2020年上海卷数学高考题

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2020年上海市高考数学卷详解版

2020年上海秋季高考数学试卷2020.7.7一、填空题1.已知集合{}{}5,4,2,4,2,1==B A ，则=B A 【答案】{}4,2 2.求极限=++∞→231lim n n n【答案】31【解析】21111limlim 13133n n n n n n→∞→++==-- 3.已知复数i z 21-=,求=z 【答案】5【解析】||z ==4.已知函数3)(x x f =，则=-)(1x f【答案】311)(x x f=-【解析】由3y x =反解得13x y=，互换得13y x=，注意x ∈R5.已知60321=d cb a，求=dc b a【答案】2【解析】将该行列式按第3行展开有26)1(313=⇒=-⨯+dc b a dc b a .6.已知y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥-+003202y y x y x ，则x y z 2-=最大值为【答案】1-【解析】由可行域易得三个顶点为()()()1,12,03,0、、，依次代入可知：1121max-=⋅-=z.7.已知一组数据b a ,,2,1，这四个数的中位数为3，平均数为4，则=ab 【答案】36【解析】不妨假设b a ≤，则⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=+94443322b a b a a，故36=ab .8.{}n a 为各项不为零的等差数列，且9101a a a =+，求=+⋅⋅⋅++10921a a a a【答案】827 【解析】设等差数列公差为d ，则d a d a d a a -=⇒+=++11118)9(，故8279369928991110921=+-+-=+⋅+=+⋅⋅⋅++d d d d d a da a a a a9.抗击疫情期间，要从6位志愿者中挑选4位去值班，每人值班一天，第一天1个人，第二天1个人，第三天2个人，问共有种排法. 【答案】180【解析】法一：180122446=⋅⋅C C C .法二：41126432180C C C C =10.已知椭圆13422=+y x ，第二象限有一点P ，点P 与右焦点F 的连线所在直线与椭圆有一交点为Q ，点Q 与点Q '关于x 轴对称，且Q F PF '⊥，则PQ 直线方程是【答案】01=-+y x【解析】设点),(),,(),,(222211y x Q y x Q y x P -'，则1:+=my x l PQ . 由于Q F PF '⊥，故10)1(0))(()1)(1(02122121-=⇒=+-⇒=--+--⇒='⋅m y y m y y x x F （P 在第二象限）故01:=-+y x l PQ .11.设R a ∈，若存在定义域为R 的函数)(x f 满足①对任意R x ∈0，)(0x f 的值为0x 或20x ，②关于x 的方程a x f =)(无实数解，求a 取值范围【答案】),1()1,0()0,(+∞-∞∈ a【解析】考虑)(a f ，由关于x 的方程a x f =)(无实数解，则a a a f ≠=2)(，故0≠a 且1≠a .注意此为必要条件.同时构造出⎩⎨⎧=≠=ax xa x x x f 2)(是满足条件的函数，故),1()1,0()0,(+∞-∞∈ a .12.已知平面向量1a ，2a ，12,,k b b b ⋅⋅⋅⋅()*∈N k 是平面内两两互不相等的向量，121aa -=，且对任意的2,1=i 及k j ,,2,1⋅⋅⋅=，{1,2}i j a b -∈，则k 最大值为【答案】6 【解析】不妨假设12(0,0),(0,1)a a ==，(,)j b x y =，由{1,2}i j a b -∈可得：221x y +=或222(1)1x y +-=或2，故k 的最大值即为两种不同颜色圆的交点个数.如图所示6个.二、选择题13.下列不等式恒成立的是（）A.ab b a 222≤+ B.ab b a 222-≥+ C.ab b a 2≤+ D.ab b a 2-≥+ 【答案】B【解析】对于B 选项，整理得2()0a b +≥，显然成立；对于A ：取1,1a b ==-错误；对于C ：取1a b ==-；对于D ：取0,1a b ==.14.直线0143=++y x 的一个参数方程可以是（）A.1314x t y t =+⎧⎨=-+⎩B.⎩⎨⎧--=-=ty t x 3141 C.1314x t y t =-⎧⎨=-+⎩ D.1413x t y t =+⎧⎨=--⎩ 【答案】D【解析】依次求解各参数方程对应的一般式方程，分别为：:4370A x y --=，:3470,:4310,:3410B x y C x y D x y --=+-=++=.15.在棱长为10的正方体1111D C B A ABCD -中，P 为左侧面11A ADD 上一点，已知点P 到11D A 的距离为3，P 到1AA 的距离为2，则过点P 且与C A 1平行的直线相交的面是（）A.平面ABCDB.平面11CC BBC.平面11CC D DD.平面11AA B B 【答案】A【解析】法一：直线1A P 与线段AD 交于点E ，由于P 在平面DC A 1下方，所以过点P 作C A 1的平行线在平面1A EC 上,与底面ABCD 相交.法二：如图所示，建立空间直角坐标系，则点1(8,0,7),(10,10,10)P CA =- ，故直线1A C 的方向向量为(1,1,1)n=- ，从而存在实数t ，使得(,,)PQ tn t t t ==-，点(8,,7)Q t t t +-+ ，令0810*******t t t ≤+≤⎧⎪≤-≤⎨⎪≤+≤⎩，得710-≤≤，分别令80t +=或10，0t -=或10，70t +=或10，只有7t =-满足，此时点(1,7,0)Q 在平面ABCD 内.16.命题p ：若存在R a ∈且0≠a ，对任意的R x ∈，有)()()(a f x f a x f +<+恒成立；已知命题1q ：)(x f 单调递减，且0)(>x f 恒成立；命题2q ：)(x f 单调递增，且存在00<x 使0)(0=x f .则下列说法正确的是（） A.1q ，2q 都是p 的充分条件 B. 只有1q 是p 的充分条件 C. 只有2q 是p 的充分条件 D. 1q ，2q 都不是p 的充分条件【答案】A【解析】若1q 成立，取21x x >，则)()(21x f x f <，取021≠-=x x a ，则0)(>a f ，故)()()()()(2221a f x f x f a x f x f +<<+=成立，所以1q 是p 的充分条件；若2q 成立，取00<x ，使0)(0=x f ，由于x x x <+0且)(x f 单调增，取0x a =，有)()()()()()()(00a f x f x f x f x f x x f a x f +=+=<+=+，即)()()(a f x f a x f +<+.所以2q 是p 的充分条件.三、解答题17.已知边长为1的正方形ABCD ，正方形ABCD 绕AB 旋转形成一个圆柱. （1）求该圆柱表面积；（2）正方形ABCD 绕AB 逆时针旋转2π到11ABC D ，求直线1C D 与平面ABCD 所成的夹角【答案】（1）π4（2）2arctan2或33arcsin【解析】（1）由题意得，此圆柱底面半径为1，高为1，记侧面积为S 侧，底面积为S 底，则：22112,212S S ππππ=-⋅==⋅⋅=底侧，该圆柱的表面积为224πππ+=（2）连接BD ，因为11,,BC BC BC AB BC AB B ⊥⊥=，所以1BC ⊥平面ABCD ，直线BD 为直线1C D 在平面ABCD 上的射影，设1C D 与平面ABCD 所成的夹角为θ，则12tan 22BC BD θ===，因此直线1C D 与平面ABCD 所成的夹角为2arctan 2 18.已知)0(sin )(>=ωωx x f（1）若)(x f 的周期为π4，求ω以及21sin =x ω的解集；（2）设1=ω，[]2()()3()(),0,24g x f x f x f x x ππ⎡⎤=+--∈⎢⎥⎣⎦，求)(x g 值域.【答案】(1)21=ω，2(1),3k x x x k k ππ⎧⎫∈=+-⋅∈⎨⎬⎩⎭Z ∣；（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,21【解析】（1）由题意可得，24||Tππω==，又0ω>，所以12ω= 所以此时由1()sin22x f x == ，可得(1),26k x k k Z ππ=+-⋅∈ 方程的解集为2(1),3k x x x k k ππ⎧⎫∈=+-⋅∈⎨⎬⎩⎭Z ∣ （2）由题意知()sin f x x =，所以2()(sin ))sin 2g x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭化简得1cos221()sin 22262x x g x x π-⎛⎫=-=-++ ⎪⎝⎭，当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()g x ∴在0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时为单调递减函数，在,64x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时为单调递增函数所以maxmin 1()(0)0,()62g x g g x g π⎛⎫====- ⎪⎝⎭，所以()g x 的值域为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦19.在研究某市交通情况时发现，道路密度是指该路段上一定时间内用过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量xqv =，x 为道路密度， q 车辆密度，(0,80]x ∈，且801100135()040,3(040)854080xx v k x x k ⎧-<<⎪=⎨⎪--+≤≤>⎩. (1) 当交通流量95v >时，求道路密度x 的取值范围；(2) 若道路密度80x =时，测得交通流量50v =，求出车辆密度q 的最大值.【答案】(1))380,0(∈x ；（2）728800. 【解析】（1）①当040x <<时，令801100135()953x ->，解得)380,0(∈x②当4080x ≤≤时，由于0,0k k >-<，故(40)8585v k x =--+≤，此时95v >时无解综上所述，)380,0(∈x . （2）因为80x =时，(8040)8550v k =-⋅-+=，求得7,8kq vx ==①当(0,40)x ∈时，所以808011100135,1350,400033xxq x x x q ⎛⎫⎛⎫=-⋅⋅>∴<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②当[40,80]x ∈时，所以2277480288001208877q x x x ⎛⎫=-+=--+⎪⎝⎭ ∴当4807x =时，q 有最大值为288007又2880040007>，4807x ∴=时，q 取得最大值为28800720. 如图，已知双曲线)0(14:2221>=-b by x C 与圆22224:b y x C +=+交于点),(A A y x A （第一象限），曲线Γ满足A x x >，且在12C C 、上，2C 与x 轴的左、右交点分别记作12F F 、. (1)若6=A x ，求b 的值；(2)若5=b ,圆与x 轴交点分别为21,F F ，点P 在双曲线第一象限部分，且81=PF ，求21PF F ∠；(3)过点)22,0(2+b S 斜率为2b-的直线l 与曲线Γ交于M 、N 两点，用b 表示OM ON ⋅并求其取值范围.【解析】（1）由222222144x y b x y b ⎧-=⎪⎨⎪+=+⎩消元得2222414x b x b +--=，将6A x =代入可得2b =；（2）由题意可知22221459x y x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，易知点P 在第一象限的双曲线上，18PF =，2144PF PF ∴=-=，又易知126F F =，由余弦定理可得：2221284611cos 28416F PF +-∠==⨯⨯， 1211arccos16F PF ∠=∴ （3）设直线方程222:2++-=b x b y l ，直线与双曲线渐近线平行，与双曲线只有一个交点，下面讨论与圆的交点情况，圆心到直线距离412222b b d ++=，半径24b R +=，计算可得R d =，直线与圆相切.分别将直线与双曲线和圆联立求出交点坐标)164164,)82(1612(224224++++++b b b b b b b M ，)2,(b N ，故44168821648216122224224224+=+++=+++++++=⋅b b b b b b b b b b ON OM . 又由于l 要与曲线Γ有两个交点，故6524252242222+>+⇒+>⇒>+⇒>b b b b N y A A .所以OM ON ⋅的取值范围是(6)++∞21. 已知有限数列{}n a 项数为m ，若其满足m a a a a a a -≤⋅⋅⋅≤-≤-13121，则称数列{}n a 满足性质P .（1）判断数列1,5,2,3和1,5,2,3,4是否具有性质P ，请说明理由；（2）已知11=a ，公比为q 的等比数列，项数为10，具有性质P ，求q 的取值范围.（3）若n a 是m ,,2,1⋅⋅⋅的一个排列)4(≥m ，)1,,2,1(1-⋅⋅⋅==+m k a b k k ，若数列{}{}n n b a ,都具有性质P ，求所有满足条件的{}n a .【解析】（1）第一个具有，第二个不具有；（2）【法一】①显然0>q 满足题意，②现研究0<q 时，此时必有2112-≤⇒-≤-q q q .而当2-≤q 时，验证3,111≥-≥--n a a a a n n ，即01121≥-----n n q q ※，而n 为偶数时，※0)1(211221>+-=+--=---q q q qn n n ；n 为奇数时，※02)1(11221>-+=+--=---q q q q n n n故(](),20,q ∈-∞-+∞.【法二】由题意可得111n n a a a a +-≤-，即()111*n n q q --≤-，对{2,3,,9}n ∈恒成立，对q 进行分类讨论： ①当1q≥时，()*式等价于11n n q q q -≥⇔≥，显然成立；②当01q <<时，()*式等价于11n n q q q -≤⇔≤，显然成立；数形结合千般好，化归转化离不了③当10q -≤<时，()*式等价于1n n q q -≤，当n 为偶数时10,0n n q q -><不成立，舍去； ④当1q <-时，若n 为奇数，11111()11n n n n n n qq q q q q ----=-<<-<-=-，()*式显然成立；若n 为偶数，()*式等价于1111(1)2n n n q q q q ---≤-⇔+≥对{2,4,6,8}n ∈恒成立，记1()(1)n f n q q -=+，易知n 为偶数时单调递增数列，故只需(2)(1)2f q q =+≥ 解得2q ≤-综上所述，实数q 的取值范围是(,2](0,)-∞-⋃+∞（3）①当11=a 时，必有m a a a a ≤⋅⋅⋅≤≤432，所以n a n =，此时{}n b 满足条件；也可将此数列的第一项和第二项交换，得到数列m ,6,5,4,3,1,2⋅⋅⋅；当m a =1时，必有m a a a a ≥⋅⋅⋅≥≥432,所以1+-=n m a n ，此时{}n b 满足条件；同理将此数列的第一项和第二项交换，得到数列1,2,3,3,2,,1⋅⋅⋅---m m m m . ③再证明其他情况下的1a 均不满足，假设),1,2,1(,1m m k k a -≠=，将),4,3,2(1m i a a i ⋅⋅⋅=-从小到大排列后为k m k k k k k -⋅⋅⋅++--⋅⋅⋅,2,1,,1,1,3,3,2,2,1,1，即32,a a 为1,1+-k k ，54,a a 为2,2+-k k . 此时{}n b 必不满足性质P .综上所述，所有满足{}n a 条件的有四种，分别是m a n ,3,2,1⋅⋅⋅=或m a n ,3,1,2⋅⋅⋅=或1,,2,1,⋅⋅⋅--=m m m a n 或1,,2,,1⋅⋅⋅--=m m m a n。

2020年上海秋季高考数学逐题解析版(校对2

2020年全国统一高考数学试卷（上海秋季卷）一、填空题：本题共15小题，1-6题4分，7-12题5分，共54分。

1．已知集合，，求．={124}A ，，={234}B ，，=A B 【答案】：{24}，【解析】：与取交集，共有元素为和.A B 242．计算：．1lim31n n n →∞+=-【答案】：13【解析】： .11111lim lim lim 1131333()33n n n n n n n n n →∞→∞→∞+++===---3．已知复数（为虚数单位），则．12i z=-i z =【解析】：z ==4．已知行列式，则行列式．126300a cd b =a cd b=【答案】：2【解析】：因为 .126300a cd b =所以.11300622a c c ad b b d⋅-⋅+=故.2a cd b=5．已知，则．()3f x x =()1fx -=【答案】：13x()x ∈R 【解析】：考察反函数知识点，由可得，注意.3x y =13y x =x ∈R 6．已知、、1、2的中位数为，平均数为，则．a b 34ab =【答案】：36【解析】：由平均数为，可得，由中位数为，可知和中有一个是413a b +=3a b 4，另一个是.97．已知，则的最大值为．20230x y y x y +⎧⎪⎨⎪+-⎩≥≥≤2z y x =-【答案】：1-【解析】：画出可行域，带入点.()11，8．为不等于零的等差数列，且，求.{}n a 1109a a a +=12910+a a a a ++= 【答案】：278【解析】：在等差数列中由，得，所以：1109a a a +=1a d =-.1291101+93627+98a a a a d a a d +++==9．从个人中选个人值班，第一天641个人，第二天1个人，第三天2个人，共有多少种排法 .【答案】：180【解析】：.112654C C C 180=10．已知椭圆：，第二象限有一点，点与右焦点22143y x +=P P F所在直线与椭圆交于一点，，且点与点关于轴对称，求Q 1PF FQ ⊥Q 1Q x PQ 的直线方程 .【答案】：1y x=-【解析】：，且点与点关于轴对称，知斜率为，所以1PF FQ ⊥Q 1Q x PF 1-PF方程为.1y x =-11．设，若存在定义域的函数既满足“对于任意，的值为或a ∈R R ()f x 0x ∈R 0()f x 20x 0x ”又满足“关于的方程无实数解”，则的取值范围为 x ()f x a =a 【答案】：且0a ≠1a ≠【解析】：题目转换为是否存在实数，使得存在函数满足“对于任意，a ()f x 0x ∈R 0()f x 的值为或”又满足“关于的方程无实数解”构造函数：20x 0x x ()f x a =，则方程，只有0,1两个实数解.2,(),x x af x x x a ≠⎧=⎨=⎩()f x a =12．设，已知平面向量两两不相同，，且对于任意的k ∈*N 1212,,,, k a a b b b 12||1a a -=，及,,求的最大值 1,2i =1,2,,j k = }{1,2i j a b -∈k 【答案】：6【解析】：设，这，因为，所以对于任意的1122,OA a OA a == 12||1A A =}{1,2i j a b -∈有，做，则我们有1,2,,j k = }{11,2j a b -∈ }{21,2j a b -∈ j j OB b = 1j A B 等于1或者2，且等于1或者2，所以点在以，2j A B ,(1,2,,)j B j k = i A ()1,2i =为圆心半径为1或者2的圆上，如图所示，总共有6个点满足条件.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年上海市春季高考数学试卷真题+参考答案+详细解析

