23平行线的特征
平行线的特征
动手做一做 实验:在准备好的横格本上任选两条平行线 、 实验 在准备好的横格本上任选两条平行线a、 在准备好的横格本上任选两条平行线 b 与平行线a、 相交 相交． （1）任意画一条直线 与平行线 、b相交． ）任意画一条直线c与平行线 （2）任选一对同位角，用量角器度量，看 ）任选一对同位角，用量角器度量， 看这一对同位角有什么关系？ 看这一对同位角有什么关系？
问题讨论
请大家想一想：两条平行线被第三条直线所截，内错角、 请大家想一想：两条平行线被第三条直线所截，内错角、 同旁内角有什么关系呢 ？ 如图，已知直线a//b，思考 如图，已知直线 ， c ∠1与∠2、 ∠2与∠3之间有什么关 与 、 与 之间有什么关 为什么？ 系？为什么？ 4 a 1 已知) （1） ∵ a//b (已知 ） 已知 3 2 ∴∠2=∠ （ 两直线平行， ∴∠ ∠4（ 两直线平行，同位角相等 ） b 又∵∠1=∠4 （ 对顶角相等 ） ∵∠ ∠ ∴∠1=∠ ∴∠ ∠2
同旁内角互补 ）
平行线的三个特征： 平行线的三个特征 ：
同位角相等 内错角相等 同旁内角互补
两直线平行
两直线平行的三个条件： 两直线平行的三个条件： 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 两直线平行
例1：小青不小心把家里的梯形玻璃块打碎了，还剩下梯 ：小青不小心把家里的梯形玻璃块打碎了， 形上底的一部分（如图）．要订造一块新的玻璃， ）．要订造一块新的玻璃 形上底的一部分（如图）．要订造一块新的玻璃，已经 你想一想， 量得 ∠A=1150，∠D=1000． 你想一想，梯形另外两个 角 各是多少度？ 已知梯形的两底AD//BC) 各是多少度？(已知梯形的两底 ) 已知） 解:∵ AD//BC （已知）. ∵ A＋ B＝ C＋ D＝ ∴ ∠A＋∠B＝1800；∠C＋∠D＝1800 两直线平行，同旁内角互补） （两直线平行，同旁内角互补）. 已知) 又∵ ∠A=1150；∠D=1000. (已知 已知 ∴ ∠C＝1800－∠D＝1800－1000＝800. ＝ ＝ ？ B ？ C ∠B＝1800－∠A＝1800－1150＝650. ＝ ＝ A
数学初中平行线与角知识点整理
数学初中平行线与角知识点整理平行线与角是初中数学中重要的几何概念，它们在解题过程中起着关键的作用。
了解和掌握平行线与角的知识点，对于解决与图形相关的问题非常重要。
下面将对平行线与角的定义、性质、判定方法以及相关题型进行整理和总结，以便学生们更好地掌握和运用这些知识。
一、平行线的定义与性质1. 定义：平行线是在同一个平面内，永远不相交的两条直线。
用符号"||"表示。
2. 性质：(1) 平行线的特征之一是它们具有相同的斜率。
这意味着它们的斜率互为相等或相反数。
(2) 平行线之间的距离是恒定不变的。
对于两条平行线，可以通过垂直距离公式(如线段AB的长度)计算它们之间的距离：d = (|b - aX + bY - c|) / √(a^2 + b^2)二、平行线的判定方法1. 同位角判定法：如果两条直线被一组平行线所切割或被一组平行线所截取的同位角相等，则这两条直线是平行线。
2. 内错角判定法：如果两条直线被一组平行线所截取，且互为内错角，则这两条直线是平行线。
3. 外错角判定法：如果两条直线被一组平行线所截取，且互为外错角，则这两条直线是平行线。
三、平行线与角的性质和定理1. 同位角性质：同位角是指两条平行线被一组平行线所切割时，分别在两条平行线的同一条边的对应位置上所形成的一组对应角。
同位角具有以下性质：(1) 同位角相等；(2) 对应角相等。
2. 内错角和外错角性质：内错角是指两条平行线被一组平行线所截取时，位于两条平行线之间的一组对应角；外错角是位于两条平行线之外的一组对应角。
内错角和外错角具有以下性质：(1) 内错角互补；(2) 外错角互补；(3) 内错角与外错角共线。
3. 平行线间角关系定理：(1) 同位角、内错角、外错角的对应角相等；(2) 备注角相等。
四、常见题型举例1. 判断题型：(1) 判断下列各组角是否为同位角：∠1 = 70°, ∠2 = 110°, ∠3 = 70°, ∠4 = 110°(2) 判断下列各组角是否互为内错角或外错角：∠1 = 70°, ∠2 = 110°, ∠3 = 70°, ∠4 = 110°2. 计算题型：(1) 已知平行线AB和CD之间的距离为6 cm，若两条平行线的斜率分别为1和-1/3，求平行线CD上一点E到直线AB 的距离。
2023年浙教版七下数学第一章平行线章节复习(教师版)
2023年浙教版七下数学第一章平行线章节复习（教师版）一、知识梳理知识点1：平行线的定义1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a ∥b．注意：(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．知识点2：同位角、内错角和同旁内角两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图6所示。
（1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线l的同一侧，直线a、b的同一方，这样位置的一对角就是同位角。
图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。
