极限的运算法则
极限的运算法则及计算方法
极限的运算法则及计算方法极限是微积分中的一个重要概念，用于研究函数在接近其中一点时的趋势。
在许多情况下，计算极限可以通过应用一些运算法则来简化。
本文将介绍极限的运算法则以及一些常用的计算方法。
一、极限的四则运算法则1. 乘法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) * g(x))的极限等于f(x)的极限乘以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) * g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。
2. 除法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在且g(x)不等于0，则(f(x) / g(x))的极限等于f(x)的极限除以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) / g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)。
3. 加法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) + g(x))的极限等于f(x)的极限加上g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)。
4. 减法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) - g(x))的极限等于f(x)的极限减去g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。
二、极限的乘方法则1. 幂函数法则：对于任意正整数n，如果函数f(x)的极限存在，则(f(x)^n)的极限等于f(x)的极限的n次方，即lim(x→a) [f(x)^n] = [lim(x→a) f(x)]^n。
2. 平方根法则：如果函数f(x)的极限存在且大于等于0，则√[f(x)]的极限等于f(x)的极限的平方根，即lim(x→a) √[f(x)] =√[lim(x→a) f(x)]。
三、特殊函数的极限计算法则1. 三角函数：常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。
极限的运算法则
目录
特例1：常数因子可提到极限记号外面
lim[c f (x)] c lim f (x) （c为常数）
特例2：推广到有限个函数的积
lim[ f (x)]n [lim f (x)]n A（n n N*）
x
a0 xm b0 xn
a1 xm1 b1 xn1
am bn
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a0 ,当n m（分子最高次幂 分母最高次幂） b0
0, 当m （n 分子最高次幂 分母最高次幂）
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目录
练习
1.求
lim
x
5x2 7x2
3x 6x
4 1
解
x2 16
(x 4)(x 4)
lim
lim
lim(x 4) 8
x4 x 4 x4
x4
x4
目录
lim x2 9 x3 x 3
解 分析：因为 lim（x2 9） 0，lim（x 3） 0.
x3
x3
lim x2 9 lim ( x 3)( x 3) lim( x 3) 6
lim
x
3x2
1
2 lim
x
3
3 x2 1 x2
lim(2
x
3 x2
)
lim(3
x
1 x2 )
20 2 30 3
目录
lim x 1 . ( 型 ) x x2 x 1
lim
1 x
1.3 极限运算法则
解 先用 x 3去除分子分母，再求极限
3 2 3 2 2x 3x 5 x lim 3 lim x 7 x 4 x 2 1 x 4 7 x
2 . 7
5 x3 1 3 x
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§1.3 极限运算法则
例3
2x 3 求 lim 2 . x 3 x x 1
( x) a
取 min 0 , 1 , 则当 0 x x0 时 0 ( x) a u a 因此
x x0
f ( u) A ,
故 lim f [ ( x )] A.
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§1.3 极限运算法则
lim( x 2 3 x 2) lim x 2 lim 3 x lim 2
x 1 x 1 x 1 x 1
(lim x )2 3lim x 2 12 3 1 2 6 0,
x 1 x 1
lim( x 1) x 1 11 1 x 1 lim 2 . 2 x 1 x 3 x 2 lim( x 3 x 2) 6 3
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§1.3 极限运算法则
思考练习
在自变量同一变化过程中，若 f ( x ) 有极限，g( x )无极限，那么 f ( x ) g( x )是 否有极限？为什么？
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§1.3 极限运算法则
思考练习
解答
没有极限．
假设 f ( x ) g( x ) 有极限， f ( x ) 有极限， 由极限运算法则可知：
g( x ) f ( x ) g( x ) f ( x ) 必有极限，
与已知矛盾，故假设错误．
函数极限的四则运算法则公式
函数极限的四则运算法则公式
1.两个函数的和的极限等于两个函数极限之和，即
lim[f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x)
2. 两个函数的差的极限等于两个函数极限之差，即
lim[f(x) - g(x)] = lim f(x) - lim g(x)
3. 两个函数的积的极限等于两个函数极限之积，即
lim[f(x) * g(x)] = lim f(x) * lim g(x)
4. 两个函数的商的极限等于两个函数极限之商，即
lim[f(x) / g(x)] = lim f(x) / lim g(x) (其中lim g(x) ≠ 0)
这些四则运算法则公式对于求解函数极限问题非常有用，可以大大简化计算过程，提高求解效率。
需要注意的是，在应用这些公式时，应先确定各个函数的极限是否存在，以及分母函数是否为零。
- 1 -。
极限的运算法则
lim(
n
1 n2
2 n2
n n2
)
lim
n
1
2
n2
n
1 n(n 1)
lim 2 n
n2
1 2
lim(1
n
n1 )
1. 2
目录
小结
------极限求法;
1.多项式与分母不为零的分式函数代入法求极限;
2.利用无穷小与无穷大的关系求 A型极限;
0
0
3.消去零因子法求 0极限;
4.分子分母同除以x的最高次方法求 (x 型) 极限; 5.通分法求 极限;
0
则来计算的极限
目录
*求未定式极限方法举例、练习 1. 0 型有理式 0
约零因子法（因 式分解）
方法：分子分母分解因式，消去使他们趋于
零的公因子
( 0型) 0
解
目录
x2 9 lim x3 x 3
解 分析：因为 lim（x2 9） 0，lim（x 3） 0.