2020年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7-12题每题5分) 1．（4分）集合{1,3}A =，{1,2,}B a =，若A B ⊆，则a = ． 2．（4分）不等式13x>的解集为． 3．（4分）函数tan 2y x =的最小正周期为．4．（4分）已知复数z 满足26z z i +=+，则z 的实部为． 5．（4分）已知3sin22sin x x =，(0,)x π∈，则x = ． 6．（4分）若函数133x x y a =+为偶函数，则a = ． 7．（5分）已知直线1:1l x ay +=，2:1l ax y +=，若12//l l ，则1l 与2l 的距离为．8．（5分）已知二项式5(2x +，则展开式中3x 的系数为．9．（5分）三角形ABC 中，D 是BC 中点，2AB =，3BC =，4AC =，则AD AB = ． 10．（5分）已知{3,2,1,0,1,2,3}A =---，a 、b A ∈，则||||a b <的情况有种．11．（5分）已知1A 、2A 、3A 、4A 、5A 五个点，满足1120n n n n A A A A +++⋅=，（1n =，2，3)，112||||1n n n n A A A A n +++⋅=+（1n =，2，3)，则15||A A 的最小值为．12．（5分）已知()f x =其反函数为1()f x -，若1()()f x a f x a --=+有实数根，则a 的取值范围为．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13．（5分）计算：1135lim (35n n n n n --→∞+=+ )A ．3B ．53C ．35D ．514．（5分）“αβ=”是“22sin cos 1αβ+=”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件15．（5分）已知椭圆2212x y +=，作垂直于x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，作垂直于y 轴的垂线交椭圆于C 、D 两点，且AB CD =，两垂线相交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．圆D ．抛物线16．（5分）数列{}n a 各项均为实数，对任意*n N ∈满足3n n a a +=，且行列式123n n n n a a c a a +++=为定值，则下列选项中不可能的是( )A ．11a =，1c =B ．12a =，2c =C ．11a =-，4c =D ．12a =，0c =三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分)17．（14分）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为正方形，边长为3，PD ⊥平面ABCD ．（1）若5PC =，求四棱锥P ABCD -的体积；（2）若直线AD 与BP 的夹角为60︒，求PD 的长．18．（14分）已知各项均为正数的数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a =．（1）若数列{}n a 为等差数列，1070S =，求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 为等比数列，418a =，求满足100n n S a >时n 的最小值．19．（14分）有一条长为120米的步行道OA ，A 是垃圾投放点1ω，若以O 为原点，OA 为x 轴正半轴建立直角坐标系，设点(,0)B x ，现要建设另一座垃圾投放点2(,0)t ω，函数()t f x 表示与B 点距离最近的垃圾投放点的距离．（1）若60t =，求60(10)f 、60(80)f 、60(95)f 的值，并写出60()f x 的函数解析式；（2）若可以通过()t f x 与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利．问：垃圾投放点2ω建在何处才能比建在中点时更加便利？20．（16分）已知抛物线2y x =上的动点00(),M x y ，过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x t =于A 、B 两点．（1）若点M ，求M 与焦点的距离；（2）若1t =-，(1,1)P ，(1,1)Q -，求证：A B y y ⋅为常数；（3）是否存在t ，使得1A B y y ⋅=且P Q y y ⋅为常数？若存在，求出t 的所有可能值，若不存在，请说明理由．21．（18分）已知非空集合A R ⊆，函数()y f x =的定义域为D ，若对任意t A ∈且x D ∈，不等式()()f x f x t +恒成立，则称函数()f x 具有A 性质．（1）当{1}A =-，判断()f x x =-、()2g x x =是否具有A 性质；（2）当(0,1)A =，1()f x x x=+，[,)x a ∈+∞，若()f x 具有A 性质，求a 的取值范围；（3）当{2A =-，}m ，m Z ∈，若D 为整数集且具有A 性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的m 的值．2020年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7-12题每题5分) 1．（4分）集合{1,3}A =，{1,2,}B a =，若A B ⊆，则a = 3 ．【解析】3A ∈，且A B ⊆，3B ∴∈，3a ∴=，故答案为：3．【评注】本题主要考查了集合的包含关系，是基础题． 2．（4分）不等式13x >的解集为 1(0,)3．【解析】由13x >得130x x ->，则(13)0x x ->，即(31)0x x -<，解得103x <<，所以不等式的解集是1(0,)3，故答案为：1(0,)3．【评注】本题考查分式不等式、一元二次不等式的解法，以及转化思想，属于基础题． 3．（4分）函数tan 2y x =的最小正周期为 2π．【解析】函数tan 2y x =的最小正周期为2π，故答案为：2π．【评注】本题主要考查正切函数的周期性和求法，属于基础题． 4．（4分）已知复数z 满足26z z i +=+，则z 的实部为 2 ．【解析】设z a bi =+，(,)a b R ∈．复数z 满足26z z i +=+，36a bi i ∴-=+，可得：36a =，1b -=，解得2a =，1b =-．则z 的实部为2．故答案为：2．【评注】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5．（4分）已知3sin22sin x x =，(0,)x π∈，则x = 1arccos 3．【解析】3sin22sin x x =，6sin cos 2sin x x x =，(0,)x π∈，sin 0x ∴≠，1cos 3x ∴=，故1arccos 3x =．故答案为：1arccos 3．【评注】本题主要考查函数值的计算，利用三角函数的倍角公式是解决本题的关键． 6．（4分）若函数133x x y a =+为偶函数，则a = 1 ．【解析】根据题意，函数133x x y a =+为偶函数，则()()f x f x -=，即()()113333x xx xa a --+=+，变形可得：(33)(33)x x x x a ---=-，必有1a =；故答案为：1．【评注】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．7．（5分）已知直线1:1l x ay +=，2:1l ax y +=，若12//l l ，则1l 与2l【解析】直线1:1l x ay +=，2:1l ax y +=，当12//l l 时，210a -=，解得1a =±；当1a =时1l 与2l 重合，不满足题意；当1a =-时12//l l ，此时1:10l x y --=，2:10l x y -+=；则1l 与2l 的距离为d =．【评注】本题考查了平行线的定义和平行线间的距离计算问题，是基础题．8．（5分）已知二项式5(2x +，则展开式中3x 的系数为 10 ．【解析】41435(2)10C x x =，所以展开式中3x 的系数为10．故答案为：10．【评注】本题考查利用二项式定理求特定项的系数，属于基础题．9．（5分）三角形ABC 中，D 是BC 中点，2AB =，3BC =，4AC =，则AD AB = 194．【解析】在ABC ∆中，2AB =，3BC =，4AC =，∴由余弦定理得，222416911cos 222416AB AC BC BAC AB AC +-+-∠===⨯⨯，∴111124162AB AC =⨯⨯=，且D 是BC 的中点，∴21111119()()(4)22224AD AB AB AC AB AB AB AC =+=+=⨯+=．故答案为：194．【评注】本题考查了余弦定理，向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．10．（5分）已知{3,2,1,0,1,2,3}A =---，a 、b A ∈，则||||a b <的情况有 18 种．【解析】当3a =-，0种，当2a =-，2种，当1a =-，4种；当0a =，6种，当1a =，4种；当2a =，2种，当3a =，0种，故共有：2464218++++=．故答案为：18．【评注】本题主要考查分类讨论思想在概率中的应用，属于基础题目．11．（5分）已知1A 、2A 、3A 、4A 、5A 五个点，满足1120n n n n A A A A +++⋅=，（1n =，2，3)，112||||1n n n n A A A A n +++⋅=+（1n =，2，3)，则15||A A 的最小值为．【解析】设12||A A x =，则232||A A x =，344538||,||23x A A A A x==，设1(0,0)A ，如图，求15||A A 的最小值，则：2(,0)A x ，3422(,),(,)2x A x A x x -，52(,)23x A x--，∴2222152242||()()23493x x A A x x=-+-=+，当且仅当22449x x=，即x =15||A A ∴．【评注】本题考查了向量垂直的充要条件，利用向量坐标解决向量问题的方法，基本不等式求最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．12．（5分）已知()f x =1()f x -，若1()()f x a f x a --=+有实数根，则a 的取值范围为 3[,)4+∞ ．【解析】因为1()y f x a -=-与()y f x a =+互为反函数，若1()y f x a -=-与()y f x a =+有实数根，则()y f x a =+与y x =有交点，x ，即221331()244a x x x =-+=-+，故答案为：3[,)4+∞．【评注】本题主要考查函数的性质，函数与方程的关系，属于中档题．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13．（5分）计算：1135lim (35n nn n n --→∞+=+ )A ．3B ．53C ．35D ．5【解析】111133()5355limlim 5335()15n n nn n n n n ---→∞→∞-++==++．故选：D ．【评注】本题考查数列极限的求法，是基础的计算题． 14．（5分）“αβ=”是“22sin cos 1αβ+=”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【解析】（1）若αβ=，则2222sin cos sin cos 1αβαα+=+=，∴“αβ=“是“22sin cos 1αβ+=“的充分条件；（2）若22sin cos 1αβ+=，则22sin sin αβ=，得不出αβ=，∴“αβ=”不是“22sin cos 1αβ+=”的必要条件，∴“αβ=”是“22sin cos 1αβ+=”的充分非必要条件．故选：A ．【评注】本题考查了充分条件、必要条件和充分不必要条件的定义，22sin cos 1αα+=，正弦函数的图象，考查了推理能力，属于基础题．15．（5分）已知椭圆2212x y +=，作垂直于x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，作垂直于y 轴的垂线交椭圆于C 、D 两点，且AB CD =，两垂线相交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．圆D ．抛物线【解析】2AB ，2CD ∴，判断轨迹为上下两支，即选双曲线，设(,)A m t ，(,)D t n ，所以(,)P m n ，因为2212m t +=，2212t n +=，消去t 可得：22212m n -=，故选：B ．【评注】本题考查轨迹方程的求法与判断，是基本知识的考查，基础题． 16．（5分）数列{}n a 各项均为实数，对任意*n N ∈满足3n n a a +=，且行列式123nn n n a a c a a +++=为定值，则下列选项中不可能的是( ) A ．11a =，1c =B ．12a =，2c =C ．11a =-，4c =D ．12a =，0c =【解析】行列式131223nn n n n n n n aa a a a a c a a ++++++=-=，对任意*n N ∈满足3n n a a +=，∴2122123n n n n n n a a a ca a a c +++++⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，作差整理得：1n n a a +=（常数列，0c =），或120n n n a a a ++++=，当120n n n a a a ++++=，则12n n n a a a +++=-及212n n na a a c ++=-， ∴方程220n nx a x a c ++-=有两根1n a +，2n a +，∴△2224()430n n n a a c c a =--=->，因为B 错，故选：B ．【评注】本题考查行列式，以及方程求解，属于中档题．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分)17．（14分）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为正方形，边长为3，PD ⊥平面ABCD ．（1）若5PC =，求四棱锥P ABCD -的体积；（2）若直线AD 与BP 的夹角为60︒，求PD 的长．【解析】（1）PD ⊥平面ABCD ，PD DC ∴⊥．3CD =，5PC ∴=，4PD ∴=，2134123P ABCD V -∴=⨯⨯=，所以四棱锥P ABCD -的体积为12．（2）ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，BC PD ∴⊥，BC CD ⊥，又PD CD D =，BC ∴⊥平面PCD ， BC PC ∴⊥，异面直线AD 与PB 所成角为60︒，//BC AD ，∴在Rt PBC ∆中，60PBC ∠=︒，3BC =，故PC =Rt PDC ∆中，3CD =，PD ∴=【评注】本题考查几何体的体积，空间点线面的距离的求法，考查转化思想以及空间想象能力计算能力，是中档题．18．（14分）已知各项均为正数的数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a =．（1）若数列{}n a 为等差数列，1070S =，求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 为等比数列，418a =，求满足100n n S a >时n 的最小值．【解析】（1）数列{}n a 为公差为d 的等差数列，1070S =，11a =，可得110109702d +⨯⨯=，解得43d =，则4411(1)333n a n n =+-=-；（2）数列{}n a 为公比为q 的等比数列，418a =，11a =，可得318q =，即12q =，则11()2n n a -=，111()122()1212nn n S --==--，100n nS a >，即为11112()100()22n n --->，即2101n >，可得7n ，即n 的最小值为7．【评注】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．19．（14分）有一条长为120米的步行道OA ，A 是垃圾投放点1ω，若以O 为原点，OA 为x 轴正半轴建立直角坐标系，设点(,0)B x ，现要建设另一座垃圾投放点2(,0)t ω，函数()t f x 表示与B 点距离最近的垃圾投放点的距离．（1）若60t =，求60(10)f 、60(80)f 、60(95)f 的值，并写出60()f x 的函数解析式；（2）若可以通过()t f x 与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利．问：垃圾投放点2ω建在何处才能比建在中点时更加便利？【解析】（1）投放点1(120,0)ω，2(60,0)ω，60(10)f 表示与(10,0)B 距离最近的投放点（即2ω）的距离，所以60(10)|6010|50f =-=，同理分析，60(80)|6080|20f =-=，60(95)|12095|25f =-=，由题意得，60(){|60|,|120|}min f x x x =--，则当|60||120|x x --，即90x 时，60()|60|f x x =-；当|60||120|x x ->-，即90x >时，60()|120|f x x =-；综上60|60|,90()|120|,90x x f x x x -⎧=⎨->⎩；（2）由题意得(){||,|120|}t min f x t x x =--，所以||,0.5(120)()|120|,0.5(120)t t x x t f x x x t -+⎧=⎨->+⎩，则()t f x 与坐标轴围成的面积如阴影部分所示，所以222113(120)603600244S t t t t =+-=-+，由题意，(60)S S <，即2360360027004t t -+<，解得2060t <<，即垃圾投放点2ω建在(20,0)与(60,0)之间时，比建在中点时更加便利．【评注】本题是新定义问题，考查对题目意思的理解，分类讨论是关键，属于中档题．20．（16分）已知抛物线2y x =上的动点00(),M x y ，过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x t =于A 、B 两点．（1）若点M，求M 与焦点的距离；（2）若1t =-，(1,1)P ，(1,1)Q -，求证：A B y y ⋅为常数；（3）是否存在t ，使得1A B y y ⋅=且P Q y y ⋅为常数？若存在，求出t 的所有可能值，若不存在，请说明理由．【解析】（1）解：抛物线2y x =上的动点00(),M x y ，过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x t =于A 、B 两点．点M，∴点M的横坐标22M x ==，2y x =，12p ∴=， M ∴与焦点的距离为192244M p MF x =+=+=．（2）证明：设200(,)M y y ，直线0201:1(1)1y PM y x y --=--，当1x =-时，0011A y y y -=+，直线0201:1(1)1y QM y x y ++=--，1x =-时，0011By y y --=-，1A B y y ∴=-，A B y y ∴⋅为常数1-．（3）解：设200(,)M y y ，(,)A A t y ，直线200020:()A y y MA y y x y y t--=--，联立2y x =，得22220000000A A y t y t y y y y y y y y ---+-=--，2000p A y t y y y y -∴+=-，即00A P Ay y t y y y -=-，同理得00B Q By y t y y y -=-，1A B y y ⋅=，2200200()()1A B P Q A B y ty y y t y y y y y y -++∴=-++，要使P Q y y 为常数，即1t =，此时P Q y y 为常数1，∴存在1t =，使得1A B y y ⋅=且P Q y y ⋅为常数1．【评注】本题考查点到焦点的距离的求法，考查两点纵坐标乘积为常数的证明，考查满足两点纵坐标乘积为常数的实数值是否存在的判断与求法，考查抛物线、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．（18分）已知非空集合A R ⊆，函数()y f x =的定义域为D ，若对任意t A ∈且x D ∈，不等式()()f x f x t +恒成立，则称函数()f x 具有A 性质．（1）当{1}A =-，判断()f x x =-、()2g x x =是否具有A 性质；（2）当(0,1)A =，1()f x x x=+，[,)x a ∈+∞，若()f x 具有A 性质，求a 的取值范围；（3）当{2,}A m =-，m Z ∈，若D 为整数集且具有A 性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的m 的值．【解析】（1）()f x x =-为减函数，()(1)f x f x ∴<-，()f x x ∴=-具有A 性质；()2g x x =为增函数，()(1)g x g x ∴>-，()2g x x ∴=不具有A 性质；（2）依题意，对任意(0,1)t ∈，()()f x f x t +恒成立，∴1()()f x x x a x=+为增函数（不可能为常值函数），由双勾函数的图象及性质可得1a ，当1a 时，函数单调递增，满足对任意(0,1)t ∈，()()f x f x t +恒成立，综上，实数a 的取值范围为[1,)+∞．（3）D 为整数集，具有A 性质的函数均为常值函数，当0m 时，取单调递减函数()f x x =-，两个不等式恒成立，但()f x 不为常值函数；当m 为正偶数时，取()0,1,n f x n ⎧=⎨⎩为偶数为奇数，两个不等式恒成立，但()f x 不为常值函数；当m 为正奇数时，根据对任意t A ∈且x D ∈，不等式()()f x f x t +恒成立，可得()()()(1)(1)()f x m f x f x m f x f x f x m -++--，则()(1)f x f x =+，所以()f x 为常值函数，综上，m 为正奇数．【评注】本题以新定义为载体，考查抽象函数的性质及其运用，考查逻辑推理能力及灵活运用知识的能力，属于中档题．。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理(上海卷,解析版)

