函数的凹凸性
函数凹凸性对极值的影响分析
函数凹凸性对极值的影响分析函数的凹凸性对其极值的存在性、数量以及判断方式都有重要影响。
以下是从几个方面详细分析函数的凹凸性如何影响其极值：1. 极值的存在性●凸函数：对于严格凸函数（即在整个定义域内都保持凸性的函数），如果在某点取得极值，则该极值必然是全局最小值（因为凸函数在任意两点之间的线段上都在函数图像上方或重合，所以在其内部不可能有比该点更低的点）。
同样地，如果函数是凹的，则在该点取得的极值可能是全局最大值。
●非严格凸/凹函数：对于非严格凸函数（即存在直线段与函数图像相切但不相交的凸函数）或非严格凹函数，可能存在多个极值点，但这些极值点可能不是全局最优解，而只是局部最优解。
2. 极值的数量●凸函数：在严格凸函数中，如果函数在某区间内连续可导，且在该区间的端点处函数值趋于无穷大（或满足其他适当的边界条件），则该函数在该区间内至多有一个全局最小值点（没有最大值点，除非定义域有界）。
这是因为凸函数的图像总是在任意两点之间的线段上方或与其重合，所以不可能在同一区间内有两个或更多的全局最小值。
●非凸函数：非凸函数可能具有多个局部极值点（包括局部最小值和局部最大值），这些极值点的数量取决于函数的复杂性和定义域的性质。
3. 极值的判断方式●一阶导数测试：对于可导函数，可以通过检查一阶导数的符号变化来判断极值点。
然而，这种方法在非凸函数上可能不够有效，因为可能存在多个驻点（一阶导数为零的点），其中只有部分是极值点。
●二阶导数测试：在二阶导数存在的情况下，可以利用二阶导数的符号来判断极值点的类型。
对于凸函数，其二阶导数（或海森矩阵对于多元函数）在非极值点处非负；在极小值点处等于零（对于严格凸函数，极小值点处二阶导数严格大于零）。
然而，需要注意的是，并非所有凸函数都是二阶可导的，且二阶导数测试在非凸函数上可能不够可靠。
●凹凸性直接判断：对于凸函数，可以直接利用凸函数的定义来判断极值点。
即，如果函数在某点取得极值，并且该点位于定义域的边界上或其一阶导数在该点附近发生变化（从正变为负或从负变为正），则该点很可能是全局最小值点（对于凹函数，则可能是全局最大值点）。
《函数曲线的凹凸性》课件
CONTENTS 目录
• 引言 • 函数曲线的凹凸性判定 • 函数曲线的凹凸性性质 • 函数曲线的凹凸性与导数的关系 • 函数曲线的凹凸性与几何意义 • 总结与展望
CHAPTER 01
引言
凹凸性的定义
凹函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(frac{x_1+x_2}{2}) geq frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$，则称$f(x)$在区间$I$上是凹函数。
函数曲线的凹凸性可能会随着自变量x 的变化而发生变化。
凸函数曲线
表示函数图像呈上凸的几何形状，即 任意两点之间的连线位于曲线上方。
几何形状的凹凸性实例
下凹函数曲线
$f(x) = x^2$，$f(x) = sin x$
上凸函数曲线
$f(x) = log x$，$f(x) = e^x$
几何形状的凹凸性与生活中的应用
02
二次函数是典型的凹函数和凸函数，其图像为抛物 线。
03
指数函数和幂函数在其定义域内是凹函数，对数函 数在其定义域内是凸函数。
CHAPTER 04
函数曲线的凹凸性与导数的关系
导数与凹凸性的关系
01
导数大于0的区间内，函数曲线为 凹；
02
导数小于0的区间内，函数曲线为 凸。
导数在判断凹凸性中的应用
凸函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(frac{x_1+x_2}{2}) leq frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$，则称$f(x)$在区间$I$上是凸函数。
函数凹凸的定义
02 函数凹凸的几何意义
凹函数的几何意义
凹函数图像呈下凹状，即对于函数图 像上的任意两点A和B，如果A、B两 点连线的中点始终位于A、B连线的下 方，则该函数为凹函数。
在几何意义上，凹函数具有一个明显 的特征，即函数图像上任意两点的连 线的斜率始终小于或等于该点处的函 数导数。
凸函数的几何意义
通过分析函数的凹凸性，我们可以确定函数的拐点，从而更好地理解函数 的性质，为求解最优化问题提供指导。
在求解无约束最优化问题时，可以利用函数凹凸性选择合适的算法，如梯 度下降法、牛顿法等，以提高求解效率。
在经济学中的应用
函数凹凸性在经济学中也有 广泛应用，它可以帮助我们 理解经济现象和预测经济行
为。
函数凹凸的定义
目录
• 函数凹凸的基本概念 • 函数凹凸的几何意义 • 函数凹凸的判定方法 • 函数凹凸的应用 • 函数凹凸的反例 • 函数凹凸的扩展知识
01 函数凹凸的基本概念
凹函数
01
凹函数是指函数图形在任意两点 之间总是位于这两点连线的下方， 即对于定义域内的任意x1和x2， 都有 f((x1+x2)/2)≥f(x1)+f(x2)/2。
03
在计算机科学中，函数凹凸性可以帮助我们设计更有效的算法和数据 结构，如动态规划、图算法等。
04
在生物学中，函数凹凸性可以帮助我们理解生物系统的复杂性和行为， 如生态学、生物化学反应等。
05 函数凹凸的反例
凹函数的反例
总结词
凹函数的反例是指函数图像呈现下凹形状的反例。
详细描述
凹函数的反例通常是指那些在一定区间内，函数值随着自变量的增加而减少的函数。例如，二次函数 $f(x) = x^2$在区间$(-infty, 0)$内是一个凹函数的反例，因为在这个区间内，函数值随着$x$的增加 而减少。
函数的凹凸性ppt课件
一、曲线的凹凸性与拐点
1
一、曲线的凹凸性与拐点
如图，观察抛物线 y x2 , y x ，它们
在区间[0，1]上都是单调增加的，但弯曲的方向
不一样。
y
这说明，在研究函数的图形时，
仅知道他们的单调性是不够的， 1
还需要考察曲线的弯曲方向及 扭转弯曲方向的点。
o1
x
2
二、凹凸与拐点的定义 y
② f (x1 x2 ) f (x1 ) f (x2 ) ；
③ f (x1 ) f (x2 ) 0; x1 x2
④ f ( x1 x2 ) f (x1 ) f (x2 ) .
