数学物理方程第二章分离变量法.doc
【精品课件】数学物理方程分离变量法
l
) 1,2,3,
)
特征值与 特征函数
2u t2
a2
2u x2
,
0xl,t 0
u(0,t) 0, u(l,t) 0,
t 0
u(x,0) (x),
u(x,0) (x),
0 x l
t
T''n(t)a2nl222Tn(t)0
X''(x)X(x)0
T''(t)a2T(t)0
X nn(xn)2 l2B 2nsi(n nn l1x ,2,3(,n )1 ,2,3 ,
驻 波 ： 两 列 反 向 行 进 的 同 频 率 的 波 形 形 成 驻 波 。 波 腹 ： 振 幅 最 大 的 点 ; 节 点 ： 振 幅 最 小 的 点
求方程的通解的步骤为：
(1)写出微分方程的特征方程 r2 0,
(2)求出特征根 r1 , r2，
(3)根据特征根的情况按下表写出所给微分方程 的通解。
特征根
通
解
yC1er1xC2er2x
y(C1C2x)
y ( C 1 c o sx C 2 s inx )
一 有界弦的自由振动
1 求两端固定的弦自由振动的规律
u(x,t)un(x,t) n1
n 1(CncosnlatD nsinnlat)sinnlx (n1,2,3, )
步骤3，其余的定解条件求出系数。
un 1(C nco n la st D nsin ln at)sin lnx
n
u(x,t)t 0u(x,0 )n 1C nsinl x(x)
X(x)AexBex
AB0
AB0 X0
Ae l Be l 0
《数学物理方程》第2章 分离变量法
1) 分离变量 偏→常 常 设定解问题有形如 u(x,t)=X(x)T(t) 的非零解
代入DE得 代入 得 X ( x)T ′′(t ) = a 2 X ′′( x)T (t )
u( 0, t ) = X ( 0 )T ( t ) = 0 代入BC得 代入 得 u( l , t ) = X ( l )T ( t ) = 0 X ′′( x) T ′′(t ) ∴ = 2 = λ(常数) X满足 X ′′( x ) + λ X ( x ) = 0(*) 满足 X ( x ) a T (t ) X ( 0) = X ( l ) = 0 T 满足 T ′′( t ) + a 2 λ T ( t ) = 0 (**)
双曲型方程－ 一 双曲型方程－有界弦的自由振动
utt = a 2uxx (t > 0, 0 < x < l ) 1 定解问题 u(0, t ) = 0, u(l , t ) = 0 (t ≥ 0) u( x,0) = ( x) ut ( x,0) = ψ( x) (0 ≤ x ≤ l )
2 求解步骤
第2章 分离变量法 章
椭型的混合问题和边值 混合问题和边值问题 适用于 双 抛 椭型的混合问题和边值问题 非齐DE非齐 非齐BC 非齐DE齐次 齐次BC 非齐 非齐 令u( x , t ) = v( x , t ) + w( x , t ) 非齐 齐次
utt = a 2 uxx + f ( x, t ) u(0, t ) = u1 (t ) u(l , t ) = u2 (t ) u( x,0) = ( x) ut ( x,0) = ψ( x)
2 n
注 由2.6节Sturm Liouville 理论 , 特征值问题的特征函
分离变量法
∞
kπ a kπ a ⎞ kπ ⎛ t + Bk sin t ⎟ sin x = ∑ ⎜ Ak cos l l ⎠ l k =1 ⎝
∞
使得
9
k π a Bk kπ ψ ( x ) = ut ( x , 0) = ∑ sin x l l k =1
∞
kπ ϕ ( x ) = u ( x , 0) = ∑ Ak sin x l k =1
X ( x) = C .
情形（C）
λ >0
其通解为
X ( x) = C1 cos λ x + C2 sin λ x,
由边界条件推出 C2 = 0,
22
再由 X ′(l ) = C1 λ sin λ l = 0 知道为了使 必须
C1 ≠ 0,
sin λ l = 0.
λ l = kπ ,
kπ λ = λk = 2 , l
sin λ l = 0.
λ l = kπ ,
kπ λ = λk = 2 , l
2 2
于是有
(k = 1,2,3," ).
本征值
(k = 1,2 ,3," ).
X k ( x) = Ck sin
kπ x, l
(k = 1,2," )
本征 函数
7
k 2π 2 λ = λk = 2 , l
(k = 1,2 ,3," ) 代入另一个方程可得
u ( x, t ) = X ( x)T (t )
把变量形式的解代入方程可得
XT ′′ = a 2 X ′′ T
即
T ′′(t ) X ′′( x) = 2 a T (t ) X ( x)
以及
数学物理方程第二章分离变量法word版-21页文档资料
第五讲补充常微分方程求解相关知识。
第二章 分离变量法偏微分方程定解问题常用解法，分离变量法。
解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数一阶线性偏微分方程的求解问题，基本方法也是转化为一阶线性常微分方程组的求解问题对于二阶以及更高阶的偏微分方程定解问题，情况有些不同：即使可以先求出通解，由于通解中含有待定函数，一般来说，很难直接根据定解条件定出，因此，通常的办法就是把它转化为常微分方程问题 （第六讲）§2.1 有界弦的自由振动什么是分离变量法？使用分离变量法应具备那些条件？ 下面通过两端固定的弦的自由振动问题来说明。
定解问题：考虑长为l ，两端固定的弦的自由振动，其数理方程及定解条件为.0 ),(u ),(u 0,,0u ,0u 0, l,0 ,0t0022222l x x x t t x xu a t u t t l x x ≤≤==>==><<∂∂=∂∂====ψϕ分析：1. 方程和边界条件都是齐次的，求这样的问题可用叠加原理。
2. 我们知道，在解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数。
启发：能否运用类似求常微分方程定解问题的方法求偏微分方程？也既是能否先找出满足齐次方程及齐次边界条件的足够多的特解，再用其作线性组合使其满足初始条件。
由分析，我们现在试求方程的变量分离形式：)()(),(t T x X t x u =的非零解。
将),(t x u 代入方程，可得)()()()()()()()(2''''''2''x T a x T x X x X t T x X a t T x X =⇒= 此式中，左端是关于x 的函数，右端是关于t 的函数。
因此，左端和右端相等，就必须等于一个与t x ,无关的常数。
分离变量法-2
若要两边恒等， 若要两边恒等，只有都等 于一个常数。 于一个常数。
这样，变量被分离了， 这样，变量被分离了， 同时得到两个常微分方程！ 同时得到两个常微分方程！
T ′′( t ) + λ a 2T ( t ) = 0 X ′′( x ) + λ X ( x ) = 0
二、捆绑边界条件 由于 u ( x , t ) = X ( x ) T ( t ) 将其与方程组中的边界条件 捆绑 由 由
求满足它们的解（定解问题） 求满足它们的解（定解问题）
在微积分学中: 在微积分学中 多元函数的 微分 积分 (转化为 转化为) 转化为 一元函数的 微分 积分
分离变量法: 分离变量法 偏微分方程 (定解问题 定解问题) 定解问题 (转化为 转化为) 转化为 常微分方程的求解
一、有界弦的自由振动
什么是分离变量法? 什么是分离变量法 运用分离变量法所应该具备的条件? 运用分离变量法所应该具备的条件 如何应用分离变量法解定解问题? 如何应用分离变量法解定解问题 两端固定) 以弦振动为例 . (两端固定 两端固定 定解问题为: 定解问题为
为此, 初始条件 . 为此 必须有
∞
∂ 2u ∂ 2u , 0< = a2 2 ∂t ∂ x2 u |x=0 = 0 , u |x=l = 0 , u | = ϕ ( x ) ; ∂ u t =0 ∂ t t =0
x<l ,t >0 t≥0 = ψ ( x) , 0 ≤ x ≤ l .