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理（上海卷，解析版）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码 .2．本试卷共有23道试题，满分150分 .考试时间20分钟 .一．真空题（本大题满分56分）本大题有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分 .1．若复数 z 满足z (1+i) =1-i (I 是虚数单位)，则其共轭复数z =__________________ . 1．【答案】i【解析】设z ＝a ＋bi ，则（a ＋bi ）(1+i) =1-i ，即a －b ＋（a ＋b ）i ＝1－i ，由⎩⎨⎧-=+=-11b a b a ，解得a ＝0，b ＝－1，所以z ＝－i ，z ＝i2．已知集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥，且A B R ⋃=，则实数a 的取值范围是______________________ . 2．【答案】a ≤1【解析】因为A ∪B=R ，画数轴可知，实数a 必须在点1上或在1的左边，所以，有a ≤1。

3．若行列式417 5 xx 3 8 9中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是________________________ . 3．【答案】83x >【解析】依题意，得： (-1)2×(9x-24)＞0，解得：83x >4．某算法的程序框如右图所示，则输出量y 与输入量x满足的关系式是____________________________ .4．【答案】2,12,1x x y x x ⎧<=⎨->⎩【解析】当x ＞1时，有y ＝x －2，当x ＜1时有y ＝x 2，所以，有分段函数。

5．如图，若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面连长为2，高为4，则异面直线1BD 与AD 所成角的大小是______________（结果用反三角函数表示）. 5．【答案】arctan 5【解析】因为AD ∥A 1D 1，异面直线BD 1与AD 所成角就是BD 1与A 1D 1所在角，即∠A 1D 1B ，由勾股定理，得A 1B ＝25，tan ∠A 1D 1B ＝5，所以，∠A 1D 1B ＝arctan 5。

2020上海高考数学试卷及答案确定docx

2020年普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷一、填空题（本大题满分54分。

本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分）1.已知集合{}1,2,4A =，{}2,3,4B =，求A B = _______【答案】：{}2,42.1lim31n n n →∞+=-________【答案】：133.已知复数z 满足12z i =-（i 为虚数单位），则z =_______【答案】4.已知行列式126300a cd b =，则行列式a cd b=_______【答案】：25.已知()3f x x =，则()1f x -=_______【答案】：()13xx R ∈6.已知a、b、1、2的中位数为3，平均数为4，则ab=【答案】：367.已知20230x y y x y +≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则2z y x =-的最大值为【答案】：-18.已知{}n a 是公差不为零的等差数列，且1109a a a +=，则12910a a a a ++⋅⋅⋅=【答案】：2789.从6人中挑选4人去值班，每人值班1天，第一天需要1人，第二天需要1人，第三天需要2人，则有种排法。

【答案】：18010.椭圆22143x y +=，过右焦点F 作直线l 交椭圆于P、Q 两点，P 在第二象限已知()(),,'','Q Q Q Q Q x y Q x y 都在椭圆上，且y'0Q Q y +=，'FQ PQ ⊥，则直线l 的方程为【答案】：10x y +-=11、设a R ∈，若存在定义域R 的函数()f x 既满足“对于任意0x R ∈，()0f x 的值为20x 或0x ”又满足“关于x 的方程()f x a =无实数解”，则α的取值范围为【答案】：()()(),00,11,-∞⋃⋃+∞12、已知是平面内两两互不平等的向量，满足，且(其中1,21,2,...i j k ==，，)，则K 的最大值为【答案】：6二、选择题（本大题满分20分）13、下列不等式恒成立的是（）A .222a b ab +≤B .222a b ab +≥-C.a b +≥D.a b +≥-【答案】：B14、已知直线方程3410x y ++=的一个参数方程可以是（）A .1314x ty t=+⎧⎨=--⎩B .1413x t y t=-⎧⎨=--⎩C .1314x t y t=-⎧⎨=-+⎩D .1413x t y t=+⎧⎨=--⎩【答案】：D15、在棱长为10的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为左侧面11ADD A 上一点，已知P 到11A D 的距离为3，P 到1AA 的距离为2，若过点P 且与1A C 平行的直线交正方体于P 、Q 两点，则点Q 所在的平面为相交的面是（）A .ABCDB .11BBC C C .11CCD D D .11AA B B【答案】：DDA 1BB 1CC 1D 1AP16、给出命题:p 若存在a R ∈且0a ≠，对任意的x R ∈，均有()()f x a f x a +<+恒成立；已知命题1:()q f x 单调递减，且()0f x >恒成立；命题2:()q f x 单调递增，且存在00x <，使得0()0f x =；则以下说法正确的是（）A .1q 、2q 都是p 的充分条件B .只有1q 是p 的充分条件C .只有2q 是p 的充分条件D .1q 、2q 都不是p 的充分条件【答案】：C三、解答题（本大题满分76分）17、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.将边长为1的正方形ABCD 绕BC 旋转形成一个圆柱.①求圆柱的表面积；②正方形ABCD 绕BC 逆时针旋转2π到11A BCD ，求1AD 与平面ABCD 所成的角.D 1ABDCA 1【答案】：（1）4π；（2）3arcsin318、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数()f x sin x ω=(0)ω>.①若()f x 的周期4T π=，求ω的值，并求出此时方程1()2f x =的解集；②若1ω=，函数2()()()()2g x f x x f x π=+-⋅-，04x π⎡⎤∈⎢⎣⎦，，求函数()g x 的值域.【答案】：（1）1=2ω，5x x|x=4x 4,33k k k Z ππππ⎧⎫∈+=+∈⎨⎬⎩⎭或;（2）1-,02⎡⎤⎢⎥⎣⎦19、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数与时间的比值，车辆密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数与该路段长度的比值，现定义交通流量为qv x=，x 为道路密度，q 为车辆密度，交通流量801100135040()3(40)854080x x v f x k x x ⎧⎛⎫⎪-⋅<< ⎪==⎨⎝⎭⎪--+≤≤⎩，0k >.①若交通流量95v >，求道路密度x 的取值范围；②已知道路密度80x =，测得交通流量50v =，求车辆密度q 的最大值.【答案】：（1）80x (0,)3∈；（2）480x 7=时，max 28800q =720、（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知双曲线2212:14x y C b -=与圆2222:4(0)C x y b b +=+>交于点位于第一象限的(A A x ，)A y ，曲线Γ满足||A x x >，且在1C 、2C 上，2C 与x 轴的左、右交点分别记作1F 、2F .①若A x =b 的值；②若b =，点P 在曲线Γ上，且在第一象限，1||8PF =，求12F PF ∠的大小；③设点20,22b D ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，过该点且斜率为2b-的直线l 和Γ有且仅有两个交点，记作M 、N ，用b 表示OM ON ⋅ ，并求出OM ON ⋅的取值范围.【答案】：（1）2；（2）1116；（3）(6)++∞；21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知有限数列{}n a ，若满足21311||||||m a a a a a a -≤-≤⋅⋅⋅≤-，m 为项数，则称{}n a 满足性质P .①判断数列3，2，5，1和4，3，2，5，1是否具有性质P ，请说明理由；②若11a =，公比为q 的等比数列{}n a ，项数为10，具有性质P ，求q 的取值范围；③若{}n a 是1，2，⋅⋅⋅(4)m m ≥的一个排列，数列{}n b 满足1k k b a +=，1k =，2，⋅⋅⋅，1m -，若{}n a 与{}n b 都具有性质P ，求所有满足条件的{}n a .【答案】：（1）对于第一个数列有|23|1,|53|2,|13|2-=-=-=，满足题意，该数列满足性质p对于第二个数列有|34|1,|24|2,|54|1-=-=-=不满足题意，该数列不满足性质p .（2）由题意可得，{}111,2,3, (9)n q qn ---∈≥两边平方得：2-2-1212+1n n n n q q q q -+-≥整理得：()11(1)120n n q q q q --⎡⎤-+-⎣⎦≥当1q ≥时，得1(1)20n q q -+-≥，此时关于n 恒成立，所以等价于2n =时(1)20q q +-≥，所以(2)(1)0q q +-≥，所以q ≤-2或者q≥l，所以取q ≥1.当01q ＜≤时，得1(1)2n q q -+-≤0,此时关于n 恒成立，所以等价于2n =时(1)20q q +-≤，所以(2)(1)0q q +-≤，所以21q -≤≤,所以取01q ＜≤。

2020年上海市高考数学试卷(含答案)

2020年上海市高考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共4小题，共20.0分） 1. 下列等式恒成立的是( )A. a 2+b 2≤2abB. a 2+b 2≥−2abC. a +b ≥2√|ab|D. a 2+b 2≤−2ab2. 已知直线方程3x +4y +1=0的一个参数方程可以是( )A. { x =1+3ty =−1−4tB. {x =1−4ty =−1+3t C. {x =1−3ty =−1+4t D. {x =1+4ty =1−3t3. 在棱长为10的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为左侧面ADD 1A 1上一点，已知点P 到A 1D 1的距离为3，P 到AA 1的距离为2，则过点P 且与A 1C 平行的直线交正方体于P,Q 两点，则Q 点所在的平面是( )A. AA 1B 1BB. BB 1C 1CC. CC 1D 1DD. ABCD 4. 命题p ：存在a ∈R 且a ≠0，对于任意的x ∈R ，使得f(x +a)<f(x)+f(a)；命题q 1:f(x)单调递减且f(x)>0恒成立；命题q 2:f(x)单调递增，存在x 0<0使得f(x 0)=0，则下列说法正确的是( )A. 只有q 1是p 的充分条件B. 只有q 2是p 的充分条件C. q 1，q 2都是p 的充分条件D. q 1，q 2都不是p 的充分条件二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5. 已知集合A ={1,2，4}，集合B ={2,4，5}，则A ∩B = ．6. 计算：lim n→∞ n+13n−1= 7. 已知复数z =1−2i(i 为虚数单位)，则|z|= ．8. 已知函数f(x)=x 3，f′(x)是f(x)的反函数，则f′(x)= 。