2
2
当 f (x) lg x 时，上述结论中正确结论的序号
是
.
9
10
【详解】
对于①②可以用 f (x) lg x
y log2 x 在 0 x 1内为凸函数。所以答案为 B。
点评:只要能作出这四个初等函数的草图,马上根据函数 的凹凸性可直接作结论.
8
典例 2.（05 北京理工科 13）．对于函数 f (x) 定义域中
任意的 x1 , x2 (x1 x2 ) ，有如下结论：
① f (x1 x2 ) f (x1 ) f (x2 ) ；
的研究函数的一个概念，是用来研究函数图象的变化趋 势的。
【高考联接】在高考中常借助函数的凹凸性来考查基
本初等函数的图象及性质，这一知识点常渗透在与函数 的图象与性质的选择填空题中。经常与高中所学的函数、 三角、不等式知识相结合。此类问题的常规处理思路有 数形结合法、导数分析法、增量分析法、估猜法等。
y (1)x a
• (0,1)
y ax (a 1)
16
函数的凹凸性
yloagxa
3、幂函数
yx y
y x2
1
(是常)数
yx y x
(1,1)
o1
x
y 1 x
6、双曲函数
由 ex, ex 构成.
ycosxh
双曲 si正 n xh ex 弦 ex
2 y 1ex
D:(, ), 奇函数.
（2） 如果x 0,1 时 f (x) 1，试求实数a的范围。
解析：（1）对任意的
x, 1
x 2
R,
a
0
，
f (x ) 1
f (x ) 2
2
f
(
x 1
x 2
)
＝
2
ax2 1
x 1
ax2 2
x 2
2a(
x 1
2
x 2
)2
x 1
2
x 2
A
o
x
问题: 如何用准确的数学语言描述曲线的凹凸性?
y
yf(x)
y yf(x)
o x1
x2 x
图形上任意弧段（的中点）
位于所张弦的下方。
o x1
x2 x
图形上任意弧段（的中点）
位于所张弦的上方。
二、曲线的凹凸性与拐点
y
C
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
B
y
yf(x) f(x1) f(x2)
2
解析:答案为 B。要使 f ( x1 x2 ) f (x1 ) f (x2 ) 恒成
2
2
立，由函数值的定义及函数图象即需要函数在 0 x 1
《函数的凹凸性》课件
凸函数的性质
凸函数图像呈上凸状，即对于函数图像上的任意两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，当x1 < x2时，y1 < y2。
凸函数的导数在定义域内小于0，即f''(x) < 0。
凸函数具有局部最大值，即对于任意x0属于定义域，存在一个邻域使得 该邻域内所有点的函数值都小于或等于f(x0)。
在物理学中，凹凸性可以用于描述物 体的弹性、光学性质等。
在经济学中，凹凸性可以用于描述商 品的需求和供给关系，以及价格和产 量的变化关系。
在计算机科学中，凹凸性可以用于图 像处理、机器学习等领域。
02
函数的凹凸性判定
判定方法一：二阶导数法
总结词
举例说明
二阶导数法是判断函数凹凸性的常用 方法之一，通过计算函数的二阶导数 并分析其符号来判断函数的凹凸性。
05
实际应用案例
金融领域的应用
金融数据分析
函数的凹凸性在金融数据分析中有着广泛的应用，如股票价格、收益率等金融时间序列数 据的分析，通过识别数据的凹凸性，可以预测未来的价格走势和风险评估。
投资组合优化
在投资组合优化中，凹凸性可用于确定最优投资组合，通过最小化投资组合的风险或最大 化预期收益，实现资产的有效配置。
判定方法三：几何意义法
总结词
几何意义法是通过观察函数图像 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ几何形状来判断函数的凹凸性
。
详细描述
如果一个函数的图像是一条向下 凸出的弧形线，则该函数是凹的 ；如果图像是一条向上凸起的弧
形线，则函数是凸的。
举例说明
以函数$f(x) = x^4 - x^2$为例 ，通过绘制该函数的图像可以观 察到，该函数在$x < 0$时图像 向下凸出，因此函数$f(x) = x^4
函数的导数与曲线的凹凸性知识点总结
函数的导数与曲线的凹凸性知识点总结导数与函数的凹凸性是高等数学中非常重要的知识点，它们被广泛应用于微积分、物理学和经济学等领域。
本文将对导数和凹凸性的基本概念及其应用进行总结。
一、导数的基本概念导数是函数微分学的重要概念，表示函数在某一点的瞬时变化率。
在数学中，导数可由函数的极限定义，也可由公式求得。
导数的符号表示为f'(x)，表示函数f(x)的导数。
1.1 导数的定义函数f(x)在点x处的导数定义为：f'(x) = lim┬(h→0)〖(f(x+h)-f(x))/h〗如果这个极限存在，则称f(x)在该点可导，并且这个极限值即为该点的导数。
