绘制根轨迹图示例

j 2(K*c 6)
[s] 60°
K*
P3 K* 0 P2 K* 0
-2
-1
d1
P1K* 0
0

j 2(K*c 6)
60°
K*
图4-11 例4-7系统根轨迹图
例4-8 已知系统的开环传递函数为
G(s)H (s)

K * (s 2) s2 2s 2
(2)该系统的特征方程为 s3 3s2 2s K * 0
这是一个三阶系统，该系统有三条根轨迹在s平面 上。三条根轨迹连续且对称于实轴。
(3) 由 规 则 三 知 ， 实 轴 上 的 根 轨 迹 为 实 轴 上 P1 到P2的线段和由P3至实轴上负无穷远线段。
⑷由规则四知，可求出根轨迹三条渐近线的交点位置和 它们与实轴正方向的交角。
s(s

K* 2)(s2
2s

2)
试绘制该系统的根轨迹图。
解 ⑴由规则一知，根轨迹的起点分别是系统的4个
开环极点,即 p1 0 p2 ， 2 p3,4。由于1 系j统1 无有限开
环零点（m=0），根轨迹的终点均在S平面的无穷远处
（无穷零点）。
⑵由已知系统的开环传递函数可得到它的特征方程为
j3 32 j2 K* 0
K* 32 j(2 3) 0
解虚部方程得 1 0
2,3 2
其中 1 0是开环极点 对p1应的坐标值，它是根轨迹的
起点之一。合理的交点应为
c ，2绘,3 制出2该系统
的根轨迹图如图4-11所示。
j K*
K*
令劳斯表中 s1行的首项系数为零，求得 Kc*， 5 由 s行2 系数写出辅助方程为 5s2 K* 0
令 s ，j并将
代K入* 辅K助c*方程5 可求出
的根轨c 迹如1 图4-13所示。
。系统
j
2 1.5
1 0.5
0 –0.5
–1 –1.5
–2 –3
p3 p2
Kc* 5
a

pi z j nm

1 2 30

1
当k=0时
a

2k 1 nm
a

3

60
当k=1时 当k=2时
a 180
a

5 3

60
(5)由规则5知，根轨迹与实轴的交点（分离点）是方程
d s(s 1)(s 2) 0
ds
sd
3d 2 6d 2 0
即
tg 1
u
v
2

tg1
v u
1 1

tg 1
v u
1 1

180
应用三角公式
tg1x tg1y tg1 x y 1 xy
将上式等号左边合并可得到
tg1 u 1
v
u
2 v 2
2v(u 1)
(u 1)2 (v2 1)
0
p1
p4
–2 –1 0
1
2

图4-13 例4-9系统的根轨迹图
设开环传函
则特征方程 求导
G(s)H (s) K* B(s) A(s)
A(s) K *B(s) 0 A(s) K *B(s) 0
两式相除 由特征方程得
求导
A(s)B(s) A(s)B(s) 0
K * A(s) B(s)

2)(s 2

2s

2)] |sd

0
即
d 3 3d 2 3d 1 0
解方程得到
d 1
⑹由规则六可求出复数极点 p和3 p的4起始角
p3 180 (p3 p1) (p3 p2 ) (p3 p4 ) 180 135 45 90
90 p4 p3 90
⑺ 该系统为4阶系统，用解析法求根轨迹与虚轴的 交点 c和对应的开环根轨迹增益的临界值 比K较c* 困难。 下面采用劳斯判据求出 和 的c 值。Kc*
根据系统的特征方程列出劳斯表如下：
s4
1
6 K*
s3
4
s2
5
4
0
K*
0
s1
20 4K *
0
5
s0
j

1
渐近线与实轴正方向的交角为
a

2 k1π n m
当k = 0时，
a
π 4

45
当k = 1时，百度文库当k = 2时， 当k = 3时，
a
3π 4
135
a
5π 4
135
a
7π 4
45
⑸由规则五可求出根轨迹与实轴的交点（分离点）。分
离点方程是
d [(s(s ds
j 1
ji
m
n
zjzi zj pjzi (2k 1)
j 1
j 1
ji
2.7 与虚轴的交点
3.将 s j代入闭环特征方程，令方程两边实 部和虚部分别相等，求出 。
以上七条规则是绘制根轨迹图所必须遵循的基本 规则。此外，尚须注意以下几点规范画法。
⑴根轨迹的起点（开环极点 )用p符i 号“ ”标示；
极点 及其对应的开环根轨迹s增1 益 ，也应在根轨迹
图上标出K1，以便于进行系统的分析与综合。
例4-7 已知系统的开环传递函数为
G(s)H (s)
K*
s(s 1)(s 2)
试绘制该系统完整的根轨迹图。
解:(1)根轨迹的起点是该系统的三个开环极点， 即 P1=0,P2=-1,P3=-2, 由 于 没 有 开 环 零 点 （m=0）,三条根轨迹的终点均在无穷远处。
轴的根轨迹。
(3)由规则三知，实轴上由-2至-∞的线段为实轴上的根 轨迹。
⑷由规则五，可求出根轨迹与实轴的交点（分离点）。 分离点方程是
d ds
s2
2s 2
s2
sd
0
d 2 4d 2 0
即
d1 3.414
解方程可得
d2 0.586
d2 不0.5在86实轴上的根轨迹上，舍去，实际的分离
j
d1 3.414
K* -4 d1
p1
Z1(K* P1()K* 0) -3 -2 -1
P2 (K* 0)
p2
[s] 1
0
-1
图4-12 例4-8系统的根轨迹图
由本例不难发现，由两个开环极点（实极
点或复数极点）和一个开环实零点组成的二阶系
统，只要实零点没有位于两个实极点之间，当开
s4 4s3 6s2 4s K* 0 由规则二知，该系统的根轨迹共有4条分支（n=4），4条 根轨迹连续且对称于实轴。
⑶由规则三知，实轴上的根轨迹是实轴上由0到-2的线段。
(4)由规则四可求出4条根轨迹渐近线与实轴的交点
为
a