（2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线l的两旁，直线a、b的两方，这样位置的一对角就是内错角。
图中的内错角还有∠4与∠6。
（3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线l的同一侧，直线a、b的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。
图中的同旁内角还有∠3与∠6。
知识点3：平行公理及推论1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．记作：如果a∥b，a∥c，那么a∥c注意：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．（2）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性知识点4：平行线判定判定方法（1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简单说成：同位角相等，两直线平行。
几何语言：∵∠1＝∠2∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）判定方法（2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行。
平行线的三个性质
平行线的三个性质
在数学中，关于平行线，学界有三条重要性质：同心性、平行性和不相交性。
本文将介绍这三种性质的特征以及它们在几何图形中的应用。
首先，同心性，即平行线具有同心的特点。
它的定义是，当两条平行线分别从同一点开始时，它们的外边角将具有相同的尺寸。
在图形中，大多数情况下，同心的平行线可以看作是以一个中心点为中心的多边形的边缘。
其次，平行性，它的定义是，当两条平行线在同一平面内时，它们不会相交，也不会平分一个角。
在图形中，大多数情况下，两条平行线可以看作是两个平行的多边形边缘，这种情况可以用来构建三角形、矩形等多边形图形。
最后，不相交性，也就是两条平行线在同一平面内，它们不会相交。
在图形中，大多数情况下，两条平行线可以看作是两个独立的线段，它们不会相交，而是以无限的方式向同一方向延伸。
此外，这种特性也可以用于构建正多边形和复杂的图形，从而让图形看起来更加精致。
以上，是就三种关于平行线的性质同心性、平行性和不相交性，以及它们在几何图形中的应用做出的简要介绍。
三种性质在几何研究中都扮演着重要的角色，不仅可以有助于我们对几何图形的理解，而且还可以用来解决许多问题。
因此，这三种性质都值得我们进行学习和深入研究。
平行线的特征
《平行线的性质》教学设计教材：北京师范大学出版社，义务教育课程标准实验教科书数学七年级下册第二章《相交线与平行线》之§2．3平行线的特征。
授课教师：东城一中周宁学情分析：学生的知识技能基础：学生在小学已经学习过平行线，对其特征有一定的了解。
在本章前面几节课中，又学习了平行线的判定方法，并利用其解决了一些问题；对同位角、内错角、同旁内角的概念及应用有了一定的了解，这些知识储备为学生本节课的学习奠定了良好的知识技能基础。
学生活动经验基础：在前面知识的学习过程中，学生已经经历了一些探索、发现的数学活动，积累了初步的数学活动经验。
具备了一定的图形的认识能力和借助图形分析和解决问题的能力；并初步学习了在直观认识的基础上进行合情说理，将直观与简单说理想结合的方法；初步感受到推理说明的必要性和作用；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
教学目标：本课内容从属于“空间与图形”这一数学学习领域，因而必须服务于几何知识教学的远期目标：“让学生经历观察、操作、推理、想象等探索过程，发展学生的空间观念及推理能力”，同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。
为此，本节课的教学目标是：（1）知识与技能：探索平行线的特征，并掌握它们的图形语言、文字语言、符号语言；会用平行线的特征进行简单的计算、证明。
进一步发展空间观念，推理能力和有条理表达的能力。
（2）过程与方法：在平行线的特征的学习中，锻炼观察能力，实际操作能力，尝试与他人合作开展讨论、研究，并表达自己的见解。
（3）情感态度、价值观：通过学生学习动手操作、观察、合作、交流，进一步感受学习数学的意义，培养其主动探索、合作以及解决问题的能力。
教学重点：平行线的三个特征及综合运用。
教学难点：平行线的特征与判定的区别，及怎样综合运用它们解题。
课时安排：一课时教学方法：直观教学法、发现教学法、主体互动法。
平行线的特征
平行线的特征教学目的：1、通过学习认识到两直线平行，同位角相等；并以两直线平行，同位角相等进一步引出其他的有关的特征；2、能够结合平行线，对图形进行简单的平移；3、通过学习使学生能对平行线的三个主要特征有较深的认识。
教学分析：重点：灵活地利用平行线的三个特征解决问题；难点：如何对图形进行平移与旋转。
教学设想：教学中以渗透逻辑推理为主要学习方法。
教学过程：一、知识导向：在本节中，教材通过测量两条平行线被第三条直线所截得的同位角，得出两直线平行，同位角相等，然后通过说理，使学生了解两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。
