江苏省高一下学期数学第一次月考试卷
江苏省泰州市姜堰区罗塘高级中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题
江苏省泰州市姜堰区罗塘高级中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题一、单选题1．cos50cos20cos40sin20︒︒+︒︒的值为（ ）A ．12-B ．12C D ．2．已知向量()()1,1,1,1a b ==-r r，若()()a b a b λμ+⊥+r r r r ，则（ ）A ．1λμ+=B ．1λμ+=-C ．1λμ=D ．1λμ=-3．已知角θ的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则sin 2θ=（ ）A ．45-B ．35-C ．35D ．454．如图，在ABC V 中，点D 为BC 边的中点，O 为线段AD 的中点，连接CO 并延长交AB 于点E ，设AB a u u u r r=，AC b =u u u r r ，则CE =u u u r （ ）A ．1344a b -r rB ．14a b -r rC ．13a b -r rD ．1334a b -r r5．已知3cos 64πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2sin 2cos 6212παπα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（ ）A ．14B ．12CD ．16．八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =u u u r给出下列结论（ ）①OA u u u r 与OH u u u r 的夹角为π3；②OD OF OE +=u u u r u u u r u u u r ；③OA OC -u u u r u u u r u uu r ；④OA u u u r 在OD u u u r 上的投影（其中e r 为与OD u u u r 同向的单位向量）．其中正确结论为（ ） A ．① B ．② C ．③D ．④7．如图，A ，B 是半径为1的圆O 上的两点，且π.3AOB ∠=若C 是圆O 上的任意一点，则·OA BC u u u r u u u r 的最大值为（ ）A ．32-B ．14C ．12D ．18．在ABC V 中，“ABC V 是钝角三角形”是“tan tan 1A B <”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件二、多选题9．已知在同一平面内的向量,,a b c r r r均为非零向量，则下列说法中正确的有（ ）A ．若,a b b c r r r r∥∥，则a c r r ∥B ．若a c a b ⋅=⋅r r r r ，则b c =r rC ．()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r rD ．若a b r r P 且a c ⊥r r，则()0c a b ⋅+=r r r10．下列计算结果正确的是（ ）A ．44ππcos sin 88-=B ．1tan151tan15+︒-︒C ．2sin15sin 751︒︒=D ．)sin140tan1901︒︒=11．定义两个平面向量的一种运算sin a b a b θ⊗=⋅⋅r r r r ，θ为,a b rr 的夹角，则对于两个平面向量,a b rr ，下列结论正确的有（ ）A ．a b b a⊗=⊗r r r r B ．()()=a b a b λλ⊗⊗r r r rC ．()()2222·a ba ba b ⊗+=⋅r r r r r rD ．若()()1122,,,a x y b x y ==r r ，则1221a b x y x y ⊗=-rr三、填空题12．已知向量()4,3a =-r ，()2,1b x =-r，若a b a ⋅=-r r r ，则x =．13．已知()0,παβ∈、，tan α与tan β是方程240x ++=的两个根，则αβ+=． 14．已知()()1122,,,A x y B x y 是角αβ､终边与单位圆的两个不同交点，且1221x y x y =，则121222x x y y -+-的最大值为.四、解答题15．已知向量a r ，b r不共线，且2OA a b =-u u u r r r ，3OB a b =+u u u r r r ，OC a b λ=+u u u r r r ．(1)将AB u u u r用a r ，b r 表示；(2)若OA OC u u u r u u u r∥，求λ的值；(3)若3λ=-，求证：A ，B ，C 三点共线． 16．已知02a π<<，02βπ<<，4sin 5α=，5cos()13αβ+=.（1）求cos β的值； （2）求2sin sin 2cos 21ααα+-的值.17．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上中点，点F 在边上CD 上.（1）若点F 是CD 上靠近C 的三等分点，设EF AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r，求λμ+的值.（2）若2AB =，当1AE BF ⋅=u u u r u u u r时，求cos EAF ∠的值.18．现某公园内有一个半径为20米扇形空地OAB ，且π3AOB ∠=，公园管理部门为了优化公园功能，决定在此空地上建一个矩形MNPQ 的老年活动场所，如下图所示有两种情况可供选择.(1)若选择图一，设NOA ∠α=，请用α表示矩形MNPQ 的面积，并求面积最大值 (2)如果选择图二，求矩形MNPQ 的面积最大值，并说明选择哪种方案更优（面积最大）（参1.414≈ 1.732）19．已知O 为坐标原点，对于函数()sin cos f x a x b x =+，称向量(,)OM a b =u u u u r为函数()f x 的相伴特征向量，同时称函数()f x 为向量OM u u u u r的相伴函数.