2020年漳州市高三数学上期中试题(附答案)

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【20套试卷合集】福建省漳州第一中学2019-2020学年数学高三上期中模拟试卷含答案

2019-2020学年高三上数学期中模拟试卷含答案一、选择题(共12小题，每题5分，四个选项中只有一个符合要求)1、设集合{}U =1,2,3,4，{}25M =x U x x+p =0∈-，若{}2,3U C M =，则实数p 的值为( ) A ．4- B ． 4 C ．6- D ．62．条件,1,1:>>y x p 条件1,2:>>+xy y x q ，则条件p 是条件q 的（）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件3. 圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，0)C ．(－4，＋∞)D ．(4，＋∞)4. 函数f (x)=e x-x-2的零点所在的区间为 ( )A ．(-1，0)B ．(0，1)C ．(1，2)D ．(2，3)5. 已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（） A ．若l m ⊥,l n ⊥,且,m n α⊂,则l α⊥B ．若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则βα//C ．若n m m ⊥⊥,α，则α//nD ．若α⊥n n m ,//，则α⊥m6．设x,y 为正数, 则(x+y)(1x + 4y )的最小值为 ( )A. 6B.9C.12D.157. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，S 表示△ABC 的面积，若C c A b B a sin cos cos =+，)(41222a cb S -+=，则=∠B ( ) A.30B. 45C. 60D. 908. 已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，189-=S ，5213-=S ，}{n b 为等比数列，且55a b =，77a b =，则15b 的值为 ( ) A. 64B.128C. 64-D.128-9. 已知函数①sin cos y x x =+，②cos y x x =，则下列结论正确的是 ( ) A. 两个函数的图象均关于点(,0)4π-成中心对称B. 两个函数的图象均关于直线4x π=-对称C. 两个函数在区间(,)44ππ-上都是单调递增函数 D. 可以将函数②的图像向左平移4π个单位得到函数①的图像10. 对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（）A ． (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C.(0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +>11.过双曲线122=-y x 的右焦点且与右支有两个交点的直线，其倾斜角范围是（）（ A ） ),0[π ( B ) )43,2()2,4(ππππ⋃ ( C ) )43,4(ππ ( D ) ),2()2,0(πππ⋃ 12. 定义区间(, )a b ，[, )a b ，(, ]a b ，[, ]a b 的长度均为d b a =-，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如, (1, 2)[3, 5)的长度(21)(53)3d =-+-=. 用[]x 表示不超过x 的最大整数，记{}[]x x x =-，其中R x ∈.设()[]{}f x x x =⋅，()1gx x =-，当0x k ≤≤时,不等式()()f x gx <解集区间的长度为5，则k 的值为（） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 二、填空题(共4小题，每题5分，把答案填在题中横线上)13．命题2,2340x R x x ∀∈-+>的命题否定形式为________________14．已知,x y 满足约束条件224200x y x y y ⎧+≤⎪-+≥⎨⎪≥⎩,则目标函数2z x y =+的最大值是15.设，所对的边，若，，的角依次是，，C BA BA CB A ABC c b a tan 1005tan tan tan tan =+⋅∆且 ==+m mc b a ，则222。

福建省2020届高三数学上学期期中试题文.doc

福建省2020届高三数学上学期期中试题文（考试时间：120分钟总分：150分）试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分第I 卷（选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入答题卷中。

)1.已知集合{}062≤--=x x x A ，{}2>=x x B ，则（）A.)(3,2B.](3,2C.)(2,3-D.)[2,3-2.若复数z 满足5)21(=+i z ,其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数=z （） A.i 21- B ．i 21+ C ．i 21+- D ．i 21--3.“在()b a ,内0)(<'x f ”是“)(x f 在()b a ,内单调递减”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件4.已知在平面直角坐标系xoy 中，()1,2A ，()1,-m B ，若//，则=m （）A.2B. 2-C.21 D.21- 5.设变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥-+10202y y x y x ，则目标函数y x z 2+=的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．56.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若352a a =，则=59S S ()A.109 B.1815 C. 59 D. 518 7.设5tan,2log ,25.05.0π===c b a ，则（）A.c a b <<B.c b a <<C.b c a <<D.c a b << 8．我们知道：在平面内，点),(00y x 到直线0=++C By Ax 的距离公式2200BA C By Ax d +++=，通过类比的方法，可求得：在空间中，点)3,4,2(到直线0222=+++z y x 的距离为( )A ．3B ．5 C.6 D ．5518 9.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S的比值为12时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A.π)53(+B. π)15(-C.π)15(+D.π)53(- 10.函数)62sin(2)(π-=x x f 的图像为C ，以下结论错误．．的是（）A.图像C 关于直线65π=x 对称 B.图像C 关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,127π对称 C.函数)(x f 在区间⎪⎭⎫⎝⎛-3,6ππ内是增函数D.由x y 2sin 2=图像向右平移6π个单位长度可以得到图像C11．已知直三棱柱111C B A ABC -中，︒=∠90ABC ，2,11===CC BC AB ，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（）A ．53B ．53-C ．54D ．54-12.已知实数b a ,满足0ln 42=--b a a ，R c ∈，则22)2()(c b c a ++-的最小值为( )A ． 553B ．59C ．55D ．51第Ⅱ卷（非选择题90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,请将正确答案填入答题卷中。

