =时，取等号. 故所求x 的值为23.（2）因为54x <，所以540x ->，则11()42(54)332314554f x x x x x =-+=--++≤-=-+=--. 当且仅当15454x x-=-，即1x =时，取等号. 故1()4245f x x x =-+-的最大值为1. （3）2222122311x x x x y x x +-++-+==-- 2(1)2(1)31x x x -+-+=-3(1)221x x =-++≥-.当且仅当311x x -=-，即1x =时，取等号.故函数的最小值为2.。
基本不等式专题复习
基本不等式专题复习【例1】已知,0x y >，且21x y +=，求11x y +的最小值.【变式1】已知,0x y >，且21x y +=，求1x x y +的最小值.【变式2】已知,0x y >，且1x y +=，求4912x y +++的最小值.【变式3】已知,0x y >，且2x y +=，求213x y x y ++-的最小值.【变式4】已知,0x y >，求22x y x y x y +++的最大值及22x y x y x y+++的最小值.【例2】已知,0x y >，且24xy x y ++=，求x y +的最小值.【变式1】已知,0x y >，且26x y xy ++=，求xy 的最小值.【变式2】已知,0x y >，且228x y xy ++=，求2x y +的最小值.【变式3】已知实数,x y 满足2241x y xy ++=，求2x y +的最小值.【变式4】已知实数,x y 满足221x y xy ++=，求x y +的最大值.【例3】已知,,0a b c >，且()bc 4a a b c +++=，求2a b c ++的最小值.【变式1】已知,,0a b c >，且222412a ab ac bc +++=，求a b c ++的最小值.【例4】已知,,0x y z >，且230x y z -+=，求2y xz的最小值.【变式1】已知,,0x y z >，且2221x y z ++=，求12z S xyz +=的最小值.【变式2】已知,,0x y z >，且2221x y z ++=，求212S xyz =的最小值.【例5】已知,,0x y z >，求222xy yz x y z +++的最大值.【变式1】已知,,0x y z >，求2222x y z xy yz+++的最小值.【例6】已知,0x y >，求44x y x y x y +++的最大值.【例7】已知,0x y >，11121x y y +=++，求x y +的最小值.【例8】已知正数,x y 满足1xy ≤，则11112x y+++的最小值为____________.【例9】将边长为a m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记2(S =梯形的周长）梯形的面积,则S 的最小值是________.【例10】已知0a >，0b >，比较a b +.【例11】对任意实数11,2x y >>，不等式224211x y p y x +--≤恒成立，则实数p 的最大值为__________.【例12】 (2016南京三模)若实数,x y 满足2221x xy y +-=，则222522x y x xy y--+的最大值为________.【例13】已知,a b R ∈，函数()f x ax b =-，若对任意[1,1]x ∈-，有()01f x ≤≤，则3122a b a b +++-取值范围是_______.【例14】已知,,x y z 为正数，且2221x y z ++=，则yz xz xy x y z ++的最小值是________.【例15】设,(1,)x y e ∈（e 为自然对数的底数），则ln ln (1ln )(1ln )(1ln )ln x y xy x y xy⋅---的最大值为_____.【例16】（2013年高考湖南卷（理））已知,,*,236a b c R a b c ∈++=，则22249a b c ++的最小值为___.【例17】已知0,0,,1,(,),(,)n n x y y x x y n N n A x y B x y nx y x ny nx y x ny>>∈>=+=+++++，是否存在()f n ，使得(,)()(,)n n A x y f n B x y ≤≤对0,0x y >>恒成立？【例1】已知,0x y >，且21x y +=，求11x y+的最小值.【答案】3+【变式1】已知,0x y >，且21x y +=，求1x x y+的最小值.【答案】1+【变式2】已知,0x y >，且1x y +=，求4912x y +++的最小值. 【答案】254【变式3】已知,0x y >，且2x y +=，求213x y x y ++-的最小值.【答案】342+ 【变式4】已知,0x y >，求22x y x y x y +++的最大值及22x y x y x y+++的最小值. 【答案】22,33【例2】已知,0x y >，且24xy x y ++=，求x y +的最小值.【答案】3【变式1】已知,0x y >，且26x y xy ++=，求xy 的最小值.【答案】18【变式2】已知,0x y >，且228x y xy ++=，求2x y +的最小值.【答案】4【变式3】已知实数,x y 满足2241x y xy ++=，求2x y +的最小值.【答案】5【变式4】已知实数,x y 满足221x y xy ++=，求x y +的最大值.【答案】3【例3】已知,,0a b c >，且()bc 4a a b c +++=，求2a b c ++的最小值.【答案】4【变式1】已知,,0a b c >，且222412a ab ac bc +++=，求a b c ++的最小值.【答案】【例4】已知,,0x y z >，且230x y z -+=，求2y xz的最小值. 【答案】3【变式1】已知,,0x y z >，且2221x y z ++=，求12z S xyz+=的最小值. 【答案】4 【解析】22211141122(1)(1)()24z x y S xyz xyz z z z z ++===----+≥≥ 【变式2】已知,,0x y z >，且2221x y z ++=，求212S xyz=的最小值. 【答案】4【解析】2222222222212111142222x y z xy z S xyz xyz xyz z xy z x y +++===+++≥≥≥ 【例5】已知,,0x y z >，求222xy yz x y z+++的最大值.【答案】2【变式1】已知,,0x y z >，求2222x y z xy yz+++的最小值.【解析】2222,2[(1)]2x ay xy yz a y z +-+=， 解得15a =，∴2222222112[(1)]()2552xy yz x y y z x y z +⋅++-+=++≤，【例6】已知,0x y >，求44x y x y x y+++的最大值. 分析：考虑到分母较复杂，分子简单，故对分母进行双换元，再利用基本不等式求最值即可. 解析：设40,0x y t x y s +=>+=>，得4,33t s s t x y --==，于是 ()444848433433333s t t s x y s t x y x y t s t s --⎛⎫+=+=-+-= ⎪++⎝⎭≤. 当且仅当433s t t s=，即2y x =时等号成立. 【例7】已知,0x y >，11121x y y +=++，求x y +的最小值. 分析一：将原方程变形，用变量y 表示x ，再利用基本不等式求最值即可. 解析一：∵11121x y y +=++，得221xy y y =-++，于是 111113(1)()2222x y y y y y y +=+-+=++≥. 当且仅当1y y =，即1,12x y ==时等号成立. 分析二：考虑到分母较复杂，分子简单，故对分母进行双换元，再利用基本不等式求最值即可.解析二：设20,11x y t y s +=>+=>，得1,12t s x y s -+==-，且111t s+=，于是 11()()113222t s t s t s x y ++-+-+==≥. 当且仅当2t s ==，即1,12x y ==时等号成立.【例8】已知正数,x y 满足1xy ≤，则11112x y +++的最小值为____________. 解法一：【先降元，再求导】∵1xy ≤，∴1111121121y M y y yy +=+++++≥，令1112y t y y =+++，求导，得 22222222212(12)2(1)21'(1)(12)(1)(12)(1)(12)y y y y y t y y y y y y +--+-+-=+==++++++，(柳)∴当且仅当2x y ==时，2t +=. 解法二：【通分后，分离常数】11222211121121223232x y x y M x y x y xy x y x y ++++=+==-=+++++++++≥≥.∴当2x y ==时，2t =. 解法三：【双换元后，利用基本不等式】 令110,0112a b x y =>=>++,得11110,22x y a b =->=-, 又∵1xy ≤,∴11111111()(1)(1)(1)1122a b a b ab a b ab-+--=--+⇒≤≤ 221()()()4()402a b a b ab a b a b +⇒-+⇒+++-≤≤≥即2a b +≥.解法四：【凑项，利用基本不等式】111111112112112y M x y y y y y=++=-+++++++≥1122121()[22(21)]132********y y y y y y y y ++=+++-+=++---+++≥.∴当2x y ==时，2t =.解法五: 【对变量y 进行双换元】设1,12+=+=y m y n ,则,12=-=-y n m m n所以1112222112112y n m m n n m M x y y y m n m n--=++=+=+-++++≥≥. 一类反思：这类问题的求解策略很多，如变为齐次式，通分后利用基本不等式，等等.但是从上面的解答可以看出，进行双换元后化简，变为关于,s t 的式子，再利用基本不等式求解，显得顺理成章，减少了运算量.下面我们回顾一下2010江苏高考填空题第14题的一道变式题：【例9】（例8变式2）将边长为a m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记2(S =梯形的周长）梯形的面积,则S 的最小值是________. 分析：由题意，设出小正三角形的边长，得出S 关于,a x 的关系式，利用关系式求最小值即可.