9. 已知x 、y 满足{x +y −2≥0x +2y −3≤0y ≥0，则z =y −2x 的最大值为10. 已知行列式|1ab2cd 30|=6，则|abcd|= 11. 已知有四个数1，2，a ，b ，这四个数的中位数是3，平均数是4，则ab = ． 12. 已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，且a 1+a 10=a 9，则a 1+a 2+⋯+a 9a 10= ．13. 从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有种安排情况．第3题14.已知椭圆C:x24+y23=1的右焦点为F，直线l经过椭圆右焦点F，交椭圆C于P、Q两点(点P在第二象限)，若点Q关于x轴对称点为Q′，且满足PQ⊥FQ′，求直线l的方程是．15.设a∈R，若存在定义域为R的函数f(x)同时满足下列两个条件：(1)对任意的x0∈R，f(x0)的值为x0或x02；(2)关于x的方程f(x)=a无实数解，则a的取值范围是．16.已知a1⃗⃗⃗⃗ ，a2⃗⃗⃗⃗ ，b1⃗⃗⃗ ，b2⃗⃗⃗⃗ ，…，b k⃗⃗⃗⃗ (k∈N∗)是平面内两两互不相等的向量，满足|a1⃗⃗⃗⃗ −a2⃗⃗⃗⃗ |=1，且|a i⃗⃗⃗ −b j⃗⃗⃗ |∈{1,2}(其中i=1，2，j=1，2，…，k)，则k的最大值是．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.已知ABCD是边长为1的正方形，正方形ABCD绕AB旋转形成一个圆柱．(1)求该圆柱的表面积；(2)正方形ABCD绕AB逆时针旋转π2至ABC1D1，求线段CD1与平面ABCD所成的角．18. 已知函数f(x)=sinωx ，ω>0．(1)f(x)的周期是4π，求ω，并求f(x)=12的解集；(2)已知ω=1，g(x)=f 2(x)+√3f(−x)f(π2−x)，x ∈[0,π4]，求g(x)的值域．19. 在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为v =qx ，x 为道路密度，q 为车辆密度．v =f(x)={100−135⋅(13)x ,0<x <40−k(x −40)+85,40≤x ≤80．(1)若交通流量v >95，求道路密度x 的取值范围；(2)已知道路密度x =80，交通流量v =50，求车辆密度q 的最大值．20.已知双曲线Γ1:x24−y2b2=1与圆Γ2:x2+y2=4+b2(b>0)交于点A(x A,y A)(第一象限)，曲线Γ为Γ1、Γ2上取满足x>|x A|的部分．(1)若x A=√6，求b的值；(2)当b=√5，Γ2与x轴交点记作点F1、F2，P是曲线Γ上一点，且在第一象限，且|PF1|=8，求∠F1PF2；(3)过点D(0,b22+2)斜率为−b2的直线l与曲线Γ只有两个交点，记为M、N，用b表示OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，并求OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．21.已知数列{a n}为有限数列，满足|a1−a2|≤|a1−a3|≤⋯≤|a1−a m|，则称{a n}满足性质P．(1)判断数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质P，请说明理由；(2)若a1=1，公比为q的等比数列，项数为10，具有性质P，求q的取值范围；(3)若{a n}是1，2，3，…，m的一个排列(m≥4)，{b n}符合b k=a k+1(k=1,2，…，m−1)，{a n}、{b n}都具有性质P，求所有满足条件的数列{a n}．答案和解析1.【答案】B解：A.显然当a <0，b >0时，不等式a 2+b 2≤2ab 不成立，故A 错误；B ．∵(a +b)2≥0，∴a 2+b 2+2ab ≥0，∴a 2+b 2≥−2ab ，故B 正确，D 错误； C.显然当a <0，b <0时，不等式a +b ≥2√|ab|不成立，故C 错误；故选：B ．2.【答案】B解：{ x =1+3ty =−1−4t 的普通方程为：x−1y+1=−34，即4x +3y −1=0，不正确； {x =1−4t y =−1+3t的普通方程为：x−1y+1=−43，即3x +4y +1=0，正确； {x =1−3t y =−1+4t的普通方程为：x−1y+1=−34，即4x +3y −1=0，不正确； {x =1+4t y =1−3t的普通方程为：x−1y−1=−43，即3x +4y −7=0，不正确；故选：B ． 3.【答案】D解：如图，由点P 到A 1D 1的距离为3，P 到AA 1的距离为2，可得P 在△AA 1D 内，过P 作EF//A 1D ，且EF ∩AA 1于E ，EF ∩AD 于F ，在平面ABCD 中，过F 作FG//CD ，交BC 于G ，则平面EFG//平面A 1DC ．连接AC ，交FG 于M ，连接EM ，∵平面EFG//平面A 1DC ，平面A 1AC ∩平面A 1DC =A 1C ，平面A 1AC ∩平面EFM =EM ，∴EM//A 1C ．在ΔEFM 中，过P 作PN//EM ，且PN ∩FM 于N ，则PN//A 1C ． ∵线段FM 在四边形ABCD 内，N 在线段FM 上，∴N 在四边形ABCD 内．∴点N 即为过点P 且与A 1C 平行的直线与正方体的交点，即与点Q 重合∴点Q 在平面ABCD 内故选：D ．4.【答案】C解：对于命题q 1：当f(x)单调递减且f(x)>0恒成立时，当a >0时，此时x +a >x ，又因为f(x)单调递减，所以f(x +a)<f(x)又因为f(x)>0恒成立时，所以f(x)<f(x)+f(a)，所以f(x +a)<f(x)+f(a)，所以命题q 1⇒命题p ，对于命题q 2：当f(x)单调递增，存在x 0<0使得f(x 0)=0，当a =x 0<0时，此时x +a <x ，f(a)=f(x 0)=0，又因为f(x)单调递增，所以f(x +a)<f(x)，所以f(x +a)<f(x)+f(a)，所以命题p 2⇒命题p ，所以q 1，q 2都是p 的充分条件，故选：C ．5.【答案】{2,4}解：因为A ={1,2，4}，B ={2,4，5}，则A ∩B ={2,4}．故答案为：{2,4}．6.【答案】13解：，故答案为：13．7.【答案】√5解：由z =1−2i ，得|z|=√12+(−2)2=√5．故答案为：√5．8.【答案】√x 3【解答】解：由y =f(x)=x 3，得x =√y 3，把x 与y 互换，可得f(x)=x 3的反函数为f −1(x)=√x 3．故答案为：√x 3．9.【答案】−1解：由约束条件{x +y −2≥0x +2y −3≤0y ≥0作出可行域如图阴影部分，化目标函数z =y −2x 为y =2x +z ，由图可知，当直线y =2x +z 过A 时，直线在y 轴上的截距最大，联立{x +y −2=0x +2y −3=0，解得{x =1y =1，即A(1,1)．z 有最大值为1−2×1=−1．故答案为：−1． 10.【答案】2解：行列式|1a b2cd 30|=6，可得3|ab cd |=6，解得|a bcd|=2．故答案为：2． 11.【答案】36解：因为四个数的平均数为4，所以a +b =4×4−1−2=13，因为中位数是3，所以2+a 2=3，解得a =4，代入上式得b =13−4=9，所以ab =36，故答案为：36．12.【答案】278解：根据题意，等差数列{a n }满足a 1+a 10=a 9，即a 1+a 1+9d =a 1+8d ，变形可得a 1=−d ，所以a 1+a 2+⋯+a 9a 10=9a 1+9×8d 2a 1+9d=9a 1+36d a 1+9d=−9d+36d −d+9d=278．故答案为：278．13.【答案】180解：根据题意，可得排法共有C 61C 51C 42=180种．故答案为：180．14.【答案】x +y −1=0解：椭圆C:x 24+y 23=1的右焦点为F(1,0)，直线l 经过椭圆右焦点F ，交椭圆C 于P 、Q 两点(点P 在第二象限)，若点Q 关于x 轴对称点为Q′，且满足PQ ⊥FQ′，可知直线l 的斜率为−1，所以直线l 的方程是：y =−(x −1)，即x +y −1=0．故答案为：x +y −1=0．15.【答案】(−∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)解：根据条件(1)可得x 0=0或1，又因为关于x 的方程f(x)=a 无实数解，所以a ≠0或1，故a ∈(−∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)，故答案为：(−∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)．16.【答案】6解：如图，设OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a 1⃗⃗⃗⃗ ，OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2⃗⃗⃗⃗ ，由|a 1⃗⃗⃗⃗ −a 2⃗⃗⃗⃗ |=1，且|a i ⃗⃗⃗ −b j ⃗⃗⃗ |∈{1,2}，分别以A 1，A 2为圆心，以1和2为半径画圆，其中圆的公共点共有6个．故满足条件的k 的最大值为6．故答案为：6．17.【答案】解：(1)该圆柱的表面由上下两个半径为1的圆面和一个长为2π、宽为1的矩形组成，∴S =2×π×12+2π×1=4π．故该圆柱的表面积为4π．(2)∵正方形ABC1D1，∴AD1⊥AB，又∠DAD1=π2，∴AD1⊥AD，∵AD∩AB=A，且AD、AB⊂平面ADB，∴AD1⊥平面ADB，即D1在面ADB上的投影为A，连接CD1，则∠D1CA即为线段CD1与平面ABCD所成的角，而cos∠D1CA=ACCD1=√2√3=√63，∴线段CD1与平面ABCD所成的角为arccos√63．【解析】本题考查圆柱的表面积、空间线面夹角问题，熟练掌握线面垂直的判定定理是解题的关键，考查学生的空间立体感和运算能力，属于中档题．(1)该圆柱的表面由上下两个半径为1的圆面和一个长为2π、宽为1的矩形组成，依次求出圆面和矩形的面积，相加即可；(2)先利用线面垂直的判定定理证明AD1⊥平面ADB，连接CD1，则∠D1CA即为线段CD1与平面ABCD所成的角，再利用三角函数的知识求出cos∠D1CA即可．18.【答案】解：(1)由于f(x)的周期是4π，所以ω=2π4π=12，所以f(x)=sin12x．令sin12x=12，故12x=2kπ+π6或2kπ+5π6，整理得x=4kπ+π3或x=4kπ+5π3．故解集为{x|x=4kπ+π3或x=4kπ+5π3，k∈Z}．(2)由于ω=1，所以f(x)=sinx．所以g(x)=sin2x+√3sin(−x)sin(π2−x)=1−cos2x2−√32sin2x=−√32sin2x−12cos2x+12=12−sin(2x+π6)．由于x∈[0,π4]，所以π6≤2x+π6≤2π3．12≤sin(2x+π6)≤1，故−1≤−sin(2x+π6)≤−12，故−12≤g(x)≤0．所以函数g(x)的值域为[−12,0]．【解析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．(1)直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果．(2)利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出函数的值域．19.【答案】解：(1)∵v=qx，∴v越大，x越小，∴v=f(x)是单调递减函数，k>0，当40≤x ≤80时，v 最大为85，于是只需令100−135⋅(13)x >95，解得x >3，故道路密度x 的取值范围为(3,40)．(2)把x =80，v =50代入v =f(x)=−k(x −40)+85中，得50=−k ⋅40+85，解得k =78．∴q =vx ={100x −135⋅(13)x ⋅x,0<x <40−78(x −40)x +85x,40≤x ≤80, 当0<x <40时，q 单调递增，q <100×40−135×(13)40×40≈4000；当40≤x ≤80时，q 是关于x 的二次函数，开口向下，对称轴为x =4807，此时q 有最大值，为−78×(4807)2+120×4807=288007>4000．故车辆密度q 的最大值为288007．【解析】本题考查分段函数的实际应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，以及运算能力，属于中档题．(1)易知v 越大，x 越小，所以v =f(x)是单调递减函数，k >0，于是只需令100−135⋅(13)x >95，解不等式即可；(2)把x =80，v =50代入v =f(x)的解析式中，求出k 的值，利用q =vx 可得到q 关于x 的函数关系式，分段判断函数的单调性，并求出各自区间上q 的最大值，取较大者即可． 20.【答案】解：(1)由x A =√6，点A 为曲线Γ1与曲线Γ2的交点，联立{x A 24−y A 2b 2=1x A 2+y A 2=4+b2，解得y A =√2，b =2； (2)由题意可得F 1，F 2为曲线Γ1的两个焦点，由双曲线的定义可得|PF 1|−|PF 2|=2a ，又|PF 1|=8，2a =4，所以|PF 2|=8−4=4，因为b =√5，则c =√4+5=3，所以|F 1F 2|=6，在△PF 1F 2中，由余弦定理可得cos∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2−|F 1F 2|22|PF 1|⋅|PF 2|=64+16−362×8×4=1116，由0<∠F 1PF 2<π，可得∠F 1PF 2=arccos 1116；(3)设直线l:y =−b2x +4+b 22，可得原点O 到直线l 的距离d =|4+b 22|√1+24=√4+b 2，所以直线l 是圆的切线，设切点为M ，所以k OM =2b ，并设OM:y =2b x 与圆x 2+y 2=4+b 2联立，可得x 2+4b 2x 2=4+b 2，可得x =b ，y =2，即M(b,2)，注意直线l 与双曲线的斜率为负的渐近线平行，所以只有当y A >2时，直线l 才能与曲线Γ有两个交点，由{x A 24−y A 2b 2=1x A 2+y A 2=4+b2，可得y A 2=b 4a+b 2，所以有4<b 44+b 2，解得b 2>2+2√5或b 2<2−2√5(舍去)，因为OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影可得，OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4+b 2，所以OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4+b 2>6+2√5，则OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈(6+2√5,+∞)．【解析】本题考查双曲线与圆的定义和方程、性质，考查直线和圆的方程、双曲线的方程的联立，以及向量的数量积的几何意义，考查方程思想和化简运算能力，属于较难题． (1)联立曲线Γ1与曲线Γ2的方程，以及x A =√6，解方程可得b ； (2)由双曲线的定义和三角形的余弦定理，计算可得所求角； (3)设直线l:y =−b2x +4+b 22，求得O 到直线l 的距离，判断直线l 与圆的关系：相切，可设切点为M ，考虑双曲线的渐近线方程，只有当y A >2时，直线l 才能与曲线Γ有两个交点，解不等式可得b 的范围，由向量投影的定义求得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，进而得到所求范围． 21.【答案】解：(1)对于数列3，2，5，1，有|2−3|=1，|5−3|=2，|1−3|=2，满足题意，该数列满足性质P ；对于第二个数列4、3、2、5、1，|3−4|=1，|2−4|=2，|5−4|=1.不满足题意，该数列不满足性质P ．(2)由题意：|a 1−a 1q n |≥|a 1−a 1q n−1|，可得：|q n −1|≥|q n−1−1|，n ∈{2,3，…，9}，两边平方可得：q 2n −2q n +1≥q 2n−2−2q n−1+1，整理可得：(q −1)q n−1[q n−1(q +1)−2]≥0，当q ≥1时，得q n−1(q +1)−2≥0此时关于n 恒成立，所以等价于n=2时，q(q+1)−2≥0，所以，(q+2)(q−1)≥0，所以q≤−2，或q≥1，所以取q≥1，当0<q≤1时，得q n−1(q+1)−2≤0，此时关于n恒成立，所以等价于n=2时，q(q+1)−2≤0，所以(q+2)(q−1)≤0，所以−2≤q≤1，所以取0<q≤1．当−1≤q<0时：q n−1[q n−1(q+1)−2]≤0，当n为奇数时，得q n−1(q+1)−2≤0，恒成立，当n为偶数时，q n−1(q+1)−2≥0，不恒成立；故当−1≤q<0时，矛盾，舍去．当q<−1时，得q n−1[q n−1(q+1)−2]≤0，当n为奇数时，得q n−1(q+1)−2≤0，恒成立，当n为偶数时，q n−1(q+1)−2≥0，恒成立；故等价于n=2时，q(q+1)−2≥0，所以(q+2)(q−1)≥0，所以q≤−2或q≥1，所以取q≤−2，综上．(3)设a1=p，p∈{3,4，…，m−3，m−2}，因为a1=p，a2可以取p−1，或p+1，a3可以取p−2，或p+2，如果a2或a3取了p−3或p+3，将使{a n}不满足性质P；所以{a n}的前5项有以下组合：①a1=p，a2=p−1；a3=p+1；a4=p−2；a5=p+2；②a1=p，a2=p−1；a3=p+1；a4=p+2；a5=p−2；③a1=p，a2=p+1；a3=p−1；a4=p−2；a5=p+2；④a1=p，a2=p+1；a3=p−1；a4=p+2；a5=p−2；对于①，b1=p−1，|b2−b1|=2，|b3−b1|=1，与{b n}满足性质P矛盾，舍去；对于②，b1=p−1，|b2−b1|=2，|b3−b1|=3，|b4−b1|=2与{b n}满足性质P矛盾，舍去；对于③，b1=p+1，|b2−b1|=2，|b3−b1|=3，|b4−b1|=1与{b n}满足性质P矛盾，舍去；对于④b1=p+1，|b2−b1|=2，|b3−b1|=1，与{b n}满足性质P矛盾，舍去；所以P∈{3,4，…，m−3，m−2}，均不能同时使{a n}、{b n}都具有性质P．当p=1时，有数列{a n}:1，2，3，…，m−1，m满足题意．当p=m时，有数列{a n}:m，m−1，…，3，2，1满足题意．当p=2时，有数列{a n}:2，1，3，…，m−1，m满足题意．当p=m−1时，有数列{a n}:m−1，m，m−2，m−3，…，3，2，1满足题意．所以满足题意的数列{a n}只有以上四种．【解析】本题考查数列的综合应用，不等式以及不等关系，二次函数的性质以及函数的相关性质的综合应用，考查分析问题解决问题的能力是难度大的题目，必须由高的数学思维逻辑修养才能解答．(1)根据定义，验证两个数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质P即可；(2)假设公比q的等比数列满足性质P，可得：|a1−a1q n|≥|a1−a1q n−1|，推出(q−1)q n−1[q n−1(q+1)−2]≥0，通过q≥1，0<q≤1时，−1≤q<0时：q<−1时，四种情况讨论求解即可．(3)设a1=p，分p=1时，当p=m时，当p=2时，当p=m−1时，以及P∈{3,4，…，m−3，m−2}，五种情况讨论，判断数列{a n}的可能情况，分别推出{b n}判断是否满足性质P即可．。

2020年上海市高考数学试卷(秋季)(全网最专业解析 )

