分块矩阵在行列式计算中的应用(1)

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分块矩阵及其应用徐健,数学计算机科学学院摘要：在高等代数中，分块矩阵是矩阵内容的推广. 一般矩阵元素是数量，而分块矩阵则是将大矩阵分割成小矩形矩阵，它的元素是每个矩阵块.分块矩阵的引进使得矩阵工具的利用更加便利，解决相关问题更加强有力，所以其应用也更广泛. 本文主要研究分块矩阵及其应用，主要应用于计算行列式、解决线性方程组、求矩阵的逆、证明与矩阵秩有关的定理.关键词：分块矩阵；行列式；方程组；矩阵的秩On Block Matrixes and its ApplicationsXu Jian, School of Mathematics and Computer ScienceAbstract In the higher algebra, block matrix is a generalization of matrix content.In general, matrix elements are numbers. However, the block matrix is a large matrix which is divided into some small rectangular matricies, whose elements are matrix blocks. The introduction of the block matrix makes it more convenient to use matrix, and more powerful to solve relevant problems. So the application of the block matrix is much wider. This paper mainly studies the block matrix and its application in the calculation of determinant, such as solving linear equations, calculating inverse matrix, proving theorem related to the rank of matrix , etc.Keywords Block matrix; Determinant; System of equations; Rank of a matrix11 ⎪1 引言我们在高等代数中接触到矩阵后，学习了矩阵的相关性质，但是对于一些复杂高阶矩阵，我们希望能将问题简化. 考虑将矩阵分割为若干块，并将矩阵的部分性质平移至分块矩阵中，这样的处理往往会使问题简化.定义 1.1 [1] 分块矩阵是把一个大矩阵分割成若干“矩阵的矩阵”，如把 m ⨯ n 矩阵分割为如下形式的矩阵：⎛A 11A ⎫ 1n ⎪A m ⨯n = ⎪A m 1 A m n特别地，对于单位矩阵分块：⎝ ⎭ ⎛E 0 0 ⎫ ⎪ E n ⨯n = 0 0 0 ⎪ 0 E ⎝n n ⎭ 显然，这里我们认识的矩阵元素不再局限于数字，而是一个整体，这里的A 所代表的是大矩阵囊括的小矩阵，而小矩阵一般是我们熟知的常见矩阵.ij依照以上设想，有关矩阵性质的一些问题,我们可以考虑用分块矩阵的思路来解决.2.1 矩阵的相关概念2 分块矩阵在矩阵的学习中，我们学过一些最基本的概念，比如矩阵的行列式、矩阵的秩、矩阵的逆、初等变换、初等矩阵等等.事实上，我们发现：分块后的矩阵同样用到这些概念.a 11 定义 2.1.1[2]n 级行列式a 21a 12 a 22 a 1n a 2n等于所有取自不同行不同列的a n 1 a n 2a nn 个元素的乘积a 1j a 2ja n j的代数和，这一定义又可写成:12na 11 a 21 a 12a 22a 1na 2n =(-1) (j 1j 2 j n )a aa .a n 1 a n 2a n∑j 1j 2 j n1j 1 2j 2n j n[2]定义 2.1.2向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的的秩.所O I ⎪ ⎪ ⎪1谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩；矩阵的列秩就是矩阵列向量组的秩. 定义 2.1.3 [2] n 级方阵称为可逆的，如果有n 级方阵 B ，使得A B = A -1 .BA = E （这里 E 是n 级单位矩阵），那么B 就称为 A 的逆矩阵，记为定义 2.1.4 [3] 对分块矩阵施行下列三种初等变换： (1) 互换分块矩阵的某两行(列)；(2) 用一个非奇异阵左（右）乘分块矩阵的某一行(列)；(3) 用一个非零阵左(右)乘分块矩阵的某一行(列)加至另一行(列)上，分别称上述三种初等行(列)变换为分块矩阵的初等行(列)变换. 定义 2.1.5 [3] m + n 2 ⨯ 2 ⎛I m O ⎫对阶单位矩阵作分块，即I m +n = O I ⎪ ，然后⎝ n ⎭对其作相应的初等变换所得到的矩阵称为分块初等矩阵. 分块矩阵具有以下形式：(1) 分块初等对换阵⎛I n O ；⎫ ⎝ m ⎭⎛P O ⎫ ⎛I m O ⎫(2) 分块初等倍乘阵 0 I ⎪ ， ⎪ ；⎝ n ⎭ (3) 分块初等倍加阵⎛I m R 1 ⎫ O I ⎝ 0 Q ⎭ ，⎛I m O ⎫ ； S I ⎝ n ⎭ ⎝ n ⎭其中 P , Q 分别是m 阶和n 阶可逆方阵，且R ∈ R m ⨯n ，S ∈ R n ⨯m为非零阵.2.2 矩阵的运算性质矩阵的运算包括加法、乘法、数乘，这里主要讨论矩阵的运算性质：定义 2.2.1 [4] 矩阵加法：设A = (a ) ， B = (b ) 是两个同型矩阵，ij snij sn则矩阵C = (c i j )= (a i j+ b i j )称为 A 和 B 的和，记为C = A + B .元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为O s n ，可简单记为O,对于矩阵 A 、 B ，有:(1) A + O = A(2) A + ( -A ) = 0(3) A - B = A + ( -B )(4) ( A + B ) + C = A + ( B + C )snsnn11 (5)A + B = 定义 2.2.2 [4] B + A矩阵乘法：设A = (a ) ，B = (b ) 是两个不同型矩阵，i k s nk j n m那么矩阵C = A B =(c i j )，称为矩阵 A 与 B 的乘积，其中：smc i j = a i 1b 1j + a i 2b 2j+ a i n b n j= ∑a i k b k jk =1在乘积的定义中，我们要求第二个矩阵行数和第一个矩阵列数相等.特别地，矩阵的乘法和加法满足以下性质：(1) A ( B + C ) = A B + A C(2) ( B + C )A = B A + C A(3) (A B )D =A (B D )⎛k a 11 k a 1k a 1 ⎫定义 2.2.3 [4] 矩阵数乘： k a 21k ak a 2n ⎪ ⎪A = (a ) 与数 22 ⎪称为矩阵 ⎪⎪ ij sn k a k a k a ⎝ s 1 s 2 s n ⎭k 的数量乘积，记为kA ，有以下性质：(1) 1 * A = A ；(2) k(l A ) = (k l )A ;(3) k ( A + B )= kA + kB ;(4) (k + l )A = kA +lA ; (5) k (A + B ) = kA +kB .2.3 分块矩阵的初等变换性质我们对于分块矩阵，也有其运算性质：设 A 、 B 是m ⨯ n 矩阵，若对它们有相同的划分，也就有：⎛A 11 + B A 1t + B 1t ⎫ ⎪ 加法：A + B = ⎪ . ⎪ A + B A + B ⎪ ⎝ s 1 s 1 st st ⎭乘法：C = A B , 其中：∑ ⎪ 1 C i j = A i 1B 1j + A i 2B 2j+ + A i n B n j⎛k A 11k A 1 ⎫⎪ n= A i k B k j .k =1数乘：k A =⎪ .⎪ k Ak A⎝s 1 s t ⎭总结了矩阵的运算性质，我们主要看看分块矩阵初等变换性质：定义 2.3.1 [2] 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. 初等矩阵都是方阵，包括以下三种变换：(1) 互换矩阵 E 的i 行与 j 行的位置; (2) 用数域 P 中的非零数c 乘 E 的i 行; (3) 把矩阵 E 的 j 行的k 倍加到i 行.定义 2.3.2 [5] 将单位矩阵分块，并施行如下三种变换中的一种变换而得到的方阵称为分块初等矩阵:(1) 对调两块同阶的块所在的行或列; (2) 某一块乘以同阶的满秩方阵;(3) 某一块乘以一个矩阵后加到另一行上(假定这种运算可以进行).