绘制根轨迹图示例
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根轨迹绘制的基本法则
规则七、 根轨迹与虚轴的交点：交点和相应的Kr值 利用劳斯判据求出。 根轨迹与虚轴的交点对应于临界稳定状态，此时系统 出现虚根。 在例4-2-2中，系统闭环特征方程式为：
1 Kr ( s 5) s ( s 1)( s 2)
1 3 6 2K r 3 5K r
0,
s( s 1)( s 2) K r ( s 5) 0
同理可证明入射角。
例4-2-3
设系统开环零极点图如图4-7。p
0 0
j
3
确定根轨迹离开共轭复数根的出射角。
其中 ( p3 z1 ) 85 , ( p3 p1 ) 135
( p3 p2 ) 45 , ( p3 p4 ) 90
0 0
×●
P3
P2 × ●
n m j j 1 i 1
i
nm
对例4-2-2，渐近线与实轴夹角为：
l 180 n m
180 l 2
( l 1,3,) 90 , 90 ( 270 )
0
0 0
交点坐标为：
1 2 ( 5 ) 2
1 , 即（1，j0）。
j
●
× × ×
﹣2 ﹣1
P3
s0 点为从 p3 出发的根轨迹上一点。
z ( p1 p 2 p 3 p 4 ) 180 l
0
j
×●
z
P3
P1
p 3 180 l z ( p1 p 2 p 4 )
0
P2
×●
Z1
×
01 P
P2
P2 × ●
第四章课件根轨迹
经整理得： 2 s3 1s2 1 2s 0 8 0 s0.55
法则6 根轨迹的起始角和终止角：
根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹 角，称为起始角，以 p i 表示；
根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹 角，称为终止角，以 z i表示。
起始角、终止角可根据下式求出：
pi
(2k1)
m
j1 zj
法则3 根轨迹的渐近线：
当系统开环极点个数n大于开环零点个数m时， 有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交角为 、交a 点为 的一组 a 渐近线趋向于无穷远处，且有
a
(2k1)
nm
n
m
pi zj
σa
i1
j1
nm
(k0,1,2,,nm1)
证明：根轨迹方程式可写成如下形式：
m
G(s)H(s) K*
(s zj )
设系统的开环传递函数为： G(s)H(s)K* P(s)
系统的特征方程式为：
Q(s)
D (s) 1 G (s)H (s) 1 K * P (s) Q (s) K * P (s) 0 Q (s)
对上式求导，得到： D ( s ) Q (s ) K * P ( s ) 0
由以上两式消去 K *得到
Q (s )P (s ) Q (s )P (s ) 0
点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。 证明：
设s0为实轴上的某一测试点； j是各个开环零点到s0点向量的相角； i是各个开环极点到s0点向量的相角。
因为复数共轭零、极点到实轴上的任一点
的向量相角之和为2 ，因此在确定实轴上
的根轨迹时，可以不考虑它们的影响。
由图可见,s0点右边开 环实数零极点到s0点的向量 相角均为。
自动控制原理第四章根轨迹法
i 1
j 1
开环极点到此被测零点 (终点)的矢量相角
8. 根轨迹的平衡性(根之和） （ n-m 2）
特征方程 Qs KPs 0
sn an1sn1 a1s a0 K sm bm1sm1 b1s b0 0
n
Qs KPs s p j sn cn1sn1 c1s c0 0 j 1
i 1
j1
k 0,1,2,
s zoi i 开环有限零点到s的矢量的相角
s poj j 开环极点到s的矢量的相角
矢量的相角以逆时针方向为正。
幅值条件：
s
m
m
s zoi
li
A s
i 1 n
i 1 n
s poj
Lj
j 1
j1
li αi
-zoi
Lj βj
×
-poj