x3
x3
lim x2 9 lim ( x 3)( x 3) lim( x 3) 6
lim[c f (x)] c lim f (x) （c为常数）
特例2：推广到有限个函数的积
3、除法法则: 商的极限等于极限的商
lim
f (x) g( x)
lim f (x)
lim g(x)
A B
（B 0）
小 结: 函数的和、差、积、商的极限等于函数极限
的和、差、积、商
目录
(1)和函数的极限等于极限的和. (2)积函数的极限等于极限的乘积. (3)商函数的极限等于极限的商(分母不为零).
lim
x
2 3
高数极限运算法则讲解
高数极限运算法则讲解极限是数学中最重要的概念，它是用来描述一个函数d（x）在某个点a接近而不是等于某个值L时，对x的变化可以推导出一个结果。
也就是说，当x趋向于a时，d（x）会趋向于L，这时d（x）就称为以a为极限的函数。
实际应用中，很多复杂的数学问题都可以通过极限来解决。
极限也是高等数学的重点。
二、极限的运算法则（1）极限加法：当两个函数f (x)和g (x)的极限都存在的时候，两函数的极限的和也存在，其极限关系式为：lim_x→a[f(x)+g(x)]=lim_x→a f(x)+lim_x→a g(x)。
（2）极限减法：当两个函数f (x)和g (x)的极限都存在的时候，两函数的极限的差也存在，其极限关系式为：lim_x→a[f(x)-g(x)]=lim_x→a f(x)-lim_x→a g(x)。
（3）极限乘法：当两个函数f (x)和g (x)的极限都存在的时候，两函数的极限的积也存在，其极限关系式为：lim_x→a[f(x)*g(x)]=lim_x→a f(x)*lim_x→a g(x)。
（4）极限除法：当函数f (x)和g (x)都有极限，且lim_x→a g(x)非零时，两函数的极限的商也存在，其极限关系式为：lim_x→a [f(x)/g(x)]=lim_x→a f(x)/lim_x→a g(x)。
（5）极限交换法则：当两个函数f (x)和g (x)的极限都存在的时候，函数的项可以进行交换，即lim_x→a[f(x)g(x)]=lim_x→a g(x)lim_x→a f(x)。
（6）极限重复法则：当函数f (x)有极限，当x趋向于a时，函数f (x)重复m次，其极限关系式为：lim_x→a[f(x)^m]=[lim_x →a f(x)]^m。
三、极限的应用（1）冯科普雷定理：当n≥3时，给定f（x）在区间[a,b]上有n次连续可导，且f（a）=f（b），就一定存在某一点c∈(a,b)，使得f′（c）=0。
第四节 极限的运算法则
a0 b , 当n m , 0 m m 1 a0 x a1 x a m lim 0,当n m , n n 1 x b x b x bn 0 1 , 当n m ,
无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂 除分子、分母,以分出无穷小,然后再求极限.
. 解: x 时, 分子, 分母的极限都是无穷大
先用x 去除分子分母, 分出无穷小, 再求极限.
