2006年考研数学三真题与答案
考研数学三历年真题：1987年至2018年
n 0
_
.
xn n 1
的收敛域是__
_
.
(3) 齐次线性方程组
x1 x2 x3 0, x1 x2 x3 0, x x x 0 2 3 1
只有零解,则 应满足的条件是__
_
.
(4) 设随机变量 X 的分布函数为
0 , F x A sinx, 1, x 0, 0 x x
HY-2018
(含 31 年共 31 套考研《数学三》历年真题)1987 年—2018 年全国硕士研究生入学统一考试《数学 三》真题试卷及答案
全国硕士研究生入学统一考试《数学三》真题目录（31 套）
1987 年全国硕士研究生入学统一考试《数学三》真题试卷及答案 1989 年全国硕士研究生入学统一考试《数学三》真题试卷及答案 1990 年全国硕士研究生入学统一考试《数学三》真题试卷及答案 1991 年全国硕士研究生入学统一考试《数学三》真题试卷及答案 1992 年全国硕士研究生入学统一考试《数学三》真题试卷及答案 1993 年全国硕士研究生入学统一考试《数学三》真题试卷及答案 1994 年全国硕士研究生入学统一考试《数学三》真题试卷及答案 1995 年全国硕士研究生入学统一考试《数学三》真题试卷及答案 1996 年全国硕士研究生入学统一考试《数学三》真题试卷及答案 1997 年全国硕士研究生入学统一考试《数学三》真题试卷及答案 1998 年全国硕士研究生入学统一考试《数学三》真题试卷及答案 1999 年全国硕士研究生入学统一考试《数学三》真题试卷及答案 2000 年全国硕士研究生入学统一考试《数学三》真题试卷及答案 2001 年全国硕士研究生入学统一考试《数学三》真题试卷及答案 2002 年全国硕士研究生入学统一考试《数学三》真题试卷及答案 2003 年全国硕士研究生入学统一考试《数学三》真题试卷及答案 2004 年全国硕士研究生入学统一考试《数学三》真题试卷及答案 2005 年全国硕士研究生入学统一考试《数学三》真题试卷及答案 2006 年全国硕士研究生入学统一考试《数学三》真题试卷及答案 2007 年全国硕士研究生入学统一考试《数学三》真题试卷及答案 2008 年全国硕士研究生入学统一考试《数学三》真题试卷及答案 2009 年全国硕士研究生入学统一考试《数学三》真题试卷及答案 2010 年全国硕士研究生入学统一考试《数学三》真题试卷及答案 2011 年全国硕士研究生入学统一考试《数学三》真题试卷及答案 2012 年全国硕士研究生入学统一考试《数学三》真题试卷及答案 2013 年全国硕士研究生入学统一考试《数学三》真题试卷及答案 2014 年全国硕士研究生入学统一考试《数学三》真题试卷及答案 2015 年全国硕士研究生入学统一考试《数学三》真题试卷及答案 2016 年全国硕士研究生入学统一考试《数学三》真题试卷及答案 2017 年全国硕士研究生入学统一考试《数学三》真题试卷及答案 2018 年全国硕士研究生入学统一考试《数学三》真题试卷及答案
考研数学三解答题专项强化真题试卷38(题后含答案及解析)
考研数学三解答题专项强化真题试卷38(题后含答案及解析)题型有：1.1．正确答案：2．设矩阵A＝且A3＝0．(I)求a的值；(Ⅱ)若矩阵X满足X—XA2一AX＋AXA2＝E，其中E为3阶单位矩阵，求X．正确答案：解(I)由于A3＝0，所以于是a＝0 (Ⅱ)由于X－XA2－AX＋AXA2＝E 所以(E－A)X(E－A2)＝E由(I)知因为E －A，E－A2均可逆，所以X＝(E－A)－1(E－A2)－13．(13年)设D是由曲线y＝，直线χ＝a(a＞0)及χ轴所围成的平面图形，Vχ，Uy分别是D绕χ轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积．若Vy＝10Vχ，求a的值．正确答案：由Vy＝10Vχ，即，解得a＝7 涉及知识点：微积分4．(09年)设曲线y＝f(χ)，其中f(χ)是可导函数，且f(χ)＞0．已知曲线y＝f(χ)与直线y＝0，χ＝1及χ＝t(t＞1)所围成的曲边梯形绕χ轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍，求该曲线的方程．正确答案：由题设可知旋转体体积为V＝∫1tf2(χ)dχ曲边梯形的面积为S＝∫1tf(χ)dχ由题设可知，π∫1tf2(χ)dχ＝πt∫1tf(χ)dχ即∫1tf2(χ)dχ＝t∫1tf(χ)dχ上式两端对t求导得f2(t)＝∫1tf(χ)dχ＋tf(t) (*) 继续求导得2f(t)f′(t)＝f(t)＋f(t)＋tf′(t) 即(2y－t)＝2y (其中y＝f(t)) 在(*)式中令t＝1得f2(1)＝f(1)，即f(1)＝1或f(1)＝0．而由题设知f(t)＞1，则f(1)＝1，代入t＝知，C＝，即t＝．则所求曲线方程为2y＋－3χ＝0．涉及知识点：微积分5．(88年)设随机变量X在区间(1，2)上服从均匀分布，试求随机变量Y＝e2X的概率密度f(y)．正确答案：X的概率密度为：fX(χ)＝而Y的分布函数FY(y)＝P{Y≤y}＝P{e2X≤y}．由X的取值范围，可见当y≤0时，FY(y)＝0，∴f(y)＝F′Y(y)＝0；当y＞0时，FY(y)＝P{2X≤lny}＝P{X≤lny}＝fx(χ)dχ，故得f(y)＝涉及知识点：概率论与数理统计6．(2017年)求极限正确答案：先对变上限积分作变量代换u=x—t，得则由洛必达法则可知涉及知识点：微积分7．求曲线y=e—xsinx(x≥0)与x轴之间图形的面积．正确答案：要计算S=∫0+∞e—x｜sinx｜dx，首先要计算∫e—xsinxdx=e—x(cosx+sinx)+C，当k=0，2，4，6，…，∫kπ(k+1)πe—x｜sinx｜dx=，当k=1，3，5，7，…，∫kπ(k+1)πe—x｜sinx｜dx=，S=∫0+∞e—x｜sinx｜dx==．[2009年] 袋中有一个红球、两个黑球、三个自球．现在有放回地从袋中取两次，每次取一个，以X，Y，Z分别表示两次取球所取得的红、黑与白球个数．8．求P(X=1|Z=0)；正确答案：解一P(Z=0)=P(两次取球都没有取到白球)，该事件包括下述几种情况(考虑取球的次序)：{X=1，Y=1}={第一次取到一红球，第二次取到一黑球}+{第一次取到一黑球，第二次取到一红球}，共有C11C21+C21C11=4种取法；{X=2，Y=0}={第一次取到一红球，第二次取到一红球}，共有C11C11=1种取法；{X=0，Y=2}={第一次取到一黑球，第二次取到一黑球}，共有C11C21=4种取法．由命题3．3．1．2知，两次取球有放回，每次取一个，取两次的样本空间Ω共含有nm=62个样本点，故P(Z=0)=(C11C21+C21C11+C11C121+C21C21)／62=9／36=1／4，又P(X=1，Z=0)=P(X=1，Y=1)=(C11C21+C21C11)／62=1／9．故P(X=1|Z=0)=P(X=1，Z=0)／P(Z=0)=(1／9)／(1／4)=4／9．解二P(X=1|Z=0)=P(在没有取到白球的情况下，取到一次红球)，也可利用缩减样本空间法求得P(X=1|Z=0)=(C11C21+C21C11)／32=4／9．注：命题3．3．1．2 从n个不同元素中按照有放回且计序的要求从中取出m(m≤n)个，这时得到的样本空间设为Ω，则此样本空间Ω共含有nm个样本点，即从n个不同元素中取m个的允许重复的排列的种数为nm．涉及知识点：概率论与数理统计9．求二维随机变量(X，Y)的概率分布．正确答案：X，Y的可能取值为0，1，2，利用命题3．3．1．2得到P(X=0，Y=0)=P(Z=2)=C31C31／62=9／36=1／4，P(X=0，Y=1)=P(Y=1，Z=1)=(C21C31+C31C21)／62=1／3，P(X=0，Y=2)=(C10C21+C21C10)／62=1／9，P(X=1，Y=0)=P(X=1，Z=1)=(C11C31+C31C11)／62=1／6，P(X=1，Y=1)=(C11C21+C21C11)／62=1／9，P(X=1，Y=2)=P(X=2，Y=1)=P(X=2，Y=2)=0．P(X=2，Y=0)=(C11C11)／62=1／36，故二维随机变量(X，Y)的概率分布如下：注：命题3．3．1．2 从n个不同元素中按照有放回且计序的要求从中取出m(m≤n)个，这时得到的样本空间设为Ω，则此样本空间Ω共含有nm个样本点，即从n个不同元素中取m个的允许重复的排列的种数为nm．涉及知识点：概率论与数理统计10．[2006年] 设三阶实对称矩阵A的各行元素之和为3．向量α1=[－1，2，－1]T，α2=[0，－1，1]T都是齐次线性方程组AX=0的解．求A的特征值和特征向量．正确答案：由命题2．5．1．3知，三阶矩阵A有一个特征值3，且α3=[1，1，1]T为A的属于特征值3的特征向量．或由知，3是A的一个特征值，α3=[1，1，1]T为A的属于特征值3的特征向量，则A的属于特征值3的所有特征向量为c1α2，c1为不等于0的任意常数．又由命题2．5．1．10知，α1，α2是A的属于特征值0的特征向量，或由Aα1=0α1，Aα2=0α2也可看出这一点，所以A的特征值为3，0，0，且属于λ=0的特征向量为k1α1+k2α2=k1[－1，2，－1]T+k2[0，－1，1]T (k1，k2为不全为0的常数)．注：命题2．5．1．1 λ0是矩阵A的特征值当且仅当|λ0E－A|=0．对于数字型矩阵，常用特征方程|λE-A|=0求其特征值λ．为求特征值λi所对应的所有特征向量，只需解方程组(λiE－A)X=0．命题2．5．1．10 设α≠0为An×n=0的解，则α为A的属于特征值0的特征向量．涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量。
2018年考研必备吉林大学数学分析高等代数考研试题2006—2013
吉林大学2006年攻读硕士学位研究生入学考试试题数学分析卷一、（共 30 分）判断题1、若函数)(x f 在()b a ,上Riemann 可积，则 []2)(x f 在()b a ,上Riemann 也可积；2、若级数∑∞=1n n a 收敛，则级数∑∞=1n n a 也收敛；3、任何单调数列必有极限；4、数列(){}n1-的上、下极限都存在；5、区间 ()b a , 上的连续函数必能达到最小值；6、x sin 在整个实轴上是一致连续的；7、若函数()y x f ,沿着任何过原点的直线连续，则()y x f ,在()0,0连续； 8、若函数()x f 在点0x 取极小值，则()0x f '=0； 9、若()0x f '=0，()00<''x f ，则()x f 再点0x 取最大值； 10、向量场()222222,,x z z y y x ---是无源场。
二、（共 20 分）填空题1、设))(sin(z y x y x u +++=，则gradu =( );2、设),,(x z z y y x F +++=，则F div =();3、设),,-(xy z zx y yz x F --=，则F rot =( );4、设s 表示单位球面1222=++z y x ，则第一型曲边梯形ds x s⎰⎰2=();5、数列()⎭⎬⎫⎩⎨⎧+2211-n n n 的下极限为( );三、（共 20 分）计算下列极限1、nn k n k 1120061lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=∞→；2、()x x xx 31211lim30+-+→；3、()112007120061lim ++++∞→++n n n n n ；4、dx x x x n ⎰++∞→10221lim ； 四、（共 20 分）判断下列级数的敛散性1、∑∞=-1200520072006n n n n； 2、∑∞=1n n u ，其中0>n u ，()2211+≤-n n u u n n ，⋅⋅⋅=2,1n ； 五、（10 分）设函数)(x f 在[]1,0两次连续可微，满足0)1()0(==f f 且()01=⎰dx x f 。
06考研数学真题及答案
2006年研究生入学考试政治试题答案及解析一、单项选择题：1～16小题，每小题1分，共16分。
1. 世界上惟一不变的是变。
这一论断的含义是A. 变是世界的本原B. 世界上只有变，没有不变C. 变是绝对的，不变是相对的D. 变与不变是绝对对立的【答案】 C【解析】本题考查的知识点是对唯物辩证法关于发展、变化的理解和确认。
世界上没有永恒存在着的事物，一切事物都是运动、变化和发展的。
一切事物都有其产生、发展和转化为其他事物的历史，一切事物都有它的过去、现在和未来。
因此，在辩证法看来，一切事物都处在发生、发展和灭亡的过程中，凡是在历史上产生的都要在历史上灭亡，任何事物都不可能永恒地存在。
整个物质世界就是永恒发展变化着的世界。
换句话说，世界上唯一不变的是变化，即“变是绝对的，不变是相对的”。
据此分析题中给出的四个选项：A项明显是错误的，因为世界的本质是物质，变化只是世界存在的状态，而不是世界的本质；B项和D项谈的是对变化的理解，但是都犯了形而上学的错误，这样将A、B、D三项排除，只有C项才是正确选项。
2. “只有音乐才能激起人的音乐感；对于没有音乐感的耳朵说来，最美的音乐也毫无意义”。
这表明A. 人的认识是主体与客体相互作用的过程和结果B. 人的感觉能力决定认识的产生和发展C. 人的认识能力是由人的生理结构决定的D. 事物因人的感觉而存在【答案】 A【解析】本题是一道事实辨析选择题，考查的知识点是对认识的本质、主体在认识中的作用的理解和把握。
认识是主体对客体的反映，任何认识都是主体在与客体的相互作用中对客体的反映，而主体对客体的反映是一个能动的创造性的过程。
认识是主体和客体相互作用的过程和结果，既有客体对主体的作用，更有主体对客体的作用。
主体人是具有复杂结构和进行活动的社会性的人，它在反映客体的过程中，必然会动用其内部结构的所有功能，对所反映对象的内容进行选择、整理、改造、解释、猜想等等。
因此，不仅能对客观对象进行直观的摹写，而且能对客观对象作出抽象和概括的反映；不仅能反映事物现在的样子，而且能反映它由于人的改造活动而可能成为的样子。
考研数学三(常微分方程与差分方程)历年真题试卷汇编1(题后含答
考研数学三（常微分方程与差分方程）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2006年] 设非齐次线性微分方程y’+p(x)y=q(x)有两个不同的解y1(x)，y2(x)，c为任意常数，则该方程的通解是( )．A．c[y1(x)一y2(x)]B．y1(x)+c[y1(x)-y2(x)]C．c[y1(x)+y2(x)]D．y1(x)+c[y1(x)+y2(x)]正确答案：B解析：因y1(x)，y2(x)是y’+p(x)y=q(x)的两个不同的解，y1(x)－y2(x)是对应齐次方程y’+p(x)y=0的非零解，所以由命题1．6．1．2(2)知，c[y1(x)+y2(x)]是对应齐次方程y+p(x)y=0的通解．又y’+p(x)y=q(x)的通解等于对应齐次方程的通解加上原方程的一个特解(见命题1．6．1．2(1))，故y1(x)+c[y1(x)－y2(x)]是该非齐次方程的通解．仅(B)入选．(注：命题1．6．1．1 (1)若y1，y2，…，ys均为y’+p(x)y=q(x)的解，则当k1+k2+…+ks=1时，k1y1+k2y2+…+ksys为y’+p(x)y=q(x)的解．(2)若y1，y2，…，ys均为y’+p(x)y=q(x)的解，则当k1+k2+…+ks=0时，k1y1+k2y2+…+ksys为y’+p(x)y=0的解．特别地，若y1，y2为y’+p(x)y=q(x)的两个解，则y2－y1为y’+p(x)y=0的解．) 知识模块：常微分方程与差分方程2．[2010年] 设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解．若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解，则( )．A．λ=1／2，μ1=1／2B．λ=一1／2，μ=一1／2C．λ=2／3，μ=1／3D．λ=2／3，μ=2／3正确答案：A解析：解一因λy1－μy2是y’+p(x)y=0的解，故(λy1－μy2)’+p(x)(λy1－μy2)=λ(y1’+p(x)y1)－μ(y2’+p(x)y2)=0．又y1’+p(x)y1=q(x)，y2’+p(x)y2=q(x)，故λq(x)－μq(x)=(λ－μ)q(x)=0．而q(x)≠0，故λ－μ=0，即λ=μ．又λy1+μy2为y’+p(x)y=q(x)的解，故(λy1+μy2)’+p(x)(λy1+μy2)=λ[y1’+p(x)y1]+μ[y2’+p(x)y2]=λq(x)+μq(x)=(λ+μ)q(x)=q(x)．因q(x)≠0，故λ+μ=1．由λ=μ得到λ=μ=1／2．仅(A)入选．解二y1与y2为方程y’+p(x)y=q(x)的解，又已知λy1+μy2也是该方程的解，则由命题1．6．1．1(1)知，λ+μ=1．又由λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解，由命题1．6．1．1(2)知，λ+(-μ)=λ－μ=0，即λ=μ．联立λ=μ，λ+μ=1解得λ=μ=1／2．仅(A)入选．(注：命题1．6．1．1 (1)若y1，y2，…，ys均为y’+p(x)y=q(x)的解，则当k1+k2+…+ks=1时，k1y1+k2y2+…+ksys为y’+p(x)y=q(x)的解．(2)若y1，y2，…，ys均为y’+p(x)y=q(x)的解，则当k1+k2+…+ks=0时，k1y1+k2y2+…+ksys为y’+p(x)y=0的解．特别地，若y1，y2为y’+p(x)y=q(x)的两个解，则y2-y1为y’+p(x)y=0的解．) 知识模块：常微分方程与差分方程3．[2008年] 设函数f(x)连续，若其中区域Duv为图1．6．2．1中阴影部分，则A．vf(u2)B．C．vf(u)D．正确答案：A解析：利用极坐标计算，其中积分区域Duv为Duv={(r，θ)|0≤θ≤v，1≤r≤u}，其中u，v均为F的两独立的变量．于是仅(A)入选．知识模块：常微分方程与差分方程填空题4．[2005年] 微分方程xy’+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为___________．正确答案：xy=2解析：解一所给方程为可分离变量方程．由xy’+y=0得到两边积分得到ln|y|=－ln|x|+lnc，即ln|xy|=lnc，故xy=c．又y(1)=2，故c=2．所求特解为xy=2．解二原方程可化为(xy)’=0，积分得xy=c，由初始条件得c=2，所求特解xy=2．解三y’+(1／x)y=0．利用一阶齐次线性方程通解公式求解，得到由y(1)=2有c=2，y=2／x，即xy=2．知识模块：常微分方程与差分方程5．[2008年] 微分方程xy’+y=0满足条件y(1)=1的特解是y=___________．正确答案：1／x解析：所给方程属可分离变量的方程：两边积分有l|y|=－ln|x|+c1，即ln|y|+ln|x|=ln|yx|=c1，因而xy=±ec1=x．由y(1)=1＞0，可取x＞0，y＞0，由初始条件y(1)=1得到c=1，故满足初始条件的解为y=1／x．知识模块：常微分方程与差分方程6．[2007年]微分方程满足y｜x=1=1的特解为____________．正确答案：解析：设y=ux，则代入原方程得到从而即由y｜x=1=1得到c=－1／2．于是所求特解为(x／y)2=lnx+1．因y｜x=1=1＞0，故应取x＞0，y ＞0，所以即知识模块：常微分方程与差分方程7．[2013年] 微分方程y”－y’+y=0的通解为y=__________．正确答案：其中C1，C2为任意常数．解析：二阶齐次微分方程y”－y’+y=0所对应的特征方程为r2－r+=0即故其特征根为r1=r2=所以该齐次微分方程的通解为其中C1，C2为任意常数．知识模块：常微分方程与差分方程8．[2015年] 设函数y=y(x)是微分方程y”+y’－2y=0的解，且在x=0处y(x)取得极值3，则y(x)=_______．正确答案：e－2x+2ex解析：易知所给方程的特征方程为r2+r－2=(r+2)(r－1)=0，故特征根为r1=－2，r2=1，故其通解为y=C1e－2x+C2 ex ①因y(x)在x=0处取得极值，故y’(0)=0，y(0)=3．将其代入通解①得到y’(x)｜x=0=[－2C1 e－2x+C2ex]｜x=0=－2C1+C2=0，y(0)=C1+C2=3．解之得C1=1，C2=2，故y=e－2x+2ex．知识模块：常微分方程与差分方程9．[2017年] 差分方程yt+1－2yt=2t的通解为___________．正确答案：yt=Yt+y*=C2t+t2t，C为任意常数．解析：yt+1－2yt=0的通解为Yt=C2t(C为任意常数)；设yt+1－2yt=2t 的特解为y*=at2t，代入得综上所述，yt+1－2yt=2t的通解为yt=Yt+y*=C2t+t2t，C为任意常数．知识模块：常微分方程与差分方程10．[2001年] 某公司每年的工资总额在比上一年增加20％的基础上再追加2百万元，若以Wt表示第t年的工资总额(单位：百万元)，则Wt满足的差分方程是__________．正确答案：Wt=1．2Wt－1+2解析：由题意得到Wt=Wt－1+0．2Wt－1+2，故差分方程是Wt=1．2Wt－1+2．知识模块：常微分方程与差分方程11．[2018年] 差方程△2yx-yx=5的通解为_________．正确答案：yx=C·2x－5解析：△2Yx=△(△yx)=△yx+1－△yx=(yx+2-yx+1)－(yx+1－yx)=y+2－2yx+1+yx，所以原方程可化为yx+2-2yx+1=5．易知，对应齐次方程yx+2-2yx+1=0的通解为yx=C·2x．设原方程的特解为yx*=A，代入原方程中得A=－5，所以原方程的通解为yx=C·2x－5．知识模块：常微分方程与差分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2006年考研数学三真题与答案
