函数与方程思想在高中的应用

函数与方程思想在高考中的应用

组长：潘云鹏 12033034

组员：夏炎 12304177

杨岑 12304154

张瑶 12304184

孙雪 12304013

高清华 12304196

谭博闻 12304159

郭志岩 12304143

刘春旭 12304009 函数与方程思想在高考中的应用

摘要本文阐述了函数思想与方程思想的概念、二者之间的相互转换及在转换时需要注意的一些问题.用典型的例题阐明用函数与方程思想方法能够轻易解决数学学科中不等式、数列、二项式定理、三角函数、平面向量、解析几何、立体几何、概率与统计、导数、实际问题等难以突破的部分，并且它也应用在其他学科领域中.并结合中学数学教学，提出教师应该在教学中有意培养学生的函数与方程思想，并且给出了具体可行性的建议.

一.函数与方程思想的概念

1.函数思想

函数思想是一种通过构造函数从而应用函数图象、性质解题的思想方法，即用运动变化的思想观点，分析和研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式把这种数量关系表示出来，并加以研究其内在的联系，使问题获解．应用函数思想解题的基础是：常见函数的单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换等；熟练掌握一次函数、二次函数、指对数函数等具体特征；应用函数思想解题的关键是：善于观察题目的结构特征，揭示内在联系，挖掘隐含条件，从而恰当地构造函数和利用函数性质去解题．．

2.方程思想

方程思想是若干变量关系是通过解析式表示的，则可以把解析式看成一个等式，然后通过方程的讨论从而使问题获解．许多问题中含有常量、变量和参量，可以通过适当方式，运用方程的观点去观察、

深入分析问题的结构特点，抓住某一个关键变量，构造出这种等式来处理．两种思想方法是相辅相成的，有关方程、不等式、最值等问题，利用函数、方程观点加以分析，常可以使问题“明朗化”，从而易于找到适当解题途径．

3.函数与方程思想的相互转化

很明显，只有在对问题的观察、分析、判断等一系列的思维过程中，具备有标新立异、独树一帜的深刻性、独创性思维，才能构造出函数原型，化归为方程的问题，实现函数与方程的互相转化接轨，达到解决问题的目的．

方程与函数是中学数学的重点内容，占了相当多的份量，其中某些内容既是重点又是难点．例如，列方程（组）解应用题，函数的定义和性质，反函数的概念，平面解几里曲线的方程，方程的曲线的概念等等．方程的思想和函数的思想是处理常量数学与变量数学的重要思想，在解决一般数学问题中具有重大的方法论意义．在中学数学里，对各类代数方程和初等超越方程都作了较为系统的研究．对一个较为复杂的问题，常常先通过分析等量关系，列出一个或几个方程或函数关系式，再解方程（组）或研究这函数的性质，就能很好地解决问题．函数知识涉及到的知识点多，面广，在概念性、应用性、理解性上能达到一定的要求，有利于检测学生的深刻性、独创性思维．

二.函数思想在解题中的应用分析

函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的

取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。

纵观近几年的高考试题，函数的主干知识、知识的综合应用以及函数与方程思想等数学思想方法的考查，一直是高考的重点内容之

一。在高考试卷上，与函数相关的试题所占比例始终20%左右，且试题中既有灵活多变的客观性试题，又有一定能力要求的主观性试题。函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重比较大，综合知识多、题型多、应用技巧多。在高中新课标数学中，还安排了函数与方程这一节内容，可见其重要所在。

在近几年的高考中，函数思想主要用于求变量的取值范围、解不等式等，方程观点的应用可分为逐步提高的四个层次：(1)解方程；

(2)含参数方程讨论；(3)转化为对方程的研究，如直线与圆、圆锥曲线的位置关系，函数的性质，集合关系；(4)构造方程求解。

三.函数与方程思想在解方程中的具体应用

例题1.（2009福建卷）若函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 则()f x 可以是

A. ()41f x x =-

B. ()2(1)f x x =-

C. ()1x f x e =-

D. ()12f x In x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭

答案 A

解析 ()41f x x =-的零点为x=41,()2(1)f x x =-的零点为x=1, ()1x f x e =-的零点为x=0, ()12f x In x ⎛⎫=- ⎪⎝

⎭的零点为x=23.现在我们来估算()422x g x x =+-的零点，因为g(0)= -1,g(21)=1,所以g(x)的零点x ∈(0, 21),又函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25，只有()41f x x =-的零点适合，故选A 。

【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答

例题2. (广东卷)已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是( ).

Ａ. 5 Ｂ. 4 Ｃ. 3 Ｄ. 2

解析：设等差数列的首项为a 1，公差为d 据题意得：

答案：C

点评：运用等差、等比数列的基本量(a 1，d ，q )列方程，方程组是

求解数列基本问题的通法.

例题3.直线和双曲线的左支交于A 、B 两点，直线l 过点P(－2，0)和线段AB 的中点M ，求l 在y 轴上的截距b 的取值范围．

分析：

b 的变化是由于k 的变化而引起的，即对于k 的任一确定的值，b 有确定的值与之对应，因此b 是k 的函数，本题即为求这个函数的值域．