函数的凹凸性

函数的凹凸性

一、出示曲线，出示课题

1、请大家看一下屏幕上的四条曲线，如果要给它们分一下类，怎么分？可以按照函数的单调性分。这两个从左往右，逐渐上升，这两个从左往右，逐渐下降。

2、从单调性的角度，这两条曲线是一类，但如果再仔细观察一下，这两条曲线还是不一样，这条曲线是凸的，这条曲线是凹的。同样，这条曲线是凸的，这条曲线是凹的。所以，如果按照曲线的凹或者凸，我们可以把这两条曲线作为一类，因为它们都是凹的，把这两条作为另外一类，因为它们都是凸的。那么，曲线的凹或者凸，反映了函数的什么性质呢？这就是本节课我们要学习的内容：函数的凹凸性。

二、比较位置，给出定义

刚才我们说这两条曲线是凹的，什么是凹的呢？实际上，如果在这条曲线上任取两点，不难发现，连结这两个点的曲线弧始终在连结这两个点的弦的下面，所以我们说它是凹的。而如果在这条曲线上任取两点，连结这两个点的曲线弧始终在弦的上面，所以我们说它是凸的。这里我们是用比较曲线弧和弦的上下位置来区分曲线的凹和凸，那么，如果用数学语言来刻画曲线的凹和凸，怎么来描述呢？

(1)现在屏幕上显示的是2y x =，0x ≥的函数图象，可以看出来它是一条凹的曲线。

1、在曲线上任取两点A 、B ,设点A 的横坐标为1x ，点B 的横坐标为2x ，如果在()12,x x 内任取一个x ，过这个点作x 轴的垂线，这条垂线与曲线弧相交，交点是P ，与弦相交，交点是Q ，由于连结A 、B 两点的曲线弧始终在弦AB 的下面，所以不管x 怎么变，点P 的纵坐标始终小于点Q 的纵坐标。

2、刚才x 是在()12,x x 内任取的，这样的话，随着x 的变化，点P 和点Q 的纵坐标也在变化，这样对我们表示点P 和点Q 的纵坐标很不方便。所以，为了表示点P 和点Q 的纵坐标的方便，x 就取()12,x x 的中点122

x x +。 3、好，在这里同学们可能会有这样的疑问：你取区间的中点，那你比的只是区间中点处对应的P 和Q 的纵坐标，不能说明曲线弧和弦上所有点的情况啊？实际上，由于点A 、B 是任取的，所以12,x x 也是任意的，随着12,x x 的变化，中点也在变化，对应的点P 和Q 也在变化，所以中点处对应的P 和Q 实际上就代表了曲线弧和弦上的所有点。

4、点P 的纵坐标是122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭

，点Q 的纵坐标是()()122f x f x +，则有122x x f +⎛⎫< ⎪⎝⎭

()()122f x f x +。一般地，如果函数()f x 在区间I 上连续，对I 上任意两

个点12,x x ，恒有122x x f +⎛⎫< ⎪⎝⎭

()()122f x f x +，这样的函数称为区间I 上的凹函数，区间I 叫做函数的凹区间。所以，函数2y x =是[)0,+∞上的凹函数。

（2）我们再来看另外一个函数23y x =，0x ≥，它的图象是一条凸的曲线，按照刚才我们研究的方法，不难发现，这时候点P 的纵坐标大于点Q 的纵坐标，所以122x x f +⎛⎫> ⎪⎝⎭

()()122f x f x +。一般地，如果函数()f x 在区间I 上连续，对I 上任意两个点12,x x ，恒有122x x f +⎛⎫> ⎪⎝⎭

()()122f x f x +，这样的函数称为区间I 上的凸函数，区间I 叫做函数的凸区间。所以，函数2

3y x =是[)0,+∞上的凸函数。

（3）有了凹函数，凸函数的定义，以后要判断函数的凹凸性就可以用定义来进行判断，这是判断函数凹凸性的一种方法。现在大家试着用定义判断一下函数326y x x =-的凹凸性。大家在证明的过程中是不是发现要比较这两个值得大小关系很困难？所以用定义判断函数的凹凸性不方便，那么，有没有更方便的办法呢？

大家回想一下，前面判断函数的单调性除了用定义，还可以用什么？利用导数。那么，现在要判断函数的凹凸性，是不是也可以利用函数的导数来判断呢？

下面让我们再来仔细观察一下刚才两个函数的图象。

三、观察切线，利用导数

1.2,0y x x =≥

（1）从左往右看，图象上点的切线斜率在逐渐增大

（2）从左往右看，说明x 在增大，点的切线斜率可用()f x '表示，点的切线斜率逐渐增大说明()f x '也在增大，从函数单调性的角度说，就是()f x '在[)0,+∞上是单调增函数

（3）()f x '在[)0,+∞上是单调增函数说明()f x '的导数在[)0,+∞上大于0，也就是()()0f x ''>即()0f x ''>

（4）其实刚才的推理过程都是等价的，所以，如果知道了函数()f x 的二阶导数在区间[)0,+∞上大于0，也能推出函数()f x 是区间上的凹函数

（5）一般地，这样我们就得到了判断函数是凹函数的方法：设()f x 在区间I 上连续，且

具有二阶导数，如果在区间I 上()0f x ''>，那么()f x 是区间I 上的凹函数 2. 23y x =，0x ≥（要快）

有了这个结论，以后我们就可以借助函数的二阶导数来判断函数的凹凸性了。

四、解决问题

判断函数326y x x =-的凹凸性。

五、课堂小结：在本节课的中，我们不仅通过观察，直观感知了什么是凹的曲线，什么是凸的曲线，还从数的角度，给出了凹函数和凸函数的定义。当然，如果用定义判断函数凹凸性很不方便，所以，我们又一起探讨了函数的二阶导数与函数凹凸性之间的关系。学习这些不仅能更全面地了解函数性质，而且对训练大家的数学化思维具有很大的帮助。同时，希望大家通过本课的学习养成细致、严谨的思维习惯。