解析一：设剪成的小正三角形的边长为x ，则()()22(3)(0)a x S x a a x a x -==<<+- （方法一）我们可以利用导数求函数最小值.222(3)()a x S x a x -=-，222222(26)()(3)(2)()()x a a x a x x S x a x -⋅---⋅-'=-222222222(26)()(3)(2)2(3)(3)()()x a a x a x x x a x a a x a x -⋅---⋅----==-- ()0,0,3a S x x a x '=<<=， 当(0,]3ax ∈时，()0,S x '<递减；当[,)3a x a ∈时，()0,S x '>递增； 故当3a x =时，S的最小值是3. （方法二）利用函数的方法求最小值. 令1113,(2,3),(,)32a x t t a a t a a -=∈∈，则：22222186681t S a a t at a t t==-+--+- 故当13,83a a x t ==时，S. （方法三）利用双换元法求最小值.令1,0a x t a x s +=>-=>，得2t s a +=,32a x t s -=+则()(2223t s S ts ts +== 故当423t s a ==，即3a x =时，S. 题后反思：本题考查函数中的建模应用，等价转化思想.一题多解.解法一是新课标中，常用导数法求解高次，分式函数的一类问题，解法二转化为函数思想，解法三是本文的核心思想，利用双换元法求解本题，简化了运算，降低了难度，充分体现出了双换元的优越性.【例10】已知0a >，0b >，比较a b +.进行双换元，这样容易解决问题.x =y =，得3a x =，3b y =，于是()()()()()2332222a b x y x y xy x x y y x y x y x y +-=+-+=---=-+故0a b +-≥（当且仅当a b =时取等号），即a b +题后反思：本题进行双换元后，转化为平方与立方进行因式分解，作差变形是解决问题的关键.【例11】对任意实数11,2x y >>，不等式224211x y p y x +--≤恒成立，则实数p 的最大值为__________.分析：此题是不等式恒成立问题，利用双换元，转化为利用基本不等式求最小值问题. 解析：令210,10y s x t -=>-=>，得11,2s x t y +=+=，于是22224(1)(1)8211x y t s y x s t +++=+=--≥，当且仅当22(1)(1),1t s t s s t++===，即2,1x y ==时，等号成立， 因此实数p 的最大值为8.【例12】已知,,a b c R +∈，求a b cb c a c a b+++++的最小值. 分析：分母的形式较为复杂，对分母进行三换元，转化为基本不等式求解. 解析：∵,,a b c R +∈，令0,0,0b c x a c y a b z +=>+=>+=>，得,,222y z x x z y x y za b c +-+-+-===， 于是3133()2222222a b c y z x z x y y x z x y z m b c a c a b x y z x y x z z y +++=++=++-=+++++-+++≥，当且仅当x y z ==即a b c ==时取等号. ∴a b cb c a c a b+++++的最小值为3. 题后反思：考虑到分母较为复杂，采用三换元简化分母，结合基本不等式求最值. 同类问题如下：【例13】已知,,a b c 是ABC ∆的三边长，求a b cm b c a a c b a b c=+++-+-+-的最小值. 分析：分母的形式较为复杂，对分母进行三换元，转化为基本不等式求解. 解析：∵,,a b c 是ABC ∆的三边长，∴,,b c a a c b a b c +>+>+>，令,,b c a p a c b q a b c r +-=+-=+-=，得2,2,2a q r b p r c p q =+=+=+，于是1()2a b c q r p r p qm b c a a c b a b c p q r+++=++=+++-+-+-又∵2,2,2q p r p r qp q p r q r+++≥≥≥，当且仅当p q r ==即a b c ==时取等号. ∴m 的最小值为3，此时三角形为正三角形.题后反思：考虑到分母较为复杂，采用三换元简化分母，结合基本不等式求最值. 再看如下类题：【例14】已知,,x y z 为正数，且2221x y z ++=，则yz xz xyx y z++的最小值是________. 分析：所求是较为复杂，对每项进行换元，然后利用基本不等式求解. 解析：令,,yz xz xya b c x y z===，得2221bc ac ab x y z ++=++=，于是yz xz xy a b c x y z++=++==当且仅当a b c ==，即x y z ===. 题后反思：此题换元后，再结合基本不等式求解，简化了运算. 【例15】设,(1,)x y e ∈（e 为自然对数的底数），则ln ln (1ln )(1ln )(1ln )ln x y xy x y xy⋅---的最大值为_____.解析：令ln ,ln x a y b ==，得()()()()()()()ln ln 1ln 11ln 1ln ln 11x y xy ab a b x y xy a b a b ⋅⋅---=----+， 令1a b c --=，得1,1a b c b a c -=+-=+，且a b b c a c +++≥≥≥∴ ()()()()()()()()()()ln ln 1ln 111ln 1ln ln 118x y xy ab a b abc x y xy a b a b b c a c a b ⋅⋅---==----++++≤.（柳）当且仅当13a b c ===，即a b ==. 【例16】（2013年高考湖南卷（理））已知,,*,236a b c R a b c ∈++=，则22249a b c ++的最小值为___.分析：注意到22224(2),9(3)b b c c ==，进行换元，利用基本不等式求解即可.解析:令,2,3a x b y c z ===，于是6x y z ++=，则2222()123x y z x y z ++++=≥，当且仅当2x y z ===，即22,1,3a b c ===时等号成立. 题后反思：先进行双换元，再进行三换元，结合基本不等式求解，简化了运算，求出了最后结果.下面我们利用双换元解决一类数列恒成立问题. 【例17】已知0,0,,1,(,),(,)n n x y y xx y n N n A x y B x y nx y x ny nx y x ny>>∈>=+=+++++，是否存在()f n ，使得(,)()(,)n n A x y f n B x y ≤≤对0,0x y >>恒成立？ 分析：原式中的分母较为复杂，对分母进行双换元，再利用基本不等式求解. 解析： 令,nx y a x ny b +=+=，得220,011na b nb ax y n n --=>=>--，于是 22222221222(,)()(1)(1)11111n x y na b nb a n b a n A x y nx y x ny n a n b n n a b n n n --=+=+=-+-=++------+≤2222222222(,)()(1)(1)11111n y x nb a na b n b a n B x y nx y x ny n a n b n a b n n n n --=+=+=+--=++------+≥ 综上，存在()21f n n =+，使得(,)()(,)n n A x y f n B x y ≤≤对0,0x y >>恒成立. 题后反思：进行双换元求解后，可以很好的利用基本不等式求解.。
高考数学复习3-4基本不等式
＝800x＋259x200＋16000≥2 800x·259x200＋1600 ＝2×800×18＋1600＝44800 当且仅当 800x＝259x200，即 x＝18 米时，y 取得最小值． ∴当污水池的长为 18 米，宽为1090米时总造价最低为 44800 元．
谢谢！
上为增函数，所以当 x＝4 时，f(x)取得最小值为 1.
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1x＋1y
号又有[解第]x•y二第≤1x–＋级三x第＋1y2级≥四y＝2级2，当x1y，且x仅，当y∈x＝R＋y当时且取仅等当号，x＝y 时取等 ∴ 1xy≥12，»第五级 ∴1x＋1y≥2 1xy≥2×12＝1，∴只需 m≤1 就能使不等式1x
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第二级
[解] • ∵第–0三第＜级四x≤级16,0＜20x0≤16,12.5≤x≤16，x≠18 ∴不能用基本不等式，
»第五级 但我们可以证明函数
y＝800x＋259x200＋16000
在区间
[12.5,16]上是减函数，所以当 x＝16 米时， y 取得最小值
为 45000 元
答：当污水池的长为 16 米，宽为 12.5 米时总造价最低，
最低造价为 45000 元．
1．在应用均值定理求最值时，要把握定理成立的三个 条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值； 三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现 错误．
对于公式 a＋b≥2 ab，ab≤(a＋2 b)2，要弄清它们的作 用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了 ab 和 a＋b 的 转化关系．
a2＋2 b2，
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专题05基本不等式(PPT)-2025年新高考数学一轮考点题型精准复习(新高考专用)
解：显然， a2 1 0 ，
则， a2 2 a2 1 1 2 a2 1 1 2 ，
a2 1
a2 1
a2 1
当且仅当
a2 1
1
a2 1 ，即 a 0 时，等号成立.
所以， a2 2 的最小值是 2，此时 a 0 .
a2 1
例 14 ．（ 2022 秋 ·云 南 楚 雄 ·高 三 云 南 省 楚 雄 第 一 中 学 校 考 阶 段 练 习 ） 函 数
A．有最大值 4 B．有最小值 4 C．有最大值 4 D．有最小值 4 解： x 0，x 0，
y
x
4 x
(x)
4 x
2
(
x)
4 x
4
，当且仅当
x
2
时等号成立，
故选：A
考点二 拼凑法求最值
例 6．（2023·陕西榆林·统考三模）若 a 1，则 a 9 的最小值为________． a 1
a
2
b
2
a
b2
4a
b
4
0
a
b
2
2
2，
当且仅当 a b 时成立，A 正确；
对于 B， ab 1 a b 2 ab ，即
故答案为：3
例 20．（2023 春·湖南·高一校联考期中）已知正实数 a，b 满足 a 2b 4 ，则 1 1 的最 a b1
小值是（ ）
A．1 B． 33 C． 3 2 2 D．1 3
28
6
3
解：由已知可得，
a
2b
1
6
，所以
1 6
a
2
b
1
1.