pi z j nm

21 j1 40
证明 已知系统的开环零点和极点分别为
z1 2 p1， 1 j1，令p2s= u+1jvj1为根轨迹的任一点，由相角条件 可得
(s z1) (s p1) (s p2) 180
将s、 z、1 和p1 代p入2 得
(u 2 jv) (u 1 j(v 1) (u 1 j(v 1)) 180
K *

A(s)B(s) A(s)B(s) B2 (s)
(1) (2) (3)
(4)
观察(3)和(4)，满足(3)的s值必满足(4)，所以 分离点也可以由（4）得到。
a
i 1
j 1
nm
a

2 k 1
n m
k 0,1,2, , n m1
2. 5 在实轴上的分离点
m
1
n

1
j1 d Z j
i1 d Pi
1.6 起始角和终止角
m
n
zj pi pj pi pi (2k 1)
j 1
点为 。 d1 ⑸由规则六，可求出开环复数极点（根轨迹的起
点）的起始角。
p1 180 (p1 z1) (p1 p2 ) 180 45 90
135 p2 p1 135
⑹为准确地画出S平面上根轨迹的图形，运用相角条 件可证明本系统在S平面上的根轨迹是一个半径为 ， 圆心2位于点 的圆(弧。2, j0)

(u
2v(u 1) 1)2 (v2

1)

180
将上式等号两边取正切，则有
u
v
2

(u
2v(u 1) 1)2 (v2
1)

0
u2 4u 2 v2 0
(u 2)2 v2 ( 2)2
方程表示在S平面上的根轨迹是一个圆心位于点(2, j、0)半径为 2 的圆弧。由此，可画出根轨迹的准确图形如图4-12所示。
根轨迹的终点(开环零点 )用符z j号“ o ”标示。
⑵根轨迹由起点到终点是随系统开环根轨迹增益
值K*的增加而运动的，要用箭头标示根轨迹运动的方 向。
⑶要标出一些特殊点的 值，如K起* 点（ )，终
点（K* 0)；根轨迹在K实* 轴 上的分离点d (
)；与
虚轴的交K*点 Kd（*
）。还有一ω些c 要求K*标出Kc*的闭环
三、绘制根轨迹图示例
七条绘制规则：
1 起点与终点：起始于开环极点，终止于开环 零点；
2 分支数、连续性、对称性：分支数等于系统 特征方程的阶数，根轨迹连续且对称于实轴。
3 实轴上的根轨迹：实轴上某线段右侧的开环 零、极点的个数之和为奇数，则该线段是实轴上 的根轨迹；
1. 4 渐近线
n
m
pi z j
环根轨迹增益
K
由零变到无穷大时，复平面上的
r
闭环根轨迹，是以实零点为圆心，以实零点到分
离点的距离为半径的一个圆（当开环极点为两个
实极点时）或圆的一部分（当开环极点为一对共
轭复数极点时）。这个结论在数学上的严格证明
可参照本例进行。
将上例与图例比较
例4-9 已知系统的开环传递函数为
G(s)H (s)

试绘制该系统的根轨迹图。
解(1)由开环传递函数可知，该系统有一个开环实零点
z1 和2一对开环共轭复数极点 p1,2 ,根轨1迹 的j 起点为
和
p，1(K其* 终0)点为 p2 (K*和 0无) 穷远点
z。1(K * )
(2)是一(K个* 二阶) 系统，在S平面上有两条连续且对称于实
解的合理值，
解得
d1 0.42 d2 1.58
d2 不1在.58实轴的根轨迹上，舍去；实际的分离点应 为 d1 。0.42
(6)无复数开环极点和零点，不存在起始角和终止角。
(7)由规则七，可求出根轨迹与虚轴的交点 ,用c s j 代入特征方程并令方程两边实部和虚部分别相等：