2020年福建省高三(上)期中数学试卷解析版

期中数学试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|-2≤x＜3，x∈z}，B={-3，-1，0，2，3，4}，则A∩B=（）A. {-1，0，2，3}B. {-1，0，2}C. {-1，2，3}D. {0，2，3}2.已知复数z=-i（i为虚数单位），则z的共轭复数为（）A. B. C. D.3.若向量=（0，-2），=（，1），则与2+共线的向量可以是（）A. （，-1）B. （-1，）C. （，-1）D. （）4.已知命题p：“x＞1”，命题q：“＜1”，则p是q的（）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件5.设实数x，y满足，则目标函数z=x+y（）A. 有最小值2，最大值3B. 有最小值2，无最大值C. 有最小值-1，最大值3D. 既无最小值，也无最大值6.在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若2（a2+c2）-ac=2b2，则sin B=（）A. B. C. D.7.将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）,得到函数的图象,则函数的图象的一个对称中心是（）A. B. C. D.8.已知集合A-{1，2，3，4，5，6，7，8，9），在集合A中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为a，现将组成a的三个数字按从小到大排成的三位数记为I（a），按从大到小排成的三位数记为D（a）（例如a=219，则I（a）=129，D（a）=921），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，则输出b的值为（）A. 792B. 693C. 594D. 4959.一个几何体的三视图如图所示，图中的三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为（）A. 8 -B. 4 -C. 8 -D. 4 -10.已知定义域为R的函数f（x）恒满足f（-x）-f（x）=0且当x≥0时，f（x）=-2-x，设a=f（-31.2），b=f（-30.2），c=f（log30.2），则（）A. c＞a＞bB. a＞b＞cC. c＞b＞aD. a＞c＞b11.已知数列{a n}的首项a1=35，且满足a n-a n-1=2n-1，则的最小值为（）A. 2B.C.D. 1212.已知函数f（x）=，若a＜b，f（a）=f（b），则实数a-2b的取值范围为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量与的方向相反，||=1，||=2，则|-2|=______14.已知sinα-cosα=0，则cos（2）=______．15.各项均为正数的等比数列{a n}的公比q≠1，a2，a3，a1成等差数列，则=______．16.在三棱锥V-ABC中，面VAC⊥面ABC，VA=AC=2，∠VAC=120°，BA⊥BC则三棱锥V-ABC的外接球的表面积是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列{a n}中，a2=3，a4+a6=18．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：b n+1=2b n，并且b1=a5，试求数列{b n}的前n项和S n．18.已知函数的最小正周期为π（1）求f（x）；（2）当时，求函数f（x）的值域．19.如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=．（1）求sin∠CED的值；（2）求BE的长．20.如图，四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB=CD=1，E为PC中点．（1）证明：BE∥平面PAD；（2）若△PBC是边长为2的正三角形，AB⊥平面PBC，求点E到平面PAD的距离．21.设（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性；（Ⅱ）是否存在实数a、使得关于x的不等式ln x＜a（x-1）在（1，+∞）上恒成立，若存在，求出a的取值范围，若不存在，试说明理由；22.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P的直角坐标为（1，0），曲线C与直线l交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值23.已知函数f（x）=|x-1|．（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）+x2-1＞0；（Ⅱ）若g（x）=-|x+4|+m，f（x）＜g（x）的解集非空，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A={-2，-1，0，1，2}，B={-3，-1，0，2，3，4}，∴A∩B={-1，0，2}．故选：B．可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：由z=-i=，∴．故选：D．根据题意，进行求解即可．本题考查复数的四则运算，共轭复数，是基础题．3.【答案】B【解析】【分析】可求出，从而得出向量与共线．考查向量坐标的加法和数乘运算，共线向量基本定理．【解答】解：=；∴与共线．故选：B．4.【答案】B【解析】解：命题p：“x＞1”，命题q：“＜1”，即x＞1或x＜0，故p是q的充分不必要条件，故选：B．解出关于q的x的范围，结合集合的包含关系，判断即可．本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．5.【答案】B【解析】解：作出实数x，y满足对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=x+y得y=-x+z，平移直线y=-x+z，由图象可知当直线y=-x+z经过点A时，直线y=-x+z的截距最小，此时z最小．由解得A（2，0）．代入目标函数z=x+y得z=2．即目标函数z=x+y的最小值为2．没有最大值．故选：B．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最值．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键．6.【答案】C【解析】【分析】此题考查了余弦定理，考查学生的计算能力，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．利用余弦定理，结合条件，两边除以ac，求出cos B，即可求出sin B的值．【解答】解：在△ABC中，由余弦定理得：a2+c2-b2=2ac cos B，代入已知等式得：2ac cos B=ac，即cos B=，因为,∴sin B===.故选C.7.【答案】B【解析】解：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得y=2cos（2x+），即g（x）=2cos（2x+），令2x+=，k∈Z．得：x=，当k=0时，可得一个对称中心为（，0）．故选：B．根据三角函数的平移变换规律求解g（x），结合三角函数的性质即可求解一个对称中心．本题主要考查三角函数的图象和性质，平移变换规律的应用．属于基础题．8.【答案】D【解析】解：A，如果输出b的值为792，则a=792，I（a）=279，D（a）=972，b=D（a）-I（a）=972-279=693，不满足题意．B，如果输出b的值为693，则a=693，I（a）=369，D（a）=963，b=D（a）-I（a）=963-369=594，不满足题意．C，如果输出b的值为594，则a=594，I（a）=459，D（a）=954，b=D（a）-I（a）=954-459=495，不满足题意．D，如果输出b的值为495，则a=495，I（a）=459，D（a）=954，b=D（a）-I（a）=954-459=495，满足题意．故选：D．利用验证法判断求解即可．本题主要考查了循环结构的程序框图，用验证法求解是解题的关键，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：根据三视图可得该几何体是由棱长为2的几何体挖去两个圆锥所得，如图，则该几何体的体积为V==8-．故选：A．根据三视图可得该几何体是由棱长为2的几何体挖去两个圆锥所得，利用正方体、圆锥体积公式即可计算．本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知分析出几何体的形状是解答的关键．属于中档题．10.【答案】D【解析】解：根据题意，函数f（x）恒满足f（-x）-f（x）=0，即f（x）=f（-x），则函数f（x）为偶函数，又由当x≥0时，f（x）=-2-x，易得f（x）在[0，+∞）上为增函数，a=f（-31.2）=f（31.2），c=f（log30.2）=f（-log35）=f（log35），又由3-0.2＜1＜log35＜3＜31.2，则a＞c＞b；故选：D．根据题意，分析可得f（x）为偶函数且在[0，+∞）上为增函数，又由a=f（-31.2）=f（31.2），c=f（log30.2）=f（-log35）=f（log35），且3-0.2＜1＜log35＜3＜31.2，据此分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析函数f（x）的奇偶性与单调性，属于基础题．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查累加法求数列的通项公式，考查基本不等式求最值，注意n为自然数，考查运算能力，属于中档题和易错题．运用累加法和等差数列的求和公式，可得a n，再由基本不等式和n=5，6时，的值，即可得到所求最小值．【解答】解：数列{a n}的首项a1=35，且满足a n-a n-1=2n-1，可得a n=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（a n-a n-1）=34+（1+3+5+…+2n-1）=34+=34+n2，则=n+≥2，此时n=，解得n=，由于，,可得当n=5时，5+=；当n=6时，6+=＜，则的最小值为，故选C．12.【答案】D【解析】解：函数f（x）=的图象如下图所示：若a＜b，f（a）=f（b），则2b-1=e a，则a-2b=a-e a-1，a≤-1，令y=a-e a-1，a≤-1，则y′=1-e a，a≤-1，此时e a≤，则y′＞0恒成立，故y=a-e a-1＜y|a=-1=--2，即实数a-2b的取值范围为（-∞，--2），故选：D．画出函数f（x）=的图象，结合a＜b，且f（a）=f（b），表示出a-2b，利用导数法求出其上确界，可得答案．本题考查的知识点是分段函数的应用，根据已知画出函数f（x）的图象，是解答的关键．13.【答案】5【解析】解：∵向量与的方向相反，||=1，||=2，∴=-2，∴|-2|===5．故答案为：5．根据向量与的方向相反，得到与的数量积，然后再算出|-2|即可．本题考查了平面向量数量积和向量的模的计算，属基础题．14.【答案】-1【解析】解：因为sinα-cosα=0，所以（sinα-cosα）2=sin2α+cos2α-2sinαcosα=1-sin2α=0，即有sin2α=1，则cos（2）=-sin2α=-1，故答案为：-1．由条件可知sin2α=1，又cos（2）=-sin2α，所以答案为-1．本题考查三角函数的恒等变化，属于基础题．15.【答案】【解析】解：∵a2，a3，a1成等差数列，∴a2+a1=2×a3=a3，即a1q2-a1-a1q=0，即q2-q-1=0，解得q=或，∵各项均为正数，∴q＞0，∴q=，∴==，故答案为：．根据等差中项的定义建立方程关系，结合等比数列的通项公式求出公比即可．本题主要考查等比数列公比的求解，根据等差数列和等比数列的性质和通项公式是解决本题的关键．16.【答案】16π【解析】【分析】本题考查三棱锥的外接球表面积，考查直线和平面的位置关系，确定三棱锥的外接球的半径是关键，属于中档题．设AC中点为M，VA中点为N，过M作面ABC的垂线，球心O必在该垂线上，连接ON，则ON⊥AV．可得OA=2，即三棱锥V-ABC的外接球的半径为2，即可求出三棱锥的外接球表面积．【解答】解：如图，设AC中点为M，VA中点为N，∵面VAC⊥面ABC，BA⊥BC，∴过M作面ABC的垂线，由面面垂直得到OM垂直面ABC,即球心O是三角形VAC的外接圆圆心，球心O必在该垂线上，连接ON，则ON⊥AV．在Rt△OMA中，AM=1，∠OAM=60°，∴OA=2，即三棱锥V-ABC的外接球的半径为2，∴三棱锥V-ABC的外接球的表面积S=4πR2=16π．故答案为：16π．17.【答案】解：（I）设数列{a n}的公差为d，根据题意得：解得：，∴通项公式为a n=2n-1（II））∵b n+1=2b n，b1=a5=9∴{b n}是首项为9公比为2的等比数列∴=9×2n-9【解析】（I）设数列{a n}的公差为d，根据题意得：，解方程可求a1及d，从而可求通项（II））由b n+1=2b n，可得{b n}是公比为2的等比数列，结合已知求出首项后，代入等比数列的求和公式即可求解本题主要考查了等差数列的通项公式及等比数列的通项公式、求和公式的简单应用，属于基础试题18.【答案】解：（1）=．∵函数f（x）的最小正周期为π，且ω＞0，∴=π，解得ω=1．∴．（2）∵，∴．根据正弦函数的图象可得：当，即时，取最大值1当，即时取最小值．∴，即f（x）的值域为．【解析】本题主要考查了二倍角公式，两角和公式，正函数的周期性，单调性等问题．考查了学生运用所学知识解决实际的能力．（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式进行化简整理，然后利用正弦函数的最小正周期求得ω，则函数解析式可得．（2）根据x的范围可确定2x-的范围，进而根据正弦函数的单调性求得函数的最大值和最小值，则函数的值域可得．19.【答案】解：设∠CED=α，（1）在△CDE中，由余弦定理得EC2=CD2+ED2-2CD•DE cos∠CDE，即7=CD2+1+CD，则CD2+CD-6=0，解得CD=2或CD=-3，（舍去），在△CDE中，由正弦定理得，于是，即．（2）由题意知，于是由（1）知，，而，所以cos∠AEB=cos=cos cosα+sin sinα=×+=，在Rt△EAB中，，故．【解析】（1）设∠CED=α，在△CDE中，由正弦定理化简可得答案（2）由题意知，求解cosα，而，利于和与差的公式求解cos∠AEB，利于直接三角形的性质即可求解BE的长．本题考查了余弦定理的运用，考查BE长的求法，考查cos∠AEB的值的求法，是中档题，解题时要注意余弦定理的合理运用．20.【答案】解：（1）证明：取PD的中点F，连结EF，AF，∵E为PC的中点，∴EF∥CD，且．又∵AB∥CD，且，∴EF∥AB，且EF=AB，故四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF，又BE⊄平面BEP，AF⊂平面BEP，∴BE∥平面PAD．（2）由（1）得BE∥平面PAD，故点B到PAD的距离等于点E到平面PAD的距离，取BC的中点G，连接PG，∵AB⊥平面PBC，AB在平面ABCD内，∴平面ABCD⊥平面PBC，又△PBC是边长为2的正三角形，∴，BC=2，且PG⊥BC，∵平面ABCD∩平面PBC=BC，∴PG⊥平面ABCD，又在直角梯形ABCD中，AB=1，BC=2，CD=2，∴，，∵AB⊥PB，AB=1，PB=PC=2，CD=2，∴，∴，设点B到平面PAD的距离为h，∵，∴，即点E到平面PAD的距离为．【解析】（1）取PD的中点F，可证EF∥AB，且EF=AB，即四边形ABEF为平行四边形，由此得到BE∥AF，由此得证；（2）易知，点B到PAD的距离等于点E到平面PAD的距离，再利用等体积法求解即可．本题考查线面平行的判定和点面距离的求解，在解题的过程中，需要注意线面平行的关键点是找线线平行，同时不要忽略判定定理的条件，再者就是点到平面的距离大多采用等体积法，转换三棱锥的顶点和底面，从而得到结果，属于常规题目．21.【答案】证明：（1）∵∴，设．∴，∴y=g（x）在[1，+∞）上为减函数．∴，∴∴函数在（1，+∞）上为减函数．（2）ln x＜a（x-1）在（1，+∞）上恒成立，⇔ln x-a（x-1）＜0在（1，+∞）上恒成立，设h（x）=ln x-a（x-1），则h（1）=0，∴，若a≤0显然不满足条件，若a≥1，则x∈[1，+∞）时，恒成立，∴h（x）=ln x-a（x-1）在[1，+∞）上为减函数∴ln x-a（x-1）＜h（1）=0在（0，+∞）上恒成立，∴ln x＜a（x-1）在（1，+∞）上恒成立，若0＜a＜1，则时，，∴时h'（x）≥0，∴h（x）=ln x-a（x-1）在上为增函数，当时，h（x）=ln x-a（x-1）＞0，不能使ln x＜a（x-1）在（1，+∞）上恒成立，∴a≥1【解析】（1）对f（x）求导后，构造新的函数g（x），利用导数求解函数单调的方法步骤进行求解．（2）根据已知ln x＜a（x-1）在（1，+∞）上恒成立等价于ln x-a（x-1）＜0在（1，+∞）上恒成立，构造新的函数h（x）=ln x-a（x-1），本题所要求的a的取值范围，只需满足一个条件：使得h（x）在定义域内为减函数即可．本题考查利用导数研究函数的单调性问题，这一道题的新颖之处是构造新的函数，这也是教学中的重点和难点，希望在平时多加练习，掌握要领．22.【答案】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数，可得直线l的普通方程为：x+y-=0 ，曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ，即ρ2=6ρcosθ，化为直角坐标方程为x2+y2=6x，即圆C的直角坐标方程为：（x-3）2+y2=9；（Ⅱ）把直线的参数方程代入圆C的方程，化简得：t2+2t-5=0,所以，t1+t2=-2，t1t2=-5＜0,所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|==.【解析】本题考查参数方程化普通方程，考查极坐标方程化直角坐标方程，考查了直线的参数方程中参数t的几何意义，是中档题．（Ⅰ）直接由直线的参数方程消去参数t得到直线的普通方程；把等式ρ=6cosθ两边同时乘以ρ，代入x=ρcosθ，ρ2=x2+y2得答案；（Ⅱ）把直线的参数方程代入圆的普通方程，利用直线参数方程中参数t的几何意义求得|PA|+|PB|的值．23.【答案】解：（Ⅰ）由题意原不等式可化为：|x-1|＞1-x2，即x-1＞1-x2或x-1＜x2-1，解得：x＞1或x＜-2，或x＞1或x＜0，综上原不等式的解为{x|x＞1或x＜0}；（Ⅱ）原不等式等价于|x-1|+|x+4|＜m的解集非空，令h（x）=|x-1|+|x+4|，即h（x）=（|x-1|+|x+4|）min＜m，所以即h（x）min=5，所以m＞5．【解析】（Ⅰ）去掉绝对值，求出各个范围内的x的范围取并集即可；（Ⅱ））问题转化为（|x-1|+|x+4|）min＜m，从而求出m的范围即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质，是一道中档题．。

2020年高三数学上期中试卷(含答案)