线性组合这些足够多的特解
使之满足初始条件 从物理学知,乐器发出的声音 可以分解为各种不同频率的单音 从物理学知 乐器发出的声音,可以分解为各种不同频率的单音 每种单 乐器发出的声音 可以分解为各种不同频率的单音,每种单 音 振动时所形成的正弦曲线,其振幅依赖于时间 振动时所形成的正弦曲线 其振幅依赖于时间 t . 为此,特解可表示为 为此 特解可表示为
数学物理方程第二章 分离变量
⑶设 λ > 0 ，不妨令 λ =
由边界条件式（２.１.１２）得
⎧ A=0 ⎨ ⎩ B sin βl = 0
由 X ( x) ≠ 0 ，得 B ≠ 0 ，即
sin βl = 0
所以
βn =
且方程的通解为
nπ l
（ n = 1,2, L ）
X n ( x) = Bn sin
nπ x l
这样，我们称
λn = (
式中， a n = Bn C n , bn = Bn Dn 是任意常数． 由初始条件式（２.１.３）中的 ϕ ( x),ψ ( x) 是任意给定的，一般情况下，式（２.１. １３）中的任何一个特解都不会满足初始条件式（２.１.３） ．因为式（２.１.１）是线性 齐次的，根据叠加原理，级数
u ( x, t ) = ∑ u n ( x, t ) = ∑ (a n cos
的形式．这种形式的特点是：二元函数 u ( x, t ) 是只含有变量 x 与只含有变量 t 的两个一元函 数的乘积，即两个变量被分离了． 弦的振动也是波，它应该具有上述的特点，因此，我们不妨设泛定方程（２.１.１）的 解为
u ( x, t ) = X ( x)T (t )
（2.1.４）
由于定解问题是适定的，因此方程的解存在并且唯一，若通过这种假设求出问题的解， 则此定解问题就解决了； 若无法求出 X ( x), T (t ) 的表达式， 则该假设不合适， 只能另想办法． 将式（2.1.４）代入定解
植也为常数．这样，我们记该常数为 − λ ，则有
X " ( x) T " (t ) = = −λ X ( x) a 2T (t )
即得
T " (t ) + λa 2T (t ) = 0
数学物理方程分离变量法 (2)精品
) 1, 2,3,L
)
特征值与 特征函数
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
2u t 2
a2
2u x2
,
0 x l,t 0
u(0,t) 0, u(l,t) 0,
t 0
u(x, 0) (x),
u(x, 0) (x),
0 xl
t
a2n2 2
T ''n (t) l2 Tn (t) 0
分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
2 解的性质
un (x,t)
(Cn
cos
n
l
a
t
Dn
sin
n a t)sin
l
n
l
x
An
cos(nt
n )sin
n
l
x
其中： An Cn2 Dn2
n
n a
l
n
arctan
Dn Cn
x=x0时：
un (x0,t)
x2
2lx,
u(x, 0) t
0,
0 x l,t 0 t0 0 xl
解： u(x,t) X (x)T (t)
u(0,t) X (0)T (t) 0
X (0) 0
XT a2 X T
X X
1 a2
T T
X X 0 T a2T 0
u(l,t) X (l)T (t) 0 x
l 长，由此可见驻波的波长 2l / n。
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
n 1的驻波除两端x 0和x l外没有其他节点，它的波长2l在所有 本征振动中是最长的；相应地，它的频率a / 2l在所有本征振动中是 最低的。这个驻波叫做基波。n 1的各个驻波分别叫做n次谐波。 n次谐波的波长2l / n是基波的1/ n,频率na / 2l则是基波的n倍。
数学物理方程第二章分离变量法
X ( x ) X ( x) 0
(2.6)
要 求非 零解 u( x , t ) 0, T ( t ) 0, X (0) X ( l ) 0
X ( x ) X ( x) 0 x (0) x (l ) 0
第二步 求固有（值）函数
通解形式
r1 r2
r1 r2
r α iβ
y( x) Ae
r1x
Be
r2 x
y( x) Axer1x Ber1x
y ( x) ex ( A cos βx B sin βx)
X ( x ) X ( x ) 0
(1) 0
X ( x) Ae
即 在 固 有 值 已 知 情 况求 下解 另 一 个 常 微 分 方的 程通 解
第 四 步 合 成 偏 微 分 方 程 的 通并 解求 满 足 初 始 条 件 的解 定
说 明 关 于 求 固 有 值 的题 问： 1)固 有 值 是 否 存 在 ？ 2)固 有 函 数 系 是 否 正 交 ？ 3)函 数 是 否 可 以 按 固 有 数 函系 展 开 ？
X ( x ) T ( t ) 2 X ( x ) a T (t ) (2.5)
X ( x )T (t ) a 2 X ( x )T (t )
u ( x , t ) X ( x )T ( t ) T (t ) a T (t ) 0 (2.7) x 由条件 u x (0, t ) X (0)T (t ) 0, u x ( l , t ) X (l )T (t ) 0,
nat nat nx un ( x, t ) X n ( x )Tn (t ) ( En cos Fn sin ) sin l l l
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第五讲补充常微分方程求解相关知识。
第二章 分离变量法偏微分方程定解问题常用解法，分离变量法。
解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数一阶线性偏微分方程的求解问题，基本方法也是转化为一阶线性常微分方程组的求解问题对于二阶以及更高阶的偏微分方程定解问题，情况有些不同：即使可以先求出通解，由于通解中含有待定函数，一般来说，很难直接根据定解条件定出，因此，通常的办法就是把它转化为常微分方程问题（第六讲）§2.1 有界弦的自由振动什么是分离变量法？使用分离变量法应具备那些条件？ 下面通过两端固定的弦的自由振动问题来说明。
定解问题：考虑长为l ，两端固定的弦的自由振动，其数理方程及定解条件为.0 ),(u ),(u 0,,0u ,0u 0, l,0 ,0t0022222l x x x t t x xu a t u t t l x x ≤≤==>==><<∂∂=∂∂====ψϕ分析：1. 方程和边界条件都是齐次的，求这样的问题可用叠加原理。
2. 我们知道，在解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数。
启发：能否运用类似求常微分方程定解问题的方法求偏微分方程？也既是能否先找出满足齐次方程及齐次边界条件的足够多的特解，再用其作线性组合使其满足初始条件。
由分析，我们现在试求方程的变量分离形式：)()(),(t T x X t x u =的非零解。
将),(t x u 代入方程，可得)()()()()()()()(2''''''2''x T a x T x X x X t T x X a t T x X =⇒= 此式中，左端是关于x 的函数，右端是关于t 的函数。
因此，左端和右端相等，就必须等于一个与t x ,无关的常数。
数学物理方程-第二章分离变量法
第二章 分离变量法分离变量法是求解偏微分方程定解问题最常用的方法之一，它和积分变换法一起统称为Fourier 方法. 分离变量法的本质是把偏微分方程定解问题通过变量分离，转化为一个所谓的特征值问题和一个常微分方程的定解问题，并把原定解问题的解表示成按特征函数展开的级数形式. 本章介绍两个自变量的分离变量法，更多变量的情形放在其他章节中专门讨论.§21 特征值问题⋅2．1.1 矩阵特征值问题在线性代数中，我们已学过线性变换的特征值问题. 设为一阶实矩阵，A n 可视为到自身的线性变换。
该变换的特征值问题（eigenvalue problem ）A n R 即是求方程：，,n Ax x x R λ=∈（1.1）的非零解，其中为待定常数. 如果对某个，问题（1.1）有非零解C λ∈λ，则就称为矩阵的特征值(eigenvalue)，相应的称为矩阵n x R λ∈λA n x R λ∈的特征向量(eigenvector). 一般来讲，特征值问题（1.1）有不多于个相A n 异的特征值和线性无关的特征向量. 但可证明: 任一阶矩阵都有个线性无n n 关的广义特征向量，以此个线性无关的广义特征向量作为的一组新基，矩n n R 阵就能够化为标准型.Jordan 若为一阶实对称矩阵，在线性代数中有一个重要结果，即存在一个正A n 交矩阵使得T ， 1T AT D -=（1.2）其中diag 为实对角阵. 设，为矩阵的第列D =12(,,...,)n λλλ12[ ... ]n T T T T =i T T i 向量，则式（1.2）可写为如下形式(1)i n ≤≤ ，1212 [ ... ][ ... ]n n A T T T T T T D =或, 1.i i i A T T i n λ=≤≤（1.3）上式说明，正交矩阵的每一列都是实对称矩阵的特征向量，并且这T A 个特征向量是相互正交的. 由于此结论在一定意义下具有普遍性，我们以定n 理的形式给出.定理1.1 设为一阶实对称矩阵，考虑以下特征值问题A n ，,n Ax x x R λ=∈则的所有特征值为实数，且存在个特征向量，它们是相互正交的A n ,1i T i n ≤≤（正交性orthogonality ），可做为的一组基（完备性completeness ）.n R 特征值问题在线性问题求解中具有重要的意义，下面举例说明之.为简单起见，在下面两个例子中取为阶非奇异实矩阵，故的所有特A n A 征值非零，并且假设有个线性无关的特征向量 相应的特征值为A n ,i T ., 1i i n λ≤≤例1.1 设，求解线性方程组 .n b R ∈Ax b =解 由于向量组线性无关，故可做为的一组基. 将按此{1}i T i n ≤≤n R ,x b 组基分别展开为，则等价于11 ,nni i i i i i x x T b bT ====∑∑Ax b =，11nni ii ii i x AT bT ===∑∑或，11nni i ii ii i x T bT λ===∑∑比较上式两边的系数可得i T ，1, 1i i i x b i n λ-=≤≤便是原问题的解.12( ... )n x x x x T =例1.2 设,. 