开 环 有 限 零 点 到s的 矢 量 长 度 之 积 开环极点到s的矢量长度之积
， 2 2
c 2k 11800 2
由此可推理得到出射角：
其余开环极点到被测极 点(起点)的矢量相角
n1
m
c 2k 1180o j i
j 1
i 1
有限零点到被测极点
(起点)的矢量相角
同理入射角：
其余开环有限零点到被测 零点(终点)的矢量相角
m1
n
r 2k 1180o i j
1 GsHs 0
m
GsHs
KPs Qs
K
i 1
n
s
s
zoi
poj
j 1
P s sm bm1sm1 b1s b0
Q s sn an1sn1 a1s a0
于是，特征方程
(自动控制)第四章：根轨迹法
动态性能：从根轨迹图可以分析出系统的工作状态，
如过阻尼状态、欠阻尼状态……
根轨迹增益、闭环零极点与开环零极点的关系 l f
* G(s)= KG
∏( s-p ) i i=1
f i i 1 H q
q
∏( s-z ) i i=1
;
l
j=1 * H (s)= KH h
f l m
∏(s-zj )
C(s)
C ( s) 2k 2 R ( s ) S 2 S 2k
特征方程（闭环）：
S2+2s+2k=0
k s(0.5s+1)
特征根：s1,2= －1±√1－2k k=0时， s1=0, s2=－2
K:0 ~ ∞
0＜k＜0.5 时，两个负实根 ；若s1=－0.25, s2=? k=0.5 时，s1=s2=－1 0.5＜k＜∞时，s1,2=－1±j√2k－1 j
注意：一组根对应同一个K；
K一变，一组根变； K一停，一组根停；
-2
-1
0
由以上分析，s1、s2两条根轨迹反映了系统特征根随参 数k变化的规律，组成了系统的根轨迹。 1.二阶系统有两个特征根，它的根轨迹有两条分支； 一个n阶系统的根轨迹则应有n条分支。 2.k＝0时的闭环极点，s1=0、s2=-2正好是开环传递函 数的两个极点，因此说，系统开环极点就是它各条根轨 迹的起点。 3. k＝∞时的闭环极点，是根轨迹的终点。 4.特征方程的重根点是根轨迹的分支离开负实轴进入复 数平面的分支点。
a.系统响应单调上升（ξ>1）系统具有两个不相等的负实根┈ 过阻尼响应。 b.系统响应衰减振荡（0＜ξ＜1）系统具有一对负实部的共 轭复根┈欠阻尼响应。
第四章根轨迹1
根轨迹示例1
j
j j
j j
0
j
0
0
0
0
0
同学们，头昏了吧？
j
j
j
j j 0
0
0
0
根轨迹示例2
j
jLeabharlann jj0j j 0 0
0
0
0
n=[1 2];d=conv([1 2 0],[1 262]);rlocus(n,d) n=1;d=conv([1 5],[[1 10]);rlocus(n,d)
j
j j
0
j
s(s 2)(s 3) K1 (s 1) 0
K1 ( s 1) 1 G( s) H ( s) 1 s( s 2)( s 3)
• 开环传递函数为：
K1 ( s 1) G( s) H ( s) s( s 2)( s 3)
开环传递函数的三个极点为： 时特征方程式的三个根相同
1
K1 G(s) H ( s) s( s 1)( s 2) p1 0 p2 1 p3 2
K1达到某一数值
时，两条根轨迹汇合在一起，然后随 的继续增大，从负实轴上 K1 分离出来进入右半平面，最后趋向无穷远处 另一条 p3 2 从出发，随 K 的增大一直沿着负实轴趋向于 1 负无穷远处。
确定闭环特征方程式的根轨迹，判断 与虚轴交点
s 3s 2s K1 0
3 2
用劳斯判据
设系统特征方程为：
s3+3s2+2s+K=0 劳 斯 表
s3 1 2 s2 3 k s1 (6-k)/3 s0 K
第一列全大于零, 系统稳定
3s2+K= 3s2 +6+0
第4章根轨迹PPT
轨迹 例如
( s 1) 10 G1 ( s) ; H ( s) s( s 2) ( s 3)
则闭环传递函数 为 ( s 1) ( s 1)(s 3) s ( s 2) G( s) ( s 1) 10 s ( s 2)(s 3) 10( s 1) 1 s( s 2) ( s 3)
＊
软实验
轨迹
§4—5 正反馈系统的根轨迹
一、正反馈系统的特征方程 传递函数