2020年高三数学上期中试卷(含答案)一、选择题1．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-2)63a -≤≤的最大值为（）A ．9B ．92C ．3D ．23．若正数,x y 满足20x y xy +-=，则32x y+的最大值为（） A ．13B ．38C ．37D ．14．在等差数列{}n a 中，351024a a a ++=，则此数列的前13项的和等于（） A ．16B ．26C ．8D ．135．已知幂函数()y f x =过点(4,2)，令(1)()n a f n f n =++，n +∈N ，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则10n S =时，n 的值是（） A ．10B ．120C ．130D ．1406．等比数列{}n a 中，11,28a q ==，则4a 与8a 的等比中项是（） A ．±4B ．4C ．14± D ．147．已知ABC ∆的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（） A ．34B ．56C ．78D ．238．若a ，b ，c ，d∈R，则下列说法正确的是（） A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd B ．若a ＞b ，c ＞d ，则a+c ＞b+d C ．若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则c d a b> D ．若a ＞b ，c ＞d ，则a ﹣c ＞b ﹣d9．在等比数列{}n a 中，21a a 2-=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，则4a 为( ) A ．9B ．27C ．54D ．8110．如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么1a +2a +…+7a =（） A ．14B ．21C ．28D ．3511．若函数1()(2)2f x x x x =+>-在x a =处取最小值，则a 等于（）A ．3B ．1C ．1+D ．412．若正数,x y 满足40x y xy +-=，则3x y+的最大值为 A ．13B ．38C ．37D ．1二、填空题13．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a =，且()()()2sin sinsin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为______.14．设数列{}()1,n a n n N*≥∈满足122,6aa ==，且()()2112n n n n a a a a +++---=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122019201920192019[]a a a +++=L ____________． 15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且136S =，则91032a a -=__________． 16．已知数列{}n a 中，11a =，且1113()n nn N a a *+=+∈，则10a =__________.（用数字作答）17．已知在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a b c +=，则C ∠的取值范围为________ 18．已知三角形中，边上的高与边长相等，则的最大值是__________．19．如图所示，在平面四边形ABCD 中，2AB =，3BC =，AB AD ⊥，AC CD ⊥，3AD AC =，则AC =__________．20．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得80CD =，135ADB ∠=︒，15BDC DCA ∠∠==︒，120ACB ∠=︒，则A ，B 两点的距离为________．三、解答题21．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且sin 1cos a CA=-.（1）求角A 的大小；（2）若10b c +=，ABC ∆的面积ABC S ∆=a 的值. 22．在△ABC 中，a , b , c 分别为内角A , B , C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin .a A b c B c b C =+++（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值.23．已知等比数列{}n a 的公比1q >，且满足：23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1122log ,n n n n n b a a S b b b ==+++L ，求使1·262n nS n ++>成立的正整数n 的最小值．24．在等比数列{}n a 中,()*10a n N >∈,且328aa -=,又15,a a 的等比中项为16.（1）求数列{}n a 的通项公式:（2）设4log n n b a =,数列{}n b 的前n 项和为n S ,是否存在正整数k ,使得1231111nk S S S S ++++<L 对任意*n N ∈恒成立.若存在,求出正整数k 的最小值;若不存在,请说明理由.25．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，225+=-a S ，515=-S . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求12231111+++⋯+n n a a a a a a . 26．C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c．向量()m a =r与()cos ,sin n =A B r平行．（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若a =2b =求C ∆AB 的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C解析：C 【解析】【分析】利用n S 先求出n a ，然后计算出结果. 【详解】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+,142a λ+∴=, 故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=,Q 数列{}n a 是等比数列,则11a =，故412λ+=, 解得2λ=-, 故选C . 【点睛】本题主要考查了等比数列前n 项和n S 的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础.2．B解析：B 【解析】【分析】根据369a a -++=是常数，可利用用均值不等式来求最大值. 【详解】因为63a -≤≤，所以30,60a a ->+> 由均值不等式可得：36922a a -++≤= 当且仅当36a a -=+，即32a =-时，等号成立，故选B. 【点睛】本题主要考查了均值不等式，属于中档题. 3．A解析：A 【解析】【分析】根据条件可得出2x >，212y x =+-，从而33222(2)52x y x x =+-++-，再根据基本不等式可得出3123x y ≤+，则32x y +的最大值为13.【详解】0x Q >，0y >，20x y xy +-=， 2122x y x x ∴==+--，0x >， 333222212(2)522x y x x x x ∴==+++-++--，22(2)5592x x -++≥=-Q ，当且仅当122x x -=-，即3x =时取等号， 31232(2)52x x ∴≤-++-，即3123x y ≤+，32x y ∴+的最大值为13. 故选：A. 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值的方法，注意说明等号成立的条件，考查了计算和推理能力，属于中档题.4．D解析：D 【解析】【详解】试题分析：∵351024a a a ++=，∴410224a a +=，∴4102a a +=，∴1134101313()13()1322a a a a S ++===，故选D. 考点：等差数列的通项公式、前n 项和公式.5．B解析：B 【解析】【分析】根据幂函数所过点求得幂函数解析式，由此求得n a 的表达式，利用裂项求和法求得n S 的表达式，解方程10n S =求得n 的值. 【详解】设幂函数为()f x x α=，将()4,2代入得142,2αα==，所以()f x =所以n a =1na =1n S =L 1=，由110n S ==解得120n =，故选B. 【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查裂项求和法，考查方程的思想，属于基础题.6．A解析：A 【解析】【分析】利用等比数列{}n a 的性质可得2648a a a ＝，即可得出．【详解】设4a 与8a 的等比中项是x ．由等比数列{}n a 的性质可得2648a a a ＝，6x a ∴=± ．∴4a 与8a 的等比中项561248x a =±=±⨯=±．故选A ．【点睛】本题考查了等比中项的求法，属于基础题．7．A解析：A 【解析】【分析】设三角形的三边分别为,1,2(*)n n n n N ++∈，根据余弦定理求出最小角的余弦值，然后再由正弦定理求得最小角的余弦值，进而得到n 的值，于是可得最小角的余弦值．【详解】由题意，设ABC ∆的三边长分别为,1,2(*)n n n n N ++∈，对应的三角分别为,,A B C ，由正弦定理得222sin sin sin 22sin cos n n n n A C A A A+++===，所以2cos 2n A n+=．又根据余弦定理的推论得222(2)(1)5cos 2(2)(1)2(2)n n n n A n n n +++-+==+++．所以2522(2)n n n n ++=+，解得4n =，所以453cos 2(42)4A +==+，即最小角的余弦值为34．故选A ．【点睛】解答本题的关键是求出三角形的三边，其中运用“算两次”的方法得到关于边长的方程，使得问题得以求解，考查正余弦定理的应用及变形、计算能力，属于基础题．8．B解析：B 【解析】【分析】利用不等式的性质和通过举反例否定一个命题即可得出结果. 【详解】A 项，虽然41,12>->-，但是42->-不成立，所以不正确；B 项，利用不等式的同向可加性得知，其正确，所以成立，即B 正确；C 项，虽然320,210>>>>，但是3221>不成立，所以C 不正确； D 项，虽然41,23>>-，但是24>不成立，所以D 不正确；故选B. 【点睛】该题考查的是有关正确命题的选择问题，涉及到的知识点有不等式的性质，对应的解题的方法是不正确的举出反例即可，属于简单题目.9．B解析：B 【解析】【分析】根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，由22a 为13a 和3a 的等差中项，可得21322a 3a a ⨯=+，利用等比数列的通项公式代入化简为2q 4q 30-+=，解得q ，又21a a 2-=，即()1a q 12-=，q 1≠，分析可得1a 、q 的值，可得数列{}n a 的通项公式，将n 4=代入计算可得答案．【详解】解：根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，若22a 为13a 和3a 的等差中项，则有21322a 3a a ⨯=+，变形可得21114a q 3a a q =+，即2q 4q 30-+=，解得q 1=或3；又21a a 2-=，即()1a q 12-=，则q 3=，1a 1=，则n 1n a 3-=，则有34a 327==；故选：B ．【点睛】本题考查等比数列的性质以及通项公式，关键是掌握等比数列通项公式的形式，属于基础题．10．C解析：C 【解析】试题分析：等差数列{}n a 中，34544123124a a a a a ++=⇒=∴=，则()()174127477272822a a a a a a a +⨯+++====L考点：等差数列的前n 项和11．A解析：A 【解析】【分析】将函数()y f x =的解析式配凑为()()1222f x x x =-++-，再利用基本不等式求出该函数的最小值，利用等号成立得出相应的x 值，可得出a 的值. 【详解】当2x >时，20x ->，则()()1122222f x x x x x =+=-++≥-- 4=，当且仅当()1222x x x -=>-时，即当3x =时，等号成立，因此，3a =，故选A. 【点睛】本题考查基本不等式等号成立的条件，利用基本不等式要对代数式进行配凑，注意“一正、二定、三相等”这三个条件的应用，考查计算能力，属于中等题.12．A解析：A 【解析】【分析】分析题意，取3x y +倒数进而求3x y+的最小值即可；结合基本不等式中“1”的代换应用即可求解。

2020高三数学理期中考试试卷及答案

福州三中2020—2020学年度高三上学期期中考试数学（理）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分共150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考生号码（31103XXXX ，XXXX 为班级+座号）、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。