3
3 2 3 2 2x 3x 5 x lim 3 lim 2 x 7 x 4 x 1 x 4 7 x
(无穷小因子分出法)
5 3 x 2. 7 1 3 x
小结: 当a 0 0, b0 0, m 和n为非负整数时有
x2 2
x2
x2
小结: 1. 设 f ( x ) a x n a x n 1 a , 则有 0 1 n
x x0
lim f ( x ) a 0 ( lim x ) n a1 ( lim x ) n 1 a n
a0 x0 a1 x0
lim P ( x )
二、求下列各极限:
1 1 1 1、 lim(1 ... n ) n 2 4 2
( x h) 2 x 2 2、 lim h 0 h
1 3 3、 lim( ) 3 x 1 1 x 1 x
1 x 3 4、 lim x 8 2 3 x
5、 lim ( x x x x )
0
n
x x0
n 1
a n f ( x 0 ).
x x0
P( x) 2. 设 f ( x ) , 且Q( x 0 ) 0, 则有 Q( x )
极限四则运算法则
DOCS SMART CREATE
极限四则运算法则
DOCS
01
极限四则运算的基本概念
极限的定义与性质
极限的定义
• 数列极限：当自变量趋向某一值时，数列的项趋向另一值
• 函数极限：当自变量趋向某一值时，函数的值趋向另一值
极限的性质
• 极限存在唯一性：如果一个函数在某个点存在极限，那么这个极限是唯一的
DOCS
间接法求解极限的步骤
• 通过已知条件和极限的性质，间接求出极限的值
• 分析已知条件，找出与极限相关的表达式
• 根据极限的性质，将表达式变形
• 求出极限的值
无穷小量与无穷大量在极限运算中的应用
无穷小量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于0，但永远无法等于0
无穷大量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于无穷大，但永远无法等于无穷
• 将复杂的极限问题转化为导数问题
过求导数的方法求解极限
• 通过洛必达法则求解极限，简化运算过程
对数函数与指数函数在极限运算中的技巧
对数函数与指数函数在极限运算中的性质
• 对数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，对数函数的极限等于无穷小量
• 指数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，指数函数的极限等于无穷大量
对数函数与指数函数在极限运算中的应用
• 利用对数函数和指数函数的性质，简化极限运算
• 通过变换函数形式，将复杂的极限问题转化为简单的极限问题
04
极限四则运算的案例分析
连续函数与间断函数的极限分析
连续函数的极限分析
断续函数的极限分析
• 连续函数在一点的极限等于函数在该点的值
极限的性质及运算法则
去心邻域 在该邻域内 有f(x)0(或f(x)0) 定理3 如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0)
而且 lim f(x)=A 那么 A0(或 A0)
x x0
推论 如果j(x)f(x) 而limj(x)=a limf(x)=b 那么ab
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2x3 x2 5 lim = 2 2x 1 x 3x
•讨论
有理函数的极限 lim
a0 x n a1x n 1 an b0 xm b1 x m 1 bm
x
=?
•提示
0 0 a0 x n a1x n 1 an a0 a0 x n a1x n 1 an a0 lim lim = = m b x m 1 b m b x m 1 x b x x b x bm b b 0 0 1 1 m 0 0
当 Q ( x 0 ) = 0 且 P ( x 0 ) 0 时
lim
当Q(x0)=P(x0)=0时 约去分子分母的公因式(xx0)
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3x3 4x2 2 例5 例 5 求 lim 3 5x 2 3 x 7 x
解 先用x3去除分子及分母 然后取极限
二、极限的四则运算法则
定理5 如果 lim f(x)=A lim g(x)=B 则 lim[f(x)g(x)] 存在 并且 lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)=AB lim f(x)g(x)=lim f(x)lim g(x)=AB lim [c f(x)]=c lim f(x) (c 为常数)
x 1 x 1 x 1 x 1
极限的运算法则
不能直接使用极
1 “, 0 ”“ ”“0 ”“” 限的四则运算法
0
则来计算的极限
目录
*求未定式极限方法举例、练习 1. 0 型有理式 0
约零因子法（因 式分解）
方法：分子分母分解因式，消去使他们趋于
零的公因子
x2 16 lim x4 x 4
(0型 ) 0
解 lim x 2 1 6 lim (x 4 )(x 4 ) lim (x 4 ) 8 x 4x 4 x 4 x 4 x 4
x 1
lim
x1
x2
1
0 0
x1 lim
x1 (x1)(x1)
1 lim
x1 x 1
1 2
目录
练习
求lxi m 1(13x3
1 ). 1x
3 lxi m 1(1x3
11 x x3x2). lxi m 13(11xx3x2)
2xx2
2.利用无穷小与无穷大的关系求 A 型极限;
0
0
3.消去零因子法求 0极限;
4.分子分母同除以x的最高次方法求 (x 型) 极限; 5.通分法求 极限;
6.利用左右极限求分段函数极限.