2020年上海市秋季高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知集合{1A =，2，4}，集合{2B =，4，5}，则A B = ．2．计算：1lim31n n n →∞+=- ．3．已知复数12(z i i =-为虚数单位），则||z = ．4．已知函数3()f x x =，()f x '是()f x 的反函数，则()f x '= ． 5．已知x 、y 满足202300x y x y y +-⎧⎪+-⎨⎪⎩，则2z y x =-的最大值为．6．已知行列式126300a bc d =，则a bc d= ． 7．已知有四个数1，2，a ，b ，这四个数的中位数是3，平均数是4，则ab = ．8．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，且1109a a a +=，则12910a a a a ++⋯+= ．9．从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有种安排情况．10．已知椭圆22:143x y C +=的右焦点为F ，直线l 经过椭圆右焦点F ，交椭圆C 于P 、Q 两点（点P 在第二象限），若点Q 关于x 轴对称点为Q '，且满足PQ FQ ⊥'，求直线l 的方程是．11．设a R ∈，若存在定义域为R 的函数()f x 同时满足下列两个条件：（1）对任意的0x R ∈，0()f x 的值为0x 或20x ；（2）关于x 的方程()f x a =无实数解，则a 的取值范围是．12．已知1a ，2a ，1b ，2b ，⋯，(*)k b k N ∈是平面内两两互不相等的向量，满足12||1a a -=，且||{1i j a b -∈，2}（其中1i =，2，1j =，2，⋯，)k ，则k 的最大值是．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．下列等式恒成立的是( ) A ．222a b ab + B ．222a b ab +- C ．2||a b ab + D ．222a b ab +-14．已知直线方程3410x y ++=的一个参数方程可以是( )A ．1314x t y t =+⎧⎨=--⎩B ．1413x ty t =-⎧⎨=-+⎩C ．1314x t y t =-⎧⎨=-+⎩D ．1413x t y t =+⎧⎨=-⎩15．在棱长为10的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为左侧面11ADD A 上一点，已知点P 到11A D 的距离为3，P 到1AA 的距离为2，则过点P 且与1A C 平行的直线相交的面是( )A ．面11AAB BB ．面11BBC CC ．面11CCD DD ．面ABCD16．命题p ：存在a R ∈且0a ≠，对于任意的x R ∈，使得()()f x a f x f +<+（a ）；命题1:()q f x 单调递减且()0f x >恒成立；命题2:()q f x 单调递增，存在00x <使得0()0f x =，则下列说法正确的是( ) A ．只有1q 是p 的充分条件 B ．只有2q 是p 的充分条件 C ．1q ，2q 都是p 的充分条件D ．1q ，2q 都不是p 的充分条件三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）已知ABCD 是边长为1的正方形，正方形ABCD 绕AB 旋转形成一个圆柱．（1）求该圆柱的表面积；（2）正方形ABCD 绕AB 逆时针旋转2π至11ABC D ，求线段1CD 与平面ABCD 所成的角．18．（14分）已知函数()sin f x x ω=，0ω>．（1）()f x 的周期是4π，求ω，并求1()2f x =的解集；（2）已知1ω=，2()()3()()2g x f x x f x π=--，[0x ∈，]4π，求()g x 的值域．19．（14分）在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为qv x=，x 为道路密度，q 为车辆密度．1100135(),040()3(40)85,4080x x v f x k x x ⎧-<<⎪==⎨⎪--+⎩．（1）若交通流量95v >，求道路密度x 的取值范围；（2）已知道路密度80x =，交通流量50v =，求车辆密度q 的最大值．20．（16分）已知双曲线2212:14x y bΓ-=与圆2222:4(0)x y b b Γ+=+>交于点(A A x ，)A y （第一象限），曲线Γ为1Γ、2Γ上取满足||A x x >的部分．（1）若A x =b 的值；（2）当b2Γ与x 轴交点记作点1F 、2F ，P 是曲线Γ上一点，且在第一象限，且1||8PF =，求12F PF ∠；（3）过点2(0,2)2b D +斜率为2b-的直线l 与曲线Γ只有两个交点，记为M 、N ，用b 表示OM ON ，并求OM ON 的取值范围．21．（18分）已知数列{}n a 为有限数列，满足12131||||||m a a a a a a --⋯-，则称{}n a 满足性质P ．（1）判断数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质P ，请说明理由；（2）若11a =，公比为q 的等比数列，项数为10，具有性质P ，求q 的取值范围；（3）若{}n a 是1，2，3，⋯，m 的一个排列(4)m ，{}n b 符合1(1k k b a k +==，2，⋯，1)m -，{}n a 、{}n b 都具有性质P ，求所有满足条件的数列{}n a ．2020年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知集合{1A =，2，4}，集合{2B =，4，5}，则A B = {2，4} ．【思路分析】由交集的定义可得出结论．【解析】：因为{1A =，2，4}，{2B =，4，5}，则{2AB =，4}．故答案为：{2，4}．【总结与归纳】本题考查交集的定义，属于基础题．2．计算：1lim 31n n n →∞+=-13．【思路分析】由极限的运算法则和重要数列的极限公式，可得所求值．【解析】：1111lim1101limlim 113130333limn n n n n n n n nn →∞→∞→∞→∞++++====----，故答案为：13．【总结与归纳】本题考查数列的极限的求法，注意运用极限的运算性质，考查运算能力，是一道基础题．3．已知复数12(z i i =-为虚数单位），则||z【思路分析】由已知直接利用复数模的计算公式求解．【解析】：由12z i=-，得||z ．．【总结与归纳】本题考查复数模的求法，是基础的计算题．4．已知函数3()f x x =，()f x '是()f x 的反函数，则()f x '= 13x ，x R ∈ ．【思路分析】由已知求解x ，然后把x 与y 互换即可求得原函数的反函数．【解析】：由3()y f x x ==，得x =，把x 与y互换，可得3()f x x =的反函数为1()f x -=【总结与归纳】本题考查函数的反函数的求法，注意反函数的定义域是原函数的值域，是基础题．5．已知x 、y 满足202300x y x y y +-⎧⎪+-⎨⎪⎩，则2z y x =-的最大值为 1- ．【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解析】：由约束条件202300x y x y y +-⎧⎪+-⎨⎪⎩作出可行域如图阴影部分，化目标函数2z y x =-为2y x z =+，由图可知，当直线2y x z =+过A 时，直线在y 轴上的截距最大，联立20230x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，即(1,1)A ．z 有最大值为1211-⨯=-．故答案为：1-．【总结与归纳】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 6．已知行列式126300a bc d =，则a bc d= 2 ．【思路分析】直接利用行列式的运算法则求解即可．【解析】：行列式126300a bc d =，可得36a b c d =，解得2a bc d=．故答案为：2．【总结与归纳】本题考查行列式的应用，代数余子式的应用，是基本知识的考查． 7．已知有四个数1，2，a ，b ，这四个数的中位数是3，平均数是4，则ab = 36 ．【思路分析】分别由题意结合中位数，平均数计算方法得13a b +=，232a+=，解得a ，b ，再算出答案即可．【解析】：因为四个数的平均数为4，所以441213a b +=⨯--=，因为中位数是3，所以232a+=，解得4a =，代入上式得1349b =-=，所以36ab =，故答案为：36．【总结与归纳】本题考查样本的数字特征，中位数，平均数，属于基础题．8．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，且1109a a a +=，则12910a a a a ++⋯+=278．【思路分析】根据等差数列的通项公式可由1109a a a +=，得1a d =-，在利用等差数列前n 项和公式化简12910a a a a ++⋯+即可得出结论．【解析】：根据题意，等差数列{}n a 满足1109a a a +=，即11198a a d a d ++=+，变形可得1a d =-，所以1129110119899369362729998da a a a a d d d a a d a d d d ⨯+++⋯++-+====++-+．故答案为：278．【总结与归纳】本题考查等差数列的前n 项和与等差数列通项公式的应用，注意分析1a 与d的关系，属于基础题．9．从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有 180 种安排情况．【思路分析】根据题意，由组合公式得共有112654C C C 排法，计算即可得出答案．【解析】：根据题意，可得排法共有112654180C C C =种．故答案为：180．【总结与归纳】本题考查组合数公式，解题关键是正确理解题意并熟悉组合数公式，属于基础题．10．已知椭圆22:143x y C +=的右焦点为F ，直线l 经过椭圆右焦点F ，交椭圆C 于P 、Q 两点（点P 在第二象限），若点Q 关于x 轴对称点为Q '，且满足PQ FQ ⊥'，求直线l 的方程是10x y +-= ．【思路分析】求出椭圆的右焦点坐标，利用已知条件求出直线的斜率，然后求解直线方程．【解析】：椭圆22:143x y C +=的右焦点为(1,0)F ，直线l 经过椭圆右焦点F ，交椭圆C 于P 、Q 两点（点P 在第二象限），若点Q 关于x 轴对称点为Q '，且满足PQ FQ ⊥'，可知直线l 的斜率为1-，所以直线l 的方程是：(1)y x =--，即10x y +-=．故答案为：10x y +-=．【总结与归纳】本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与直线的对称关系的应用，直线方程的求法，是基本知识的考查．11．设a R ∈，若存在定义域为R 的函数()f x 同时满足下列两个条件：（1）对任意的0x R ∈，0()f x 的值为0x 或20x ；（2）关于x 的方程()f x a =无实数解，则a 的取值范围是 (-∞，0)(0⋃，1)(1⋃，)+∞ ．【思路分析】根据条件（1）可知00x =或1，进而结合条件（2）可得a 的范围【解析】：根据条件（1）可得00x =或1，又因为关于x 的方程()f x a =无实数解，所以0a ≠或1，故(a ∈-∞，0)(0⋃，1)(1⋃，)+∞，故答案为：(-∞，0)(0⋃，1)(1⋃，)+∞．【总结与归纳】本题考查函数零点与方程根的关系，属于基础题．12．已知1a ，2a ，1b ，2b ，⋯，(*)k b k N ∈是平面内两两互不相等的向量，满足12||1a a -=，且||{1i j a b -∈，2}（其中1i =，2，1j =，2，⋯，)k ，则k 的最大值是 6 ．【思路分析】设11OA a =，22OA a =，结合向量的模等于1和2画出图形，由圆的交点个数即可求得k 的最大值．【解析】：如图，设11OA a =，22OA a =，由12||1a a -=，且||{1i j a b -∈，2}，分别以1A ，2A 为圆心，以1和2为半径画圆，其中任意两圆的公共点共有6个．故满足条件的k 的最大值为6．故答案为：6．【总结与归纳】本题考查两向量的线性运算，考查向量模的求法，正确理解题意是关键，是中档题．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．下列等式恒成立的是( ) A ．222a b ab + B ．222a b ab +- C ．2||a b ab + D ．222a b ab +-【思路分析】利用2()0a b +恒成立，可直接得到222a b ab +-成立，通过举反例可排除ACD ．【解析】：A ．显然当0a <，0b >时，不等式222a b ab +不成立，故A 错误；B ．2()0a b +，2220a b ab ∴++，222a b ab ∴+-，故B 正确；C ．显然当0a <，0b <时，不等式2||a b ab +不成立，故C 错误；D ．显然当0a >，0b >时，不等式222a b ab +-不成立，故D 错误．故选：B ．【总结与归纳】本题考查了基本不等式的应用，考查了转化思想，属基础题． 14．已知直线方程3410x y ++=的一个参数方程可以是( ) A ．1314x t y t =+⎧⎨=--⎩B ．1413x t y t =-⎧⎨=-+⎩C ．1314x t y t=-⎧⎨=-+⎩D ．1413x t y t=+⎧⎨=-⎩【思路分析】选项的参数方程，化为普通方程，判断即可．【解析】：1314x t y t=+⎧⎨=--⎩的普通方程为：1314x y -=-+，即4310x y +-=，不正确；1413x t y t=-⎧⎨=-+⎩的普通方程为：1413x y -=-+，即3410x y ++=，正确； 1314x t y t=-⎧⎨=-+⎩的普通方程为：1314x y -=-+，即4310x y +-=，不正确； 1413x t y t=+⎧⎨=-⎩的普通方程为：1413x y -=--，即3470x y +-=，不正确；故选：B ．【总结与归纳】本题考查直线的参数方程与普通方程的互化，是基本知识的考查． 15．在棱长为10的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为左侧面11ADD A 上一点，已知点P 到11A D 的距离为3，P 到1AA 的距离为2，则过点P 且与1A C 平行的直线相交的面是( )A ．面11AAB BB ．面11BBC CC ．面11CCD DD ．面ABCD 【思路分析】由图可知点P 在△1AA D 内，过P 作1//EF A D ，且1EFAA 于E ，EFAD 于F ，在平面ABCD 中，过F 作//FG CD ，交BC 于G ，由平面与平面平行的判定可得平面//EFG 平面1A DC ，连接AC ，交FG 于M ，连接EM ，再由平面与平面平行的性质得1//EM AC ，在EFM ∆中，过P 作//PN EM ，且PN FM 于N ，可得1//PN AC ，由此说明过点P 且与1A C 平行的直线相交的面是ABCD ．【解析】：如图，由点P 到11A D 的距离为3，P 到1AA 的距离为2，可得P 在△1AA D 内，过P 作1//EF A D ，且1EF AA 于E ，EFAD 于F ，在平面ABCD 中，过F 作//FG CD ，交BC 于G ，则平面//EFG 平面1A DC ．连接AC ，交FG 于M ，连接EM ，平面//EFG 平面1A DC ，平面1A AC ⋂平面11A DC AC =，平面1A AC ⋂平面EFM EM =， 1//EM AC ∴．在EFM ∆中，过P 作//PN EM ，且PNFM 于N ，则1//PN AC ．线段FM 在四边形ABCD 内，N 在线段FM 上，N ∴在四边形ABCD 内．∴过点P 且与1A C 平行的直线相交的面是ABCD ．故选：D ．【总结与归纳】本题考查空间中直线与直线位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．16．命题p ：存在a R ∈且0a ≠，对于任意的x R ∈，使得()()f x a f x f +<+（a ）；命题1:()q f x 单调递减且()0f x >恒成立；命题2:()q f x 单调递增，存在00x <使得0()0f x =，则下列说法正确的是( ) A ．只有1q 是p 的充分条件 B ．只有2q 是p 的充分条件 C ．1q ，2q 都是p 的充分条件D ．1q ，2q 都不是p 的充分条件【思路分析】对于命题1q ：当0a >时，结合()f x 单调递减，可推出()()()f x a f x f x f +<<+（a ），命题1q 是命题p 的充分条件．对于命题2q ：当00a x =<时，f （a ）0()0f x ==，结合()f x 单调递增，推出()()f x a f x +<，进而()()f x a f x f +<+（a ），命题2q 也是p 的充分条件．【解析】：对于命题1q ：当()f x 单调递减且()0f x >恒成立时，当0a >时，此时x a x +>，又因为()f x 单调递减，所以()()f x a f x +< 又因为()0f x >恒成立时，所以()()f x f x f <+（a ），所以()()f x a f x f +<+（a ），所以命题1q ⇒命题p ，对于命题2q ：当()f x 单调递增，存在00x <使得0()0f x =，当00a x =<时，此时x a x +<，f （a ）0()0f x ==，又因为()f x 单调递增，所以()()f x a f x +<，所以()()f x a f x f +<+（a ），所以命题2p ⇒命题p ，所以1q ，2q 都是p 的充分条件，故选：C ．【总结与归纳】本题考查命题的真假，及函数的单调性，关键是分析不等式之间关系，属于中档题．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）已知ABCD 是边长为1的正方形，正方形ABCD 绕AB 旋转形成一个圆柱．（1）求该圆柱的表面积；（2）正方形ABCD 绕AB 逆时针旋转2π至11ABC D ，求线段1CD 与平面ABCD 所成的角．【思路分析】（1）该圆柱的表面由上下两个半径为1的圆面和一个长为2π、宽为1的矩形组成，依次求出圆面和矩形的面积，相加即可；（2）先利用线面垂直的判定定理证明1AD ⊥平面ADB ，连接1CD ，则1D CA ∠即为线段1CD 与平面ABCD 所成的角，再利用三角函数的知识求出1cos D CA ∠即可．【解析】：（1）该圆柱的表面由上下两个半径为1的圆面和一个长为2π、宽为1的矩形组成，221214S πππ∴=⨯⨯+⨯=．故该圆柱的表面积为4π．（2）正方形11ABC D ，1AD AB ∴⊥，又12DAD π∠=，1AD AD ∴⊥，ADAB A =，且AD 、AB ⊂平面ADB ，1AD ∴⊥平面ADB ，即1D 在面ADB 上的投影为A ，连接1CD ，则1D CA ∠即为线段1CD 与平面ABCD 所成的角，而1126cos 3AC D CA CD ∠===，∴线段1CD 与平面ABCD所成的角为【总结与归纳】本题考查圆柱的表面积、空间线面夹角问题，熟练掌握线面垂直的判定定理是解题的关键，考查学生的空间立体感和运算能力，属于基础题． 18．（14分）已知函数()sin f x x ω=，0ω>．（1）()f x 的周期是4π，求ω，并求1()2f x =的解集；（2）已知1ω=，2()()()()2g x f x x f x π=--，[0x ∈，]4π，求()g x 的值域．【思路分析】（1）直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果．（2）利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出函数的值域．【解析】：（1）由于()f x 的周期是4π，所以2142πωπ==，所以1()sin 2f x x =．令11sin 22x =，故1226x k ππ=+或526k ππ+，整理得43x k ππ=+或543x k ππ=+．故解集为{|43x x k ππ=+或543x k ππ=+，}k Z ∈．（2）由于1ω=，所以()sin f x x =．所以21cos2111()sin )sin()22cos2sin(2)222226x g x x x x x x x x ππ-=--==-+=-+．由于[0x ∈，]4π，所以22663x πππ+． 1sin(2)126x π+，故11sin(2)62x π--+-，故1()02g x -．所以函数()g x 的值域为1[,0]2-．【总结与归纳】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19．（14分）在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为qv x=，x 为道路密度，q 为车辆密度．1100135(),040()3(40)85,4080x x v f x k x x ⎧-<<⎪==⎨⎪--+⎩．（1）若交通流量95v >，求道路密度x 的取值范围；（2）已知道路密度80x =，交通流量50v =，求车辆密度q 的最大值．【思路分析】（1）易知v 越大，x 越小，所以()v f x =是单调递减函数，0k >，于是只需令1100135()953x ->，解不等式即可；（2）把80x =，50v =代入()v f x =的解析式中，求出k 的值，利用q vx =可得到q 关于x 的函数关系式，分段判断函数的单调性，并求出各自区间上q 的最大值，取较大者即可．【解析】：（1）qv x=，v ∴越大，x 越小，()v f x ∴=是单调递减函数，0k >，当4080x 时，v 最大为85，于是只需令1100135()953x ->，解得3x >，故道路密度x 的取值范围为(3,40)．（2）把80x =，50v =代入()(40)85v f x k x ==--+中，得504085k =-+，解得78k =．1100135(),04037(40)85,40808x x x x q vx x x x x ⎧-<<⎪⎪∴==⎨⎪--+⎪⎩，当040x <<时，q 单调递增，40110040135()4040003q <⨯-⨯⨯≈；当4080x 时，q 是关于x 的二次函数，开口向下，对称轴为4807x =，此时q 有最大值，为2748048028800()12040008777-⨯+⨯=>．故车辆密度q 的最大值为288007．【总结与归纳】本题考查分段函数的实际应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，以及运算能力，属于中档题．20．（16分）已知双曲线2212:14x y bΓ-=与圆2222:4(0)x yb b Γ+=+>交于点(A A x ，)A y （第一象限），曲线Γ为1Γ、2Γ上取满足||A x x >的部分．（1）若A x =b 的值；（2）当b 2Γ与x 轴交点记作点1F 、2F ，P 是曲线Γ上一点，且在第一象限，且1||8PF =，求12F PF ∠；（3）过点2(0,2)2b D+斜率为2b-的直线l 与曲线Γ只有两个交点，记为M 、N ，用b 表示OM ON ，并求OM ON 的取值范围．【思路分析】（1）联立曲线1Γ与曲线2Γ的方程，以及A x =，解方程可得b ；（2）由双曲线的定义和三角形的余弦定理，计算可得所求角；（3）设直线24:22b b l y x +=-+，求得O 到直线l 的距离，判断直线l 与圆的关系：相切，可设切点为M ，考虑双曲线的渐近线方程，只有当2A y >时，直线l 才能与曲线Γ有两个交点，解不等式可得b 的范围，由向量投影的定义求得OM ON ，进而得到所求范围．【解析】：（1）由A x =A 为曲线1Γ与曲线2Γ的交点，联立222222144A A A A x y bx y b ⎧-=⎪⎨⎪+=+⎩，解得A y =，2b =；（2）由题意可得1F ，2F 为曲线1Γ的两个焦点，由双曲线的定义可得12||||2PF PF a -=，又1||8PF =，24a =，所以2||844PF =-=，因为b =3c =，所以12||6F F =，在△12PF F 中，由余弦定理可得22212121212||||||cos 2||||PF PF F F F PF PF PF +-∠=6416361128416+-==⨯⨯，由120F PF π<∠<，可得1211arccos 16F PF ∠=；（3）设直线24:22b b l y x +=-+，可得原点O 到直线l 的距离24||b d +== 所以直线l 是圆的切线，设切点为M ，所以2OM k b =，并设2:OM y x b =与圆2224x y b +=+联立，可得222244x x b b+=+，可得x b =，2y =，即(,2)M b ，注意直线l 与双曲线的斜率为负的渐近线平行，所以只有当2A y >时，直线l 才能与曲线Γ有两个交点，由222222144A A A Ax y b x y b ⎧-=⎪⎨⎪+=+⎩，可得4224A b y b=+，所以有4244b b<+，解得22b >+22b<-（舍去），因为OM 为ON 在OM 上的投影可得，24OM ON b =+，所以246OM ON b =+>+，则(6OM ON ∈+)+∞．【总结与归纳】本题考查双曲线与圆的定义和方程、性质，考查直线和圆的方程、双曲线的方程的联立，以及向量的数量积的几何意义，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题． 21．（18分）已知数列{}n a 为有限数列，满足12131||||||m a a a a a a --⋯-，则称{}n a 满足性质P ．（1）判断数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质P ，请说明理由；（2）若11a =，公比为q 的等比数列，项数为10，具有性质P ，求q 的取值范围；（3）若{}n a 是1，2，3，⋯，m 的一个排列(4)m ，{}n b 符合1(1k k b a k +==，2，⋯，1)m -，{}n a 、{}n b 都具有性质P ，求所有满足条件的数列{}n a ．【思路分析】（1）根据定义，验证两个数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质P 即可；（2）假设公比q 的等比数列满足性质p ，可得：11111||||n n a a q a a q ---，推出11(1)[(1)2]0n n q q q q ---+-，通过1q ，01q <时，10q -<时：1q <-时，四种情况讨论求解即可．（3）设1a p =，分1p =时，当p m =时，当2p =时，当1p m =-时，以及{3P ∈，4，⋯，3m -，2}m -，五种情况讨论，判断数列{}n a 的可能情况，分别推出{}n b 判断是否满足性质P 即可．【解析】：（1）对于数列3，2，5，1，有|23|1-=，|53|2-=，|13|2-=，满足题意，该数列满足性质P ；对于第二个数列4、3、2、5、1，|34|1-=，|24|2-=，|54|1-=．不满足题意，该数列不满足性质P ．（2）由题意：11111||||n n a a q a a q ---，可得：1|1||1|n n q q ---，{2n ∈，3，⋯，9}，两边平方可得：22212121n n n n q q q q ---+-+，整理可得：11(1)[(1)2]0n n q q q q ---+-，当1q 时，得1(1)20n q q -+-此时关于n 恒成立，所以等价于2n =时，(1)20q q +-，所以，(2)(1)0q q +-，所以2q -，或1q ，所以取1q ，当01q <时，得1(1)20n q q -+-，此时关于n 恒成立，所以等价于2n =时，(1)20q q +-，所以(2)(1)0q q +-，所以21q -，所以取01q <．当10q -<时：11[(1)2]0n n q q q --+-，当n 为奇数时，得1(1)20n q q -+-，恒成立，当n 为偶数时，1(1)20n q q -+-，不恒成立；故当10q -<时，矛盾，舍去．当1q <-时，得11[(1)2]0n n q q q --+-，当n 为奇数时，得1(1)20n q q -+-，恒成立，当n 为偶数时，1(1)20n q q -+-，恒成立；故等价于2n =时，(1)20q q +-，所以(2)(1)0q q +-，所以2q -或1q ，所以取2q -，综上(q ∈-∞，2](0,)-+∞．（3）设1a p =，{3p ∈，4，⋯，3m -，2}m -，因为1a p =，2a 可以取1p -，或1p +，3a 可以取2p -，或2p +，如果2a 或3a 取了3p -或3p +，将使{}n a 不满足性质P ；所以{}n a 的前5项有以下组合： ①1a p =，21a p =-；31a p =+；42a p =-；52a p =+； ②1a p =，21a p =-；31a p =+；42a p =+；52a p =-； ③1a p =，21a p =+；31a p =-；42a p =-；52a p =+； ④1a p =，21a p =+；31a p =-；42a p =+；52a p =-；对于①，11b p =-，21||2b b -=，31||1b b -=，与{}n b 满足性质P 矛盾，舍去；对于②，11b p =-，21||2b b -=，31||3b b -=，41||2b b -=与{}n b 满足性质P 矛盾，舍去；对于③，11b p =+，21||2b b -=，31||3b b -=，41||1b b -=与{}n b 满足性质P 矛盾，舍去；对于④11b p =+，21||2b b -=，31||1b b -=，与{}n b 满足性质P 矛盾，舍去；所以{3P ∈，4，⋯，3m -，2}m -，均不能同时使{}n a 、{}n b 都具有性质P ．当1p =时，有数列{}:1n a ，2，3，⋯，1m -，m 满足题意．当p m =时，有数列{}:n a m ，m -1，⋯，3，2，1满足题意．当2p =时，有数列{}:2n a ，1，3，⋯，1m -，m 满足题意．当1p m =-时，有数列{}:1n a m -，m ，2m -，3m -，⋯，3，2，1满足题意．所以满足题意的数列{}n a 只有以上四种．【总结与归纳】本题考查数列的综合应用，不等式以及不等关系，二次函数的性质以及函数的相关性质的综合应用，考查分析问题解决问题的能力是难度大的题目，必须要有较高的数学思维逻辑修养才能解答．。