如：我们对分块矩阵⎛ A B ⎫进行相应变换，只要应用矩阵的计算性质，左乘对⎝C D ⎭ 应分块矩阵： ⎛ O E m ⎫ ⎛ A B ⎫ ⎪⎪⎛C D ⎫ ⎪ ⎝E n O ⎭ ⎝C D ⎭⎝ A B ⎭ ⎛P O ⎫ ⎛ A B ⎫ ⎛P A = P B ⎫ O E ⎪C D ⎪ ⎪⎝ n ⎭ ⎝⎭ ⎝ C D ⎭ ⎛E m O ⎫ ⎛ A B ⎫ ⎛ = A B⎫P E ⎪C D ⎪ ⎪C + P AD + P B⎝ n ⎭ ⎝⎭ ⎝ ⎭2.4 矩阵的分块技巧对矩阵的分块不是唯一的，我们往往根据问题的不同进行不同的分块，分块的合适与否，都对问题的解决至关重要，最常见的有四种分块方法[6] ：(1) 列向量分法，即A =(1,⎛ ⎫ ⎪, n )，其中j 为 A 的列向量.(2) 行向量分法，即A = ⎪ ，其中j 为 A 的行向量.⎪ ⎝ m ⎭=1⎪ (3)分两块，即A = (A 1, A 2 ),其中A 1 ,A 2 分别为A 的各若干列作成.或 A = ⎛B ⎫ ，其中B ，B 分别为 A 的若干行作成. B ⎪1 2 ⎝ 2 ⎭⎛C 1 C 2 ⎫(4) 分四块，即A =C C ⎪ .⎝ 3 4 ⎭我们在进行分块时，希望分割的矩阵块尽可能是我们所熟悉的简单矩阵，于是，我们有必要熟悉一些常见的矩阵.2.5 常见的矩阵块我们把高等代数中学习过的一些常见矩阵总结如下：（1）单位矩阵：对角线元素都为1，其余元素为0 的n 阶方阵. （2）对角矩阵：对角线之外的元素都为0 的n 阶方阵. （3）三角矩阵：对角线以上（或以下）元素全为0 的n 阶方阵. （4）对称矩阵：满足矩阵 A 的转置和 A 相等. （5）若尔丹（Jordan ）块：形如⎛ 0 1 0 0 ⎫ 0 ⎪J ( ,t ) ⎪= ⎪0 0 ⎪ 0 0 0 1 ⎝ ⎭（6）若尔丹形矩阵：由若干个若尔丹块组成的准对角矩阵, 其一般形状形如：⎛A 1 ⎫⎪ A 2⎪ ⎪ ⎪A ⎪ ⎝n ⎭在复杂矩阵中，找到这些矩阵块，会使计算简化.3.1 行列式计算的应用3 分块矩阵及其应用定理 3.1.1 [2] 拉普拉斯（Laplace ）定理:设在行列式 D 中任意取定了k 个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式 D .事实上，行列式计算中的拉普拉斯定理就包括了矩阵分块的思想，它通过取k 级子式的方法，提取出矩阵内的矩阵块. 然而，在行列式计算中，行列式a ⎪ a 按行或列的展开更为常用. 这里，我们最常用到的是取列向量分块和行向量分块.例 3.1.1 [7] ：（爪形行列式）计算行列式：a 01 1 1 1 a 10 0 1 0 a 2 0 ,其中a i ≠ 0(i = 1, 2, , n ) .1 0 0 a n解:设Q =A D ,其中A = (a )C B a 1 B =，C = ( 1, 1, , 1)T ，D = ( 1, 1, , 1) .a n因为a i ≠ 0(i = 1, 2, , n ) ，所以 B 是可逆矩阵.-1⎛n 1 ⎫又易知: A - D B C = a 0 - ∑ ⎪ . ⎝ i =1 i ⎭根据分块矩阵乘法： ⎛ E0 ⎫ ⎛ A D ⎫ --1 ⎪ ⎪= ⎛A D ⎫-1 ⎝ C A E ⎭ ⎝C B ⎭ ⎝ 0 B - C A D ⎭A D -1 -1 ⎛ n 1 ⎫则：= AB - C A D =B A - D BC = a a a a-∑ a ⎪C B⎛n 1 ⎫ 12n 0⎝i =1 i ⎭故：原行列式=a 1a 2 a n a 0 - ∑ ⎪ . ⎝ i =1 i ⎭例 3.1.2 [7] ：(对角行列式)计算行列式：adH 2n= a d.c bcb解：令⎪ a x A =⎛a ⎫⎪ ，B = ⎛b ⎫⎪ ，C = ⎛ c ⎫ ⎛ ，D = d ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a ⎪ b ⎪ c ⎪ d ⎪ ⎝ ⎭ 为n 阶方阵. 由于a ≠ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 0,故 A 为可逆方阵.⎛ b - c a -1d⎫⎪ 又易知：B - C A -1D =⎝ b - c a -1d ⎪ b - -1 ⎪ ca d ⎭故 H 2n= A D = C BAB - C A -1D = a n (b - c a -1d )n= (a b - c d )n .例 3.1.3 [8] ：设 A 、 B 、C 、 D 都是n 阶矩阵，证明当 AC = CA 时， A 可逆时，有A D= A B - C DC B⎛ A D ⎫ ⎛E -A 1D-⎛ A 0 ⎪ ⎫,证明：若 A 可逆，⎪ ⎪ =-1 ⎝C B ⎭ ⎝OE ⎭ ⎝C B - C A D ⎭A D故：=C BAB - C A -1D = A B - A C A-1D = A B - C D .注意到，这里计算分块矩阵行列式和计算一般数字矩阵行列式有所区别，不是简单的a d c b= a b - c d ，其矩阵块限制条件有所加强. 所以本例告诉我们，在矩阵分块以后，并非所有一般矩阵性质都可以应用到分块矩阵中.3.2 线性方程组的应用对于线性方程组，我们有以下四种表述：（1）标准型：⎧a 11x 1 + a 12x 2+ + ax = b ⎪ 1nn 1⎨ax + ax + + a x = b ; ⎪a 21 x 1+ 22 2 + + 2n n a x = b ⎩ m1 1 m2 2 m n n m （2）矩阵型：令A = ⎣a i j ⎦m ⨯n，x = (x 1, x 2, , x n )' ，B = (b 1, b 2, b m )' 方程组可以表述为： Ax = B ;（3）列向量型：令2⎢a ⎥ ⎝O O⎪ ⎪ ⎪ ⎡a 11 ⎤ ⎢21 ⎥⎡a 12 ⎤⎥ 22 ⎡a 1n ⎤ ⎢ ⎥ = ， 1 ⎢ ⎥ 2 = ，， ⎢ ⎥= ⎢a 2n ⎥ n ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣a m 1 ⎦ ⎢ ⎥ ⎣a m 2 ⎦ ⎢ ⎥ ⎣a m n ⎦则方程组又可以表述为：x 11 + x22+ + x nn = B ;（4）行向量型： x ' + x ' + + x' = B ' .1 12 2n n可见，矩阵分块为我们解方程组提供了新的思路.事实上，在求齐次线性方程组系数矩阵的秩时，在判断非齐次线性方程组是否有解时，行列向量组的合理应用，使得问题解决更加便捷、明了.例 3.2.1：（齐次线性方程组）求解方程组：⎧ x 1 + 2x 2 2x ⎪ + x + 2x 3 - 2x + x 4 = 0 - 2x = 0 ⎨ 1 x -2x - 4x 3 - 3x 4=0 ⎩ 1 2 3 4 解：对系数矩阵施行行变换,并将结果用分块矩阵表示：⎛1 0 -25 ⎫ - 3⎪ ⎛ 1 2 2 1 ⎪⎫ ⎛ 1 2 2 1 ⎪⎫4 ⎪ ⎛E C ⎫ A = 2 1 -2 -2 0 -3 -6 -4 0 1 2 ⎪ = 2 ⎪ ⎪1 -1 -4 -3⎪ 0 -3 -6 -4⎪ 3 ⎪ 12 ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 0 0 0 0 ⎪⎪ ⎝ ⎭R ( A ) = 2，基础解系含4 - 2 = 2 个.而方程又满足：相应的可以取：⎛E 2 C ⎫ ⎛1 ⎫ = ⎛ 0⎫⎪ ,⎝O 1 O 2 ⎭ ⎝2 ⎭⎝ 0⎭⎛ 5 ⎫ 2 3 ⎪ ⎛ -C ⎫⎪⎝ E 2 ⎭⎪ = -2 4 ⎪3 ⎪1 0 ⎪ ⎝ 0 1 ⎭-⎪ 0 3 ⎪⎭⎛ 2 ⎫ ⎛ 5 ⎫3 ⎪有通解： = k + k，其中= -2⎪1， =- ⎪ 4 ⎪ . 1 12 21 ⎪2 ⎪ ⎪ ⎝ 0 ⎭⎪ 1 ⎪ ⎝ ⎭例 3.2.2 [9] ：（非齐次线性方程组）求解方程组：⎧⎪ x 1 + 2x 2- 3x 4 + 2x 5 = 1 x - x - 3x + x - 3x = 2 ⎪ ⎨ 1 2 3 4 52x - 3x + 4x - 5x + 2x = 7 ⎪ 9x ⎩ 1= 25 解：我们分别对于方程组的系数矩阵和增广矩阵求秩：r ( A ) = 3，而r ( A ) = 4 , 故r ( A ) ≠ r ( A) . 从而方程组无解. ⎛ Λ45 -b ⎫事实上，我们可以利用分块矩阵叙述：经对分块矩阵 ⎝ E变换，都不能把最后一列变成0 ,所以该方程组无解.例 3.2.3：证明： n 阶方阵 A 的秩为n- 1，则r a n k ( A* )=1首先证明此例需要利用的一个引理： 4进行行列0 引理：A = (a i j )n ⨯n ，B = (b i j )n ⨯n ，r( A ) = r ，A B =0 ，则r ( B ) ≤ n - r证明：对矩阵 B 进行列向量的分块，B = (B 1, B 2, B n ) ,A B = 0 则有：A B i= 0 ，B i 是AX = 0 的解. 