在教学中应淡化平行线的三个特征的逻辑关系，使学生能灵活地利用平行线的三个特征解决问题。
在教学中应加强对学生进行初步的数学语言的训练，使学生能用数学语言叙述直线的平行关系，注意渗透逻辑推理的思想。
另外，在教学中应注意渗透平移的思想。
二、新课拆析：1、知识思索：从上节课中所学习的“平行线的识别”，我们已经知道，如何根据角与角之间的等量关系来说明两条直线是否平行，知道了：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。
也就是说，我们利用角的等量关系来得到直线的位置关系（平行）。
反之，我们能否两直线平行的位置关系来等到一些特殊角的特殊的等量关系？2、知识形成： 如果我们让直线EF 分别与一对平行线AB 、CD 相交，交点分别是P 、Q ，并由此得到一对同位角：1∠、2∠。
这时，借助量角器，我们将很容易得知：21∠=∠即：由CD ∥AB 得21∠=∠也就是说：两直线平行，同位角相等。
A B C D E F Q P 12概括：（1）两直线平行，同位角相等；（两条平行线被第三条直线所截，同位角相等）；运用相同的方法，我们也将能得到：概括：（2）两直线平行，内错角相等；（两条平行线被第三条直线所截，内错角相等）；（3）两直线平行，同旁内角互补；（两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补）；应用：如下图示，a ∥b ，则（1） ∵ a ∥b （已知）∴ 21∠=∠ （两直线平行，同位角相等）（2） ∵ a ∥b （已知）∴ 32∠=∠ （两直线平行，内错角相等）（3） ∵ a ∥b （已知） ∴ ︒=∠+∠18042（两直线平行，同旁内角互补）3、例题讲解： 例：1、如上图，已知直线a ∥b ，︒=∠501，求2∠的度数。
平行线的判定及性质
授课主题平行线教学目的1。
理解平行线的概念,掌握平行公理及其推论;2．掌握平行线的判定方法及性质,并能进行简单的推理3．掌握命题的定义,知道一个命题是由“题设＂和“结论”两部分组成，对于给定的命题,能找出它的题设和结论;教学重点平行线的判定及性质教学内容【知识梳理】要点一、平行线１．定义：在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,如果直线ａ与b平行,记作a∥b．要点诠释:（１）平行线的定义有三个特征:一是在同一个平面内;二是两条直线;三是不相交,三者缺一不可;(2)有时说两条射线平行或线段平行,实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行.(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种.特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系.２．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．3.推论:如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．要点诠释：（1)平行公理特别强调“经过直线外一点"，而非直线上的点,要区别于垂线的第一性质．(2）公理中“有”说明存在;“只有”说明唯一.(3)“平行公理的推论"也叫平行线的传递性.要点二、直线平行的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行。
如上图,几何语言：∵∠3=∠2∴ＡＢ∥CD(同位角相等,两直线平行）判定方法２:内错角相等,两直线平行。
如上图，几何语言:∵∠１＝∠2∴AＢ∥ＣＤ(内错角相等,两直线平行）判定方法3:同旁内角互补,两直线平行．如上图,几何语言:∵∠4＋∠2=１80°∴ＡB∥ＣD(同旁内角互补,两直线平行）要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补,得出平行,即由数推形。
要点三、平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等;性质2:两直线平行,内错角相等;性质3:两直线平行，同旁内角互补。
要点诠释:(1)“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补"都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行".(２)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定;从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．要点四、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线,并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．要点诠释：（１)求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点,向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离.（2) 两条平行线的位置确定后,它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．要点五、命题、定理、证明1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．要点诠释：（1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成,题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