1.2 导数的几何意义导数可以描述函数的斜率，即曲线在某一点的切线斜率。
导数为正表示曲线在该点上升，为负表示曲线下降。
导数的绝对值越大，表示曲线斜率变化越快。
二、函数的凹凸性函数的凹凸性描述的是函数图像的弯曲程度，通过函数的二阶导数进行判定。
2.1 凹函数与凸函数函数f(x)在区间I上连续，并且在区间内的任意两点x1,x2，以及x1和x2间的任意一点x3，都满足以下条件：(1) 当x1＜x2，有 f''(x3)＞0，则称f(x)在区间I上是凹函数。
(2) 当x1＜x2，有 f''(x3)＜0，则称f(x)在区间I上是凸函数。
2.2 拐点在函数图像上，凹凸性发生改变的点被称为拐点。
拐点的存在意味着函数在该点的凹凸性发生变化。
三、导数与凹凸性的关系导数与函数的凹凸性之间存在重要的关系，通过导数的符号、零点以及拐点来分析函数的凹凸性。
3.1 导数与函数的单调性如果函数在某个区间上的导数恒为正（负），那么函数在该区间上是递增（递减）的。
根据导数的符号可以判断函数的单调性。
3.2 导数与函数的凹凸性对于函数f(x)在点x处，有以下判断凹凸性的规则：(1) 若f'(x)＞0且f''(x)＞0，则f(x)在该点处为凹函数。
函数的凹凸性与拐点
得证.
15
不等式证明的方法：
1、拉格朗日中定理；
2、函数的单调性、极值； 3、函数的凹凸性；
16
作业：
P 3 134
17
爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”
《函数凹凸性》课件
在函数图像上，凸函数表现为图像位于其连接直线的上方。
凹凸函数的几何意义
凹函数的几何意义
在凹函数的图像上，任意两点之间的线段都位于这两点之间函数的曲线下方。这 表明，对于凹函数，中点的函数值总是大于或等于两端点连线上中点的函数值。
凸函数的几何意义
在凸函数的图像上，任意两点之间的线段都位于这两点之间函数的曲线上方。这 表明，对于凸函数，中点的函数值总是小于或等于两端点连线上中点的函数值。
几何意义
在函数图像上，凹函数表现为图像位于其连接直线的下方。
凸函数的定义
凸函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对于任意$x_1, x_2$（ $x_1 < x_2$）都有$f(x_1) + f(x_2) < 2f[(x_1 + x_2)/2]$， 则称$f(x)$在区间$I$上是凸函数。Βιβλιοθήκη 4凹凸性在优化问题中的应用
利用凹凸性求解优化问题
01
确定函数的凹凸性
首先需要判断函数的凹凸性，可以通过求二阶导数或观察函数图像来进
行判断。
02 03
利用凹凸性寻找极值点
在确定了函数的凹凸性之后，可以利用凹凸性寻找函数的极值点。在凹 函数中，极值点出现在二阶导数为0的点；在凸函数中，极值点出现在 边界点或一阶导数为0的点。
有$f(x_1) + f(x_2) < 2fleft(frac{x_1 + x_2}{2}right)$，则称$f(x)$在区间$I$上是凸函数。
二次导数法
总结词
通过判断一阶导数的正负来判断函数 凹凸性的常用方法
详细描述
如果函数$f(x)$的二阶导数$f''(x) > 0$，则函数$f(x)$为凹函数；如果二 阶导数$f''(x) < 0$，则函数$f(x)$为 凸函数。这种方法适用于一阶导数容 易计算或形式较为简单的函数。
导数与函数的凹凸性解析
导数与函数的凹凸性解析在数学中，函数的凹凸性是研究函数曲线的一种重要性质。
凹凸性表征了函数曲线的弯曲程度以及函数在特定区间上的增减性。
导数是研究函数变化率的工具，它与函数的凹凸性存在一定的关系。
本文将探讨导数与函数的凹凸性之间的联系，并解析凹凸性的定义以及凹凸函数的性质。
一、凹凸函数的定义一个定义在区间上的实函数，如果对于该区间上的任意两个点x1和x2，函数上的任意一点(x, f(x))都满足以下不等式：f(tx1+(1-t)x2) ≤ tf(x1) + (1-t)f(x2) (0≤t≤1)则称该函数为凹函数。
当不等式中的≤ 改为≥时，该函数则称为凸函数。
凹凸函数的定义可以通过直观理解进行解释。
对于凹函数来说，任意两个点之间的连线位于函数的图像上方或与之重合。
而对于凸函数来说，连线位于函数的图像下方或与之重合。
凹凸函数的定义可以简化为导数的定义形式，即如果函数的二阶导数大于等于零，则该函数为凹函数；若二阶导数小于等于零，则该函数为凸函数。
这是因为二阶导数表示了函数的变化率的变化率，负二阶导数说明了函数的变化率的变化率是负的，即函数的凹凸性质。
二、导数与凹凸性的关系导数是描述函数变化率的工具，它与函数的凹凸性密切相关。
具体而言，导数可以揭示函数的增长趋势，而函数的凹凸性则反映了函数增长趋势的性质。