2006年考研数学三真题一、填空题（1~6小题，每小题4分，共24分。
）(1)。
【答案】【解析】【方法一】记因为且故。
【方法二】而为有界变量，则原式。
综上所述，本题正确答案是。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限的四则运算(2)设函数在的某领域内可导，且则。
【答案】。
【解析】本题主要考查复合函数求导。
由知综上所述，本题正确答案是。
【考点】高等数学—一元函数微分学—复合函数的导数(3)设函数可微，且则在点处的全微分。
【答案】【解析】因为,综上所述，本题正确答案是【考点】高等数学—多元函数微积分学—偏导数、全微分(4)设矩阵，为二阶单位矩阵，矩阵满足，则___________。
【答案】2。
【解析】因为，所以。
综上所述，本题正确答案是。
【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质线性代数—矩阵—矩阵的线性运算(5)设随机变量与相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则___________。
【答案】。
【解析】本题考查均匀分布，两个随机变量的独立性和他们的简单函数的分布。
事件又根据相互独立，均服从均匀分布，可以直接写出综上所述，本题正确答案是。
【考点】概率论—多维随机变量的分布—二维随机变量的分布(6)设总体的概率密度为为总体的随机简单样本，其样本方差为则_______。
【答案】综上所述，本题正确答案是。
【考点】概率论—随机变量的数字特征—随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质二、选择题（7~14小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）(1)设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分，若，则(A) (B)(C) (C)【答案】A。
【解析】【方法一】由函数单调上升且凹，根据和的几何意义，得如下所示的图由图可得【方法二】由凹曲线的性质，得，于是，即综上所述，本题正确答案是A。
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义(8)设函数在处连续，且则(A)且存在(B)且存在(C)且存在(D)且存在【答案】C。
考研数学年真题下载
真题一定要成套的练习。
历年真题从10往前做，先前做李永乐400做真题填空选择都要做到400那么顺手。
2011年考研数学必备——1996年到2010年——1 5年考研数学真题（数1、数2、数3、数4）大汇总——免费超值下载2010年全国硕士研究生入学考试数学一试题2010年全国硕士研究生入学考试数学二试题2010年全国硕士研究生入学考试数学三试题2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题题2008年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题2007年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题2007年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题2007年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题2006年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题题2005年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题2005年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题2005年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题2005年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题2004年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题2004年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题2004年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题2004年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题题2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题2003年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题2002年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题2002年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题2002年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题2001年全国硕士研究生入学考试数学一试题2001年全国硕士研究生入学考试数学二试题2001年全国硕士研究生入学考试数学三试题2000年全国硕士研究生入学考试数学一试题2000年全国硕士研究生入学考试数学二试题2000年全国硕士研究生入学考试数学三试题2000年全国硕士研究生入学考试数学四试题1999年全国硕士研究生入学考试数学一试题1999年全国硕士研究生入学考试数学二试题1999年全国硕士研究生入学考试数学三试题1999年全国硕士研究生入学考试数学四试题1998年全国硕士研究生入学考试数学一试题1998年全国硕士研究生入学考试数学二试题1998年全国硕士研究生入学考试数学三试题1998年全国硕士研究生入学考试数学四试题1997年全国硕士研究生入学考试数学一试题1997年全国硕士研究生入学考试数学二试题1997年全国硕士研究生入学考试数学三试题1997年全国硕士研究生入学考试数学四试题1996年全国硕士研究生入学考试数学二试题1996年全国硕士研究生入学考试数学三试题1996年全国硕士研究生入学考试数学四试题。
06考研数学真题及答案
2006年研究生入学考试政治试题答案及解析一、单项选择题：1～16小题，每小题1分，共16分。
1. 世界上惟一不变的是变。
这一论断的含义是A. 变是世界的本原B. 世界上只有变，没有不变C. 变是绝对的，不变是相对的D. 变与不变是绝对对立的【答案】 C【解析】本题考查的知识点是对唯物辩证法关于发展、变化的理解和确认。
世界上没有永恒存在着的事物，一切事物都是运动、变化和发展的。
一切事物都有其产生、发展和转化为其他事物的历史，一切事物都有它的过去、现在和未来。
因此，在辩证法看来，一切事物都处在发生、发展和灭亡的过程中，凡是在历史上产生的都要在历史上灭亡，任何事物都不可能永恒地存在。
整个物质世界就是永恒发展变化着的世界。
换句话说，世界上唯一不变的是变化，即“变是绝对的，不变是相对的”。
据此分析题中给出的四个选项：A项明显是错误的，因为世界的本质是物质，变化只是世界存在的状态，而不是世界的本质；B项和D项谈的是对变化的理解，但是都犯了形而上学的错误，这样将A、B、D三项排除，只有C项才是正确选项。
2. “只有音乐才能激起人的音乐感；对于没有音乐感的耳朵说来，最美的音乐也毫无意义”。
这表明A. 人的认识是主体与客体相互作用的过程和结果B. 人的感觉能力决定认识的产生和发展C. 人的认识能力是由人的生理结构决定的D. 事物因人的感觉而存在【答案】 A【解析】本题是一道事实辨析选择题，考查的知识点是对认识的本质、主体在认识中的作用的理解和把握。
认识是主体对客体的反映，任何认识都是主体在与客体的相互作用中对客体的反映，而主体对客体的反映是一个能动的创造性的过程。
认识是主体和客体相互作用的过程和结果，既有客体对主体的作用，更有主体对客体的作用。
主体人是具有复杂结构和进行活动的社会性的人，它在反映客体的过程中，必然会动用其内部结构的所有功能，对所反映对象的内容进行选择、整理、改造、解释、猜想等等。
因此，不仅能对客观对象进行直观的摹写，而且能对客观对象作出抽象和概括的反映；不仅能反映事物现在的样子，而且能反映它由于人的改造活动而可能成为的样子。
2006年考研数学三真题及答案
2006年考研数学三真题一、填空题（1~6小题，每小题4分，共24分。
） (1) lim n→∞(n+1n)(−1)n= 。
【答案】1。
【解析】 【方法一】记x n =(n+1n )(−1)n , 因为lim k→∞x 2k =limk→∞2k+12k=1, 且lim k→∞x 2k+1=lim k→∞(2k+22k+1)−1=1, 故lim n→∞x n =1。
【方法二】lim n→∞(n+1n)(−1)n =lim n→∞e(−1)n lnn+1n, 而lim n→∞lnn+1n=lim n→∞ln (1+1n)=0(无穷小量)，(−1)n 为有界变量，则原式=e 0=1。
综上所述，本题正确答案是1。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限的四则运算 (2) 设函数f(x)在x =2的某领域内可导，且f ′(x )=e f (x ),f (2)=1, 则f ′′(2)= 。
【答案】2e 3。
【解析】本题主要考查复合函数求导。
由f ′(x )=e f (x )知f ′′(x )=e f (x )f ′(x )=e f (x )∙e f (x )=e 2f (x )f ′′′(x )=e 2f (x )∙2f ′(x )=2e 3f (x )f ′′′(2)=2e 3f (2)=2e 3。
综上所述，本题正确答案是2e 3。
【考点】高等数学—一元函数微分学—复合函数的导数(3)设函数f(u)可微，且f′(0)=12, 则z=f(4x2−y2)在点(1,2)处的全微分dz|(1,2)= 。
【答案】4dx−2dy。
【解析】因为ðzðx|(1,2)=f′(4x2−y2)∙8x|(1,2)=4,ðzðy|(1,2)=f′(4x2−y2)∙(−2y)|(1,2)=−2,所以dz|(1,2)=ðzðx |(1,2)dx+ðzðy|(1,2)dy=4dx−2dy。
考研数学三解答题专项强化真题试卷29_真题(含答案与解析)-交互
考研数学三解答题专项强化真题试卷29(总分100, 做题时间60分钟)解答题1.SSS_TEXT_QUSTI分值: 10答案:2.设函数f(x)在定义域I上的导数大于零．若对任意的x∈I，曲线y＝f(x)在点(x0，f(x))处的切线与直线x＝x及x轴所围成区域的面积恒为4．且f(0)＝2，求f(x)的表达式．SSS_TEXT_QUSTI分值: 10答案:曲线y＝f(x)在点(x0，f(x))处的切线方程为y＝f(x0)＋(x)(x－x)，该切线与x轴的交点为(x一，0)．根据题设条件可知＝4，即y＝f(x)满足方程解得y＝因为f(0)＝2，所以C＝故f(x)＝，x∈I．3.设二维离散型随机变量(X，Y)的概率分布为(Ⅰ)求P{X＝2Y}；(Ⅱ)求Cov(X－Y，Y)SSS_TEXT_QUSTI分值: 10答案:(Ⅰ)P{X＝2Y}＝P{X＝0，Y＝0}＋P{X＝2，Y＝1}＝(Ⅱ)由(X，Y)的分布可得X，Y及XY的分布分别为：故DY＝E(Y2)－(EY)2＝，Cov(X，Y)－E(XY)－EX.EY＝×1＝0得Cov(X－Y，Y)＝Cov(X，Y)－DY＝0－．4.(97年)设3阶实对称矩阵A的特征值是1，2，3；矩阵A的属于特征值1，2的特征向量分别是α1＝(一1，－1，1)T，α2＝1，－2，－1)T．(1)求A的属于特征值3的特征向量；(2)求矩阵A．SSS_TEXT_QUSTI分值: 10答案:(1)设A的属于特征值3的特征向量为α3＝(χ1，χ2，χ3)T．因对于实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量相互正交，所以α1Tα3＝0，α2Tα3＝0，即(χ1，χ2，χ3)T是齐次方程组的非零解．解上列方程组，得其基础解系为ξ＝(1，0，1)T．因此A的属于特征值3的特征向量为α＝k(1，0，1)T(k为任意非零常数)(2)令矩阵5.(16年)设总体X的概率密度为其中θ∈(0，＋∞)为未知参数，X1，X2，X3为来自总体X的简单随机样本，令T＝max{X1，X2，X3}．(Ⅰ)求T的概率密度；(Ⅱ)确定a，使得E(aT)＝θ．SSS_TEXT_QUSTI分值: 10答案:(Ⅰ)先求总体X的分布函数F(χ)＝∫－∞χf(t；θ)dt χ＜0时，F(χ)＝0；χ≥θ时，F(χ)＝1；0≤χ＜θ时，F(χ)＝所以，F(χ)＝再求T的分布函数FT(t)F T (t)＝P(T≤t)＝P{max(X1，X2，X3)≤t}＝P{X1≤t，X2≤t，X3≤t}＝[P{X1≤t}]3＝于是，T的概率密度为(Ⅱ)由题意，θ＝E(αT)＝αET＝可见α＝．6.设二次型f(x1，x2，x3)=2x12-x22+ax32+2x1x2-8x1x3+2x2x3在正交变换x=Qy下的标准形为λ1y12+λ2y22，求a的值及正交矩阵Q。
2006—数三真题、标准答案及解析
(D) 若 α1 , α 2 ,L , α s 线性无关，则 Aα1 , Aα 2 ,L , Aα s 线性无关.
[
]
（13）设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B ，再将 B 的第 1 列的 −1 倍加到第 2
⎛ 1 1 0⎞ ⎜ ⎟ 列得 C ，记 P = 0 1 0 ，则 ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 1⎟ ⎝ ⎠
0 < dy < Δy . Δy < dy < 0 .
(B) (D)
0 < Δy < dy . dy < Δy < 0 .
= 1 ，则
(B) f ( 0 ) = 1且f −′ ( 0 ) 存在 (D) f ( 0 ) = 1且f +′ ( 0 ) 存在 [ ] [ ]
（8）设函数 f ( x ) 在 x = 0 处连续，且 lim
（11）设 f ( x, y )与ϕ ( x, y ) 均为可微函数，且 ϕ y′ ( x, y ) ≠ 0 ，已知 ( x0 , y0 ) 是 f ( x, y ) 在约 束条件 ϕ ( x, y ) = 0 下的一个极值点，下列选项正确的是 (A) (B) (C) 若 f x′ ( x0 , y0 ) = 0 ，则 f y′ ( x0 , y0 ) = 0 . 若 f x′ ( x0 , y0 ) = 0 ，则 f y′ ( x0 , y0 ) ≠ 0 . 若 f x′ ( x0 , y0 ) ≠ 0 ，则 f y′ ( x0 , y0 ) = 0 . [ ]
2006 年考研数学（三）真题解析
二、填空题：1－6 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上.
( −1)n
⎛ n +1⎞ （1） lim ⎜ ⎟ n →∞ ⎝ n ⎠