3．考试结束，监考人将答题卡收回。

第I 卷（选择题共50分）选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A=122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭,B={}21x x ≤，则A∪B=（）A ．{}12x x ≤<B ．112x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭C ．{}2x x <D ．{}12x x -≤<2．已知4sin 25θ=，则cos θ的值为（）A ．257 B ．725-C ．54D ．45-3．等比数列{}n a 中，44a =，则26a a ⋅等于（）A ．4B ．8C ．16D ．32 4．下列命题中的假命题．．．是（）A ．,lg 0x R x ∃∈=B ．,tan 1x R x ∃∈=C ．3,0x R x ∀∈>D ．,20x x R ∀∈>5．已知α∈（2π,π），sin α=35，则tan （4πα+）等于（）A ．17B ．7C ．－17D ．－76．m 、n 表示直线，γβα,,表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为（）（1）βααβα⊥⊥⊂=则,,,m n n m （2）m n n m ⊥==⊥则,,,γβγαβα （3）αγβγαβα⊥=⊥⊥m m 则,,, （4）βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,n m n m A ．（1）、（2）B ．（3）、（4）C ．（2）、（3）D ．（2）、（4）7．将函数3sin()y x θ=-的图象F 按向量(,3)3π平移得到图象F′,若F′的一条对称轴是直线4x π=，则θ的一个可能取值是（） A ．512π B．512π-C ．1112π D ．1112π-8．某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈)(x f B x A ++=)sin(ϕω0,0,||2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的模型波动（x 为月份），已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定()f x 的解析式为（）A ．()2sin()744f x x ππ=++(112,)x x N *≤≤∈B ．()9sin()44f x x ππ=-(112,)x x N *≤≤∈ C ．()22sin74f x x π=+(112,)x x N *≤≤∈D ．()2sin()744f x x ππ=-+(112,)x x N *≤≤∈ 9．如图，圆O 的内接“五角星”与圆O 交与),5,4,3,2,1(=i A i 点，记弧1i i A A +在圆O 中所对的圆心角为),4,3,2,1(=i a i ，弧51A A 所对的圆心角为5a ，则425312sin 3sin )cos(3cos a a a a a -+=（）A ．23- B ．21-C ．0D ．110．已知函数()y f x =和()y g x =在[2,2]-的图象如下所示()y f x = ()y g x =给出下列四个命题：（1）方程[()]06f g x =有且仅有个根；（2）方程[()]03g f x =有且仅有个根；（3）方程[()]05f f x =有且仅有个根；（4）方程[()]04g g x =有且仅有个根．其中正确的命题个数（）A ．1B ．2C ．3D ．4第II 卷（非选择题共100分）填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置． 11．21edx x⎰= ． 12．已知向量(3,1),(1,3),(,2)a b c k ===，若()a c b -⊥，则实数k =____________．13．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合．直线l 的极坐标方程为22)4sin(=+πθρ，圆C 的参数方程为2cos 2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩（参数[)02θ∈π，），则圆心C 到直线l 的距离等于． 14．过双曲线22221x y a b-=的左焦点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于,M N 两点，且双曲线的右顶点A 满足MA NA ⊥，则双曲线的离心率等于． 15．符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]208.1,3-=-=π，定义函数{}[]x x x -=．那么下列命题中正确的序号是___________．①函数{}x 的定义域为R ，值域为[]1,0． ②方程{}21=x 有无数多个解．③函数{}x 是周期函数． ④函数{}x 是增函数．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．本题（1）、（2）两个必答题，每小题7分，满分14分．（1）（本小题满分7分）已知,,x y z 为正实数，且1111x y z++=，求49x y z ++的最小值及取得最小值时,,x y z 的值．（2）（本小题满分7分）已知矩阵33A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为111a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，属于特征值1的一个特征向量为232a ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，求矩阵A ．17．（本小题满分13分）已知)(x f x x 2cos 222sin 3++=．（1）求)(x f 的最小正周期与单调递减区间；（2）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A B C 、、的对边，若ABC b A f ∆==,1,4)(的面积为23，求a 的值．18．（本小题满分13分）迎世博，要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为260000cm ，四周空白的宽度为10cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸（单位：cm），能使整个矩形广告面积最小．（单位：cm）19．（本小题满分13分）盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得1-分．现从盒内一次性取3个球．（1）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；（2）设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列和数学期望．20．（本小题满分13分）设椭圆C:22221x ya b+=(,0)a b>的左、右焦点分别为12,F F，若P 是椭圆上的一点，124PF PF +=，离心率12e =．（1）求椭圆C 的方程；（2）若P 是第一象限内该椭圆上的一点，1254PF PF ⋅=-，求点P 的坐标；（3）设过定点(0,2)P 的直线与椭圆交于不同的两点,A B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围．21．（本小题满分14分）已知函数21()ln ,().2f x x g x ax bx ==+（1）当12a b ==时，求函数()()()h x f x g x =-的单调区间；（2）若2()()()b h x f x g x ==-且存在单调递减区间，求a 的取值范围；（3）当0a ≠时，设函数()f x 的图象1C 与函数()g x 的图象2C 交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交C 1、C 2于点M 、N ，则是否存在点R ，使C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行？如果存在，请求出R 的横坐标，如果不存在，请说明理由．。

漳州市2020高三数学第一次教学质量检测卷文含解析

当该直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最大，
此时取得最大值，即。
故选：C.
【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值，一般利用平移直线的方法找出最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题。
8。、、表示空间中三条不同的直线，、表示不同的平面，则下列四个命题中正确的是（）
模拟考试第次
考试成绩分
（1)已知该考生的模拟考试成绩与模拟考试的次数满足回归直线方程 ,若高考看作第次模拟考试，试估计该考生的高考数学成绩；
(2）把次模拟考试的成绩单放在五个相同的信封中，从中随机抽取个信封研究成绩,求抽取的个信封中恰有个成绩不等于平均值的概率.
参考公式： , .
【详解】（1）由得，
又，所以数列首项为，公差为的等差数列；
（2）由（以，
所以 .
【点睛】本题考查定义证明等差数列,同时也考查了利用裂项求和法求数列的前项和,考查推理能力与计算能力，属于中等题。
18.高三学生为了迎接高考，要经常进行模拟考试，锻炼应试能力，某学生从升入高三到高考要参加次模拟考试，下面是高三第一学期某学生参加次模拟考试的数学成绩表:
【解析】
【分析】
由可得出，设，结合题意可得， ,可得出，可得 ,利用锐角三角函数可得出和的值，进而可计算出的值.
【详解】，由正弦定理得，设 ,则，
由于、、成等差数列,则，所以, ，
，，由锐角三角函数定义可得 ,
因此，。
故选：A。
【点睛】本题考查三角形中三角函数值的计算，涉及锐角三角函数定义的应用，考查计算能力,属于中等题.
（一）必考题:共60分.

福建省漳州市2020届高三毕业班第一次教学质量检测数学(理)试题 PDF版含答案

0
，显然
0
则
y1
y2
6m 3m2 4
,
y1 y2
9 3m2
4
，
y1 y2
(y1
y2 )2 4y1 y2
12 m2 1 3m2 4
，
（6 分）（8 分）（10 分）
故四边形 APBQ 的面积 S
1 4 2
y1 y2
24 m2 1 3m2 4
，
设
m2
1
t
1，则
S
24t 3t 2 1
i 1
（3 分）
则
bˆ
n i 1
xi yi nx y
x n 2
i1 i
nx
2
1525 53100 55 5 32
，
2.5
aˆ y bˆx 100 2.5 3 92.5 ，故回归直线方程为 y 2.5x 92.5 ，
（4 分）（5 分）
当 x 11 时， y 2.511 92.5 120 ，估计该学生高考数学的考试成绩为 120 分（6 分）
即 2 2 cos 4 sin ，
将 x cos , 代入上式，可得 x2 y2 2x 4 y 0 ，
y
sin
,
x
2
y2
2
所以曲线 C 的直角坐标方程 x 12 y 22 5 .
（2 分）（4 分）
（5 分）
(Ⅱ)把直线 l 的参数方程
x 1t 2
（t 为参数），代入曲线 C 的方程 x 12 y 22 5
a2 b2 1
可知 a2 4,b2 3 ，
（2 分）（4 分）
（5 分）
所以椭圆的方程为 x2 y2 1.43

2020-2021学年漳州市华安一中高三上学期期中数学试卷(含解析)

2020-2021学年漳州市华安一中高三上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.全集U={1,2，3，4，5，6}，M={x|x≤4}，则∁U M等于()A. {1,3}B. {5,6}C. {1,5}D. {4,5}2.sin155°sin35°−cos25°cos35°=()A. −√32B. −12C. 12D. √323.，则a的取值范围为()A. (0,)B. (，)C. (，1)D. (1,)(1,)4.设f(x)=1+22x−1，则f(x)的图象大致为()A. B.C. D.5.下列说法错误的是()A. 若命题“p∧q”为真命题，则“p∨q”为真命题B. 命题“若m>0，则方程x2+x−m=0有实根”的逆命题为真命题C. 命题“∃x∈R，x2−2x=0”的否定是“∀x∈R，x2−2x≠0”D. “x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件6. 已知f(x)是偶函数，当x >0时，f(x)=10x ，则当x <0时，f(x)=( )A. (110)xB. −(10)xC. −(110)xD. 不能确定 7. 方程x 2+2x +1=1x ( )A. 无实根B. 有异号两根C. 仅有一负根D. 仅有一正根 8. f(x)=(2−a 2)x +a 在区间[0,1]上恒正，则 a 的取值范围为( )A. a >0B. 0<a <√2C. 0<a <2D. 以上都不对二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 下列等式中恒成立的是( )A. sinα1+cosα=1−cosαsinαB. cosαsinβ=sin(α+β)+sin(α−β)2 C. sin(2α+β)sinα−2cos(α+β)=sinβsinαD. 1−2sinxcosxcos 2x−sin 2x =1−tanx 1+tanx10. 若函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的为( ) A. 实数ω有且仅有一个值B. 实数φ可取两个不同的值C. f(x)的单调递增区间为(kπ−π3,kπ+π6)(k ∈Z)D. 若f(x 1)=f(x 2)(π6<x 1<x 2<π)，则f(x 1+x 2)=√311. 若a >b >0，则( ) A. a −c <b −c B. a 2>b 2 C. ac >bc D. 1a <1b 12. 在平面直角坐标系xOy 中，如图放置的边长为2的正方形ABCD 沿x 轴滚动(无滑动滚动)，点D恰好经过坐标原点，设顶点B (x,y )的轨迹方程是y =f (x )，则对函数y =f (x )的判断正确的是( )A. 函数y =f (x )是奇函数B. 对任意的x ∈R ，都有f (x +4)=f (x −4)C. 函数y =f (x )的值域为[0,2√2]D. 函数y =f (x )在区间[6,8]上单调递增三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3c−b cosB =a cosA ，则cosA =______．14. 函数f(x)的导函数f′(x)在R 上恒大于0，则对任意x 1，x 2(x 1≠x 2)在R 上f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2的符号是______ (填“正”、“负”)15. 函数f(x)={x 2+2x −1,x ≥a −x 2+2x −1,x <a对于任意的实数b ，函数y =f(x)−b 至多有一个零点，则实数a 的取值范围是______ ．16. 对于正整数k ，记g(k)表示k 的最大奇数因数．例如：g(1)=1，g(2)=1，g(10)=5.设S n =g(1)+g(2)+g(3)+⋯+g(2n )给出下列四个结论：①g(3)+g(4)=10②∀m ∈N ∗，都有g(2m)=g(m)③S 1+S 2+S 3=30④S n −S n−1=4n−1，n ≥2，n ∈N ∗则以上结论正确有______.(填写所有正确结论的序号)四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 设命题p ：实数m 满足使方程x 2a−m +y 23a−m =1，其中a >0为双曲线：命题q ：实数m 满足m−3m−2≤0． (1)若a =1且p ∧q 为真，求实数m 的取值范围；(2)若￢p 是￢q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18. 已知f(x)=cosx +cos(x +π2).(1)求f(π12)；(2)设α、β∈(−π2,0)，f(α+3π4)=−3√25，f(π4−β)=−5√213，求cos(α+β)．19.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程为y=3x+1．(1)若函数y=f(x)在x=−2时有极值，求f(x)表达式；(2)若函数y=f(x)在区间[−2,1]上单调递增，求实数b的取值范围．20.已知函数f(x)=λ⋅2x+(λ−2)2x+1．(1)是否存在实数λ，使f(x)为奇函数．(2)判断函数f(x)的单调性，并用单调性定义证明．21.已知函数f(x)=2sin(wx+φ+π3)+1(|φ|<π2,w>0)是偶函数，且函数f(x)两相邻对称轴之间的距离为π2．(1)求f(π8)的值．(2)当x∈(−π2,3π2)时，求方程f(x)=54的实数根之和．22.已知函数f(x)=axx2+b在x=1处取得极值2．(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)若函数f(x)在区间(m,2m+1)上是单调函数，求实数m的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵U={1,2，3，4，5，6}，M={x|x≤4}，∴∁U M={5,6}．故选：B．进行补集的运算即可．本题考查了列举法、描述法的定义，补集的定义及运算，全集的定义，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：B解析：本题主要考查了两角和的余弦公式，属于基础题．由已知结合诱导公式及两角和的余弦公式，即可求解．解：sin155°sin35°−cos25°cos35°=sin25°sin35°−cos25°cos35°=−cos60°=−12．故选B．3.答案：C解析：试题分析：，当时，则，矛盾；当时，则，所以。