又 a,b 0 ，
所
高考数学复习专题 基本不等式
高考数学复习专题基本不等式全国名校高考数学复优质学案、专题汇编（附详解）高考数学复专题：基本不等式一、基本不等式1.基本不等式：对于任意非负实数 $a$ 和 $b$，有 $a+b \geq 2\sqrt{ab}$，等号成立当且仅当 $a=b$。
2.算术平均数与几何平均数：设 $a>0$，$b>0$，则$a$ 和 $b$ 的算术平均数不小于它们的几何平均数。
3.利用基本不等式求最值问题：1）如果积 $xy$ 是定值 $P$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$x+y$ 有最小值 $2\sqrt{P}$。
2）如果和 $x+y$ 是定值 $P$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$xy$ 有最大值 $\frac{P}{4}$。
4.常用结论：1）$a+b \geq 2ab$（$a$，$b$ 为任意实数）。
2）$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b} \geq 2(a+b)$（$a$，$b$ 为同号实数）。
3）$ab \leq \frac{a^2+b^2}{2} \leq (\frac{a+b}{2})^2$（$a$，$b$ 为任意实数）。
4）$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq\frac{3}{2}$（$a$，$b$，$c$ 为正实数）。
5）$2(a+b) \geq \sqrt{2}(a+b)$（$a$，$b$ 为任意实数）。
6）$\frac{a^2+b^2}{a+b} \geq \frac{a+b}{2}$（$a$，$b$ 为任意实数）。
7）$a^2+b^2 \geq ab$（$a>0$，$b>0$）。
二、基本不等式在实际中的应用1.问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等。
题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解。
2.经常建立的函数模型有正（反）比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及 $y=ax+b$（$a>0$，$b>0$）等。
基本不等式——高三数学一轮复习
所以a＋44b＋2a1－b＝112a＋44b＋2a1－b[(a＋4b)＋(2a－b)]＝
1 12
4＋4a2＋a－4bb＋a2＋a－4bb＋1
≥
1 12
(5＋4)＝
3 4
，当且仅当a＝2b＝
8 3
时，取得最小值
3 4.
变式 3．若 1≤a≤3，则1a＋4－1 a的最小值为( D )
A．4
B．3
解析 因为1≤a≤3，所以4－a>0，
13·3x2＋12－3x22 ＝
3 6
，当且仅当3x2＝1－3x2，即x＝
6 6
时，等号成立，所以函数y＝x
1－3x20<x<
33的最大值为
3 6.
常数代换法
例 4．已知正实数a, b满足a b 1，求 4 1 的最小值. ab
解析
因为a
b
1，所以
4 a
1 b
(a
b)
4
1
4b a
a b
5
2
y
9 2
.
解析 ∵x>12，y＝2x－1，
∴x＋8y＝x＋2x－8 1＝x－12＋x－4 12＋12≥2
x－12·x－4 12＋12＝92，当且仅当x－12＝
2，即x＝52时取“等号”，∴x＋8y的最小值为92.
几个重要不等式
(1)a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R)．
(2)ba＋ab≥ 2 (a，b 同号)． (3)ab≤ a＋2 b2(a，b∈R) ．
x－2·x－1 2
＋2＝4，当且仅当x－2＝x－1 2，即x＝3时取“＝”．
变式．已知 x＞54，则 f(x)＝4x－2＋4x－1 5的最小值为__5__. 解析 ∵x＞54，∴4x－5＞0，∴f(x)＝4x－2＋4x－1 5＝4x－5＋4x－1 5＋3≥2 1＋ 3＝5， 当且仅当4x－5＝4x－1 5，即x＝32时取等号．
《基本不等式》专题复习与训练
《2.2 基本不等式》专题复习与训练第1课时 基本不等式【新课导入】1．重要不等式∀a ，b ∈R ，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b 2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．1．不等式a 2＋1≥2a 中等号成立的条件是( ) A ．a ＝±1 B ．a ＝1 C ．a ＝－1D ．a ＝0B [当a 2＋1＝2a ，即(a －1)2＝0即a ＝1时，“＝”成立．] 2．已知a ，b ∈(0,1)，且a ≠b ，下列各式中最大的是( ) A ．a 2＋b 2B ．2ab C ．2abD ．a ＋bD [∵a ，b ∈(0,1)，∴a 2＜a ，b 2＜b ， ∴a 2＋b 2＜a ＋b ，又a 2＋b 2＞2ab (∵a ≠b )，∴2ab ＜a 2＋b 2＜a ＋b .又∵a ＋b ＞2ab (∵a ≠b )，∴a ＋b 最大．]3．已知ab ＝1，a >0，b >0，则a ＋b 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8B [∵a >0，b >0，∴a ＋b ≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，故a ＋b 的最小值为2.]4．当a ，b ∈R 时，下列不等关系成立的是________． ①a ＋b 2≥ab ；②a －b ≥2ab ；③a 2＋b 2≥2ab ；④a 2－b 2≥2ab .③ [根据x 2＋y 22≥xy ，a ＋b 2≥ab 成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．]【合作探究】 对基本不等式的理解【例1】 给出下面四个推导过程： ①∵a 、b 为正实数，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab ＝2； ②∵a ∈R ，a ≠0，∴4a＋a ≥24a·a ＝4；③∵x 、y ∈R ，xy ＜0，∴x y ＋y x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ＝－2. 其中正确的推导为( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①②③B [①∵a 、b 为正实数，∴b a 、a b为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确．②∵a ∈R ，a ≠0，不符合基本不等式的条件，∴4a ＋a ≥24a·a ＝4是错误的．③由xy ＜0，得x y 、y x 均为负数，但在推导过程中将整体x y ＋y x 提出负号后，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y 、⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确．]1．基本不等式ab ≤a ＋b 2(a ＞0，b ＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系．2．对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是a 、b 都是正数．(2)“当且仅当”的含义：当a ＝b 时，ab ≤a ＋b 2的等号成立，即a ＝b ⇒a ＋b 2＝ab ；仅当a ＝b 时，a ＋b 2≥ab 的等号成立，即a ＋b 2＝ab ⇒a ＝b .1．下列不等式的推导过程正确的是________． ①若x ＞1，则x ＋1x ≥2x ·1x＝2. ②若x ＜0，则x ＋4x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x≤－2(－x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＝－4.③若a ，b ∈R ，则b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2. ② [ ①中忽视了基本不等式等号成立的条件，当x ＝1x时即x ＝1时，x ＋1x≥2等号成立，因为x ＞1，所以x ＋1x＞2，③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件．]利用基本不等式比较大小【例2】(1)已知a，b∈R＋，则下列各式中不一定成立的是( )A．a＋b≥2ab B.ba＋ab≥2C.a2＋b2ab≥2ab D.2aba＋b≥ab(2)已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________．(1)D(2)a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac[(1)由a＋b2≥ab得a＋b＝2ab，∴A成立；∵ba＋ab≥2ba·ab＝2，∴B成立；∵a2＋b2ab≥2abab＝2ab，∴C成立；∵2aba＋b≤2ab2ab＝ab，∴D不一定成立．(2)∵a、b、c互不相等，∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2ac，a2＋c2>2ac.∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac.]1．在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．2．运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2ab成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b.2．如果0＜a＜b＜1，P＝a＋b2，Q＝ab，M＝a＋b，那么P，Q，M的大小顺序是( )A．P＞Q＞M B．M＞P＞QC ．Q ＞M ＞PD ．M ＞Q ＞PB [显然a ＋b 2＞ab ，又因为a ＋b2＜a ＋b ，(由a ＋b ＞(a ＋b )24也就是a ＋b4＜1可得)，所以a ＋b ＞a ＋b 2＞ab .故M ＞P ＞Q .]利用基本不等式证明不等式【例3】 已知a ，b ，c 是互不相等的正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b＋1c>9.[思路点拨] 看到1a ＋1b ＋1c>9，想到将“1”换成“a ＋b ＋c ”，裂项构造基本不等式的形式，用基本不等式证明．[证明] ∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2b a ·a b ＋2c a ·a c ＋2c b ·b c＝3＋2＋2＋2 ＝9.当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， ∴1a ＋1b ＋1c>9.⎛⎫1⎛⎫1⎛⎫11．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．2．先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．3．已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.[证明] 由基本不等式可得a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2，同理，b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2a2c2，∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2，从而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.4．已知a＞1，b＞0，1a＋3b＝1，求证：a＋2b≥26＋7.[证明] 由1a＋3b＝1，得b＝3aa－1(a＞1)，则a＋2b＝a＋6aa－1＝a＋6(a－1)＋6a－1＝a ＋6a －1＋6＝(a －1)＋6a －1＋7 ≥26＋7，当a －1＝6a －1时，即a ＝1＋6时，取等号．