求解非齐次常微0n x R ∈12()((),(),...,()), 0n n f t x t x t x t R t T =∈>分方程组， 0(), (0)dxAx f t x x dt=+=（1.4）其中 . '''12((),(),...,()),0n dx x t x t x t t dtT =>解 类似于上例，将按基分别展开为0,,()x x f t {1}i T i n ≤≤ .0111, , ()()nn n i i i ii i i i i x x T x x T f t f t T ======∑∑∑则（1.4）等价于，0111()() +(), (0), 1n n ni i i i i i i i i i i dx t T x t AT f t T x x i n dt =====≤≤∑∑∑或，011()(()()), (0),1nni i i i i i i i i i dx t T x t f t T x x i n dt λ===+=≤≤∑∑比较上式两边的系数可得i T . 0()()(), (0), 1i i i i i i dx t x t f t x x i n dtλ=+=≤≤（1.5）（1.5）是个一阶线性方程的初始值问题，很容易求出其解.请同学们给出解n 的具体表达式.(),1i x t i n ≤≤2.1.2 一个二阶线性微分算子的特征值问题在这一小节，我们讨论在本章常用的一些特征值问题. 代替上节的有限维线性空间和阶实对称矩阵，在这儿要用到线性空间的某个子空间n R n A [0,]C l 和该子空间上的二阶线性微分算子. 一般地取H A在满足齐次边界条件.2{()[0,]()H X x C l X x =∈0,x l =}（1.6）下面我们讨论二阶线性微分算子的特征值问题. 先取边界条件为22d A dx=-，设是的特征函数，即且满足(0)0,()0X X l ==()X x H ∈A ()0X x ≠.()()AX x X x λ=此问题等价于是下面问题的非零解()X x "()()0, 0(0)()0 .X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎨==⎩（1.7）（1.7）便是二阶线性微分算子的特征值问题，即要找出所有使22d A dx=-得该问题有非零解的. 下面求解特征值问题（1.7）.λ首先证明要使（1.7）具有非零解，必须非负.λ设是相应于的一个非零解，用乘（1.7）中的方程，并在)(x X λ)(x X 上积分得[]l ,0，0)()()()("=+x X x X x X x X λ，0)()()( 0 2 0 "=+⎰⎰dx x X dx x X x X llλ.0)())(()()( 0 2 0 2'0'=+-⎰⎰dx x X dx x X x X x X lll λ由于，故有0)()0(==l X X ，2'2 0()(())llX x dx X x dx λ=⎰⎰.'22 0(())()0llX x dxX x dx λ=≥⎰⎰（1.8）当时，方程的通解为. 利用边界条件0λ=0)()("=+x X x X λ12()X x c c x =+可得，即. 因此，不是特征值.0)()0(==l X X 120c c ==()0X x =0λ=当时，方程的通解为0λ>0)()("=+x X x X λ. （1.9x C x C x X λλsin cos )(21+=）利用边界条件确定常数如下0)()0(==l X X 21,C C , ,10C =l C l C λλsin cos 021+=或.0sin 2=l C λ由于要求（1.7）中齐次微分方程的非零解，故不能为零. 故有2C .0sin =l λ，从而有0> ， ,πλn l =1n ≥， .2)(ln n πλ=1n ≥将代入到（1.8）中，并略去任意非零常数得n C C λ,,212C ， .x ln x X n πsin)(=1n ≥故特征值问题（1.7）的解为， ， 2(l n n πλ=x ln x X n πsin )(=1n ≥（1.10）注1 特征值问题是分离变量法的理论基础. 上面已求出特征值问题（1.7）的解为. 在高等数学中知道，在一定条件下区间{ sin 1 }n x n lπ≥的任一函数可按特征函数系展开为Fourier 级数. 换言[0 , ]l { sin 1 }n x n lπ≥之，特征函数系是区间上满足一定条件的函数所成无穷维空间的一组基，{ sin 1 }n x n lπ≥[0 , ]l 而且还是该空间上的一组正交基，即有. 特征函0sinsin 0 , ln m x n m l lππ=≠⎰数系的这两个根本性质：正交性和完备性（基），和定理1.1{ sin1 }n x n lπ≥有限维空间中相应结论很相似，只是现在的特征值和特征函数是无穷个. 另n R 外，若改变（1.7）中的边界条件，其相应的特征值和特征函数也会有所变化.如将边界条件变为，则特征值和特征函数分别为(0)0,'()0X X l ==. 2(21)(21)(),()sin ,022n n n n X x x n l lππλ++==≥该特征函数系也具有和特征函数系类似(21){ sin1 }2n x n l π+≥{ sin 1 }n x n lπ≥的性质，既正交性和完备性.此类问题的一般结果便是著名的Sturm—Liouville定理，有兴趣的同学可参阅参考文献.[1][4]-将以上的结果以定理的形式给出.定理1.2 考虑二阶线性微分算子的特征值问题[1],[4]22d A dx=- "()()()()0 , 0 ,(0)0,()0 .k m X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎪⎨==⎪⎩（1.11）其中. 则该问题的特征值非负，且满足0,1k m ≤≤.120......n λλλ≤<<<<→∞相应的特征函数系在上是相互正交的. 且对于任一在区间上1{()}n n X x ≥[0,]l [0,]l 分段光滑的函数，可按特征函数系展开为如下的级数()f x 1{()}n n X x ≥Fourier ，1()()n n n f x f X x ∞==∑其中系数为Fourier .20()(), 1()l nn lnf x Xx dxf n Xx dx =≥⎰⎰为后面需要，下面再求解二阶线性微分算子带有周期边界条件的22d A dx=-特征值问题. 在偏微分方程教材中，习惯上用表示周期函数，即考虑下面()θΦ二阶线性微分算子的周期边值问题22d A dx=- "()()0, () (2), .θλθθθπθθ⎧Φ+Φ=-∞<<+∞⎨Φ=Φ+-∞<<+∞⎩（1.12）可证（1.12）和以下问题等价"''()()0, 02(0) (2), (0) (2).θλθθπππ⎧Φ+Φ=≤≤⎪⎨Φ=ΦΦ=Φ⎪⎩（1.13）和（1.8）的证明相似易得（1.13）中的特征值.当时，0≥λ0λ=, 由周期边界条件可得. 所以为特征函数.12()c c θθΦ=+20c =0()1θΦ=当时，方程通解为0λ>,θλθλθsin cos )(21c c +=Φ求导得.'()c c θΦ=-+由周期边界条件可得112cos(2sin(2c c c c c c ππ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩或1212[1cos(2sin(20sin(2[1cos(20.c c c c ππ⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩（1.14）由于要求非零解，故不能同时为零. 因此，齐次方程组（1.14）的系数矩12,c c 阵行列式必为零，即 .解之可得1cos(20-=，2n n =λ()cos sin .n n n c n d n θθθΦ=+此时对每个正特征值，特征函数有二个，既，. 总结所得2n n =λθn cos θn sin 结果为如下定理.定理1.3 考虑二阶线性微分算子带有周期边界条件的特征值问22d A d θ=-题"''()()0, 02(0) (2), (0) (2).θλθθπππ⎧Φ+Φ=≤≤⎪⎨Φ=ΦΦ=Φ⎪⎩则该问题的特征值和特征函数分别为，.00,λ=0()1;θΦ=2n n =λ(){cos ,sin }, 1n n n n θθθΦ=≥§22 分离变量法⋅本节结合具体定解问题的求解来介绍分离变量法（method of separation of variables ）. 所举例子仅限于一维弦振动方程，一维热传导方程混合问题以及平面上一些特殊区域上的位势方程边值问题. 对高维问题的处理放在其它章节中介绍.以下多数例子均假定定解问题带有齐次边界条件. 否则,可利用边界条件齐次化方法转化之. 我们以弦振动方程的一个定解问题为例介绍分离变量法.2．2.1 弦振动方程定解问题例2.1求解两端固定弦振动方程的混合问题2(,), 0, 0 (2.1)(0,)0, (,)0, 0 (2.2)(,0)(), (,0)(),0. tt xx t u a u f x t x l t u t u l t t u x x u x x x l ϕψ-=<<>==≥==≤≤ (2.3)⎧⎪⎨⎪⎩解 分四步求解.第一步 导出并求解特征值问题. 即由齐次方程和齐次边界条件，利用变量分离法导出该定解问题的特征值问题并求解.令，并代入到齐次方程中得)()(),(t T x X t x u =,0)()()()(''2''=-t T x X a x X t T 或.''''2()()()()X x T t X x a T t =上式左端是的函数而右端是的函数，要二者相等，只能等于同一常数.x t 令此常数为-，则有λ ， ，λ-=)()("x X x X "2()()T t a T t λ=-上面的第一个方程为.0)()("=+x X x X λ利用齐次边界条件（2.2），并结合得0)(≠t T .0)()0(==l X X 由此便得该定解问题的特征值问题为"()()0, 0(0)()0.X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎨==⎩其解为特征值：特征函数： 2() , 1 ;n n n lπλ=≥()sin, 1 .n n X x x n lπ=≥第二步 正交分解过程. 