考研数学三(线性代数)历年真题试卷汇编20(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编20(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2015年]设A，B为n阶矩阵，记r(X)为矩阵X的秩，(X，Y)分别表示分块矩阵，则( )．A．r(A，AB)=r(A)B．r(A，BA)=r(A)C．r(A，B)=max{r(A)，r(B)}D．r(A，B)=r(ATBT)正确答案：A解析：解一易知r(A，AB)≥r(A)．又由分块矩阵的乘法，可知(A，AB)=A(E，B)，因此r(A，AB)≤min{r(A)，r(E，B)}，从而r(A，AB)≤r(A) 所以r(A，AB)=r(A)，故选项(A)正确．解二排除法对选项(B)，取则r(A)=1，r(A，BA)=2．对选项(C)，取则r(A)=r(B)=1，r(A，B)=2．对选项(D)，取则r(A，B)=1，r(AT，BT)=2．知识模块：线性代数2．[2003年] 设三阶矩阵若A的伴随矩阵的秩等于1，则必有( )．A．a=b或a+2b=0B．a=b或a+2b≠0C．a≠b且a+2b=0D．a≠b且a+2b≠0正确答案：C解析：解一因秩(A*)=1，由A与其伴随矩阵A*的秩的关系知，秩(A)=n －1=3－1=2．因为使秩(A)=2，必有|A|=0，且即a≠b，故a≠b且a+2b=0．仅(C)入选．解二由|A|=(a+2b)(a－b)2=0，得到a+2b=0或a=b．但当a=b时，秩(A)=1≠2，故a+2b=0且a≠b．仅(C)入选．知识模块：线性代数3．[2005年] 设A，B，C均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若B=E+AB，C=A+CA，则B－C为( )．A．EB．－EC．AD．－A正确答案：A解析：解一仅(A)入选．由B=E+AB得到(E－A)B=E，两边左乘(E－A)－1得到B=(E－A)－1．由C=A+CA得到C(E－A)=A，两边右乘(E－A)－1，得到C=A(E—A)－1，则B－C=(E－A)－1－A(E－A)－1=(E－A)(E－A)－1=E．解二由B=E+AB，C=A+CA，有B－AB=E，C－CA=A．于是(E－A)B=E，C(E－A)=A，①则E—A与B可逆，且互为逆矩阵．于是有B(E －A)=E，②则由式②一式①，得到B(E－A)－C(E－A)=(B－C)(E－A)=E —A，即B－C=E．仅(A)入选．知识模块：线性代数4．[2006年] 设A为三阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B 的第1列的－1倍加到第2列得C，记则( )．A．C=P－1APB．C=PAP－1C．C=PTAPD．C=PAPT正确答案：B解析：将单位矩阵E的第2行加到第1行即得初等矩阵P，由初等矩阵与初等变换的关系有B=PA．令矩阵则E的第1列的－1倍加到第2列即得矩阵Q．于是有C=BQ，从而有C=PAQ，由于则C=PAQ=PAP－1．仅(B)入选．知识模块：线性代数5．[2011年] 设A为三阶矩阵，将A的第2列加到第1列得到矩阵B，再交换B的第2行与第3行得到单位矩阵，记则A=( )．A．P1P2B．P1－1P2C．P2P1D．P2P1－1正确答案：D解析：解一由题设有B=AP1，P2B=E，即P2B=P2AP1=E．又因P2，P1可逆，且P2-1=P2，故A=P2-1EP1-1=P2EP1-1=P2P1-1．仅(D)入选．解二由命题2．2．5．1知，对A所进行的初等变换可表示为P2AP1而P2AP1=P2(AP1)=P2B=E，故A=P2-1P1-1=P2P1-1．仅(D)入选．注：命题2．2．5．1(初等变换与初等矩阵左、右乘的关系) 每一次初等变换都对应一个初等矩阵，且对矩阵A施行一次初等行(列)变换相当于左(右)乘相应的初等矩阵．知识模块：线性代数6．[2009年] 设A，P为三阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且若P=[α1，α2，α3]，Q=[α1+α2，α2，α3]，则QTAQ为( )．A． B． C． D． 正确答案：A解析：解一因Q=[α1+α2，α2，α3]=[α1，α2，α3]=PE21(1)，利用命题2．2．5．2(1)及题设，得到解二仅(A)入选．故注：命题2．2．5．2 (1)初等矩阵的转置矩阵的性质：EiT(k)=Ei(k)，EijT=Eij，EijT(k)=Eij(k)．知识模块：线性代数7．[2012年] 设A为三阶矩阵，P为三阶可逆矩阵，且若P=[α1，α2，α3]，Q=[α1+α2，α2，α3]，则Q－1AQ=( )．A． B． C． D． 正确答案：B解析：解一因故于是解二用初等矩阵表示Q得到Q=PE12(1)．由E12-1(1)=E12(-1)得到知识模块：线性代数8．[2005年] 设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是( )．A．λ1≠0B．λ2≠0C．λ1=0D．λ2=0正确答案：B解析：解一首先注意α1，α2线性无关．在推导α1，A(α1+α2)线性无关的条件时要用到它．设k1α1+k2A(α1+α2)=0，则k1α1+k2λ1α1+k2λ2α2=0，(k1+k2λ1)α1+k2λ2α2=0．因α1，α2线性无关，故k1+k2λ1=0，k2λ2=0．当λ2≠0时，有k2=0，从而k1=0．于是当λ2≠0时，α1，A(α1+α2)线性无关．反之，若α1，A(α1+α2)=λ1α1+λ2α2线性无关，则必有λ2≠0．因为如果λ2=0，则α1与A(α1+α2)=λ1α1线性相关与题设矛盾．综上所述，仅(B)入选．解二因向量组α1，A(α1+α2)=λ1α1+λ2α2可看成线性无关向量α1，α2的线性组合，且[α1，A(α1+α2)]=[α1，λ1α1+λ2α2]=[α1，α2] 由命题2．3．2．2知，向量组α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是的秩等于2，而秩故仅(B)入选．(注：命题2．3．2．2 设向量组α1，α2，…，αs线性无关，β1，β2，…，βs为该向量组的线性组合：即其中A=[aij]s×t称为线性表示的系数矩阵．或则向量组β1，β2，…，βt线性无关线性表示的系数矩阵A=[aij]s×t或矩阵K=AT 的秩为t．) 知识模块：线性代数9．[2010年] 设向量组(I)：α1，α2，…，αr可由向量组(Ⅱ)：β1，β2，…，βs线性表示．下列命题中正确的是( )．A．若向量组(I)线性无关，则r≤sB．若向量组(I)线性相关，则r>sC．若向量组(Ⅱ)线性无关，则r≤sD．若向量组(Ⅱ)线性相关，则r>s正确答案：A解析：仅(A)入选．因向量组(I)可由向量组(Ⅱ)线性表示，故秩(I)≤秩(Ⅱ)=秩([β1，β2，…，βs)≤s．若向量组I线性无关，则秩(I)=秩([α1，α2，…，αr])=r，故r=秩([α1，α2，…，αr])≤秩([β1，β2，…，βs])≤s．知识模块：线性代数填空题10．[2013年] 设A=(aij)是三阶非零矩阵，|A|为A的行列式，Aij为aij 的代数余子式，若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则|A|=___________．正确答案：－1解析：因aij=－Aij，则(aij)=(－Aij)，(aij)T=(－Aij)T=－(Aij)，故AT=－A*，从而|A|=|AT|=|－A*|=(－1)3|A|3－1=－|A|2，即|A|2+|A|=|A|(|A|+1)=0，故|A|=0或|A|=－1．若|A|=0，则由|A|=ai1Ai1+ai2Ai2+ai3Ai3=(ai12+ai22+ai32)=0(i=1，2，3)得到aij=0(i，j=1，2，3)，即矩阵A为零矩阵，这与题设矛盾．故|A|=－1．知识模块：线性代数11．[2007年] 设矩阵则A3的秩为__________．正确答案：1解析：解一由矩阵乘法直接计算得到由于A3中非零子式的最高阶数为1，由矩阵的秩的定义知，秩(A3)=1．解二A3的秩等于1．设其中αi(i=1，2，3，4)为A的行向量，则知识模块：线性代数12．[2017年] 矩阵α1，α2，α3为线性无关的三维列向量组，则向量组Aα1，Aα2，Aα3的秩为___________．正确答案：2解析：解(Aα1，Aα2，Aα3)=A(α1，α2，α3)，因为α1，α2，α3线性无关，所以(α1，α2，α3)可逆，从而秩[Aα1，Aα2，Aα3]=秩(A)．由得，秩(A)=2，故向量组Aα1，Aα2，Aα3的秩为2．知识模块：线性代数13．[2002年] 设三阶矩阵三维列向量α=[a，1，1]T，已知Aα与α线性相关，则a=_______．正确答案：－1解析：解一因α=[a，1，1]T，Aα=[a，2a+3，3a+4]T，故[*]得a=－1．解二两个向量Aα与α线性相关[*]这两个向量中至少有一个向量可由另一个向量线性表出．即存在数k≠0，使Aα=kα(或α=μAα)，亦即k为特征值，α为A的属于特征值k的特征向量．由Aα=kα得到[*]得a=－1，k=1．知识模块：线性代数14．[2005年] 设行向量组[2，1，1，1]，[2，1，a，a]，[3，2，1，a]，[4，3，2，1]线性相关，且a≠1，则a=___________．正确答案：1／2解析：解一设所给的4个行向量依次为α1，α2，α3，α4，且令A=[α1T，α2T，α3T，α4T]．因4个四维向量线性相关的充要条件是其行列式等于零，故由|A|=|α1T，α2T，α3T，α4T|=(1－a)(1－2a)=0，得到a=1或a=1／2．因a≠1，故a=1／2．解二用初等行变换求之．对AT作初等行变换，化为阶梯形矩阵，得到由于所给向量组线性相关，秩(AT)可经初等列变换化为矩阵15．求a；正确答案：由题设条件可知矩阵A与B等价，则r(A)=r(B)．因为所以因此a=2. 涉及知识点：线性代数16．求满足AP=B的可逆矩阵P．正确答案：设矩阵对增广矩阵作初等变换可得解得所以又因P可逆，因此即k2≠k3．故其中k1，k2，k3为任意常数，且k2≠k3．涉及知识点：线性代数[2014年] 设E为三阶单位矩阵．17．求方程组AX=0的一个基础解系；正确答案：为求AX=0的一个基础解系，只需用初等行变换将A化为含最高阶单位矩阵的矩阵：由基础解系的简便求法即可得到AX=0的一个基础解系只含一个解向量α，且α=[－1，2，3，1]T．涉及知识点：线性代数18．求满足AB=E的所有矩阵B．正确答案：因A不可逆，需用元素法求出满足AB=E的所有矩阵．由AB=E，A为3×4矩阵，E为3×3矩阵，则B必为4×3矩阵，设其元素为xij则B=(xij)4×3，即因而得到下述三个线性方程组：对上述三方程组的增广矩阵用初等行变换化为含最高阶单位矩阵的矩阵：由基础解系和特解的简便求法即得方程组①的一个特解η1及对应的齐次线性方程组的一个基础解系α分别为：η1=[2，－1，－1，0]T，α=[－1，2，3，1]T 于是该方程组的通解为X1=[x11，x21，x31，x41]T=Y1+η1=k1α+η1=[－k1+2，2k1－1，3k1－1，k1]T．同样由可得方程组②的通解为X2=[x12，x22，x32，x42]T=Y2+η2=k2α+η2=k2[－1，2，3，1]T+[6，－3，－4，0]T=[－k2+6，2k2－3，3k2－4，k2]T．由可得方程组③的通解为X3=[x13，x23，x33，x43]T=Y3+η3+=k2=k3α+η3=k3[－1，2，3，1]T+[－1，1，1，0]T=[－k3－1，2k3+1，3k3+1，k3]T 综上得到，涉及知识点：线性代数19．[2013年] 设当a，b为何值时，存在矩阵C使得AC－CA=B，并求所有矩阵C．正确答案：设则由AC－CA=B得到四元非齐次线性方程组：存在矩阵C使AC－CA=B成立，上述方程组必有解．为此将上述方程组的增广矩阵用初等行变换化为阶梯形矩阵：当a≠－1或b≠0时，因秩()≠秩(G)，方程组无解．当a=－1且b=0时，秩()=秩(G)=2＜n=4，方程组有解，且有无穷多解．由基础解系和特解的简便求法得到，其基础解系为：α1=[1，a，1，0]T=[1，－1，1，0]T，α2=[1，0，1，0]T则对应齐次线性方程组的通解为c1α1+c2α2．而方程组①的特解为[1，0，0，0]T，故方程组①的通解为X=c1[1，－1，1，0]T+c2[1，0，0，1]T+[1，0，0，0]T即X=[x1，x2，x3，x4]T=[c1+c2+1，－c1，c1，c2]T，亦即x1=c1+c2+1，x2=－c1，x3=c1，x4=c2(c1，c2为任意常数)，故所求的所有矩阵为其中c1,c2任意常数．涉及知识点：线性代数[2004年] 设α1=[1，2，0]T，α2=[1，a+2，－3a]T，α3=[－1，－b－2，a+2b]T，β=[1，3，－3]T．试讨论当a，b为何值时，20．β不能由α1，α2，α3线性表示；正确答案：设有数k1，k2，k3，使得k1α1+k2α2+k3α3=β．①记A=[α1，α2，α3]．对矩阵[A|β]施以初等行变换，有由于系数矩阵A 的秩取决于a及a－b是否为零，下面采用如下的二分法，分三种情况讨论．当a=0，b为任意常数时，有可知秩(A)≠秩([A|β])，故方程组①无解，β不能由α1，α2，α3线性表示．涉及知识点：线性代数21．β可由α1，α2，α3唯一地线性表示，并求出表示式；正确答案：当a≠0，且a≠b时，秩(A)=秩([A|β])=3，故方程组①有唯一解．由得到唯一解为k1=1－1／a，k2=1／a，k3=0，且β可由α1，α2，α3唯一地线性表示，其表示式为β=(1－1／a)α1+α2／a．涉及知识点：线性代数22．β可由α1，α2，α3线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式．正确答案：当a≠0且a－b=0，即a=b≠0时，对[A|β]施以初等行变换，有可知秩(A)=秩([A|β])=2，故方程组①有无穷多解．其一基础解系只含一个解向量α=[0，1，1]T，其一个特解为η=[1－1／a，1／a，0]，故以k1，k2，k3为未知数的方程组①的通解为[k1，k2，k3=η+cα=[1－1／a，1／a，0]T+c[0，1，1]T=[1－1／a，1／a+c，c]T(c为任意常数)．于是β可由α1，α2，α3线性表示，其一般表示式为β=k1α1+k2α2+k3α3=(1－1／a)α1+(1／a+c)α2+cα3 (c 为任意常数)．由上式易知，由于c为任意常数，β由α1，α2，α3线性表出的一般表达式，常归结为求关于未知数k1，k2，k3的方程组β=k1α1+k2α2+k3β3的通解．涉及知识点：线性代数[2008年] 设A为三阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3．23．证明α1，α2，α3线性无关；正确答案：证一用向量组线性无关的定义证明．为利用题设条件Aα3=α2+α3易想到需用A同时左乘定义等式两边．设k1α1+k2α2+k3α3=0．①由题设，有Aα1=一α1，Aα2=α2，Aα3=α2+α3．用A左乘式①两边，得到k1Aα1+k2Aα2+k3Aα3=一k1α1+k2α2+k3α2+k3α3=0．②本题中隐含了α1与α2线性无关，因为它们是属于不同特征值的特征向量．下面利用这一点证明k1=k2=k3=0．由式①一式②得到2k1α1一k2α2=0．因α1，α2为A的属于不同特征值的特征向量，故α1，α2线性无关．因而k1=k3=0，将其代入式①得到k2α2=0，又因α≠0，故k2=0．于是α1，α2，α3线性无关．证二用反证法证之．假设α1，α2，α3线性相关，由证一知，α1与α2线性无关，故α3可由α1，α2线性表出，不妨设α3=l1α1+l2α2，其中l1，l2不全为零(若l1，l2同时为零，则α3=0，由Aα3=α2+α3得到α2=0，这与α2为特征向量矛盾)．因Aα1=一α1，Aα2=α2，故Aα3=α2+α3=α2+l1α1+l2α2．又一l1α1+l2α2=α2+l1α1+l2α2，即α2+2l1α1=0，则α1与α2线性相关．这与α1，α2线性无关矛盾．故α1，α2，α3线性无关．涉及知识点：线性代数24．令P=[α1，α2，α3]，求P-1AP．正确答案：因α1，α2，α3线性无关，故P可逆．所以涉及知识点：线性代数[2011年] 设向量组α1=[1，0，1]T，α2=[0，1，1]T，α3=[1，3，5]T不能由向量组β1=[1，1，1]T，β2=[1，2，3]T，β3=[3，4，a]T线性表示．25．求a的值；正确答案：解一因α1，α2，α3不能用β1，β2，β3线性表示，故秩([α1，α2，α3])＞秩([β1，β2，β3])，而|α1，α2，α3|==1≠0，故秩([α1，α2，α3])=3，秩([β1，β2，β3])＜3，所以解二4个三维向量β1，β2，β3，αi(i=1，2，3)必线性相关．若β1，β2，β3线性无关，则αi 必可表示成β1，β2，β3的线性组合．这与题设矛盾，故β1，β2，β3线性相关．于是|β1，β2，β3|=a－5=0，即a=5．解三将下列向量组用初等行变换化为行阶梯形矩阵：易知秩([α1，α2，α3])=3．因α1，α2，α3不能由β1，β2，β3线性表出，故秩([β1，β2，β3])＜3．因而所以a=5．涉及知识点：线性代数26．将β1，β2，β3用α1，α2，α3线性表示．正确答案：解一由上题的解三知，当a=5时，经初等行变换得到故β1=2α1+4α2－α3，β2=α1+2α2，β3=5α1+10α2－2α3．解二设[β1，β2，β3]=[α1，α2，α3]G．则因而即β1=2α1+4α2－α3，β2=α1+2α2，β3=5α1+10α2－2α3．涉及知识点：线性代数27．[2006年] 四维向量组α1=[1+a，1，1，1]T，α2=[2，2+a，2，2]T，α3=[3，3，3+a，3]T，α4=[4，4，4，4+a]T．问a为什么数时，α1，α2，α3，α4线性相关?在α1，α2，α3，α4线性相关时求其一个极大线性无关组，并且把其余向量用该极大线性无关组线性表出．正确答案：解一若α1，α2，α3，α4线性相关，即|α1，α2，α3，α4|=0，而|α1，α2，α3，α4|=a3(a+10)，于是当a=0或－10时，α1，α2，α3，α4线性相关．当a=0时，α1是α1，α2，α3，α4的极大无关组，且α2=2α1，α3=3α1，α4=4α1．当a=－10时，用初等行变换求其极大无关组．显然β1，β2，β3为β1，β2，β3，β4的一个极大线性无关组，且β4=－β1－β2－β3．由于矩阵的初等行变换不改变矩阵列向量组之间的线性关系，故α1，α2，α3是α1，α2，α3，α4的一个极大无关组，且α4=－α1－α2－α3．解二设A=[α1，α2，α3，α4]，对A进行初等行变换，得到当a=0时，A的秩等于1，因而α1，α2，α3，α4线性相关．此时α1为α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组，且α2=2α1，α3=3α1，α4=4α1．当a≠0时，再对B施以初等行变换，得到如果a≠－10，C的秩为4，从而A的秩也为4，故α1，α2，α3，α4线性无关．如果a=－10，C的秩为3，从而A的秩也为3，故α1，α2，α3，α4线性相关．由于v2，v3，v4为v1，v2，v3，v4的一个极大线性无关组，且v1=－v2－v3－v4，因矩阵的初等行变换不改变矩阵列向量组之间的关系，故α2，α3，α4为α1，α2，α3，α1的一个极大线性无关组，且α1=－α2－α3－α4．涉及知识点：线性代数。
2006年考研数学三真题及完整解析