探索平行与垂直认识平行线与垂直线的特征
探索平行与垂直认识平行线与垂直线的特征平行线与垂直线是几何学中重要的概念，它们在空间划分和图形性质研究中起着关键作用。
本文将探索平行线与垂直线的特征，并通过几何图形的实际例子加以说明。
一、平行线的特征平行线是指在同一平面内，永远不会相交的直线。
下面我们来探索平行线的特征。
1. 平行线定义平行线的定义是：在同一平面内，两条直线如果不存在任何交点，那么它们就是平行线。
这意味着平行线的方向始终保持一致，永远不会相交。
2. 平行线的符号表示平行线常常使用双竖杠“||”表示，例如AB || CD表示直线AB与直线CD平行。
3. 平行线的特点（1）对于同一平面内的两条平行线，它们的斜率是相等的。
换句话说，如果两条直线的斜率相等，那么它们就是平行线。
（2）两条平行线之间的距离是始终相等的。
无论这两条平行线在坐标系的哪个位置上，它们的距离都是相等的。
（3）平行线具有传递性。
即如果线段AB与线段CD平行，线段CD与线段EF平行，那么线段AB与线段EF也平行。
二、垂直线的特征垂直线是指在同一平面内，成直角交叉的两条直线。
接下来我们将探索垂直线的特征。
1. 垂直线定义两条直线相互垂直是指它们的交角是直角。
换句话说，在同一平面内，如果两条直线的交角为90度，则称这两条直线相互垂直。
2. 垂直线的符号表示垂直线常常使用垂直符号“⊥”表示，例如AB ⊥ CD表示直线AB 与直线CD垂直。
3. 垂直线的特点（1）垂直线与平行线的交角都是直角。
因此，任何一条垂直线与平行线的交角都是90度。
（2）对于同一平面内的两条垂直线，它们的斜率的乘积等于-1。
也就是说，如果直线AB的斜率为k，则与直线AB垂直的直线CD的斜率为-1/k。
（3）垂直线具有传递性。
即如果线段AB与线段CD垂直，线段CD与线段EF垂直，那么线段AB与线段EF也垂直。
三、平行线与垂直线的关系平行线与垂直线是几何学中两种重要的直线关系。
它们之间存在一定的关系，下面我们来探讨一下。
小学四年级数学相交与垂直教学教案二：平行线的特征及应用
小学四年级数学相交与垂直教学教案二：平行线的特征及应用一、教学目标1.理解平行线的定义和特征。
2.掌握平行线的判定方法及应用。
3.了解平行线在生活中的应用。
二、教学重点1.平行线的定义和特征。
2.平行线的判定方法及应用。
三、教学难点平行线的判定方法及应用。
四、教学内容一、引入新课老师先讲述一个有趣的故事：学渣小明和学霸小李相互比拼成绩，小明的数学成绩越来越好了，因为他越来越喜欢数学了。
小明问小李：“你会画平行线吗？”小李说：“当然，你不会吧？”小明就摆出一张疑问的脸，让小李解释一下。
二、知识讲解平行线的定义和特征：1.定义：在一个平面上，如果两条直线不相交，那么它们就叫做平行线。
2.特征：平行线的特征有两个，即不相交和无论多长，它们的距离总是不变的。
平行线的判定方法及应用：1.方法一：有一条直线和另外两条直线分别与它垂直相交，那么这两条直线就是平行线。
具体解释：如果 AB 垂直于 CD，而 EF 与 CD 垂直相交，那么 AB // EF。
2.方法二：有一条直线和两条其他的直线，这两条直线在原来的直线的同一侧内部，且与原来的直线各自成内角和小于 180°，那么这两条直线就是平行线。
具体解释：如果AB、CD 必须在直线 EF 的同一侧内部，而且∠AED+∠DEC<180°，那么 AB // CD。
平行线的应用：1.交通信号灯：在每个十字路口，信号灯放在一条平行线上，使得无论是从哪一个方向来，都可以看到信号灯，保证了交通的顺畅。
2.电路板：电路板上的导线垂直于平板，并以平行线的方式排列，使得电路能够正常连接。
3.建筑物：建筑物的墙体、地板和屋顶等都要保持平整并平行，以保证看起来不失美观，同时也可以提高施工效率。
三、教学练习1.请连线。
[图]2.如图，求 AB 和 DE 的距离。
[图]三、教学总结今天我们讲了平行线的定义和特征，以及平行线的判定方法和应用。
希望大家能够在实际生活中发现平行线的应用，同时能够应用所学知识解决实际问题。
北师大版七下数学2.3.2平行线的性质教案
北师大版七下数学2.3.2平行线的性质教案一. 教材分析《北师大版七下数学》2.3.2平行线的性质是学生在学习了直线、射线、线段以及平行线的基本概念之后的一个单元。
本节课主要引导学生探究平行线的性质，让学生通过观察、猜想、验证、归纳等过程，理解和掌握平行线的性质，培养学生的逻辑思维能力和空间想象力。
教材中提供了丰富的素材，通过学生的自主探究和合作交流，使学生能够深刻理解并熟练运用平行线的性质。
二. 学情分析学生在进入七年级之前，已经初步学习了直线、射线、线段等基本概念，对图形有了一定的认识。
但是，对于平行线的性质，他们可能还停留在直观的感受上，缺乏系统的理论支持。
因此，在教学过程中，教师需要从学生的实际出发，通过引导、启发、激励，让学生主动参与学习，提高他们的自主学习能力。
