(修改)第七讲从海岸线长度谈起——分形几何
分形几何概述
三、分形几何的研究方法
1、以分数维数来描述分形；
Mandelbrot提出了一个分形维数的概念。
在Euchlid几何学中我们知道维数的概念
点---0维；
线---1维；
面---2维；
分形几何与传统几何相比有什么特点：
⑴从整体上看，分形几何图形是处处不规则的，它的整体与局部都不能用传统的几何语言来描述。例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。
⑵分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。
例如：Mandelbrot集，简称M集，是人类有史以来最奇异最瑰丽的几何图形. 它由一个主要的心形图与一系列大小不一的圆盘芽苞突起连在一起构成．你看，有的地方象日冕，有的地方象燃烧的火焰，那心形圆盘上饰以多姿多彩的荆棘，上面挂着鳞茎状下垂的微小颗粒，仿佛是葡萄藤上熟透的累累硕果．它的每一个细部都可以演绎出美丽的梦幻般仙境似的图案，因为只要把它的细部放大，展现在眼前的景象会更令人赏心悦目．而这种放大可以无限地进行下去，无论放大到哪一个层次，都会显示同样复杂的局部，这些局部与整体有某种相似的地方，但又不完全相同，仿佛里面酝藏着无穷的创造力，使你感到这座具有无穷层次结构的雄伟建筑的每一个角落都存在无限嵌套的迷宫和回廊，催生起你无穷的探究欲望.。
6、可以制作成各种尺寸的分形挂历、台历、贺卡、书签等等。
7、装点科技馆、少年宫、旅游景点等地点，美化公众环境。
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我们来看曼德勃罗的分析：
当你用一把固定长度的直尺(没有刻度)来测量时，对海岸线上两点间的小于尺子尺寸的曲线，只能用直线来近似。因此，测得的长度是不精确的。
如果你用更小的尺子来刻画这些细小之处，就会发现，这些细小之处同样也是无数的曲线近似而成的。随着你不停地缩短你的尺子，你发现的细小曲线就越多，你测得的曲线长度也就越大。如果尺子小到无限，测得的长度也是无限。
分形几何在数据分析中的应用
分形几何在数据分析中的应用现代科技的快速发展带来了海量数据的存储和处理，数据分析成为了一项重要的技术手段。
然而，数据分析并不是一件简单的事情，需要复杂的算法和数学模型来处理大数据。
分形几何是一种数学工具，可以帮助人们更好地理解和处理复杂的数据结构。
在数据分析中，分形几何已经得到了广泛的应用。
本文将从何谓分形几何、分形几何在数据分析中的应用这两方面进行论述。
何谓分形几何？分形几何是一种几何形态分析学派，主要研究非整数维度的几何结构。
它主要研究的对象是自相似的图形及其性质。
大部分的物体都属于分形物体，如岩石、云层、树木等。
分形几何学所采用的主要工具是计算机和图像处理技术。
其核心思想是“自相似性”，即一部分和整体具有类似的结构和性质，可以通过无限的重复来实现。
采用这种方法分析问题，可以得到直观而又深刻的结论，对于许多问题的解决具有重要的启示作用。
数据分析需要考虑数据的特征和结构，分形几何天然拥有处理这类数据的优势。
分形几何应用于数据分析主要分为以下几个方面：1. 分形维度的计算分形维度（也叫自相似维度）是一种用来描述非整数维度空间的度量方式。
在数据分析中，分形维度可以用来描述无序和复杂的数据结构。
比如，一条海岸线看上去是一条光滑的曲线，但是如果我们对它进行放大，就会发现充斥着一些断崖、海岬、岸石等等。
此时，采用传统的欧几里德几何模型来求海岸线长度是非常困难的。
但是，通过计算海岸线的分形维度，我们可以更具有张力地描述海岸线的长度和结构。
2. 图像压缩在现代社会中，数字图像正在处处被使用。
数字图像需要大量的存储和传输，如何进行高效的压缩是一个重要的问题。
分形压缩是一种新的图像压缩技术。
图像的分形维度越高，说明其具有更强的自相似性。
利用图像的这种局部特征，采用分形压缩技术可以获得很高的压缩比。
通过分形压缩，数据可以以更小的体积存储和传输。