1．应用基本不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当a >0，b >0时，才会有ab ≤a ＋b 2.对于“当且仅当……时，‘＝’成立…”这句话要从两个方面理解：一方面，当a ＝b 时，a ＋b 2＝ab ；另一方面：当a ＋b 2＝ab 时，也有a ＝b .2．应用基本不等式证明不等式的关键在于进行“拼”、“凑”、“拆”、“合”、“放缩”等变形，构造出符合基本不等式的条件结构..【课堂达标】 1．思考辨析(1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立．( ) (2)若a ≠0，则a ＋1a≥2a ·1a＝2.( ) (3)若a >0，b >0，则ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22.( ) [提示] (1)任意a ，b ∈R ，有a 2＋b 2≥2ab 成立，当a ，b 都为正数时，不等式a ＋b ≥2ab 成立．(2)只有当a >0时，根据基本不等式，才有不等式a ＋1a≥2a ·1a＝2成立．(3)因为ab ≤a ＋b2，所以ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22. [答案] (1)× (2)× (3)√2．设a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a －b <0B ．0<a b<1C.ab<a＋b2D．ab>a＋bC[∵a>b>0，由基本不等式知ab<a＋b2一定成立．]3．不等式9x－2＋(x－2)≥6(其中x＞2)中等号成立的条件是( )A．x＝3 B．x＝－3 C．x＝5 D．x＝－5C[由基本不等式知等号成立的条件为9x－2＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去)．]4．设a>0，b>0，证明：b2a＋a2b≥a＋b.[证明] ∵a>0，b>0，∴b2a＋a≥2b，a2b＋b≥2a，∴b2a＋a2b≥a＋b.《基本不等式》专题训练[合格基础练]一、选择题1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是( ) A．s≥t B．s>tC．s≤t D．s<tA[∵b2＋1≥2b，∴a＋2b≤a＋b2＋1.]2．下列不等式中正确的是( )A．a＋4a≥4 B．a2＋b2≥4abC.ab ≥a ＋b 2D ．x 2＋3x2≥2 3D [a ＜0，则a ＋4a≥4不成立，故A 错；a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2＜4ab ，故B 错； a ＝4，b ＝16，则ab ＜a ＋b 2，故C 错；由基本不等式可知D 项正确．]3．已知a >0，b >0，则下列不等式中错误的是( ) A ．ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22B ．ab ≤a 2＋b 22C.1ab ≥2a 2＋b 2D.1ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫2a ＋b 2D [由基本不等式知A 、C 正确，由重要不等式知B 正确，由a 2＋b 22≥ab 得，ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，∴1ab ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b 2，故选D.] 4．若a ＞b ＞0，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＞b ＞a ＋b 2＞abB ．a ＞a ＋b 2＞ab ＞b C ．a ＞a ＋b 2＞b ＞abD.a ＞ab ＞a ＋b 2＞bB [a ＝a ＋a 2＞a ＋b 2＞ab ＞b ·b ＝b ，因此只有B 项正确．]5．若a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A.1ab ＞12 B.1a ＋1b≤1C.ab ≥2D.1a 2＋b 2≤18D [由ab ≤2得ab ≤4，∴1ab ≥14，故A 错； B 中，1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab≥1，故B 错；由a ＋b ＝4，得ab ≤a ＋b 2＝42＝2，故C 错；由a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22得a 2＋b 2≥2×⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝8， ∴1a 2＋b 2≤18，D 正确．] 二、填空题6．已知a ＞b ＞c ，则(a －b )(b －c )与a －c 2的大小关系是________．(a －b )(b －c )≤a －c 2[∵a ＞b ＞c ，∴a －b ＞0，b －c ＞0， ∴(a －b )(b －c )≤(a －b )＋(b －c )2＝a －c2.]7．某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，则这两年的平均增长率x 与增长率的平均值a ＋b 2的大小关系为________．x ≤a ＋b 2[用两种方法求出第三年的产量分别为A (1＋a )(1＋b )，A (1＋x )2，则有(1＋x )2＝(1＋a )(1＋b )． ∴1＋x ＝(1＋a )(1＋b )≤1＋a ＋1＋b 2＝1＋a ＋b2， ∴x ≤a ＋b 2.当且仅当a ＝b 时等号成立．]8．已知函数f (x )＝4x ＋a x(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.36 [f (x )＝4x ＋ax ≥24x ·a x ＝4a (x >0，a >0)，当且仅当4x ＝ax，即x ＝a 2时等号成立，此时f (x )取得最小值4a .又由已知x ＝3时，f (x )min ＝4a ，∴a 2＝3，即a ＝36.]三、解答题9．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＝1.求证：1a ＋1b≥4.[证明] 1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋bb＝1＋b a ＋ab ＋1＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·ab＝4. 当且仅当a ＝b 时“＝”成立． 10．已知a 、b 、c 为正数，求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc ≥3. [证明] 左边＝b a ＋c a －1＋c b ＋a b－1＋a c ＋b c－1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c －3. ∵a ，b ，c 为正数，∴b a ＋ab≥2(当且仅当a ＝b 时取“＝”)； c a ＋ac≥2(当且仅当a ＝c 时取“＝”)； c b ＋bc≥2(当且仅当b ＝c 时取“＝”)． 从而⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥6(当且仅当a ＝b ＝c 时取等号)．∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c －3≥3， 即b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －c c≥3.[等级过关练]1．下列不等式一定成立的是( )A ．x ＋1x≥2B.x 2＋2x 2＋2≥ 2C.x 2＋3x 2＋4≥2D ．2－3x －4x≥2B [A 项中当x <0时，x ＋1x<0<2，∴A 错误．B 项中，x 2＋2x 2＋2＝x 2＋2≥2，∴B 正确．而对于C ，x 2＋3x 2＋4＝x 2＋4－1x 2＋4，当x ＝0时，x 2＋3x 2＋4＝32<2，显然选项C 不正确．D 项中取x ＝1,2－3x －4x<2，∴D 错误．]2．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3C [∵a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，∴ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1， 而4＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤2(a 2＋b 2)， ∴a 2＋b 2≥2.]3．若x 2＋y 2＝4，则xy 的最大值为________． 2 [xy ≤x 2＋y 22＝2，当且仅当x ＝y 时取“＝”．]4．设a ，b 为非零实数，给出不等式： ①a 2＋b 22≥ab ；②a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22；③a ＋b 2≥ab a ＋b ；④a b ＋b a ≥2.其中恒成立的不等式是________．①② [由重要不等式a 2＋b 2≥2ab 可知①正确； ②a 2＋b 22＝2(a 2＋b 2)4＝(a2＋b2)＋(a2＋b2)4≥a2＋b2＋2ab4＝(a＋b)24＝⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22，故②正确；对于③，当a＝b＝－1时，不等式的左边为a＋b 2＝－1，右边为aba＋b＝－12，可知③不正确；令a＝1，b＝－1可知④不正确．] 5．已知a、b、c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c＞ab＋bc＋ca. [证明] ∵a＞0，b＞0，c＞0，∴a＋b2≥ab，b＋c2≥bc，c＋a2≥ca，∴a＋b2＋b＋c2＋c＋a2≥ab＋bc＋ca，即a＋b＋c≥ab＋bc＋ca.由于a、b、c不全相等，∴等号不成立，∴a＋b＋c＞ab＋bc＋ca.第2课时基本不等式的应用【新课导入】已知x、y都是正数，(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值S2 4.(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2p. 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．1．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A.72 B ．4 C.92 D ．5 C [∵a ＋b ＝2，∴a ＋b 2＝1.∴1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 ＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a b ＋b 2a ≥52＋22ab·b 2a ＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a 时，等号成立.故y ＝1a ＋4b 的最小值为92.]2．若x >0，则x ＋2x的最小值是________．22 [x ＋2x≥2x ·2x＝22，当且仅当x ＝2时，等号成立．] 3．设x ，y ∈N *满足x ＋y ＝20，则xy 的最大值为________． 100 [∵x ，y ∈N *，∴20＝x ＋y ≥2xy ， ∴xy ≤100.]【合作探究】 利用基本不等式求最值【例1】 (1)已知x <54，求y ＝4x －2＋14x －5的最大值；(2)已知0<x <12，求y ＝12x (1－2x )的最大值．[思路点拨] (1)看到求y ＝4x －2＋14x －5的最值，想到如何才能出现乘积定值；(2)要求y ＝12x (1－2x )的最值，需要出现和为定值．