Y ( s) G1 ( s) G( s) X ( s) 1 G1 ( s) H ( s)
X(s)
G1(S) H(S)
Y(s)
特征方程
1 G1 (s) H (s) 1 G0 (s) 0
简写为
G0 ( s) 1
轨迹例41的分离点和汇合点24225gssssks??????得到593338067j046067j0460gdkds?轨迹规则五根轨迹的出射角与入射角?当系统有复数开环零极点时?确定在开环极点出发或在开环零点终止的根轨迹变化趋势?出射角?根轨迹离开复数开环极点处的切线与正实轴方向的夹角入射角?根轨迹进入复数开环零点处的切线与正实轴方向的夹角在复数开环极点处的出射角为在复数开环零点处的入射角为轨迹证明?设想在离开环极点p1处很近的地方找一点sd?若该点在根轨迹上?则应满足相角条件?即因此可解出p1处的出射角其中?同理?可证明入射角的计算公式
8a K1 开环 ：G0 ( s ) 3 2 s ( s 3s 7 s 8) s ( s 3 3s 2 7 s 8)
＊
轨迹 求 的根较困难，所以，先绘出内环
的根轨迹，根轨迹上 K11=8 的地方是外环的部分开环极点。
绘制内环的根轨迹：
根轨迹法PPT课件
定闭环极点位置。另一方面分析设计系统时经常要研究一个 或者多个参量在一定范围内变化时对闭环极点位置及系统性 能的影响.
W.R.EVAOVS(依万斯)于1948年首先提出了求解特征方程 式根的图解法─根轨迹法。
根轨迹简称根迹，它是开环系统某一参数从零变到无穷
时，闭环系统特征方程的根在 s 平面上变化的轨迹。
解： n 3，m 0
① p1 0，p2 1，p3 2 为根轨迹的起点；
开环无零点，故三个分支终点均趋向无穷远。
②
a
(2q 1)
nm
(2q 1)
3
60、180、300
(q 0,1,2)
n
m
a
i 1
pi z j
j 1
nm
3 0 1 3
③ 实轴上根轨迹：
（ ,2]，[1,0]
j
p3 2
第四章 线性系统的根轨迹法
§4-1 根轨迹法的基本概念 §4-2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 §4-3 参数根轨迹 §4-4 正反馈回路和零度根轨迹 §4-5 利用根轨迹法分析系统的暂态响应
§4-1 根轨迹法的基本概念
一、根轨迹的概念
从上一章讨论知道，闭环系统的动态性能与闭环极点在
s 平面上的位置是密切相关的，分析系统性能时往往要求确
对于实轴上0至1线段的实数根而言，其对应的K*值在
b 点为极大值。
可以证明，当l 条根轨迹分支进入并立即离开分离点时，
分离角为 (2k 1) l .
k 0，1， ，l -1
例4-3：求上例中 b 点的坐标。
[规则3] 根轨迹的渐进线
当开环有限极点数 n大于有限零点数时，有 (n m)
条根轨迹分支沿着与实轴交角为 a 、交点为 a的一组
W.R.EVAOVS(依万斯)于1948年首先提出了求解特征方程 式根的图解法─根轨迹法。
根轨迹简称根迹，它是开环系统某一参数从零变到无穷
时，闭环系统特征方程的根在 s 平面上变化的轨迹。
解： n 3，m 0
① p1 0，p2 1，p3 2 为根轨迹的起点；
开环无零点，故三个分支终点均趋向无穷远。
②
a
(2q 1)
nm
(2q 1)
3
60、180、300
(q 0,1,2)
n
m
a
i 1
pi z j
j 1
nm
3 0 1 3
③ 实轴上根轨迹：
（ ,2]，[1,0]
j
p3 2
第四章 线性系统的根轨迹法
§4-1 根轨迹法的基本概念 §4-2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 §4-3 参数根轨迹 §4-4 正反馈回路和零度根轨迹 §4-5 利用根轨迹法分析系统的暂态响应
§4-1 根轨迹法的基本概念
一、根轨迹的概念
从上一章讨论知道，闭环系统的动态性能与闭环极点在
s 平面上的位置是密切相关的，分析系统性能时往往要求确
对于实轴上0至1线段的实数根而言，其对应的K*值在
b 点为极大值。
可以证明，当l 条根轨迹分支进入并立即离开分离点时，
分离角为 (2k 1) l .