即将初值和自由项按特征函数系展成{}1()n n X x ≥Fourier 级数，并将也用特征函数表出.),(t x u {}1()n n X x ≥ ,11()()sinn n n n n n x X x x lπϕϕϕ∞∞====∑∑（2.4）, 11()()sinn n n n n n x X x x lπψψψ∞∞====∑∑（2.5）, 11(,)()()()sinn n n n n n f x t f t X x f t x lπ∞∞====∑∑（2.6）（2.711(,)()()()sinn n n n n n u x t T t X x T t x lπ∞∞====∑∑）这里，和分别为，和的Fourier 系数，具体表示如n ϕn ψ)(t f n )(x ϕ)(x ψ),(t x f 下,02()sin l n n d l l πϕϕααα=⎰,02()sin l n n d l l πψψααα=⎰,02()(,)sin l n n f t f t d l lπααα=⎰而为待定函数.)(t T n 第三步 待定系数法. 即先将和的Fourier 级数代入到（2.1）),(t x f ),(t x u 中，导出关于满足的常微分方程. 再利用初值条件（2.3）得出满足)(t T n )(t T n 的初始条件.假设(2.7)中的级数可逐项求导，并将（2.6）和（2.7）代入到（2.1）中得,"2"111()()()()()()nnnnn n n n n T t Xx aT t Xx f t X x ∞∞∞===-=∑∑∑,"2111()()()(())()()nnn nnn n n n n T t Xx aT t Xx f t X x λ∞∞∞===--=∑∑∑ . （2.8"211(()())()()()nn n n n n n n T t a T t X x f t X x λ∞∞==+=∑∑）由于Fourier 展式是唯一的，比较（2.8）两端系数得)(x X n（2.9"2()()(), 1.n n n n T t a T t f t n λ+=≥）在（2.7）中令并结合（2.4）得0=t （2.10()(0)()()n n n n n n x T X x X x ϕϕ∞∞====∑∑）比较（2.10）两端系数得)(x X n(0), 1.n n T n ϕ=≥（2.11）类似地可得'(0), 1.n n T n ψ=≥（2.12）结合（2.9），（2.11）和（2.12）便得出关于满足的二阶常系数非齐)(t T n (1)n ≥次方程初始值问题"2'()()(), 0(0), (0).n n n n n n n n T t a T t f t t T T λϕψ⎧+=>⎪⎨==⎪⎩（2.13）第四步 求解关于的定解问题（2.13），并将其结果代入到（2.7）中)(t T n 即可.为简单起见，我们设. 将代入到（2.13）中可得方程的通()0,1n f t n =≥n λ解为， t lan d t l a n c t T n n n ππsin cos)(+=利用初始条件确定常数如下,n n c d.'(0), (0)n n n n nn aT c T d lπϕψ====故有. ()cossin n n n l n a n a T t t t l n a lψππϕπ=+最后将上式代入到（2.7）中便得定解问题（2.1）—（2.3）的解为12(,)()sin cos sin l n n n a n u x t d t xlll lπππϕααα∞==∑⎰ (2.14)012()sin sin sin l n n n a n d t x n a l l l πππψαααπ∞=+∑⎰注1 利用分离变量法求解（2.1）—（2.3），需要假设在（2.7）中可通过无穷求和号逐项求导. 而通过号求导要对无穷级数加某些条件，在这里就∑∑不做专门讨论了. 今后遇到此类问题，我们均假设一切运算是可行的，即对求解过程只作形式上的推导而不考虑对问题应加什么条件. 通常称这样得出的解为形式解. 验证形式解是否为真解的问题，属于偏微分方程正则性理论的范围. 一般地讲，偏微分方程定解问题的解大多数是以无穷级数或含参变量积分形式给出的. 对这两类函数可微性的研究需要较深的数学知识，也有一定的难度，有兴趣的同学可查阅参考文献和. 我们约定：本书只求定解问题的形式解.[1][2]注2 当时，由（2.14）可以看出：两端固定弦振动的解是许多(,)0f x t =简单振动的叠加，当时，对任意的(,)()sinn n n u x t T t x l π=(11)k klx x k n n==≤≤-时刻，，即在振动的过程中有个点永远保持不动，所t (,)0n k u x t =(,)n u x t (1)n +以称这样的振动为驻波,而称为该驻波的节点.显然当k x 时，在这些点上振幅最大，称这些点为驻波的21(11)2k x l k n n+=≤≤-sin 1x =腹点. 因此，求特征函数实际上就是求由偏微分方程及边界条件所构定的系统所固有的一切驻波. 利用由系统本身所确定的简单振动来表示一些复杂的振动，便是分类变量法求解波动问题的物理解释.注3 例2.1的求解方法也叫特征函数法（eigenfunction method ），现已成为固定模式，也具有普适性. 初学者似乎会感到有些繁琐，但随着进一步的学习，同学们就会熟练掌握这一方法. 特征函数法的关键之处是求解偏微分方程定解问题相应的特征值问题，而基本思想就是笛卡尔（Descartes ）坐标系的思想.如在三维空间中，每个向量可由基的线性组合表出，两个向量3R {,,}i j k 111222 , a i b j c k a i b j c kαβ=++=++相等当且仅当在基下两个向量的坐标相等. 既.{,,}i j k121212 , , a a b b c c ===与此相类似，在例2.1求解中也是比较方程或初始条件两边的系数而得()n X x 到（2.13）. 与三维空间相比较，例2.1中特征函数系相当3R { sin1 }n x n lπ≥于3R 中的基，而也就相当于上面的，即定解问题的解{,,}i j k{ T () 1 }n t n ≥111{,,}a b c 关于基函数的坐标. 因此，在具有可数基的无穷维空间中，特{ sin1 }n x n lπ≥征函数法也称为待定系数法.例2.2 设有一均匀细弦，其线密度为. 若端为自由端，端固ρ0x =x l =定.初始速度和初始位移分别为零，并受到垂直于弦线的外力作用，其单位长度所受外力为. 求此弦的振动. sin t ω 解 所求定解问题为（2.1521 sin , 0, 0(0,)0, (,)0, 0(,0)0, (,0)0, 0.tt xx x t u a u t x l t u t u l t t u x u x x l ρω-⎧-=<<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩）利用特征函数法求解该问题.情形1 非共振问题，即.22, 0n a n ωλ≠≥ 该定解问题的特征值问题为(2.16)"'()()0, 0(0)0, ()0.X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎪⎨==⎪⎩其解为， ， 2(21)()2n n l πλ+=(21)()cos 2n n X x x lπ+=0n ≥将按特征函数展开成Fourier 级数得1sin t ρω-{}0)(≥n n x X , （2.17)11sin ()()n n n t f t X x ωρ∞==∑.021214()sin sin sin sin 2(21)l n n n f t t d t f t l l n ωπααωωρπρ+===+⎰令(,)()()n n n u x t T t X x ∞==∑（2.18）完全类似例2.1的求解过程可得，对于任意满足下面问题0, ()n n T t ≥（2.19"2'()()sin , 0(0)0, (0)0.n n n n n n T t a T t f t t T T λω⎧+=>⎪⎨==⎪⎩）初值问题(2.19)中齐次方程的通解为，12()cos sin n T t c c =+而非齐次方程的一个特解为.22()sin nn n f T t t a ωλω=-因此，（2.19）的通解为. 1222()cos sin sin nn n f T t c c t a ωλω=++-（2.20）由初始条件可确定出120, c c ==最后将所得到的代入到（2.18）中便得（2.15）的解.()n T t 情形2 共振问题，即存在某个 使得.0,n ≥22n a ωλ=不妨假设.此时，在情形1中求解所得到的不变.220a ωλ={ T () 1 }n t n ≥当时，要求解以下问题0n = "2000'00()()sin , 0(0)0, (0)0.T t T t f t t T T ωω⎧+=>⎪⎨==⎪⎩（2.21）（2.21）中齐次方程通解为.012()cos sin T t c t c t ωω=+为求得非齐次方程的一个特解，要将（2.21）中方程的自由項换为，而求0i t f e ω以下问题的一个特解"2000()().i t T t T t f e ωω+=令并代入到上面非齐次方程中可得 ，故有()i t T t Ate ω=02f iA ω=-，00()sin cos 22f t f tT t t i t ωωωω=-取其虚部便得（2.21）中方程的一个特解为. 00()Im(())cos 2f tT t T t t ωω==-结合以上所得结果便可得到（2.21）中方程的通解为，0012()cos sin cos 2f tT t c t c t t ωωωω=+-由初始条件确定出 ，由此可得01220, 2fc c ω==.0002()sin cos 22f f tT t t t ωωωω=-将代入到（2.18）中便得在共振条件下（2.15）的解为()n T t 000102112(,)()()()()()()(sin cos )cos ()()222 (,)(,) .n n n n n n n n n u x t T t X x T t X x T t X x f f t t t x T t X x l u x t u x t πωωωω∞=∞=∞===+=-+=+∑∑∑可以证明: 是有界的. 而在的表达式中取 ，则2(,)u x t 1(,)u x t 2k k t πω=中的基本波函数的振幅当逐渐变大时将趋于无穷大，最1(,)u x t cos2x lπ0()k T t k 终要导致弦线在某一时刻断裂，这种现象在物理上称为共振. 注意到在上面求解过程中我们取周期外力的频率等于系统的第一固有频率ω波函数分量上发生共振. 一般地讲，当周期外力的频率很接近或等于系统的ω某个固有频率时，系统都会有共振现象发生，即弦线上一些点的振幅将随着时间的增大而不断变大，导致弦线在某一时刻断裂.2．2.2 热传导方程定解问题例2.3 求解下面热方程定解问题（2.2220, 0, 0 (0,), (,)sin , 0(,0)0, 0.t xx x u a u x l t u t u u l t t t u x x l ω⎧=<<>⎪==≥⎨⎪=≤≤⎩）解 利用特征函数法求解(2.22).