（1）设函数53()sin sin 62g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，试求()g x 的相伴特征向量OM u u u u r ；（2）记向量ON =u u u r 的相伴函数为()f x ，求当8()5f x =且,36x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，sin x 的值；（3）已知(2,3)A -，(2,6)B ，(OT =u u u r 为()sin 6h x m x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的相伴特征向量，()23x x h πϕ⎛⎫=-⎪⎝⎭，请问在()y x ϕ=的图象上是否存在一点P ，使得AP BP ⊥u u u r u u u r .若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由.。
高一数学下学期第一次月考试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
2015-2016学年某某鄂尔多斯市准格尔旗世纪中学高一（下）第一次月考数学试卷一．选择题（每题5分，共60分）1．tan 300°+sin 450°的值为（）A．1+B．1﹣C．﹣1﹣ D．﹣1+2．以下命题正确的是（）A．小于90°的角是锐角B．A={α|α=k•180°，k∈Z}，B={β|β=k•90°，k∈Z}，则A⊆BC．﹣950°12′是第三象限角D．α，β终边相同，则α=β3．在空间直角坐标系中的点P（a，b，c），有下列叙述：①点P（a，b，c）关于横轴（x轴）的对称点是P1（a，﹣b，c）；②点P（a，b，c）关于yOz坐标平面的对称点为P2（a，﹣b，﹣c）；③点P（a，b，c）关于纵轴（y轴）的对称点是P3（a，﹣b，c）；④点P（a，b，c）关于坐标原点的对称点为P4（﹣a，﹣b，﹣c）．其中正确叙述的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．04．已知α是第二象限的角，其终边上一点为P（a，），且cosα=a，则sinα的值等于（）A．B．C．D．5．函数y=2sin（﹣2x）（x∈[0，π]）为增函数的区间是（）A．[0，] B．[] C．[，] D．[，π]6．已知，且，则tanφ=（）A．B．C．﹣D．7．已知点A（1，2，﹣1），点C与点A关于平面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则线段BC的长为（）A．2 B．4 C．2 D．28．直线y=a（a为常数）与y=tanωx（ω＞0）的相邻两支的交点距离为（）A．πB．C． D．与a有关的值9．函数的图象（）A．关于原点成中心对称B．关于y轴成轴对称C．关于成中心对称D．关于直线成轴对称10．已知θ∈[0，2π），|cosθ|＜|sinθ|，且sinθ＜tanθ，则θ的取值X围是（）A．B．C．D．11．化简cosα+sinα（π＜α＜）得（）A．sinα+cosα﹣2 B．2﹣sinα﹣cosαC．sinα﹣cosα D．cosα﹣sinα12．圆心角为60°的扇形，它的弧长为2π，则它的内切圆的半径为（）A．2 B．C．1 D．二、填空题（每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．函数的定义域为．14．函数y=2cos（ωx）的最小正周期是4π，则ω=．15．已知tanα=2，则tan2α的值为．16．已知sin（﹣x）=，则cos（﹣x）=．三．解答题（共70分）17．已知sinα+cosα=，α∈（0，π），求的值．18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）当，求f（x）的值域．19．sin θ和cos θ为方程2x2﹣mx+1=0的两根，求+．20．已知函数y=2acos（2x﹣）+b的定义域是[0，]，值域是[﹣5，1]，求a、b的值．21．函数f（x）=3sin（2x+）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，﹣]上的最大值和最小值．22．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；（2）函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？2015-2016学年某某鄂尔多斯市准格尔旗世纪中学高一（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（每题5分，共60分）1．tan 300°+sin 450°的值为（）A．1+B．1﹣C．﹣1﹣ D．﹣1+【考点】诱导公式的作用．【分析】由诱导公式逐步化简可得原式等于﹣tan60°+sin90°，为可求值的特殊角，进而可得答案．【解答】解：由诱导公式可得：tan 300°+sin 450°=tan（360°﹣60°）+sin（360°+90°）=﹣tan60°+sin90°=﹣+1=1﹣，故选B2．以下命题正确的是（）A．小于90°的角是锐角B．A={α|α=k•180°，k∈Z}，B={β|β=k•90°，k∈Z}，则A⊆BC．﹣950°12′是第三象限角D．α，β终边相同，则α=β【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据角的X围以及终边相同角的关系分别进行判断即可．【解答】解：A．∵0°角满足小于90°，但0°角不是锐角，故A错误，B．当k=2n时，β=k•90°=n•180°，当k=2n+1时，β=k•90°=k•180°+90°，则A⊆B成立，C．﹣950°12′=﹣4×360°+129°48′，∵129°48′是第二象限角，∴﹣950°12′是第二象限角，故C错误，D．α，β终边相同，则α=β+k•360°，k∈Z，故D错误，故选：B3．