2006年考研数学（三）真题一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim ______.nn n n -→∞+⎛⎫=⎪⎝⎭（2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f xf x '=，()21f =，则()2____.f '''=（3）设函数()f u 可微,且()102f '=,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分()1,2d _____.z =（4）设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B .（5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{}{}max ,1P X Y ≤=_______. （6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2xn f x e x X X X -=-∞<<+∞ 为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2S ，则2____.ES =二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< . [ ]（8）设函数()f x 在0x =处连续，且()22lim1h f h h →=，则(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在(C) ()()000f f +'=且存在 (D)()()010f f +'=且存在 [ ] （9）若级数1nn a∞=∑收敛，则级数(A)1nn a∞=∑收敛 . （B ）1(1)nn n a ∞=-∑收敛.(C)11n n n a a ∞+=∑收敛. (D)112n n n a a ∞+=+∑收敛. [ ] （10）设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数，则该方程的通解是（Ａ）[]12()()C y x y x -. （Ｂ）[]112()()()y x C y x y x +-.（Ｃ）[]12()()C y x y x +. （Ｄ）[]112()()()y x C y x y x ++ [ ]（11）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是(A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. [ ] （12）设12,,,s ααα 均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，下列选项正确的是(A) 若12,,,s ααα 线性相关，则12,,,s A A A ααα 线性相关. (B) 若12,,,s ααα 线性相关，则12,,,s A A A ααα 线性无关. (C) 若12,,,s ααα 线性无关，则12,,,s A A A ααα 线性相关.(D) 若12,,,s ααα 线性无关，则12,,,s A A A ααα 线性无关. [ ]（13）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（Ａ）1C P AP -=. （Ｂ）1C PAP -=.（Ｃ）TC P AP =. （Ｄ）TC PAP =. ［ ］（14）设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布222(,)N μσ，且{}{}1211P X P Y μμ-<>-<则必有 (A) 12σσ< (B) 12σσ>(C)12μμ< (D) 12μμ> [ ]三 、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分7分）设()1sin,,0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+,求 (Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞=；(Ⅱ) ()0lim x g x +→. （16）（本题满分7分） 计算二重积分2d d Dy xy x y -⎰⎰，其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.（17）（本题满分10分）证明：当0a b π<<<时，sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.（18）（本题满分8分）在xOy 坐标平面上，连续曲线L 过点()1,0M ，其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax （常数>0a ）.(Ⅰ) 求L 的方程；(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为83时，确定a 的值. （19）（本题满分10分）求幂级数()()1211121n n n x n n -+∞=--∑的收敛域及和函数()s x .（20）（本题满分13分）设4维向量组()()()T T T 1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+ ()T44,4,4,4a α=+，问a为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.（21）（本题满分13分）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ)求A 的特征值与特征向量；(Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ；（Ⅲ）求A 及632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中E 为3阶单位矩阵.（22）（本题满分13分）设随机变量X 的概率密度为()1,1021,0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩ 其他，令()2,,Y X F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数. (Ⅰ)求Y 的概率密度()Y f y ； (Ⅱ)Cov(,)X Y ；(Ⅲ)1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭. （23）（本题满分13分） 设总体X 的概率密度为(),01,;1,12,0,x f x x θθθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他,其中θ是未知参数()01θ<<，12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数.（Ⅰ）求θ的矩估计； （Ⅱ）求θ的最大似然估计2006年考研数学（三）真题解析二、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim 1.nn n n -→∞+⎛⎫=⎪⎝⎭【分析】将其对数恒等化ln eNN =求解.【详解】()(1)111ln lim (1)ln 1lim lim eennn n n n n n n n n n -→∞-++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭→∞→∞+⎛⎫== ⎪⎝⎭，而数列{}(1)n -有界，1lim ln 0n n n →∞+⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以1lim(1)ln 0nn n n →∞+⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 故 ()101lim e 1nn n n -→∞+⎛⎫==⎪⎝⎭.（2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f x f x '=，()21f =，则()322e .f '''=【分析】利用复合函数求导即可. 【详解】由题设知，()()e f x f x '=，两边对x 求导得()()()2e()e f x f x f x f x '''==，两边再对x 求导得 ()()23()2e()2e f x f x f x f x ''''==，又()21f =，故 ()323(2)2e 2e f f '''==.（3）设函数()f u 可微,且()102f '=,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分()1,2d 4d 2d .z x y =-【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算. 【详解】方法一：因为22(1,2)(1,2)(4)84z f x y xx∂'=-⋅=∂，()22(1,2)(1,2)(4)22z f x y y y∂'=-⋅-=-∂，所以 ()()()1,21,21,2d d d 4d 2d z z z x y x y xy⎡⎤∂∂=+=-⎢⎥∂∂⎣⎦. 方法二：对()224z f x y =-微分得()222222d (4)d(4)(4)8d 2d z f x y x y f x y x x y y ''=--=--，故 ()()1,2d (0)8d 2d 4d 2d z f x y x y '=-=-.（4）设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B 2 .【分析】 将矩阵方程改写为AX B XA B AXB C ===或或的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设，有()2B A E E -= 于是有 4B A E -=，而11211A E -==-，所以2B =.（5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{}{}max ,1P X Y ≤=19. 【分析】 利用X Y 与的独立性及分布计算. 【详解】 由题设知，X Y 与具有相同的概率密度1,3()30,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩ 0 其他.则 {}{}{}max ,11,1P X Y P X Y ≤=≤≤{}{}11P X P Y =≤≤{}()2120111d 39P X x ⎛⎫=≤== ⎪⎝⎭⎰.【评注】 本题属几何概型，也可如下计算，如下图：则 {}{}{}1max ,11,19S P X Y P X Y S ≤=≤≤==阴.（6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2xn f x e x X X X -=-∞<<+∞ 为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2S ，则2 2.ES =【分析】利用样本方差的性质2ES DX =即可. 【详解】因为()d e d 02xx EX xf x x x +∞+∞--∞-∞===⎰⎰， 22222000()d e d e d e 2e d 2xx xx x EX x f x x x x x x x x +∞+∞+∞+∞---+∞--∞-∞====-+⎰⎰⎰⎰2e2e d 2e 2x x xx x +∞-+∞--+∞=-+=-=⎰，所以 ()22202DX EX EX =-=-=，又因2S 是DX 的无偏估计量，所以 22ES DX ==.二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< .[ Ａ ]【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.【详解】 由()0,()0f x f x '''>>知，函数()f x 单调增加，曲线()y f x =凹向，作函数()y f x =的图形如右图所示，显然当0x ∆>时，00d ()d ()0y y f x x f x x ''∆>==∆>，故应选(Ａ).（8）设函数()f x 在0x =处连续，且()22lim1h f h h →=，则(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在 (C) ()()000f f +'=且存在 (D)()()010f f +'=且存在 [ C ] 【分析】从()22lim1h f h h→=入手计算(0)f ，利用导数的左右导数定义判定(0),(0)f f -+''的存在性.【详解】由()22lim1h f h h →=知，()20lim 0h f h →=.又因为()f x 在0x =处连续，则()2(0)lim ()lim 0x h f f x f h→→===.令2t h =，则()()22(0)1limlim (0)h t f h f t f f h t++→→-'===.所以(0)f +'存在，故本题选（C ）. （9）若级数1nn a∞=∑收敛，则级数(A)1nn a∞=∑收敛 . （B ）1(1)nn n a ∞=-∑收敛.(C)11n n n a a ∞+=∑收敛. (D)112n n n a a ∞+=+∑收敛. [ Ｄ ] 【分析】 可以通过举反例及级数的性质来判定. 【详解】 由1n n a ∞=∑收敛知11n n a ∞+=∑收敛，所以级数112n n n a a ∞+=+∑收敛，故应选(Ｄ). 或利用排除法： 取1(1)nn a n=-，则可排除选项（Ａ），（Ｂ）； 取1(1)nn a n=-，则可排除选项（Ｃ）.故（Ｄ）项正确. （10）设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数，则该方程的通解是（Ａ）[]12()()C y x y x -. （Ｂ）[]112()()()y x C y x y x +-.（Ｃ）[]12()()C y x y x +. （Ｄ）[]112()()()y x C y x y x ++ [ Ｂ ] 【分析】 利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.【详解】由于12()()y x y x -是对应齐次线性微分方程()0y P x y '+=的非零解，所以它的通解是[]12()()Y C y x y x =-，故原方程的通解为[]1112()()()()y y x Y y x C y x y x =+=+-，故应选(Ｂ).【评注】本题属基本题型，考查一阶线性非齐次微分方程解的结构：*y y Y =+.其中*y 是所给一阶线性微分方程的特解，Y 是对应齐次微分方程的通解.（11）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是(A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. [ Ｄ ]【分析】 利用拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+在000(,,)x y λ（0λ是对应00,x y 的参数λ的值）取到极值的必要条件即可.【详解】 作拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+，并记对应00,x y 的参数λ的值为0λ，则000000(,,)0(,,)0x y F x y F x y λλ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩， 即0000000000(,)(,)0(,)(,)0x x y y f x y x y f x y x y λϕλϕ⎧''+=⎪⎨''+=⎪⎩ .消去0λ，得00000000(,)(,)(,)(,)0x y y x f x y x y f x y x y ϕϕ''''-=, 整理得 000000001(,)(,)(,)(,)x y x y f x y f x y x y x y ϕϕ'''='.（因为(,)0y x y ϕ'≠），若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.故选（Ｄ）.（12）设12,,,s ααα 均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，下列选项正确的是(A) 若12,,,s ααα 线性相关，则12,,,s A A A ααα 线性相关. (B) 若12,,,s ααα 线性相关，则12,,,s A A A ααα 线性无关. (C) 若12,,,s ααα 线性无关，则12,,,s A A A ααα 线性相关.(D) 若12,,,s ααα 线性无关，则12,,,s A A A ααα 线性无关. [ A ] 【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定. 【详解】 记12(,,,)s B ααα= ，则12(,,,)s A A A AB ααα= .所以，若向量组12,,,s ααα 线性相关，则()r B s <，从而()()r AB r B s ≤<，向量组12,,,s A A A ααα 也线性相关，故应选(Ａ).（13）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（Ａ）1C P AP -=. （Ｂ）1C PAP -=.（Ｃ）TC P AP =. （Ｄ）TC PAP =. ［ Ｂ ］【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得. 【详解】由题设可得1101101101110,010********1001001001B A C B A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ， 而 1110010001P --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则有1C PAP -=.故应选（Ｂ）.（14）设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布222(,)N μσ，且{}{}1211P X P Y μμ-<>-< 则必有 (A) 12σσ< (B) 12σσ>(C)12μμ< (D) 12μμ> [ A ]【分析】 利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得.【详解】 由题设可得12112211X Y P P μμσσσσ⎧-⎫⎧-⎫<><⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则 12112121σσ⎛⎫⎛⎫Φ->Φ-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1211σσ⎛⎫⎛⎫Φ>Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 其中()x Φ是标准正态分布的分布函数. 又()x Φ是单调不减函数，则1211σσ>，即12σσ<.故选(A).