福建省漳州市数学高三上学期理数期中考试试卷

福建省漳州市数学高三上学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合A={x|﹣2＜x＜2}，B={x|x＜1}，则A∪B=（）A . （﹣∞，2）B . （﹣∞，1）C . （1，+∞）D . （2，+∞）2. （2分）已知复数，则的共轭复数等于（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高三上·河北月考) 已知向量的夹角为，则的值为（）A . 0B .C .D .4. （2分）已知命题p：∀x∈R，32x+1＞0，命题q：“0＜x＜2”是“log2x＜1”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）B . p∧qC . p∧（￢q）D . （￢p）∨q5. （2分） (2016高一下·海珠期末) 对于a∈R，下列等式中恒成立的是（）A . cos（﹣α）=﹣cosαB . sin（﹣α）=﹣sinαC . sin（90°﹣α）=sinαD . cos（90°﹣α）=cosα6. （2分） (2019高二上·湖南期中) 已知椭圆：（）的左，右焦点分别为，，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与在第一象限交于点，若直线恰好与圆相切于点，则的离心率为（）A .B .C .D .7. （2分）下列四个结论中，正确的个数有（）（1）；（2）ln10＞lne；（3）0.8﹣0.1＞0.8﹣0.2；（4）80.1＞90.1 ．A . 1个B . 2个C . 3个8. （2分）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则使关于x的一元二次方程x2﹣x+a=0无实根的概率为（）A .B .C .D .9. （2分）函数（其中A＞0，)的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象（）A . 向左平移个单位长度B . 向右平移个单位长度C . 向左平移个单位长度D . 向右平移个单位长度10. （2分）(2016·四川文) 已知a为函数f（x）=x3﹣12x的极小值点，则a=（）A . ﹣4B . ﹣2C . 4D . 211. （2分）(2017·银川模拟) 某三棱锥的三视图如图所示，已知该三棱锥的外接球的表面积为12π，则此三棱锥的体积为（）A . 4B .C .D .12. （2分） (2017高二下·邯郸期末) 若函数f（x）= ，则方程f（f（x））= 的根的个数为（）A . 4B . 3C . 2D . 1二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2020·驻马店模拟) 展开式的第5项的系数为________.14. （1分） (2018高二上·齐齐哈尔期中) 已知双曲线的一个焦点是，椭圆的焦距等于，则 ________．15. （1分） (2017高一下·郑州期末) 已知向量 =（2，3）， =（﹣4，1），则向量在向量方向上的投影为________．16. （1分） (2017高二下·襄阳期中) 抛物线x= y2的焦点坐标为________．三、解答题 (共7题；共75分)17. （10分）在等差数列中，为其前n项和，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．18. （10分） (2017高一上·廊坊期末) 已知函数f（x）= [cos（2x+ ）+4sinxcosx]+1，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）令g（x）=af（x）+b，若函数g（x）在区间[﹣， ]上的值域为[﹣1.1]，求a+b的值．19. （15分）(2020·广西模拟) 从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度(单位:mm),得到如图5的茎叶图,整数位为茎,小数位为叶,如27.1mm的茎为27,叶为1．（1）试比较甲、乙两种棉花的纤维长度的平均值的大小及方差的大小;(只需写出估计的结论,不需说明理由) （2）将棉花按纤维长度的长短分成七个等级,分级标准如表:试分别估计甲、乙两种棉花纤维长度等级为二级的概率;（3）为进一步检验甲种棉花的其它质量指标,现从甲种棉花中随机抽取4根,记为抽取的棉花纤维长度为二级的根数,求的分布列和数学期望.20. （10分） (2015高二上·广州期末) 在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2 ，M为AB的中点．（1）求证：AC⊥SB；（2）求二面角S﹣CM﹣A的平面角的余弦值．21. （10分） (2015高二上·龙江期末) 设f（x）=﹣ x3+ x2+2ax．（1）当a=1时，求f（x）在[1，4]上的最大值和最小值．（2）若f （x）在（，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围．22. （10分）(2018·重庆模拟) 坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）写出曲线的极坐标方程和的直角坐标方程；（2）记曲线和在第一象限内的交点为，点在曲线上，且，求的面积．23. （10分）(2018·邢台模拟) 设函数 . （1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共75分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。

2020年高三数学上期中试卷(带答案)(2)

