单纯性法的矩阵描述.ppt

max z = C X
首先考虑标准型的线性规划问题：
AX = b
X≥0
其中Am*n＝（P1，P2，…，Pn）, 设A中前m个列向量构成一个可行基B，记为B=(P1，P2，…，Pm) 则A中后n－m个列向量构成A的子矩阵N,记为N＝（Pm+1,…Pn）, 则A可以写成分块矩阵A=（B，N）。 对应基B，基变量为XB=（x1,x2，…，xm ）T ； 对应矩阵N，非基变量为XN=(xm+1,xm+2,…xn)T ；
π=CBB-1 成为单纯形乘子 ；
N → B-1N ; B→ B-1 B=I
-z
X
-z
C
0
A
-z XB -z 1 CB
0B
-z XB -z 1 CB
XB 0 I
RHS 0
b
XN
RHS
CN
0
N
b
XN CN
B-1N
RHS 0
B-1b
-z XB -z 1 CB
XB 0 I
XN CN
B-1N
RHS 0
B-1b
x5
20
已知可行基
2
B1
2.
N B1N, I = B-1 B, 某列Pj = B-1 Pj
B -1A= B -1(N,B )= (B -1N, B -1B)=(B -1N,I) ,
3. N CN CB B1N ,σB=CB-CBB-1B=0, A C CBB1A
单个变量的检验数：σj = Cj - CBB-1 Pj
将以上公式运用于初始单纯形表和迭代后以B为基的单纯
形表中得到如下表格：
cj
CB
CN
0
系数 基变量 解向量
XB
XN
XS
0
XS
b
B
N
I
Cj-Zj
CB
CN
0
初始矩阵单纯形表
cj
CB
CN
0
系数 基变量 解向量 XB
XN
XS
0
XS
b
B
N
I
Cj-Zj
CB
CN
0
将B化为I（I为m阶单位矩阵）,CB化为零,求基 本可行解和检验数。用B－1左乘表中第二行,得
由约束条件 AX=(B,N)(XB,XN)T
XB
max
z
=
[CB,CN]
X
N
XB
s.t.
[B
,
N]
X
N
=
b
XB, XN ≥0
=BXB+NXN=b, 则BXB= b - NXN
因为r（B）=m（或|B|≠0） 所以B —1存在，则两边左乘B-1
得到基变量的表达式:
XB=B-1b - B-1NXN (1)
到迭代后的表格：
系数 CB Cj-Zj
cj
CB
基变量 解向量 XB
XB
B-1b
I
-CBB-1b 0
CN XN B-1N CN -CBB-1N
0
XS B-1 -CBB-1
【例】线性规划
max Z x1 2x2 x3
2x1 3x2 2x3 x4 15
1 3 x1 xj
x2 5x3 0, j 1,,5
则变量X 可表示成 分块矩阵
X
XB
百度文库
X
N
XB , XN T
价值系数C 可表示成分块矩阵C=（CB，CN）
CB=(C1,C2,…,Cm), CN=(Cm+1Cm+2，…，cn)
线性规划的标准型：
max z = C X AX = b X≥0
C=(CB,CN),X=(XB,XN)T,
A=(B,N)
第二章 对偶理论和灵敏度分析
第1节 单纯形法的矩阵描述 第2节 改进单纯形法 第3节 对偶问题的提出 第4节 线性规划的对偶理论 第5节 对偶问题的经济解释——影子价格 第6节 对偶单纯形法 第7节 灵敏度分析 第8节* 参数线性规划
单纯形的矩阵描述
本节讨论单纯形法的矩阵形式 一方面加深对单纯形法的理解； 另一方面为学习对偶理论和灵敏度分析打下基础。
=CBXB+CNXN
=CB (B-1b - B-1NXN) +CNXN
=CBB-1b +(CN - CBB-1N)XN =CBB-1b +σNXN 式中：CBB-1b是z的常数项，
σA= C-CBB-1A σj=cj-CBB-1Pj
（当非基变量XN=0时，Z=CBB-1b）
CN-CBB-1N是非基变量XN 的系数，也是XN的检验数.
下面考虑初始基变量是松弛变量的特殊情形：
max z CX
max z CX
加入松驰变量
AX b s.t.X 0
化为标准形
s.t
.
AX
XS
b
X 0
设松弛变量对应的系数列向量占据A 的后m列，可行基B占
据A的前m列，其余子块仍用N来表示。则有：
A=(A' , I) = (B ,N ,I) , C=(CB ,CN ,0)
4. 目标函数 Z CBB1b
5. CBB1 称为单纯形算子
θ法则的矩阵表示：
RHS值
表示选用>0的分量
min
(B1b)i (B1Pj )i
(B1Pj )i
0
(B1b)i (B1Pj )i
换入变量的系数向量
单纯形表的 矩阵描述
max z = C X AX = b X≥0
XB=B-1b-B-1NXN
记为：σN= CN-CBB-1N
基变量XB检验数为0,实质上是σB =CB-CBB-1B=0
XB=B-1b-B-1NXN
Z=CBB-1b+σNXN
令非基变量XN=0，得到如下公式（经过迭代后）：
由于B是可行基，则得到：
基变量的取值：XB =B -1b ≥0 ； 基可行解： X =（XB,XN)T = (B－1b，0)T ； 目标函数值： z =CB B -1b ；
XB 0
I
-Z 1 0
B-1N
B-1b
CN -CBB-1N
-CBB-1b
将增广矩阵左乘B-1并令非基变量XN=0后
得到下列计算公式：
-z XB
XN
RHS
1 CB
CN
0
0
I
B-1N
B-1b
0B
N
b
1
0
CN -CBB-1N
-CBB-1b
1.
X B B1b, XN = 0 , X =(XB ,XN)T = (B-1b ,0)T
AX=(B,N)(XB,XN)T=BXB+NXNB=-1bBXB+ B-1NXN= B-
c
CB 1b C
b xX
NX
θ
CB X B-
B
1b
B
B-1B
N
B-
( B 1b) l
1N
( B 1 P ) jl
σA=
-z=
0
CA-CBB- -CBB-1b
1A
CN-CBB-
1N
X(1) =（ B-1b ，0）
z=CBB-1b
此表达式是用非基变量来表达的
注意：两边左乘B-1 ，相当于对增广矩阵(A,b)进行了初等行 变换, 即相当于对原来的单纯形表进行了一次迭代，
则下面得到的是迭代后的各结论的矩阵表达式.
将XB=B-1b - B-1NXN代入目标函数的表达式中,可以得到
用非基变量表示目标函数的表达式:
Z=CX
=(CB,CN)(XB,XN)T