而A X =0 基础解系有n - r 个解.故：r ( B ) ≤ n - r 再证明本例：因为r ( A )= n - 1，则 A = 0 ，A 至少有一个n -1级子式不为零,r a n k ( A* ) ≥ 1.而：A * =AE = 0 .利用引理得：r a n k ( A * ) ≤ 1，故r a n k ( A )=*.51 - 9 x +2 6x - 163 x4 + 2x 52 3 4 5⎝⎪ 1 2= ⎪ ⎪ 得证.3.3 求矩阵逆的应用我们在求矩阵逆的时候包括很多方法：利用定义求逆、利用伴随矩阵求逆、利用初等变换求逆、混合采用初等行列变换求逆等等.这里我们统一用矩阵分块的思路来求矩阵的逆.例 3.3.1 [6] ：设 A 、 B 是n 阶方阵，若 A + B 与 A - B 可逆，试证明： ⎛ A B ⎫可逆，并求其逆矩阵. B A ⎭ ⎪ 解：令D = ⎛ A B ⎫，由假设知 A + B ≠ 0 , A - B ≠ 0B A ⎪ .那么：D =A B⎝ ⎭A +B B =A + BB= A + B A - B ≠ 0 .B AB + A AA - B即 D 可逆. 再令D -1 ⎛D 1= D 2⎫ , 由D -1 = E ，即：可得：D D ⎝ 3 4 ⎭⎛ A B ⎫ ⎛D D ⎫ ⎛E 0 ⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎝B A ⎭ ⎝D 3D 4 ⎭ ⎝ 0E ⎭⎪⎧A D 1 + B D 3 = E B D + A D = 0⎪12⎨A D +B D = 0 B D 2 + A D 4 = E ⎩ 2 4将第一行和第二行相加、相减，得：⎪D + D = ( A + B )-1 ⎨1 3⎩D 1 - D 3= ( A - B )-1 解之得：D = 1 ⎡( A + B )-1 + ( A - B )-1 ,D = 1⎡( A + B )-1 - ( A - B )-11 2 ⎣⎦ 2 2 ⎣⎦类似地：D 2所以： = D 3 ,D 4= D 1 .⎛ A B ⎫-11 ⎛( A + B )-1 + ( A - B )-1 ( A + B )-1 - ( A - B )-1 ⎫⎪ = 2 -1 -1 -1-1 ⎪ . ⎝B A ⎭ ⎝( A + B ) - ( A - B )( A + B ) + ( A - B ) ⎭ =⎝⎭ ⎝ - ⎪⎪ ⎪0 例 3.3.2 [6] ：已知分块形矩阵M = ⎛ A B ⎫可逆，其中 B 为p ⨯ p 块， C 为C 0 ⎪ ⎝ ⎭q ⨯ q 块，求证： B 与C 都可逆，并求M-1 . 解：由0 ≠M = (-1)p qBC ，则： B ≠0 , C ≠ 0 ,即证 B 、C 都可逆.这里用分块矩阵的广义初等变换来求逆： ⎛ A B E p0 ⎫ → ⎛ A B E 0 ⎫ → ⎛ 0B E -AC -1 ⎫⎪ ⎪ -1 ⎪ -1⎝C 0 0 Eq ⎭ ⎝E 0 0 C ⎭ ⎝E 0 0 E ⎭→ ⎛ 0 E B -1-B -1A C -1 ⎫ → ⎛E 0 0 C-1 ⎫E 0 0 C-1⎪ 0 E B -1-B -1A C -1 ⎪ ⎭-1⎛C -1 ⎫故：M = B -1-B -1A C-1 ⎪ . ⎝⎭备注：本例和上例属于同一个类型的问题，但我们利用分块矩阵，可以有两种不同的方法来解决，待定系数法和广义初等变换都是求逆的有效方法.值得注意的是，在题目没有直接给出分块矩阵的情况时，我们要学会自己构造:⎛ 1 0 1 ⎫ 例 3.3.3 [10] ：求矩阵A = 2 1 0 ⎪的逆矩阵.⎝ ⎭ 解：构造矩阵：⎛ 10 1 1 00⎫⎪⎛ 1 0 1 1 0 0⎫⎪2 0 0 1 -2 -2 1 0 D = ⎛ A E ⎫= -3 1 0 0 1 2 -5 0 0 1⎪ → 0 2 -2 3 0 1⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎝E O ⎭6⨯6 1 0 0 0 00 1 0 0 0 0⎪ 1 0 0 0 0 0⎪ 0⎪ 0 1 0 0 0 0⎪0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎛ 1 0⎫⎪ 00 1⎪ →1 0⎪ ⎛ 1 0 1 1 0 0⎫ 0 1 -2 -2 1 0 0 1⎪ → 1 0⎪⎪ ⎪ 0 0⎪ 0 0⎪ 00⎪ 0 0⎪ ⎝⎭ ⎝ ⎭ 0 1 1 0 1 -2 -2 1 0 2 7 -2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 00 2 7 -2 0 -1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0- - ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭1 ⎛ 1 0 0 1 0 0⎫⎪0 1 0 2 1 0 ⎛ 10 0 1 0 0⎪⎫ 0 1 0 2 1 0 0 0 17 -2 1⎪0 0 2 7 -2 1⎪1 ⎪→ ⎪ → 10 - 0 0 0⎪ .1 0 -1 0 0 0⎪2⎪ 0 1 2 0 0 0⎪ 00 10 01 0 0 0⎪0 0 1 0 0 0⎪⎝所以;⎭⎪⎝2⎭⎛1 0 1 ⎫ ⎛ 5 1 ⎫- 2 ⎪⎛ 1 0 0⎫ - 2 -1 - 2 ⎪ A -1 = 0 1 1 ⎪ -2 1 0⎪ = 5 -1 1 ⎪ . ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ 7 -2 17 1 ⎪ 0 0 2 ⎪ ⎝ ⎭ 2 -1 2 ⎪ 此方法在计算上并不简单，但是它把平常的单纯的一种变换变成了两种变换同时应用，把已知的可逆矩阵置于含单位矩阵的分块矩阵中，以此求逆矩阵，有时比较简单.3.4 矩阵秩基本不等式矩阵理论中，矩阵的秩是一个重要的概念，而矩阵经过运算后所得新矩阵的秩往往与原矩阵的秩有一定关系. 现把高等代数书中有关矩阵秩最基本的不等式总结如下：（1）矩阵和的秩不超过两矩阵秩的和.即：设 A 、 B 均为m ⨯ n 矩阵，则：r ( A + B ) ≤ r(A ) + r ( B ) .（2）矩阵乘积的秩不超过各因子的秩.即：设 A 是m ⨯ n 矩阵 , B 是n ⨯ s 矩（3）r ⎛A B ⎫阵，则：r ( A B ) ≤≥ r ( A ) + r ( B ) . m i n {r ( A ) , r ( B )}.（4）r ⎝ 0 C ⎭ ⎪ ⎛A ⎫ ⎪⎪ ≥ A i j .A ⎪ ⎝ m ⎭再来介绍由分块矩阵证明导出的两个基本不等式例 3.4.1[11] ：（薛尔弗斯特不等式）设A = (a ) ，B = (b ) ，证明：ij s ⨯nij n ⨯mr a n k ( A B ) ≥ r a n k ( A ) + r a n k ( B ) - n⎪ 证明：由分块矩阵的乘积⎛ E n 0⎪ ⎫ ⎛E B ⎫ ⎪⎛E n -B ⎫⎛E n 0 ⎫ -A E A n0 0 E ⎪ = ⎪0 - ⎝ s ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ 知：m ⎭⎝ A B ⎭ r a n k⎛E n B⎫ = r a n k (E ) + r a n k ( -A B ) = n + r a n k ( A B )A 0 ⎪n.⎝ ⎭但,r a n k⎛E nB ⎫ A 0⎪= r a n k⎛B E n ⎫ ≥ r a n k ( A ) + r a n k ( B ) ⎪故：得证.⎝⎭ ⎝ 0 A ⎭.n + r a n k ( A B )≥ r a n k ( A ) + r a n k ( B )备注：在矩阵秩不等式的证明过程中，我们往往会构造如下的分块矩阵： (1) 矩阵不等式中含两个不同矩阵：构造 ⎛A 0 ⎫⎪;⎝ 0 B ⎭(2) 矩阵不等式中含有两个不同矩阵及阶数：构造⎛ A E ⎫ ⎪ 或者 ⎛ A 0 ⎫ ⎪.⎝ 0 B ⎭ ⎝E B ⎭具体分块矩阵的元素则要看题目所给的条件.例 3.4.2 [6] ：（Frobenius 不等式）设 A 、 B 、C 是任意3 个矩阵，乘积ABC 有意义，证明：r ( A B C ) ≥ r ( A B ) + r ( B C ) - r ( B )证明：设 B 是n ⨯ m 矩阵，r ( B ) = r那么存在n 阶可逆阵 P ， m 阶可逆阵Q ，使B = ⎛Er0⎫ P ⎪ Q .⎝ 0 0⎭把 P 、Q 适当分块：P = (M , S ),Q =⎛N ⎫, 由上式有： T ⎝ ⎭故：r ( A B C )= r ( A M N C ) B = (M , S )⎛E r0⎫ ⎛N ⎫ = M N .