7.复合函数的极限. 8.无穷小与有界变量的积是无穷小.
目录
例：lim （x23x5） . x2
代入法
解： lim (x23x5)lim x2li3 m xli5 m
x2
x 2
x 2
x 2
223253
课本例题：lim(x2 2x) x2
例：
x2 1
lim
.
x3 x 4
解：lim(x4) limxlim434 10
极限四则运算法则
极限四则运算法则由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。
定理1：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)]()(lim[x g x f ±存在，且)(lim )(lim )]()(lim[x g x f B A x g x f ±=±=±。
证明： 只证B A x g x f +=+)]()(lim[，过程为0x x →，对0,01>∃>∀δε，当100δ<-<x x 时，有2)(ε<-A x f ，对此ε，02>∃δ，当200δ<-<x x 时，有2)(ε<-B x g ，取},mi n {21δδδ=，当δ<-<00x x 时，有所以B A x g x f x x +=+→))()((lim 0。
其它情况类似可证。
注：本定理可推广到有限个函数的情形。
定理2：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)()(lim x g x f ⋅存在，且)(lim )(lim )()(lim x g x f AB x g x f ⋅==。
证明：因为B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，⇒,)(,)(βα+=+=B x g A x f（βα,均为无穷小）)())(()()(αβαββα+++=++=⇒B A AB B A x g x f ，记 αβαβγ++=B A ， γ⇒为无穷小， AB x g x f =⇒)()(lim 。
推论1：)(lim )](lim[x f c x cf =（c 为常数）。
推论2：n n x f x f )]([lim )](lim [=（n 为正整数）。
定理3：设0)(lim ,)(lim ≠==B x g A x f ，则)(lim )(lim )()(lim x g x f B A x g x f ==。
1.2.2极限的运算法则
f ( x ) A , g( x ) B . 其中 0, 0.
由无穷小运算法则, 得
[ f ( x ) g( x )] ( A B ) 0. (1)成立. [ f ( x ) g( x )] ( A B ) ( A )( B ) AB ( A B) 0.
无穷小分出法:以分式中自变量的最高次幂除分 子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.
例 解
1 2 n 求 lim ( 2 2 2 ). n n n n
n 时, 是无限多个无穷小之和．
先变形再求极限.
1 2 n 1 2 n lim ( 2 2 2 ) lim n n n n n n2
练习题答案
一、1、-5； 5、0； 二、1、2； 1 5、 ； 2 2、3； 6、0； 2、2 x ； 6、0； 3、2；
1 7、 ； 2 3、-1； mn 7、 . mn
1 4、 ； 5 3 30 8、( ) . 2 4、-2；
作业: P24
Ex 1（3）(6), Ex2 (3) (8)
x x0 x x0
a0 x0 a1 x0
n
n 1
an f ( x0 ).