三 、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分7分）设()1sin,,0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+,求 (Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞=；(Ⅱ) ()0lim x g x +→. 【分析】第(Ⅰ)问求极限时注意将x 作为常量求解，此问中含,0∞⋅∞∞型未定式极限；第(Ⅱ)问需利用第(Ⅰ)问的结果，含∞-∞未定式极限.【详解】(Ⅰ) ()()1sin lim ,lim 1arctan y y x y y y g x f x y xy x π→+∞→∞⎛⎫- ⎪⎪==-+ ⎪⎪⎝⎭sin 11111lim 1arctan arctan y x yxy x x x x y ππ→∞⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪⎪-=-=-⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (Ⅱ) ()200011arctan lim lim lim arctan arctan x x x x x x x g x x x x xππ+++→→→--+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ （通分） 22222000112arctan 2(1)1lim lim lim 22x x x x x x x x x x x x x xππππ+++→→→-+-+-+++====（16）（本题满分7分） 计算二重积分2d d Dy xy x y -⎰⎰，其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.【分析】画出积分域，将二重积分化为累次积分即可. 【详解】积分区域如右图.因为根号下的函数为关于x 的一次函数，“先x 后y ”积分较容易，所以1220d d d d yDy xy x y y y xy x -=-⎰⎰⎰⎰()311222002122d d 339y y xy y y y y=--==⎰⎰（17）（本题满分10分）证明：当0a b π<<<时，sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.【分析】 利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函数的单调性证明.【详解】 令()sin 2cos sin 2cos ,0f x x x x x a a a a a x b πππ=++---<≤≤<， 则 ()sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x ππ'=+-+=-+，且()0f π'=. 又 ()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<，（0,s i n 0x x x π<<>时），故当0a x b π<≤≤<时，()f x '单调减少，即()()0f x f π''>=，则()f x 单调增加，于是()()0f b f a >=，即sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.（18）（本题满分8分）在xOy 坐标平面上，连续曲线L 过点()1,0M ，其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax （常数>0a ）.(Ⅰ) 求L 的方程；(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为83时，确定a 的值. 【分析】(Ⅰ)利用导数的几何意义建立微分方程，并求解；(Ⅱ)利用定积分计算平面图形的面积，确定参数. 【详解】(Ⅰ) 设曲线L 的方程为()y f x =，则由题设可得 y y ax x '-=，这是一阶线性微分方程，其中1(),()P x Q x ax x=-=，代入通解公式得 ()11d d 2e e d x x x x y ax x C x ax C ax Cx -⎛⎫⎰⎰=+=+=+ ⎪⎝⎭⎰， 又(1)0f =，所以C a =-.故曲线L 的方程为 2y ax ax =-(0)x ≠.(Ⅱ) L 与直线y ax =（>0a ）所围成平面图形如右图所示. 所以()220d D ax ax ax x ⎡⎤=--⎣⎦⎰ ()220482d 33a x x x a =-==⎰，故2a =.（19）（本题满分10分）求幂级数()()1211121n n n x n n -+∞=--∑的收敛域及和函数()s x.【分析】因为幂级数缺项，按函数项级数收敛域的求法计算；利用逐项求导或积分并结合已知函数的幂级数展开式计算和函数.【详解】记121(1)()(21)n n n x u x n n -+-=-，则2321121(1)()(1)(21)lim lim (1)()(21)n n n n n n n nx u x n n xx u x n n ++-+→∞→∞-++==--. 所以当21,1x x <<即时，所给幂级数收敛；当1x >时，所给幂级数发散；当1x =±时，所给幂级数为1(1)(1),(21)(21)n nn n n n -----，均收敛， 故所给幂级数的收敛域为[]1,1-在()1,1-内，()12112111(1)(1)()22()(21)(21)2n n n nn n x x s x x xs x n n n n -+-∞∞==--===--∑∑，而 12112211211(1)1(),()(1)211n n n n n n x s x s x x n x --∞∞--==-'''==-=-+∑∑， 所以 111201()(0)()d d arctan 1xxs x s s t t t x t ''''-===+⎰⎰，又1(0)0s '=，于是 1()arctan s x x '=.同理 11100()(0)()d arctan d xxs x s s t t t t '-==⎰⎰()20201arctan d arctan ln 112xx t t tt x x x t =-=-++⎰， 又 1(0)0s =，所以 ()211()arctan ln 12s x x x x =-+.故 ()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+.()1,1x ∈-.由于所给幂级数在1x =±处都收敛，且()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+在1x =± 处都连续，所以()s x 在1x =±成立，即()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+，[]1,1x ∈-.（20）（本题满分13分）设4维向量组()()()T T T 1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+ ()T44,4,4,4a α=+，问a为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.【分析】因为向量组中的向量个数和向量维数相同，所以用以向量为列向量的矩阵的行列式为零来确定参数a ；用初等变换求极大线性无关组. 【详解】记以1234,,,αααα为列向量的矩阵为A ，则312341234(10)12341234a a A a a a a++==+++.于是当0,010A a a ===-即或时，1234,,,αααα线性相关.当0a =时，显然1α是一个极大线性无关组，且2131412,3,4αααααα===； 当10a =-时， 1α2α 3α 4α9234183412741236A -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭， 由于此时A 有三阶非零行列式9231834000127--=-≠-，所以123,,ααα为极大线性无关组，且123441230αααααααα+++==---，即.（21）（本题满分13分）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量；(Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ；（Ⅲ）求A 及632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中E 为3阶单位矩阵.【分析】 由矩阵A 的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵A 的一个特征值和对应的特征向量；由齐次线性方程组0Ax =有非零解可知A 必有零特征值，其非零解是0特征值所对应的特征向量.将A 的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q ；由TQ AQ =Λ可得到A 和632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【详解】 (Ⅰ) 因为矩阵A 的各行元素之和均为3，所以1311331131A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则由特征值和特征向量的定义知，3λ=是矩阵A 的特征值，T (1,1,1)α=是对应的特征向量.对应3λ=的全部特征向量为k α，其中k 为不为零的常数.又由题设知 120,0A A αα==，即11220,0A A αααα=⋅=⋅，而且12,αα线性无关，所以0λ=是矩阵A 的二重特征值，12,αα是其对应的特征向量，对应0λ=的全部特征向量为 1122k k αα+，其中12,k k 为不全为零的常数.(Ⅱ) 因为A 是实对称矩阵，所以α与12,αα正交，所以只需将12,αα正交. 取 11βα=，()()21221111012,3120,61112αββαβββ⎛⎫-⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭.再将12,,αββ单位化，得121231211136212,,036111236ββαηηηαββ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪====== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令 []123,,Q ηηη=，则1T QQ -=，由A 是实对称矩阵必可相似对角化，得T300Q AQ ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦. （Ⅲ）由(Ⅱ)知 T300Q AQ ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以T 11111136********121210011136666011111111036222A Q Q ⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=Λ=--=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 666T T T 333222Q A E Q Q A E Q Q AQ E ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 6666633223333022203322E ⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭ ⎪⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎪⎝⎭⎝⎭， 则666T 333222A E Q EQ E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（22）（本题满分13分）设随机变量X 的概率密度为()1,1021,0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩ 其他，令()2,,Y X F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数.(Ⅰ) 求Y 的概率密度()Y f y ； (Ⅱ) Cov(,)X Y ；(Ⅲ) 1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭. 【分析】 求一维随机变量函数的概率密度一般先求分布，然后求导得相应的概率密度或利用公式计算. 【详解】 （I ） 设Y 的分布函数为()Y F y ，即2()()()Y F y P Y y P X y =≤=≤，则 1) 当0y <时，()0Y F y =；2) 当01y ≤<时， ()2()()Y F y P X y P y X y =<=-<<0113d d 244y y x x y -=+=⎰⎰. 3) 当14y ≤<时，()2()()1Y F y P X y P X y =<=-<<101111d d 2442y x x y -=+=+⎰⎰. 4) 当4y ≥，()1Y F y =. 所以3,0181()(),1480,Y Y y y f y F y y y⎧<<⎪⎪⎪'==≤<⎨⎪⎪⎪⎩其他. （II ） 22232Cov(,)Cov(,)()()X Y X X E X EX X EX EX EXEX ==--=-，而 02101d d 244x x EX x x -=+=⎰⎰，22022105d d 246x x EX x x -=+=⎰⎰， 3323107d d 248x x EX x x -=+=⎰⎰， 所以 7152Cov(,)8463X Y =-⋅=. (Ⅲ) 1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭211,4,422P X Y P X X ⎛⎫⎛⎫=≤-≤=≤-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11,22222P X X P X ⎛⎫⎛⎫=≤--≤≤=-≤≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12111d 24x --==⎰. （23）（本题满分13分）设总体X 的概率密度为(),01,;1,12,0,x f x x θθθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他,其中θ是未知参数()01θ<<，12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数.（Ⅰ）求θ的矩估计； （Ⅱ）求θ的最大似然估计【分析】 利用矩估计法和最大似然估计法计算. 【详解】（Ⅰ）因为()1213(;)d d 1d 2EX xf x x x x x x θθθθ+∞-∞==+-=-⎰⎰⎰， 令 32X θ-=，可得θ的矩估计为 32X θ=- .（Ⅱ）记似然函数为()L θ，则()()()()()111(1)N n N N n N L θθθθθθθθθ--=⋅⋅⋅-⋅-⋅⋅-=- 个个. 两边取对数得ln ()ln ()ln(1)L N n N θθθ=+--，令d ln ()0d 1L N n Nθθθθ-=-=-，解得N n θ= 为θ的最大似然估计.。
2003-2008年数三真题
2003年考研数学（三）真题一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设,0,0,0,1cos )(=≠⎪⎩⎪⎨⎧=x x xx x f 若若λ其导函数在x=0处连续，则λ的取值范围是_____. （2）已知曲线b x a x y +-=233与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为=2b ________. （3）设a>0，，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而D 表示全平面，则⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(=_______.（4）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T α；E 为n 阶单位矩阵，矩阵TE A αα-=， T aE B αα1+=， 其中A 的逆矩阵为B ，则a=______.（5）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若4.0-=X Z ，则Y 与Z 的相关系数为________.（6）设总体X 服从参数为2的指数分布，n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本，则当∞→n 时，∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于______.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数xx f x g )()(=(A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0.(C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. [ ] （2）设可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是(A) ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. （B ）),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. (C) ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. (D) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在. [ ] （3）设2nn n a a p +=，2nn n a a q -=， ,2,1=n ，则下列命题正确的是(A) 若∑∞=1n na条件收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.(B) 若∑∞=1n na绝对收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.(C) 若∑∞=1n na条件收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq敛散性都不定.