⎪ ⎪ ⎝ 0 0⎭ ⎝T ⎭≥ r ( A M ) + r ( N C ) - r0 ≥ r ( A M N ) + r ( M N C ) - r ( B )得证.= r ( A B ) + r ( B C ) - r ( B ) .3.5 矩阵秩不等式证明的应用矩阵基本不等式的证明思路，在一般不等式中也常常用到，以下例题是对矩阵秩不等式的推广及其应用：例 3.5.1[11] ：设 A 为m ⨯ k 矩阵， B 为k ⨯ n 矩阵，则证明：r a n k ( A )+r ank( B ) - k≤ r ank( AB) ≤ m i n {r a n k ( A ) , r a n k ( B )}证明：先证明右边的不等式，由：(A 0)(E k0 B ) = ( A A B ) ;E n可得：⎛E k A E 0⎪ ⎫ ⎛B ⎪⎫ = ⎛ B A B ⎫⎪ ,⎝m ⎭ ⎝ ⎭⎝ ⎭r a n k ( A ) =r ank( A 0) = r a n k ( A A B ) ≥ r a n k ( A B ) ;r a n k ( B ) = r a n k ⎛ B ⎫ = r a n k ⎛ B ⎫≥ r a n k ( A B ) .⎪ ⎪⎝ 0 ⎭ ⎝AB ⎭ 再证左边的不等式.注意到下列事实：⎛E m -A ⎫ ⎛ A 0 ⎫ ⎛E ⎪k -B ⎫ = ⎛ 0 -A B ⎫⎪ 0 E ⎪E B 0E⎪ E 0 ⎝k ⎭ ⎝ k 则：⎭ ⎝ n ⎭⎝ k ⎭0 ⎫⎛ 0r a n k ⎛ A ⎪ = r a n k-A B ⎫ ⎪于是：⎝E kB ⎭ ⎝E k0 ⎭⎛ A 0 ⎫r a n k ( A ) + r ank ( B ) ≤r ank ⎪ = r a n k ( -A B ) + r a n k (E k )= r a n k ( A B ) + k⎝E kB ⎭ 从而: r a n k ( A ) + r a n k ( B ) - k ≤ r a n k ( A B ) .这里也是用到构造矩阵的方法.例 3.5.2 [6] ：设n 阶矩阵 A 、 B 可交换，证明：r a n k ( A + B ) ≤ r a n k ( A ) + r a n k ( B ) - r a n k ( A B )→ → , ⎝ ⎭ 解：利用分块初等变换，有：⎛A O ⎫ ⎛A B ⎫ ⎛A + B B ⎫⎪ ⎪⎪ ⎝O B ⎭ ⎝O B ⎭ ⎝ B B ⎭ 因为 AB = BA ，所以：⎛ E O ⎫ ⎛A + B B ⎫ = ⎛A + B B ⎫ .B -A - ⎪ B ⎪ O- ⎪B B A B ⎝ 于是，有：⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭r a n k ( A ) + r a n k ( B )= r a n k⎛A + B B ⎫≥ r a n k ⎛A + B B ⎫B ⎪⎝ B ⎭ ⎝ ⎪O-A B ⎭即：r a n k ( A + B )得证.≥ r a n k ( A + B ) + r a n k ( A B ) .≤ r a n k ( A ) + r a n k ( B ) - r a n k ( A B ) .例 3.5.3：设 A 是n 阶方阵，且r ( A ) = r ( A 2 ,证明：对任意自然数k ,有r ( A k ) = r ( A )⎛A 2O ⎫证：构造分块矩阵 O A 2 ⎪，由 Frobenius 不等式： 2 2 2 ⎛A O ⎫ ⎛A 2 -A 3 ⎫ ⎛O -A 3 ⎫ 3 r ( A )+r( A ) ≤ r ⎪ = r A A 2 A O ⎪ = r A O ⎪ = r ( A ) + r ( A ) . 由：r ( A ) = r ( A 2 ) ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭所以，r ( A3 ) = r ( A 2 * A )≤ r ( A2 ) .故： r(A 2 ) = r ( A 3 .由此可推得：r ( A3) = r ( A 4) , r ( A4) = r ( A5 ) , .故：对任意自然数k , 有：r ( A k ) = r ( A ) .3.6 综合应用在掌握了分块矩阵的技巧之后，可以由其导出的一个重要的定理：特征多项式的降阶定理，以下主要讨论该定理及其结论的应用.例 3.6.1 [6] ：（特征多项式的降阶定理）设 A 是m ⨯n 矩阵， B 是n ⨯ m 矩阵. 证明: AB 的特征多项式f A B ( ) 与 BA 的特征多项式f B A( ) 有如下的关系：nm1 2 s证：先要把上式改写为：n f () =m f () .A BB AnE -m A B =mEE 1 Bn - B A .用构造法，设 ≠ 0 ，令： H =n.A E m⎛1 ⎫ ⎛E 1 B ⎫对 ⎛E n 0⎪ ⎫ E n B ⎪= n ⎪ ⎝ -A E⎪⎪ 1 ⎪ 两边取行列式得： n ⎭ A E⎝ m ⎭ 0 E - ⎝A B ⎪⎭ H = E -1 A B = 1 m E - A B .⎛E 1 B ⎫ ⎛E nm 0 ⎫⎛ 1( ) m1 B ⎫ 再对 n ⎪ -A E ⎪ E - B A ⎪ 两边取行列式得： ⎪ ⎪ = n⎪⎝ A E m ⎭⎝ n ⎭ ⎝ H = E -0 1B A = E m ⎭ 1 n E - B A .故： 1nE n- B A =1Em mn- A B() nmE n - B A = nE m - A B .上述等式是假设了 ≠ 0 ，但是两边均为的n + m 次多项式，有无穷多个值使它们成立（0）≠ ，从而一定是恒等式，即证.这个等式也称为薛尔弗斯特（Sylvester ）公式. 以下例题是定理的应用. 例 3.6.2 [6] ：设 A 为m ⨯ n 矩阵， B 为n ⨯ m 矩阵，证明： AB 与 BA 有相同的非零特征值.证：由定理：m E - B A = n E - A B .设 E m- A B = m -s (- ) ( - ) ( - ) ,其中12 m ≠么有：0 ，即 AB 有s 个非零特征值：1, 2, , s , 由上面两式,那nE - B A = ( - 1) ( - ) 2 (- )n- s s即证 BA 也只有s 个非零特征值：1, 2, , s .m∑ 例 3.6.3 [6] ：设 A 、 B 分别是m ⨯n 和n ⨯ m 矩阵，证明：t r A B = t r B A .解：由上例知，若E - A B = m -s ( - a ) ( - a )m1s其中a 1a 2 a s ≠ 0. 则 AB 的全部特征值为1 = a 1, , s= a s , s +1= = m = 0 ,且：E - B A = n -s ( - a ) ( - a ) .n1s即 BA 的全部特征值为:1 = a 1,2 = a2, ,s +1= = n = 0 .从而 t r A B =sa ii=1=t r B A .可见，在一些问题中，直接利用特征多项式的降阶定理会更加方便处理，这里则要求我们对分块矩阵的了解更加深刻.结论本文主要通过“分块矩阵、分块矩阵及其应用”两个部分，分别简单介绍了分块矩阵的性质概念、导出的定理结论和相关应用.主要是将分块矩阵的技巧和推广做了一个内容的总结.本文简单的将矩阵工具应用于计算行列式、解决线性方程组、求矩阵的逆、证明矩阵秩的相关定理等，对应不同问题也举了几个重要的应用以及它们的综合应用.将以前出现的矩阵思想整体化，并对相关知识也做了一个系统的复习.最后，本文还有一些不足之处，有待于进一步的改善和提高.参考文献[1] 上海交通大学线性代数编写组. 线性代数[M]. 高等教育出版社, 1982. [2] 北京大学. 高等代数{M}. 高等教育出版社, 1998.[3] 高百俊. 分块矩阵的初等变换及其应用[J]. 伊犁师范学院学报, 2007(4):14-18.[4]张红玉, 魏慧敏. 矩阵的研究[M]. ft 西人民出版社, 2010.[5]雷英果. 分块初等方阵及其应用[J].工科数学, 1998, 14(4):150-154. [6]钱吉林. 高等代数题解精粹(第二版)[M]. 中央民族大学出版社, 2010.[7] 王莲花, 李念伟, 梁志新. 分块矩阵在行列式计算中的应用[J]. 河南教育学院学报(自然科学版), 2005, 14(3):12-15.[8] 张贤科, 许甫华. 高等代数学[M]. 清华大学出版社, 1998:91-96.[9]杨子胥. 高等代数习题集[M]. ft东科学技术出版社, 1981.[10]鲁翠仙. 分块矩阵在求矩阵逆的应用[D]. 云南:云南大学数学系数学研究所,2009：14-15.[11]刘丁酉. 高等代数习题精解[M].中国科学技术大学出版社, 1999.“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。