在导数的帮助下，我们可以通过以下规则来判断函数的凹凸性：1. 如果函数的一阶导数递增，则函数是凹函数；若一阶导数递减，则函数是凸函数。
2. 如果函数的二阶导数大于零，则函数是凸函数；若二阶导数小于零，则函数是凹函数。
3. 如果函数的二阶导数恒大于零或恒小于零，则函数分别是严格凸函数和严格凹函数。
根据上述规则，我们可以利用导数信息来推断函数的凹凸性质。
导数为零的点或导数不存在的点可能是函数的拐点，即函数的凹凸性发生变化的点。
三、凹凸函数的性质凹凸函数具有一些重要的性质，这些性质在数学分析和实际应用中起着重要的作用。
高数课件14凹凸性
凹凸性与光滑性 的应用：在优化 问题、微分方程 等领域有广泛应 用
凹凸性与函数的单调性
凹凸性：函数在某点处的二阶导数符号决定了该点的凹凸性
单调性：函数在某点处的一阶导数符号决定了该点的单调性
凹凸性与单调性的关系：凹凸性与单调性是函数在某点处的二阶导数和一阶导数的符号决定的
凹凸性与单调性的应用：在解决实际问题时，可以利用凹凸性与单调性来判断函数的极值和拐 点
利用极限判断： 如果极限存在且 大于0，则为凹 函数；如果极限 存在且小于0， 则为凸函数。
03
凹凸性的性质
凹凸函数的性质
01 02
03 04
05 06
凸函数：对于任意x1, x2, y1, y2，若x1 < x2，则f(x1) < f(x2) 凹函数：对于任意x1, x2, y1, y2，若x1 < x2，则f(x1) > f(x2) 凸函数的二阶导数大于等于0
正二阶导数：函数在该点处 为凸函数
负二阶导数：函数在该点处 为凹函数
注意事项：凹凸性判定法只 适用于二阶可导的函数
06
凹凸性的扩展知识
凹凸性的连续性和可微性
凹凸性的连续性：凹凸性是函数 在某点附近的局部性质，与函数 的连续性无关
凹凸性的可导性：凹凸性是函数 在某点附近的局部性质，与函数 的可导性无关
凹凸性与函数极值的关系
凹凸性是函数在某点附近的性质，与函数在该点的极值有关 凸函数在极小值点处具有凹性，凹函数在极大值点处具有凸性 凸函数的极小值点处，其导数大于等于0 凹函数的极大值点处，其导数小于等于0 凸函数的极小值点处，其二阶导数大于等于0 凹函数的极大值点处，其二阶导数小于等于0
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专题四 函数的凸凹性(师)
专题四 函数的凸凹性函数的凹凸性主要用于高等数学中，例如凸函数在泛函分析、最优化理论、数理经济学以及数学规划和控制论等领域有着广泛的应用，而高中课本中没有相关的概念．虽然函数的凹凸性在高中教材中没有给出系统定义、性质，但它的身影在高考中频频出现，充分说明了高考命题源于课本，又高于课本的原则，同时也体现了高考为高校输送优秀人才的选拔性功能． 一 、凹凸函数的定义函数凹凸性在高中数学中有巧妙的作用，往往能起到事半功倍的效果，下面先介绍一下它的定义． 定义1：如果函数()f x 对其定义域中任意的1x ，2x 都有如下不等式[])()(21)2(2121x f x f x x f +≤+ （1） 成立，则称)(x f 是下凸（凸）函数(如图1所示)，当且仅当21x x =时等号成立． 如果函数()f x 对其定义域中任意的1x ，2x 都有如下不等式[])()(21)2(2121x f x f x x f +≥+ （2） 成立，则称)(x f 是上凸（凹）函数(如图2所示)，当且仅当21x x =时等号成立．二、凹凸函数的几何特征：1.形状特征图1（下凸函数） 图2（上凸函数）下凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的下方; 上凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的上方。
2切线斜率特征图3（下凸函数） 图4（上凸函数） 下凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率)(x f y =随x 增大而增大；上凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率)(x f y =随x 增大而减小； 简记为：斜率凹增凸减．．．．．．。
3增量特征：图5（下凸函数） 图6（凸函数）下凸函数的增量特征是：i y ∆越来越大；上凸函数的增量特征是：i y ∆越来越小； 简记为：增量下大上小．．．．．．。