(D) 若∑∞=1n na绝对收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq敛散性都不定. [ ]（4）设三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a b b b a b b b a A ，若A 的伴随矩阵的秩为1，则必有 (A) a=b 或a+2b=0. (B) a=b 或a+2b ≠0.(C) a ≠b 且a+2b=0. (D) a ≠b 且a+2b ≠0. [ ] （5）设s ααα,,,21 均为n 维向量，下列结论不正确的是(A) 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有02211≠+++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关.(B) 若s ααα,,,21 线性相关，则对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有.02211=+++s s k k k ααα(C) s ααα,,,21 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D)s ααα,,,21 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ ]（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A ={掷第一次出现正面}，2A ={掷第二次出现正面}，3A ={正、反面各出现一次}，4A ={正面出现两次}，则事件(A) 321,,A A A 相互独立. (B) 432,,A A A 相互独立.(C) 321,,A A A 两两独立. (D) 432,,A A A 两两独立. [ ] 三、（本题满分8分） 设).1,21[,)1(1sin 11)(∈--+=x x x x x f πππ 试补充定义f(1)使得f(x)在]1,21[上连续.四 、（本题满分8分）设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足12222=∂∂+∂∂vf u f ，又)](21,[),(22y x xy f y x g -=,求.2222ygx g ∂∂+∂∂ 五、（本题满分8分） 计算二重积分 .)sin(22)(22dxdy y x e I Dy x +=⎰⎰-+-π其中积分区域D=}.),{(22π≤+y x y x六、（本题满分9分）求幂级数∑∞=<-+12)1(2)1(1n n nx n x 的和函数f(x)及其极值.七、（本题满分9分）设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在),(+∞-∞内满足以下条件： )()(x g x f ='，)()(x f x g ='，且f(0)=0, .2)()(x e x g x f =+(1) 求F(x)所满足的一阶微分方程；(2) 求出F(x)的表达式. 八、（本题满分8分）设函数f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在)3,0(∈ξ，使.0)(='ξf九、（本题满分13分） 已知齐次线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211nn nn n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a 其中.01≠∑=ni ia试讨论n a a a ,,,21 和b 满足何种关系时，(1) 方程组仅有零解；(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系. 十、（本题满分13分） 设二次型)0(222),,(31232221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T ，中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12.(1) 求a,b 的值；(2) 利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 十一、（本题满分13分） 设随机变量X 的概率密度为;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x fF(x)是X 的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.十二、（本题满分13分）设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7.03.021~X ，而Y 的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y 的概率密度g(u).2004年考研数学（三）真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若5)(cos sin lim 0=--→b x ae xxx ，则a =______，b =______. (2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y ) ≠ 0，则2fu v∂=∂∂.(3) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则212(1)f x dx -=⎰.(4) 二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 . (5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X P _______.(6) 设总体X 服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n X X X 和2,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则12221112()()2n n i j i j X X Y Y E n n ==⎡⎤-+-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) (-1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). [ ](8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ， ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x x f x g ，则(A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点.(C) x = 0必是g (x )的连续点.(D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ ] (9) 设f (x ) = |x (1 - x )|，则(A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.(D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点. [ ] (10) 设有下列命题：(1) 若∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛，则∑∞=1n n u 收敛.(2) 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=+11000n n u 收敛.(3) 若1lim 1>+∞→n n n u u ，则∑∞=1n n u 发散.(4) 若∑∞=+1)(n n n v u 收敛，则∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都收敛.则以上命题中正确的是 (A) (1) (2). (B) (2) (3).(C) (3) (4). (D) (1) (4). [ ](11) 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ). (B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ). (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.[ D ](12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||. (C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B . [ ](13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组 b Ax =的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量.[ ](14) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足αu X P α=>}{,若αx X P =<}|{|, 则x 等于 (A) 2αu . (B) 21αu-. (C) 21αu -. (D) αu -1. [ ]三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分8分)求)cos sin 1(lim 2220xxx x -→.(16) (本题满分8分)求⎰⎰++Dd y y x σ)(22，其中D 22122=所围成的 平面区域(如图).(17) (本题满分8分) 设f (x ) , g (x )在[a , b ]上连续，且满足⎰⎰≥x axadt t g dt t f )()(，x ∈ [a , b )，⎰⎰=bab adt t g dt t f )()(.证明：⎰⎰≤baba dx x xg dx x xf )()(.(18) (本题满分9分) 设某商品的需求函数为Q = 100 - 5P ，其中价格P ∈ (0 , 20)，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)；(II) 推导)1(d E Q dPdR-=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时， 降低价格反而使收益增加. (19) (本题满分9分) 设级数)(864264242864+∞<<-∞+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅x x x x 的和函数为S (x ). 求：(I) S (x )所满足的一阶微分方程； (II) S (x )的表达式. (20)(本题满分13分)设Tα)0,2,1(1=, Tααα)3,2,1(2-+=, T b αb α)2,2,1(3+---=, Tβ)3,3,1(-=, 试讨论当b a ,为何值时,(Ⅰ) β不能由321,,ααα线性表示;(Ⅱ) β可由321,,ααα唯一地线性表示, 并求出表示式;(Ⅲ) β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. (21) (本题满分13分) 设n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111b b b b b b A . (Ⅰ) 求A 的特征值和特征向量;(Ⅱ) 求可逆矩阵P , 使得AP P 1-为对角矩阵. (22) (本题满分13分)设A ，B 为两个随机事件,且41)(=A P , 31)|(=AB P , 21)|(=B A P , 令 ⎩⎨⎧=不发生，，发生，A A X 0,1 ⎩⎨⎧=.0,1不发生，发生，B B Y 求(Ⅰ) 二维随机变量),(Y X 的概率分布; (Ⅱ) X 与Y 的相关系数 XY ρ; (Ⅲ) 22Y X Z +=的概率分布. (23) (本题满分13分)设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，，，αx αx x αβαx F β0,1),,( 其中参数1,0>>βα. 设n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本,(Ⅰ) 当1=α时, 求未知参数β的矩估计量; (Ⅱ) 当1=α时, 求未知参数β的最大似然估计量; (Ⅲ) 当2=β时, 求未知参数α的最大似然估计量.2005年考研数学（三）真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）极限12sinlim 2+∞→x xx x = . （2） 微分方程0=+'y y x 满足初始条件2)1(=y 的特解为______. （3）设二元函数)1ln()1(y x xe z y x +++=+，则=)0,1(dz________.（4）设行向量组)1,1,1,2(，),,1,2(a a ，),1,2,3(a ，)1,2,3,4(线性相关，且1≠a ，则a=_____.（5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从X ,,2,1 中任取一个数，记为Y , 则}2{=Y P =______.（6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，则a= ， b= .二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）当a 取下列哪个值时，函数a x x x x f -+-=1292)(23恰好有两个不同的零点. (A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. [ ] （8）设σd y x I D⎰⎰+=221cos,σd y x I D⎰⎰+=)cos(222,σd y x I D⎰⎰+=2223)cos(,其中}1),{(22≤+=y x y x D ，则(A) 123I I I >>. （B ）321I I I >>.(C) 312I I I >>. (D) 213I I I >>. [ ] （9）设,,2,1,0 =>n a n 若∑∞=1n na发散，∑∞=--11)1(n n n a 收敛，则下列结论正确的是(A)∑∞=-112n n a收敛，∑∞=12n na发散 . （B ）∑∞=12n na收敛，∑∞=-112n n a发散.(C))(1212∑∞=-+n n n a a收敛. (D))(1212∑∞=--n n n a a收敛. [ ]（10）设x x x x f cos sin )(+=,下列命题中正确的是(A) f(0)是极大值，)2(πf 是极小值. （B ） f(0)是极小值，)2(πf 是极大值.（C ） f(0)是极大值，)2(πf 也是极大值. (D) f(0)是极小值，)2(πf 也是极小值.[ ]（11）以下四个命题中，正确的是(A) 若)(x f '在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （B ）若)(x f 在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （C ）若)(x f '在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界.(D) 若)(x f 在（0，1）内有界，则)(x f '在（0，1）内有界. [ ] （12）设矩阵A=33)(⨯ij a 满足TA A =*，其中*A 是A 的伴随矩阵，TA 为A 的转置矩阵. 若131211,,a a a 为三个相等的正数，则11a 为(A)33. (B) 3. (C) 31. (D)3. [ ]（13）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是(A)01=λ. (B) 02=λ. (C) 01≠λ. (D) 02≠λ. [ ]（14） 设一批零件的长度服从正态分布),(2σμN ，其中2,σμ均未知. 现从中随机抽取16个零件，测得样本均值)(20cm x =，样本标准差)(1cm s =，则μ的置信度为0.90的置信区间是(A) )).16(4120),16(4120(05.005.0t t +-(B) )).16(4120),16(4120(1.01.0t t +- (C))).15(4120),15(4120(05.005.0t t +-(D))).15(4120),15(4120(1.01.0t t +- [ ]三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分8分） 求).111(lim 0xe x x x --+-→（16）（本题满分8分）设f(u)具有二阶连续导数，且)()(),(y x yf x y f y x g +=，求.222222yg y x g x ∂∂-∂∂ （17）（本题满分9分） 计算二重积分σd y xD⎰⎰-+122，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D .（18）（本题满分9分） 求幂级数∑∞=-+12)1121(n nxn 在区间(-1,1)内的和函数S(x).（19）（本题满分8分）设f(x),g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0,0)(≥'x f ,0)(≥'x g .证明：对任何a ]1,0[∈,有⎰⎰≥'+'ag a f dx x g x f dx x f x g 01).1()()()()()(（20）（本题满分13分）已知齐次线性方程组（i ） ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,0,0532,032321321321ax x x x x x x x x和（ii ） ⎩⎨⎧=+++=++,0)1(2,03221321x c x b x cx bx x 同解，求a,b, c 的值.（21）（本题满分13分）设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B CC AD T 为正定矩阵，其中A,B 分别为m 阶，n 阶对称矩阵，C 为n m ⨯矩阵. (I) 计算DP P T，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-n mE o C A E P 1； （II ）利用(I)的结果判断矩阵C A C B T 1--是否为正定矩阵，并证明你的结论.