在空间直角坐标系中的点P（a，b，c），有下列叙述：①点P（a，b，c）关于横轴（x轴）的对称点是P1（a，﹣b，c）；②点P（a，b，c）关于yOz坐标平面的对称点为P2（a，﹣b，﹣c）；③点P（a，b，c）关于纵轴（y轴）的对称点是P3（a，﹣b，c）；④点P（a，b，c）关于坐标原点的对称点为P4（﹣a，﹣b，﹣c）．其中正确叙述的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据空间点的对称性分别进行判断即可．【解答】解：①点P（a，b，c）关于横轴（x轴），则x不变，其余相反，即对称点是P1（a，﹣b，﹣c）；故①错误，②点P（a，b，c）关于yOz坐标平面的对称，则y，z不变，x相反，即对称点P2（﹣a，b，c）；故②错误③点P（a，b，c）关于纵轴（y轴）的对称，则y不变，x，z相反，即对称点是P3（﹣a，b，﹣c）；故③错误，④点P（a，b，c）关于坐标原点的对称，则x，y，z都为相反数，即对称点为P4（﹣a，﹣b，﹣c）．故④正确，故选：C4．已知α是第二象限的角，其终边上一点为P（a，），且cosα=a，则sinα的值等于（）A．B．C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】根据三角函数的大小建立方程求出a的值即可得到结论．【解答】解：∵α是第二象限的角，其终边上一点为P（a，），且cosα=a，∴a＜0，且cosα=a=，平方得a=﹣，则sinα===，故选：A．5．函数y=2sin（﹣2x）（x∈[0，π]）为增函数的区间是（）A．[0，] B．[] C．[，] D．[，π]【考点】复合三角函数的单调性．【分析】利用正弦函数的单调性，确定单调区间，结合x的X围，可得结论．【解答】解：由正弦函数的单调性可得≤﹣2x≤（k∈Z）∴﹣﹣kπ≤x≤﹣﹣kπk=﹣1，则故选C．6．已知，且，则tanφ=（）A．B．C．﹣D．【考点】同角三角函数间的基本关系．【分析】先由诱导公式化简cos（φ）=﹣sinφ=确定sinφ的值，再根据φ的X 围确定cosφ的值，最终得到答案．【解答】解：由，得，又，∴∴tanφ=﹣故选C．7．已知点A（1，2，﹣1），点C与点A关于平面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则线段BC的长为（）A．2 B．4 C．2 D．2【考点】空间中的点的坐标．【分析】求出对称点的坐标，然后求解距离．【解答】解：点A（1，2，﹣1），点C与点A关于平面xoy对称，可得C（1，2，1），点B与点A关于x轴对称，B（1，﹣2，1），∴|BC|==4故选：B．8．直线y=a（a为常数）与y=tanωx（ω＞0）的相邻两支的交点距离为（）A．πB．C． D．与a有关的值【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】直线y=a与正切曲线y=tanωx两相邻交点间的距离，便是此正切曲线的最小正周期．【解答】解：因为直线y=a（a为常数）与正切曲线y=tanωx相交的相邻两点间的距离就是正切函数的周期，∵y=tanωx的周期是：，∴直线y=a（a为常数）与正切曲线y=tanωx相交的相邻两点间的距离是：．故选：B．9．函数的图象（）A．关于原点成中心对称B．关于y轴成轴对称C．关于成中心对称D．关于直线成轴对称【考点】正弦函数的对称性．【分析】将x=0代入函数得到f（0）=2sin（﹣）=﹣1，从而可判断A、B；将代入函数f（x）中得到f（）=0，即可判断C、D，从而可得到答案．【解答】解：令x=0代入函数得到f（0）=2sin（﹣）=﹣1，故A、B不对；将代入函数f（x）中得到f（）=0，故是函数f（x）的对称中心，故C 对，D不对．故选C．10．已知θ∈[0，2π），|cosθ|＜|sinθ|，且sinθ＜tanθ，则θ的取值X围是（）A．B．C．D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】由已知的sinθ＜tanθ，移项并利用同角三角函数间的基本关系变形后得到tanθ（1﹣cosθ）大于0，由余弦函数的值域得到1﹣cosθ大于0，从而得到tanθ大于0，可得出θ为第一或第三象限，若θ为第一象限角，得到sinθ和cosθ都大于0，化简|cosθ|＜|sinθ|，并利用同角三角函数间的基本关系得到tanθ大于1，利用正切函数的图象与性质可得出此时θ的X围；若θ为第三象限角，得到sinθ和cosθ都小于0，化简|cosθ|＜|sinθ|，并利用同角三角函数间的基本关系得到tanθ大于1，利用正切函数的图象与性质可得出此时θ的X围，综上，得到满足题意的θ的X围．【解答】解：∵sinθ＜tanθ，即tanθ﹣sinθ＞0，∴tanθ（1﹣cosθ）＞0，由1﹣cosθ＞0，得到tanθ＞0，当θ属于第一象限时，sinθ＞0，cosθ＞0，∴|cosθ|＜|sinθ|化为cosθ＜sinθ，即tanθ＞1，则θ∈（，）；当θ属于第三象限时，sinθ＜0，cosθ＜0，∴|cosθ|＜|sinθ|化为﹣cosθ＜﹣sinθ，即tanθ＞1，则θ∈（，），综上，θ的取值X围是．故选C11．化简cosα+sinα（π＜α＜）得（）A．sinα+cosα﹣2 B．2﹣sinα﹣cosαC．sinα﹣cosα D．cosα﹣sinα【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用同角三角函数基本关系式、三角函数值在各个象限的符号即可得出．【解答】解：∵π＜α＜，∴==，同理可得=，∴原式=﹣（1﹣sinα）﹣（1﹣cosα）=﹣2+cosα+sinα．故选：A．12．圆心角为60°的扇形，它的弧长为2π，则它的内切圆的半径为（）A．2 B．C．1 D．【考点】圆的标准方程．【分析】设扇形和内切圆的半径分别为R，r．由弧长公式可得2π=R，解得R．再利用3r=R=6即可求得扇形的内切圆的半径．【解答】解：设扇形和内切圆的半径分别为R，r．由2π=R，解得R=6．由题意可得3r=R=6，即r=2．