P( x) 2. 设 f ( x ) , 且Q( x 0 ) 0, 则有 Q( x )
P ( x0 ) lim f ( x ) f ( x0 ). x x0 lim Q( x ) Q( x 0 )
3 2
解
x 时, 分子, 分母的极限都是无穷大. ( 型 )
5 x3 2. 1 7 3 x
函数极限的四则运算法则证明过程
函数极限的四则运算法则证明过程函数极限的四则运算法则是指在计算函数极限时，如果两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商的极限也存在，并且满足一定的运算规则。
下面我们来逐步证明四则运算法则的正确性。
1. 和的极限法则证明：设函数序列{f_n(x)}和{g_n(x)}分别收敛于函数f(x)和g(x)，即lim{n→∞}f_n(x) = f(x)和lim{n→∞}g_n(x) = g(x)。
我们要证明lim{n→∞}(f_n(x) + g_n(x)) = f(x) +g(x)。
根据极限的定义，对于任意ε > 0，存在N1和N2，当n>N1时有|f_n(x) - f(x)| < ε/2，当n>N2时有|g_n(x) - g(x)| < ε/2。
取N = max{N1, N2}，则当n>N时有|f_n(x) + g_n(x) - (f(x) + g(x))| = |(f_n(x) -f(x)) + (g_n(x) - g(x))| ≤ |f_n(x) - f(x)| + |g_n(x) - g(x)| < ε/2 + ε/2 = ε。
因此，lim{n→∞}(f_n(x) + g_n(x)) = f(x) + g(x)。
2. 差的极限法则证明：类似地，我们可以证明lim{n→∞}(f_n(x) - g_n(x)) = f(x) - g(x)。
3. 积的极限法则证明：要证明lim{n→∞}(f_n(x) * g_n(x)) = f(x) * g(x)，我们可以利用极限的乘法法则进行证明。
具体证明步骤略。
4. 商的极限法则证明：对于lim{n→∞}(f_n(x) / g_n(x)) = f(x) / g(x)，我们需要额外假设g(x) ≠ 0，以避免出现除以零的情况。
具体证明步骤略。
综上所述，通过以上证明过程，我们可以得出函数极限的四则运算法则的正确性。
在实际计算函数极限时，可以根据这些法则简化计算过程，提高计算的效率。
高等数学极限运算法则与性质
2.设 f(x)Q P((x x)),且 Q (x0)0, 则有
limP(x)
limf(x) xx0
xx0
limQ(x)
xx0
P(x0) Q ( x0 )
f(x0).
若Q(x0)0, 则商的法则不 . 能应用
5
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例2 求lxim 1x2x22x13.
解 x1时,分子 ,分母的极限. 都 ( 0是 型 )零 0
2
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推论1 如l果 im f(x)存,在 而 c为常 ,则 数 lim cf([x)]clim f(x).
常数因子可以提到极限记号外面.
推论2 如果 lim f(x)存,在 而 n是正整 ,则数 limf([x)n ][lim f(x)n ].
3
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二、求极限方法举例
例1 求lx im 2x2x33x15.
解 li(m x23x5)lim x2li3 m xli5 m
x 2
x 2
x 2
x 2
(lix m )23lix m li5 m
x 2
x 2 x 2
2232530,
lxim 2 x2x33x15
lim(
x2
lim(x2
x3 1) 3x
5)
23 1 3
7 3
先用 x3去除分子,再 分求 母极 . 限
35
lx im 27xx33
3x2 4x2
5lim2xx3
1
x 4 1 7xx3
2 7
.
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常数因子可以提到极限记号外面.
推论2
如果 lim f ( x)存在,而n是正整数,则 lim[ f ( x)]n [lim f ( x)]n .
二、求极限方法举例
例1
求
lim
x2
x2
x3 1 3x
5
.
解 lim( x 2 3 x 5) lim x 2 lim 3 x lim 5
5 1
2 lim
x
7
3
x 4
x
5 x3 1 x3
2. 7
(无穷小因子分出法)
小结: 当a0 0, b0 0, m和n为非负整数时有
lim
x
a0 x m b0 x n
a1 x m 1 b1 x n1
am bn
0ab,00当,当n n
m m,
,
,当n m,
无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出 无穷小,然后再求极限.
lim
x x0
f
( x)
a
0
(
lim
x x0
x)n
a1
(
lim
x x0
x)n1
an
a0 x0 n a1 x0 n1 an f ( x0 ).
2. 设
f
(
x)
P( x) Q( x)
,
且Q( x0
)
0,
则有
lim P( x)
lim f ( x) x x0
x x0
lim Q( x)
x x0
一、极限运算法则
定理 设 lim f ( x) A, lim g( x) B,则 (1) lim[ f ( x) g( x)] A B; (2) lim[ f ( x) g( x)] A B; (3) lim f ( x) A , 其中B 0. g( x) B
证 lim f ( x) A, lim g( x) B. f ( x) A , g( x) B . 其中 0, 0. 由无穷小运算法则,得
P( x0 ) Q( x0 )
f ( x0 ).
若Q( x0 ) 0, 则商的法则不能应用.
例2
求
lim
x 1
4x 1 x2 2x
3
.
解 lim( x 2 2 x 3) 0, x 1 又 lim(4 x 1) 3 0, x 1
lim x 2 2 x 3 0 0.