分形压缩技术的应用已经成为当前图像压缩领域的研究热点。
3. 数据分析可视化数据分析通常涉及到大量的数据，对数据进行可视化处理是一种有效的手段。
海岸线究竟有多长
海岸线究竟有多长？PB08207006 王婷一节微积分课上，宣老师简单的说了一句话，“海岸线的长度是无穷大的”。
说者无心，听者有意，百度一下，终于明白了个中究竟。
海岸线长度依赖于测量单位，若以1km为单位测量海岸线，得到的近似长度将短于1km的曲折都忽略掉了，若以1m为单位测量，则能测出被忽略掉的曲折，长度将变大，测量单位进一步变小，测得的长度将愈来愈大，这些愈来愈大的长度将趋近于一个确定值，这个极限值就是海岸线的长度。
但仔细一想：当测量单位变小时，所得的长度是无限增大的。
海岸线的长度是不确定的，或者说，在一定意义上海岸线是无限长的。
为什么？答案也许在于海岸线的极不规则和极不光滑。
实际测量中，我们将海岸线折线化，得出一个有意义的长度，这就是我们通常所说的海岸线的长度了。
下面我们来看一下经典的科赫曲线（科赫雪花）：科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，所以又称为雪花曲线，它是分形曲线中的一种，具体画法如下：1、任意画一个正三角形，并把每一边三等分；2、取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉；3、重复上述两步，画出更小的三角形。
4、一直重复，直到无穷，所画出的曲线叫做科赫曲线。
科赫曲线有以下几个特点：1、曲线任何处不可导，即任何地点都是不平滑的2、总长度趋向无穷大3、曲线上任意两点距离无穷大4、面积是有限的雪花曲线的面积是原来生成它的三角形的面积的8/5；面积计算方法如下Ⅰ．假定等边△ABC的面积是k。
Ⅱ．分△ABC为九个全等等边三角形，各具有面积a，如图所示。
因此k=9a。
现在确定雪花曲线六个初始尖角中每一个面积的极限。
我们知道大尖角的面积是a，因为它是九个三角形之一向外翻转而形成的。
在由它生成的下一批尖角中，每一尖角具有面积a/9，因为和原来的三角形一样，它也被分为九个全等三角形后再把其中一个向外翻转而形成下一批的一个尖角。
事实上，每一个相继的尖角都被分为九个全等三角形，同时在两边生出两个三角形。
从海岸线长度谈起
海岸线最长的国家是俄罗斯，其海 岸线长度超过10万公里，其次是加 拿大、美国、澳大利亚等国。
世界海岸线的特点
曲折程度
全球海岸线曲折程度不一，其中欧洲 和南美洲的海岸线较为曲折，而非洲 和亚洲的海岸线较为平直。
生态多样性
海岸线是生态多样性最为丰富的地区之一， 包括湿地、红树林、珊瑚礁等生态系统，这 些生态系统为众多物种提供了栖息地。
生态修复工程
实施海岸线生态修复工程，包括植被恢复、湿地 保护、沙滩治理等，提高海岸线的生态功能和环 境质量。
监测与评估
建立海岸线生态监测与评估体系，定期对海岸线 生态状况进行评估，及时发现和解决生态问题。
促进海岸线资源的合理利用与开发
科学规划
制定科学的海岸线资源利用规划，明确不同区域的功能定位和发 展方向，避免盲目开发和无序竞争。
01
02
03
港口运输
海岸线长度为港口发展提 供了有利条件，便于货物 进出口和国际贸易。
海洋资源开发
海岸线附近蕴藏着丰富的 海洋资源，如渔业、石油、 天然气等，为地区经济发 展提供资源保障。
旅游业
海岸线优美的自然景观和 丰富的文化资源吸引游客， 促进地区旅游业发展。
海岸线长度对城市发展的影响
城市扩张
资源整合
整合海岸线资源，实现资源共享和优势互补，推动产业集聚和产 业链延伸。
创新发展模式
鼓励企业加大科技投入，创新发展模式，提高海岸线资源利用效 率和经济效益。
06
结论
总结海岸线的重要性
01
生态平衡
海岸线是海洋与陆地的交汇地带，对于维持生态平衡起着重要作用。它
们为众多生物提供繁殖、觅食和栖息的场所，是生物多样性的重要保障。
(修改)第七讲从海岸线长度谈起——分形几何
分形几何进入中学数学课程
▪ 1.分形几何进入中学数学课程的必要性 ▪ 1）分形几何的创立是数学发展历史上的又一次进