首先将边界条件齐次化,取，并令，则0(,)sin w x t u x t ω=+w u v -=（2.22）转化为（2.2320cos , 0, 0 (0,)0, (,)0, 0(,0), 0.t xx x v a v x t x l t v t v l t t v x u x l ωω⎧-=-<<>⎪==≥⎨⎪=-≤≤⎩）利用分离变量法可得（2.23）的特征值问题为"()()0, 0(0)0, '()0.X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎨==⎩特征值和特征函数分别为,2(21)()2n n lπλ+=0≥n .(21)()sin 2n n X x x lπ+=0≥n 将，按特征函数展成Fourier 级数(,)cos f x t x t ωω=-0)(u x -=ϕ{}0)(≥n n x X 得， (2.24)cos ()()n n n x t f t X x ωω∞=-=∑,02(21)()(1)cos sin cos 2l n n n f t t d f t l lπωαωααω+=-=⎰其中. 1228(1)(12)n n l f n ωπ+-=+ ， (2.25)00n n n u X ϕ∞=-=∑其中.00042(21)()sin 2(12)l n u n u d l l n πϕααπ-+=-=+⎰令(2.26)(,)()(), n n n v x t T x X x ∞==∑并将（2.26）代入到（2.23）中的方程得,'2"()()()()cos ()nnnnn n n n n T t Xx aT t Xx f tX x ω∞∞∞===-=∑∑∑.'2(()())()cos ()nn nnn n n n T t a T t Xx f tX x λω∞∞==+=∑∑在（2.26）中令并结合（2.25）得0=t .()(0)()()n n n n n n x T X x X x ϕϕ∞∞====∑∑比较上面两式中特征函数的系数便得()n X x（2.27'2()()cos , 0(0).n n n n n n T t a T t f t t T λωϕ⎧+=>⎪⎨=⎪⎩）（2.27）是一阶常系数常微分方程初值问题.齐次方程通解为.t a n n Ce t T λ2)(-=令，并利用待定系数法求特解可得()cos sin n T t A t B t ωω=+ ,2242242()cos sin n n nn n na f f T t t t a a λωωωωλωλ=+++故有（2.2822242242()cos sin n a tn n nn n na f f T t Cet t a a λλωωωωλωλ-=++++）在上式中代得0t =,2242n nn na f C a λϕωλ=++ . 2242n nn na f C a λϕωλ=-+最后将(2.28)代入到(2.26)中便得(2.23)的解为.0(21)(,)()sin2n n n v x t T t x lπ∞=+=∑故（2.21）的解为),(),(),(t x w t x v t x u +=0 (,)sin v x t u x t ω=++其中由（2.28）给出. )(t T n2．2.3 平面上位势方程边值问题考虑矩形域上Poisson 方程边值问题1212(,), , (,)(), (,)(), (,)(), (,)(), .xx yy u u f x y a x b c y d u a y g y u b y g y c y d u x c f x u x d f x a x b +=<<<<⎧⎪==≤≤⎨⎪==≤≤⎩（2.29）我们假设或. 否则，利用边界条件齐次化方法0)()(21==x f x f 0)()(21==y g y g 化非齐次边界条件为齐次边界条件. 当然，也可以利用叠加原理将（2.29）分解为二个问题，其中一个关于具有齐次边界条件，而另一个关于具有齐次边x y 界条件.例2.4 求解Dirichlet 问题（2.300, 02, 0 1 (0,)0, (2,)0, 01(,0)1, (,1)(1), 0 2.xx yy u u x y u y u y y u x u x x x x +=<<<<⎧⎪==≤≤⎨⎪==-≤≤⎩）解 令并将其代入到（2.29）中齐次方程得)()(),(y Y x X y x u =,0)()()()(""=+y Y x X y Y x X ,λ-=-=)()()()(""y Y y Y x X x X （2.31"()()0, 0 2(0)0, (2)0.X x X x x X X λ⎧+=<<⎨==⎩）0)()("=-y Y y Y λ（2.32）（2.31）便是（2.30）的特征值问题，其解为， ， .2)2(πλn n =x n x X n 2sin)(π=1≥n 将代入到（2.32）中得n λ ，0)()("=-y Y y Y n λ（2.33）该方程有两个线性无关解，. 由于，也是（2.33）的y n e2πy n e2π-2n shy π2n ch y π解且线性无关，故（2.33）通解为.y n ch d y n shc y Y n n n 22)(ππ+=令(2.34)11(,)()()()sin 222n n n n n n n n n u x y X x Y y c shy d ch y x πππ∞∞====+∑∑则满足（2.30）中方程和关于的齐次边界条件. 利用关于的边界条),(y x u x y 件可如下确定，，n c n d ,∑∞==12sin1n n x n d π . （2.35))1(1(22sin12220n n n d n d --=⨯=⎰πααπ）,x n n ch d n shc x x n n n ∑∞=+=-12sin )22()1(πππ . 22))1(1(22)1(416)1(163322ππππππn sh n chn n sh n n c n nnn -------=（2.36）故（2.30）解为（2.371(,)()sin ,222n n n n n n u x y c shy d ch y x πππ∞==+∑）其中，由（2.36）和（2.35）确定.n c n d 对于圆域，扇形域和圆环域上的Poisson 方程边值问题，求解方法和矩形域上的定解问题无本质区别，只是在此时要利用极坐标.同学们自己可验证：令，作自变量变换，则有θρcos =x θρsin =y .θθρρρρρu u u u u yy xx 211++=+令，将其代入到极坐标下的Laplace 方程中得)()(),(θρθρΦ=R u 222330216(1)164(1)(1)sin ,2222n nn n n n n n c sh d ch d n ππππααααπ----+=-=⎰,"'"211()()()()()()0R R R ρθρθρθρρΦ+Φ+Φ=,"'"211(()())()()()0R R R ρρθρθρρ+Φ+Φ=,"'"21()()()1()()R R R ρρθρλθρρ+Φ=-=-Φ故有, （2.380)()("=Φ+Φθλθ）. （2.390)()()('"2=-+ρλρρρρR R R ）方程（2.38）结合一定的边界条件便得相应定解问题的特征值问题,而（2.39）是欧拉（Euler ）方程. 对（2.39）作自变量变换可得s e =ρ ， ,s e =ρρln =s ,'1s dR dR ds R d ds d ρρρ==.2222'''2222211()ss s d R d R ds dR d s R R d ds d ds d ρρρρρ=+=-将以上各式代入到（2.39）得. （2.40''0ss R R λ-=）例2.5 求下面扇形域上Dirichlet 问题（2.4122220, 0, 0, 4(,0)0, 0 2(0,)0, 0 2 (,), 4. xx yy u u x y x y u x x u y y u x y xy x y ⎧+=>>+<⎪=≤≤⎪⎨=≤≤⎪⎪=+=⎩）的有界解.解 令，作自变量变换，（2.41）转化为θρcos =x θρsin =y（2.42）2110, 0, 0 2 2(,0)0, (,0, 022(2,)2sin 2, 0.2u u u u u u ρρρθθπθρρρπρρρπθθθ⎧++=<<<<⎪⎪⎪==≤≤⎨⎪⎪=≤≤⎪⎩令代入到（2.42）中的方程，并结合边界条件可得)()(),(θρθρΦ=R u"()()0, 0<</2(0)0, (/2)0.θλθθππ⎧Φ+Φ=⎨Φ=Φ=⎩（2.43）. （2.440)()()('"2=-+ρλρρρρR R R ）（2.43）便是（2.42）的特征值问题.求解特征值问题（2.43）可得， ， .224)2/(n n n ==ππλθθn n 2sin )(=Φ1≥n 将代入到（2.44）中，并令作自变量变换可得n λs e =ρ,"240ss R n R -=.2222()ns ns n n n n n n n R c e d e c d ρρρ--=+=+由于是求（2.42）的有界解，故有，即. 从而有∞<)0(R 0=n d .n n n c R 2)(ρρ= 上面求出的对每个都满足（2.42）中的方程和齐(,)()()n n n u R ρθρθ=Φ1n ≥次边界条件，由叠加原理得, （2.45∑∑∞=∞==Φ=1212sin )()(),(n n n n n n n c R u θρθρθρ）也满足（2.42）中的方程和齐次边界条件.为使（2.42）中的非齐次边界条件得以满足，在（2.45）中令得(2,)2sin u θθ=2ρ= ，212sin 22sin 2n n n c n θθ∞==∑（2.46）比较上式两边特征函数的系数得θθn n 2sin )(=Φ ， .112c =1)( 0≠=n c n 将，代入到（2.45）中便得（2.42）的解为1c 1)(≠n c n . θρθρ2sin 21),(2=u 例2.6 求解圆域上Dirichlet 问题2110, 0, 02(,)(), 02.u u u a u a ρρρθθρθπρρθϕθθπ⎧++=<<≤<⎪⎨⎪=≤≤⎩（2.47）解 圆域上的函数相当于关于变量具有周期. 令(,)u ρθθ2π并代入到（2.46）中的方程可得)()(),(θρθρΦ=R u（2.48"()()0() (2).θλθθπθ⎧Φ+Φ=⎨Φ=Φ+⎩）. （2.490)()()('"2=-+ρλρρρρR R R ）（2.48）是定解问题（2.47）的特征值问题. 