分块矩阵的若干性质及其在行列式计算中的应用

| C| = AB A E
0
由拉普拉斯展开定理得 : | C | = | AB | ・ | E | = | AB | 又由性质 1 并应用于列的情况 , 有 :
AB A E AB - AB A E
0
=
0 - EB
=
0
- B
A E
1 +2 + …+ n + ( n +1) + …+2 n = ( - 1) ・ | A|・ | - B|
= 53
2 1 0
解设 | P | =
A B 3 1 , 其中 , A = ,B = C D 2 4 由计算知 | A | = 10 ≠0 , 且 AC = CA
,C =
,D =
所以 | P | = | AD - CB | =
3 2
1 4
・
2 1
3 4
-
0 1
・
1 3
=
6 5
[1 ] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 . 高等代
则 | A | =| D | Es 0 0 证明由 0
0
Es
A1 C1
A2 B2 C2
A3 B3 = C3
0 ・ B1
Es
0
其中 Es 是 s 阶单位矩阵 , 对上式两边同时取行列式得 :
| A | =| D |
性质 2 设方阵 A 是由如下分块矩阵组成
A1 A = B1 C1 A2 B2 C2 A3 B3 C3
A C A C B D A C B D A = | AD - CB |
证明根据性质 1 , 因为 A - 1 存在 , 并注意到 AC = CA , 用 ( - CA - 1 乘矩阵的第一行后加到第二行中去得 :

矩阵分块法求行列式

矩阵分块法求行列式引言在线性代数中，行列式是一种非常重要的概念，它可以用来刻画矩阵的性质和描述线性方程组的解的情况。

矩阵分块法是一种常用的求解行列式的方法之一，它将矩阵按照一定规则进行分块，从而简化计算过程和分析问题。

矩阵的分块表示矩阵的分块表示是指将一个大矩阵按照行或列进行分割，形成数个子矩阵，并按照一定规则排列组合起来表示原矩阵。

根据分块的方法不同，可以分为水平分块和垂直分块两种。

水平分块水平分块是指将矩阵按照行进行分割，并将分割后的子矩阵按照一定顺序排列。

假设有矩阵A，可以表示为以下形式：A=[A11A12 A21A22]其中，A11、A12、A21、A22都是子矩阵。

矩阵的分块表示可以简化为：A=[A11A12][A21A22]垂直分块垂直分块是指将矩阵按照列进行分割，并将分割后的子矩阵按照一定顺序排列。

与水平分块类似，矩阵A的垂直分块表示为：A=[A11A21][A12A22]矩阵的行列式性质在矩阵的分块表示基础上，可以推导出矩阵的行列式性质，进一步简化行列式的计算过程。

行列式的性质1：行列式的分块设矩阵A能够按照水平分块的方法表示，即A=[A11A12A21A22]，则有：|A|=|A11|⋅|A22−A21A12−1A11|其中，A12−1表示A12的逆矩阵。

行列式的性质2：上（下）三角矩阵的行列式若矩阵A是上（下）三角矩阵，则A的行列式是其对角元素的乘积。

行列式的性质3：特殊矩阵的行列式对于一些特殊的矩阵，可以直接利用其定义特点求出行列式的值。

•对角矩阵：对角矩阵的行列式等于其对角线上元素的乘积。

•置换矩阵：置换矩阵的行列式等于1或-1，具体取决于该置换矩阵是奇数个偶置换还是偶数个置换。

•元素全为0的矩阵：行列式为0。

•元素全为1的矩阵：行列式为0。

（推论：如果矩阵的某一行（列）的元素全为0，则行列式为0。

）矩阵分块法求行列式的步骤根据矩阵的分块表示和行列式的性质，可以得出矩阵分块法求行列式的步骤。

分块矩阵求行列式

分块矩阵求行列式
1、分块矩阵：分块矩阵是我们在学习高等数学中的一个重要内容。

它的计算理念就是对矩阵进行一定的分块，从而降低难度，方便我们去计算。

分块矩阵也是我们处理阶数比较高的矩阵常用方法之一，也是数学在多领域的研究工具。

2、行列式：行列式是我们高等数学中一个基本的数学工具。

行列式是可以看作是有向面积或者是体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。

或者说是在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性的变换对体积所造成的一个影响。

3、分块矩阵行列式计算：分块矩阵行列式计算主要是根据转换去计算的。

我们对矩阵进行一个适当的分块，是可以使高阶矩阵的运算可以转换为一个低阶矩阵的计算。

在计算的同时也会使原矩阵的结构显得简单而清晰，从而简化运算步骤，或给矩阵的理论推导带来方便。

分块矩阵的行列式计算

分块矩阵的行列式计算嘿，大家好，今天咱们来聊聊一个看似复杂，其实挺有意思的话题——分块矩阵的行列式计算。

听起来有点吓人，是吧？其实只要你稍微用点心，多试几道题，就能慢慢找到感觉。

好比学骑自行车，起初总是东倒西歪，过一段时间就能稳稳地骑上去。

行列式它就像一个魔法盒子，里面藏着很多奥秘，打开之后哗啦啦都是惊喜。

想象一下，一个矩阵就像成千上万的小方块拼在一起，真的是琳琅满目。

分块矩阵就是把这些小方块又分成了几组，分得那叫一个细致。

你看，就像一块蛋糕，切成了几片，每一片都有自己的味道，哇，听起来是不是就让人已流口水了？每块都有自己的特点，行列式的计算也可以分开来，没有必要一股脑地喧闹，所以咱们可以轻轻松松地把它们一个个捋清楚。

在计算行列式的时候，咱们有个神奇的工具，那就是所谓的“行列式的性质”。

听起来有点炫酷，其实就是一些小法则，简单实用。

比如，如果你把一个矩阵分成四个部分，一块一块地来处理，你就能发现每块的行列式都是相互关联的，就像看一部电视剧，得先了解主角是谁、情节怎么发展，才能看懂全剧。

举个简单的例子，一个大矩阵被分成四个小块，你可以分别计算每一块的行列式，然后把它们结合起来，结果就像拼图一样，瞬间就完整了。

有的朋友可能会问，行列式有什么用呢？别小看这个小家伙，它可是在数学和工程领域里扮演着超级英雄的角色。

无论是解决线性方程组，还是找特征值，它都能派上用场。

就像拿鱼竿钓鱼，等鱼儿上钩了，才知道这杆子是不是靠谱。

行列式就能帮你判断矩阵的可逆性，是否能用来解方程。

不过，咱们有个小提醒，行列式的计算可不能马虎。

就像下围棋，一步走错就可能满盘皆输。

尤其分块的时候，要格外小心，仔细检查每个小块，看看有没有漏掉。

就像船开得太快，难免会遇上暗礁，一不小心就会翻船。

没错，细节决定成败。

最有趣的部分来了！大家知道吗，计算行列式的时候，也可以用一些巧妙的方法来简化问题。

有些时候，你不需要大费周章地算出整个行列式，采取一些简单的变换就能让它变得简单得多。

分块矩阵

引言为了研究行数、列数较高的矩阵，常常对矩阵采用分块的方法。

类似于集合的划分，是把矩阵完全地分成一些互不相交的子矩阵，使得原矩阵的每一个元落到一个分快的子矩阵中。

以这些子块为元素的矩阵就称为分块矩阵。

线形代数以其独特的理论体系和解题技巧而引人入胜。

在线性代数中,分块矩阵是一个十分重要的概念,它可以使矩阵的表示简单明了,使矩阵的运算得以简化.而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题.而事实上,利用分块矩阵方法计算行列式,时常会使行列式的计算变得简单,并能收到意想不到的效果.而且利用分快矩阵还可以求出某些矩阵的逆矩阵，证明矩阵的秩等。

第一章矩阵的分块和分块矩阵的定义设A 是数域K 上的m n ⨯矩阵，B 是K 上n k ⨯矩阵，将A 的行分割r 段，每段分别包含12r m m m 个行，又将A 的列分割为s 段，每段包含12s n n n 个列。

A=111212122212s s r r rs A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭于是A 可用小块矩阵表示如下：，其中ij A 是i j m n ⨯矩阵。

对B 做类似的分割，只是要求它的行的分割法和A 的列的分割法一样。

于是B 可以表示为B= 111212122212s s r r rs B B B B B B B B B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭其中ij B 是i j n k ⨯的矩阵。

这种分割法称为矩阵的分块。

二．分块矩阵加法和乘法运算设()ij m n A a ⨯=()ij m n B b ⨯=为同型矩阵（行和列数分别相等）。

若采用相同的分块法。

A=111212122212s s r r rs A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B= 111212122212s s r r rs B B B B B B B B B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭则可以直接相加乘法:设，则C 有如下分块形式：C=111212122212s s r r rs C C C C C C C C C ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，其中ij C 是i j m k ⨯矩阵，且 1nij ij ij i C A B ==∑定义称数域K 上的分块形式的n 阶方阵A=12S A A A ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为准对角矩阵，其中为阶方阵（），其余位置全是小块零矩阵。