∴扇形的内切圆的半径为2．故选：A．二、填空题（每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．函数的定义域为．【考点】正切函数的定义域．【分析】根据正弦函数的定义域，我们构造关于x的不等式，解不等式，求出自变量x的取值X围，即可得到函数的定义域．【解答】解：要使函数的解析式有意义自变量x须满足：≠kπ+，k∈Z解得：故函数的定义域为故答案为14．函数y=2cos（ωx）的最小正周期是4π，则ω=±．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用周期公式列出关于ω的方程，求出方程的解即可得到ω的值．【解答】解：∵=4π，∴ω=±．故答案为：±15．已知tanα=2，则tan2α的值为﹣．【考点】二倍角的正切．【分析】由条件利用二倍角的正切公式求得tan2α的值．【解答】解：∵tanα=2，∴tan2α===﹣，故答案为：﹣．16．已知sin（﹣x）=，则cos（﹣x）= ﹣．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵sin（﹣x）=，∴cos（﹣x）=cos[+（﹣x）]=﹣sin（﹣x）=﹣．故答案为：﹣三．解答题（共70分）17．已知sinα+cosα=，α∈（0，π），求的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】把已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系变形求出2sinαcosα的值，进而判断出sinα﹣cosα的正负，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系求出sinα﹣cosα的值，联立求出sinα与cosα的值，即可确定出的值．【解答】解：把sinα+cosα=①，两边平方得：（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=，∴2sinαcosα=﹣，∵α∈（0，π），∴sinα＞0，cosα＜0，即sinα﹣cosα＞0，∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=，即sinα﹣cosα=②，联立①②，解得：sinα=，cosα=﹣，则==﹣．18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）当，求f（x）的值域．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的定义域和值域．【分析】（1）根据最低点M可求得A；由x轴上相邻的两个交点之间的距离可求得ω；进而把点M代入f（x）即可求得φ，把A，ω，φ代入f（x）即可得到函数的解析式．（2）根据x的X围进而可确定当的X围，根据正弦函数的单调性可求得函数的最大值和最小值．确定函数的值域．【解答】解：（1）由最低点为得A=2．由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得=，即T=π，由点在图象上的故∴又，∴（2）∵，∴当=，即时，f（x）取得最大值2；当即时，f（x）取得最小值﹣1，故f（x）的值域为[﹣1，2]19．sin θ和cos θ为方程2x2﹣mx+1=0的两根，求+．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用韦达定理可求得sinθ+cosθ=，sinθ•cosθ=，利用同角三角函数基本关系式即可解得m，将所求的关系式化简为sinθ+cosθ，即可求得答案．【解答】解：∵sinθ和cosθ为方程2x2﹣mx+1=0的两根，∴sinθ+cosθ=，sinθ•cosθ=，∵（sinθ+cosθ）2=sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=1+2sinθcosθ，∴m2=1+2×，解得：m=±2，∴+=+=sinθ+cosθ=．20．已知函数y=2acos（2x﹣）+b的定义域是[0，]，值域是[﹣5，1]，求a、b的值．【考点】余弦函数的定义域和值域．【分析】由求出的X围，由余弦函数的性质求出cos（2x﹣）的值域，根据解析式对a分类讨论，由原函数的值域分别列出方程组，求出a、b的值．【解答】解：由得，，∴cos（2x﹣），当a＞0时，∵函数的值域是[﹣5，1]，∴，解得，当a＜0时，∵函数的值域是[﹣5，1]，∴，解得，综上可得，或．21．函数f（x）=3sin（2x+）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，﹣]上的最大值和最小值．【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．【分析】（Ⅰ）由题目所给的解析式和图象可得所求；（Ⅱ）由x∈[﹣，﹣]可得2x+∈[﹣，0]，由三角函数的性质可得最值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=3sin（2x+），∴f（x）的最小正周期T==π，可知y0为函数的最大值3，x0=；（Ⅱ）∵x∈[﹣，﹣]，∴2x+∈[﹣，0]，∴当2x+=0，即x=时，f（x）取最大值0，当2x+=，即x=﹣时，f（x）取最小值﹣322．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；（2）函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．【分析】（1）由函数的解析式求得周期，由求得x的X围，即可得到函数的单调增区间（2）由条件可得，再根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律得出结论．【解答】解：（1）由函数，可得周期等于 T==π．由求得，故函数的递增区间是．（2）由条件可得．故将y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，即可得到f（x）的图象．。