三. 教学目标1.理解平行线的性质，并能够熟练运用。
2.培养学生的观察能力、猜想能力、验证能力和归纳能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象力。
4.培养学生的合作意识和团队精神。
四. 教学重难点1.重点：平行线的性质。
2.难点：平行线性质的证明和运用。
五. 教学方法1.引导法：教师通过提出问题，引导学生思考，激发学生的学习兴趣。
2.探究法：学生通过观察、猜想、验证、归纳等过程，自主探究平行线的性质。
3.合作交流法：学生分组进行讨论，分享学习心得，互相学习，共同进步。
六. 教学准备1.准备相关的图形素材，如直线、射线、线段、平行线等。
2.准备黑板、粉笔等教学工具。
3.准备课件，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾直线、射线、线段等基本概念，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师展示直线、射线、线段和平行线的图形，让学生观察并猜想平行线的性质。
3.操练（10分钟）教师引导学生进行小组讨论，分享各自的猜想，并尝试用已知知识验证平行线的性质。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）教师挑选一些典型的题目让学生进行练习，巩固对平行线性质的理解和运用。
平行线的概念
平行线的概念平行线是几何中常见的概念，它们具有一些独特的性质和特征。
本文将介绍平行线的定义、性质以及一些相关的定理，并通过实例进行解释，以帮助读者更好地理解平行线的概念。
1. 平行线的定义在欧氏几何中，平行线是指在同一个平面内的两条直线，它们永远不会相交。
换句话说，平行线之间的距离保持相等，并且在无穷远的方向上永远不会相交。
2. 平行线的性质（1）平行线只存在于同一个平面中。
如果两条直线在不同的平面上，则它们不可能是平行线。
（2）平行线具有传递性。
如果直线A与直线B平行，直线B与直线C平行，则直线A与直线C也平行。
（3）在平行线和横截线组成的锐角和对应的钝角中，钝角的两条边与平行线的关系是一样的。
（4）平行线与横截线之间的夹角等于其对应的内错角。
3. 平行线的相关定理（1）欧几里得平行公设：通过点外一直线上存在且只存在一条与给定直线平行的直线。
（2）唯一平行定理：如果过一点可以有两条与给定直线平行的直线，那么这两条直线也必然会相交。
（3）平行线判定定理：如果两条直线的同一边上有一对内错角是互补角（和为180度），那么这两条直线是平行的。
（4）同位角定理：当一条直线与两条平行线相交时，同位角相等。
4. 实例解析为了更好地理解平行线概念和相关定理，考虑以下实例：假设有两条直线L1和L2，分别过点A和点B，交于点O。
若直线L1与直线L2之间的夹角AOB为60度，则可以推断出以下结论：（1）由平行线判定定理可知，若直线L1与直线L2之间的夹角AOB为60度，而与直线L1平行的线L3与直线L2相交于点C，则可以得知夹角ACB也为60度，进而可以判断出直线L1与直线L3平行。
（2）由同位角定理可知，若夹角AOB为60度，则夹角COB也为60度，即与直线L2平行的另一条线L4与直线L1相交于点D，可以得知夹角COD也为60度，从而可以推断出直线L2与直线L4平行。
通过上述实例，我们可以看到平行线概念在几何中的应用，并且理解了相关定理的使用方法。
平行线的特征
想一想
能用符号语言模仿书写平行线的特征吗？
A
C
l 3 1
2
4
B
D
1.如果AB∥CD，那 么 ∠1＝∠2
2.如果AB∥CD，那 么 ∠2＝∠4 3.如果AB∥CD，那 么∠2＋∠3＝180°
牛刀小试
在甲、乙两地之间要修一条笔直的公路，从甲、乙两 同时开工，若干天后公路准确接通，乙地所修公路的 走向是什么？
北
西
乙
东
30°
甲
南
答：西偏南30°
我来做一做
如图，已知D是AB上的 一点，E是AC上一点， ∠ADE＝60°，∠B＝ 60°，∠ADE＝40°
问：∠C是多少度？为什 么？
A
D
E
B
C
这节课我们学习了哪些知识？印象最深的是什么？
作业：课后练习题
生活中的平行线
空中的电线给我 们以平行线的形 象
生活中的平行线
铁路上的伸向远 方的铁轨也给我 们以平行线的形 象
平行线的概念
平行线：在同一平面内，不相 交的两条直线叫做平行线
a b
cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
平行线具有传递性。例如直线 a平行直线b,直线b平行直线c， 那么直线a也平行于直线c。
另外，垂直于同一条直线的两 条直线平行。
a b
表示为：a∥b
三线八角
4 6
3 52
1 c
两条平行直线被第三条直 a 线所截，形成了一些什么
角呢？
b
• 同位角、内错角、同旁内角
• 做一做 从实际问题中抽出模型，请大家画出一
条直线和两条平行直线相交图形，找出其中的同位角，
精品课件2.3平行线的特征1
探索直线平行的特征
如图,直线 a 与直线b平行 b
c a1
3
2
4 5 6 8 7
（1）测量同位角∠1和∠5的大小，它们有什么关系？ 图中还有其他同位角吗？它们的大小有什么关系？ （2）图中有几对内错角？它们的大小有什么关系？ 为什么？ （3）图中有几对同旁内角？它们的大小有什么关系？ 为什么？ 从中，你发现了什么规律吗？
1.如图所示,AB∥CD,AC∥BD. 分别找出与∠1相等或互补的角.