分块矩阵在行列式计算中的应用

分块矩阵在行列式计算中的应用
分块矩阵，也称作划分矩阵或分割矩阵，指的是一种结构十分特殊的
矩阵，其每一行和每一列都被划分成不同的若干个子矩阵，每个子矩阵中
含有的元素数是相等的。

分块矩阵的出现，为许多复杂的数值计算以及矩
阵的计算提供了一种有效的方法。

分块矩阵的计算方法能够进一步简化复杂运算的计算步骤，它是一种
非常有效的计算技术，可以极大地提高计算速度。

行列式是一种数学结构，可以定义一种矩阵的性质。

行列式的运算除
了基本的乘法、加法以外，还涉及到分块矩阵的计算。

行列式的计算可以
通过分块矩阵的计算得以简化。

分块矩阵的应用分为两种，一种是计算行列式，另一种是基于分块矩
阵的矩阵乘法，我们将这两种分别介绍。

一、计算行列式
计算一个矩阵的行列式是一件很复杂的运算，如果矩阵的阶数n很大，那么就会耗费大量的计算时间。

而引入分块矩阵可以减少这种耗时的负担。

通常情况下，一个n阶矩阵可以分割成多个小的m阶矩阵，而当m较
小时，计算行列式也会比计算n阶矩阵要简单，时间也会更快。

这样，就
可以利用分块矩阵的特性进行行列式的计算，大大缩短计算时间。

分块矩阵行列式计算的若干方法(本科毕业原创论文)

分块矩阵行列式计算的若干方法摘要:矩阵是线性代数中研究的重要对象，也是数字计算中的一个重要工具，矩阵运算具有整体性和简洁性的特点。

我们应该充分注意矩阵运算的一些特殊规律。

为了研究问题的需要，适当的对矩阵进行分块，把一个大矩阵看成是由一些小矩阵块为元素组成的，这样可使矩阵的结构看的更清楚，表达和运算更简便的特点。

矩阵分块的思想在线性代数证明以及应用中是十分有用的。

运用矩阵分块的思想，可使解题更简洁，思路更开阔。

本文就将分块矩阵的思想运用到行列式的计算当中来，利用分块矩阵来计算行列式，并且得出一些简便的方法。

借助准三角形分块矩阵的行列式值的结果简化高阶行列式的计算。

例如，本文讨论了利用分块矩阵计算行列式的︱H ︱=BC DA 方法，即（1）当矩阵A 或B 可逆时；（2）当矩阵A=B,C=D 时；（3）当A 与C 或者B 与C 可交换时；（4）当矩阵H 被分成两个特殊矩阵的和时等一些方法去探究分块矩阵行列式计算求值的若干方法。

关键词:分块矩阵；准三角形分块矩阵；可逆矩阵；行列式；计算；单位矩阵Several Measures Of Block Matrix In ComputingDeterminantZhouxu(Hunan Normal University Mathematics and Applied Mathematics Grade 2004)Abstract ：Matrix is the important object which in the linear algebra studies, isalso a important tool in the digital computation . The matrix operation with integrity and simplicity of the characteristics. We should pay attention to some special rules of the matrix operation fully.In order to study the issue of the need, we carries on the piecemeal suitably to the matrix,regard a big matrix as some small ones,which integrate it, This will enable the matrix structure more clearly,with the characteristics of expression and computing easier.The thought of dividing matrix into blocks is very important in proving and applying the linear e the thought of dividing matrix to blocks can help us to solve problems more pithily and think methods more widely.This thesis uses the blocking matrix method into the calculation of determinant,tries to solve the linear equations . Severa1 more general results are proved through the way aided by the result of the determinants for quasi-triangle piece matrices ，which does not change the nature of the determinnts ，For example, this article discussed the methods of computing ︱H ︱=BC DA with using block matrix. That is:(1)A andB are invertible matrixes;(2)A=B and C=D;(3)AC=CA or BC=CB;(4)matrix H is divided into two particular matrix , And some other ways to explore block matrix determinant for Calculating its valueKey words ：block matrix; quasi —triangle piece matrices ；inverse matrices ；determinants ； computation ；unit matrix1．引言1.1矩阵分块的意义在理论研究及一些实际问题中，经常遇到阶数很高或结构特殊的矩阵。

矩阵分块求行列式

矩阵分块求行列式
（最新版）
目录
1.矩阵分块求行列式的概念
2.矩阵分块求行列式的方法
3.矩阵分块求行列式的应用
正文
一、矩阵分块求行列式的概念
矩阵分块求行列式是一种求解矩阵行列式的方法，它主要通过将矩阵进行分块处理，然后运用行列式的性质进行计算。

这种方法可以简化计算过程，提高计算效率，尤其在面对大型矩阵时，具有很大的优势。

二、矩阵分块求行列式的方法
矩阵分块求行列式的方法主要包括以下几个步骤：
1.选择分块：根据矩阵的特征，选择合适的分块方式。

通常，我们会选择主对角线、副对角线或者按照矩阵的行、列进行分块。

2.计算分块矩阵的行列式：将原矩阵按照选定的方式进行分块，然后分别计算分块矩阵的行列式。

3.运用行列式的性质：根据行列式的性质，对分块矩阵的行列式进行运算，最终得到原矩阵的行列式。

三、矩阵分块求行列式的应用
矩阵分块求行列式的方法在实际应用中具有广泛的应用，尤其在线性代数、微积分、物理等领域。

例如，在求解线性方程组、特征值、特征向量等问题时，都需要用到矩阵的行列式。

通过运用矩阵分块求行列式的方法，可以简化计算过程，提高计算效率。

总之，矩阵分块求行列式的方法是一种有效的求解矩阵行列式的方法，它具有计算简便、效率高的优点。

分块矩阵在行列式计算中的应用

分块矩阵在行列式计算中的应用一、分块矩阵的定义和性质分块矩阵是将一个矩阵按照行和列进行分块的一种表示方式。

假设有一个m×n的矩阵A可以被分成k行l列的分块矩阵，则可表示为：A=[A₁₁A₁₂…A₁lA₂₁…A₂l...Ak₁ Ak₂ … Akl]其中，每个Aij都是一个子矩阵。

分块矩阵有以下重要性质：1.行列式的乘积可以转化为分块矩阵的行列式之积。

例如，设有两个分块矩阵A和B，它们的行列式分别为，A，和，B，则有：AB，=，A，B2.分块矩阵可以简化行列式的计算。

将一个大矩阵按照一定规则分为几个子矩阵后，可以通过计算子矩阵的行列式来获得原矩阵的行列式，从而简化了计算过程。

1.初等行列变换2.求逆矩阵对于分块矩阵，其逆矩阵的计算也可以通过分块的方式进行。

设A为可逆矩阵，其分块矩阵表示为：A=[A₁₁A₁₂A₂₁A₂₂]若A₁₁为可逆矩阵，则其逆矩阵可以表示为：A^(-1)=[A₁₁^(-1)-A₁₁^(-1)A₁₂A₂₂^(-1)A₂₁^(-1)A₁₁^(-1)A₁₂A₂₂^(-1)A₂₂^(-1)]其中A₁₁^(-1)、A₂₂^(-1)和A₁₁^(-2)A₁₂A₂₂^(-1)都是子矩阵的逆矩阵。