[解] (1)∵x <54，∴5－4x >0，∴y ＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，上式等号成立， 故当x ＝1时，y max ＝1. (2)∵0<x <12，∴1－2x >0，∴y ＝14×2x (1－2x )≤14×⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22＝14×14＝116. ∴当且仅当2x ＝1－2x ⎝⎛⎭⎪⎫0<x <12，即x ＝14时，y max ＝116.利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即“一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定应凑出定和或定积；若不等，一般用后面第三章§3.2函数的基本性质中学习.1．(1)已知x >0，求函数y ＝x 2＋5x ＋4x 的最小值；(2)已知0<x <13，求函数y ＝x (1－3x )的最大值．[解] (1)∵y ＝x 2＋5x ＋4x ＝x ＋4x ＋5≥24＋5＝9，当且仅当x ＝4x即x ＝2时等号成立．故y ＝x 2＋5x ＋4x(x >0)的最小值为9.(2)法一：∵0<x <13，∴1－3x >0.∴y ＝x (1－3x )＝13·3x (1－3x )≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋(1－3x )22＝112. 当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝16时，等号成立．∴当x ＝16时，函数取得最大值112.法二：∵0<x <13，∴13－x >0.∴y ＝x (1－3x )＝3·x ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x ≤3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13－x 22 ＝112， 当且仅当x ＝13－x ，即x ＝16时，等号成立．∴当x ＝16时，函数取得最大值112.利用基本不等式求条件最值【例2】 已知x ＞0，y ＞0，且满足8x ＋1y＝1.求x ＋2y 的最小值．[解] ∵x ＞0，y ＞0，8x ＋1y＝1，∴x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋1y (x ＋2y )＝10＋x y ＋16y x≥10＋2x y ·16yx＝18，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋1y ＝1，x y ＝16y x ，即⎩⎨⎧x ＝12，y ＝3时，等号成立，故当x ＝12，y ＝3时，(x ＋2y )min ＝18.81811．本题给出的方法，用到了基本不等式，并且对式子进行了变形，配凑出满足基本不等式的条件，这是经常使用的方法，要学会观察、学会变形．2．常见的变形技巧有：(1)配凑系数；(2)变符号；(3)拆补项．常见形式有f (x )＝ax ＋bx型和f (x )＝ax (b －ax )型．2．已知a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝1，求1a ＋1b的最小值．[解] 法一：1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ·1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ·(a ＋2b ) ＝1＋2ba＋a b＋2＝3＋2ba＋a b≥3＋22ba·a b＝3＋22，当且仅当⎩⎨⎧2b a ＝a b ，a ＋2b ＝1，即⎩⎨⎧ a ＝2－1，b ＝1－22时等号成立．∴1a ＋1b的最小值为3＋2 2.法二：1a ＋1b ＝a ＋2b a ＋a ＋2b b＝1＋2b a ＋a b＋2＝3＋2ba＋ab≥3＋22，当且仅当⎩⎨⎧2b a ＝a b ，a ＋2b ＝1，即⎩⎨⎧a ＝2－1，b ＝1－22时，等号成立，∴1a ＋1b的最小值为3＋2 2. 利用基本不等式解决实际问题【例3】 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？[解] 设每间虎笼长x m ，宽y m ， 则由条件知，4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18. 设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy .法一：由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ，所以26xy ≤18，得xy ≤272，即S max ＝272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立． 由⎩⎨⎧2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎨⎧x ＝4.5，y ＝3.故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使每间虎笼面积最大． 法二：由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y .∵x >0，∴0<y <6，S ＝xy ＝y ⎝ ⎛⎭⎪⎫9－32y ＝32y (6－y )．∵0<y <6，∴6－y >0. ∴S ≤32⎣⎢⎡⎦⎥⎤(6－y )＋y 22＝272. 当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5. 故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使每间虎笼面积最大．1．在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法： (1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案．2．对于函数y ＝x ＋kx(k >0)，可以证明0＜x ≤k 及－k ≤x ＜0上均为减函数，在x ≥k 及x ≤－k 上都是增函数．求此函数的最值时，若所给的范围含±k 时，可用基本不等式，不包含±k 时，可用函数的单调性求解(后面第三章3.2函数的基本性质中学习)．3．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积[解] 设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为2 160×104 2 000x＝10 800x.∴每平方米的平均综合费用y＝560＋48x＋10 800x＝560＋48⎝⎛⎭⎪⎫x＋225x.当x＋225x取最小值时，y有最小值．∵x>0，∴x＋225x≥2x·225x＝30.当且仅当x＝225x，即x＝15时，上式等号成立．∴当x＝15时，y有最小值2 000元．因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少．1．利用基本不等式求最值，要注意使用的条件“一正二定三相等”，三个条件缺一不可，解题时，有时为了达到使用基本不等式的三个条件，需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个适合应用基本不等式的情境．2．不等式的应用题大都与函数相关联，在求最值时，基本不等式是经常使用的工具，但若对自变量有限制，一定要注意等号能否取到.【课堂达标】1．思考辨析(1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值．( )(2)若a>0，b>0且a＋b＝4，则ab≤4.()(3)当x>1时，函数y＝x＋1x－1≥2xx－1，所以函数y的最小值是2xx－1.( )[提示] (1)由a＋b≥2ab可知正确．(2)由ab≤⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22＝4可知正确．(3)xx－1不是常数，故错误．[答案] (1)√(2)√(3)×2．若实数a、b满足a＋b＝2，则ab的最大值为( ) A．1 B．2 2 C．2 D．4A[由基本不等式得，ab≤⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22＝1.]3．已知0<x<1，则x(3－3x)取最大值时x的值为( ) A.12B.34C.23D.25A[∵0<x<1，∴1－x>0，则x(3－3x)＝3[x(1－x)]≤3×⎝⎛⎭⎪⎫x＋1－x22＝34，当且仅当x＝1－x，即x＝12时取等号．]4．已知x>0，求y＝2xx2＋1的最大值．[解] y＝2xx2＋1＝2x＋1x.∵x>0，∴x＋1x≥2x·1x＝2，∴y≤22＝1，当且仅当x＝1x，即x＝1时等号成立．《基本不等式的应用》专题训练[合格基础练]一、选择题 1．若a ＞1，则a ＋1a －1的最小值是( ) A ．2 B ．a C.2aa －1D ．3D [a ＞1，∴a －1＞0，∴a ＋1a －1＝a －1＋1a －1＋1≥2(a －1)·1a －1＋1＝3.]2．已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4C [∵x <0，∴f (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－x )＋1(－x )－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时取等号．] 3．设x ＞0，则y ＝3－3x －1x的最大值是( )A ．3B ．－3 2C ．3－2 3D ．－1 C [∵x ＞0，∴y ＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x ≤3－23x ·1x ＝3－2 3.当且仅当3x ＝1x，且x ＞0，即x ＝33时，等号成立．]4．若x ＞0，y ＞0，且1x ＋4y＝1，则x ＋y 的最小值是( )A ．3B ．6C ．9D ．12C [x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝1＋y x ＋4x y ＋4＝5＋y x ＋4xy ≥5＋2y x ·4xy＝5＋4＝9.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋4y ＝1，y x ＝4x y ，即⎩⎨⎧x ＝3y ＝6时等号成立，故x ＋y 的最小值为9.]5．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )(1＋y )的最大值为( ) A ．16 B ．25 C ．9D ．36B [(1＋x )(1＋y )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋x )＋(1＋y )22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋(x ＋y )22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋822＝25， 因此当且仅当1＋x ＝1＋y ，即x ＝y ＝4时， (1＋x )·(1＋y )取最大值25，故选B.] 二、填空题 6．函数y ＝x ＋1x ＋1(x ≥0)的最小值为________． [答案] 17．如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm 2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm ，左右空白各宽1 dm ，则四周空白部分面积的最小值是________dm 2.56 [设阴影部分的高为x dm ，则宽为72xdm ，四周空白部分的面积是y dm 2.由题意，得y ＝(x ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫72x ＋2－72＝8＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋144x ≥8＋2×2x ·144x＝56(dm 2)．当且仅当x ＝144x，即x ＝12 dm 时等号成立．]8．若a ，b ∈R ＋，满足a ＋b ＋3＝ab ，则a ＋b 的取值范围是________．