k 0，1， ，l -1
例4-3：求上例中 b 点的坐标。
[规则3] 根轨迹的渐进线
当开环有限极点数 n大于有限零点数时，有 (n m)
条根轨迹分支沿着与实轴交角为 a 、交点为 a的一组
自动控制原理第4章-根轨迹
zl
1800
m
( zl
j 1 jl
zj)
n
( zl
j 1
p
j
)
第四章 根轨迹法
4.2.3 绘图示例
G(s)H (s)
K
s(s 1)(s 2)
闭环特征方程 : s3 3s2 2s K 0
按7个基本规则绘制根轨迹图：
首先，系统有三个无穷远
零点，有三个开环极点：
p1=0，p2=-1，p3=-2，将它们 标在复平面上。
第四章 根轨迹法
7、 根轨迹的出射角和入射角
根轨迹从某个开环极点出发时的切线与正实轴的夹角称
为出射角，根轨迹从开环极点pi出发的出射角为：
pi
1800
m
( pi
j 1
zj)
n
( pi
j 1
p
j
)
ji
根轨迹进入某个开环零点的切线与正实轴的夹角称为 入射角，根轨迹进入开环零点Zl的入射角为：
根据规则1)和2)，根轨
迹将有3支，分别开始于这
三个开环极点，趋向无穷
远。
第四章 根轨迹法
根据规则3)，根轨迹有3根渐近线，它们与实轴的夹角是：
k
(2k
1)1800 3
,
k 0,1,2
0 600 ,1 1800 ,2 3000
所有渐近线交于实轴上 的一点，其坐标为：
0 1 2 1
3
1 K (s z1 )(s z2 )....(s zm ) 0 (s p1 )(s p2 )....(s pn )
m
上式变形： K (s zl )
l 1 n
1 0 ——典型根轨迹方程
(s pi )
根轨迹示例之三：根轨迹与性能指标
K p lim G ( s) lim
s 0 s 0
＊
K* 2 0.2 ( s 1)(s 6s 10) 10
2
ess
1 1 0#################################
分离点， d 2
0.707 s1, 2 2 j 2
，
k g 8, k 2
闭环传递函数 ( s)
16 ( s 2)(s 2 j 2)(s 2 j 2)
y(t ) 1 2e 2t 2e 2t sin( 2t 45 )
（ 8 1 s） s(s 6)
W ( s ) s
等效开环传递函数：
(GH )e
8s s 6s 8
2
Im
由此可画出如图所示的以τ 为变量的根轨迹图。 由图可见，由于增加了并联校正环节，实际上 是增加了一个零点， 不管τ 值如何变化， 闭环系统 恒有 2 个负实极点， 因此系统的单位阶跃响应呈现 过阻尼(非振荡)特性。 -4 -2 0 Re
3． （8 分/100 分）系统结构如图所示。现设计一并联校正环节 W(s)=τ s，试用根轨迹分析 校正后的单位阶跃响应。 （要求：详细写出绘制根轨迹的步骤。 ）
X(s)
解：加上并联校正环节 W(s)=τ s 后的开环传递函数：
G0 ( s)
8 s( s 6)
Y(s)
G( s) H ( s)
根轨迹示例－3――根轨迹与性能指标
1. 系统结构如下图所示。画出其根轨迹，并求出当闭环共轭复数极点呈现阻尼比 ζ＝0.707 时，系统的单位阶跃响应。 （列出详细步骤）
2003 年第 12 题结构图 解： 注意到有零极点相消
s 0 s 0
＊
K* 2 0.2 ( s 1)(s 6s 10) 10
2
ess
1 1 0#################################
分离点， d 2
0.707 s1, 2 2 j 2
，
k g 8, k 2
闭环传递函数 ( s)
16 ( s 2)(s 2 j 2)(s 2 j 2)
y(t ) 1 2e 2t 2e 2t sin( 2t 45 )
（ 8 1 s） s(s 6)
W ( s ) s
等效开环传递函数：
(GH )e
8s s 6s 8
2
Im
由此可画出如图所示的以τ 为变量的根轨迹图。 由图可见，由于增加了并联校正环节，实际上 是增加了一个零点， 不管τ 值如何变化， 闭环系统 恒有 2 个负实极点， 因此系统的单位阶跃响应呈现 过阻尼(非振荡)特性。 -4 -2 0 Re