解： 与∠1相等的角有： ∠3，∠5，∠7，∠9，
9 12 13 11 B 14 A 15 4 C3 1 2 10 5 8 7D 6
∠11，∠13，∠15 与∠1互补的角有： ∠2，∠4，∠6，∠8， ∠10，∠12，∠14，∠16
如图,是举世闻名的三星堆考古中发掘出的 一个梯形残缺玉片,工作人员从玉片上已经量得 ∠A=115°,∠D=100°.已知梯形的两底AD//BC,请你 求出另外两个角的度数.
A
115° 110°
D
∠B=65°,∠C=70°
B
C
一个宽度相等的纸条,如图那样折叠,∠1等于多少?
1 120º
∠1=60º
本节课你有什么体会和收获？
两直线平行，同位角相等.
两直线平行,内错角相等.
两直线平行,同旁内角互补. 特征：平行关系 条件：角的关系 角的关系 平行关系
两条平行直线被第三条直线直线所截， 两类定理的比较
判定定理 性质定理
条件 同位角相等,
内错角相等, 同旁内角互补,
结论 两直线平行
两直线平行 两直线平行
条件 两直线平行，
两直线平行， 两直线平行，
结论 同位角相等
小学数学中的平行线知识总结
小学数学中的平行线知识总结平行线是小学数学中的一项重要知识点。
学生从小学三年级开始接触平行线概念，通过掌握平行线的特征和性质，可以帮助他们理解和解决与平行线相关的问题。
本文将对小学数学中的平行线知识进行总结，以帮助学生更好地掌握这一知识点。
首先，我们需要了解什么是平行线。
平行线指的是在同一个平面内，永远不会相交的两条直线。
也就是说，如果两条直线在平面内没有任何交点，那么它们就是平行线。
平行线可以用符号 "||" 表示。
接下来，我们来看一些平行线的性质。
首先，平行线上任意一对相邻内角（位于两条平行线之间的两个角）互补，也就是说它们的和等于 180 度。
例如，对于平行线 l1 和 l2，若 a 和 b 是 l1 上两个内角，那么 a 的补角和 b 的补角的和等于 180 度。
其次，平行线上的任意一对对顶角（位于两条平行线之外，被同一条截线分成两段的两个角）相等。
例如，对于平行线 l1 和 l2，若 a 和 b 是 l1 上两个对顶角，那么 a 等于 b。
此外，如果一条直线与一对平行线相交，那么它将与这对平行线所夹的内角（位于两条平行线之间）和对顶角相等。
例如，对于平行线 l1 和 l2，直线 t 与 l1和 l2 相交，那么 t 与 l1 之间的内角与 t 和 l2 之间的内角相等，同时 t 与 l1 之间的对顶角与 t 和 l2 之间的对顶角相等。
在解决平行线问题时，有一些常用的定理可以应用。
首先是同位角定理，它指出当一对平行线被截取时，所形成的各对同位角互相相等。
例如，如果直线 t1 和t2 分别与平行线 l1 和 l2 相交，那么 t1 和 l1 之间的内角与 t2 和 l2 之间的内角相等，同时 t1 和 l1 之间的对顶角与 t2 和 l2 之间的对顶角相等。
其次是平行线性质定理，它包括同位角性质和内外角性质。
同位角性质指出同位角互相相等，内外角性质指出内角和外角互为补角。
平行线与垂直线
平行线与垂直线平行线和垂直线是几何学中的两种基本的线性关系。
它们在数学和实际生活中被广泛应用，对于理解图形的性质、测量和建模都具有重要意义。
本文将介绍平行线和垂直线的性质、定义以及它们在几何学中的应用。
一、平行线的性质和定义平行线是指在同一个平面内，永不相交的两条直线。
在图形中，我们可以通过观察线的方向和角度来判断是否为平行线。
1. 平行线的特点：（1）两条平行线之间的距离，在它们之间的任意一条垂直线上测量，始终相等。
（2）平行线上的任意一对对应角度相等，例如同位角、内错角、外错角等。
（3）平行线具有传递性，如果线段AB与线段CD平行，线段CD 与线段EF平行，则线段AB与线段EF也平行。
2. 平行线的定义：根据欧氏几何的第五公设（平行公设），给定一条直线和一点在平面上，过这点的任意一条直线，要么与给定的直线相交于一点，要么与给定的直线平行。
这个公设也被称为平行线的定义，它说明了平行线的本质特征。
二、垂直线的性质和定义垂直线是指在同一个平面内，形成直角的两条直线。
直角是指两条直线相互垂直交叉，形成90度的角。