a ＋b ≥6 [∵a ＋b ＋3＝ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22， ∴(a ＋b )2－4(a ＋b )－12≥0，解之a ＋b ≥6，当且仅当a ＝b ＝3时取等号．] 三、解答题9．当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值．[解] y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32， ∵当x <32时，3－2x >0，∴3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2 ·83－2x ＝4，当且仅当3－2x 2＝83－2x，即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数有最大值－52. 10．为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了棚户区改造工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，则每提前一天可获2 000元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则每延期一天将被罚款5 000元．追加投入的费用按以下关系计算：6x ＋784x ＋3－118(千元)，其中x 表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用)[解] 设城建公司获得的附加效益为y 千元，由题意得y ＝2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋784x ＋3－118＝118－⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋784x ＋3 ＝118－[4(x ＋3)＋784x ＋3－12] ＝130－[4(x ＋3)＋784x ＋3] ≤130－24(x ＋3)·784x ＋3＝130－112＝18(千元)， 当且仅当4(x ＋3)＝784x ＋3，即x ＝11时取等号．所以提前11天，能使公司获得最大附加效益．[等级过关练]1．若－4<x <1，则y ＝x 2－2x ＋22x －2( )A ．有最小值1B ．有最大值1C ．有最小值－1D ．有最大值－1D [y ＝x 2－2x ＋22x －2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x －1)＋1x －1， 又∵－4<x <1，∴x －1<0.∴－(x －1)>0. 故y ＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤－(x －1)＋1－(x －1)≤－1. 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝0时等号成立．] 2．已知x >0，y >0，且2x ＋1y＝1，若x ＋2y >m 2恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≤－22或m ≥2 2B ．m ≤－4或m ≥2C ．－2＜m ＜4D ．－22＜m ＜2 2D [∵x >0，y >0且2x ＋1y＝1，∴x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y≥4＋24yx ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝xy， 即x ＝4，y ＝2时取等号，∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y >m 2恒成立， 只需(x ＋2y )min >m 2恒成立， 即8>m 2，解得－22<m <2 2.]3．若x >0，y >0，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________． 116[1＝x ＋4y ≥24xy ＝4xy ，∴xy ≤116，当且仅当x ＝4y ＝12时等号成立．] 4．若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________． 233 [x 2＋y 2＋xy ＝(x ＋y )2－xy ＝1，∴(x ＋y )2＝xy ＋1≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＋1.∴34(x ＋y )2≤1.∴x ＋y ≤233，当且仅当x ＝y ＝33时等号成立．] 5．在下面等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个正整数，并且使这两个正整数的和最小，1＝1□＋9□，试求这两个数． [解] 设1a ＋9b＝1，a ，b ∈N *，∴a ＋b ＝(a ＋b )·1＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b＝1＋9＋b a ＋9ab ≥10＋2b a ·9a b＝10＋2×3＝16， 当且仅当b a ＝9ab，即b ＝3a 时等号成立． 又1a ＋9b ＝1，∴1a ＋93a ＝1，∴a ＝4，b ＝12. 这两个数分别是4,12.。
数学基本不等式知识点(高中数学知识点复习资料归纳整理)
数学基本不等式知识点（高中数学知识点复习资料归纳整理）基本不等式【考纲要求】1. 了解基本不等式的证明过程，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2. 会用基本不等式解决最大（小）值问题.3. 会应用基本不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题【知识网络】【考点梳理】考点一：重要不等式及几何意义1．重要不等式：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）.2．基本不等式：如果是正数，那么（当且仅当时取等号“=”）.要点诠释：和两者的异同：（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；（2）取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”。
（3）可以变形为：，可以变形为：.3. 如图，是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b，过点C作交圆于点D，连接AD、BD易证，那么，即.这个圆的半径为，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a=b时，等号成立.要点诠释：1. 在数学中，我们称为a,b的算术平均数，称为a,b 的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2. 如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.考点二：基本不等式的证明1. 几何面积法如图，在正方形ABCD中有四个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为a、b，那么正方形的边长为。
这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形ABCD的面积为。
由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有。
得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）特别的，如果a>0，b>0，我们用、分别代替a、b，可得：如果a>0，b>0，则，（当且仅当a=b时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果a>0，b>0，，（当且仅当a=b时取等号“=”）2. 代数法∵，当时，；当时，.所以，（当且仅当时取等号“=”）.特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）.要点三、用基本不等式求最大（小）值在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。
2022年新高考数学总复习：基本不等式
2022年新高考数学总复习：基本不等式知识点一重要不等式a 2＋b 2≥__2ab __(a ，b ∈R )(当且仅当__a ＝b __时等号成立)．知识点二基本不等式ab ≤a ＋b2(均值定理)(1)基本不等式成立的条件：__a >0，b >0__；(2)等号成立的条件：当且仅当__a ＝b __时等号成立；(3)其中a ＋b2叫做正数a ，b 的__算术平均数__，ab 叫做正数a ，b 的__几何平均数__.知识点三利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P (定值)，那么当__x ＝y __时，x ＋y 有最小值2P .(简记：“积定和最小”)(2)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S (定值)，那么当x ＝y 时，xy 有最大值S 24.(简记：“和定积最大”)归纳拓展常用的几个重要不等式(1)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)．(当且仅当a ＝b 时取等号)(2)ab (a ，b ∈R )．(当且仅当a ＝b 时取等号)≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )．(当且仅当a ＝b 时取等号)(4)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)．(当且仅当a ＝b 时取等号)．(5)21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a ，b >0当且仅当a ＝b 时取等号)．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x 4.(×)(2)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．(×)(3)(a ＋b )2≥4ab (a ，b ∈R )．(√)(4)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值为2a .(×)(5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 有相同的成立条件．(×)(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．(√)题组二走进教材2．(必修5P 100练习T1改编)若x <0，则x ＋1x (D)A ．有最小值，且最小值为2B ．有最大值，且最大值为2C ．有最小值，且最小值为－2D ．有最大值，且最大值为－2[解析]因为x <0，所以－x >0，－x ＋1－x≥2，当且仅当x ＝－1时，等号成立，所以x＋1x≤－2.3．(必修5P 100练习T3改编)设0<a <b ，则下列不等式中正确的是(B )A ．a <b <ab <a ＋b2B ．a <ab <a ＋b2<bC ．a <ab <b <a ＋b 2D ．ab <a <a ＋b2<b[解析]解法一(特值法)：代入a ＝1，b ＝2，则有0<a ＝1<ab ＝2<a ＋b2＝1.5<b ＝2.解法二(直接法)：我们知道算术平均数a ＋b2与几何平均数ab 的大小关系，其余各式作差(作商)比较即可，答案为B ．4．(必修5P 100A 组T2改编)若把总长为20m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__25__m 2.[解析]设矩形的一边为x m ，面积为y m 2，则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，其中0<x <10，∴y ＝x (10－x )≤x ＋(10－x )22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.