步 ▪ 2）分形理论是描述现实世界的有力工具 ▪ 3）分形几何是培养创新思维的极好材料 ▪ 4）有利于学生掌握数学思想方法，发展辩证思维，
提高审美情趣的思想方法。 ▪ 5）课程现代化的需要
数学文化：一般到特殊，特殊到一般， 归纳总结找规律的猜想， 证明规律的猜想得结论
▪ 雪花曲线的特点——自相似性。任何一个局 部放大后都与整体非常相似。（欧几里得中 的圆就没有这个性质）
邮票上的雪花曲线（保加利亚）有什 么奥秘？
雪花边 界线的 长度？ 面积？
隆冬雪花
你细瞧海岸 线，就有类 似的形状
B.B.Mandelbrot（蒙德尔布罗）在《科学》 杂志上发表文章 “英国的海岸线有多长？” 。 他发现这个差距源于海岸线形状的不规则性及用 来测量的尺子长短不一。
这看似极其简单，但Mandelbrot发现：
当测量单位变小时， 所得的长度是无限增大的。
但是，在欧几里得几何中， 当尺的长度趋于零的时候， 测量出的长度趋于圆周长！
“首先，它们处处无规则可言。其次 ，它们 在各种尺度上都有同样程度的不规则性。不论从远 处观察，还是从近处观察，分形看起来一个模样— —它是自相似的。
“整体中的小块，从远处看是不成形的 小点，近处看则发现它变得轮廓分明，其外 形大致和以前观察的整体形状相似。 ”
“自然界提供了许多分形实例。例如， 羊齿植物、菜花和硬花甘兰，以及许多其他 植物，它们的每一分支和嫩枝都与其整体非 常相似。其生成规则保证了小尺度上的特征 成长后就变成大尺度上的特征。”
蝴蝶效应
1963年，美国气象学家洛伦茨发现的“蝴蝶效应”便是其中 典型一例。洛伦茨在一个由三维一阶微分方程组描述的气象 预报模型中，发现该确定的数学模型产生的结果不是趋于稳 定平衡的，也不是趋于某种周期性变化，而是貌似随机的。 近似的初始条件并不能获得近似的结果，更甚者，两者的差 异随时间增大而越大。但这种现象并不是由于计算机的精度 或可靠性等原因造成的。之后，这种类似现象被大量发现， 引起众多学者的关注。1975年，美国数学家约克和华人学者 李天岩将“蝴蝶效应”之类的现象称之为“混沌”。对混沌 现象的研究加深了人们对非线性现象的理解，深化了对混沌 现象本质的认识。
分形几何概述1
n
ln 4 1.26186 ln 3
英国海岸线的维数为D=1.25 (Mandelbrot)
Koch曲线：(㏑4)/ (㏑3)=1.2618 Cantor集： (㏑2)/ (㏑3)=0.6309 Sierpinski集： 垫片： (㏑3)/ (㏑2)=1.5850 地毯： (㏑8)/ (㏑3)=1.8927 海绵： (㏑20)/ (㏑3)=2.7268
Koch曲线的生成过程 —第0步、第1步
Koch曲线的生成过程 —第2步、第3步
Koch 曲线
Koch 曲线（续）
Koch曲线曾经在数学界成为一个魔鬼。 同样的道理：长度无限、面积为零、而曲 线还有“界”。 另外，有一个特点：当取其中的一部分 展开，与整体有完全的自相似性，似乎是一 个什么东西的无数次的自我复制。
定义1 如果一个集合在欧式空间中的 Hausdorff维数DH恒大于其拓扑维数DT，则 称该集合为分形集，简称分形。
由Mandelbrot在1982年提出，四年后， 他又提出了一个更是实用的定义： 定义2 组成部分以某种方式与整体相似的形 体叫分形。
分形的概念
分形看作具有如下所列性质的集合F：
F具有精细结构，即在任意小的比例尺度内包含整体。 F是不规则的，以致于不能用传统的几何语言来描述。 F通常具有某种自相似性，或许是近似的或许是统计 意义下的。 F在某种方式下定义的“分维数”通常大于F的扑维数。 F的定义常常是非常简单的，或许是递归的。
分形几何概述
海岸线长度问题
二十世纪七十年代，法国数学家曼德尔勃罗特在他的著 作中讨论英国海岸线的长度。他发现，这个问题取决于测量 所使用的尺度。采用公里做单位，一些几米和几十米的曲折 会被忽略，如果采用米做单位，测得的长度会增加，但厘米 以下的量仍然无法反映，测量单位的缩小使测得的长度增加， 由于在自然尺度之间有许多个数量级，这种增加不会停止， 海岸线的长度会趋于无限长。也就是说，长度不是海岸线的 定量特征。