三、凸函数与导数的关系定理1（可导函数与凹凸函数的等价命题）：（1） 设)(x f 为区间I 上的可导函数,则：)(x f 为I 上的下凸函数⇔)(x f '为I 上的增函数； （2） 设)(x f 为区间I 上的可导函数,则：)(x f 为I 上的上凸函数⇔)(/x f 为I 上的减函数； 定理2（可导函数与二阶导数的关系）：（1）设)(x f 为区间I 上的可导函数,则：)(x f 为I 上的下凸函数⇔0)(≥''x f 且)(x f ''不在I 上的任一子区间上恒为零.（2）设)(x f 为区间I 上的可导函数,则：)(x f 为I 上的上凸函数⇔0)(≤''x f 且)(x f ''不在I 上的任一子区间上恒为零.对于一些函数凹凸性的判断，常根据定理2，判断其二阶导数的正负． 四、凹凸函数的相关定理以下几个有关凹凸函数相关定理在解题中非常重要， 为了使以后的解题过程更加的方便，下面做一个归纳总结．定理1（詹生不等式）[16]若函数()f x 在区间I 是上凸函数，则有不等式：)()()()(22112211n n n n x f q x f q x f q x q x q x q f +++≥+++ （3）若函数()f x 在区间I 是下凸函数，则有不等式：)()()()(22112211n n n n x f q x f q x f q x q x q x q f +++≤+++ （4）其中n i q I x i i ,,2,1,0, =>∈；121=+++n q q q ．定理2 若)(x f 是下凸函数，则其对应定义域中的任意n 个点n x x x ,,21恒有：[])()()(1)(2121n n x f x f x f nn x x x f +++≤+++当且仅当n x x x === 21时等号成立． 类似地，对于上凸函数有：[])()()(1)(2121n n x f x f x f nn x x x f +++≥+++ ．五、高中数学中常见函数的凹凸性在高中数学中，对于一些常见函数我们可根据函数图像或求二阶导数对其凹凸性进行判断．如二次函数2x y =，因为开口向上，所以在区间(-∞，+∞)上是下凸函数，当然也可根据其二阶导数02>=''y ，得出它是下凸函数．下面对于一些常用的，在考试中出现频率高的函数的凹凸性作一个探讨． （1）对数函数对于对数函数)10(log ≠>=a a x y a 且而言，其凹凸性如下：若10<<a ，则对数函数x y a log =为下凸函数；若1>a ，则对数函数x y a log =为上凸函数．（2）指数函数)1,0(≠>=a a a y x且为下凸函数．（3）三角函数sin (0,)sin (,2cos (,)223cos (,22tan (,0)2tan (02cot (,0)2cot (0,)2y x x y x x y x x y x x y x x y x x y x x y x x πππππππππππ⎧=∈⎧⎨⎪=∈⎩⎪⎪⎧=∈-⎪⎪⎨⎪=∈⎪⎪⎩⎪⎨⎧=∈-⎪⎪⎨⎪=∈⎪⎪⎩⎪⎧=∈-⎪⎪⎪⎨⎪=∈⎪⎩⎩是上凸函数，是下凸函数，）是上凸函数，是下凸函数，）是上凸函数，是下凸函数，，）是下凸函数，是上凸函数，（4）二次函数对于二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 而言，其凹凸性如下：若0>a ，则二次函数c bx ax y ++=2为下凸函数；若0<a ，则二次函数c bx ax y ++=2为上凸函数．（5）反比例函数 对于反比例函数)0(≠=k xky 而言，其凹凸性如下： 当0>k 时:若)0,(-∞∈x ，则反比例函数)0(≠=k x k y 为上凸函数；若),0(+∞∈x ，则反比例函数)0(≠=k xky 为下凸函数．当0<k 时:若)0,(-∞∈x ，则反比例函数)0(≠=k x k y 为下凸函数；若),0(+∞∈x ，则反比例函数)0(≠=k xky 为上凸函数．（6）对勾函数对于对勾函数)0,0(>>+=b a xbax y 而言，其凹凸性如下： 当)0,(-∞∈x 时，对勾函数)0,0(>>+=b a xbax y 为上凸函数；当),0(+∞∈x 时，对勾函数)0,0(>>+=b a xbax y 为下凸函数．六、 函数凹凸性在高中数学解题中的应用 6.1图形与图像问题【例1】一高为Ｈ满缸水量为Ｖ的鱼缸的截面如图7所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为ｈ时水的体积为Ｖ，则函数)(h f V =的大致图象可能是图8中的（ ）．解：据四个选项提供的信息（ｈ从Ｏ→Ｈ），我们可将水“流出”设想成“流入”，这样，每当ｈ增加一个单位增量Δｈ时，根据鱼缸形状可知V 的变化开始其增量越来越大，但经过中截面后则越来越小，故Ｖ关于ｈ的函数图象是先凹后凸的，因此，选Ｂ．图7图8【例2】如下图所示，单位圆中弧AB 的长为x ，f(x)表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的２倍，则函数y=f(x)的图象是6.2函数与图像问题【例1】 在x y x y x y y x 2cos ,,log ,222====这四个函数中,当210x x <<时， 2)()()2(2121x f x f x x f +>+ 恒成立的函数的个数是( ).A.0B.1C.2D.3【分析】：运用数形结合思想,考察各函数的图象.注意到对任意x 1,x 2∈I,且x 1<x 2,当f(x)总满足2)()()2(2121x f x f x x f +>+时,函数f(x)在区间I 上的图象是“上凸”的,由此否定y=2x ,y=x 2,y=cos2x ，应选B 。
