常用连续分布

t2
(t )e 2 dt
2

Байду номын сангаас2
2
e

2 dt
2
2
而方差为
D( X ) ( x )2 f ( x)dx
2


(x

) e dx 2

(
x 2 2
)2
2
令
x



t,
2
D( X )
1 均匀分布
设 X 在区间（a , b) 上服从均匀分布，其概率密度为
f
( x)

b
1
, a
0,
a xb 其他
X的数学期望为
E
(
X
)

b
a
x

b
1
a
dx

a
2
b
即数学期望位于区间的中点。方差为:
D ( X ) E ( X 2 ) E ( X )2
b x2 1 dx (a b)2 (b a)2
解：从 2.4= np, 1.44 = np(1p) 中解得 n=6, p=0.4.
例2.5.8 设 X 表示 10 次独立重复射击命中目标 的次 数,每 次射中目标的概率为0.4, 则 E(X2)的值为多少？
解：因为 E(X) = np = 4, Var(X)= 2.4, 所以
E(X2) = Var(X)+(E(X))2= 2.4+16=18.4

1 3
0

=20/27
2.5.3 指数分布

x
e,
x0
p(x)
0, x0
1

e
x
,
x0
F(x)
0, x0
记为 X ~ Exp(), 其中 >0.
特别：指数分布具有无忆性（“永远年青”），即： P( X > s+t | X > s )=P( X > t )
例2.5.2
设 X ~ N(0, 1), P(X b) = 0.9515, P(X a) = 0.04947, 求 a, b.
解: (b) = 0.9515 >1/2, 所以 b > 0, 反查表得: (1.66) = 0.9515, 故 b = 1.66
而 (a) = 0.0495 < 1/2, 所以 a < 0, (a) = 0.9505, 反查表得:
设 X 服从参数为 , 的正态分布，其概率密度为
f (x)
1
e
(
x 2 2
)2
, (
0;
x )
2
X的数学期望为


E ( X ) xf ( x)dx x
1
e dx
(
x 2 2
)2

2
令
x



t,
E(X) 1
0

E( X 2 ) x 2 ex dx x 2d (ex )
0
0
x 2ex 2 xex dx 2
0
0
2
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 2 1 1
2 2 2
3 正态分布
常用连续分布的方差
➢ 正态分布 N(, 2) 的方差= 2 ➢ 均匀分布 U(a, b) 的方差 = (b a)2/12 ➢ 指数分布 Exp() 的方差= 1/2 ➢ 伽玛分布 Ga(, )方差 = /2 ➢ 贝塔分布 Be(a, b) = ab/(a+b)2(a+b+1)
例2.5.7 已知随机变量 X 服从二项分布，且 E(X)= 2.4, Var(X)=1.44, 则参数 n, p 的值为多少？
O
μ
x
正态分布分布函数图形演示
正态分布的性质
p(x)
(1) p(x) 关于 是对称的.
在 点 p(x) 取得最大值.
(2) 若 固定, 改变,
p(x)左右移动,
0μ
x
形状保持不变.
(3) 若 固定, 改变, 越大曲线越平坦; 越小曲线越陡峭.
正态分布的应用与背景
正态分布又称为高斯分布,是最常见最重要的一种分布. 一个变量是由大量微小的\独立的随机因素共同作用的结果,那 么这个变量一定是正态变量.例如测量误差; 人的生理特征尺 寸如身高、体重等 ;正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、 重量高度等都近似服从正态分布.
§2.5 常用连续分布
正态分布、均匀分布、指数分布、 伽玛分布、贝塔分布。
2.5.1 正态分布
p(x)
1
2

exp

(x)2 2 2
,
x
记为X ~ N(, 2), 其中 >0， 是任意实数. ➢ 是位置参数. ➢ 是尺度参数.
y
正态分布密度函数图形演示
a ba
2
12
2 指数分布: Exp()
解：依题意, X的概率密度为
于是有
ex , x 0
f (x) 0, x 0
E(X )

xf (x)dx
xex dx

0
xex ex dx 00
1 ex dx 1
指数分布密度 函数图形演示
指数分布分布 函数图形演示
应用与背景 某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如
无线电元件的寿命 , 电力设备的寿命, 动物的寿 命等都服从指数分布.
例2.5.6 某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为T
，设[0，t]时段内过桥的汽车数Xt服从参数为t
的泊松分布，求T的概率密度。
记为 X ~ Ga(, ), 其中 >0， > 0.
称 () 0 x1exdx 为伽玛函数.
注意点
(1) (1) = 1, (1/2) =
(n+1) = n!
(2) Ga(1, ) = Exp() Ga(n/2, 1/2) = 2(n)
2.5.5 贝塔分布
例2.5.3
设 X ~ N(10, 4), 求 P(10<X<13), P(|X10|<2).
解: P(10<X<13) = (1.5)(0) = 0.9332 0.5 = 0.4332
P(|X10|<2) = P(8<X<12)
= 2(1)1 = 0.6826
例2.5.4
设 X ~ N(, 2), P(X 5) = 0.045, P(X 3) = 0.618, 求 及 .
解： 记 A = { X > 3 }, 则 P(A) = P( X> 3) = 2/3
设 Y 表示三次独立观测中 A 出现的次数,
则 Y~ b(3, 2/3)，所求概率为
P(Y≥2) = P(Y=2)+P(Y=3)