海岸线长度量算方法的研究
海岸线长度量算方法的研究刘春杉，王华接，沈亮【摘要】海岸线是重要而宝贵的自然资源，准确量算海岸线长度是摸清海洋家底和实施有效管理的前提。
但目前海洋界没有统一的海岸线长度量算方法。
提出基于高斯平均引数的椭球面长度算法，并采用MapBasic语言的实现海岸线长度的自动化计算，通过验证和比对，比目前海洋界普遍采用的平面长度算法更准确，可在实际工作中推广。
【期刊名称】海洋通报【年(卷),期】2011(030)005【总页数】6【关键词】海岸线；椭球面长度算法；高斯平均引数1 背景海岸线是重要而宝贵的战略资源，既是港口、旅游、养殖等海洋产业发展重要载体，也是海洋生态多样性重要的来源，具有一定的稀缺性和不可再生性质。
通过对海岸线的有效管理，合理利用海岸线，并使其发挥最大的社会经济效益，对于当前面临经济结构调整和产业结构升级的广东省来说，具有重要的现实意义。
海岸线位置和长度是海洋综合管理的重要基础数据，准确计算海岸线长度，是摸清海洋资源家底和实现对海岸有效管理的前提。
近年来，受自然和人为因素的影响，海岸线变化较大，20世纪80年代进行的“全国海岸带和海涂资源综合调查”中的海岸线数据资料已不能反映当前我国海岸线的现状，不宜再作为现实管理和规划制订的依据，有必要重新测量海岸线位置并计算其长度。
2003年起，国家海洋局启动了“我国近海海洋综合调查与评价专项”（简称“908”专项），专项要求对海岸线重新做了修测，测量最新的海岸线位置并计算其长度。
与以往大规模调查不同，本次海岸线修测基于WGS84坐标系，采用GPS实测与遥感影像提取相结合的先进技术手段，对于可以到达的海岸，顺直海岸每隔50 m定一个点，曲折海岸适当加密，采用 RTK-GPS实测海岸线；对于难以到达的海岸，则采用1︰10000比例尺地形图矢量化后的数据与2005年的SPOT遥感影像数据叠加拟合、修正、提取海岸线。
最终两者通过GIS系统拼接合并成为完整而连续的海岸线矢量数据。
海岸线长度问题讲解
3 ( 4)n 3
“自相似”的特点
柯克曲线自身的任何一个局部，放大后都与整体非 常相似。
柯克曲线是通过无限的步骤创造的。这无限步骤中 的每一步，都是在上一部图形的每个边上，以中间的 1/3为一边，向外侧突出作一个正三角形，再把原来边 上中间的1/3部分擦掉。这样，柯克曲线自身的任何一 个局部，如此不断地做下去，与整体是非常相似的。
Koch曲线
雪花曲线令惊异的性质是：它具有有限的面积，但却 有着无限的周长！
雪花曲线的周长持续增加而没有界限，但整条曲线却 可以画在一张很小的纸上，所以它的面积是有限的，实际 上其面积等于原三角形面积的8／5倍。
二、分形
1.客观世界的“分形”
蒙德尔布罗认为： 海岸线更接近于柯克曲线的形式。
（1）海岸线是没有规则的，不能用函数表达出来； (2)海岸线在各种尺度上都有同样程度的不规则性; (3)海岸线的部分和整体是很相似的，无论从远处观察还是 从近处观察都一样复杂，有自相似性。
三、混沌
1.洛仑兹的天气预报
1963年，他在麻省理工学院操作着一台当时比 较的先进工具——计算机进行天气模拟，试图进行 长期天气预报。
Lorenz发现，天气运动的规律不同于人们 通 常研究的物质运动规律。人们通常研究的物质运动， 小的初值改变只会导致结果的小改变。而天气运动 不然，天气运动是“混沌”运动。
一、问题的产生
1.英国的海岸线有多长？
当你用一把固定长度的直尺(没有刻度)来测量时， 对海岸线上两点间的小于尺子尺寸的曲线，只能用直 线来近似。因此，测得的长度是不精确的。
如果你用更小的尺子来刻画这些细小之处，就会 发现，这些细小之处同样也是无数的曲线近似而成的。 随着你不停地缩短你的尺子，你发现的细小曲线就越 多，你测得的曲线长度也就越大。
从海岸线长度谈起
（十七）从海岸线长度谈起----分形与混沌从远古时代开始，人们对大自然的变幻无常就有着神秘莫测的恐惧，几千年的科学发展和文明进步使人类逐渐认识到，大自然有规律可循。