（22）（本题满分13分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为.,20,10,0,1),(其他x y x y x f <<<<⎩⎨⎧=求：（I ） (X,Y)的边缘概率密度)(),(y f x f Y X ； （II ） Y X Z -=2的概率密度).(z f Z( III ) }.2121{≤≤X Y P （23）（本题满分13分）设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体N(0,2σ)的简单随机样本，X 为样本均值，记.,,2,1,n i X X Y i i =-=求：（I ） i Y 的方差n i DY i ,,2,1, =； （II ）1Y 与n Y 的协方差).,(1n Y Y Cov（III ）若21)(n Y Y c +是2σ的无偏估计量，求常数c.2006年考研数学（三）真题一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim ______.nn n n -→∞+⎛⎫=⎪⎝⎭（2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f xf x '=，()21f =，则()2____.f '''=（3）设函数()f u 可微,且()102f '=,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分()1,2d _____.z=（4）设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B .（5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{}{}max ,1P X Y ≤=_______.（6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2xn f x e x X X X -=-∞<<+∞ 为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2S ，则2____.ES =二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< . [ ]（8）设函数()f x 在0x =处连续，且()22lim1h f h h →=，则(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在(C) ()()000f f +'=且存在 (D)()()010f f +'=且存在 [ ] （9）若级数1nn a∞=∑收敛，则级数(A)1nn a∞=∑收敛 . （B ）1(1)nn n a ∞=-∑收敛.(C)11n n n a a ∞+=∑收敛. (D)112n n n a a ∞+=+∑收敛. [ ] （10）设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数，则该方程的通解是（Ａ）[]12()()C y x y x -. （Ｂ）[]112()()()y x C y x y x +-.（Ｃ）[]12()()C y x y x +. （Ｄ）[]112()()()y x C y x y x ++ [ ] （11）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是(A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. [ ] （12）设12,,,s ααα 均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，下列选项正确的是(A) 若12,,,s ααα 线性相关，则12,,,s A A A ααα 线性相关. (B) 若12,,,s ααα 线性相关，则12,,,s A A A ααα 线性无关. (C) 若12,,,s ααα 线性无关，则12,,,s A A A ααα 线性相关.(D) 若12,,,s ααα 线性无关，则12,,,s A A A ααα 线性无关. [ ] （13）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（Ａ）1C P AP -=. （Ｂ）1C PAP -=.（Ｃ）T C P AP =. （Ｄ）TC PAP =. ［ ］（14）设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布222(,)N μσ，且{}{}1211P X P Y μμ-<>-<则必有 (A) 12σσ< (B) 12σσ>(C)12μμ< (D) 12μμ> [ ]三 、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分7分）设()1sin,,0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+,求 (Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞=；(Ⅱ) ()0lim x g x +→. （16）（本题满分7分）计算二重积分d Dx y ，其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.（17）（本题满分10分）证明：当0a b π<<<时，sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.（18）（本题满分8分）在xOy 坐标平面上，连续曲线L 过点()1,0M ，其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax （常数>0a ）.(Ⅰ) 求L 的方程；(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为83时，确定a 的值. （19）（本题满分10分）求幂级数()()1211121n n n x n n -+∞=--∑的收敛域及和函数()s x . （20）（本题满分13分）设4维向量组()()()TTT1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+()T44,4,4,4a α=+，问a 为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.（21）（本题满分13分）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ)求A 的特征值与特征向量；(Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得T Q AQ =Λ；（Ⅲ）求A 及632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中E 为3阶单位矩阵.（22）（本题满分13分）设随机变量X 的概率密度为()1,1021,0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩ 其他，令()2,,Y X F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数.(Ⅰ)求Y 的概率密度()Y f y ； (Ⅱ)Cov(,)X Y ；(Ⅲ)1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭. （23）（本题满分13分）设总体X 的概率密度为(),01,;1,12,0,x f x x θθθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他,其中θ是未知参数()01θ<<，12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数. （Ⅰ）求θ的矩估计； （Ⅱ）求θ的最大似然估计2007年考研数学（三）真题一．选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内）（1） 当0x +→ ）A .1- .l n )B 1C .1cD -（2） 设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是： ( )A .若0()limx f x x →存在，则(0)0f = .B 若0()()lim x f x f x x→+-存在，则(0)0f =.C .若0()lim x f x x →存在，则'(0)f 存在 .D 若0()()lim x f x f x x→--存在，则'(0)f 存在（3） 如图.连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()(),xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是：（ ）.A .(3)F 3(2)4F =-- .B (3)F 5(2)4F =.C (3)F - 3(2)4F =- .D (3)F -5(2)4F =--（4） 设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2(,)xdx f x y dy ππ⎰⎰等于（ ）.A 1arcsin (,)xdy f x y dx ππ+⎰⎰.B 1arcsin (,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰.C 1arcsin 02(,)y dy f x y dx ππ+⎰⎰ .D 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰（5） 设某商品的需求函数为1602Q ρ=-，其中Q ，ρ分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（ ）.A 10 .B 20 .C 30 .D 40（6） 曲线1ln(1),x y e x=++渐近线的条数为（ ） .A 0 .B 1 .C 2 .D 3（7）设向量组线性无关( )（A ）12αα-2131,,αααα-- (B)21αα-2331,,αααα++ （C ）1223312,2,2αααααα--- (D)1223312,2,2αααααα+++（8）设矩阵211121112A --⎧⎫⎪⎪=--⎨⎬⎪⎪--⎩⎭，100010000B ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭则A 与B （ ）（A ）合同，且相似 (B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 ( )2()3(1)A p p - 2()6(1)B p p - 22()3(1)C p p - 22()6(1)D p p -(10) 设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，(),()x y f x f y 分别表示X, Y 的概率密度，则在Y y =条件下，X 的条件概率密度()X Y x y f 为( ) （A ）()X f x (B)()y f y (C)()()x y f x f y (D)()()x y f x f y 二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上（11）3231lim(sin cos )________2x x x x x x x →∞+++=+. （12）设函数123y x =+，则()(0)_________n y =. （13）设(,)f u v 是二元可微函数，(,),y x z f x y =则z zy x y∂∂-=∂∂________. （14）微分方程31()2dy y y dx x x=-满足11x y ==的特解为__________.（15）设距阵01000010,00010000A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭则3A 的秩为_______.(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于12的概率为________. 三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本题满分10分） 设函数()y y x =由方程ln 0y y x y -+=确定，试判断曲线()y y x =在点（1，1）附近的凹凸性. （18）（本题满分11分） 设二元函数2. 1.(,)1 2.x x y f x y x y ⎧+≤⎪=≤+≤计算二重积分(,).Df x y d σ⎰⎰其中{}(,)2D x y x y =+≤（19）（本题满分11分）设函数()f x ，()g x 在[],a b 上内二阶可导且存在相等的最大值，又()f a ＝()g a ，()f b ＝()g b ，证明：（Ⅰ）存在(,),a b η∈使得()()f g ηη=； （Ⅱ）存在(,),a b ξ∈使得''()''().f g ξξ= （20）（本题满分10分）将函数21()34f x x x =--展开成1x -的幂级数，并指出其收敛区间. 1231232123123(21)(11)020(1)4021(2)x x x x x ax x x a x x x x a a ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩++=-本题满分分设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解（22）（本题满分11分）设3阶实对称矩阵A 的特征值12311,2,2,(1,1,1)T λλλα===-=-是A 的属于1λ的一个特征向量.记534B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵.（Ⅰ）验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量； （Ⅱ）求矩阵B.（23）（本题满分11分）设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,0 1.(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他2008年考研数学（三）真题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设函数()f x 在区间[1,1]-上连续，则0x =是函数0()()xf t dtg x x=⎰的（ ）()A 跳跃间断点. ()B 可去间断点.()C 无穷间断点.()D 振荡间断点.（2）曲线段方程为()y f x =，函数()f x 在区间[0,]a 上有连续的导数，则定积分()at af x dx ⎰等于（ ）()A 曲边梯形ABCD 面积. ()B 梯形ABCD 面积.()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.（3）已知(,)f x y =（A ）(0,0)x f '，(0,0)y f '都存在 （B ）(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在 （C ）(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '不存在 （D ）(0,0)x f '，(0,0)y f '都不存在 （4）设函数f连续，若22(,)uvD f u v =⎰⎰，其中uv D 为图中阴影部分，则Fu∂=∂（ ）（A ）2()vf u （B ）2()v f u u （C ）()vf u （D ）()vf u u（5）设A 为阶非0矩阵E 为阶单位矩阵若30A =，则（ ）()A E A -不可逆，E A +不可逆.()B E A -不可逆，E A +可逆.()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.（6）设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭则在实数域上域与A 合同矩阵为（ ） ()A 2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭.()B 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()C 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭.()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭.（7）随机变量,X Y 独立同分布且X 分布函数为()F x ，则{}max ,Z X Y =分布函数为（ ）()A ()2F x . ()B ()()F x F y . ()C ()211F x --⎡⎤⎣⎦. ()D ()()11F x F y --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.（8）随机变量()~0,1X N ，()~1,4Y N 且相关系数1XY ρ=，则（ ）()A {}211P Y X =--=.()B {}211P Y X =-=. ()C {}211P Y X =-+=. ()D {}211P Y X =+=.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数21,()2,x x c f x x c x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在(,)-∞+∞内连续，则c = . （10）设341()1x x f x x x ++=+，则2()______f x dx =⎰.（11）设22{(,)1}D x y x y =+≤，则2()D x y dxdy -=⎰⎰ .（12）微分方程0xy y '+=满足条件(1)1y =的解y = .（13）设3阶矩阵A 的特征值为1，2，2，E 为3阶单位矩阵，则14_____A E --=.（14）设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2P X EX == . 三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) （本题满分10分） 求极限201sin lim ln x x x x→. (16) （本题满分10分） 设(,)z z x y =是由方程()22x y z x y z ϕ+-=++所确定的函数，其中ϕ具有2阶导数且1ϕ'≠-时.（1）求dz（2）记()1,z z u x y x y x y ⎛⎫∂∂=- ⎪-∂∂⎝⎭，求u x ∂∂. (17) （本题满分11分）计算max(,1),Dxy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤.(18) （本题满分10分）设()f x 是周期为2的连续函数，（1）证明对任意实数t ，有()()220t t f x dx f x dx +=⎰⎰； （2）证明()()()202xt t G x f t f s ds dt +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰是周期为2的周期函数． (19) （本题满分10分）设银行存款的年利率为0.05r =，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A 万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n 年提取（10+9n ）万元，并能按此规律一直提取下去，问A 至少应为多少万元？(20) （本题满分12分）设矩阵2221212n na a a A a a ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，现矩阵A 满足方程AX B =，其中()1,,T n X x x = ，()1,0,,0B = ，（1）求证()1nA n a =+; （2）a 为何值，方程组有唯一解;（3）a 为何值，方程组有无穷多解.（21）（本题满分10分）设A 为3阶矩阵，12,a a 为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3a 满足323Aa a a =+，证明（1）123,,a a a 线性无关；（2）令()123,,P a a a =，求1P AP -. （22）（本题满分11分）设随机变量X 与Y 相互独立，X 的概率分布为{}()11,0,13P X i i ===-，Y 的概率密度为()1010Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它，记Z X Y =+ （1）求102P Z X ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭； （2）求Z 的概率密度．（23） （本题满分11分）12,,,n X X X 是总体为2(,)N μσ的简单随机样本.记11ni i X X n ==∑，2211()1n i i S X X n ==--∑，221T X S n =-. （1）证 T 是2μ的无偏估计量.（2）当0,1μσ==时 ，求DT .。