无锡市江阴高级中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题
江苏省江阴高级中学2022-2023学年高一第一学期第一次月考数学试卷一､单选题（本大题共8小题，共40.0分．）1.给出下列关系：①πR ∈；②3∈Q ；③3-∉Z ；④|3|-∉N ；⑤0∉Q ，其中正确的个数（）A.1B.2C.3D.42.设全集U 是实数集R ，{}3M x x =≥，{}25N x x =≤≤都是U 的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（）A.{}23x x << B.{}23x x ≤< C.{}23x x <≤ D.{}25x x ≤≤3.已知函数()(),f x g x 分别由下表给出：x4567x3456()f x 7645()g x 4654下列能满足()()()()g f x f g x <的x 的值是（）A.3B.4C.5D.74.设集合{}1,1,12A a a =++，{}21,,B b b =，若A B =，则b 的值为（）A.1B.12-C.1或12-D.1-5.若函数()11f x x x =-+，则函数()1f x -的定义域为（）A.()1,1- B.[]2,0- C.[]1,1- D.[]0,26.若函数()1f x ax =+在区间[]1,2上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值为（）A.2B.2或2- C.3D.3或3-7.已知11,15x y x y -≤+≤≤-≤，则32x y -的取值范围是（）A.[]2,13 B.[]3,13 C.[]2,10 D.[]5,108.若对于任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数，例如21=，31=，[]1.62-=-，那么“[][]=x y ”是“1x y -<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二､多选题（本大题共4小题，共20.0分．在每小题有多项符合题目要求）9.中国清朝数学学李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function ”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合{}1,1,2,4M =-，{}1,1,2,4,16N =-，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M 到N 的函数的是（）A.1y x=B.y x =C.1y x =+ D.2y x =10.下列说法正确的有（）A.任意非零实数,a b ，都有2b a a b+≥ B.不等式21031x x -<+的解集是11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C.函数234y x x =--的零点是()()4,0,1,0- D.函数()4211-=+x f x x 与()21g x x =-为同一个函数；11.已知关于x 的不等式22430(0)x ax a a -+<<的解集为{}12xx x x <<∣，则（）A.12120x x x x ++<的解集为4|03a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B.1212x x x x ++的最小值为43-C.不等式22430(0)x ax a a -+<<的解集为{}|3x a x a <<D.1212a x x x x ++312.已知函数2210,1()21,1x ax x f x a x x⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值可以是（）A.1B.2C.3D.4三､填空题（本大题共4小题，共20分）13.命题“x ∀∈R ，211x +≥”的否定为__________．14.函数()268f x x x =-+的单调减区间是______．15.函数2231x y x -=+的值域是__________．16.设集合{}1,2,3,4,6M =，1S ，2S ，⋅⋅⋅，k S 都是M 的含有两个元素的子集，则k =______；若集合A 是由这k个元素()12,,,k S S S ⋅⋅⋅中的若干个组成的集合，且满足：对任意的{},i S a b =，{},j S c d =（i j ≠，i ，{}1,2,3,,j k ∈⋅⋅⋅，a b <，c d <）都有a bc d≠，则A 中元素个数的最大值是______四､解答题（本大题共6小题，共70.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知全集{}N 05U x x =∈<<，集合{}21,2,A m =，{}2540B x x x =-+=．（1）若21U a B +∈ð且a U ∈，求实数a 的值；（2）设集合()U C A B =⋂ð，若C 的真子集共有3个，求实数m 的值．18.已知集合14,3A xx x ⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭N ，{}10B x ax =-≥．（1）当2a =时，求A B ⋂；（2）若__________，求实数a 的取值范围．请从①“x B ∈”是“x A ∈”的必要条件；②x A ∀∈，x B ∉；③x A ∃∈，x B ∉；这三个条件中选择一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）19.已知函数)21+=+gx .（1）求函数()g x 的解析式；（2）设()()2-=g x xf x x，若存在[]2,3x ∈使()0f x kx -≤成立，求实数k 的取值范围.20.