2020年高三数学上期中试卷(带答案)(2)一、选择题1．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形2．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-3．已知{}n a 为等差数列，若20191<-a a ，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，则n S 的最小正值为( ) A ．1SB ．19SC ．20SD ．37S4．已知关于x 的不等式()224300x ax a a -+<<的解集为()12,x x ，则1212a x x x x ++的最大值是（） ABCD．3-5．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ,若(){}nf a 仍是比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞⋃+∞上的如下函数： ①()3f x x =；②()xf x e =；③()f x =④()ln f x x =则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为（） A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④6．已知不等式2230x x --<的解集为A ,260x x +-<的解集为B ，不等式2+0x ax b +<的解集为A B I ，则a b +=（）A ．-3B ．1C ．-1D ．37．已知A 、B 两地的距离为10 km,B 、C 两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A 、C 两地的距离为（） A ．10 kmBkmC．D．8．设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（）A ．2744n n +B ．2533n n+C ．2324n n+D ．2n n +9．已知ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3b =，33c =，30B =︒，则AB 边上的中线的长为( )A ．37B ．34 C ．32或372D ．34或37210．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（）． A ．1B ．6C ．7D ．6或711．已知AB AC ⊥u u u v u u u v ，1AB t=u u uv ，AC t =u u u v ，若P 点是ABC V 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则·PB PC u u u v u u u v 的最大值等于（）. A ．13B ．15C ．19D ．2112．等比数列{}n a 的前三项和313S =，若123,2,a a a +成等差数列，则公比q =（） A ．3或13- B ．-3或13C ．3或13D ．-3或13-二、填空题13．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a =，且()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为______.14．已知实数,x y 满足102010x y x y x y ++≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为____．15．如图,无人机在离地面高200m 的A 处,观测到山顶M 处的仰角为15°、山脚C 处的俯角为45°,已知∠MCN=60°,则山的高度MN 为_________m.16．已知关于x 的一元二次不等式ax 2+2x+b ＞0的解集为{x|x≠c}，则227a b a c+++（其中a+c≠0）的取值范围为_____． 17．设是定义在上恒不为零的函数，对任意，都有，若，，，则数列的前项和的取值范围是__________．18．已知数列的前项和，则_______．19．设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为__________． 20．在锐角ΔABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知24,sin 4sin 6sin sin a b a A b B a B C +=+=,则ABC n 的面积取最小值时有2c =__________.三、解答题21．若数列{}n a 的前n 项和n S 满足*231?(N )n n S a n =-∈,等差数列{}n b 满足113233b a b S ==+，.(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式; (2)设3nn nb c a =,求数列{}n c 的前n 项和为n T . 22．已知等比数列{}n a 的公比1q >，且满足：23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1122log ,n n n n n b a a S b b b ==+++L ，求使1·262n nS n ++>成立的正整数n 的最小值．23．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =.（Ⅰ）求b 和sin A 的值；（Ⅱ）求πsin(2)4A +的值. 24．已知数列{}n a 的前n 项和()2*,,n S pn qn p q n =+∈∈R N ，且143,24.a S ==（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．25．围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x （单位：元）．（Ⅰ）将y 表示为x 的函数；（Ⅱ）试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 26．已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是公比大于零的等比数列，且112a b ==,338a b ==.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; （2）记n n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n S .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】【分析】【详解】111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由，得2121212{22A AB BC C πππ=-=-=-，那么，2222A B C π++=，矛盾，所以222A B C ∆是钝角三角形，故选D.2．C解析：C 【解析】【分析】利用n S 先求出n a ，然后计算出结果. 【详解】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+,142a λ+∴=, 故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=,Q 数列{}n a 是等比数列,则11a =，故412λ+=, 解得2λ=-, 故选C . 【点睛】本题主要考查了等比数列前n 项和n S 的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础.3．D解析：D 【解析】【分析】由已知条件判断出公差0d <，对20191<-a a 进行化简，运用等差数列的性质进行判断，求出结果. 【详解】已知{}n a 为等差数列，若20191<-a a ，则2019190a a a +<，由数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，可得0d <，19193712029000,,0,370a a a a a S <=∴+<>>， 31208190a a a a ∴+=+<，380S <，则n S 的最小正值为37S 故选D 【点睛】本题考查了等差数列的性质运用，需要掌握等差数列的各公式并能熟练运用等差数列的性质进行解题，本题属于中档题，需要掌握解题方法.4．D解析：D 【解析】：不等式x 2-4ax +3a 2＜0（a ＜0）的解集为（x 1，x 2），根据韦达定理，可得：2123x x a =，x 1+x 2=4a ，那么：1212a x x x x ++=4a +13a． ∵a ＜0， ∴-（4a +13a ），即4a +13a ≤故1212a x x x x ++的最大值为．故选D ．点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.5．C解析：C 【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，验证()()1n n f a f a +是否为非零常数，由此可得出正确选项. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则1n na q a +=. 对于①中的函数()3f x x =，()()3313112n n n n n n f a a a q f a a a +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭，该函数为“保等比数列函数”；对于②中的函数()xf x e =，()()111n n n n a a a n a n f a e e f a e++-+==不是非零常数，该函数不是“保等比数列函数”；对于③中的函数()f x =()()1n n f a f a +===，该函数为“保等比数列函数”；对于④中的函数()ln f x x =，()()11ln ln n n n na f a f a a ++=不是常数，该函数不是“保等比数列函数”.故选：C. 【点睛】本题考查等比数列的定义，着重考查对题中定义的理解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.6．A解析：A 【解析】【分析】根据题意先求出集合,A B ，然后求出=1,2A B -I ()，再根据三个二次之间的关系求出,a b ，可得答案.【详解】由不等式2230x x --<有13x -<<，则(1,3)A =-. 由不等式260x x +-<有，则32x -<<，则(3,2)B =-. 所以=1,2A B -I ().因为不等式2+0x ax b +<的解集为A B I , 所以方程2+=0x ax b +的两个根为1,2-. 由韦达定理有：1212a b-+=-⎧⎨-⨯=⎩,即=12a b -⎧⎨=-⎩. 所以3a b +=-. 故选：A. 【点睛】本题考查二次不等式的解法和三个二次之间的关系，属于中档题.7．D解析：D 【解析】【分析】直接利用余弦定理求出A ，C 两地的距离即可．【详解】因为A ，B 两地的距离为10km ，B ，C 两地的距离为20km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地的距离为：AC 2＝AB 2+CB 2﹣2AB •BC cos ∠ABC ＝102+202﹣2110202⎛⎫⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭700．所以AC ＝km ．故选D ．【点睛】本题考查余弦定理的实际应用，考查计算能力．8．A解析：A 【解析】【分析】【详解】设公差为d 则解得，故选A.9．C解析：C 【解析】【分析】由已知利用余弦定理可得29180a a -+=，解得a 值，由已知可求中线12BD c =，在BCD V 中，由余弦定理即可计算AB 边上中线的长．【详解】解：3,33,30b c B ===o Q ，∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得239272332a a =+-⨯⨯⨯，整理可得：29180a a -+=，∴解得6a =或3．Q 如图，CD 为AB 边上的中线，则1332BD c ==，∴在BCD V 中，由余弦定理2222cos CD a BD a BD B =+-⋅⋅，可得：222333336()26222CD =+-⨯⨯⨯，或222333333()23222CD =+-⨯⨯⨯， ∴解得AB 边上的中线32CD =或372．故选C ．【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题．10．B解析：B 【解析】试题分析：由等差数列的性质，可得，又，所以，所以数列的通项公式为，令，解得，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得取最小值时的为，故选B ．考点：等差数列的性质.11．A解析：A 【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，10)4(0,1)(1,4)AP =+=u u u r （，，即14)P （，，所以114)PB t=--u u u r （，，14)PC t =--u u u r （，，因此PB PC ⋅u u u r u u u r11416t t =--+117(4)t t =-+，因为114244t t t t+≥⋅=，所以PB PC ⋅u u u r u u u r 的最大值等于13，当14t t =，即12t =时取等号．考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．12．C解析：C 【解析】很明显等比数列的公比1q ≠，由题意可得：()231113S a q q =++=，①且：()21322a a a +=+，即()211122a q a a q +=+，②①②联立可得：113a q =⎧⎨=⎩或1913a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，综上可得：公比q =3或13. 本题选择C 选项.二、填空题13．【解析】【分析】根据正弦定理将转化为即由余弦定理得再用基本不等式法求得根据面积公式求解【详解】根据正弦定理可转化为化简得由余弦定理得因为所以当且仅当时取所以则面积的最大值为故答案为：【点睛】本题主要【解析】【分析】根据正弦定理将()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-转化为()()()a b a b c b c +-=-，即222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，再用基本不等式法求得4bc ≤，根据面积公式1sin 2ABC S bc A ∆=求解. 【详解】根据正弦定理()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-可转化为()()()a b a b c b c +-=-，化简得222bc a bc +-=由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==sin ==A 因为2222+=+≥b c a bc bc 所以4bc ≤，当且仅当b c =时取""=所以1sin 42∆==≤=ABC S bc A 则ABC∆【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理，基本不等式的综合应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.14．5【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域利用数形结合即可得到z的最大值【详解】作出实数xy 满足对应的平面区域如图：由z ＝2x+y 得y ＝﹣2x+z 平移直线y ＝﹣2x+z 由图象可知当直线y ＝﹣2x+解析：5 【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到z 的最大值．【详解】作出实数x ，y 满足102010x y x y x y ++≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩对应的平面区域，如图：由z ＝2x +y 得y ＝﹣2x +z ，平移直线y ＝﹣2x +z 由图象可知当直线y ＝﹣2x +z 经过点A 时，直线y ＝﹣2x +z 的截距最大．又x 10y --=与20x y -=联立得A （2，1）此时z 最大，此时z 的最大值为z ＝2×2+1＝5，故答案为5．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，考查了z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．15．300【解析】试题分析：由条件所以所以这样在中在中解得中故填：300考点：解斜三角形【思路点睛】考察了解三角形的实际问题属于基础题型首先要弄清楚两个概念仰角和俯角都指视线与水平线的夹角将问题所涉及的解析：300 【解析】试题分析：由条件，,所以,,,所以,,这样在中，,在中，，解得,中，，故填：300.考点：解斜三角形【思路点睛】考察了解三角形的实际问题，属于基础题型，首先要弄清楚两个概念，仰角和俯角，都指视线与水平线的夹角，将问题所涉及的边和角在不同的三角形内转化，最后用正弦定理解决高度.16．（﹣∞﹣6∪6+∞）【解析】【分析】由条件利用二次函数的性质可得ac=﹣1ab=1即c=-b将转为（a﹣b）+利用基本不等式求得它的范围【详解】因为一元二次不等式ax2+2x+b＞0的解集为{x|x解析：（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞）【解析】【分析】由条件利用二次函数的性质可得ac=﹣1，ab=1, 即c=-b将227a ba c+++转为（a﹣b）+9a b-，利用基本不等式求得它的范围．【详解】因为一元二次不等式ax2+2x+b＞0的解集为{x|x≠c}，由二次函数图像的性质可得a＞0，二次函数的对称轴为x=1a-=c，△=4﹣4ab=0，∴ac=﹣1，ab=1，∴c=1a-，b=1a，即c=-b,则227a ba c+++=()29a ba b-+-=（a﹣b）+9a b-，当a﹣b＞0时，由基本不等式求得（a﹣b）+9a b-≥6，当a﹣b＜0时，由基本不等式求得﹣（a﹣b）﹣9a b-≥6，即（a﹣b）+9a b-≤﹣6,故227a ba c+++（其中a+c≠0）的取值范围为：（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞），故答案为（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞）．【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，考查利用基本不等式求最值.17．121)【解析】试题分析：由题意对任意实数xy∈R都有f(x)f(y)=f(x+y)则令x=n y=1可得f(n)f(1)=f(n+1)即f(n+1)an+1an=f(n+1)f(n)=12即数列{a解析：【解析】试题分析：由题意，对任意实数，都有，则令可得，即，即数列是以为首项，以为公比的等比数列，故考点：抽象函数及其应用，等比数列的通项及其性质18．2【解析】【分析】【详解】由Sn ＝n2+n （n ∈n*）当n ＝1a1＝S1＝1+1＝2当n≥2时an ＝Sn ﹣Sn ﹣1＝n2+n ﹣（n ﹣1）2-（n ﹣1）＝2n 当n ＝1时a1＝2×1＝2成立∵an ＝2n解析：2 【解析】【分析】【详解】由S n ＝n 2+n （n ∈n *），当n ＝1，a 1＝S 1＝1+1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝n 2+n ﹣（n ﹣1）2-（n ﹣1）＝2n ，当n ＝1时，a 1＝2×1＝2，成立， ∵a n ＝2n （n ∈n *）， ∴22，∴2，故答案为2．19．【解析】【分析】先根据条件列关于公差的方程求出公差后代入等差数列通项公式即可【详解】设等差数列的公差为【点睛】在解决等差等比数列的运算问题时有两个处理思路一是利用基本量将多元问题简化为首项与公差（公解析：63n a n =-【解析】【分析】先根据条件列关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，13334366a d d d =∴+++=∴=Q ，，，36(1)6 3.n a n n ∴=+-=-【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路，一是利用基本量，将多元问题简化为首项与公差（公比）问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确：二是利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.20．【解析】由正弦定理及得又即由于即有即有由即有解得当且仅当a=2b=2时取得等号当a=2b=1S 取得最小值易得(C 为锐角)则则解析：4553-【解析】由正弦定理及sin 4sin 6sin sin a A b B a B C +=, 得2246sin a b ab C +=, 又1sin 2S ab C =,即22412a b S +=, 由于24a b +=,即有()222424164a b a b ab ab +=+-=-, 即有41612ab S =-,由22422a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,即有16128S -≤,解得23S ≥, 当且仅当a=2b =2时,取得等号, 当a =2,b=1,S 取得最小值23, 易得2sin 3C =(C 为锐角),则5cos C =, 则22242cos 553c a b ab C =+-=-. 三、解答题21．(1)13n n a -=，;(2)()223n nn T +=-.【解析】【分析】（Ⅰ）由数列递推式求出a 1，在数列递推式中取n=n-1得另一递推式，作差后得到数列{a n }为等比数列，则数列{a n }的通项公式可求，再由b 1=3a 1，b 3=S 2+3求出数列{b n }的首项和公差，则{b n }的通项公式可求；（Ⅱ）把数列{a n }、{b n }的通项公式代入3nn nb c a =，直接由错位相减法求数列{c n }的前n 项和为T n ．【详解】（Ⅰ）当1n =时，111231,1S a a =-∴=当2n ≥时，()()112223131n n n n n a S S a a --=-=---，即13nn a a -= ∴数列{}n a 是以11a =为首项，3为公比的等比数列，13n n a -∴=.设{}n b 的公差为1132,33,3723,2d b a b S d d ===+==+=()31321n b n n ∴=+-⨯=+ ,（Ⅱ）1232135721,33333n n n nn n c T ++==++++L ① 则234113572133333n n n T ++=++++L ②，由①—②得，2312111211233333n n n n T ++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭L 142433n n ++=+∴223n nn T +=- . 【点睛】本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的前n 项和，是中档题．22．（1）2nn a =；（2）6．【解析】试题分析：（1）求等比数列的通项公式，关键是求出首项和公比，这可直接用首项1a 和公比q 表示出已知并解出即可（可先把已知化简后再代入）；（2）求出n b 的表达式后，要求其前n 项和，需用错位相减法．然后求解不等式可得最小值．试题解析：（1）∵32a +是24,a a 的等差中项，∴()32422a a a +=+，代入23428a a a ++=，可得38a =，∴2420a a +=，∴212118{20a q a q a q =+=，解之得122a q =⎧⎨=⎩或132{12a q ==， ∵1q >，∴122a q =⎧⎨=⎩，∴数列{}n a 的通项公式为2nn a = （2）∵1122log 2log 2?2n n nn n n b a a n ===-，∴()21222?2nn S n =-⨯+⨯++L ，．．．．．．．．．．．．．．．①()23121222?2?2nn S n n +=-⨯+⨯+++L ，．．．．．．．．．．．．．②②—①得()2311112122222?2?222?212n n n n n n nS n n n ++++-=+++-=-=---L∵1·262n n S n ++>，∴12262n +->，∴16,5n n +>>， ∴使1·262n n S n ++>成立的正整数n 的最小值为6 考点：等比数列的通项公式，错位相减法． 23．（Ⅰ）b =sin A（Ⅱ）26. 【解析】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系2a b =，再根据余弦定理求出cos A ，进而得到sin A ，由2a b =转化为sin 2sin A B =，求出sin B ，进而求出cos B ，从而求出2B 的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果. 试题解析：（Ⅰ）解：在ABC V 中，因为a b >，故由3sin 5B =，可得4cos 5B =.由已知及余弦定理，有2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b =. 由正弦定理sin sin a b A B =,得sin sin 13a B Ab ==. 所以，bsin A. （Ⅱ）解：由（Ⅰ）及a c <，得cos A =，所以12sin22sin cos 13A A A ==，25cos212sin 13A A =-=-.故πππsin 2sin2cos cos2sin 44426A A A ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭. 考点：正弦定理、余弦定理、解三角形【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.24．（Ⅰ）21,n a n =+；（Ⅱ）8(41)3n n T -=. 【解析】【分析】（Ⅰ）由题意可得1, 2.p q ==则22n S n n =+，利用通项公式与前n 项和的关系可得21,n a n =+（Ⅱ）由（1）可知212n n b +=，结合等比数列前n 项和公式计算可得数列{}n b 的前n 项和()8413n n T -=.【详解】（Ⅰ）由14316424S p q S p q =+=⎧⎨=+=⎩ 得21, 2.2.n p q S n n ===+ 所以当1n =时，1 3.a =当2n ≥时，()()21121,n S n n -=-+-所以()()()221212121,n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎣⎦检验1 3.a =符合21,n a n =+ （Ⅱ）由（1）可知21,n a n =+ 所以2122na n nb +==.设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则：()()()1211212424242424444414214841.?3n nn n nnn T --=⨯+⨯++⨯+⨯=++++-=⨯--=L L所以数列{}n b 的前n 项和为()8413n n T -=.【点睛】本题主要考查数列通项公式与前n 项和公式的关系，等比数列前n 项和公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.25．（Ⅰ）y =225x +2360360(0)x x-〉n（Ⅱ）当x =24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．【解析】试题分析：（1）设矩形的另一边长为am ，则根据围建的矩形场地的面积为360m 2，易得360a x=，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，我们即可得到修建围墙的总费用y 表示成x 的函数的解析式；（2）根据（1）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x 值试题解析：（1）如图，设矩形的另一边长为a m 则45x+180（x-2）+180·2a=225x+360a-360由已知xa=360,得a=,所以y=225x+（2）．当且仅当225x=时，等号成立．即当x=24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．考点：函数模型的选择与应用26．（1）31,2nn n a n b =-=；（2）1326n n +⨯--.【解析】试题分析：（1）设出等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，且q>0．由已知列式求得等差数列的公差和等比数列的公比，代入等差数列和等比数列的通项公式得答案；（2）由c n =a bn 结合数列{a n }和{b n }的通项公式得到数列{c n }的通项公式，结合等比数列的前n 项和求得数列{c n }的前n 项和S n ．试题解析：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且．由，得，解得．所以．由，得，又，解得．所以．（2）因为，所以．。