由定理1.3知（2.48）的解为.2, ()cos sin , 0n n n n n c n d n n λθθθ=Φ=+≥将代入到（2.49）中可得(要利用自然边界条件)n λ(0,)u θ<∞,，00)(c R =ρn n n c R ρρ=)(1≥n 利用叠加原理可得（2.47）的如下形式解.∑∞=++=10)sin cos (),(n n n n n d n c c u θθρθρ（2.50）根据边界条件得)(),(θϕθ=a u ,01()(cos sin )n n n n c a c n d n ϕθθθ∞==++∑其中,2001()2c d πϕττπ=⎰,⎰=πτττϕπ20cos )(1d n a c n n .⎰=πτττϕπ20sin )(1d n a d n n 将以上各式代入到（2.50）中便得（2.47）的解为2 2 0 0111(,)()()(()cos cos 2n n u d n d n a ππρρθϕττϕτττθππ∞==+∑⎰⎰ .)sin sin )(12 0 ⎰+πθτττϕπn d n （2.51）注4 利用等式可将（2.51）化为如下形)Re()(cos 1)(1∑∑∞=-∞==-n in n n n e c n c τθτθ式（2.522222201()()(,),22cos()a u d a a πρϕτρθτπρρθτ-=+--⎰）式（2.52）称为圆域上调和函数的Poisson 公式. 在后面学习中还将用其它方法导出它. 注5 在例2.5和例2.6中，如果方程中自由项不为零，若),(θρf 特殊，可用函数代换将自由项化为零而转化齐次方程. 对于一般的),(θρf ，要利用特征函数方法求解.),(θρf 注6 上面例2.3—例2.6几个定解问题的求解思想和主要过程，是伟大的数学家和物理学家Fourier 给出的，详细内容见参考文献. 在这部著名论著[5]中，Fourier 首次利用偏微分方程来研究热问题，并系统地介绍了分离变量法的基本思想和主要步骤. 结合本节所举例子，请同学们小结一下在本章所学过的特征值问题，二阶常系数非齐次常微分方程和欧拉方程的求解方法. 习 题 二1. 设有如下定解问题2(,), 0, 0 (0,)0, (,)0, 0(,0)(), (,0)(), 0.tt xx x t u a u f x t x l t u t u l t t u x x u x x x l ϕψ⎧-=<<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩利用分离变量法导出该定解问题的特征值问题并求解.2.求解下列特征值问题 （1） "''()()0, 0 (0)()0.X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎪⎨==⎪⎩ （2） "()()0, 1 1 (1)0,(1)0X x X x x X X λ⎧+=-<<⎨-==⎩ （3） "()()0, 0 '(0)0, ()0.X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎨==⎩ （4） "()()0, 02 (0)(2), '(0)'(2).X x X x x l X X l X X l λ⎧+=<<⎨==⎩3 考虑下面特征值问题*"()()0, 0 (0)0, '()()0.X x X x x l X X l X l λ⎧+=<<⎨=+=⎩（1）证明一切特征值0.λ>（2）证明不同的特征值对应的特征函数是正交的.（3）求出所有的特征值和相应的特征函数.4． 设在区间一阶连续可导且 考虑如下特(),()p x q x [0,]l ()0,()0.p x q x >≥征值问题[()()]()()(), 0 (0)0, ()0.d d p x X x q x X x X x x l dx dx X X l λ⎧-+=<<⎪⎨⎪==⎩（1）证明一切特征值0.λ≥（2）证明不同的特征值对应的特征函数是正交的.5．求解下列弦振动方程的定解问题（1）20, 0<, 0(0,)0, (,)0, 0(,0), (,0)0, 0.tt xx x x t u a u x l t u t u l t t u x x u x x l ⎧-=<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩ （2） 20, 0<, 0(0,)0, (,)0, 035(,0)sin , (,0)sin , 0.22tt xx x t u a u x l t u t u l t t u x x u x x x l l l ππ⎧⎪-=<>⎪==≥⎨⎪⎪==≤≤⎩（3） 240, 0<1, 0(0,)0, (1,)0, 0(,0), (,0)0, 0 1.tt xx t u u u x t u t u t t u x x x u x x ⎧-+=<>⎪==≥⎨⎪=-=≤≤⎩（4） 242sin , 0<, 0(0,)0, (,)0, 0(,0)0, (,0)0, 0.tt xx x x t u u u x x t u t u t t u x u x x πππ⎧--=<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩（5） 22, 0, 0 (0,) (,)0, 0(,0)0, (,0), 0.tt xx x t u a u x l t u t u l t t u x u x A x l ⎧-=<<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩6．求解下列热传导方程的定解问题（1） 2cos , 0<, 02(0,)1, (,), 0(,0)0, 0<.t xx x x u a u x t u t u t t u x x ππππ⎧-=<>⎪⎪==≥⎨⎪=<⎪⎩（2） 22, 0<1, 0(0,)0, (1,)0, 0(,0)sin , 0< 1.t xx x u a u u x t u t u t t u x x x π⎧-=<>⎪==≥⎨⎪=<⎩（3） 220, 0<, 0(0,)0, (,)0, 0(,0)(), 0.t xx u a u b u x l t u t u l t t u x x x l ϕ⎧-+=<>⎪==≥⎨⎪=≤≤⎩（4） 2, 0, 0 (0,)0, (,)0, 0(,0)1, 0.t xx x x u a u xt x l t u t u l t t u x x l ⎧-=<<>⎪==≥⎨⎪=≤≤⎩7. 求解下面位势方程定解问题（1） , 0, 0 (,0)0, (,)0, 0(0,)0, (,), 0.xx yy y y u u x x a y b u x u x b x a u y u a y Ay y b +=<<<<⎧⎪==≤≤⎨⎪==≤≤⎩（2）22220, 0, , 4 (,0)0, 02, (,)0, 0(,), 4.xx yy u u y x y x y u x x u x x x u x y x y x y ⎧+=>>+<⎪⎪=≤≤=≤≤⎨⎪=++=⎪⎩（3） 22220, 4 (,)1, 4.xx yy u u x y u x y x x y ⎧+=+<⎪⎨=++=⎪⎩（4） 222222, 1< 4 (,)0, 1 (,), 4.xx yy u u xy x y u x y x y u x y x y x y ⎧+=+<⎪⎪=+=⎨⎪=++=⎪⎩8 设在区间的Fourier 展开式为 *()x ϕ[0,]l 1()sin ,k k k x x c l πϕ∞==∑（6.1）其部分和为 求解或证明以下结果.1()sin ,n n k k k x S x c l π==∑（1）设，求.()[0,]x C l ϕ∈20[()()]l n x S x dx ϕ-⎰（2）证明下面贝塞尔（Bessel ）不等式 22012().l k k c x dx l ϕ∞=≤∑⎰（6.2）（3）设，的二阶导数的Fourier 展开式为2()[0,]x C l ϕ∈()x ϕ1''()sin ,n n n x x d l πϕ∞==∑如果 ，利用分部积分法证明(0)()0l ϕϕ==2, 1,n n d An c n =≥（6.3）其中为正常数.A （4）利用（6.2）和（6.3）证明（6.1）中的三角级数在区间上一致[0,]l 收敛，并且可以逐項求导.9 考虑如下定解问题* 2, 0, 0 (0,)0, (,)0, 0(,0)(), 0.t xx x x u a u x l t u t u l t t u x x x l ϕ⎧=<<>⎪==≥⎨⎪=≤≤⎩（1）给出该定解问题的物理解释.（2）当经过充分长的时间后，导热杆上的温度分布如何？(,)u x t （3）求极限.lim (,)t u x t →+∞10 考虑如下定解问题*2, 0, 0 (0,), (,), 0(,0)(), 0.t xx x u a u x l t u t A u l t B t u x x x l ϕ⎧=<<>⎪==≥⎨⎪=≤≤⎩（1）给出该定解问题的物理解释.（2）求极限.lim (,)t u x t →+∞11 考虑下面定解问题 *20, 0<, 0(0,)(,)0, 0(,0), (,0)0, 0.tt xx t t u u u u x t u t u t t u x x u x x πππ-++=<>⎧⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩（1）解释该定解问题方程中各项的物理意义.（2）推导出问题的特征值问题并求解.（3）写出该问题解的待定表示式并求出表达式中第一特征函数的系数.12 考虑下面定解问题 * (,), 0<, 0(0,)(,)0, 0(,0)(), (,0)(), 0.tt xx x x t u u f x t x t u t u t t u x x u x x x ππϕψπ-=<>⎧⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩（12.1）（1）写出该定解问题的特征值和特征函数 ,(),0.n n X x n λ≥（2）如果，而，求解该定解问题.()0,()0x x ϕψ==(,)f x t t =（3）如果，证明 ，下面等式(,)0f x t =0τ∀>，222200[(,)(,)][()()]l l t x x u x u x dx x x dx ττψϕ+=+⎰⎰（12.2）成立，解释该等式的物理意义.（4）证明（12.1）的解是唯一的.。
数学物理方程分离变量法 ()
sin
n x l
n l
2 n
l
驻波法
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