3． （8 分/100 分）系统结构如图所示。现设计一并联校正环节 W(s)=τ s，试用根轨迹分析 校正后的单位阶跃响应。 （要求：详细写出绘制根轨迹的步骤。 ）
X(s)
解：加上并联校正环节 W(s)=τ s 后的开环传递函数：
G0 ( s)
8 s( s 6)
Y(s)
G( s) H ( s)
根轨迹示例－3――根轨迹与性能指标
1. 系统结构如下图所示。画出其根轨迹，并求出当闭环共轭复数极点呈现阻尼比 ζ＝0.707 时，系统的单位阶跃响应。 （列出详细步骤）
2003 年第 12 题结构图 解： 注意到有零极点相消
3特殊根轨迹绘制
三、参变量根轨迹
以上讨论的是系统根轨迹增益 K g 作为参变量时闭环根轨迹的作图规 则，但实际情况不完全是这样的。当以系统中其它参数作为变量（时 间常数、反馈系数、开环零点和极点等）时的根轨迹称为参变量根轨 迹或广义根轨迹。 其处理方法是：将原来的开环传递函数经过数学变换成以参变量作 为“根轨迹增益”的等效开环传递函数形式，然后依上述的作图规则 绘制根轨迹图。 绘制参量根轨迹的步骤： 列出系统的闭环特征方程； 以特征方程中不含参变量的各项除特征方程，得等效的系统根轨 迹方程。该参量称为等效系统的根轨迹增益。 用已知的方法绘制等效系统的根轨迹，即为原系统的参量根轨迹。
根据根轨迹增益的正负、反馈结构（正反馈、负反馈） 根据根轨迹增益的正负、反馈结构（正反馈 、负反馈 ） ，可以 分别得到根轨迹方程， 根轨迹， 分别得到根轨迹方程，分析可知无论是180° 根轨迹还是0° 根轨迹， 它们所不同的是相角方程，幅值方程是一样的， 它们所不同的是相角方程，幅值方程是一样的 ，具体的对应关系 总结如下表。 总结如下表。
序号 1 2
Kg
0 ≤ K g < +∞
负反馈结构
正反馈结构
180° 根轨迹
0 0 根轨迹
180°根轨迹
− ∞ < Kg ≤ 0
00
根轨迹
在s平面右半部具有开环零点和(或)极点的反馈系统称为非最小 平面右半部具有开环零点和( 相位系统。反之，则称之为最小相位系统。 相位系统。反之，则称之为最小相位系统。 非最小相位系统的根轨迹绘制方法原则上与最小相位系统的根轨 迹绘制方法相同。但是，需要预先把系统的开环传递函数整理成标准 形式，方可根据非最小相位系统的具体结构，确定系统的根轨迹是 180°根轨迹还是0 °根轨迹。
以上讨论的是系统根轨迹增益 K g 作为参变量时闭环根轨迹的作图规 则，但实际情况不完全是这样的。当以系统中其它参数作为变量（时 间常数、反馈系数、开环零点和极点等）时的根轨迹称为参变量根轨 迹或广义根轨迹。 其处理方法是：将原来的开环传递函数经过数学变换成以参变量作 为“根轨迹增益”的等效开环传递函数形式，然后依上述的作图规则 绘制根轨迹图。 绘制参量根轨迹的步骤： 列出系统的闭环特征方程； 以特征方程中不含参变量的各项除特征方程，得等效的系统根轨 迹方程。该参量称为等效系统的根轨迹增益。 用已知的方法绘制等效系统的根轨迹，即为原系统的参量根轨迹。
根据根轨迹增益的正负、反馈结构（正反馈、负反馈） 根据根轨迹增益的正负、反馈结构（正反馈 、负反馈 ） ，可以 分别得到根轨迹方程， 根轨迹， 分别得到根轨迹方程，分析可知无论是180° 根轨迹还是0° 根轨迹， 它们所不同的是相角方程，幅值方程是一样的， 它们所不同的是相角方程，幅值方程是一样的 ，具体的对应关系 总结如下表。 总结如下表。
序号 1 2
Kg
0 ≤ K g < +∞
负反馈结构
正反馈结构
180° 根轨迹
0 0 根轨迹
180°根轨迹
− ∞ < Kg ≤ 0
00
根轨迹
在s平面右半部具有开环零点和(或)极点的反馈系统称为非最小 平面右半部具有开环零点和( 相位系统。反之，则称之为最小相位系统。 相位系统。反之，则称之为最小相位系统。 非最小相位系统的根轨迹绘制方法原则上与最小相位系统的根轨 迹绘制方法相同。但是，需要预先把系统的开环传递函数整理成标准 形式，方可根据非最小相位系统的具体结构，确定系统的根轨迹是 180°根轨迹还是0 °根轨迹。
根轨迹绘制举例(1).