已知函数2()x af x x+=，且(1)2f =（1）求实数a 的值；（2）判断函数()f x 在[)1,+∞上的单调性，并用定义证明；（3）求函数()f x 在[)1,3上的值域．21.已知函数()232f x x x =-+-．（1）求不等式()3f x ≤的解集M ；（2）在（1）的条件下，设M 中的最小的数为m ，正数,a b 满足3a b m +=，求225b a a b++的最小值．22.某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍惜水果树的单株产量W (单位：千克)与施用肥料x (单位：千克)满足如下关系：()253,02()50,251x x W x xx x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费)20x 元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，()f x (单位：元)（1）写单株利润()f x (元)关于施用肥料x (千克)的关系式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？2022-2023学年江苏省江阴高级中学高一第一学期第一次月考数学试卷一､单选题（本大题共8小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.给出下列关系：①πR ∈；②3∈Q ；③3-∉Z ；④|3|-∉N ；⑤0∉Q ，其中正确的个数（）A.1B.2C.3D.4【答案】A 【解析】【分析】依次判断出各数所属于的数域范围，进而判断出正误.【详解】π是实数，①正确；3是无理数，②错误；3-是整数，③错误；|3|3-=是自然数，④错误；0是有理数，⑤错误，所以正确的个数为1．故选：A ．2.设全集U 是实数集R ，{}3Mx x =≥，{}25N x x =≤≤都是U 的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（）A.{}23x x << B.{}23x x ≤< C.{}23x x <≤ D.{}25x x ≤≤【答案】B 【解析】【分析】题图中阴影部分表示集合()U N M ⋂ð，即可求【详解】题图中阴影部分表示集合(){}{}{}25323U N M x x x x x x ⋂=≤≤⋂<=≤<ð.故选：B3.已知函数()(),f x g x 分别由下表给出：x4567x3456()f x 7645()g x 4654下列能满足()()()()g f x f g x <的x 的值是（）A.3 B.4C.5D.7【答案】C 【解析】【分析】根据表格依次判断3,4,5,7x =时两个函数值的大小关系即可.【详解】对于A ，当3x =时，()3f 无意义，A 错误；对于B ，当4x =时，()47f =，()()()47g f g ∴=无意义，B 错误；对于C ，当5x =时，()56f =，()55g =，()()()564g f g ∴==，()()()556f g f ==，则()()()()55g f f g <，C正确；对于D ，当7x =时，()7g 无意义，D 错误.故选：C.4.设集合{}1,1,12A a a =++，{}21,,B b b =，若A B =，则b 的值为（）A.1B.12-C.1或12-D.1-【答案】B 【解析】【分析】根据集合相等得到2112a ba b +=⎧⎨+=⎩或2112a b a b⎧+=⎨+=⎩，解出,a b 的值，检验是否符合即可得出结果.【详解】因为A B =，所以2112a b a b +=⎧⎨+=⎩或2112a b a b ⎧+=⎨+=⎩，解得01a b =⎧⎨=⎩或34.12a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩经检验，知当1b=时，集合B 中的元素不满足互异性，舍去；当12b =-时，满足题意.故选：B.5.若函数()f x =，则函数()1f x -的定义域为（）A.()1,1- B.[]2,0- C.[]1,1- D.[]0,2【答案】D 【解析】【分析】由根式内部的代数式大于等于0求解()f x 的定义域，再由1x -在()f x 的定义域内求得x 的范围，即可得到(1)f x -的定义域．【详解】解：要使原函数有意义，则1010x x -≥⎧⎨+≥⎩，解得11x -≤≤．由111x -≤-≤，得02x ≤≤．∴函数(1)f x -的定义域为[0,2]．故选：D ．6.若函数()1f x ax =+在区间[]1,2上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值为（）A.2B.2或2- C.3D.3或3-【答案】B 【解析】【分析】注意讨论0a =的情况，然后利用一次函数的单调性分类讨论可求得.【详解】依题意，当0a=时，()1f x =，不符合题意；当0a >时，()1f x ax =+在区间[]()()()212112f f a a -=+-+=，得2a =；当a<0时，()1f x ax =+在区间[]1,2上单调递减，所以()()()121212f f a a -=+-+=，得2a =-．综上，a 的值为2±故选:B .7.已知11,15x y x y -≤+≤≤-≤，则32x y -的取值范围是（）A.[]2,13 B.[]3,13 C.[]2,10 D.[]5,10【答案】A 【解析】【分析】设()()()()32x y m x y n x y m n x m n y -=+--=-++，求出,m n 的值，根据,x y x y +-的范围，即可求出答案.【详解】设()()()()32x y m x y n x y m n x m n y -=+--=-++，所以32m n m n -=⎧⎨+=-⎩，解得：()()1152,32,5222m x y x y x y n ⎧=⎪⎪-=++-⎨⎪=-⎪⎩，因为11,15x y x y -≤+≤≤-≤，所以()()[]15322,1322x y x y x y -=++-∈，故选：A.8.