2020上海市普通高校招生统一文化考试数学卷(2020上海高考数学卷)

8、已知数列 an为不等于零的等差数列，且 a1 a10
a9 ，则
a1 a2 a9 a10
_________
9、从 6 个人选 4 个人去值班，每人值班一天，第一天安排 1 个人，第二天安排 1 个人，第三天安排 2 个人，则共有__________种安排情况。
10、已知椭圆 C : x2 y2 1 右焦点，直线 l 经过椭圆右焦点 F ，交椭圆 C 于 P、Q 两点（点 P 在第二象限），若 43
．
4、已知函数 f x x3 ， f 'x是 f x 的反函数，则 f 'x ______
x y 2 0
5、已知
x、y
满足
x
2
y
3
0
，则
z
y
2x
的最大值为____________
y 0
1ab 6、已知行列式 2 c d 6 ，则 a b ________
cd 300
7、已知有四个数12, a, b ，这四个数的中位数是 3，平均数是 4，则 ab ______
则 a 的取值范围为______________
12、已知 a1, a2 , b1, b2 bk k N * 是平面内两两互不相等的向量，满足 a1 a2 1，且 ai bj 1,2（其中 i 1,2 ，
j 1,2,k ），则 k 的最大值为__________ 二、选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13、下列等式恒成立的是（）
b 0交于点 AxA, yA （第一象限），曲线在 C1、C2
上取满足 x xA 的部分
（1）若 xA 6 ，求 b 的值；
（2）若 b 5 ， C2 与 x 轴交点记作点 F1、F2 ， P 在第一象限内，且 PF1 8 ，求 F1PF2

2020年上海卷数学高考真题(解析版)

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（上海卷）一、填空题（本题共12小题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1. 已知集合{}1,2,4A =，{}2,3,4B =，求A B =_______【答案】{}2,42. 1lim31n n n →∞+=-________【答案】133. 已知复数z 满足12z i =-（i 为虚数单位），则z =_______4. 已知行列式126300a cd b =，则行列式a cd b=_______【答案】25. 已知()3f x x =，则()1f x -=_______【答案】()13xx R ∈6.已知a 、b 、1、2的中位数为3，平均数为4，则ab= 【答案】367.已知20230x y y x y +≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则2z y x =-的最大值为【答案】-18.已知{}n a 是公差不为零的等差数列，且1109a a a +=，则12910a a a a ++⋅⋅⋅=【答案】2789.从6人中挑选4人去值班，每人值班1天，第一天需要1人，第二天需要1人，第三天需要2人，则有种排法。

【答案】18010.椭圆22143x y +=，过右焦点F 作直线l 交椭圆于P 、Q 两点，P 在第二象限已知()(),,'','Q Q Q Q Q x y Q x y 都在椭圆上，且y'0Q Q y +=，'FQ PQ ⊥，则直线l 的方程为【答案】10x y +-=11、设a R ∈，若存在定义域R 的函数()f x 既满足“对于任意0x R ∈，()0f x 的值为20x 或0x ”又满足“关于x 的方程()f x a =无实数解”，则α的取值范围为【答案】()()(),00,11,-∞⋃⋃+∞【解析】题目转换为是否为实数a ,使得存在函数()f x满足“对于任意0x R ∈，()0f x 的值为20x 或0x ”，又满足“关于的方程()f x a =无实数解”构造函数；()2,,x x af x x x a ≠⎧=⎨=⎩，则方程()f x a =只有0,1两个实数解。

2020年上海卷数学真题答案

2020年上海卷数学真题答案2020年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试数学卷（上海卷）⼀、填空题（本题共12⼩题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1. 已知集合{}1,2,4A =，{}2,3,4B =，求A B =_______ 【分值】4分【答案】{}2,42. 1lim31n n n →∞+=-________【分值】4分【答案】133. 已知复数z 满⾜12z i =-（i 为虚数单位），则z =_______ 【分值】4分4. 已知⾏列式126300a cd b =，则⾏列式a c d b=_______【分值】4分【答案】25. 已知()3f x x =，则()1f x -=_______ 【分值】4分【答案】()13xx R ∈6. 已知a 、b 、1、2的中位数为3，平均数为4，则ab= 【分值】4分【答案】367.已知20230x y y x y +≥??≥??+-≤?，则2z y x =-的最⼤值为【分值】5分【答案】-18. 已知{}n a 是公差不为零的等差数列，且1109a a a +=，则12910a a a a ++=【分值】5分【答案】2789.从6⼈中挑选4⼈去值班，每⼈值班1天，第⼀天需要1⼈，第⼆天需要1⼈，第三天需要2⼈，则有种排法。

【分值】5分【答案】18010. 椭圆22143x y +=，过右焦点F 作直线l 交椭圆于P 、Q 两点，P 在第⼆象限已知()(),,'','Q Q Q Q Q x y Q x y 都在椭圆上，且y'0Q Q y +=，'FQ PQ ⊥，则直线l 的⽅程为【分值】5分【答案】10x y +-=11、设a R ∈，若存在定义域R 的函数()f x 既满⾜“对于任意0x R ∈，()0f x 的值为20x 或0x ”⼜满⾜“关于x 的⽅程()f x a =⽆实数解”，则α的取值范围为【分值】5分【答案】()()(),00,11,-∞??+∞【解析】题⽬转换为是否为实数a ,使得存在函数()f x满⾜“对于任意0x R ∈，()0f x 的值为20x 或0x ”，⼜满⾜“关于的⽅程()f x a =⽆实数解”构造函数；()2,,x x a f x x x a ≠?=?=?，则⽅程()f x a =只有0,1两个实数解。

2020年上海高考数学试题(试卷版+解析版)

2020上海高考数学试题（试卷版+解析版）
1．已知集合{1A =，2，4}，集合{2B =，4，5}，则A B = ．
2．计算：1lim 31
n n n →∞+=- ． 3．已知复数12(z i i =-为虚数单位），则||z = ．
4．已知函数3
()f x x =，()f x '是()f x 的反函数，则()f x '= ． 5．已知x 、y 满足202300x y x y y +-⎧⎪+-⎨⎪⎩
，则2z y x =-的最大值为．
6．已知行列式126300
a b c d =，则a b c d = ． 7．已知有四个数1，2，a ，b ，这四个数的中位数是3，平均数是4，则ab = ．
8．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，且1109a a a +=，则12910
a a a a ++⋯+= ． 9．从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有种安排情况．
10．已知椭圆22
:143
x y C +=的右焦点为F ，直线l 经过椭圆右焦点F ，交椭圆C 于P 、Q 两点（点P 在第二象限），若点Q 关于x 轴对称点为Q '，且满足PQ FQ ⊥'，求直线l 的方程是．
11．设a R ∈，若存在定义域为R 的函数()f x 同时满足下列两个条件：
（1）对任意的0x R ∈，0()f x 的值为0x 或20x ；
（2）关于x 的方程()f x a =无实数解，
则a 的取值范围是．。