2020-2021学年福建省漳州市华安一中高三(上)期中数学试卷

2020-2021学年福建省漳州市华安一中高三（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 设全集U =Z ，A ={x ∈Z|x ≤−2，或x ≥2}，则∁U A =( )A. {x|−2≤x ≤2}B. {x|−2<x <2}C. {−2,−1,0，1，2}D. {−1,0，1}2. sin70°cos40°+cos130°sin20°=( )A. −√32B. √32C. 12D. −123. 已知a =30.1，b =log 32，c =cos4，则( )A. c <a <bB. a <c <bC. c <b <aD. b <c <a4. 函数f(x)=sinxx 2+1的图象大致为( )A.B.C.D.5. 条件p ：x ≤1，且¬p 是q 的充分不必要条件，则q 可以是( )A. x >1B. x >0C. x ≤2D. −1<x <06. 若函数f(x)为R 上的奇函数，且在定义域上单调递减，又f(sinx −1)>−f(sinx)，x ∈[0,π]，则x 的取值范围是( )A. (π3,2π3)B. [0,π3]∪(2π3,π]C. [0,π6)∪(5π6,π]D. (π6,5π6)7. 设函数f(x)的定义域为R ，f′(x)是其导函数，若f(x)+f′(x)<0，f(0)=1，则不等式f(x)>e −x 的解集是( )A. (0,+∞)B. (1,+∞)C. (−∞,0)D. (0,1)8. 已知函数f(x)={x 2+2xe x ,x >23x −2,x ≤2，函数g(x)=f(x)−m 有两个零点，则实数m 的取值范围为( )A. (−∞,−8e 2) B. (0,8e 2)C. (8e 2,4]D. (−∞,−8e 2)∪[4，+∞)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 若tanα=√3，α∈(0,2π)，则α=( )A. π6B. π3C. 7π6D. 4π310. 若函数f(x)=√3sin(2x +θ)+cos(2x +θ)为偶函数，则θ的值可能为( )A. −2π3B. −π6C. π3D. 4π311. 若a >b >0，则( )A. 1a >1bB. lna >lnbC. alna <blnbD. a −b <e a −e b12. 已知f(x)是定义域为(−∞,+∞)的奇函数，f(x +1)是偶函数，且当x ∈(0,1]时，f(x)=−x(x −2)，则( )A. f(x)是周期为2的函数B. f(2019)+f(2020)=−1C. f(x)的值域为[−1,1]D. y =f(x)在[0,2π]上有4个零点三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若sinθ=√32，θ∈(π2,π)，则cos(θ−π6)= ．14. 函数f(x)=3x 3−5x +9的图象在点(x 0,f(x 0))处的切线垂直于直线x +4y −12=0，则x 0= ．15. 已知函数f(x)=12ax 2−2ax +lnx 在(1,3)内不单调，则实数a 的取值范围是． 16. 关于函数f(x)=4sin(2x +π3)(x ∈R)，有下列命题：①由f(x 1)=f(x 2)=0可得x 1−x 2必是π的整数倍； ②y =f(x)在区间(−5π13,π13)上单调递增； ③y =f(x)的图象关于点(−π6,0)对称； ④y =f(x)的图象关于直线x =−π6对称．其中正确的命题的序号是 .(把你认为正确的命题序号都填上) 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知命题 p ：对任意实数x 都有ax 2+ax +1>0恒成立；命题q ：关于x 的方程x 2−x +a =0有实数根；如果p 与q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围．18.已知函数f(x)=2sin(x+π6)cos(x+π6)+cos(π2−2x)．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；(Ⅱ)当x∈[0,π2]时，求f(x)的值域．19.若函数f(x)=ax3−bx+4，当x=2时，函数f(x)有极值为−43，(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)若f(x)=k有3个解，求实数k的取值范围．20.已知函数g(x)=2x−a2x是奇函数．(1)求a的值；(2)判断并证明函数g(x)的单调性；(3)若对任意的t∈[0,+∞)，不等式g(t2−2t)+g(2t2−k)>0恒成立，求实数k的取值范围．21.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈[0,2π))的图象如图所示：(1)求f(x)的解析式；(2)若x∈[0,π]且f(x)≥√6，求x的取值范围．2ax3−ax2，a∈R．22.已知函数f(x)=xlnx+12(1)当a=0时，求f(x)的单调区间；(2)若函数g(x)=f(x)存在两个极值点x1，x2，求g(x1)+g(x2)的取值范围．x答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查了补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．进行补集的运算即可．【解答】解：∵A={x∈Z|x≤−2，或x≥2}，U=Z，∴∁U A={x∈Z|−2<x<2}={−1,0，1}．故选：D．2.【答案】C【解析】【分析】直接根据诱导公式即两角和与差的正弦公式解答即可．本题主要考查诱导公式及两角和与差的正弦公式，熟记公式是解题的关键，属于基础题．【解答】解：sin70°cos40°+cos130°sin20°=sin70°cos40°−cos50°sin20°=cos20°sin50°−cos50°sin20°=sin(50°−20°)=sin30°=1．2故选：C．3.【答案】C【解析】【分析】考查指数函数、对数函数的单调性，对数的运算，以及余弦函数在各象限的符号，属于基础题．容易得出30.1>1，0<log32<1，cos4<0，从而得出a，b，c的大小关系．【解答】解：∵30.1>30=1，0=log31<log32<log33=1，π<4<32π，cos4<0；∴c<b<a．故选C．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查利用函数性质确定函数图象，考查数形结合思想，属于基础题．由函数的奇偶性及特殊点的函数值，利用排除法得解．【解答】解：函数的定义域为R，易知f(−x)=sin(−x)(−x)2+1=−sinxx2+1=−f(x)，即函数f(x)为奇函数，可排除C，D；又f(π2)=1π24+1>0，可排除B．故选：A．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查充分条件、必要条件的应用，属于基础题．由¬p是q的充分不必要条件，可得¬p⇒q，q推不出¬p，可得结果【解答】解：∵p：x≤1，∴￢p：x>1，又∵¬p是q的充分不必要条件，∴¬p⇒q，q推不出¬p，即：￢p对应的范围是q对应范围的真子集关系，则x>0满足条件，故选B．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的单调性与奇偶性在解不等式中的应用，属于中档题．由函数的单调性与奇偶性将不等式转化为sinx−1<−sinx，结合x∈[0,π]可得结果．【解答】解：∵函数f(x)为R上的奇函数，又f(sinx−1)>−f(sinx)，∴f(sinx−1)>f(−sinx)，又f(x)在定义域上单调递减，∴sinx−1<−sinx，即sinx<12，又x∈[0,π]，∴x∈[0,π6)∪(5π6,π]．故选C．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．令g(x)=e x f(x)，求出函数的导数，根据函数的单调性问题转化为g(x)>g(0)，解得x<0，从而求出答案．【解答】解：令g(x)=e x f(x)，则g′(x)=e x f(x)+e x f′(x)，因为f(x)+f′(x)<0，所以g′(x)<0，所以g(x)在R 上单调递减．因为g(0)=f(0)=1，所以f(x)>e −x 等价于g(x)>g(0)，解得x <0，所以不等式f(x)>e −x 的解集是(−∞,0)，故选：C ．8.【答案】B【解析】解：令g(x)=0，得f(x)=m ，函数f(x)={x 2+2xe x ,x >23x −2,x ≤2，当x >2时，f(x)=x 2+2x e x>0，又f′(x)=2−x 2e x ，故当x >2时，f′(x)<0，f(x)递减，故f(x)<8e 2，作出f(x)的函数图象，如图所示：∵f(x)=m 有两个解， ∴0<m <8e 2，故选：B ．作出f(x)的函数图象，根据函数图象判断m 的范围．本题考查了函数零点与函数图象的关系，注意运用导数判断单调性，属于中档题．9.【答案】BD【解析】【分析】由已知可得α=π3+kπ，k∈Z，结合范围α∈(0,2π)，即可求解．本题主要考查了正切函数的图像和性质的应用，属于基础题．【解答】解：因为tanα=√3，可得α=π3+kπ，k∈Z，又α∈(0,2π)，则α=π3或4π3．故选：BD．10.【答案】ACD【解析】【分析】本题主要考查了利用辅助角公式化简三角函数及函数的奇偶性，属于基础题．利用辅助角公式化简函数f(x)，然后由f(x)为偶函数即可求解．【解答】解：函数f(x)=√3sin(2x+θ)+cos(2x+θ)=2sin(2x+θ+π6)是偶函数，所以θ+π6=kπ+π2(k∈Z)，解得θ=kπ+π3(k∈Z)，当k=−1时，θ=−2π3，当k=0时，θ=π3，当k=1时，θ=4π3．故选：ACD．11.【答案】BD【解析】【分析】直接利用不等式的基本性质和函数的导数与函数的单调性的关系，求出结果．本题考查的知识要点：不等式的性质，函数的导数和单调性的关系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．【解答】解：对于选项A：a>b>0，所以1ab >0，所以aab>bab>0，整理得1b>1a，故选项A错误．对于选项B：由于y=lnx为单调递增函数，故lna>lnb，故选项B正确．对于选项C：当0<b<1<a时，lna>0，lnb<0，故alna>blnb，故选项C错误．对于选项D：设f(x)=e x−x，所以f′(x)=e x−1，当x>0时，f′(x)>0，所以函数f(x)在x>0时为单调增函数，由于a>b>0，所以e a−a>e b−b，即a−b<e a−e b，故选项D正确．故选：BD．12.【答案】BCD【解析】【分析】根据函数的奇偶性，周期性，值域，函数的零点逐一判断即可．本题考查函数的奇偶性，周期性，值域，函数的零点，属于中档题．