导数与函数的凹凸性
导数与函数的凹凸性导数是微积分中的一个基本概念，用于描述函数的变化率。
而函数的凹凸性则是研究函数曲线的形状和性质的重要内容。
导数与函数的凹凸性之间存在着密切的关联。
一、导数的定义与性质导数的定义是描述函数在某一点处的变化率。
对于函数y=f(x)，其在点x处的导数定义为：f'(x) = lim (h->0)[f(x+h)-f(x)]/h导数可以用来刻画函数曲线在某一点处的切线斜率。
如果导数值为正，说明函数在该点递增；若导数值为负，说明函数在该点递减；若导数值为零，则说明函数在该点达到了极值。
导数还有着一些基本性质：1. 导数的线性性质：设函数f(x)和g(x)在某一点的导数分别为f'(x)和g'(x)，常数k，则有：(kf(x))' = kf'(x)(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)2. 导数与常数的关系：常数的导数为零，即(k)' = 03. 导数的乘积法则：设函数u(x)和v(x)在某一点的导数分别为u'(x)和v'(x)，则有：(u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)二、函数的凹凸性定义函数的凹凸性是描述函数曲线的弯曲程度的概念。
若函数图像上的任意两点的连线段都位于函数曲线的上方，那么这个函数是凹函数；若函数图像上的任意两点的连线段都位于函数曲线的下方，那么这个函数是凸函数。
三、函数凹凸性与导数之间的关系1. 凹凸性与导数一阶导数的关系对于函数f(x)，若其在区间[a,b]上二阶可导且二阶导数f''(x)恒大于零，则f(x)在[a,b]上是凹函数；若f''(x)恒小于零，则f(x)在[a,b]上是凸函数。
2. 凹凸性与导数二阶导数的关系如果函数f(x)在某一点x处的二阶导数f''(x)存在且大于零，则该点为f(x)的一个极小值点，即f(x)在该点处是凹函数；如果f''(x)存在且小于零，则该点为f(x)的一个极大值点，即f(x)在该点处是凸函数。
理工类课程实践课程思政的逻辑及方法——以高等数学函数曲线的凹凸性为例
理工类课程实践课程思政的逻辑及方法——以高等数学函数曲线的凹凸性为例一、理解凹凸性的概念1、凹凸性是数学函数曲线的一个特性，指的是函数y=f(x)的凹处和凸处，也就是曲线拐点处，左右两侧导数值符号不同，即左右导数正负变换;2、凹凸性有三种类型，即凹凸性，双凹性和双凸性，其中凹性指函数变换到拐点右侧时，曲线是降低变化，而凸性则指函数曲线由拐点左侧变换到右侧时，曲线是增度变化。
3、判断凹凸性需要观察函数的拐点左右两侧导数的变化趋势，如果导数的变化趋势不同，则存在凹凸性；如果左侧导数均为正或负，即双凹性；如果右侧导数均为正或者负，则可以判断为双凸性。
二、凹凸性在现代科技中的运用1、凹凸性可以用于机器自动化控制，如在机器行驶中，利用检测线的凹凸性可以让机器自动感测和处理凹凸性的曲线；2、在几何摄影测量中，凹凸性可以用于获取精准的地形模型;3、凹凸性还可以用于曲线峰值检测，如在信号处理范畴，开发基于凹凸性斜率法的高效信号分析技术；4、凹凸性可以应用于组态工程方面，比如利用凹凸性可以实现一种新型的可视化数据监控中心，以实现更好的可视化管理组态工程中系统的实时数据监控。
三、高等数学函数曲线凹凸性思政教学1、在高等数学函数曲线凹凸性思政教学中，重点要把凸性、双凹性和双凸性三种类型的凹凸性都涵盖其中，让学生掌握函数曲线的凹处和凸处的特征；2、要倡导学生进行操作性的学习，以实例题方式，以题海训练练习方式来检验学生对凹凸性的掌握和运用；3、思政教学中有要针对凹凸性的基础内容，要充分讲解凹凸性知识细节要点和知识联系，因此让学生掌握更好的凹凸性知识，并能获得更多的实践应用；4、在此基础上，把凹凸性和其它工程应用紧密结合起来，把学生培养成实用性的机械知识，让学生学有所获.。
函数的导数与函数的凹凸性
函数的导数与函数的凹凸性函数的导数和函数的凹凸性是微积分中的重要概念。
导数描述了函数曲线在某一点上的斜率，而凹凸性则描述了函数曲线的弯曲性质。
这两个概念在数学、物理、经济等领域的问题求解和分析中具有广泛的应用。
