2006年考研数学三真题与答案

(A)若 (B)若 (C)若 (D)若 【答案】D。
，则 ，则 ，则 ，则
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【解析】本题主要考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘
数法。
作拉格朗日函数
并记对应 的参数
的值为 则
即
消去 得
整理得：
,
若
则
综上所述，本题正确答案是 D
【考点】高等数学—多元函数微积分学—二元函数的极限
(12)设 是
积分较容易，所以：
。 【考点】高等数学—多元函数微积分学—二重积分的计算 (17)（本题满分 10 分）
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证
明
：
当
时
，
. 【解析】本题可构造函数，利用函数的单调性来证明。
设
则
则 在 上单调减，从而有 因此， 在 上单调增，当
时，
即
。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—基本初等函数的性质
由
知
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综上所述，本题正确答案是 。 【考点】高等数学—一元函数微分学—复合函数的导数
(3) 设函数 可微，且
则
微分
。
【答案】
在点 处的全
【解析】因为
,
所以
。
综上所述，本题正确答案是
【考点】高等数学—多元函数微积分学—偏导数、全微分
(4) 设 矩 阵 ，则
【答案】2。 【解析】
， 为二阶单位矩阵，矩阵 满足 ___________。
2006 年考研数学三真题
一、填空题（1~6 小题，每小题 4 分，共 24 分。）
(1)
。
【答案】
【解析】
【方法一】记 且
因为
故
。
【方法二】
而
为有界变量，
则原式
。
综上所述，本题正确答案是 。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限的四则运算
(2) 设函数 在 的某领域内可导，且
则
。
【答案】 。 【解析】本题主要考查复合函数求导。
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所以
。
综上所述，本题正确答案是 B
【考点】线性代数—矩阵—矩阵的线性运算
(14)设随机变量 服从正态分布
服从正态分布
且
则必有
(A)
(A)
(C)
(D)
【答案】A。
【解析】由于 与 的分布不同，不能直接判断
和
较。
的大小与参数的关系，将其标准化，就可以方便比
率密度函数为偶函数，故
随机变量
且其概
因为
，所以
。
综上所述，本题正确答案是 。
【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质
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线性代数—矩阵—矩阵的线性运算
(5) 设随机变量 与 相互独立，且均服从区间
则
___________。
上的均匀分布，
【答案】 。 【解析】本题考查均匀分布，两个随机变量的独立性和他们的简
单函数的分布。
因为
同理 是单调增函数，当
即 。
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, 所以
时， 即
综上所述，本题正确答案是 A 【考点】概率论与数理统计—随机变量及其分布—正态分布及应 用 三、解答题（15~23 小题，共 94 分。解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤。） (15)（本题满分 7 分）
设
求
(I)
(II) 【解析】本题主要考查洛必达法则和等价无穷小的替换。
，于是
综上所述，本题正确答案是 A。
，即
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念，导数
的几何意义和物理意义
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(8) 设函数 在
(A)
且
(C)
且
【答案】C。
处连续，且 存在 (B) 存在 (D)
则
且
存在
且
存在
【解析】由
且
在 处连续，且
则 从而
由于
由于上式中
综上所述，本题正确答案是 C。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念
(18)（本题满分 8 分）
在 坐标平面上，连续曲线 过点
其上任意点
处的切线斜率与直线 的斜率之差等于
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四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）
(1) 设函数
具有二阶导数，且
量 在点 处的增量， 与 分别为
ห้องสมุดไป่ตู้微分，若
，则
， 为自变 在点 处对应的增量与
(A)
(B)
(C)
(C)
【答案】A。
【解析】
【方法一】由函数 义，得如下所示的图
单调上升且凹，根据 和 的几何意
由图可得 【方法二】
由凹曲线的性质，得
均为 维列向量， 是
矩阵，下列选项正确的
(A)若
线性相关，则
(B)若
线性相关，则
(C)若
线性无关，则
(D)若 【答案】A。
线性无关，则
【解析】
线性相关 线性无关 线性相关 线性无关
【方法一】因为
线性相关，故存在不全为零的数
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使得
从而有
即
由于
上式成立，说明
线性相关。
【方法二】利用秩来求解，利用分块矩阵有
高等数学—一元函数微分学—导数的概念
(9) 若级数
收敛，则级数
(A)
收敛
(B)
(A)
收敛
(A)
【答案】D。
收敛 收敛
【解析】由
收敛知
收敛，所以级数
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收敛。
综上所述，本题正确答案是 D。 【考点】高等数学—无穷级数—收敛级数的和的概念
(10)非 齐 次 线 性 微 分 方 程
有两个不同的解
不全为 0 而是
那么
因为
线性相关，有
从而
故
综上所述，本题正确答案是 A
线性相关。
【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关与线性无关、向量
组的秩
(13)设 为三阶矩阵，将 的第 2 行加到第 1 行的 ，再将 的第 1
列的 倍加到第 2 列得 ，记
，则
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】B。
【解析】按已知条件，用初等矩阵描述有
事件
又根据
相互独立，均服从均匀分布，可以直接写出
综上所述，本题正确答案是 。 【考点】概率论—多维随机变量的分布—二维随机变量的分布
(6) 设总体 的概率密度为 为总体 的随机简单样本，其样本方差为 则
【答案】 【解析】
_______。
综上所述，本题正确答案是 。 【考点】概率论—随机变量的数字特征—随机变量的数学期望 (均值)、方差、标准差及其性质 二、选择题（7~14 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的
(I)在求
时 为固定的正数，则 ,
则
。
(II)
=
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。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的比较、洛必 达法则 (16)（本题满分 7 分）
计算二重积分
其中 是由直线
所围成的平面区域。
【解析】画出二重积分，将二重积分化为累次积分即可。
积分区域如左图，因为根号下的
函数为关于 的一次函数，先 后
为任意常数，则该方程的通解是
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】B。
【解析】由于
是对应其次线性微分方程
的非零解，所以它的通解是 故原方程的通解为
综上所述，本题正确答案是 B。 【考点】高等数学—常微分方程与差分方程—非齐次线性微分方 程性质及解的结构
(11)设
与
均为可微函数，且
。已知
是
在约束条件
下的一个极值点，下列选项正确的是