驻波法： 研究的弦是有限长的，它有两个端点，波就在两个端点之间往复反射。 驻波：两列反向行进的同频率的波形形成驻波。 波腹：振幅最大的点; 节点：振幅最小的点
驻波没有波形传播现象，即各点振动周期并不依次滞后，它们按同一方式随 时间t震动，可以统一表示为T (t )，但是各点的振幅X 却随点x而异，即振幅X 是x的函数X ( x)，这样，驻波的一般表示式为 :
u( x, t ) X ( x)T (t )
在x 0, (l / n), 2(l / n),..., n(l / n)即l , 这些点相应的n x / l 0, , 2 ,..., n , 从而 n x 振幅X ( x) sin 0，这些点正是节点。两相邻节点间隔l / n, 应为半个波 l 长，由此可见驻波的波长 2l / n。
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
第二章 分离变量法
一、有界弦的自由振动 二、有限长杆上的热传导 三、拉普拉斯方程的定解问题 四、非齐次方程的解法 五、非齐次边界条件的处理 六、关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
2 2u u 2 a , 0 x l, t 0 t 2 2 x t 0 u (0, t ) 0, u (l , t ) 0, u ( x, 0) u ( x, 0) ( x), ( x), 0 x l t
傅里叶级数法
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
例1：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初 位移为 ( x) x(10 x) 1000，求弦作微小横向振动时的位移。
数学物理方法技巧分离变量法
目录
CONTENTS
• 引言 • 分离变量法的基本原理 • 分离变量法的具体应用 • 分离变量法的注意事项 • 分离变量法的优缺点 • 分离变量法的未来发展与展望
01
引言
分离变量法的定义
分离变量法是一种数学物理方法，用 于将多变量问题转化为多个单变量问 题，以便于求解。
它通过将偏微分方程转化为常微分方 程，或者将高阶微分方程转化为一系 列在解决具有多个相互独立变量的物理 问题时，如波动、热传导、流体动力 学等，分离变量法是非常有效的工具 。
它适用于具有周期性边界条件或对称 性边界条件的问题，如无限大区域、 周期性结构等。
THANKS
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结合其他数值方法进行优化
1 2 3
混合方法
结合分离变量法和有限元法、有限差分法等其他 数值方法，形成混合方法，取长补短，提高求解 精度和效率。
自适应方法
结合分离变量法和自适应方法，根据问题特性和 求解需求，动态调整算法参数和求解精度，实现 高效求解。
无网格方法
结合分离变量法和无网格方法，克服传统数值方 法的网格依赖性，提高求解灵活性。
02
偏微分方程的解需要满足一定的边界条件和初始条件。
03
偏微分方程的解需要满足可解性条件，即解需要是有限个变 量的函数。
分离变量法的步骤
01
将偏微分方程转化为常微分方程。
02 对常微分方程进行求解，得到各个变量的解。
03 将各个变量的解组合起来，得到原偏微分方程的 解。
03
分离变量法的具体
应用
一维波动方程的分离变量法
为了确保数值解法的稳定性，可以采用多种方法，如增加计算步长、使用更精确的数值格式等。同时 ，也需要不断尝试和改进计算方法，以提高数值解法的稳定性和准确性。
数理方程总复习 复习1(第二章分离变量法)
∂u ∂ 2u = a 2 2 + f ( x, t ), 0 < x < l , t > 0, ∂t ∂x ( III ) u x =0 = u1 (t ), u x =l = u2 (t ), t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ l. u t = 0 = ϕ ( x), 特点：非齐次边界
边界条件非齐 次，转换为齐 次边界条件 定 解 问 题 选择合适 的坐标系 非齐次方程， 齐次边界条件
非齐次方程， 齐次定解条件 特征函数法
齐次方程， 齐次边界条件 分离变量法
第二章、分离变量(fourier级数)法
分离变量法是数学物理方程的基本解法，主要讲：
(1)有限空间的分离变量法(fourier级数法)(本章) (2)无限空间的分离变量法(fourier积分法)(第三章积分变换法) (3) Laplace方程的圆上的定解问题－－在极坐标系下的分离变量法 (4)特征函数法－－在柱坐标系和球坐标系下的分离变量法 (第五、六章)
第三步：将展开式代入方程与初始条件，比较系数得到关于 Tn (t )的常微分方程定解问题，求解确定出Tn (t )。 (Laplace变换法、常数变易法)
方法三、齐次化原理
三、第三种类型定解问题( III )
2 ∂ 2u 2 ∂ u + f ( x, t ), 0 < x < l , t > 0, 2 =a 2 ∂x ∂t ( III ) u x =0 = u1 (t ), u x =l = u2 (t ), t ≥ 0, ∂u u = ψ ( x), 0 ≤ x ≤ l. t = 0 = ϕ ( x ), ∂t t =0
∂V 1 ∂ 2V A −α x − 2 2 = 2 e , 0 < x < l , t > 0, a ∂t a ∂x V x =0 = 0, V x =l = 0, t ≥ 0, V t =0 = 0, 0 ≤ x ≤ l. ∂W 1 ∂ 2W
分离变量法
第二章 分离变量法一 齐次偏微分方程的分离变量法1 有界弦的自由振动（1） 考虑两端固定的弦振动方程的混合问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====><<∂∂=∂∂==)(|),(|0),(),0(0,0,01022222x u x u t l u t u t l x x u a t u t t φϕ ① 这个定解的特点是：偏微分方程是齐次的，边界条件是齐次的。
求解这样的方程可用叠加原理。
类似于常微分方程通解的求法先求出其所有线性无关的特解，通过叠加求定解问题的解。
所谓),(t x u 具有分离变量的形式，即)()(),(t T x X t x u =把)()(),(t T x X t x u =带入方程①中，可得到常微分方程定解为：),(t x u ＝∑∞=1),(n n t x u ＝l x n l t an D l t an C n n n πππ∑∞=+1sin )sin cos (其中：⎰=l n dx l x n x l C 0sin )(2πϕ，⎰=l n dx lx n x an D 0sin )(2πφπ 2离变量法的解题步骤可以分成三步：(一) 首先将偏微分方程的定解问题通过分离变量转化为常微分方程的定解问题。
(二) 确定特征值与特征函数。
(三) 求出特征值和特征函数后，再解其它的常微分方程，将所得的解与同一特征值报骊应的特征函数相乘得到所有分离变量的特解。
3 有限长杆上的热传导设有一均匀细杆，长为l ，比热为c ，热传导系数为k ，杆的侧面是绝缘的，在杆的一端温度保持为0度，另一端杆的热量自由散发到周围温度是0的介质中，杆与介质的热交换系数为0k ，已知杆上的初温分布为)(x ϕ，求杆上温度的变化规律，也就是要考虑下列问题：0,0,22222><<∂∂=∂∂t l x xu a t u (2.18) 0),(,0),0(=+∂∂=t l hu xt l u t u ），（ (2.19) )()0,(x x u ϕ= (2.20) 其中ρc k a =2，00>=k k h注意到此定解问题中方程和边界条件均是齐次的，因此仍用分离变量法来求解。
数学物理学中的分离变量法
数学物理学中的分离变量法在数学物理学中，分离变量法是解决偏微分方程的一种常用方法。
它的核心思想是将多变量的问题转化为单变量的问题，从而简化求解过程。
本文将介绍分离变量法的基本原理和应用，并通过案例来说明它在数学物理学中的重要性。
一、分离变量法的基本原理分离变量法的基本原理是将多变量方程分解为单变量方程的乘积形式，然后令每个变量对应的因子等于一个常数。
具体的步骤如下：1. 假设多变量方程为一个未知函数的乘积形式，即u(x,y)=X(x)Y(y)。
2. 将乘积形式代入原方程中，得到两个只包含单变量的方程。
3. 求解得到每个单变量方程的解析解。
4. 将每个单变量的解析解组合起来，得到多变量方程的解析解。
二、分离变量法的应用分离变量法被广泛应用于数学物理学中各个领域，如热传导方程、波动方程、拉普拉斯方程等。
下面以热传导方程为例，来说明分离变量法的应用过程。
热传导方程是描述物体内部温度分布随时间变化的偏微分方程。
假设物体为长方形平板，边界条件为一侧保持恒温，另一侧绝热。
方程可以表示为：∂u/∂t = α(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²)其中u表示温度，t表示时间，α表示热扩散系数。
为了求解上述方程，可以假设温度分布可用分离变量法表示。
1. 假设温度分布为u(x,y,t)=X(x)Y(y)T(t)。
2. 将分离变量形式代入热传导方程中，得到三个单变量方程：X''(x)/X(x) + Y''(y)/Y(y) = T'(t)/(αT(t))3. 分别求解X(x)、Y(y)、T(t)的单变量方程，得到它们的解析解。
4. 将X(x)、Y(y)、T(t)的解析解组合起来，得到温度分布的解析解。
通过以上步骤，我们可以得到温度分布随时间变化的解析解，从而揭示了物体内部温度分布的特点。
三、分离变量法的重要性分离变量法在数学物理学中具有重要的地位和作用。
数学物理第二章-分离变量法
例1 设 b Rn ，求解线性方程组 Ax b.
4
解 A的n个线性无关的特征向量{Ti}(1 i n) 可以作为 Rn
n
n
的一组基。将x，b按此基展开为 x xi Ti ,b bi Ti，则
Ax b 等价于 n
i1
i1
n
xi ATi bi Ti
i1
i1
或
n
n
xi iTi bi Ti
l n ,n 1
n
n
l
2
,n
1
所以，可得
11
Xn (x)
sin
n
l
x, n
1
因此,特征值问题（1）的解为
n
n
l
2
,n
1,
Xn (x)
sin
n
l
x, n
1.
注：
特征值问题是分离变量法的理论基础；
改变边界条件，相应的特征函数系也会改变；
Sturm-Liouville定理：特征函数系的正交性和完备性。
（3）导出 Tn (t)满足的方程，给出通解（傅里叶展开）；
（4）由初始条件确定通解系数.
