2021届步步高数学大一轮复习讲义(理科)第六章 高考专题突破三 高考中的数列问题
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解 设数列{an}的公差为d. 2S3＝S1＋1＋S4，
由题意可知a22＝a1a5， d≠0，
整理得ad1＝＝21a，1， 即ad1＝＝21，，
∴an＝2n－1.
(2)若S4，S6，Sn成等比数列，求n及此等比数列的公比.
解 由(1)知an＝2n－1，∴Sn＝n2， ∴S4＝16，S6＝36， 又 S4Sn＝S26，∴n2＝31662＝81， ∴n＝9，公比 q＝SS64＝94.
A.235升
B.530升
C.570升
√D.1700升
解析 因为5斗＝50升，设羊、马、牛的主人应偿还的量分别为a1，a2，a3， 由题意可知其构成了公比为2的等比数列，且S3＝50， 则a122－3－11＝50，解得 a1＝570， 所以马主人要偿还的量为 a2＝2a1＝1700.
故选D.
命题点2 等差数列、等比数列的交汇 例2 记Sn为等比数列{an}的前n项和.已知S2＝2，S3＝－6. (1)求{an}的通项公式；
(2)《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺，
蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长等？意思是今有蒲第一天长高3尺，莞
第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍，
若蒲、莞长度相等，则所需时间为(结果精确到0.1，参考数据： lg 2＝0.301 0，
由题意可得，61－21n＝2n－1，
整理得，2n＋26n＝7，解得 2n＝6 或 2n＝1(舍去).
∴n＝log26＝llgg 62＝1＋llgg 32≈2.6.
∴蒲、莞长度相等大约需要2.6天. 故选C.
思维升华
SI WEI SHENG HUA
对于数学文化中所涉及到的数列模型，解题时应认真审题，从问题背景中提 取相关信息并分析归纳，然后构造恰ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的数列模型，再根据等差或等比数列 的有关公式求解作答，必要时要进行检验.
天多织多少尺布？
16 A.31
√16 B.29
1 C.2
8 D.15
解析 由题意可知每天织布的多少构成等差数列， 其中第一天为首项a1＝5，一月按30天计可得S30＝390， 从第2天起每天比前一天多织的即为公差d .
又 S30＝30×5＋30×2 29×d＝390，解得 d＝1269 .故选 B.
故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列.
思维升华
SI WEI SHENG HUA
等差与等比数列的基本量之间的关系，利用方程思想和通项公式、前n项和公 式求解.求解时，应“瞄准目标”，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程.
跟踪训练2 (2020·桂林模拟)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn， S1＋1，S3，S4成等差数列，且a1，a2，a5成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式；
(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和.
解 由题意知cn＝an＋bn＝(2n－1)＋3n－1， 则数列{cn}的前n项和为 [1＋3＋…＋(2n－1)]＋(1＋3＋9＋…＋3n－1) ＝n1＋22n－1＋11－－33n＝n2＋3n－2 1.
苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”
今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾
苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”
马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们
各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还粟
大一轮复习讲义
高考专题突破三 高考中的数列问题
题型一 多维探究 等差数列、等比数列基本量的运算
命题点1 数列与数学文化
例1 (1)(2020·四川乐山模拟)《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于
织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，
已知第一天织5尺布，一月(按30天计)共织390尺布，则从第2天起每天比前一
lg 3＝0.477 1) A.2.2天
B.2.4天
√C.2.6天
D.2.8天
解析 设蒲的长度组成等比数列{an}，其 a1＝3，公比为12， 其前 n 项和为 An，则 An＝311－－1221n＝61－21n. 莞的长度组成等比数列{bn}，其b1＝1，公比为2， 其前 n 项和为 Bn.则 Bn＝22n－－11 ＝2n－1，
题型二 多维探究 数列的求和
命题点1 分组求和与并项求和 例3 已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4. (1)求{an}的通项公式；
解 设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q， 因为 b2＝3，b3＝9，可得 q＝bb32＝3， 所以bn＝b2qn－2＝3·3n－2＝3n－1， 又由a1＝b1＝1，a14＝b4＝27， 所以 d＝a1144－－a11＝2， 所以数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)×d＝1＋2(n－1)＝2n－1.
解析 设这十二个节气日影长依次成等差数列{an}， Sn是其前n项和， 则 S9＝9a1＋ 2 a9＝9a5＝85.5，所以 a5＝9.5，
由题意知a1＋a4＋a7＝3a4＝31.5，所以a4＝10.5， 所以公差d＝a5－a4＝－1，所以a12＝a5＋7d＝2.5，故选B.
(2)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人
跟踪训练1 (1)《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、
大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个
节气，其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，
前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为
A.1.5尺
√B.2.5尺
C.3.5尺
D.4.5尺
解 设{an}的公比为q. 由题设可得aa1111＋ ＋qq＋＝q22，＝－6.
解得q＝－2，a1＝－2. 故{an}的通项公式为an＝(－2)n.
(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列.
