极限的运算法则

又 0, B 0, 0, 当0 x x0 时,
B ,
B B B 1 B 1 B
2
2
2
B(B ) 1 B2 , 故 2
1 B(B )
2 B2
,
有界，
(3)成立.
推论1 如果 lim f ( x)存在,而c为常数,则 lim[cf ( x)] c lim f ( x).
x2
x2
x2
x2
(lim x)2 3 lim x lim 5
x2
x2
x2
22 3 2 5 3 0,
x3 1
lim x2
x2
3x
5
lim x 3 lim 1
x2
x2
lim( x 2 3 x 5)
23 1 3
7. 3
x2
小结: 1. 设 f ( x) a0 x n a1 x n1 an , 则有
x0
x0
左右极限存在且相等,
故 lim f ( x) 1. x0
y y 1 x
1
o
y x2 1 x
三、小结
1.极限的四则运算法则及其推论; 2.极限求法;
a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.
故假设错误．
一、填空题:
练习题
1、 lim x 3 3 __________ . x2 x 3
2、 lim x 1 __________ . x1 3 x 1
3、
lim(1
x
1 )(2 x
1 x2
1 )
x
__________ .
4、 lim (n 1)(n 2)(n 3) __________ .
x1 4 x 1
3
由无穷小与无穷大的关系,得
lim
x 1
4x 1 x2 2x
3
.
商的法则不能用
例3
求
lim
x 1
x2
x2 1 2x
3
.
解 x 1时, 分子, 分母的极限都是零 . ( 0 型 ) 0
先约去不为零的无穷小 因子x 1后再求极限.
lim
x 1
x2
x2 1 2x
3
[ f ( x) g( x)] ( A B) 0. (1)成立.
[ f ( x) g( x)] ( A B) ( A )(B ) AB
( A B) 0.
(2)成立.
f ( x) A A A B A B A 0. g( x) B B B B(B )
一、极限运算法则
定理 设 lim f ( x) A, lim g( x) B,则 (1) lim[ f ( x) g( x)] A B; (2) lim[ f ( x) g( x)] A B; (3) lim f ( x) A , 其中B 0. g( x) B
证 lim f ( x) A, lim g( x) B. f ( x) A , g( x) B . 其中 0, 0. 由无穷小运算法则,得
x
而 sin x是有界函数.
sin x
lim
0.
x x
y sin x x
例7
设
1 x,
f
( x)
x
2
1,
x
0 ,
求
lim
f
( x).
x0
x0
解 x 0是函数的分段点, 两个单侧极限为
lim f ( x) lim (1 x) 1,
x0
x0
lim f ( x) lim ( x 2 1) 1,
n
5n 3
5、 lim x 2 sin 1 __________ .
x0
x
6、 lim cos x __________ . e x x e x
7、
4x4 lim
2x2
x
__________ .
x0 3 x 2 2 x
8、
(2 x 3)20 (3 x 2)30
lim
x
(2 x 1)50
5 1
2 lim
x
7
3
x 4
x
5 x3 1 x3
2. 7
(无穷小因子分出法)
小结: 当a0 0, b0 0, m和n为非负整数时有
lim
x
a0 x m b0 x n
a1 x m 1 b1 x n1
am bn
0ab,00当,当n n
m m,
,
,当n m,
无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出 无穷小,然后再求极限.
__________ .
二、求下列各极限:
1、 lim(1 1 1 ...
1 )
n
24
2n
2、 lim ( x h)2 x 2
h0
h
3、 lim( 1
3 )
x1 1 x 1 x 3
4、 lim 1 x 3 x8 2 3 x
5、 lim ( x x x x ) x
6、
例5
求
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2 ).
解 n 时,是无穷小之和． 先变形再求极限.
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2
)
lim 1
n
2
n2
n
1 n(n 1)
lim 2 n
n2
lim 1 (1 1 )
n 2
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1. 2
例6 求 lim sin x . x x
解 当x 时, 1 为无穷小,
常数因子可以提到极限记号外面.
推论2
如果 lim f ( x)存在,而n是正整数,则 lim[ f ( x)]n [lim f ( x)]n .
二、求极限方法举例
例1
求
lim
x2
x2
x3 1 3x
5
.
解 lim( x 2 3 x 5) lim x 2 lim 3 x lim 5
lim
x x0
f
( x)
a
0
(
lim
x x0
x)n
a1
(
lim
x x0
x)n1
an
a0 x0 n a1 x0 n1 an f ( x0 ).
2. 设
f
(
x)
P( x) Q( x)
,
且Q( x0
)
0,
则有
lim P( x)
lim f ( x) x x0
x x0
lim Q( x)
x x0
2x 1 lim
4 x x 1
7、 lim x m x n x1 x m x n 2
一、1、-5；
5、0； 二、1、2；
5、1 ； 2
练习题答案
2、3；
6、0； 2、2 x ； 6、0；
3、2；
7、1 ； 2
3、-1； 7、m n .
mn
4、1 ； 5
8、( 3)30 . 2
4、-2；
P( x0 ) Q( x0 )
f ( x0 ).
若Q( x0 ) 0, 则商的法则不能应用.
例2
求
lim
x 1
4x 1 x2 2x
3
.
解 lim( x 2 2 x 3) 0, x 1 又 lim(4 x 1) 3 0, x 1
lim x 2 2 x 3 0 0.
lim
x 1
(x (x
1)( x 3)( x
1) 1)
lim x 1 1 . x1 x 3 2
(消去零因子法)
例4
求
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
5. 1
解
x
时,
分子,分母的极限都是无穷大 .(
型
)
先用x3去除分子分母 ,分出无穷小,再求极限.
2x3
lim
x
7x3
3x2 4x2
思考题
在某个过程中，若 f ( x)有极限，g( x)无极限，那 么 f ( x) g( x) 是否有极限？为什么？
思考题解答
没有极限．
假设 f ( x) g( x) 有极限 ，
由极限运算法则可知：
f ( x)有极限，
g( x) f ( x) g( x) f ( x) 必有极限，
与已知矛盾，