经典力学的追随者认为，只要近似知道一个系统的初始条件和理解相关的自然定理，就可计算系统的近似行为，因为世间万物的行为方式具有一种收敛性（注意到精确测量初始条件实际上是不可能的，因为现实中的测量总有一定的误差）。
这样的信念在天文学上获得了辉煌的成就，如海王星的发现。
人们研究天王星时发现其轨道存在某些极小的不规则性，这使人们怀疑天王星外还有一颗未知行星。
英国亚当斯（Adams）和法国的勒维列(Verrier)独立地对此进行研究，根据开普勒(Kepler)定理算出了这颗新星何时出现在何方位，德国科学家戈勒(Galle)进行探索，在与预计位置差1°（近似行为！）的地方发现了此星（后来汤姆波夫(Tambaugh)又根据海王星自身运动不规则的记载又发现了冥王星）。
于是海王星的发现成为经典决定论最成功的例证。
经典力学的成功无疑给人们巨大的信心，以致把宇宙看成了一架庞大的机器。
也就是说对于任何一个系统，只要知道了它的初始状态，就可以根据动力学规律推算出它随着时间变化所经历的一系列状态，拉晋拉斯（Laplace）曾将这种思想推广到整个宇宙，认为只要知道了构成宇宙的每个质点在某一瞬间的位置和速度，又知道了动力学方程，我们就可以精确地知道宇宙过去和将来的一切情况。
他说：“设想某位智者在每一瞬时得知激励大自然的所有力及组成它的所有物体的相互位置，如果这位智者博大精深能对这样众多的数据进行分析，把宇宙间最庞大的物体和最轻微的原子的运动凝聚在一个公式之中，对他来说，没有什么事物是不确定的，将来就象过去一样清晰展现在眼前”。
这就是被称为拉普拉斯决定论的基本观点。
牛顿力学在天文上处理最成功的是两体问题，如地球和太阳的问题，两个天体在万有引力作用下围绕它们共同质心作严格的周期运动。
分形几何
Sierpinski地毯
• 其次，将一个正方形九等分，去掉中间 的一个，保留四条边，剩下八个小正方 形。将这九个小正方形再分别进行九等 分，各自去掉中间的一个保留它们的边。 重复操作直至无穷。
• 相似维数的定义具有很大的局限性，因 为只用对具有严格的自相似性的分形， 才能使用这个维数，定义适用于包括随 机图形在内的任意的维数是很必要的。 • 波恩大学数学家豪斯道夫1919年从测量 的角度引进了Hausdorff维数。
分形的定义
• 定义1.如果一个集合在欧式空间中的 Hausdorff维数DH恒大于其拓扑维数 DT，则称该集合为分形集，简称分形。 由Mandelbrot在1982年提出， 四年后，他又提出了一个更是实用的定 义： • 定义2．组成部分以某种方式与整体相似 的形体叫分形。
分形几何
海岸线长度问题
• 二十世纪七十年代，法国数学家曼德尔勃罗特 在他的著作中讨论英国海岸线的长度。他发现， 这个问题取决于测量所使用的尺度。采用公里 做单位，一些几米和几十米的曲折会被忽略， 如果采用米做单位，测得的长度会曾加，但厘 米以下的量仍然无法反映，测量单位的缩小使 测得的长度曾加，由于在自然尺度之间有许多 个数量级，这种曾加不会停止，海岸线的长度 会趋于无限长。也就是说，长度不是海岸线的 定量特征。
分形理论的应用
• 生物学：肺（人肺的分形维数约为2.17； 血管（血管直径分布的分形维数约为 2.3），人脑（人脑表面的皱纹的分形维 数约为2.73-2.79）；蛋白质。 • 地球物理学：海岸线、河流的干流和支 流分布、地震研究。 • 物理学和化学：超导；固体表面；高分 子。
英国的海岸线有多长？
如：
器型设计
最经典案例的莫过于国外那条价值连城的julia集钻石 项链，珠宝设计师把一颗颗钻石、蓝宝石按照julia集的分形 结构给串联在一起，产生了史无就是很好的装饰性。选 择比较有个性、优美的分形元素，可以起到很好的装饰效果。 最简单的方法就是分形艺术装饰画、
分形的特点
从整体上看，分形几何图形是处处不规则 的。 如：海岸线
在不同尺度上，图形的规则性又是相同的。 如：
分形的定义
• 曼德布罗特曾经为分形下过两个定义： （1）条件：