题组三走向高考5．(2020·江苏，12,5分)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是__45__.[解析]由5x 2y 2＋y 4＝1知y ≠0，∴x 2＝1－y 45y 2，∴x 2＋y 2＝1－y 45y 2y 2＝1＋4y 45y 2＝15y 2＋4y 25≥2425＝45，当且仅当15y 2＝4y 25，即y 2＝12，x 2＝310时取“＝”．故x 2＋y 2的最小值为45.6．(2019·天津，13)设x >0，y >0，x ＋2y ＝4，则(x ＋1)(2y ＋1)xy的最小值为__92__.[解析](x ＋1)(2y ＋1)xy ＝2xy ＋x ＋2y ＋1xy ＝2xy ＋5xy＝2＋5xy .∵x >0，y >0，∴4＝x ＋2y ≥2x ·2y ，解得0<xy ≤2，当且仅当x ＝2y ＝2，即x ＝2且y ＝1时“＝”成立．此时1xy ≥12，∴2＋5xy ≥2＋52＝92，故(x ＋1)(2y ＋1)xy的最小值为92.考点突破·互动探究考点一利用基本不等式求最值——多维探究角度1拼凑法求最值例1(1)(2020·天津，14,5分)已知a >0，b >0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为__4__.(2)(2021·吉林模拟)已知x >2，若f (x )＝x ＋1x －2在x ＝n 处取得最小值，则n ＝(B )A ．52B ．3C ．72D ．4(3)(2021·重庆南开中学质检)已知实数a ，b >1，且满足ab －a －b ＝5，则2a ＋3b 的最小值为__17__.[解析](1)12a ＋12b ＋8a ＋b ＝a ＋b 2ab ＋8a ＋b ＝a ＋b 2＋8a ＋b≥2a ＋b 2×8a ＋b＝4，当且仅当a ＋b 2＝8a ＋b ，即(a ＋b )2＝16，也即a ＋b ＝4时取等号．又∵ab ＝1＝2＋3，＝2－3或＝2－3，＝2＋3时取等号，∴12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为4.(2)由f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥4，当且仅当x －2＝1x －2>0，即x ＝3时，取得等号，故选B ．(3)由ab－a－b＝5⇒6＝(a－1)(b－1)⇒36＝(2a－2)(3b－3)则2a＋3b≥17，当且仅当a＝4，b＝3取最小值．[引申]f(x)＝x＋1x－2的值域为__(－∞，0]∪[4，＋∞)__.[解析]f(x)＝(x－2)＋1x－2＋2，∵|(x－2)＋1x－2|＝|x－2|＋1|x－2|≥2(当且仅当|x－2|＝1即x＝3或1时取等号)∴(x－2)＋1x－2≥2或x－2＋1x－2≤－2，∴f(x)≥4或f(x)≤0，即f(x)的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)．名师点拨拼凑法求最值的技巧(1)用均值定理求最值要注意三个条件：一正、二定、三相等．“一正”不满足时，需提负号或加以讨论，“二定”不满足时，需变形，“三相等”不满足时，可利用函数单调性．(2)求乘积的最值．同样要检验“一正、二定、三相等”，如例(2)的关键是变形，凑出积为常数．角度2换元法求最值例2(1)已知x>54，求函数y＝16x2－28x＋114x－5的最小值；(2)(2021·百校联盟尖子生联考)已知a，b∈R＋，且a＋2b＝ab－16，则ab的最小值为(B)A．16B．32C．64D．128[思路](1)通过换元转化为形如Ax＋Bx＋C形式的函数．[解析](1)设4x－5＝t，则x＝t＋54.∵x>54，∴t>0.∴y＝－28·t＋54＋11t＝t2＋3t＋1t＝t ＋1t＋3≥2＋3＝5.当且仅当t ＝1即x ＝32时，上式取“＝”号．∴x ＝32时，y min ＝5.(2)ab －16＝a ＋2b ≥22ab ，令ab ＝t ，则t 2－22t －16≥0⇒t ≥22＋722＝42，故ab ≥32，即ab 最小值为32.(当且仅当a ＝8，b ＝4时取等号)故选B ．[答案](1)5角度3常数代换法求最值例3(1)已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝4，则2x ＋1y最小值为__2__；(2)已知正数x ，y 满足8x ＋1y ＝1，则x ＋2y 的最小值为__18__.[思路](2)先利用乘常数法或消元法，再利用基本不等式求解最值．[解析](1)2x ＋1y ＝x ＋2y )×14＝＋x y ＋＋ 2.当且仅当x y ＝4yx ，即y 2＝x 2，＋2y ＝4＝2，＝1时取等号．(2)解法一：x ＋2y x ＋2y )＝10＋x y ＋16yx ≥10＋2x y ·16yx ＝18，当且仅当＋1y ＝1，＝16y x＝12，＝3时“＝”成立，故x ＋2y 的最小值是18.解法二(消元法)：由8x ＋1y ＝1，得y ＝x x －8，由y >0⇒x x －8>0，又x >0⇒x >8，则x ＋2y ＝x＋2x x －8＝x ＋2(x －8)＋16x －8＝x ＋2＋16x －8＝(x －8)＋16x －8＋10≥2(x －8)·16x －8＋10＝18，当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12(x ＝4舍去)，y ＝3时，“＝”成立，故x ＋2y 的最小值为18.名师点拨常数代换法的技巧(1)常数代换法就是利用常数的变形以及代数式与“1”的积、商都是自身的性质，通过代数式的变形构造和式或积式为定值，然后利用基本不等式求最值．(2)利用常数代换法求解最值应注意：①条件的灵活变形，常数化成1是代数式等价变形的基础；②利用基本不等式求最值时“一正、二定、三相等”的检验，否则容易出现错解．〔变式训练1〕(1)(角度1)(2021·宁夏银川一中月考)已知正数x 、y 满足x ＋y ＝1，则1x ＋41＋y 的最小值为(B)A ．2B ．92C ．143D ．5(2)(角度2)(2021·山东师大附中模拟)若正数x ，y 满足x ＋5y ＝3xy ，则5x ＋y 的最小值为__12__；(3)(角度3)(2020·天津七校期中联考)已知a >0，b >0，且1a ＋1＋1b ＝1，求a ＋b 的最小值__3__.[解析](1)∵x ＋y ＝1，所以x ＋(1＋y )＝2，则[x＋(1＋y ＝4x 1＋y ＋1＋y x ＋5≥24x 1＋y ·1＋y x＋5＝9，所以1x ＋41＋y ≥92，＝1＋yx 1＝23＝13时取等号∴1x ＋41＋y 的最小值为92，故选B ．(2)∵x >0，y >0，x ＋5y ＝3xy ，即5x ＋1y ＝3，∵5x ＋yx ＋y )＋5y x ＋＋12，(当且仅当x ＝y ＝2时取等号)∴5x ＋y 的最小值为12，另解：∵x >0，y >0，x ＋5y ＝3xy ，即x ＝5y3y －1，令3y －1＝t ，则y ＝t ＋13，(t >0)，∴5x ＋y ＝25y 3y －1＋y＋t ＋13＝263＋≥263＋2325t·t ＝12.(当且仅当t ＝5，即x ＝y ＝2时取等号)∴5x ＋y 的最小值为12.(3)∵a >0，b >0，且1a ＋1＋1b＝1，∴a ＋b ＝[(a ＋1)＋b ]－1a ＋1)＋b ]－1＝b a ＋1＋a ＋1b＋1≥2b a ＋1·a ＋1b＋1＝3，当且仅当a ＋1＝b ，即a ＝1，b ＝2时取等号，∴a ＋b 的最小值为3，另解：(换元法)由1a ＋1＋1b ＝1得b ＝1＋1a ，(a >0)，∴a ＋b ＝a ＋1a＋1≥2a ·1a＋1＝3，当且仅当a ＝1，b ＝2时取等号，∴a ＋b 的最小值为3.考点二利用基本不等式求参数的范围——师生共研例4若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则(1)ab 的取值范围是__[9，＋∞)__；(2)a ＋b 的取值范围是__[6，＋∞)__.[解析](1)∵ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，令t ＝ab >0，∴t 2－2t －3≥0，∴(t －3)(t ＋1)≥0.∴t ≥3即ab ≥3，∴ab ≥9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号．(2)∵ab ＝a ＋b ＋3，∴a ＋b ＋3.今t ＝a ＋b >0，∴t 2－4t －12≥0，∴(t －6)(t ＋2)≥0.∴t ≥6即a ＋b ≥6，当且仅当a ＝b ＝3时取等号．名师点拨利用方程的思想是解决此类问题的常规解法．另外，本例第二问也可用如下方法求解：由已知b＝a＋3a－1>0，∴a－1>0，∴a＋b＝a＋a＋3a－1＝a＋a－1＋4a－1＝a＋1＋4a－1＝(a－1)＋4a－1＋2≥6.当且仅当a＝b＝3时取等号．〔变式训练2〕(2020·黑龙江哈尔滨三中期中)已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是__4__. [解析]解法一：∵x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8.∴(2y＋1)(x＋1)＝9且x＋1>0,2y＋1>0∴x＋2y＝(2y＋1)＋(x＋1)－2≥2(2y＋1)·(x＋1)－2＝4.(当且仅当x＝2，y＝1时取等号)∴x＋2y的最小值为4.解法二：∵x>0，y>0，∴2xy＝(2y＋x)42(当且仅当x＝2，y＝1时取等号)又x＋2y＋2xy＝8，∴x＋2y＋(x＋2y)42≥8，∴(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0，∴x＋2y－4≥0，即x＋2y≥4(当且仅当x＝2，y＝1时取等号)∴x＋2y的最小值为4.解法三：∵x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，∴x＝8－2y1＋2y＝92y＋1－1，∴x＋2y＝92y＋1＋(2y＋1)－2≥292y＋1·(2y＋1)－2＝4(当且仅当y＝1时取等号)∴x＋2y的最小值为4.秒杀解法：x＋2y＋2xy＝8，即x＋2y＋x·2y＝8.由条件及结论关于x、2y的对称性知当x ＝2y＝2时x＋2y取最小值为4.考点三利用基本不等式解决实际问题——师生共研例5某人准备在一块占地面积为1800m2的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1m的小路(如图所示)，大棚总占地面积为S m2，其中a∶b＝1∶2，则S 的最大值为__1568__.[解析]由题意可得xy＝1800，b＝2a，x>3，y>3，则y＝a＋b＋3＝3a＋3，所以S＝(x－2)a＋(x－3)b＝(3x－8)a＝(3x－8)y－33＝1808－3x－83y＝1808－3x－83×1800x＝18083x＋4800x1808－23x×4800x＝1808－240＝1568，当且仅当3x＝4800x，即x＝40，y＝45时等号成立，S取得最大值，所以当x＝40，y＝45时，S取得最大值为1568.名师点拨应用基本不等式解决实际问题的步骤：①仔细阅读题目，深刻理解题意；②找出题目中的数量关系，并设出未知数，并用它表示其它的量，把要求最值的量设为函数；③利用基本不等式求出最值；④再还原成实际问题，作出解答．〔变式训练3〕某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800m3，深度为3m．如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为__160__m.[解析]设水池底面一边的长度为x m，则另一边的长度为48003xm，由题意可得水池总造价f(x)＝150×48003＋1202×3x＋2×3×48003x＝240000＋720x＋1600x(x>0)，则f(x)＝720x＋1600x240000≥720×2x ·1600x＋240000＝720×2×40＋240000＝297600，当且仅当x ＝1600x，即x ＝40时，f (x )有最小值297600，此时另一边的长度为48003x＝40(m)，因此，要使水池的总造价最低，水池底部的周长应为160m.名师讲坛·素养提升基本不等式的综合应用角度1基本不等式与其他知识交汇的最值问题例6设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是__92__.