2020年上海市高考数学试卷

2020年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1. 已知集合A ＝{1, 2, 4}，集合B ＝{2, 4, 5}，则A ∩B ＝________．2. 计算：lim n→∞n+13n−1=________．3. 已知复数z ＝1−2i （i 为虚数单位），则|z|＝________．4. 已知函数f(x)＝x 3，f′(x)是f(x)的反函数，则f′(x)＝________13，________∈R ．5. 已知x 、y 满足{x +y −2≥0x +2y −3≤0y ≥0 ，则z ＝y −2x 的最大值为________．6. 已知行列式|1ab2cd 300|=6，则|abcd|=________．7. 已知有四个数1，2，a ，b ，这四个数的中位数是3，平均数是4，则ab ＝________．8. 已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，且a 1+a 10=a 9，则a 1+a 2+⋯+a 9a 10=________．9. 从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有________种安排情况．10. 已知椭圆C:x 24+y 23=1的右焦点为F ，直线l 经过椭圆右焦点F ，交椭圆C 于P 、Q 两点（点P 在第二象限），若点Q 关于x 轴对称点为Q′，且满足PQ ⊥FQ′，求直线l 的方程是________．11. 设a ∈R ，若存在定义域为R 的函数f(x)同时满足下列两个条件：（1）对任意的x 0∈R ，f(x 0)的值为x 0或x 02；（2）关于x 的方程f(x)＝a 无实数解，则a 的取值范围是________．12. 已知a 1→，a 2→，b 1→，b 2→，…，b k →(k∈N∗)是平面内两两互不相等的向量，满足|a 1→−a 2→|＝1，且|a i→−b j →|∈{1, 2}（其中i ＝1，2，j ＝1，2，…，k ），则k 的最大值是________．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）下列等式恒成立的是（） A.a 2+b 2≥−2ab B.a 2+b 2≤2ab C.a 2+b 2≤−2ab D.a +b ≥2√|ab|已知直线方程3x +4y +1＝0的一个参数方程可以是（） A.{x =1−4t y =−1+3t （t 为参数） B.{x =1+3t y =−1−4t （t 为参数） C.{x =1+4t y =1−3t （t 为参数） D.{x =1−3t y =−1+4t （t 为参数）在棱长为10的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为左侧面ADD 1A 1上一点，已知点P 到A 1D 1的距离为3，P 到AA 1的距离为2，则过点P 且与A 1C 平行的直线相交的面是（）A.BB 1C 1CB.AA 1B 1BC.ABCD 1D 1D命题p ：存在a ∈R 且a ≠0，对于任意的x ∈R ，使得f(x +a)<f(x)+f(a)；命题q 1:f(x)单调递减且f(x)>0恒成立；命题q 2:f(x)单调递增，存在x 0<0使得f(x 0)＝0，则下列说法正确的是（） A.只有q 2是p 的充分条件B.只有q 1是p 的充分条件C.q1，q2都不是p的充分条件D.q1，q2都是p的充分条件三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）已知ABCD是边长为1的正方形，正方形ABCD绕AB旋转形成一个圆柱．（1）求该圆柱的表面积；（2）正方形ABCD绕AB逆时针旋转π2至ABC1D1，求线段CD1与平面ABCD所成的角．已知函数f(x)＝sinωx，ω>0．（1）f(x)的周期是4π，求ω，并求f(x)=12的解集；（2）已知ω＝1，g(x)＝f2(x)+√3f(−x)f(π2−x)，x∈[0, π4]，求g(x)的值域．在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为v=qx，x为道路密度，q为车辆密度．v＝f(x)={100−135⋅(13)x,0<x<40−k(x−40)+85,40≤x≤80．（1）若交通流量v>95，求道路密度x的取值范围；（2）已知道路密度x＝80，交通流量v＝50，求车辆密度q的最大值．已知双曲线Γ1:x24−y2b2=1与圆Γ2:x2+y2＝4+b2(b>0)交于点A(x A, y A)（第一象限），曲线Γ为Γ1、Γ2上取满足x>|x A|的部分．（1）若x A=√6，求b的值；（2）当b=√5，Γ2与x轴交点记作点F1、F2，P是曲线Γ上一点，且在第一象限，且|PF1|＝8，求∠F1PF2；（3）过点D(0, b22+2)斜率为−b2的直线l与曲线Γ只有两个交点，记为M、N，用b表示OM→⋅ON→，并求OM→⋅ON→的取值范围．已知数列{a n}为有限数列，满足|a1−a2|≤|a1−a3|≤...≤|a1−a m|，则称{a n}满足性质P．（1）判断数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质P，请说明理由；（2）若a1＝1，公比为q的等比数列，项数为10，具有性质P，求q的取值范围；（3）若{a n}是1，2，3，…，m的一个排列(m≥4)，{b n}符合b k＝a k+1(k＝1, 2,…,m−1)，{a n}、{b n}都具有性质P，求所有满足条件的数列{a n}．参考答案与试题解析2020年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.【答案】此题暂无答案【考点】交集根助运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】本题考查交集的定义，属于基础题．2.【答案】此题暂无答案【考点】数因印极限【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】本题考查数列的极限的求法，注意运用极限的运算性质，考查运算能力，是一道基础题．3.【答案】此题暂无答案【考点】复三的刺算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】本题考查复数模的求法，是基础的计算题．4.【答案】此题暂无答案【考点】导数来几何德义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】本题考查函数的反函数的求法，注意反函数的定义域是原函数的值域，是基础题．5.【答案】此题暂无答案【考点】简单因性规斯【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．6.【答案】此题暂无答案【考点】二阶行表式身定义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】本题考查行列式的应用，代数余子式的应用，是基本知识的考查．7.【答案】此题暂无答案【考点】众数、中正数、平均测【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】本题考查样本的数字特征，中位数，平均数，属于基础题．8.【答案】此题暂无答案【考点】等差数常的占n项和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】本题考查等差数列的前n项和与等差数列通项公式的应用，注意分析a1与d的关系，属于基础题．9.【答案】此题暂无答案【考点】排列水使合及原判计数问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】本题考查组合数公式，解题关键是正确理解题意并熟悉组合数公式，属于基础题．10.【答案】此题暂无答案【考点】椭圆水明心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用直线与直线的对称关系的应用，直线方程的求法，是基本知识的考查．11.【答案】此题暂无答案【考点】函数根助点与驶还根的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，属于基础题．12.【答案】此题暂无答案【考点】向量验立的运如法其几何意义两向正的率或丙的模滴最值向量因滤性线算性吨及几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】本题考查两向量的线性运算，考查向量模的求法，正确理解题意是关键，是中档题．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）【答案】此题暂无答案【考点】基本不常式室其应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】本题考查了基本不等式的应用，考查了转化思想，属基础题．【答案】此题暂无答案【考点】直线表参声方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】本题考查直线的参数方程与普通方程的互化，是基本知识的考查．【答案】此题暂无答案【考点】空间表直线擦直英之说的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】本题考查空间中直线与直线位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．【答案】此题暂无答案【考点】充分常件、头花条件滤充要条件【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】本题考查命题的真假，及函数的单调性，关键是分析不等式之间关系，属于中档题．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）【答案】此题暂无答案【考点】直线与正键所成的角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】本题考查圆柱的表面积、空间线面夹角问题，熟练掌握线面垂直的判定定理是解题的关键，考查学生的空间立体感和运算能力，属于基础题．【答案】此题暂无答案【考点】三角函因的周顿性两角和与射的三题函数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．【答案】此题暂无答案【考点】根据体际省题完择函离类型【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】本题考查分段函数的实际应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，以及运算能力，属于中档题．【答案】此题暂无答案【考点】直验口双注红的位置关系平面射量长量化的性置及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】本题考查双曲线与圆的定义和方程、性质，考查直线和圆的方程、双曲线的方程的联立，以及向量的数量积的几何意义，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．【答案】此题暂无答案【考点】数三的最用等差明列政快比数坏的综合【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】本题考查数列的综合应用，不等式以及不等关系，二次函数的性质以及函数的相关性质的综合应用，考查分析问题解决问题的能力是难度大的题目，必须由高的数学思维逻辑修养才能解答．。

2020年高考卷数学(上海卷)附答案

20201.已知集合，，求_______2.________3.已知复数z满足（为虚数单位），则_______4.已知行列式，则行列式_______5.已知，则_______6.已知a、b、1、2的中位数为3，平均数为4，则ab=7.已知，则的最大值为8.已知是公差不为零的等差数列，且，则9.从6人中挑选4人去值班，每人值班1天，第一天需要1人，第二天需要1人，第三天需要2人，则有种排法。

10. 椭圆，过右焦点F作直线交椭圆于P、Q两点，P在第二象限已知都在椭圆上，且，，则直线的方程为11、设，若存在定义域的函数既满足“对于任意，的值为或”又满足“关于的方程无实数解”，则的取值范围为12、已知是平面内两两互不平等的向量，满足，且(其中)，则K的最大值为13、下列不等式恒成立的是（）ABCD14、已知直线的解析式为，则下列各式是的参数方程的是（）ABCD15、在棱长为10的正方体. 中，为左侧面上一点，已知点到的距离为3，点到的距离为2，则过点且与平行的直线交正方体于、两点，则点所在的平面是（）ABCD16.、若存在,对任意的，均有恒成立，则称函数具有性质，已知：单调递减，且恒成立；单调递增，存在使得，则是具有性质的充分条件是（）A只有B只有CD都不是17、已知边长为1的正方形ABCD，沿BC旋转一周得到圆柱体。

（1）求圆柱体的表面积；（2）正方形ABCD绕BC逆时针旋转到，求与平面ABCD所成的角。

18、已知.（1）若f(x)的周期是4π，求，并求此时的解集；（2）已知，，，求g(x)的值域.19、已知：，，且，（1）若v>95，求x的取值范围；（2）已知x=80时，v=50，求x为多少时，q可以取得最大值，并求出该最大值。

20、双曲线，圆在第一象限交点为A，，曲线。

（1）若，求b；（2）若，与x轴交点记为,P是曲线上一点，且在第一象限，并满足，求∠；（3）过点且斜率为的直线交曲线于M、N两点，用b的代数式表示，并求出的取值范围。

2020年高考真题上海卷数学试卷-学生用卷

2020年高考真题上海卷数学试卷-学生用卷一、填空题（本题共12小题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1、【来源】 2020年高考真题上海卷第1题4分已知集合A ={1,2,4}，B ={2,4,5}，则A ∩B = ．2、【来源】 2020年高考真题上海卷第2题4分求极限lim n→∞n+13n−1= ．3、【来源】 2020年高考真题上海卷第3题4分已知复数z =1−2i ，求|z|= ．4、【来源】 2020年高考真题上海卷第4题4分已知函数f (x )=x 3，则f −1(x )= ．5、【来源】 2020年高考真题上海卷第5题4分已知|1a b2c d 300|=6，求|a b cd |= ．6、【来源】 2020年高考真题上海卷第6题4分已知a ，b ，1，2的中位数为3，平均数为4，则ab = ．7、【来源】 2020年高考真题上海卷第7题5分已知x ，y 满足条件{x +y ⩾2y ⩾0x +2y −3⩽0，则z =y −2x 最大值为．8、【来源】 2020年高考真题上海卷第8题5分已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，且a 1+a 10=a 9，则a 1+a 2+⋯+a 9a 10= ．9、【来源】 2020年高考真题上海卷第9题5分从6人中挑选4人去值班，每人值班一天，第一天1个人，第二天1个人，第三天2个人，则共有种排法．10、【来源】 2020年高考真题上海卷第10题5分椭圆x 24+y 23=1，过右焦点F 作直线l 交椭圆于P 、Q 两点，P 在第二象限已知Q(x Q ,y Q )，Q ′(x Q′，y Q ′)都在椭圆上，且y Q +y Q ′=0，FQ ′⊥PQ ，则直线l 的方程为．11、【来源】 2020年高考真题上海卷第11题5分2020~2021学年10月上海普陀区上海市曹杨第二中学高一上学期月考第12题设a ∈R ，若存在定义域为R 的函数f (x )满足①对任意x 0∈R ，f (x 0)的值为x 0或x 02，②关于x的方程f (x )=a 无实数解，则a 的取值范围是．12、【来源】 2020年高考真题上海卷第12题5分已知平面向量a 1→，a 2→，b 1→，b 2→，⋯，b k →（k ∈N ∗）是平面内两两互不相等的向量，|a 1→−a 2→|=1，且对任意的i =1，2及j =1，2，⋯，k ，|a →i −b j →|∈{1,2}，则k 的最大值为．二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年高考真题上海卷第13题5分2020~2021学年10月浙江杭州西湖区杭州学军中学高一上学期月考第4题下列不等式恒成立的是（）．A. a 2+b 2⩽2abB. a 2+b 2⩾−2abC. a+b⩽2√|ab|D. a+b⩾−2√|ab|14、【来源】 2020年高考真题上海卷第14题5分直线3x+4y+1=0的一个参数方程可以是（）．A. {x=1+4t y=−1+3tB. {x=1−4t y=−1−3tC. {x=1+4t y=−1−3tD. {x=1−4t y=−1+3t15、【来源】 2020年高考真题上海卷第15题5分在棱长为10的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为左侧面ADD1A1上一点，已知点P到A1D1的距离为3，点P到AA1的距离为2，过点P且与A1C平行的直线交正方体于P、Q两点，则点Q所在的平面是（）．A. 平面ABCDB. 平面BB1C1CC. 平面CC1D1DD. 平面AA1B1B16、【来源】 2020年高考真题上海卷第16题5分若存在a ∈R 且a ≠0，对于任意的x ∈R ，均有f (x +a )<f (x )+f (a ) 恒成立，则称函数f(x)具有性质P ，已知命题q 1：f (x )单调递减，且f (x )>0恒成立；命题q 2：f (x )单调递增，且存在x 0<0使得f (x 0)=0．则f(x)具有性质P 的充分条件是（）．A. 只有q 1B. 只有q 2C. q 1和q 2D. q 1和q 2都不是三、解答题（本大题共5题，共76分）17、【来源】 2020年高考真题上海卷第17题14分已知边长为1的正方形ABCD ，正方形ABCD 绕BC 旋转形成一个圆柱．(1) 求圆柱表面积．(2) 正方形ABCD 绕BC 逆时针旋转π2到A 1BCD 1，求AD 1与平面ABCD 所成角．18、【来源】 2020年高考真题上海卷第18题14分已知f(x)=sin⁡ωx(ω>0)．(1) 若f(x)的最小正周期为4π，求ω以及sin⁡ωx =12的解集． (2) 设ω=1，g(x)=f 2(x)+√3f(−x)f (π2−x)，x ∈[0,π4]，求g(x)的值域．19、【来源】 2020年高考真题上海卷第19题14分在研究某市交通情况时发现，一个路段的车流密度等于该路段车辆数除以该路段长度，一个时段的车流流量等于车辆数除以该时间长度，车流速度v =q x ，其中q ，x 分别表示车流流量与车流密度．已知车流速度与车流密度的关系为v ={100−135(13)80x ,0<x <40−k(x −40)+85,40⩽x ⩽80，（k >0）． (1) 当车流密度x 在什么范围时，车流速度大于95？(2) 已知当车流密度为80时，车流速度为50千米/小时，当车流密度为多少时，车流流量最大，最大值为多少？20、【来源】 2020年高考真题上海卷第20题16分如图，已知双曲线C1：x 24−y2b2=1(b>0)与圆C2：x2+y2=4+b2在第一象限的交点为A(x A,y A)，曲线Γ：{x24−y2b2=1,|x|>x Ax2+y2=4+b2,|x|>x A．(1) 若x A=√6，求b的值．(2) 若b=√5，圆与x轴的交点分别为F1，F2，点P在双曲线第一象限部分，且|PF1|=8，求∠F1PF2的度数．(3) 过点S(0,b22+2)且斜率为−b2的直线l与曲线Γ交于M、N两点，用b表示OM→⋅ON→并求其取值范围．21、【来源】 2020年高考真题上海卷第21题18分已知有限数列{a n}项数为m，若其满足|a1−a2|⩽|a1−a3|⩽⋯⩽|a1−a m|，则称数列{a n}满足性质P．(1) 判断数列3，2，5，1和4，3，2，5，1是否具有性质P．(2) 已知a1=1，公比为q的等比数列，项数为10，具有性质P，求q的取值范围．(3) 若a n是1，2，⋯，m的一个排列(m⩾4)，b k=a k+1(k=1,2,⋯,m−1)，若数列{a n}，{b n}都具有性质P，求所有满足条件的{a n}．1 、【答案】{2,4};2 、【答案】13;3 、【答案】 √5;4 、【答案】 x 13;5 、【答案】 2;6 、【答案】 36;7 、【答案】 −1;8 、【答案】 278;9 、【答案】 180;10 、【答案】 x +y −1=0;11 、【答案】 (−∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞);12 、【答案】 6;13 、【答案】 B;14 、【答案】 C;D;15 、【答案】 A;16 、【答案】 C;17 、【答案】 (1) 4π．;(2) arcsin⁡√33． ;18 、【答案】 (1) ω=12，{x |x =π3+4kπ或x =53π+4kπ,k ∈Z}． ;(2) [−12,0]．;19 、【答案】 (1) x ∈(0,803)． ;(2) 4807，288007．;20 、【答案】 (1) 2．;(2) arccos⁡11．16;(3) OM→⋅ON→=b2+4∈(6+2√5,+∞)．;21 、【答案】 (1) 3，2，5，1具有性质P，4，3，2，5，1不具有性质P．;(2) (−∞,−2]∪(0,+∞)．;(3) {a n}:1,2,3,⋯,m−1,m；{a n}:m,m−1,⋯,3,2,1；{a n}:2,1,3,⋯,m−1,m；{a n}:m−1,m,m−2,m−3,⋯,3,2,1．;。

2020年上海高考数学详解 (1)

