导数和极限精辟总结(全)

导数和导数的极限

函数 )(x f 在 0x 点的左导数定义为

)(0x f -'x

x f x x f x ∆-∆+=-→∆)()(lim 000 。 函数 )(x f 在 0x 点的右导数定义为

)(0x f +'x

x f x x f x ∆-∆+=+→∆)()(lim 000 。 函数 )(x f 在 0x 点导数的左极限定义为

)0(0-'x f )(lim 0

0x f x x '=-→ 。 函数 )(x f 在 0x 点导数的右极限定义为

)0(0+'x f )(lim 0

0x f x x '=+→ 。 在很多情况下，导数的左极限 )(lim 0

0x f x x '-→ 往往就是左导数 )(0x f -' ，导数的右极限 )(lim 00x f x x '+→ 往往就是右导数 )(0x f +' 。

例如，函数 ⎪⎩⎪⎨⎧≥<=1

11)(2x x x x x f 。 在 1=x 点的左导数为 )1(-'f 1111lim )1()1(lim 00-=∆-∆+=∆-∆+=-→∆-→∆x

x x f x f x x ；导数的左极限为 )(lim 01x f x '-→1)1(lim )1(lim 20101-=-='=-→-→x

x x x ，两者是一样的。 在 1=x 点的右导数为 21)1(lim )1()1(lim )1(200=∆-∆+=∆-∆+='+→∆+→∆+x

x x f x f f x x ；导数的右极限为 )(lim 01x f x '+→2)2(lim )(lim 0

1201=='=+→+→x x x x ，两者也是一样的。

但有时候，导数的左极限 )(lim 0

0x f x x '-→ 并不等于左导数 )(0x f -' ，导数的右极限 )(lim 00x f x x '+→ 并不等于右导数 )(0x f +' 。

例如，函数 ⎩⎨⎧=≠=010)(2

x x x x f 。

在 0=x 的左导数为 )0(-'f +∞=∆-∆+=∆-∆+=-→∆-→∆x

x x f x f x x 1)0(lim )0()0(lim 200； 导数的左极限为 )(lim 0x f x '-→0)2(lim )(lim 0

20=='=-→-→x x x x ，显然两者是不一样的。 在 0=x 的右导数为 )0(+'f -∞=∆-∆+=∆-∆+=+→∆+→∆x

x x f x f x x 1)0(lim )0()0(lim 200； 导数的右极限为 )(lim 0x f x '+→0)2(lim )(lim 0

20=='=+→+→x x x x ，显然两者也是不一样的。 又例如，函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001sin )(2x x x x x f （见下图）。

在 0=x 的左导数为

)0(-'f x f x f x ∆-∆+=-→∆)0()0(lim 0x

x x x ∆-∆∆=-→∆01sin )(lim 2001sin lim 0=∆∆=-→∆x x x ； 而导数的左极限的计算式为

)(lim 0x f x '-→)1cos (lim )1cos 1sin 2(lim )1sin (lim 0020x

x x x x x x x x -=-='=-→-→-→ ， 这个极限不存在。

在 0=x 的右导数为

)0(+'f 01sin lim 01sin )(lim )0()0(lim 0200=∆∆=∆-∆∆=∆-∆+=+→∆+→∆+→∆x x x x x x f x f x x x ； 而导数的右极限的计算式为

)(lim 0x f x '+→)1cos (lim )1cos 1sin 2(lim )1sin (lim 0020x

x x x x x x x x -=-='=+→+→+→ ， 这个极限不存在。