[解析]a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n (1＋n )2，所以S n ＋8a n＝n (1＋n )2＋8n ＝＋16n＋2n ·16n＋＝92，当且仅当n ＝4时取等号，所以S n ＋8a n 的最小值是92.角度2求参数值或取值范围例7已知不等式(x ＋y 9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为(B)A ．2B ．4C ．6D ．8[解析]已知不等式(x ＋y 9对任意正实数x ，y 恒成立，只要求(x ＋y 最小值大于或等于9，∵1＋a ＋y x ＋axy ≥a ＋2a ＋1，当且仅当y ＝ax 时，等号成立，∴a ＋2a ＋1≥9，第11页共11页∴a ≥2或a ≤－4(舍去)，∴a ≥4，即正实数a的最小值为4，故选B ．名师点拨求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．〔变式训练4〕(1)(角度1)已知函数f (x )＝ax 2＋bx (a >0，b >0)的图象在点(1，f (1))处的切线的斜率为2，则8a ＋b ab的最小值是(B )A ．10B ．9C ．8D ．32(2)设x >0，y >0，不等式1x ＋1y ＋m x ＋y≥0恒成立，则实数m 的最小值是__－4__.[解析](1)由函数f (x )＝ax 2＋bx ，得f ′(x )＝2ax ＋b ，由函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线斜率为2，所以f ′(1)＝2a ＋b ＝2，所以8a ＋b ab＝1a ＋8b ＝a＋b )＋b a ＋＋＝12(10＋8)＝9，当且仅当b a ＝16a b ，即a ＝13，b ＝43时等号成立，所以8a ＋b ab 的最小值为9，故选B ．(2)原问题等价于m x ＋y≥∵x >0，y >0，∴等价于m ≥x ＋y )的最大值．x ＋y )＝－2－2－2＝－4，当且仅当x ＝y 时取“＝”，故m ≥－4.。
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基本不等式专题复习一、基础梳理 1．基本不等式：a+b 2≥√ab(a ，b >0)2.变式：⑴a +b ≥2√ab⑵ ab ≤(a+b 2)23.使用条件：一正二定三相等 二、典型例题例1.若x>0，则x ＋2x的最小值是________．解析：由基本不等式可得x ＋2x ≥2x ·2x＝22，当且仅当x ＝2x即x ＝2时取等号，故最小值是2 2.变式训练：(1) 当x>1时，函数y ＝x ＋1x －1的最小值是________．(2)已知f(x)＝x ＋1x －2(x<0)，则f(x)的最大值为________．解析 (1) y ＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2x －1·1x －1＋1＝3当且仅当1x-1=x-1，即x=2时取等号，故最小值是3. （2）∵x<0，∴－x>0，∴x ＋1x －2＝－(－x ＋1－x )－2≤－2(－x )·1－x－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时，等号成立．所以f(x)的最大值为4． 例2.已知x >0，y >0，2x +3y =60，求xy 的最大值． 解： ∵x >0，y >0，2x +3y =60，∴xy =16∙2x ∙3y ≤16(2x+3y 2)2=150，当{2x =3y 2x +3y =60，即x =15，y =10时，xy 取最大值150． 变式训练：（1）求y =3x(4−5x)(0<x <45)的最大值．（2）设0<x<2，求函数y ＝x 4－2x 的最大值（3）若a ，b 均为大于1的正数，且ab ＝100，则lg a·lg b 的最大值是________． 解：（1）∵0<x <45，∴y =15x (45−x )≤15(x+45−x 2)2=125，或y =35∙5x ∙(4−5x )≤35(5x+4−5x 2)2=125当x =45−x ，即x =25时，y max =125．（2）∵0<x<2，∴2－x>0，∴y＝x4－2x ＝2·x2－x≤2·x ＋2－x2＝2， 当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号，∴当x ＝1时，函数y ＝x 4－2x 的最大值为 2. （3）∵a>1，b>1，∴lg a>0，lg b>0.lg a·lg b≤lg a ＋lg b 24＝lg ab24＝1.当且仅当a ＝b ＝10时取等号．例3．已知x >0，y >0，1x+9y =1，求⑴xy 的最小值；⑵x +y 的最小值．解：⑴∵x >0，y >0， ∴1x +9y =1≥2√9xy ，∴xy ≥36，当x =2，y =18时，(xy )min =36． ⑵∵x >0，y >0，1x+9y =1，∴x +y =(x +y )∙1=(x +y )(1x+9y)=10+9x y+yx≥10+2√9=16，当{9x y=yx1x+9y=1，即x =4，y =12时，(x +y )min =16．变式训练：（1）已知x>0，y>0且x ＋y ＝1，则8x ＋2y 的最小值为________．（2）若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________． 解（1） ∵x>0，y>0，且x ＋y ＝1，∴8x ＋2y ＝(8x ＋2y )(x ＋y)＝10＋8y x ＋2x y ≥10＋28y x ·2x y＝18. 当且仅当8y x ＝2xy ，即x ＝2y 时等号成立，∴当x ＝23，y ＝13时，8x ＋2y 有最小值18.（2）由x ＋3y ＝5xy ，可得15y ＋35x＝1， 所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y)⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋23x 5y ·12y 5x ＝135＋125＝5， 当且仅当x ＝1，y ＝12时取等号，故3x ＋4y 的最小值是5.答案：5跟踪训练1.．当x>0时，函数f(x)＝2xx 2＋1有( ) A ．最小值1 B ．最大值1 C ．最小值2 D ．最大值2 解：f(x)＝2x ＋1x ≤22 x ·1x＝1. 当且仅当x ＝1x ，x>0即x ＝1时取等号．所以f(x)有最大值1. 答案：B2.．已知两个正数x ，y 满足x ＋4y ＋5＝xy ，则xy 取最小值时x ，y 的值分别为( )A ．5,5B ．10,5C ．10，52 D ．10,10解：xy ＝x ＋4y ＋5≥4xy ＋5，当且仅当x ＝4y 时，取等号． 令xy ＝t ，则上式为t 2－4t －5≥0(t＞0)，整理得(t －2)2≥9，解得t≥5(t≤－1舍去)，当t ＝5时，取等号，即t ＝5为最小值，xy 最小值为t 2＝25.当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ，x ＋4y ＋5＝25时，xy 取最小值，即x ＝10，y ＝52.答案：C3．若0＜x ＜1，则当f(x)＝x(4－3x)取得最大值时，x 的值为________．答案 23解： ∵0＜x ＜1，∴f(x)＝x(4－3x)＝13·3x(4－3x)≤13×⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4－3x 22＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取得“＝”．4．已知a>0，b>0，ln(a ＋b)＝0，则ab 的最大值为________．答案 14解： ∵ln(a ＋b)＝0，∴a ＋b ＝1，又a>0，b>0，∴a ＋b≥2ab ，∴ab≤14.5．函数y ＝x 2＋2x ＋2x ＋1(x>－1)的图象最低点的坐标为________．答案 (0,2)解： y ＝x ＋12＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1≥2，当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时，y 最小值为2．6．若x ＞54，则f(x)＝4x ＋14x －5的最小值为________．答案 7解： f(x)＝4x ＋14x －5＝4x －5＋14x －5＋5.∵x ＞54，∴4x －5＞0，∴4x －5＋14x －5≥2.故f(x)≥2＋5＝7，等号成立的条件是x ＝32.7．已知a ，b 为正实数且ab ＝1，若不等式(x ＋y)(a x ＋by)>m 对任意正实数x ，y 恒成立，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－∞，4)解： 因为(x ＋y)(a x ＋b y )＝a ＋b ＋ay x ＋bxy ≥a＋b ＋2≥2ab ＋2＝4，当且仅当a ＝b ，ay x ＝bxy时等号成立，即a ＝b ，x ＝y 时等号成立，故只要m<4即可.8．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为________．答案 2 2解： 由条件1a ＋2b ＝ab 知a ，b 均为正数．因而可利用基本不等式求解．由1a ＋2b ＝ab 知a>0，b>0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab，即ab≥22， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2.9．若向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y)相互垂直，则9x ＋3y的最小值为________． 答案 6解： 依题意得4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2,9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ×3y ＝232x ＋y ＝232＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，因此9x ＋3y的最小值是6.10．已知函数f(x)＝4x ＋ax(x>0，a>0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.答案 36解：因为x>0，a>0，所以f(x)＝4x ＋ax≥24a ＝4a ，当且仅当4x ＝a x，即a ＝4x 2时取等号．由题意可得a ＝4×32＝36.11．若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________． 答案 2 2解： x 2＋2y 2≥2x 2·2y 2＝22·xy＝22，当且仅当x 2＝2y 2时等号成立．12．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b的最小值为________．解： ∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，∴1a +1b =(1a +1b )∙1=(a +b )(1a +1b )=2+ab +ba ≥2+2√b a ab =4，即1a ＋1b 的最小值为4，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立． 13.已知x>0，y>0，且3x ＋4y ＝12，则xy 的最大值为______． 解： ∵12＝3x ＋4y≥23x·4y，∴xy≤3.14.若直线x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为________．解：∵直线x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,2)，∴1a ＋2b ＝1，∴2a ＋b ＝(2a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝4＋4a b ＋b a ≥4＋24a b ·ba＝8， 当且仅当b a ＝4ab，即a ＝2，b ＝4时，等号成立．故2a ＋b 的最小值为8.。