3.计算特殊类型的行列式在计算特定类型的行列式时，分块矩阵的应用可以简化计算过程。

例如，计算拟对角行列式时，可以使用分块矩阵的方式将矩阵分解成多个对角块，然后分别计算每个对角块的行列式之积。

4.计算特定型的行列式分块矩阵的应用还可以用于计算特定型的行列式。

例如，计算置换矩阵的行列式时，可以将矩阵按行、列进行分块，然后计算每个子矩阵的行列式，最后通过乘法和加法运算得到最终的行列式。

以上仅是分块矩阵在行列式计算中的一些常见应用，实际上分块矩阵在线性代数的其他领域也有广泛的应用，如特征值和特征向量的计算、线性方程组的求解等。

熟练掌握分块矩阵的定义、性质和应用可以提高行列式计算的效率，并且对于理解线性代数中的其他概念和方法也具有重要意义。

矩阵分块求行列式

矩阵分块求行列式矩阵分块是一种将大矩阵划分为小矩阵的方法，可以简化矩阵运算过程。

在求解行列式时，矩阵分块技术可以使得计算更加简单高效。

本文将介绍矩阵分块的概念及其在求解行列式中的应用。

什么是矩阵分块矩阵分块是一种将大矩阵划分为若干个子矩阵的方法。

通过将大问题转化为小问题，可以简化计算过程并提高计算效率。

常见的矩阵分块方法有水平、垂直和斜向三种方式。

水平分块水平分块是指将一个大矩阵按行划分为若干个子矩阵。

例如，对于一个n×m的矩阵A，可以将其按行划分为k个子矩阵A1, A2, …, Ak，每个子矩阵具有相同的列数m。

垂直分块垂直分块是指将一个大矩阵按列划分为若干个子矩阵。

例如，对于一个n×m的矩阵A，可以将其按列划分为k个子矩阵A1, A2, …, Ak，每个子矩阵具有相同的行数n。

斜向分块斜向分块是指将一个大矩阵按对角线划分为若干个子矩阵。

例如，对于一个n×n的矩阵A，可以将其按对角线划分为k个子矩阵A1, A2, …, Ak。

矩阵分块求行列式在求解行列式时，矩阵分块技术可以使计算过程更加简单高效。

通过将大矩阵拆解成小块的形式，可以减少计算量并简化计算步骤。

设A是一个n×n的方阵，可以将其按某种方式进行分块：其中，Ai,j表示第i行第j列的子矩阵，Bi,j表示第i行第j列的余子式。

根据矩阵分块的性质，行列式的计算可以转化为求解各个子矩阵的行列式，并进行一定的运算和组合。

具体计算步骤如下：1.将大矩阵按某种方式分块，得到子矩阵Ai,j。

2.计算每个子矩阵Ai,j的行列式det(Ai,j)。

3.根据分块规则，将各个子矩阵的行列式进行运算和组合，得到最终结果。

以水平分块为例，假设将一个n×n的方阵A按行划分为k个子矩阵A1, A2, …, Ak。

则有：| A1 A2 ... Ak || || B1 B2 ... Bk |其中，A表示原始矩阵，B表示对应子矩阵的余子式。

矩阵分块求行列式

矩阵分块求行列式摘要：1.矩阵分块的概念与意义2.求行列式的基本方法回顾3.矩阵分块求行列式的原理与步骤4.分块矩阵的性质与计算优势5.实际应用案例分析6.总结与拓展正文：在矩阵计算中，矩阵分块求行列式是一种常见的技巧。

所谓矩阵分块，就是将一个大型矩阵划分为若干个小型矩阵，以便于计算和分析。

这种方法在实际应用中具有很高的实用价值，尤其在处理大规模矩阵问题时，能够大大提高计算效率。

首先，我们来回顾一下求行列式的基本方法。

对于一个二维矩阵A，其行列式表示为：|A| = a11*a22 - a12*a21其中，a11, a12, a21, a22分别为矩阵A的第一行第二列、第一行第三列、第二行第三列和第二行第二列的元素。

接下来，我们来探讨矩阵分块求行列式的原理与步骤。

假设有一个分块矩阵：A = [A11 A12 | A21 A22]其中，A11、A12、A21、A22为小型矩阵。

根据分块矩阵的性质，我们可以将行列式|A|表示为：|A| = |A11| * |A22| - |A12| * |A21|这样，我们就可以利用分块矩阵的性质，将原矩阵的行列式转化为若干个小矩阵的行列式之差。

在实际计算过程中，这种方法可以大大简化计算复杂度。

分块矩阵在计算方面的优势在于，它将原矩阵划分为多个小块，从而使得矩阵的存储、计算和分析变得更为简单。

此外，分块矩阵还具有以下性质：1.分块矩阵的转置等于分块矩阵各块的转置之积。

2.分块矩阵的逆矩阵等于各块的逆矩阵之乘。

3.分块矩阵的行列式等于各块行列式的乘积。

这些性质为矩阵分块求行列式提供了理论依据。

在实际应用中，矩阵分块求行列式的方法具有广泛的应用价值。

例如，在线性方程组求解、矩阵对角化、线性变换等领域，矩阵分块求行列式都发挥着重要作用。

以下是一个简单案例：已知线性方程组：2x + 3y - z = 14x - 5y + 2z = 36x + 7y - 3z = 5我们可以将其写成矩阵形式：A = [2 3 -1 | 4 -5 2]b = [1 3 5]利用矩阵分块求行列式的方法，我们可以先求解小型矩阵的行列式，再计算线性方程组的解。

分块矩阵的初等变换及其在行列式、逆和秩中的应用

／：Ｉ１０２、０．
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单位矩阵Ｉ过一次初等变换得到的矩阵叫初等矩阵．经初等矩阵有以下三种：（）Ｉ以第１初等变换得到１对施种
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如能捕捉生活点滴，生写作素材是丰富的，作文时学生就学写会少些无奈。学中要努力培养学生广泛的阅读兴趣，导学教引生积累丰富的写作素材，展各种有趣的活动，发学生写作开激的欲望．学生感受写作文如同说话一般，吐不快。在习作使不指导的过程中，师的职责不是传授技法和知识，是激励、教而唤醒、舞，学生学会生活、会积累、会运用。每一天都鼓让学学带着健康的情感生活，着友爱的情态关注身边的人和事，带每次都带着积极的情绪动笔，就一定能写出富有个性和真情
摘要：文把矩阵的初等变换推广到分块矩阵．用本并分块矩阵的初等变换解决了许多有关分块矩阵的问题．关键词：等变换分块矩阵分块初等矩阵初
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定理１设Ａ＝ａ）（ …
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（）矩阵Ｋ乘Ｉ３用左的第ｊ加到第ｉ所得到的分块初等矩行行阵记为Ｉｊｋ，，时表示用矩阵Ｋ乘Ｉ第ｉ加到第ｊ所（（）ｉ同）右的列列得到的分块初等矩阵．与定理１类似，们有：我定理２对分块矩阵Ｍ做一次分块初等行（）换相当列变于在Ｍ的左边（）乘以一个相应的分块初等矩阵．右边

矩阵分块求行列式

矩阵分块求行列式矩阵分块求行列式是一种通过将一个大矩阵分割成多个小矩阵来计算行列式的方法。

这种方法通常在处理大型矩阵时非常有用，因为它可以将复杂的行列式计算问题简化为计算较小矩阵的行列式问题。

具体来说，假设我们有一个n×n的矩阵A，可以将其分成若干个大小相等的块矩阵。

设A的形式如下：A = [A11 A12 (1)A21 A22 (2)... ... ... ...An1 An2 ... Anm]其中，每个Aij都是一个子矩阵。

根据矩阵行列式的性质，我们可以将矩阵A的行列式表示为以下形式：det(A) = det([A11 A12 (1)A21 A22 (2)... ... ... ...An1 An2 ... Anm])根据该公式，我们可以将整个矩阵的行列式计算问题转化为计算每个子矩阵的行列式问题。

这样做的好处是，每个子矩阵的大小通常较小，因此计算它们的行列式相对容易。

例如，假设我们将矩阵A分成4个大小相等的子矩阵：A = [A11 A12A21 A22]其中，A11、A12、A21和A22都是n/2×n/2的子矩阵。

那么，根据上述公式，我们可以将矩阵A的行列式表示为以下形式：det(A) = det([A11 A12A21 A22])接下来，我们可以依次计算子矩阵A11、A12、A21和A22的行列式，并将它们的值代入上述公式来计算整个矩阵的行列式。

需要注意的是，矩阵分块求行列式的关键在于合理选择子矩阵的大小和分割方式。

通常情况下，选择子矩阵的大小使得它们的行列式能够更容易地计算出来。

此外，还需要考虑子矩阵之间的关系，以确保计算的正确性。

总结起来，矩阵分块求行列式是一种通过将大矩阵分解成小矩阵来计算行列式的方法，可以简化复杂的计算问题。

然而，具体的分块策略需要根据矩阵的特点和计算要求进行合理选择。

浅谈分块矩阵在行列式中的应用

浅谈分块矩阵在行列式中的应用引言:在行列式的计算中,计算方法不胜枚举,它们都是以整个行列式为对象，计算不免有些麻烦，我们能否将其分成若干块，即分块矩阵来计算整个行列式的值呢？满足这种情况的行列式有怎样特殊的性质呢？我们知道行列式有如下性质：① 行列式的某一行加上另一行的k 倍，行列式的值不变。

（性质6） ② 用一个数乘以行列式等于行列式的某一行或某一列。

（性质2） ③ 互换行列式中两行的位置，行列式反号。

（性质4）在课本中我们计算过1112212211121112212221220000a a a a D c c b b c c b b =的值。

通过按某行某列展开可得1112111221222122a ab b D a a b b =⋅，若设1112111211212221222122,,a a b b cc A B C a a bb c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则有 0A D A B CB==后又推广为1111111111110000k k kk k l l lkl lla a a a D c cb bc c b b ==11111111k l k l lla ab b a ab b ⋅这里我们已经运用了分块矩阵的思想，下面来介绍分块矩阵的某些性质。

设方阵A 是由如下分块矩阵组成 123123123A A A A B B B C C C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中(),,1,2,3i i i A B C i =都是s 阶矩阵，又M 是任一s 阶方阵性质1：若 123112233123A A A DB MC B M C B M C C C C ⎛⎫⎪=+++ ⎪ ⎪⎝⎭, 则D A = 证明：由行列式的性质得D A = 性质2:若123123123A A A B M B M B M B C C C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则有B M A =.证明：此性质就相当于行列式的性质2. 123123123000000sS E A A A B M B B B E C CC ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B M A ∴= 性质3：设123123123B B B A A A A C C C ⎛⎫⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭，则有 ,2,21A s mA A s m ⎧=⎪'=⎨-=+⎪⎩，m 为自然数。