[ f ( x) g( x)] ( A B) 0. (1)成立.
[ f ( x) g( x)] ( A B) ( A )(B ) AB
( A B) 0.
(2)成立.
f ( x) A A A B A B A 0. g( x) B B B B(B )
x2
x2
x2
x2
(lim x)2 3 lim x lim 5
x2
x2
x222 Biblioteka 2 5 3 0,x3 1
lim x2
x2
3x
5
lim x 3 lim 1
x2
x2
lim( x 2 3 x 5)
23 1 3
7. 3
x2
小结: 1. 设 f ( x) a0 x n a1 x n1 an , 则有
__________ .
二、求下列各极限:
1、 lim(1 1 1 ...
1 )
n
24
2n
2、 lim ( x h)2 x 2
h0
h
3、 lim( 1
3 )
x1 1 x 1 x 3
4、 lim 1 x 3 x8 2 3 x
5、 lim ( x x x x ) x
6、
lim
x 1
(x (x
1)( x 3)( x
1) 1)
lim x 1 1 . x1 x 3 2
(消去零因子法)
例4
求
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
5. 1
解
x
时,
分子,分母的极限都是无穷大 .(
型
)
先用x3去除分子分母 ,分出无穷小,再求极限.
2x3
lim
x
7x3
3x2 4x2
x
而 sin x是有界函数.
sin x
lim
0.
x x
y sin x x
例7
设
1 x,
f
( x)
x
2
1,
x
0 ,
求
lim
f
( x).
x0
x0
解 x 0是函数的分段点, 两个单侧极限为
lim f ( x) lim (1 x) 1,
x0
x0
lim f ( x) lim ( x 2 1) 1,
故假设错误．
一、填空题:
练习题
1、 lim x 3 3 __________ . x2 x 3
2、 lim x 1 __________ . x1 3 x 1
3、
lim(1
x
1 )(2 x
1 x2
1 )
x
__________ .
4、 lim (n 1)(n 2)(n 3) __________ .
又 0, B 0, 0, 当0 x x0 时,
B ,
B B B 1 B 1 B
2
2
2
B(B ) 1 B2 , 故 2
1 B(B )
2 B2
,
有界，
(3)成立.
推论1 如果 lim f ( x)存在,而c为常数,则 lim[cf ( x)] c lim f ( x).
n
5n 3
5、 lim x 2 sin 1 __________ .
x0
x
6、 lim cos x __________ . e x x e x
7、
4x4 lim
2x2
x
__________ .
x0 3 x 2 2 x
8、
(2 x 3)20 (3 x 2)30
lim
x
(2 x 1)50
x1 4 x 1
3
由无穷小与无穷大的关系,得
lim
x 1
4x 1 x2 2x
3
.
商的法则不能用
例3
求
lim
x 1
x2
x2 1 2x
3
.
解 x 1时, 分子, 分母的极限都是零 . ( 0 型 ) 0
先约去不为零的无穷小 因子x 1后再求极限.
lim
x 1
x2
x2 1 2x
3
x0
x0
左右极限存在且相等,
故 lim f ( x) 1. x0
y y 1 x
1
o
y x2 1 x
三、小结
1.极限的四则运算法则及其推论; 2.极限求法;
a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.
2x 1 lim
4 x x 1
7、 lim x m x n x1 x m x n 2
一、1、-5；
5、0； 二、1、2；
5、1 ； 2
练习题答案
2、3；
6、0； 2、2 x ； 6、0；
3、2；
7、1 ； 2
3、-1； 7、m n .
mn
4、1 ； 5
8、( 3)30 . 2
4、-2；
思考题
在某个过程中，若 f ( x)有极限，g( x)无极限，那 么 f ( x) g( x) 是否有极限？为什么？
思考题解答
没有极限．
假设 f ( x) g( x) 有极限 ，
由极限运算法则可知：
f ( x)有极限，
g( x) f ( x) g( x) f ( x) 必有极限，
与已知矛盾，
例5
求
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2 ).
解 n 时,是无穷小之和． 先变形再求极限.
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2
)
lim 1
n
2
n2
n
1 n(n 1)
lim 2 n
n2
lim 1 (1 1 )
n 2
n
1. 2
例6 求 lim sin x . x x
解 当x 时, 1 为无穷小,