一、函数的导数函数的导数是描述函数变化率的工具，表示了函数在某一点上的斜率。
设函数y = f(x)在点x0处可导，那么函数在该点的导数可以通过以下公式计算：f'(x0) = lim┬(△x→0)〖(f(x0+△x)-f(x0))/△x〗其中，lim表示极限运算，△x表示x的增量。
导数有正值、负值和零值三种情况，分别代表函数在该点上升、下降和水平。
导数的计算可以通过微分法、极限以及函数的性质来进行。
通过求导数，我们可以获得函数在每个点上的斜率，从而判断函数的增减性、最值位置等重要特征。
二、导数与函数的凹凸性导数与函数的凹凸性之间有着密切的联系。
函数在某一区间内的凹凸性可以通过它的导数的变化来确定。
下面是一些凹凸性的定义和性质。
1. 凹函数和凸函数若函数f(x)满足对于区间[a, b]上的任意两个点x1和x2，以及t∈[0, 1]，有如下不等式成立：f(tx1+(1-t)x2) ≤ tf(x1)+(1-t)f(x2)则称f(x)为在区间[a, b]上的凸函数。
如果不等式中的“≤”换成“≥”，则称f(x)为在区间[a, b]上的凹函数。
2. 凹凸性与导数如果函数f(x)在[a, b]上具有二阶连续导数，则以下命题成立：a) 若f''(x) > 0，则f(x)在[a, b]上是凹函数；b) 若f''(x) < 0，则f(x)在[a, b]上是凸函数；c) 若f''(x) = 0，则f(x)在[a, b]上可能是凹函数、凸函数，或者既不是凹函数也不是凸函数。
根据这些命题，我们可以通过函数的导数来推断函数的凹凸性质。
例如，当导数递增时，函数为凹函数；当导数递减时，函数为凸函数。
函数的凹凸性和二阶导数的关系
函数的凹凸性和二阶导数的关系二阶导数反映的是斜率变化的快慢，表现在函数的图像上就是函数的凹凸性。
f′′(x)>0，开口向上，函数为凹函数，f′′(x)<0，开口向下，函数为凸函数。
凸凹性的直观理解：设函数y=f(x)在区间I上是连续的。
如果函数的曲线在其上任意一点的切线之上，则称其在区间I上是凹的；如果一个函数的曲线在其上任何一点的正切线以下，那么它在区间i内是凸的。
设f(x)在[a,b]上连续，在（a,b)内具有一阶和二阶导数，那么，若在（a,b)内f''(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的；若在（a,b)内f’‘(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。
判断函数极大值以及极小值：结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。
当一阶导数等于0，而二阶导数大于0时，为极小值点。
当一阶导数等于0，而二阶导数小于0时，为极大值点；当一阶导数和二阶导数都等于0时为驻点。
f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2)，即V型，为“凸向原点”，或“下凸”（也可说上凹），（有的简称凸有的简称凹）f(λx1+(1-λ)x2)>=λf(x1)+(1-λ)f(x2)，即A型，为“凹向原点”，或“上凸”（下凹），（同样有的简称凹有的简称凸）二阶导数，是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。
一般的，函数y=f(x)的导数y'=f'(x)仍然是x的函数，则y'=f'(x)的导数叫作函数y=f(x)的二阶导数。
在二维环境下，就是通常所说的平面直角坐标系中，可以通过画图直观地看出一条二维曲线是凸还是凹，当然它也对应一个解析表示形式，就是那个不等式。
但是，在多维情况下，图形是画不出来的，这就没法从直观上理解“凹”和“凸“的含义了，只能通过表达。
当然n维的表达式比二维的肯定要复杂，但是，不管是从图形上直观理解还是从表达式上理解，都是描述的同一个客观事实。
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函数的凹凸性
一、出示曲线，出示课题
1、请大家看一下屏幕上的四条曲线，如果要给它们分一下类，怎么分？可以按照函数的单调性分。
这两个从左往右，逐渐上升，这两个从左往右，逐渐下降。
2、从单调性的角度，这两条曲线是一类，但如果再仔细观察一下，这两条曲线还是不一样，这条曲线是凸的，这条曲线是凹的。
同样，这条曲线是凸的，这条曲线是凹的。
所以，如果按照曲线的凹或者凸，我们可以把这两条曲线作为一类，因为它们都是凹的，把这两条作为另外一类，因为它们都是凸的。
那么，曲线的凹或者凸，反映了函数的什么性质呢？这就是本节课我们要学习的内容：函数的凹凸性。
二、比较位置，给出定义