2020年上海市⾼考数学试卷好题2020.07.07⼀.填空题（本⼤题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）7.已知⼀组数据，这四个数的中位数为，平均数为，则10.已知椭圆，直线经过椭圆右焦点，交椭圆C于P、Q两点（点P在第⼆象限），若Q关于x轴对称的点为，且满⾜，则直线的⽅程为11.已知，若存在定义域为的函数同时满⾜下列两个条件，①对任意，的值为或；②关于的⽅程⽆实数解；则的取值范围为12.已知、、、、…、是平⾯内两两互不相等的向量，满⾜，且（其中，），则的最⼤值为⼆.选择题（本⼤题共4题，每题5分，共20分）15.在棱⻓为10的正⽅体中，为左侧⾯上⼀点，已知点到的距离为3，到的距离为2，则过点且与平⾏的直线交正⽅体表⾯于两点，则点所在的平⾯是（）A. B.C. D.16.命题p：若存在且，对任意的，均有恒成⽴.已知命题：单调递减，且恒成⽴；命题：单调递增，存在，使得；则下列说法正确的是（）A.、都是p的充分条件B.只有是p的充分条件C.只有是p的充分条件D.、都不是p的充分条件三.解答题（本⼤题共5题，共14+14+14+16+18=76分）19.在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段上⼀定时间内通过的⻋辆数除以时间，⻋辆密度是该路段⼀定时间内通过的⻋辆数除以该路段的⻓度，现定义交通流量为，x为道路密度，q为⻋辆密度，，（1）若交通流量，求道路密度x的取值范围；（2）若道路密度时，测得交通流量，求⻋辆密度的最⼤值.20.双曲线与圆（）交于点（第⼀象限），曲线满⾜，且在、上，与轴的左、右交点分别记作、.（1）若，求的值；（2）若，点曲线上，且在第⼀象限，，求；（3）过点，且斜率为的直线交曲线于，两点，⽤的代数式表示，并求出的取值范围.21.已知有限数列，若满⾜，是项数，则称满⾜性质.（1）判断数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质，请说明理由；（2）若，公⽐为的等⽐数列，项数为10，具有性质，求的取值范围；（3）若是1，2，，的⼀个排列（），符合（），、都具有性质，求所有满⾜条件的.2020年上海市⾼考数学试卷好题详解2020.07.07⼀.填空题（本⼤题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）7.已知⼀组数据，这四个数的中位数为，平均数为，则【答案】【解析】由平均数为4，可得，不妨设，由中位数为，分类讨论得10.已知椭圆，直线经过椭圆右焦点，交椭圆C于P、Q两点（点P在第⼆象限），若Q关于x轴对称的点为，且满⾜，则直线的⽅程为【答案】【解析】法⼀：，且关于x轴对称的倾斜⻆为的斜率为，∴⽅程为11.已知，若存在定义域为的函数同时满⾜下列两个条件，①对任意，的值为或；②关于的⽅程⽆实数解；则的取值范围为【答案】【解析】令，解得或1，由①得，，恒成⽴，即当或时，⽅程必有实数解，⽽当且时，只需令（不唯⼀），此时⽆实数解，所以12.已知、、、、…、是平⾯内两两互不相等的向量，满⾜，且（其中，），则的最⼤值为【答案】6【解析】法⼀：设，则，由题意，知对于任意的，有，，设，则或2，且或2，所以点()同时在以为圆⼼，1或2为半径的圆上如图所示，总共有6个交点满⾜条件.法⼆：（特殊值法）不妨设，，，由可得：或2，或2，如图可知，6个交点，的最⼤值为6⼆.选择题（本⼤题共4题，每题5分，共20分）15.在棱⻓为10的正⽅体中，为左侧⾯上⼀点，已知点到的距离为3，到的距离为2，则过点且与平⾏的直线交正⽅体表⾯于两点，则点所在的平⾯是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】法⼀：直线与线段AD交于点E，∴过点且与平⾏的直线在平⾯上，可知点在平⾯上法⼆：（建系向量法）如图，建⽴空间直⻆坐标系，则点，，故存在，使得令，分别令或10，或10，或10，只有满⾜此时点在平⾯内法三：延⻓⾄点，且，延⻓⾄点，且，作矩形，如图，连接，四边形为平⾏四边形；因为点在平⾯内，点在平⾯内，且点在平⾯上⽅，点在平⾯下⽅，所以与平⾯必定相交，即点在平⾯内.16.命题p：若存在且，对任意的，均有恒成⽴.已知命题：单调递减，且恒成⽴；命题：单调递增，存在使得；则下列说法正确的是（）A.、都是p的充分条件B.只有是p的充分条件C.只有是p的充分条件D.、都不是p的充分条件【答案】A【解析】对于：取，则，所以是p的充分条件；对于：取，则，所以是p的充分条件三.解答题（本⼤题共5题，共14+14+14+16+18=76分）19.在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段上⼀定时间内通过的⻋辆数除以时间，⻋辆密度是该路段⼀定时间内通过的⻋辆数除以该路段的⻓度，现定义交通流量为，x为道路密度，q为⻋辆密度，，（1）若交通流量，求道路密度x的取值范围；（2）若道路密度时，测得交通流量，求⻋辆密度的最⼤值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）①当时，令，解得；②当时，由，不符题意；综上，.（2）当，，∴，①当时，，∴②当时，，当时，综上所述，⻋辆密度的最⼤值为.20.双曲线与圆（）交于点（第⼀象限），曲线满⾜，且在、上，与轴的左、右交点分别记作、.（1）若，求的值；（2）若，点曲线上，且在第⼀象限，，求；（3）过点，且斜率为的直线交曲线于，两点，⽤的代数式表示，并求出的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）；（2），是双曲线的两个焦点，在第⼀象限的双曲线上，法⼀：，，由余弦定理，得；法⼆：（焦半径公式）设，则（3）由题意，知直线，平⾏于双曲线的⼀条渐近线，化为，所以直线是圆的切线，不妨设切点为.法⼀：则，与圆联⽴，可得.由图可知，只有在如图状态下，直线才会与图像有两个交点.可知圆与双曲线的交点恒在的上⽅，即.法⼆：（共同），，⼜因为在上的投影为，所以.21.已知有限数列，若满⾜，是项数，则称满⾜性质.（1）判断数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质，请说明理由；（2）若，公⽐为的等⽐数列，项数为10，具有性质，求的取值范围；（3）若是1，2，，的⼀个排列（），符合（），、都具有性质，求所有满⾜条件的.【答案】（1）数列3、2、5、1具有性质，数列4、3、2、5、1不具有性质；（2）；（3）为或或或.【解析】（1）对于数列3、2、5、1，有，，，满⾜题意，∴该数列具有性质；对于数列4、3、2、5、1，有，，，不满⾜题意，∴该数列不具有性质.（2）由题意，可得，即（*），对恒成⽴法⼀：①当时，则；②当时，则；③当时，则，当为偶数时不成⽴，舍；④当时，若为奇数，则，恒成⽴；若为偶数，则对恒成⽴，令，则在上单调递增综上：.法⼆：两边平⽅，得，①当时，得对恒成⽴②当时，得对恒成⽴，；③当时，得对恒成⽴.当为奇数时，得，明显成⽴，当为偶数时，得，明显不成⽴，舍去.④当时，得对恒成⽴.当为奇数时，得，明显成⽴，当为偶数的时候，得恒成⽴，即恒成⽴，，综上，.（3）对以下四种情况进⾏枚举：①当时，只有满⾜性质也满⾜性质；②当时，只有满⾜性质也满⾜性质；③当时，只有满⾜性质也满⾜性质；④当时，只有满⾜性质也满⾜性质.当不是以上四种情况时，设，，∵具有性质，必是的⼀个排列，必是的⼀个排列，因此的前五项有以下组合：①当时，，与满⾜性质⽭盾，舍去；②当时，，与满⾜性质⽭盾，舍去；③当时，，与满⾜性质⽭盾，舍去；④当时，，与满⾜性质⽭盾，舍去.∴当时，均不能同时使、都具有性质，综上，满⾜题意的数列为或或或.2020年上海市⾼考数学试卷2020.07.07⼀.填空题（本⼤题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1.已知集合，，则2.求极限3.已知复数满⾜（为虚数单位），则__________．4.已知函数，则其反函数5.已知⾏列式，则⾏列式6.已知x、y满⾜，则的最⼤值为7.已知⼀组数据，这四个数的中位数为，平均数为，则8.已知等差数列的⾸项，且满⾜，则9.抗击疫情期间，要从位志愿者中选4位去值班，每⼈值班⼀天，第⼀天1个⼈，第⼆天1个⼈，第三天2个⼈，问共有种排法10.已知椭圆，直线经过椭圆右焦点，交椭圆C于P、Q两点（点P在第⼆象限），若Q关于x轴对称的点为，且满⾜，则直线的⽅程为11.已知，若存在定义域为的函数同时满⾜下列两个条件，①对任意，的值为或；②关于的⽅程⽆实数解；则的取值范围为12.已知、、、、…、是平⾯内两两互不相等的向量，满⾜，且（其中，），则的最⼤值为⼆.选择题（本⼤题共4题，每题5分，共20分）13.下列不等式恒成⽴的是（）A. B.C. D.14.已知直线⽅程的⼀个参数⽅程可以是（）A. B. C. D.15.在棱⻓为10的正⽅体中，为左侧⾯上⼀点，已知点到的距离为3，到的距离为2，则过点且与平⾏的直线交正⽅体表⾯于两点，则点所在的平⾯是（）A. B.C. D.16.命题p：若存在且，对任意的，均有恒成⽴.已知命题：单调递减，且恒成⽴；命题：单调递增，存在，使得；则下列说法正确的是（）A.、都是p的充分条件B.只有是p的充分条件C.只有是p的充分条件D.、都不是p的充分条件三.解答题（本⼤题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.已知边⻓为1的正⽅形，正⽅形绕旋转形成⼀个圆柱.（1）求圆柱的表⾯积；（2）正⽅形绕逆时针旋转到，求与平⾯所成的⻆.18.已知（）.（1）的周期是，求，并求此时的解集；（2）已知，，，求的值域.19.在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段上⼀定时间内通过的⻋辆数除以时间，⻋辆密度是该路段⼀定时间内通过的⻋辆数除以该路段的⻓度，现定义交通流量为，x为道路密度，q为⻋辆密度，，（1）若交通流量，求道路密度x的取值范围；（2）若道路密度时，测得交通流量，求⻋辆密度的最⼤值.20.双曲线与圆（）交于点（第⼀象限），曲线满⾜，且在、上，与轴的左、右交点分别记作、.（1）若，求的值；（2）若，点曲线上，且在第⼀象限，，求；（3）过点，且斜率为的直线交曲线于，两点，⽤的代数式表示，并求出的取值范围.21.已知有限数列，若满⾜，是项数，则称满⾜性质.（1）判断数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质，请说明理由；（2）若，公⽐为的等⽐数列，项数为10，具有性质，求的取值范围；（3）若是1，2，，的⼀个排列（），符合（），、都具有性质，求所有满⾜条件的.2020年上海市⾼考数学试卷解析2020.07.07⼀.填空题（本⼤题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1、已知，则__________．【答案】2.求极限【答案】3、已知复数满⾜（为虚数单位），则__________．【答案】4、已知，则其反函数__________．【答案】5、已知⾏列式，则⾏列式__________．【答案】【解析】按余⼦式展开，，∴6.已知x、y满⾜，则的最⼤值为【答案】【解析】可⾏域的三个顶点为、、，依次代⼊可知7.已知⼀组数据，这四个数的中位数为，平均数为，则【答案】【解析】由平均数为4，可得，不妨设，由中位数为，分类讨论得8、已知数列是不为零的等差数列，且，则__________．【答案】【解析】由原式9.抗击疫情期间，要从位志愿者中选4位去值班，每⼈值班⼀天，第⼀天1个⼈，第⼆天1个⼈，第三天2个⼈，问共有种排法【答案】【解析】由乘法原理，得10.已知椭圆，直线经过椭圆右焦点，交椭圆C于P、Q两点（点P在第⼆象限），若Q关于x轴对称的点为，且满⾜，则直线的⽅程为【答案】【解析】法⼀：，且关于x轴对称的倾斜⻆为的斜率为，∴⽅程为11.已知，若存在定义域为的函数同时满⾜下列两个条件，①对任意，的值为或；②关于的⽅程⽆实数解；则的取值范围为【答案】【解析】令，解得或1，由①得，，恒成⽴，即当或时，⽅程必有实数解，⽽当且时，只需令（不唯⼀），此时⽆实数解，所以12.已知、、、、…、是平⾯内两两互不相等的向量，满⾜，且（其中，），则的最⼤值为【答案】6【解析】法⼀：设，则，由题意，知对于任意的，有，，设，则或2，且或2，所以点()同时在以为圆⼼，1或2为半径的圆上如图所示，总共有6个交点满⾜条件.法⼆：（特殊值法）不妨设，，，由可得：或2，或2，如图可知，6个交点，的最⼤值为6⼆.选择题（本⼤题共4题，每题5分，共20分）13.下列不等式恒成⽴的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】对于B，整理得，显然成⽴；其他选项，取特殊值验证即可判断：对于A：取；对于C：取；对于D：.14.已知直线⽅程的⼀个参数⽅程可以是（）A. B. C. D.【答案】D15.在棱⻓为10的正⽅体中，为左侧⾯上⼀点，已知点到的距离为3，到的距离为2，则过点且与平⾏的直线交正⽅体表⾯于两点，则点所在的平⾯是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】法⼀：直线与线段AD交于点E，∴过点且与平⾏的直线在平⾯上，可知点在平⾯上法⼆：（建系向量法）如图，建⽴空间直⻆坐标系，则点，，故存在，使得令，分别令或10，或10，或10，只有满⾜此时点在平⾯内法三：延⻓⾄点，且，延⻓⾄点，且，作矩形，如图，连接，四边形为平⾏四边形；因为点在平⾯内，点在平⾯内，且点在平⾯上⽅，点在平⾯下⽅，所以与平⾯必定相交，即点在平⾯内.16.命题p：若存在且，对任意的，均有恒成⽴.已知命题：单调递减，且恒成⽴；命题：单调递增，存在使得；则下列说法正确的是（）A.、都是p的充分条件B.只有是p的充分条件C.只有是p的充分条件D.、都不是p的充分条件【答案】A【解析】对于：取，则，所以是p的充分条件；对于：取，则，所以是p的充分条件三.解答题（本⼤题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.已知边⻓为1的正⽅形，正⽅形绕旋转形成⼀个圆柱.（1）求圆柱的表⾯积；（2）正⽅形绕逆时针旋转到，求与平⾯所成的⻆.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）由题意知：此圆柱底⾯半径为，⾼为，记侧⾯积为，底⾯积为，则，，该圆柱的表⾯积为．（2）连结，因为，，，所以平⾯．为直线在平⾯直线上的射影，设与平⾯所成的夹⻆为，则,因此直线与平⾯所成的夹⻆为．18.已知（）.（1）的周期是，求，并求此时的解集；（2）已知，，，求的值域.【答案】（1），解集为或；（2），值域为.【解析】（1）由题意可得，所以；所以此时由，可得或者，其中最终解得；（2）由题意可得，此时，所以，经化简可得，所以当时，，即在时为单调递减函数，在时为单调递增函数，所以，，所以的值域为.19.在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段上⼀定时间内通过的⻋辆数除以时间，⻋辆密度是该路段⼀定时间内通过的⻋辆数除以该路段的⻓度，现定义交通流量为，x为道路密度，q为⻋辆密度，，（1）若交通流量，求道路密度x的取值范围；（2）若道路密度时，测得交通流量，求⻋辆密度的最⼤值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）①当时，令，解得；②当时，由，不符题意；综上，.（2）当，，∴，①当时，，∴②当时，，当时，综上所述，⻋辆密度的最⼤值为.20.双曲线与圆（）交于点（第⼀象限），曲线满⾜，且在、上，与轴的左、右交点分别记作、.（1）若，求的值；（2）若，点曲线上，且在第⼀象限，，求；（3）过点，且斜率为的直线交曲线于，两点，⽤的代数式表示，并求出的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）；（2），是双曲线的两个焦点，在第⼀象限的双曲线上，法⼀：，，由余弦定理，得；法⼆：（焦半径公式）设，则（3）由题意，知直线，平⾏于双曲线的⼀条渐近线，化为，所以直线是圆的切线，不妨设切点为.法⼀：则，与圆联⽴，可得.由图可知，只有在如图状态下，直线才会与图像有两个交点.可知圆与双曲线的交点恒在的上⽅，即.法⼆：（共同），，⼜因为在上的投影为，所以.21.已知有限数列，若满⾜，是项数，则称满⾜性质.（1）判断数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质，请说明理由；（2）若，公⽐为的等⽐数列，项数为10，具有性质，求的取值范围；（3）若是1，2，，的⼀个排列（），符合（），、都具有性质，求所有满⾜条件的.【答案】（1）数列3、2、5、1具有性质，数列4、3、2、5、1不具有性质；（2）；（3）为或或或.【解析】（1）对于数列3、2、5、1，有，，，满⾜题意，∴该数列具有性质；对于数列4、3、2、5、1，有，，，不满⾜题意，∴该数列不具有性质.（2）由题意，可得，即（*），对恒成⽴法⼀：①当时，则；②当时，则；③当时，则，当为偶数时不成⽴，舍；④当时，若为奇数，则，恒成⽴；若为偶数，则对恒成⽴，令，则在上单调递增综上：.法⼆：两边平⽅，得，①当时，得对恒成⽴②当时，得对恒成⽴，；③当时，得对恒成⽴.当为奇数时，得，明显成⽴，当为偶数时，得，明显不成⽴，舍去.④当时，得对恒成⽴.当为奇数时，得，明显成⽴，当为偶数的时候，得恒成⽴，即恒成⽴，，综上，.（3）对以下四种情况进⾏枚举：①当时，只有满⾜性质也满⾜性质；②当时，只有满⾜性质也满⾜性质；③当时，只有满⾜性质也满⾜性质；④当时，只有满⾜性质也满⾜性质.当不是以上四种情况时，设，，∵具有性质，必是的⼀个排列，必是的⼀个排列，因此的前五项有以下组合：①当时，，与满⾜性质⽭盾，舍去；②当时，，与满⾜性质⽭盾，舍去；③当时，，与满⾜性质⽭盾，舍去；④当时，，与满⾜性质⽭盾，舍去.∴当时，均不能同时使、都具有性质，综上，满⾜题意的数列为或或或.。