(9)根轨迹与虚轴两个交点
s3,4 j1.614 交点处的K1＝2.34
根轨迹绘制举例(7)
常见的根轨 迹的形状
根轨迹绘制举例(8)
课堂练习1
根轨迹绘制举例(9)
课堂练习2 1.分别绘如下闭环系统的 根轨迹的大致形状。
K1 G( s) H ( s) 2 s[( s 4) 1]
分离点（或会合点）：
K1 s3 8s2 3s
K1 0 s
与虚轴交点：
D(s) s3 8s2 32s K1 0 临界K1=256
d=-2.67j1.89 ！舍去
将K1=256、s=j代入D(s)=0 =5.66
G( s) H ( s)
K1 s[( s 3) 2 3]
G( s ) H ( s )
3 K ( s 2) s( s 3)( s 2 2 s 2)
s 4 5s3 8s 2 (6 K1 ) s 2 K1 0
50 K1 6 K 0 K1 3K 7.02 1 34 K1 1 2 8 (6 K ) 1 s 2 K1 0 5
(2k 1)180 nm
出射角
(2k 1)＋ (p j z i ) (p j p i ) 1 2＝
i 1 i 1 i j m n
2
90
与虚轴交点： D(s) s2 K1 (s 1) 0
s2 s s0
1
分离点（或会合点）：
分离点（或会合点）：
K1 s3 8s2 17s
K1 0 s
d1 1.465
d2 3.865
n-m=3 负实轴为根轨迹 渐近线
s3,4 j1.614 交点处的K1＝2.34
根轨迹绘制举例(7)
常见的根轨 迹的形状
根轨迹绘制举例(8)
课堂练习1
根轨迹绘制举例(9)
课堂练习2 1.分别绘如下闭环系统的 根轨迹的大致形状。
K1 G( s) H ( s) 2 s[( s 4) 1]
分离点（或会合点）：
K1 s3 8s2 3s
K1 0 s
与虚轴交点：
D(s) s3 8s2 32s K1 0 临界K1=256
d=-2.67j1.89 ！舍去
将K1=256、s=j代入D(s)=0 =5.66
G( s) H ( s)
K1 s[( s 3) 2 3]
G( s ) H ( s )
3 K ( s 2) s( s 3)( s 2 2 s 2)
s 4 5s3 8s 2 (6 K1 ) s 2 K1 0
50 K1 6 K 0 K1 3K 7.02 1 34 K1 1 2 8 (6 K ) 1 s 2 K1 0 5
(2k 1)180 nm
出射角
(2k 1)＋ (p j z i ) (p j p i ) 1 2＝
i 1 i 1 i j m n
2
90
与虚轴交点： D(s) s2 K1 (s 1) 0
s2 s s0
1
分离点（或会合点）：
分离点（或会合点）：
K1 s3 8s2 17s
K1 0 s
d1 1.465
d2 3.865
n-m=3 负实轴为根轨迹 渐近线
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试绘制该系统的根轨迹图。
解(1)由开环传递函数可知，该系统有一个开环实零点
z1 和2一对开环共轭复数极点 p1,2 ,根轨1迹 的j 起点为
和
p，1(K其* 终0)点为 p2 (K*和 0无) 穷远点
z。1(K * )
(2)是一(K个* 二阶) 系统，在S平面上有两条连续且对称于实
三、绘制根轨迹图示例
七条绘制规则：
1 起点与终点：起始于开环极点，终止于开环 零点；
2 分支数、连续性、对称性：分支数等于系统 特征方程的阶数，根轨迹连续且对称于实轴。