矩阵分块求行列式

矩阵分块求行列式摘要：一、矩阵分块的概念及应用二、分块矩阵的行列式求法1.三阶矩阵的分块求行列式方法2.高阶矩阵的分块求行列式方法3.分块矩阵行列式的性质三、应用实例与注意事项正文：一、矩阵分块的概念及应用在矩阵运算中，我们常常会遇到一些复杂的矩阵，难以直接求得其行列式。

此时，我们可以通过矩阵分块的方法，将复杂的矩阵分解为若干个较小的矩阵，从而简化问题。

矩阵分块就是将一个矩阵按照一定的规则划分为若干个矩阵块，这些矩阵块可以是连续的行、列或元素。

矩阵分块的目的是为了便于计算矩阵的行列式，同时它也是矩阵运算中一种重要的技巧。

二、分块矩阵的行列式求法1.三阶矩阵的分块求行列式方法对于三阶矩阵，我们可以通过如下方法进行分块求行列式：设矩阵A 为：```B CD EF G```我们可以将其分解为两个二阶矩阵的行列式之积：```A = (B C)(F G) - (D E)(F G)```其中，(B C)(F G) 表示矩阵B 和C 的行列式之积，(D E)(F G) 表示矩阵D 和E 的行列式之积。

2.高阶矩阵的分块求行列式方法对于高阶矩阵，我们可以采用类似的方法进行分块求行列式。

假设矩阵A 是一个m 阶矩阵，我们可以将其分解为如下形式：```A = (A11 A12...A1n)(A21 A22...A2n)...(An1 An2...Ann)```其中，Aij 表示矩阵A 的第i 行第j 列元素。

我们可以将矩阵A 分解为如下形式：```A = (A11 A21...An1) (A12 A22...An2)...(A1n A2n...Ann)```然后，我们可以将每一行或每一列的矩阵分解为二阶矩阵，从而求得原矩阵A 的行列式。

3.分块矩阵行列式的性质在分块矩阵求行列式的过程中，我们需要注意一些性质。

首先，如果分块之后至少有一块为零矩阵，那么原矩阵的行列式为零。

其次，分块矩阵的行列式等于各个分块矩阵行列式的乘积。

分块矩阵的行列式的计算

分块矩阵的行列式的计算说到分块矩阵的行列式计算，这可是个挺有意思的话题哦。

很多同学一听到矩阵，就开始头疼了，感觉数学又来找麻烦。

其实呢，分块矩阵就像我们生活中的一个大拼图，每一块都是独立又相关的，小块之间有联系，但整体又是个大样子。

行列式，这玩意儿其实是一个用来衡量这个矩阵“大小”的东西。

可以这么想，就像你家的院子，行列式告诉你，院子到底大不大，能不能种下很多花花草草。

想象一下，你在超市里买菜。

你一手拿着大白菜，另一手拎着西红柿，结果发现袋子里装不下了。

这时候你就会考虑，把它们分开，分成两个小袋子。

分块矩阵也是这个道理，把大矩阵分成几个小块，每个小块单独计算行列式，然后再合并，这样一来，问题就变得简单多了。

这里面的魔法就在于你可以利用这些小块之间的关系，有时候它们甚至能互相抵消。

就像你跟朋友一起吃饭，AA制，最后平摊下来，大家都心里有数，谁也不亏。

我们先来看看什么是行列式。

行列式可以说是一个数字，能告诉你很多关于这个矩阵的秘密。

比如说，行列式为零，哎呀，那就意味着这个矩阵是“瘫了”，也就是说行与列之间有些奇妙的关系，可能是线性相关的。

如果行列式不为零，那就说明这个矩阵健健康康的，能发挥作用。

就好比一个球队，队员们配合得当，最后能够打出精彩的比赛。

接下来咱们看看分块矩阵。

假设有个大矩阵，咱们把它分成四个小矩阵，像个Tetris游戏那样。

这里就涉及到行列式的乘法法则。

有个公式，听着高大上，其实很简单。

假设你的大矩阵可以分成A、B、C、D四个小块，行列式的计算可以这样搞：|A| * |D| |B| * |C|。

是不是一下子觉得清晰多了？这就像在厨房里做菜，先把每个食材准备好，最后再一锅炖，味道更浓厚。

实际计算的时候也有一些小技巧，比如说，如果你能通过行变换，把矩阵化成上三角形，行列式就好计算得多了。

就像你在清理房间，把东西都搬到一边，再慢慢打理，这样就一目了然。

反正你只要记住，行变换不会改变行列式的值，心里就不会慌了。

分块矩阵的行列式的计算方法

分块矩阵的行列式的计算方法在这里，可能没办法直接满足这个要求，不过我可以给你一些关于分块矩阵行列式的概念和计算方法的基础信息，看看你是否需要更详细的内容？1. 分块矩阵的基本概念1.1 什么是分块矩阵？分块矩阵就是把一个大矩阵分成几个小块，每块可以单独处理，就像把一块大蛋糕切成好几块小蛋糕，吃起来更方便，对吧？这样做不仅让我们的计算更简单，还能让我们更好地理解矩阵的结构。

1.2 为什么要计算行列式？行列式就像一个矩阵的身份证，它告诉我们这个矩阵是否可逆，或者说，它是否“活得下去”。

如果行列式是零，那这个矩阵就“挂掉”了，反之则是“生龙活虎”。

所以，掌握行列式的计算方法，简直是数理学的基本功！2. 计算分块矩阵的行列式2.1 基础公式分块矩阵的行列式计算其实有个简单的规律。

假设我们有一个分块矩阵 ( A ) ，它的结构是这样的：A = begin{pmatrixB & CD & Eend{pmatrix其中 ( B )、( C )、( D )、( E ) 都是小矩阵。

那么，行列式的计算可以用以下公式：det(A) = det(B) cdot det(E D cdot B^{1 cdot C)。

当然，这个公式看起来有点复杂，但其实可以一步一步来，就像拆解难题，最后总会迎来光明的那一刻。

2.2 使用示例假设我们有个矩阵 ( A )：A = begin{pmatrix1 & 23 & 4end{pmatrix这个矩阵是个 2x2 的矩阵，行列式的计算方法特别简单，直接用行列式公式就行了。

但如果是分块的形式，我们就得考虑上面的公式啦。

举个例子，把这个矩阵分成块，看如何操作会更有趣！3. 细节与应用3.1 实际应用分块矩阵的行列式计算在很多地方都有应用，比如控制理论、信号处理，甚至在一些经济模型中，都是大显身手。

掌握了这些计算技巧，就像多了一个超级技能，能应对各种复杂情况。

3.2 小技巧要计算分块矩阵的行列式，记得不要心急！耐心点，分块之后，每一块都慢慢理清楚关系，这样才能最终拼凑出完整的行列式。

分块矩阵计算行列式

分块矩阵计算行列式分块矩阵在线性代数中扮演着非常重要的角色，它可以帮助我们更加高效地计算一些复杂的运算，比如行列式。

在这篇文章中，我将向我们介绍一些分块矩阵的基础知识，并且针对如何计算行列式给出一个详细的步骤。

首先，我们需要了解什么是分块矩阵。

分块矩阵就是将一个大的矩阵划分成几个小的子矩阵，这些子矩阵可以是一行或者一列的向量，也可以是一块方阵。

将这些小的子矩阵按照一定的规则排列后，就形成了一个分块矩阵。

那么，接下来我们来看看如何计算一个分块矩阵的行列式。

对于一个2×2的分块矩阵，有一个非常简单的公式可以计算它的行列式：| A B || C D |其中，A、B、C、D都是矩阵，这个式子的计算公式是：| A B || C D | = |A|·|D-BCA⁻¹|这个公式的意思是，我们可以先将A的行列式求出来，然后用D减去BCA⁻¹，再对结果求行列式，最后再将结果乘上A的行列式。

其中，A⁻¹是A矩阵的逆矩阵。

对于一个更大的分块矩阵，计算行列式的方法就会更加复杂。

我们需要将分块矩阵分解成更小的块，并且使用一系列公式和技巧来计算。

常见的分块矩阵计算方法有Schur补、LU分解、Cholesky分解等。

接下来，我们详细介绍一下如何使用Schur补来计算行列式。

Schur补的思想是将一个大的矩阵拆分成四个小的矩阵，然后用这四个小的矩阵重新组合出一个新的矩阵。

这个新的矩阵的行列式就可以用原来的矩阵的行列式计算得出。

具体来说，我们假设有一个n×n的矩阵A，它可以被写成如下的形式：| B C || D E |其中，B是一个k×k的子矩阵，D是一个(n-k)×(n-k)的子矩阵，C和E都是k×(n-k)的子矩阵。

那么，矩阵A的行列式可以使用如下的公式进行计算：| A | = | B C | · | D - CE⁻¹B | · | E C |其中，E⁻¹是E的逆矩阵，它的计算方法可以使用矩阵求逆的公式来进行求解。