刚才我们说这两条曲线是凹的，什么是凹的呢？实际上，如果在这条曲线上任取两点，不难发现，连结这两个点的曲线弧始终在连结这两个点的弦的下面，所以我们说它是凹的。
而如果在这条曲线上任取两点，连结这两个点的曲线弧始终在弦的上面，所以我们说它是凸的。
这里我们是用比较曲线弧和弦的上下位置来区分曲线的凹和凸，那么，如果用数学语言来刻画曲线的凹和凸，怎么来描述呢？
(1)现在屏幕上显示的是2y x =，0x ≥的函数图象，可以看出来它是一条凹的曲线。
1、在曲线上任取两点A 、B ,设点A 的横坐标为1x ，点B 的横坐标为2x ，如果在()12,x x 内任取一个x ，过这个点作x 轴的垂线，这条垂线与曲线弧相交，交点是P ，与弦相交，交点是Q ，由于连结A 、B 两点的曲线弧始终在弦AB 的下面，所以不管x 怎么变，点P 的纵坐标始终小于点Q 的纵坐标。
2、刚才x 是在()12,x x 内任取的，这样的话，随着x 的变化，点P 和点Q 的纵坐标也在变化，这样对我们表示点P 和点Q 的纵坐标很不方便。
所以，为了表示点P 和点Q 的纵坐标的方便，x 就取()12,x x 的中点122
x x +。
3、好，在这里同学们可能会有这样的疑问：你取区间的中点，那你比的只是区间中点处对应的P 和Q 的纵坐标，不能说明曲线弧和弦上所有点的情况啊？实际上，由于点A 、B 是任取的，所以12,x x 也是任意的，随着12,x x 的变化，中点也在变化，对应的点P 和Q 也在变化，所以中点处对应的P 和Q 实际上就代表了曲线弧和弦上的所有点。
4、点P 的纵坐标是122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭
，点Q 的纵坐标是()()122f x f x +，则有122x x f +⎛⎫< ⎪⎝⎭
()()122f x f x +。
一般地，如果函数()f x 在区间I 上连续，对I 上任意两
个点12,x x ，恒有122x x f +⎛⎫< ⎪⎝⎭
()()122f x f x +，这样的函数称为区间I 上的凹函数，区间I 叫做函数的凹区间。
所以，函数2y x =是[)0,+∞上的凹函数。
（2）我们再来看另外一个函数23y x =，0x ≥，它的图象是一条凸的曲线，按照刚才我们研究的方法，不难发现，这时候点P 的纵坐标大于点Q 的纵坐标，所以122x x f +⎛⎫> ⎪⎝⎭
()()122f x f x +。
一般地，如果函数()f x 在区间I 上连续，对I 上任意两个点12,x x ，恒有122x x f +⎛⎫> ⎪⎝⎭
()()122f x f x +，这样的函数称为区间I 上的凸函数，区间I 叫做函数的凸区间。
所以，函数2
3y x =是[)0,+∞上的凸函数。
（3）有了凹函数，凸函数的定义，以后要判断函数的凹凸性就可以用定义来进行判断，这是判断函数凹凸性的一种方法。
现在大家试着用定义判断一下函数326y x x =-的凹凸性。
大家在证明的过程中是不是发现要比较这两个值得大小关系很困难？所以用定义判断函数的凹凸性不方便，那么，有没有更方便的办法呢？
大家回想一下，前面判断函数的单调性除了用定义，还可以用什么？利用导数。
那么，现在要判断函数的凹凸性，是不是也可以利用函数的导数来判断呢？
下面让我们再来仔细观察一下刚才两个函数的图象。
三、观察切线，利用导数
1.2,0y x x =≥
（1）从左往右看，图象上点的切线斜率在逐渐增大
（2）从左往右看，说明x 在增大，点的切线斜率可用()f x '表示，点的切线斜率逐渐增大说明()f x '也在增大，从函数单调性的角度说，就是()f x '在[)0,+∞上是单调增函数
（3）()f x '在[)0,+∞上是单调增函数说明()f x '的导数在[)0,+∞上大于0，也就是()()0f x ''>即()0f x ''>
（4）其实刚才的推理过程都是等价的，所以，如果知道了函数()f x 的二阶导数在区间[)0,+∞上大于0，也能推出函数()f x 是区间上的凹函数
（5）一般地，这样我们就得到了判断函数是凹函数的方法：设()f x 在区间I 上连续，且
具有二阶导数，如果在区间I 上()0f x ''>，那么()f x 是区间I 上的凹函数 2. 23y x =，0x ≥（要快）
有了这个结论，以后我们就可以借助函数的二阶导数来判断函数的凹凸性了。
四、解决问题
判断函数326y x x =-的凹凸性。
五、课堂小结：在本节课的中，我们不仅通过观察，直观感知了什么是凹的曲线，什么是凸的曲线，还从数的角度，给出了凹函数和凸函数的定义。
当然，如果用定义判断函数凹凸性很不方便，所以，我们又一起探讨了函数的二阶导数与函数凹凸性之间的关系。
学习这些不仅能更全面地了解函数性质，而且对训练大家的数学化思维具有很大的帮助。
同时，希望大家通过本课的学习养成细致、严谨的思维习惯。