3 实轴上的根轨迹：实轴上某线段右侧的开环 零、极点的个数之和为奇数，则该线段是实轴上 的根轨迹；
1. 4 渐近线
n
m
pi z j
j
1
渐近线与实轴正方向的交角为
a
2 k1π n m
当k = 0时，
a
π 4
45
当k = 1时， 当k = 2时， 当k = 3时，
a
3π 4
135
a
5π 4
135
a
7π 4
45
⑸由规则五可求出根轨迹与实轴的交点（分离点）。分
离点方程是
d [(s(s ds
2)(s 2
2s
2)] |sd
0
即
d 3 3d 2 3d 1 0
解方程得到
d 1
⑹由规则六可求出复数极点 p和3 p的4起始角
p3 180 (p3 p1) (p3 p2 ) (p3 p4 ) 180 135 45 90
s(s
K* 2)(s2
2s
2)
试绘制该系统的根轨迹图。
解 ⑴由规则一知，根轨迹的起点分别是系统的4个
开环极点,即 p1 0 p2 ， 2 p3,4。由于1 系j统1 无有限开
环零点（m=0），根轨迹的终点均在S平面的无穷远处
（无穷零点）。
⑵由已知系统的开环传递函数可得到它的特征方程为
j 2(K*c 6)
[s] 60°
K*
P3 K* 0 P2 K* 0
-2
-1
d1
P1K* 0
0
j 2(K*c 6)
60°
K*
图4-11 例4-7系统根轨迹图
例4-8 已知系统的开环传递函数为
G(s)H (s)
K * (s 2) s2 2s 2
即
tg 1
u
v
2
tg1
v u
1 1
tg 1
v u
1 1
180
应用三角公式
tg1x tg1y tg1 x y 1 xy
将上式等号左边合并可得到
tg1 u 1
v
u
2 v 2
2v(u 1)
(u 1)2 (v2 1)
s4 4s3 6s2 4s K* 0 由规则二知，该系统的根轨迹共有4条分支（n=4），4条 根轨迹连续且对称于实轴。
⑶由规则三知，实轴上的根轨迹是实轴上由0到-2的线段。
(4)由规则四可求出4条根轨迹渐近线与实轴的交点
为
a
pi z j nm
21 j1 40
点为 。 d1 ⑸由规则六，可求出开环复数极点（根轨迹的起
点）的起始角。
p1 180 (p1 z1) (p1 p2 ) 180 45 90
135 p2 p1 135
⑹为准确地画出S平面上根轨迹的图形，运用相角条 件可证明本系统在S平面上的根轨迹是一个半径为 ， 圆心2位于点 的圆(弧。2, j0)
a
pi z j nm
1 2 30
1
当k=0时
a
2k 1 nm
a
3
60
当k=1时 当k=2时
a 180
a
5 3
60
(5)由规则5知，根轨迹与实轴的交点（分离点）是方程
d s(s 1)(s 2) 0
ds
sd
3d 2 6d 2 0
0
p1
p4
–2 –1 0
1
2
图4-13 例4-9系统的根轨迹图
设开环传函
则特征方程 求导
G(s)H (s) K* B(s) A(s)
A(s) K *B(s) 0 A(s) K *B(s) 0
两式相除 由特征方程得
求导
A(s)B(s) A(s)B(s) 0
K * A(s) B(s)
j 1
ji
m
n
zjzi zj pjzi (2k 1)
j 1
j 1
ji
2.7 与虚轴的交点
3.将 s j代入闭环特征方程，令方程两边实 部和虚部分别相等，求出 。
以上七条规则是绘制根轨迹图所必须遵循的基本 规则。此外，尚须注意以下几点规范画法。
⑴根轨迹的起点（开环极点 )用p符i 号“ ”标示；
K *
A(s)B(s) A(s)B(s) B2 (s)
(1) (2) (3)
(4)