注2 对齐次问题
u(x,t) 2 l(s)sin( n s)ds cos n a t sin n x
l0 n1
l
l
l
2
l
(s)sin( n
s)ds sin
0
xi0 i ,
n
f (t) fi T (t)6 i.
i 1
i 1
i 1
则原问题等价于 dx Ax f (t), x(0) x0
dt
T T n dxi
i1 dt
第二章-分离变量法-1
T = F (x )
0 ≤ x ≤L ，τ＝ 0 ＝
解：1．分离函数 ．
假定该问题的解可以分解成空间函数与 时间函数的乘积形式
T ( x,τ ) = X ( x )Γ(τ )
代入微分方程及定界条件，转化为 个常 代入微分方程及定界条件，转化为2个常 微分方程——分离方程 微分方程 分离方程
T ( x,τ ) = X ( x )Γ (τ )
上式所示的解既满足原导热问题的微分方程， 上式所示的解既满足原导热问题的微分方程，又满 足边界条件，但它不一定满足初始条件。因此， 足边界条件，但它不一定满足初始条件。因此，还 需将初始条件应用于上式。 需将初始条件应用于上式。
F ( x) = ∫
∞
β =0
C ( β )[β cos( β x) + H sin( β x)]dβ
数学描述： 数学描述：
h
1
初始时 T=F(x)
1 ∂T ( x,τ ) ∂ 2T ( x,τ ) = a ∂τ ∂x 2
x
0 ＜ x ＜ ∞，τ＞0 ， ＞
O
∂T λ − hT = 0 ∂x ∂x
x ＝0 ，τ＞0 ＞
半无限大物体的导热
T = F (x )
0 ≤x ≤L ，τ＝ 0 ＝
解：1．分离函数 ．
1 d 2 X ( x) 1 d Γ (τ ) = X ( x ) dx 2 a Γ (τ ) d τ
dΓ(τ ) + aβ 2 Γ(τ ) = 0 dτ
1 ∂T ( x,τ ) ∂ 2T ( x,τ ) = a ∂τ ∂x 2
= -β
2
d 2 X ( x) + β 2 X( x) = 0 dx 2
∂X + HX = 0 ∂x
数学物理方程的分离变量法
数学物理方程的分离变量法
分离变量法是一种常用的解决物理或数学模型方程的技术。
它是将
模型方程所包含的未知变量首先分离成独立的未知函数，然后根据模
型方程本身和这些未知函数之间的关系，求解较为直接的方法，可以
用于数学物理中的很多复杂方程。
通过分离变量法可以将所有方程分解成几个相对简单的子问题，而不
是把一个整体问题分解成数学上的一个大问题，减少计算量，提高程
序的运行效率。
在复杂的物理力学方程模型中，可以利用分离变量法
来进行解算，由于它可以把复杂的方程分解成若干简单的子问题来解决，这样可以大大减少计算量和运算时间。
此外，分离变量法还可以用来求解波动方程和热传导方程等模型，其
可以把复杂的非线性变换转换成一系列的边界值问题，这可以很好地
帮助研究者解决非线性系统的特征问题。
总之，分离变量法是用来解决数学物理模型方程的一种高效的方法，
它可以用来解决线性的和非线性的方程，它可以把复杂的模型分解成
若干相对简单的子问题，从而大大减少计算量，提高程序的运行效率，而且它也可以用来求解波动方程和热传导方程，帮助研究者解决非线
性系统的特征问题。
因此，分离变量法在数学物理学中具有重要的作用。
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解由于向量组 线性无关，故可做为 的一组基.将 按此组基分别展开为 ，则 等价于
，
或
，
比解.
例1.2设 , .求解非齐次常微分方程组
，（1.4）
其中 .
解类似于上例，将 按基 分别展开为
.
则（1.4）等价于
，
或
，
比较上式两边 的系数可得
当 时，方程通解为
,
求导得
.
由周期边界条件可得
或
（1.14）
由于要求非零解，故 不能同时为零.因此，齐次方程组（1.14）的系数矩阵行列式必为零，即 .解之可得
，
此时对每个正特征值 ，特征函数有二个，既 ， .总结所得结果为如下定理.
定理1.3考虑二阶线性微分算子 带有周期边界条件的特征值问题
则该问题的特征值和特征函数分别为
年数学物理方程-第二章分离变量法.doc
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第二章分离变量法
分离变量法是求解偏微分方程定解问题最常用的方法之一，它和积分变换法一起统称为Fourier方法.分离变量法的本质是把偏微分方程定解问题通过变量分离，转化为一个所谓的特征值问题和一个常微分方程的定解问题，并把原定解问题的解表示成按特征函数展开的级数形式.本章介绍两个自变量的分离变量法，更多变量的情形放在其他章节中专门讨论.
设 是相应于 的一个非零解，用 乘（1.7）中的方程，并在 上积分得
，
，
.
由于 ，故有
，
.（1.8）
当 时，方程 的通解为 .利用边界条件 可得 ，即 .因此， 不是特征值.
当 时，方程 的通解为
.（1.9）
利用边界条件 确定常数 如下
, ,
或
.
由于要求（1.7）中齐次微分方程的非零解，故 不能为零.故有
，
其中 系数为
.
为后面需要，下面再求解二阶线性微分算子 带有周期边界条件的特征值问题.在偏微分方程教材中，习惯上用 表示周期函数，即考虑下面
二阶线性微分算子 的周期边值问题
（1.12）
可证（1.12）和以下问题等价
（1.13）
和（1.8）的证明相似易得（1.13）中的特征值 .当 时， ,由周期边界条件可得 .所以 为特征函数.
是区间 上满足一定条件的函数所成无穷维空间的一组基，而且还是该空间上的一组正交基，即有 .特征函数系 的这两个根本性质：正交性和完备性（基），和定理1.1有限维空间 中相应结论很相似，只是现在的特征值和特征函数是无穷个.另外，若改变（1.7）中的边界条件，其相应的特征值和特征函数也会有所变化.如将边界条件变为 ，则特征值和特征函数分别为
§2 1特征值问题
2．1.1矩阵特征值问题
在线性代数中，我们已学过线性变换的特征值问题.设 为一 阶实矩阵， 可视为 到自身的线性变换。该变换的特征值问题（eigenvalue problem）即是求方程：
，（1.1）
的非零解，其中 为待定常数.如果对某个 ，问题（1.1）有非零解 ，则 就称为矩阵 的特征值(eigenvalue)，相应的 称为矩阵 的特征向量(eigenvector).一般来讲，特征值问题（1.1）有不多于 个相异的特征值和线性无关的特征向量.但可证明:任一 阶矩阵都有 个线性无关的广义特征向量，以此 个线性无关的广义特征向量作为 的一组新基，矩阵就能够化为 标准型.
.
注意 ，从而有
， ,
， .
将 代入到（1.8）中，并略去任意非零常数 得
， .
故特征值问题（1.7）的解为
， ， （1.10）
注1特征值问题是分离变量法的理论基础.上面已求出特征值问题（1.7）的解为 .在高等数学中知道，在一定条件下区间 的任一函数可按特征函数系 展开为Fourier级数.换言之，特征函数系
， .
§2 2分离变量法
本节结合具体定解问题的求解来介绍分离变量法（method of separation of variables）.所举例子仅限于一维弦振动方程，一维热传导方程混合问题以及平面上一些特殊区域上的位势方程边值问题.对高维问题的处理放在其它章节中介绍.
.（1.5）
（1.5）是 个一阶线性方程的初始值问题，很容易求出其解.请同学们给出解 的具体表达式.
2.1.2一个二阶线性微分算子的特征值问题
在这一小节，我们讨论在本章常用的一些特征值问题.代替上节的有限维线性空间 和 阶实对称矩阵 ，在这儿要用到线性空间 的某个子空间 和该子空间上的二阶线性微分算子 .一般地取
.
该特征函数系 也具有和特征函数系 类似的性质，既正交性和完备性.此类问题的一般结果便是著名的Sturm—Liouville定理，有兴趣的同学可参阅参考文献 .
将以上的结果以定理的形式给出.
定理1.2 考虑二阶线性微分算子 的特征值问题
（1.11）
其中 .则该问题的特征值非负，且满足
.
相应的特征函数系 在 上是相互正交的.且对于任一在区间 上分段光滑的函数 ，可按特征函数系 展开为如下的 级数
在 满足齐次边界条件 .（1.6）
下面我们讨论二阶线性微分算子 的特征值问题.先取边界条件为 ，设 是 的特征函数，即 且满足
.
此问题等价于 是下面问题的非零解
（1.7）
（1.7）便是二阶线性微分算子 的特征值问题，即要找出所有使得该问题有非零解的 .下面求解特征值问题（1.7）.
首先证明要使（1.7）具有非零解， 必须非负.
若 为一 阶实对称矩阵，在线性代数中有一个重要结果，即存在一个正交矩阵 使得
，（1.2）
其中 diag 为实对角阵.设 ， 为矩阵 的第 列向量 ，则式（1.2）可写为如下形式
，
或
（1.3）
上式说明，正交矩阵 的每一列都是实对称矩阵 的特征向量，并且这 个特征向量是相互正交的.由于此结论在一定意义下具有普遍性，我们以定理的形式给出.
定理1.1设 为一 阶实对称矩阵，考虑以下特征值问题
，
则 的所有特征值为实数，且存在 个特征向量 ，它们是相互正交的（正交性orthogonality），可做为 的一组基（完备性completeness）.
特征值问题在线性问题求解中具有重要的意义，下面举例说明之.
为简单起见，在下面两个例子中取 为 阶非奇异实矩阵，故 的所有特征值非零，并且假设 有 个线性无关的特征向量 相应的特征值为 .