对于 Dim(A)>dim(A)的集合A，称为分形集。其中，Dim(A) 为集合A的Hausdoff维数（或分维数），dim(A)为其拓扑维数。一 般说来，Dim(A)不是整数，而是分数。 （2）称为分形： （i）分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有 精细的结构。 （ii）分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某 些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。 （iii）分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者 统计的自相似。 （iv）一般，分形集的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑 维数。 （v）在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常简单的方 法定义，可能以变换的迭代产生。
分形的应用
工程领域：
国外很多大片都应用了分形，早在星球大战里，黑武 士和天行者拼极光剑的时候，那周围喷涌的岩浆，就是利用 分形生成的。
如： 设计布局
分形艺术中优美丰富的图形可以应用到各种布局中 如舞 台设计,园林设计，建筑设计等。 如：
设计素材
如广告业，作为素材制作新颖的广告画面，各类商品包 装的设计，网站设计等。
英国的海岸线有多长？
——关于分形
2012级化学系 马海玲 10121550220
海岸线长度问题
客观世界中更多的是“分形”
平面分形图形：海岸线、柯克曲线、下雨区域 的边界、指纹和掌纹、河流的水系图、蜗牛 爬过的路线等；
空间分形图形：天空中的云、地面上的山、河 流的河道、树皮、DNA螺旋线、人的血管分叉、 闪电的线路、人的经络等等。
山
星云
星云
天空中的云朵
植物的叶子
河流分布图
“整体中的小块，从远处看是不成形的 小点，近处看则发现它变得轮廓分明，其外 形大致和以前观察的整体形状相似。 ”
如果尺子小到无限，测得的长度也是无限。
刘徽——割圆术
2.柯克曲线
1904年，瑞典数学家柯克（Koch，1870～1924） 构造了一种雪花形状的曲线，我们习惯上称为柯克雪 花曲线．这一曲线巧妙地解释了蒙德尔布罗的分形几 何思想，其构造方法如下：
（1）取一个边长为1的正三角形，在每个边上以中间的1/3为 一边，向外侧凸出作一个正三角形． （2）将原来边上中间的1/3部分擦掉，就构成了一个很像雪 花形状的有12条边的六角星． （3）再以上图中每边上中间的1/3为一边，向外凸出作一个 正三角形，然后把原来边上中间的1/3部分擦掉，就构成了一 个更像雪花的六角星，这个六角星有48条边． （4）重复以上步骤，不断做下去，得到的图形就是柯克雪花 曲线．
（2）Cantor三分集——最简单的分形
（3）谢尔宾斯基“垫片”
（3）谢尔宾斯基“地毯”
（4）门格尔海绵
（4）门格尔海绵
谢尔宾斯基金字塔
3.分形维数的定义
用迭代函数算法画的树
三、混沌
1.洛仑兹的天气预报
美国气象学家E.N.Lorenz在天气预报中的发现是混沌认识 过程中的一个里程碑。
三、混沌
1.洛仑兹的天气预报
修改从海岸线长度谈起——分形几何PPT87页
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
60、人民的幸的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
海岸线与分形
海岸线与分形摘要：本文以海岸线的测量为线索通俗易懂地介绍了规整几何图形的测量及其相关特征，引出分维的概念，最后由海岸线过渡到分形，展示了分形在生活中无处不在和应用。
关键字：海岸线；规整几何；分形英国科学家理查逊曾探索过大量关于自然复杂现象的问题，并对海岸线和国境线的测量问题感到怀疑，他核查了西班牙、葡萄牙、比利时和荷兰的百科全书，发现这些国家对他们共同边界的长度的估计相差竟达20%！他向世界提出了海岸线的问题，难道是海岸线不可以测量吗？为了探讨这个问题，先来谈谈我们对平时所学的几何对象是如何测量的。