解 由(1)可得 Sn＝a111－－qqn＝－23＋(－1)n2n3＋1. 由于 Sn＋2＋Sn＋1＝－34＋(－1)n2n＋3－3 2n＋2 ＝2－23＋－1n2n3＋1＝2Sn，
由题意可知a22＝a1a5， d≠0，
整理得ad1＝＝21a，1， 即ad1＝＝21，，
∴an＝2n－1.
(2)若S4，S6，Sn成等比数列，求n及此等比数列的公比.
解 由(1)知an＝2n－1，∴Sn＝n2， ∴S4＝16，S6＝36， 又 S4Sn＝S26，∴n2＝31662＝81， ∴n＝9，公比 q＝SS64＝94.
A.235升
B.530升
C.570升
√D.1700升
解析 因为5斗＝50升，设羊、马、牛的主人应偿还的量分别为a1，a2，a3， 由题意可知其构成了公比为2的等比数列，且S3＝50， 则a122－3－11＝50，解得 a1＝570， 所以马主人要偿还的量为 a2＝2a1＝1700.
故选D.
命题点2 等差数列、等比数列的交汇 例2 记Sn为等比数列{an}的前n项和.已知S2＝2，S3＝－6. (1)求{an}的通项公式；
(2)《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺，
蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长等？意思是今有蒲第一天长高3尺，莞
第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍，
若蒲、莞长度相等，则所需时间为(结果精确到0.1，参考数据： lg 2＝0.301 0，
由题意可得，61－21n＝2n－1，
整理得，2n＋26n＝7，解得 2n＝6 或 2n＝1(舍去).
∴n＝log26＝llgg 62＝1＋llgg 32≈2.6.
∴蒲、莞长度相等大约需要2.6天. 故选C.
思维升华
SI WEI SHENG HUA
对于数学文化中所涉及到的数列模型，解题时应认真审题，从问题背景中提 取相关信息并分析归纳，然后构造恰ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的数列模型，再根据等差或等比数列 的有关公式求解作答，必要时要进行检验.
天多织多少尺布？
16 A.31
√16 B.29
1 C.2
8 D.15
解析 由题意可知每天织布的多少构成等差数列， 其中第一天为首项a1＝5，一月按30天计可得S30＝390， 从第2天起每天比前一天多织的即为公差d .
又 S30＝30×5＋30×2 29×d＝390，解得 d＝1269 .故选 B.
故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列.
思维升华
SI WEI SHENG HUA
等差与等比数列的基本量之间的关系，利用方程思想和通项公式、前n项和公 式求解.求解时，应“瞄准目标”，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程.
跟踪训练2 (2020·桂林模拟)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn， S1＋1，S3，S4成等差数列，且a1，a2，a5成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式；
(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和.
解 由题意知cn＝an＋bn＝(2n－1)＋3n－1， 则数列{cn}的前n项和为 [1＋3＋…＋(2n－1)]＋(1＋3＋9＋…＋3n－1) ＝n1＋22n－1＋11－－33n＝n2＋3n－2 1.
苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”
今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾
苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”
马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们
各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还粟
大一轮复习讲义
高考专题突破三 高考中的数列问题
题型一 多维探究 等差数列、等比数列基本量的运算
命题点1 数列与数学文化
例1 (1)(2020·四川乐山模拟)《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于
织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，
已知第一天织5尺布，一月(按30天计)共织390尺布，则从第2天起每天比前一
lg 3＝0.477 1) A.2.2天
B.2.4天
√C.2.6天
D.2.8天
解析 设蒲的长度组成等比数列{an}，其 a1＝3，公比为12， 其前 n 项和为 An，则 An＝311－－1221n＝61－21n. 莞的长度组成等比数列{bn}，其b1＝1，公比为2， 其前 n 项和为 Bn.则 Bn＝22n－－11 ＝2n－1，
题型二 多维探究 数列的求和
命题点1 分组求和与并项求和 例3 已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4. (1)求{an}的通项公式；
解 设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q， 因为 b2＝3，b3＝9，可得 q＝bb32＝3， 所以bn＝b2qn－2＝3·3n－2＝3n－1， 又由a1＝b1＝1，a14＝b4＝27， 所以 d＝a1144－－a11＝2， 所以数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)×d＝1＋2(n－1)＝2n－1.
解析 设这十二个节气日影长依次成等差数列{an}， Sn是其前n项和， 则 S9＝9a1＋ 2 a9＝9a5＝85.5，所以 a5＝9.5，
由题意知a1＋a4＋a7＝3a4＝31.5，所以a4＝10.5， 所以公差d＝a5－a4＝－1，所以a12＝a5＋7d＝2.5，故选B.
(2)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人
跟踪训练1 (1)《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、
大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个
节气，其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，
前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为
A.1.5尺
√B.2.5尺
C.3.5尺
D.4.5尺
解 设{an}的公比为q. 由题设可得aa1111＋ ＋qq＋＝q22，＝－6.
解得q＝－2，a1＝－2. 故{an}的通项公式为an＝(－2)n.
(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列.
解 由(1)可得 Sn＝a111－－qqn＝－23＋(－1)n2n3＋1. 由于 Sn＋2＋Sn＋1＝－34＋(－1)n2n＋3－3 2n＋2 ＝2－23＋－1n2n3＋1＝2Sn，