若对于任意实数x ，[]x 表示不超过x的最大整数，例如1=，1=，[]1.62-=-，那么“[][]=x y ”是“1x y -<”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据高斯函数的定义以及充分必要条件的定义推导即可.【详解】如果[][],x y n n Z ==∈，则有[)1212,,,0,1x n d y n d d d =+=+∈，x y ∴-=121d d -＜，所以[][]=x y 是1x y -＜的充分条件；反之，如果1x y -＜，比如3.9,4.1x y ==，则有0.21x y -=＜，根据定义，[][][][]3,4,x y x y ==≠，即不是必要条件，故[][]=x y 是1x y -＜的充分不必要条件；故选：A.二､多选题（本大题共4小题，共20.0分．在每小题有多项符合题目要求）9.中国清朝数学学李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function ”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合{}1,1,2,4M =-，{}1,1,2,4,16N =-，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M 到N 的函数的是（）A.1y x=B.y x= C.1y x =+ D.2y x =【答案】BD 【解析】【分析】根据函数定义逐一判断即可.【详解】A.1y x =，当{}21,1,2,4M ∈=-，但{}11,1,2,4,162N ∉=-，A 不是；B.y x =，任意{}1,1,2,4a M ∈=-，都有{}1,1,2,4,16a N ∈=-，B 是；C.1y x =+，当{}41,1,2,4M ∈=-，但{}51,1,2,4,16N ∉=-，C 不是；D.2y x =，任意{}1,1,2,4a M ∈=-，都有{}1,1,2,4,16a N ∈=-，D 是；故选：BD.10.下列说法正确的有（）A.任意非零实数,a b ，都有2b aa b+≥ B.不等式21031x x -<+的解集是11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C.函数234y x x =--的零点是()()4,0,1,0- D.函数()4211-=+x f x x 与()21g x x =-为同一个函数；【答案】BD 【解析】【分析】根据基本不等式、分式不等式的解法、二次函数零点、相同函数等知识对选项进行分析，从而确定答案.【详解】A 选项，若1,1ab ==-，则22b aa b+=-<，所以A 选项错误.B 选项，()()2102131031x x x x -<⇔-+<+，解得1132x -<<，所以不等式21031x x -<+的解集是11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 选项正确.C 选项，函数234y x x =--的零点是4,1-，C 选项错误.D 选项，对于()4211-=+x f x x ，()f x 的定义域为R ，且()()()()224222111111x x x f x x g x x x +--===-=++，所以D 选项正确.故选：BD 11.已知关于x 的不等式22430(0)x ax a a -+<<的解集为{}12x x x x <<∣，则（）A.12120x x x x ++<的解集为4|03a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B.1212x x x x ++的最小值为43-C.不等式22430(0)x ax a a -+<<的解集为{}|3x a x a << D.1212ax x x x ++的最小值为3【答案】AB 【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法求得12,x x ，对选项进行分析，结合一元二次不等式、二次函数的性质等知识求得正确答案.【详解】()()224303x ax a x a x a =---+<，由于a<0，所以不等式的解集为{}|3x a x a <<，C 选项错误，所以123,a x x a ==，A 选项，()1212234340a a a x x x a x ==+++<+，解得403a -<<，即不等式12120x x x x ++<的解集为4|03a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，A 选项正确.B 选项，2121234x x x x a a ++=+，令()2340y a a a =+<，()2340y a a a =+<的开口向上，对称轴为4263a =-=-，所以当23a =-时，234y a a =+取得最小值为222434333⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 选项正确.D 选项，12212144033a a x x a a x x aa ++=+=+<，所以D 选项错误.故选：AB 12.已知函数2210,1()21,1x ax x f x a x x⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值可以是（）A.1B.2C.3D.4【答案】ABC 【解析】【分析】根据题意可得1210121021a a a a ≥⎧⎪->⎨⎪-+≥-⎩，解之即可得解.【详解】解：因为函数2210,1()21,1x ax x f x a x x⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩是R 上的减函数，所以1210121021a a a a ≥⎧⎪->⎨⎪-+≥-⎩，解得13a ≤≤.故选：ABC .三､填空题（本大题共4小题，共20分）13.命题“x ∀∈R ，211x +≥”的否定为__________．