1. 垂直线的特点：（1）两条垂直线之间的夹角为90度。
（2）垂直线上的两对相邻角具有特殊关系，即互为补角。
当两角之和等于90度时，它们是互为补角的关系。
（3）两条垂直线交叉的点称为垂足，垂足在两条垂直线上的投影分别在两条垂直线上。
2. 垂直线的定义：两条直线相互垂直，是指它们之间的夹角为直角。
可以通过观察角度或通过测量线段之间的垂直关系来判断两条线是否垂直。
三、平行线和垂直线的应用平行线和垂直线在几何学和实际生活中具有广泛的应用。
1. 平行线的应用：（1）城市规划和建筑设计中，平行线用于画出道路、建筑物和铁路等的平行结构。
（2）网格纸中由平行线和垂直线组成的方格，用于作图、测量和绘制图案。
（3）在平行四边形的性质研究中，平行线的关系被广泛应用。
2. 垂直线的应用：（1）建筑设计和工程测量中，需要使用垂直线来确保建筑物的垂直方向。
识别平行线与垂直线的特征
识别平行线与垂直线的特征平行线与垂直线是几何学中的重要概念。
识别平行线与垂直线的特征对于解决几何问题和理解空间关系非常关键。
本文将介绍如何准确地识别平行线和垂直线的特征，并提供相应的示例来加深理解。
一、平行线的特征平行线是指在同一平面内永不相交的两条直线。
它们具有以下特点：1. 两条平行线之间的距离在任意两点处保持相等。
2. 平行线的斜率相等。
3. 平行线的倾斜角度是相等的。
举个例子，考虑两条直线y = 2x + 1和y = 2x - 3。
它们的斜率均为2，因此它们是平行线。
两条线之间的距离在任意两点处保持相等，例如，两条线上的点(0,1)和(2,5)到另一条线的距离均为2。
二、垂直线的特征垂直线是指在同一平面内交于一个点且与之相切的两条直线。
它们具有以下特点：1. 两条垂直线的斜率互为相反数。
2. 垂直线的倾斜角度之和为90度。
例如，考虑直线y = 2x + 1和直线y = -1/2x + 3。
它们的斜率-1/2和2互为相反数，因此它们是垂直线。
两条线的倾斜角度之和为90度。
三、平行线和垂直线的关系平行线和垂直线之间的关系是互补的。
如果两条直线互为垂直关系，则它们的斜率乘积为-1。
如果两条直线互为平行关系，则它们的斜率相等。
举个例子，考虑直线y = 2x + 1和直线y = -1/2x - 3。
它们的斜率分别为2和-1/2，它们的乘积为-1，因此它们互为垂直关系。
四、应用示例在实际应用中，识别平行线和垂直线的特征能够帮助我们解决几何问题。
示例1：给定直线y = 2x + 1和直线y = 2x - 3，判断它们的关系。
解答：这两条直线的斜率相等，因此它们是平行线。
示例2：给定直线y = 2x + 1和直线y = -1/2x + 3，判断它们的关系。
解答：这两条直线的斜率-1/2和2互为相反数，因此它们是垂直线。
通过以上例子，我们可以看到如何通过特定的特征来准确识别平行线和垂直线，并应用于解决具体问题。
小学六年级数学知识总结平行线与平行四边形的特征
小学六年级数学知识总结平行线与平行四边形的特征小学六年级数学知识总结：平行线与平行四边形的特征一、引言：数学是我们学习的一门重要学科，它为我们提供了解决实际问题的工具和方法。
在小学六年级的数学学习中，我们学习了许多有趣的知识，其中包括平行线与平行四边形的特征。
本文将对这些知识进行总结和归纳。
二、平行线的定义与特征：平行线是指在同一个平面中不相交且不重合的两条直线。
我们可以通过以下几个特征来判断两条线是否平行：1. 直线与直线之间的关系：(1)如果两条直线分别与第三条直线相交，并且这两条交线分别是内角对应角或同旁内角，那么这两条直线就是平行线。
2. 直线与平面之间的关系：(1)如果一条直线与一个平面内的一条直线分别相交，并且这两条交线分别是内角对应角或同旁内角，那么这条直线和这个平面是平行的。
三、平行四边形的定义与特征：平行四边形是指具有两组平行边的四边形。
平行四边形的特征如下：1. 对边性质：(1)平行四边形的对边相等，即两组相对的边长相等。
2. 同旁内角性质：(1)平行四边形的同旁内角互补，即对角互补。
3. 对角性质：(1)平行四边形的对角相等，即对角线长相等。