C32

2 3
2


1 3


C33

2 3
3

p(x) 1 xa1(1 x)b1, 0 x 1 B(a,b)
记为 X ~ Be(a, b), 其中a >0，b >0.
称 B(a, b) 01 xa1(1 x)b1dx 为贝塔函数.
注意点
(1) B(a, b) =B(b, a) (2) B(a, b) =(a)(b) /(a+b) (3) Be(1, 1) = U(0, 1)
标准正态分布N(0, 1)
p(x)
密度函数记为 (x),
分布函数记为 (x).
(x)
(1) (0) 1 , 2
(2) ( x) 1 (x)
1 (x)
x 0 x
x
(x) 的计算
(1) x 0 时, 查标准正态分布函数表.
(2) x < 0时, 用(x) 1 ( x).
课堂练习
设 E(X)=μ，Var(X)=σ2，则对任意常
数 C， 必有（ ④ ）.
(1) E[( X C)2] E( X 2 ) C2
(2) E[( X C)2] E[( X )2] (3) E[( X C)2] E[( X )2] (4) E[( X C)2] E[( X )2]
(1.65) = 0.9505, 故 a = 1.65
一般正态分布的标准化
定理2.5.1
设
X
~
N(,

2),
Y

X
,

则 Y ~ N(0, 1).
推论:
若 X ~ N(, 2),
则
F
(
x)



x
若 X ~ N(, 2), 则
P(X<a) =
， P(X>a) =
解 F(t) P(T t)
当t≤0时，F(t)=0；
当t>0时，F(t)=P(T≤t)=1-P(T>t)
=1-P(在t时刻之前无汽车过桥) =1-P(Xt=0)=1-e-λt
于是
f
(t
)

F
(t
)

et

t0
0 t0
2.5.4 伽玛分布
p(x) x1ex, x 0 ( )
② 单调减少 ④ 增减不定
正态分布的 3 原则
设 X ~ N(, 2), 则 P( | X | < ) = 0.6828. P( | X | < 2 ) = 0.9545. P( | X | < 3 ) = 0.9973.
在工程应用中，通常认为P{|X|≤3}≈1，忽略{|X|>3}的值。 如在质量控制中，常用标准指标值±3作两条线，当生产过程 的指标观察值落在两线之外时发出警报，表明生产出现异常。

t
2e

t2 2
dt
2

2 2
t2
[(te 2
)


t2
e 2 dt]

0 2 2 2 2
常用连续分布的数学期望
➢ 正态分布 N(, 2) : E(X) = ➢ 均匀分布 U(a, b) : E(X) = (a+b)/2 ➢ 指数分布 Exp() : E(X) = 1/ ➢ 伽玛分布 Ga(, ) : E(X) = / ➢ 贝塔分布 Be(a, b) : E(X) = a/(a+b)
① 对任意的 ，都有 p1 = p2 ② 对任意的 ，都有 p1 < p2 ③ 只个别的 ，才有 p1 = p2 ④ 对任意的 ，都有 p1 > p2
课堂练习(3)
设 X ~ N( , 2), 则随 的增大，
概率 P{| X | < } ( ③ )
① 单调增大 ③ 保持不变
解:

5
1.69

3
0.3
= 1.76 =4
课堂练习(1)
已知 X ~ N(3, 22), 且
P{X>k} = P{X≤k}, 则 k = ( 3 ).
课堂练习(2)
设 X ~ N(, 42), Y ~ N(, 52), 记
p1 = P{X≤ 4}，p2 = P{Y≥ +5}, 则( ①)
例2.5.1 设 X ~ N(0, 1), 求 P(X>1.96) , P(|X|<1.96)
解: P(X>1.96) = 1 (1.96) = 1(1 (1.96)) = (1.96) = 0.975 (查表得)
P(|X|<1.96) = 2 (1.96)1 = 2 0.9751 = 0.95
若 X ~ N(0, 1), 则 (1) P(X a) = (a); (2) P(X>a) =1(a); (3) P(a<X<b) = (b)(a); (4) 若a 0, 则 P(|X|<a) = P(a<X<a) = (a)(a) = (a) [1 (a)] = 2(a)1
2.5.2 均匀分布
记为X ~ U(a, b)
f x的图形
在(a, b)上服从均匀分布的随机变量X落在(a, b)中任 一等长度的子区间内的可能性是相同的, 或者说X 落在(a, b)子区间的概率只依赖于子区间的长度, 而 与子区间的位置无关。
例2.5.5
X ~ U(2, 5). 现在对 X 进行三次独立 观测，试求至少有两次观测值大于 3 的概率.