考研数学三解答题专项强化真题试卷56(题后含答案及解析)
考研数学三解答题专项强化真题试卷56(题后含答案及解析)题型有：1.1．设矩阵A=，β=，且方程组Ax=β无解．(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)求方程组ATAx=ATβ的通解．正确答案：(I)对矩阵(Aβ)施以初等行变换由方程组无解知，秩（Aβ)＞秩A，即－a2+2a=0，且a－2≠0，解得a=0.(Ⅱ)对矩阵(ATATβ)以初等行变换(ATAT β)=所以，方程组ATAx=ATβ的通解x=(k为任意常数)2．[2009年] 求二元函数f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的极值．正确答案：令fx’(x，y)=2x(2+y2)=0，fy’(x，y)=2x2y+lny+1=0，得其驻点为(0，1／e)．又fxx”=2(2+y2)，fyy”=2x2+1／y，fxy”=4xy，因A=fxx”＞0 而B2－AC=(fxy”)2－fxx”fyy”＜0，故二元函数存在极小值，且f(0，1／e)=－1／e就是它的极小值．涉及知识点：多元函数微积分学3．[2006年] 四维向量组α1=[1+a，1，1，1]T，α2=[2，2+a，2，2]T，α3=[3，3，3+a，3]T，α4=[4，4，4，4+a]T．问a为什么数时，α1，α2，α3，α4线性相关?在α1，α2，α3，α4线性相关时求其一个极大线性无关组，并且把其余向量用该极大线性无关组线性表出．正确答案：解一若α1，α2，α3，α4线性相关，即|α1，α2，α3，α4|=0，而|α1，α2，α3，α4|=a3(a+10)，于是当a=0或－10时，α1，α2，α3，α4线性相关．当a=0时，α1是α1，α2，α3，α4的极大无关组，且α2=2α1，α3=3α1，α4=4α1．当a=－10时，用初等行变换求其极大无关组．显然β1，β2，β3为β1，β2，β3，β4的一个极大线性无关组，且β4=－β1－β2－β3．由于矩阵的初等行变换不改变矩阵列向量组之间的线性关系，故α1，α2，α3是α1，α2，α3，α4的一个极大无关组，且α4=－α1－α2－α3．解二设A=[α1，α2，α3，α4]，对A进行初等行变换，得到当a=0时，A的秩等于1，因而α1，α2，α3，α4线性相关．此时α1为α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组，且α2=2α1，α3=3α1，α4=4α1．当a≠0时，再对B施以初等行变换，得到如果a≠－10，C的秩为4，从而A的秩也为4，故α1，α2，α3，α4线性无关．如果a=－10，C的秩为3，从而A的秩也为3，故α1，α2，α3，α4线性相关．由于v2，v3，v4为v1，v2，v3，v4的一个极大线性无关组，且v1=－v2－v3－v4，因矩阵的初等行变换不改变矩阵列向量组之间的关系，故α2，α3，α4为α1，α2，α3，α1的一个极大线性无关组，且α1=－α2－α3－α4．涉及知识点：线性代数4．(15年)(Ⅰ)设函数u(χ)，v(χ)可导，利用导数定义证明[u(χ)v(χ)]′＝u′(χ)v(χ)＋u(χ)v′(χ)；(Ⅱ)设函数u1(χ)，u2(χ)，…，un(χ)可导，f(χ)＝u1(χ)u2(χ)…un(χ)，写出f(χ)的求导公式．正确答案：(Ⅰ)令f(χ)＝u(χ)v(χ)，由导数定义得(Ⅱ)若f(χ)＝u1(χ)u2(χ)…un(χ)，则f′(χ)＝u′1(χ)u2(χ)…un(χ)＋u1(χ)u′2(χ)…un(χ)＋…＋u1(χ)u2(χ)…u′n(χ)．涉及知识点：微积分5．(13年)设平面区域D由直线χ＝3y，y＝3y及χ＋y＝8围成，计χ2d χdy．正确答案：涉及知识点：微积分6．(09年)设曲线y＝f(χ)，其中f(χ)是可导函数，且f(χ)＞0．已知曲线y＝f(χ)与直线y＝0，χ＝1及χ＝t(t＞1)所围成的曲边梯形绕χ轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍，求该曲线的方程．正确答案：由题设可知旋转体体积为V＝∫1tf2(χ)dχ曲边梯形的面积为S＝∫1tf(χ)dχ由题设可知，π∫1tf2(χ)dχ＝πt∫1tf(χ)dχ即∫1tf2(χ)dχ＝t∫1tf(χ)dχ上式两端对t求导得f2(t)＝∫1tf(χ)dχ＋tf(t) (*) 继续求导得2f(t)f′(t)＝f(t)＋f(t)＋tf′(t) 即(2y－t)＝2y (其中y＝f(t)) 在(*)式中令t＝1得f2(1)＝f(1)，即f(1)＝1或f(1)＝0．而由题设知f(t)＞1，则f(1)＝1，代入t＝知，C＝，即t＝．则所求曲线方程为2y＋－3χ＝0．涉及知识点：微积分7．(12年)已知函数f(χ)满足方程f〞(χ)＋f′(χ)－2f(χ)＝0及f〞(χ)＋f(χ)＝2eχ．(Ⅰ)求f(χ)的表达式；(Ⅱ)求曲线y＝f(χ2)∫0χf(－t2)dt 的拐点．正确答案：(Ⅰ)联立得f′(χ)－3f(χ)＝－eχ，因此f(χ)＝e∫3d χ(∫(－2eχ)e－∫3dχdχ＋C)＝eχ＋Ce3χ代入f〞(χ)＋f(χ)＝2eχ，得C＝0，所以f(χ)＝eχ．当χ＜0时，y〞＜0；当χ＞0时，y〞＞0，又y(0)＝0，所以曲线的拐点为(0，0)．涉及知识点：微积分8．(07年)设3阶实对称矩阵A的特征值λ1＝1，λ2＝2，λ3＝－2，且α1＝(1，－1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B＝A5－4A3＋E，其中E为3阶单位矩阵．(Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；(Ⅱ)求矩阵B．正确答案：(Ⅰ)记矩阵A的属于特征值λi的特征向量为αi(i＝1，2，3)，由特征值的定义与性质，有Akαi＝λikαi(i＝1，2，3，k＝1，2，…)，于是有Bα1＝(A5－4A3＋E)α1＝(λ15－4λ13＋)α1＝－2α1 因α1＝≠0，故由定义知－2为B的一个特征值且α1为对应的一个特征向量．类似可得Bα2＝(λ25－4λ23＋1)α2＝α2 Bα3＝(λ35－4λ33＋1)α3＝α3 因为A的全部特征值为λ1，λ2，λ3，所以B的全部特征值为λi5－4λi3＋(i＝1，2，3)，即B的全部特征值为－2，1，1．因－2为B的单特征值，故B的属于特征值－2的全部特征向量为k1α1，其中k1是不为零的任意常数．设χ＝(χ1，χ2，χ3)T为B的属于特征值1的任一特征向量．因为A是实对称矩阵，所以B也是实对称矩阵．因为实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，所以有(χ1，χ2，χ3)α1＝0，即χ1－χ2＋χ3＝0 解得该方程组的基础解系为ξ2＝(1，1，0)T，ξ3＝(－1，0，1)T 故B的属于特征值1的全部特征向量为忌k2ξ2＋k3ξ3，其中k2，k3为不全为零的任意常数．(Ⅱ)由(Ⅰ)知α1，ξ2，ξ3为B的3个线性无关的特征向量，令矩阵涉及知识点：线性代数设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记9．证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT．正确答案：记x=，由于f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2=2xT(ααT)x+xT(ββT)x=xT (2ααT+ββT)xT，2ααT+ββT为对称矩阵，所以二次型f的矩阵为2ααT+ββT．涉及知识点：线性代数10．若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．正确答案：记矩阵A=2ααT+ββT．由于α，β正交且为单位向量，即αTα=1，βTβ=1，αTβ=βTα=0，所以Aα=(2ααT+ββT)α=2α，αβ=(2ααT+ββT)β=β，于是λ1=2，λ2=1是矩阵A的特征值．又r(A)=r(2ααT+ββT)≤r(2ααT)+r(ββT)≤2，所以λ3=0是矩阵A的特征值．由于f在正交变换下的标准形中各变量平方项的系数为A的特征值，故f在正交变换下的标准形为2y12+y22．涉及知识点：线性代数。
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(I)在求
时 为固定的正数，则 ,
则
。
(II)
=
10 / 21
。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的比较、洛必 达法则 (16)（本题满分 7 分）
计算二重积分
其中 是由直线
所围成的平面区域。
【解析】画出二重积分，将二重积分化为累次积分即可。
积分区域如左图，因为根号下的
函数为关于 的一次函数，先 后
事件
又根据
相互独立，均服从均匀分布，可以直接写出
综上所述，本题正确答案是 。 【考点】概率论—多维随机变量的分布—二维随机变量的分布
(6) 设总体 的概率密度为 为总体 的随机简单样本，其样本方差为 则
【答案】 【解析】
_______。
综上所述，本题正确答案是 。 【考点】概率论—随机变量的数字特征—随机变量的数学期望 (均值)、方差、标准差及其性质 二、选择题（7~14 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的
不全为 0 而是
那么
因为
线性相关，有
从而
故
综上所述，本题正确答案是 A
线性相关。
【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关与线性无关、向量
组的秩
(13)设 为三阶矩阵，将 的第 2 行加到第 1 行的 ，再将 的第 1
列的 倍加到第 2 列得 ，记
，则
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】B。
【解析】按已知条件，用初等矩阵描述有
由
知
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综上所述，本题正确答案是 。 【考点】高等数学—一元函数微分学—复合函数的导数
(3) 设函数 可微，且
则
微分
。
【答案】
在点 处的全
【解析】因为
,
所以
。
综上所述，本题正确答案是
【考点】高等数学—多元函数微积分学—偏导数、全微分
(4) 设 矩 阵 ，则
【答案】2。 【解析】
， 为二阶单位矩阵，矩阵 满足 ___________。
(A)若 (B)若 (C)若 (D)若 【答案】D。
，则 ，则 ，则 ，则
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【解析】本题主要考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘
数法。
作拉格朗日函数
并记对应 的参数
的值为 则
即
消去 得
整理得：
,
若
则
综上所述，本题正确答案是 D
【考点】高等数学—多元函数微积分学—二元函数的极限
(12)设 是
因为
同理 是单调增函数，当
即 。
9 / 21
, 所以
时， 即
综上所述，本题正确答案是 A 【考点】概率论与数理统计—随机变量及其分布—正态分布及应 用 三、解答题（15~23 小题，共 94 分。解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤。） (15)（本题满分 7 分）
设
求
(I)
(II) 【解析】本题主要考查洛必达法则和等价无穷小的替换。
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四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）
(1) 设函数
具有二阶导数，且
量 在点 处的增量， 与 分别为
微分，若
，则
， 为自变 在点 处对应的增量与
(A)
(B)
(C)
(C)
【答案】A。
【解析】
【方法一】由函数 义，得如下所示的图
单调上升且凹，根据 和 的几何意
由图可得 【方法二】
由凹曲线的性质，得
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所以
。
综上所述，本题正确答案是 B
【考点】线性代数—矩阵—矩阵的线性运算
(14)设随机变量 服从正态分布
服从正态分布
且
则必有
(A)
(A)
(C)
(D)
【答案】A。
【解析】由于 与 的分布不同，不能直接判断
和
较。
的大小与参数的关系，将其标准化，就可以方便比
率密度函数为偶函数，故
随机变量
且其概
(18)（本题满分 8 分）
在 坐标平面上，连续曲线 过点
其上任意点
处的切线斜率与直线 的斜率之差等于
均为 维列向量， 是
矩阵，下列选项正确的
(A)若
线性相关，则
(B)若
线性相关，则(C)若线性无关，则(D)若 【答案】A。
线性无关，则
【解析】
线性相关 线性无关 线性相关 线性无关
【方法一】因为
线性相关，故存在不全为零的数
7 / 21
使得
从而有
即
由于
上式成立，说明
线性相关。
【方法二】利用秩来求解，利用分块矩阵有
为任意常数，则该方程的通解是
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】B。
【解析】由于
是对应其次线性微分方程
的非零解，所以它的通解是 故原方程的通解为
综上所述，本题正确答案是 B。 【考点】高等数学—常微分方程与差分方程—非齐次线性微分方 程性质及解的结构
(11)设
与
均为可微函数，且
。已知
是
在约束条件
下的一个极值点，下列选项正确的是
因为
，所以
。
综上所述，本题正确答案是 。
【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质
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线性代数—矩阵—矩阵的线性运算
(5) 设随机变量 与 相互独立，且均服从区间
则
___________。
上的均匀分布，
【答案】 。 【解析】本题考查均匀分布，两个随机变量的独立性和他们的简
单函数的分布。
高等数学—一元函数微分学—导数的概念
(9) 若级数
收敛，则级数
(A)
收敛
(B)
(A)
收敛
(A)
【答案】D。
收敛 收敛
【解析】由
收敛知
收敛，所以级数
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收敛。
综上所述，本题正确答案是 D。 【考点】高等数学—无穷级数—收敛级数的和的概念
(10)非 齐 次 线 性 微 分 方 程
有两个不同的解
积分较容易，所以：
。 【考点】高等数学—多元函数微积分学—二重积分的计算 (17)（本题满分 10 分）
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证
明
：
当
时
，
. 【解析】本题可构造函数，利用函数的单调性来证明。
设
则
则 在 上单调减，从而有 因此， 在 上单调增，当
时，
即
。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—基本初等函数的性质
，于是
综上所述，本题正确答案是 A。
，即
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念，导数
的几何意义和物理意义
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(8) 设函数 在
(A)
且
(C)
且
【答案】C。
处连续，且 存在 (B) 存在 (D)
则
且
存在
且
存在
【解析】由
且
在 处连续，且
则 从而
由于
由于上式中
综上所述，本题正确答案是 C。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念
2006 年考研数学三真题
一、填空题（1~6 小题，每小题 4 分，共 24 分。）
(1)
。
【答案】
【解析】
【方法一】记 且
因为
故
。
【方法二】
而
为有界变量，
则原式
。
综上所述，本题正确答案是 。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限的四则运算
(2) 设函数 在 的某领域内可导，且
则
。
【答案】 。 【解析】本题主要考查复合函数求导。