【解答】解：对于A，f(x)为R上的奇函数，f(x+1)为偶函数，所以f(x)图象关于x=1对称，f(2+x)=f(−x)=−f(x)即f(x+4)=−f(x+2)=f(x)则f(x)是周期为4的周期函数，A错误；对于B，f(x)定义域为R的奇函数，则f(0)=0，f(x)是周期为4的周期函数，则f(2020)=f(0)=0；当x∈(0,1]时，f(x)=−x(x−2)，则f(1)=−1×(1−2)=1，则f(2019)=f(−1+2020)=f(−1)=−f(1)=−1，则f(2019)+f(2020)=−1，故B 正确．对于C ，当x ∈(0,1]时，f(x)=−x(x −2)，此时有0<f(x)≤1，又由f(x)为R 上的奇函数，则x ∈[−1,0)时，−1≤f(x)<0，f(0)=0，函数关于x =1对称，所以函数f(x)的值域[−1,1].故C 正确．对于D ，∵f(0)=0，且x ∈(0,1]时，f(x)=−x(x −2)，∴x ∈[0,1]，f(x)=−x(x −2)， ∴x ∈[1,2]，2−x ∈[0,1]，f(x)=f(2−x)=−x(x −2)，∴x ∈[0,2]，f(x)=−x(x −2)， ∵f(x)是奇函数，∴x ∈[−2,0]，f(x)=x(x +2)， ∵f(x)的周期为4，∴x ∈[2,4]，f(x)=(x −2)(x −4)，∴x ∈[4,6]，f(x)=−(x −4)(x −6)，∴x ∈[6,2π]，f(x)=(x −6)(x −8)，根据解析式，可得y =f(x)在x ∈[0,2π]上有4个零点，故D 正确．故选：BCD ．13.【答案】0【解析】【分析】由已知可得cosθ，利用两角差的余弦公式得答案．本题考查两角差的余弦公式，同角三角函数的基本关系，是基础题．【解答】解：由sinθ=√32，θ∈(π2,π)，得cosθ=−12，=−12×√32+√32×12=0．故答案为：0．14.【答案】±1【解析】【分析】求出函数的导函数，得f′(x0)=9x02−5=4，即可得解．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查两直线垂直与斜率的关系，是基础题．【解答】解：∵f(x)=3x3−5x+9，∴f′(x)=9x2−5，由函数f(x)=3x3−5x+9的图象在点(x0,f(x0))处的切线垂直于直线x+4y−12=0，得f′(x0)=9x02−5=4，解得x0=±1．故答案为：±1．15.【答案】a>1或a<−13【解析】【分析】本题考查了利用导数研究函数的单调性，零点存在性定理等知识点，考查了等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．函数f(x)在(1,3)内不单调⇔函数f(x)在(1,3)内存在极值⇔f′(x)=0在(1,3)内有解，即ax2−2ax+1=0在(1,3)内有解．即可得出a的取值范围．【解答】解：∵f(x)=12ax2−2ax+lnx，x∈(1,3)当a=0时，f(x)=lnx在(1,3)上单调递增，不符合题意，当a≠0时，∴f′(x)=ax−2a+1x =ax2−2ax+1x，∵f(x)=12ax2−2ax+lnx在(1,3)上不单调，∴f′(x)=0在(1,3)上有解，设g(x)=ax2−2ax+1，其对称轴为x=1，∴g(1)g(3)<0，∴(−a+1)(3a+1)<0，解得a>1或a<−13，故答案为：a>1或a<−13．16.【答案】②③【解析】【分析】本题考查命题的真假的判断与应用，三角函数的图象与性质的判断，考查计算能力，是中档题．利用特殊值判断①；函数的单调性判断②；函数的对称中心判断③；函数的对称轴判断④．【解答】解：函数f(x)=4sin(2x +π3)(x ∈R)，①特例：x 1=−π6，x 2=π3，满足f(x 1)=f(x 2)=0，但是x 1−x 2不是π的整数倍，所以①不正确； ②y =f(x)的周期为π，令−π2≤2x +π3≤π2，可得−5π12≤x ≤π12是函数的单调增区间，所以函数在区间(−5π13,π13)上单调递增；所以②正确； ③当x =−π6时，f(−π6)=4sin0=0，所以函数的图象关于点(−π6,0)对称，所以③正确；④由③知y =f(x)的图象不关于直线x =−π6对称，所以④不正确；故答案为：②③．17.【答案】解：对任意实数x 都有ax 2+ax +1>0恒成立⇔a =0或{a >0△=a 2−4a <0⇔0≤a <4；关于x 的方程x 2−x +a =0有实数根⇔1−4a ≥0⇔a ≤14；如果p 为真命题，且q 为假命题，有0≤a <4，且a >14；∴14<a <4 如果q 为真命题，且p 为假命题，有a <0或a ≥4，且a ≤14∴a <0．所以实数a 的取值范围为(−∞,0)∪(14,4)．故答案为：(−∞,0)∪(14,4)．【解析】本题考查全称量词命题、存在量词命题，利用命题的真假求解参数的取值范围，属于基础题．分别求得p、q所对应的a的范围，结合已知条件由p为真命题，且q为假命题和q为真命题，且p为假命题分别求得a的范围，取并集可得结果．18.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=2sin(x+π6)cos(x+π6)+cos(π2−2x)=sin(2x+π3)+sin2x=12sin2x+√32cos2x+sin2x=32sin2x+√32cos2x=√3(√32sin2x+12cos2x)=√3sin(2x+π6)，则函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π．(Ⅱ)当x∈[0,π2]时，2x∈[0,π]，2x+π6∈[π6,7π6]，则当2x+π6=π2时，函数取得最大值为y=√3sinπ2=√3，当2x=7π6时，函数取得最小值y=√3sin7π6=√3×(−12)=−√32，即函数f(x)的值域为[−√32,√3].【解析】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用二倍角公式以及诱导公式进行化简是解决本题的关键．属于基础题．(Ⅰ)利用诱导公式以及倍角公式进行化简，结合三角函数的周期公式进行求解即可．(Ⅱ)求出角的范围，结合函数的最值和角的关系进行求解即可．19.【答案】解：(Ⅰ)f′(x)=3ax2−b，由题意：{f′(2)=12a−b=0f(2)=8a−2b+4=−43,解得{a=13b=4，∴所求的解析式为f(x)=13x3−4x+4．(Ⅱ)由(Ⅰ)可得f′(x)=x2−4=(x−2)(x+2)，令f′(x)=0，得x=2或x=−2，∴当x<−2时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当−2<x<2时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x>2时，f′(x)>0，f(x)单调递增，因此，当x=−2时，f(x)有极大值283，当x=2时，f(x)有极小值−43，∴函数f(x)=13x3−4x+4的图象大致如图．若f(x)=k有3个解，即函数f(x)与y=k的图象有三个交点，由图可知：−43<k<283．【解析】本题主要考查函数的单调性、极值与其导函数之间的关系，属于中档题．(Ⅰ)先对函数进行求导，然后根据f(2)=−43，f′(2)=0可求出a，b的值，进而确定函数的解析式．(Ⅱ)根据(Ⅰ)中解析式然后求导，然后令导函数等于0求出x的值，然后根据函数的单调性与其导函数的正负之间的关系确定单调性，进而确定函数的大致图象，最后找出k 的范围．20.【答案】解：(1)g(x)是奇函数，又x∈R，故g(0)=1−a=0，所以a=1，经检验当a=1时函数g(x)是奇函数，符合题意，故a=1．(2)g(x)=2x−12x是R上的增函数，理由如下：在R上任取x1<x2，则g(x1)−g(x2)=2x1−12x1−2x2+12x2=(2x1−2x2)+2x1−2x22x1⋅2x2=(2x1−2x2)(1+12x1+x2)，x1<x2⇒0<2x1<2x2⇒g(x1)−g(x2)<0⇒g(x1)<g(x2)，所以g(x)=2x−12x是R上的增函数．(2)g(t2−2t)+g(2t2−k)>0且g(x)是奇函数，所以g(t2−2t)>−g(2t2−k)=g(k−2t2)，因为g(x)是R上的增函数，所以t2−2t>k−2t2，所以k<3t2−2t对t∈[0,+∞)恒成立，∴k<(3t2−2t)min，∵3t2−2t=3(t−13)2−13≥−13实数k的取值范围是k∈(−∞,−13)．【解析】本题主要考查了奇函数的性质在求函数解析式中的应用及函数的单调性的的定义，奇偶性的定义在不等式求解中的应用，属于中档试题．(1)结合奇函数的性质g(0)=0，代入即可求解a，(2)直接利用函数单调性的定义即可判断，(3)由不等式恒成立，结合单调性及奇偶性及恒成立与最值求解的相互转化即可求解．21.【答案】解：(1)由题意知：A=√2,T4=7π12−π3=π4，∴T=π=2πω，即ω=2，∵2×π3+φ=(2k+1)π，k∈Z，又0≤φ<2π，∴φ=π3，∴f(x)=√2sin(2x+π3)．(2)由题意得：√2sin(2x+π3)≥√62，即sin(2x+π3)≥√32，因为x∈[0,π]，则π3≤2x+π3≤2π3或2x+π3=7π3，即0≤x≤π6或x=π，所以x∈[0,π6]∪{π}．【解析】本题考查三角函数的解析式的求法，三角函数的不等式的解法，是中档题． (1)求出振幅得到A ，利用周期求解ω，然后求解初相，得到函数的解析式． (2)利用三角函数的最值，转化求解不等式的解集即可．22.【答案】解：(1)当a =0时，f(x)=xlnx ，函数的定义域为(0,+∞)，f ′(x)=lnx +1，令f ′(x)<0，解得：0<x <1e ，令f ′(x)>0，解得：x >1e ，故函数f(x)的递减区间为(0,1e )，递增区间为(1e ,+∞)； (2)g(x)=f(x)x=lnx +12ax 2−ax(x >0)， g ′(x)=ax 2−ax+1x，由题意知：x 1，x 2是方程g ′(x)=0的两个不相等的正实根，即x 1，x 2是方程ax 2−ax +1=0的两个不相等的正实根，故{a ≠0Δ=a 2−4a >0x 1+x 2=1>0x 1x 2=1a >0，解得：a >4，令t(a)=g(x 1)+g(x 2)=12ax 12−ax 1+lnx 1+12ax 22−ax 2+lnx 2 =12a[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]−a(x 1+x 2)+ln(x 1x 2) =−12a −lna −1，因为t(a)是关于a 的减函数，故t(a)<t(4)=−3−ln4，故g(x 1)+g(x 2)的范围是(−∞,−3−ln4)．【解析】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，属于拔高题．(1)代入a 的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； (2)求出a 的范围，得到t(a)=g(x 1)+g(x 2)的解析式，结合函数的单调性求出其范围即可．。