一、规整几何图形的测量所谓规整的几何图形是指，直线与直线段；平面与平面上的正方形、矩形、梯形、菱形、三角形以及正多边形；三维空间中的长方体、正六面体与正四面体等。
另一类就是由曲线或曲面所围成的几何图形；平面上的圆与椭圆；空间中的球、椭球、圆柱、圆台与圆锥等。
[1] 在规整几何中，为了测量一块平面图形的面积，可以用一个边长为l ，面积为2l 的“标准”方块去覆盖它。
所得的方块数目就是它的面积（以2l 为单位）： 面积有限数平面图形面积==2l。
[2]因此，也就是说，先确定一个“标准”，然后求得的含有这样“标准”的个数就是测量的结果。
这个“标准”也就是特征尺度。
下面，我们用这个方法去测量海岸线的长度吧！设想测量员用两脚规，把它张成一定的长度，例如1r ，然后沿着海岸线一步一步地测量，所得数为1r N ，则海岸线在这一尺度下的近似长度为111r N l r ⨯=，说“近似”，是出于为测量时忽略了小于1r 的那些曲曲弯弯的曲线。
如果把两脚规张成较1r 小的长度，比如2r （12r r <），再沿着海岸线一步一步地测量，所得的数为2r N ，则海岸线在该尺度下的近似长度为222r N l r ⨯=，“近似”理由同上，此时，那些小于2r 的弯弯曲曲的海岸线仍被忽略了，……，如此 ，会得到关于海岸线长度的一系列不同的结果：,,21l l …，n l ，…，并且显然有<<21l l …<<n l …。
什么是分形几何？
什么是分形几何？什么是分形几何？1973年，曼德勃罗（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。
分形（Fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其愿意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。
由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。
分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。
分形几何与传统几何相比有什么特点⑴从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。
例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。
⑵在不同尺度上，图形的规则性又是相同的。
上述的海岸线和山川形状，从近距离观察，其局部形状又和整体形态相似，它们从整体到局部，都是自相似的。
当然，也有一些分形几何图形，它们并不完全是自相似的。
其中一些是用来描述一般随即现象的，还有一些是用来描述混沌和非线性系统的。
什么是分维？在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。
也可以梢加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，但通常人们习惯于整数的维数。
分形理论把维数视为分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入了，所以存在分维。
其实，Koch曲线的维数是1.2618……。
Fractal（分形）一词的由来据曼德勃罗教授自己说，fractal一词是1975年夏天的一个寂静夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他儿子的拉丁文字典时，突然想到的。
此词源于拉丁文形容词fractus，对应的拉丁文动词是frangere （“破碎”、“产生无规碎片”）。
此外与英文的fraction （“碎片”、“分数”）及fragment（“碎片”）具有相同的词根。
在70年代中期以前，曼德勃罗一直使用英文fractional一词来表示他的分形思想。
因此，取拉丁词之头，撷英文之尾的fractal，本意是不规则的、破碎的、分数的。