四、应用举例：平行线与平行四边形是数学中非常重要的概念，在实际生活中也有广泛的应用。
1. 建筑工程：(1)在建筑工程中，我们需要确保墙壁垂直且平行。
通过使用平行线的概念，可以判断墙壁是否平行，从而保证建筑的牢固和美观。
2. 路标标识：(1)在道路交通中，我们常见到的平行线组成的平行线标志，如斑马线、路边停车位等。
这些标志的设计需要使用平行线的特征，以便准确和清晰地指示方向和位置。
五、总结：通过学习小学六年级的数学知识，我们了解了平行线与平行四边形的定义和特征。
平行线的判断和平行四边形的性质在数学中起着重要的作用，并且在实际生活中有广泛的应用。
掌握这些知识不仅可以提高我们的数学能力，还可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
六、致谢：感谢老师们对我们的指导和教育，让我们能够学习到这些有趣而实用的知识。
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利用同位角相等，或者内错角相等，或者同位
角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果两
直线平行，同位角、内错角、同旁内角各有什么关
系？ E
A 31
B
57
42 C6 8
D
F
画两条平行线a//b，然后画一条截线c与这两条
平行线相交，然后通过测量回答下列问题：
c
（1）测量同位角 1和 2
（2）反射光线BC与EF也平行吗？
A
CD
F
1 2 34
B
E
(1)AB// DE 1 3 2 4;
(2)2 4 BC // EF.
你能说明每一步的理由吗？ 你是如何思考的？与同伴进行交流．
1、如图所示，AB∥CD，AC∥BD。 分别找出与∠1相等或互补的角。
解：与∠1相等的角E 有： ∠3， ∠5， ∠7， ∠9， ∠11， ∠13， ∠15；
出土了各种文物：金器、玉器、石器、 陶器、青铜器...等数千件。其中有享誉 中外的金杖、金面罩、青铜人像、头像、 人立像、画具等精品文物1000多件。
如图，是举世闻名的三星堆考古中发掘出 的一个梯形残缺玉片，工作人员从玉片上已经 量得∠A=115°，∠D=100°。已知梯形的两底 AD//BC，请你求出另外两个角的度数
A
115°
D
100°
65
B
80 C
两直线平行，同位角相等． 两直线平行，内错角相等． 两直线平行，同旁内角互补．
特征： 平行关系
角的关系
条件： 角的关系
平行关系
的大小，它们有什么关系？图 a 中还有其他同位角吗？它们的 b
31 57 42
大小有什么关系？
68
1 2
其他同位角也对应相等．
画两条平行线a//b，然后画一条截线c与这两条
平行线相交，然后通过测量回答下列问题：
c
（2）图中有几对内错角？ 它们的大小有什么关系？为什 a
么？
b
31 57 42
68
5 2
4 7
画两条平行线a//b，然后画一条截线c与这两条
平行线相交，然后通过测量回答下列问题：
c
（3）图中有几对同旁内角？ 它们的大小有什么关系？为什 a
么？
b
31 57 42
2 7
68
4 5
画两条平行线a//b，然后画一条截线c与这两条
平行线相交，然后通过测量回答下列问题：
c
（4）换另一组平行线试试，
你能得到相同的结论吗？
a
b
31 57 42
68
两条平行直线被第三条直线所截，同位
角 相等
，内错角
相等
，同旁内角 c
相等
．
a
b
两直线平行，同Βιβλιοθήκη 角相等． 两直线平行，内错角相等． 两直线平行，同旁内角相等．
如图，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜
面后被反射，此时 1 2 ，3 4 ．
（1）1，3 的大小有什么关系？2与4呢？
9
F
13
16 15 A
12
11B 14
1
4
10 8 2
5 7D
6
C3
与∠1互补的角有：
∠2， ∠4， ∠6， ∠8，
∠10， ∠12， ∠14， ∠16 ；
三星堆遗址
位于中国四川省广汉市南兴镇北的三 星堆遗址，属于古蜀国文明。遗址分布范 围达12平方公里，距今4800年至2800年， 延续时间近2000年。