观察(3)和(4)，满足(3)的s值必满足(4)，所以 分离点也可以由（4）得到。
极点 及其对应的开环根轨迹s增1 益 ，也应在根轨迹
图上标出K1，以便于进行系统的分析与综合。
例4-7 已知系统的开环传递函数为
G(s)H (s)
K*
s(s 1)(s 2)
试绘制该系统完整的根轨迹图。
解:(1)根轨迹的起点是该系统的三个开环极点， 即 P1=0,P2=-1,P3=-2, 由 于 没 有 开 环 零 点 （m=0）,三条根轨迹的终点均在无穷远处。
证明 已知系统的开环零点和极点分别为
z1 2 p1， 1 j1，令p2s= u+1jvj1为根轨迹的任一点，由相角条件 可得
(s z1) (s p1) (s p2) 180
将s、 z、1 和p1 代p入2 得
(u 2 jv) (u 1 j(v 1) (u 1 j(v 1)) 180
90 p4 p3 90
⑺ 该系统为4阶系统，用解析法求根轨迹与虚轴的 交点 c和对应的开环根轨迹增益的临界值 比K较c* 困难。 下面采用劳斯判据求出 和 的c 值。Kc*
根据系统的特征方程列出劳斯表如下：
s4
1
6 K*
s3
4
s2
5
4
0
K*
0
s1
20 4K *
0
5
s0
根轨迹的终点(开环零点 )用符z j号“ o ”标示。
⑵根轨迹由起点到终点是随系统开环根轨迹增益
值K*的增加而运动的，要用箭头标示根轨迹运动的方 向。
⑶要标出一些特殊点的 值，如K起* 点（ )，终
点（K* 0)；根轨迹在K实* 轴 上的分离点d (
)；与
虚轴的交K*点 Kd（*
）。还有一ω些c 要求K*标出Kc*的闭环
j3 32 j2 K* 0
K* 32 j(2 3) 0
解虚部方程得 1 0
2,3 2
其中 1 0是开环极点 对p1应的坐标值，它是根轨迹的
起点之一。合理的交点应为
c ，2绘,3 制出2该系统
的根轨迹图如图4-11所示。
j K*
(2)该系统的特征方程为 s3 3s2 2s K * 0
这是一个三阶系统，该系统有三条根轨迹在s平面 上。三条根轨迹连续且对称于实轴。
(3) 由 规 则 三 知 ， 实 轴 上 的 根 轨 迹 为 实 轴 上 P1 到P2的线段和由P3至实轴上负无穷远线段。
⑷由规则四知，可求出根轨迹三条渐近线的交点位置和 它们与实轴正方向的交角。
轴的根轨迹。
(3)由规则三知，实轴上由-2至-∞的线段为实轴上的根 轨迹。
⑷由规则五，可求出根轨迹与实轴的交点（分离点）。 分离点方程是
d ds
s2
2s 2
s2
sd
0
d 2 4d 2 0
即
d1 3.414
解方程可得
d2 0.586
d2 不0.5在86实轴上的根轨迹上，舍去，实际的分离
环根轨迹增益
K
由零变到无穷大时，复平面上的
r
闭环根轨迹，是以实零点为圆心，以实零点到分
离点的距离为半径的一个圆（当开环极点为两个
实极点时）或圆的一部分（当开环极点为一对共
轭复数极点时）。这个结论在数学上的严格证明
可参照本例进行。
将上例与图例比较
例4-9 已知系统的开环传递函数为
G(s)H (s)
a
i 1
j 1
nm
a
2 k 1
n m
k 0,1,2, , n m1
2. 5 在实轴上的分离点
m
1
n
1
j1 d Z j
i1 d Pi
1.6 起始角和终止角
m
n
zj pi pj pi pi (2k 1)
j 1
j
d1 3.414
K* -4 d1
p1
Z1(K* P1()K* 0) -3 -2 -1
P2 (K* 0)
p2
[s] 1
0
-1
图4-12 例4-8系统的根轨迹图