人教版初三数学旋转模型(含详细解析)

旋转模型

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主题

教学内容

1.巩固并掌握旋转的性质；

2.结合辅助线的构造，更深刻的认识旋转的性质；

知识结构

1、在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转

2、►旋转具有以下特征：

（1）图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；（2）对应点到旋转中心的距离相等；（3）对应角、对应线段相等；（4）图形的形状和大小都不变。

3、旋转的思想：旋转也是图形的一种基本变换，通过图形旋转变换，从而将一些简单的平面图形按要求旋转到适当的位置，使问题获得简单的解决，它是一种要的解题方法。

4、旋转不同类型

（一）正三角形类型

在正中，为内一点，将绕点按逆时针方向旋转，使得与

重合。

经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的、、三条线段集中于图（1-1-b）中的一个

中，此时也为正三角形。

【例题】如图：（1-1）：设是等边内的一点，PA=3，

PB=4，PC=5，的度数是________.

（二）正方形类型

在正方形中，P为正方形内一点，将绕点按顺时针方向旋转，使得与重合。

经过旋转变化，将图（2-1-a）中的、、三条线段集中于图（2-1-b）中的中，此时为等腰直角三角形。

【例题】

如图（2-1）：是正方形内一点，点到正方形的三个顶点、、的距离分别为P A=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD。

面.

（三）等腰直角三角形类型

在等腰直角三角形中，，为内一点，将绕点按逆时针方向旋转，使得与重合。

经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个为等腰直角三角形。

【例题】如图，在中，∠ACB

=900，BC=AC，P为内一点，且PA=3，PB=1，PC=2。求的度数。

典型例题

利用旋转的特征，可巧妙解决很多数学问题，如

一.求线段长.

例1. 如图，已知长方形ABCD 的周长为20，AB=4，点E在BC上，且 AE⊥EF，AE=EF，求CF的长。

【解析】：将△ABE以点E为旋转中心，顺时针旋转90°，此时点B旋转到点B' 处，AE与EF重合，由旋转特征知：B'E⊥BC ，

四边形B'ECF 为长方形，∴CE=BF'=AB

∵CF+CE=B'E+CE=BE+EC=BC=6

∴CF=BC-CE=6-4=2

二.求角的大小

例2. 如图，在等边中，点、分别为、上的两点，且，与交于点，求的大小。

【解析】：

因为,,

所以以的中心（等边三角形三条中线的交点）为旋转

中心，将顺时针旋转就得到了，

∴∠AME=180°-∠AMC=180°-120°=60°

三.进行几何推理

例3. 如图，点在正方形的边上，平分，请说明成立的理由。

数学思想是解数学题的精髓和重要的指导方法，在平移和旋转中的应用也相当的广泛，一般可以归结为两种思想——对称的思想和旋转的思想，具体的分析如下：

例4、如图，正方形ABCD内一点P，∠PAD＝∠PDA＝15°，连结PB、PC，请问：ΔPBC是等边三角形吗？为什么？

【分析】：本题关键是说明∠PCD＝∠PBA＝30°，利用条件可以设想将ΔAPD绕点D逆时针方向旋转90°，而使A与C重合，此时问题得到解决.

【解析】：将ΔAPD绕点D逆时针旋转90°，得ΔDP’C，再作ΔDP’C关于DC的轴对称图形ΔDQC，得ΔCDQ与ΔADP经过对折后能够重合。

∵PD=QD∴∠PDQ=90°-15°-15°=60°，

∴△PDQ为等边三角形，∴∠PQD=60°.

∵∠DQC=∠APD=180°-15°-15°=150°，

∴∠PQC=360°-60°-150°=150°=∠DQC,，

∵PQ=QD=CQ，∴∠PCQ＝∠DCQ＝15°

∴∠PCD=30°∴

∠PCB=60

°

而∠BP'C又是∠BP'P与∠CP'P之和，可各个击破，从而得解。

【解析】：由旋转的性质及特征可知：

∠PBP'＝90°，AP⊥P'C，BP＝BP'

∴在△BPP'中，

又∵AP的延长线正好经过P'点

∴∠AP'C＝90°

∴∠BP'C＝∠AP'C＋∠BP'P＝135°

从而可得∠APB＝135°

例7、已知：如图，E、F、G分别是正方形ABCD中BC、AB、CD上的点，且AE⊥FG。

求证：AE＝FG

【分析】：AE、FG所在位置不易证明相等，可将其一改变位置，如可用平移、旋转将其位置改变后再进行证明。

【证明】：延长AB至F'使BF'＝BE，连结CF'

∵正方形ABCD

∴AB＝CB，∠ABC＝90°

又∵∠CBF'＝90°，BE＝BF'

∴△ABE绕点B顺时针旋转90°可得△CBF'

∴AE＝CF'，AE⊥CF'

∵FG⊥AE

∴FG∥CF'

又∵正方形ABCD，AB∥CD

∴四边形GFF'C为平行四边形

∴CF'＝FG

∴AE＝FG

例8、如图，P是正方形ABCD中AC上一点，PE⊥AD于E，PF⊥CD于F。

求证：（1）OE⊥OF

（2）OE＝OF

而∠2＝∠4

∴∠1＝∠4＋∠3＝60°，从而得证。

【解析】：（1）∵等边△ABC是旋转对称图形，且AE＝BF＝CD

所以，△ABC绕旋转中心旋转120°后，△AEC、△BFA、△CDB能够重合

∴∠2＝∠4

由∠1＝∠2＋∠3

∴∠1＝∠4＋∠3＝60°

（2）同理可得：∠GMH＝∠MGH＝60°

∴△GMH是等边三角形

观察思考：旋转是几何变换中的基本变换，它一般先对给定的图形或其中一部分，通过旋转，改变位置后得新组合，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系，进而揭示条件与结论之间的内在联系，找出证题途径。

一、选择题

1．在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

2．如图，该图形围绕自己的旋转中心，按下列角度旋转后，不能

．．与其自身重合的是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．

3．在线段、等腰梯形、平行四边形、矩形、正五角星、圆、正方形和等边三角形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的图形有（）

A.3个

B.4个

C.5个

D.6个

4. 下列命题中的真命题是( )

A．全等的两个图形是中心对称图形. B．关于中心对称的两个图形全等.

C．中心对称图形都是轴对称图形. D．轴对称图形都是中心对称图形.

5.如右图，四边形ABCD是正方形，ΔADE绕着点A旋转900后到达ΔABF的位置，连接EF，则ΔAEF的形状是（）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形A．B．C．D．