【答案】0R x ∃∈，211x +<【解析】【分析】根据全称命题，符号为∀，其否定为特称命题“存在”，符号∃，“≥”的否定为“<”，即可选出答案.【详解】解： 全称命题的否定是特称命题，∴命题x ∀∈R ，211x +≥的否定是：0R x ∃∈，2011x +<，故答案为：0R x ∃∈，2011x +<.14.函数()268f x x x =-+的单调减区间是______．【答案】[]0,3，(],3-∞-【解析】【分析】根据绝对值的定义去绝对值，写成分段函数形式，再根据函数单调性求得单调递减区间．【详解】去绝对值，得函数2268()68x x f x x x ⎧-+=⎨++⎩0x x ≥<当0x ≥时，函数2()68f x x x =-+的单调递减区间为[]0,3当0x <时，函数2()68f x x x =++的单调递减区间为(],3-∞-综上，函数2268()68x x f x x x ⎧-+=⎨++⎩0x x ≥<的单调递减区间为[]0,3，(],3-∞-故答案为：[]0,3，(],3-∞-15.函数2231x y x -=+的值域是__________．【答案】[)3,1-【解析】【分析】22234111x y x x -==-++，然后可求出答案.【详解】2222211344111x x y x x x --=+==-+++，因为211x +≥，所以(]240,41x ∈+，所以[)244,01x -∈-+，所以[)2233,11x y x -=∈-+，故答案为：[)3,1-16.设集合{}1,2,3,4,6M=，1S ，2S ，⋅⋅⋅，k S 都是M的含有两个元素的子集，则k=______；若集合A 是由这k 个元素()12,,,k S S S ⋅⋅⋅中的若干个组成的集合，且满足：对任意的{},i S a b =，{},j S c d =（i j ≠，i ，{}1,2,3,,j k ∈⋅⋅⋅，a b <，c d <）都有a bc d≠，则A 中元素个数的最大值是______【答案】①.10②.6【解析】【分析】根据集合{}1,2,3,4,6M=，写出其含有两个元素的所有子集，即可得k 的值；根据a bc d≠，排除掉不符合题意的集合，即可得到符合题意的集合个数的最大值.【详解】集合M 的含有两个元素的子集有{}1,2，{}1,3，{}1,4，{}1,6，{}2,3，{}2,4，{}2,6，{}3,4，{}3,6，{}4,6，共10个，故10k =．因为a bc d≠，所以{}1,2，{}2,4，{}3,6中只能取一个作为A 中的元素，{}1,3，{}2,6中只能取一个作为A 中的元素，{}2,3，{}4,6中只能取一个作为A 中的元素，故10个元素中至少有4个不出现在集合A 中，故A 中元素个数的最大值为6．故答案为:10;6四､解答题（本大题共6小题，共70.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知全集{}N 05U x x =∈<<，集合{}21,2,A m =，{}2540B x x x =-+=．（1）若21U aB +∈ð且a U ∈，求实数a 的值；（2）设集合()U C A B =⋂ð，若C 的真子集共有3个，求实数m 的值．【答案】（1）1a =（2）m =【分析】（1）先求得U 和B ，进而求得{}2,3U B =ð，再根据21U a B +∈ð求解即可；（2）分情况讨论23m ≠与23m =分析即可.【小问1详解】因为{}{}N 051,2,3,4U x x =∈<<=，{}{}25401,4B x x x =-+==，因此，{}2,3UB =ð．若21U a B +∈ð，则212a +=或213a +=，解得1a =±或．又a U ∈，所以1a =．【小问2详解】{}21,2,A m= ，{}2,3U B =ð，当23m ≠时，{}2C =，此时集合C 共有1个真子集，不符合题意，当23m =时，{}2,3C =，此时集合C 共有3个真子集，符合题意，综上所述，m =18.已知集合14,3A x x x ⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭N ，{}10B x ax =-≥．（1）当2a =时，求A B ⋂；（2）若__________，求实数a 的取值范围．请从①“x B ∈”是“x A ∈”的必要条件；②x A ∀∈，x B ∉；③x A ∃∈，x B ∉；这三个条件中选择一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．【答案】（1）{}1,2,3A B = （2）选①：{}1a a ≥；选②：13a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭；选③：{}1a a <【解析】【分析】（1）解不等式求得集合B ，由交集定义可得结果；（2）若选①，由必要条件定义可知A B ⊆，可分别在0a =、a<0和0a >的情况下，由包含关系构造不等式求得a 的范围；若选②，由全称命题可知A B ⋂=∅，分别在0a =、a<0和0a >的情况下，由交集结果构造不等式求得a 的范围；若选③，由存在性命题可得A B ⋂≠∅R ð，分别在0a =、a<0和0a >的情况下，由交集结果构造不等式求得a 的范围.【小问1详解】当2a =时，{}12102B x x x x ⎧⎫=-≥=≥⎨⎬⎩⎭，又{}14,1,2,33A x x x ⎧⎫=<<∈=⎨⎬⎩⎭N ，{}1,2,3AB ∴⋂=.【小问2详解】若选条件①：若“x B ∈”是“x A ∈”的必要条件，则A B ⊆；当0a =时，B =∅，不合题意；当a<0时，1B x x a ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，又{}1,2,3A =，13a∴≥，解得：103a <≤（舍）；当0a >时，1B x x a ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，又{}1,2,3A =，11a ∴≤，解得：a<0或1a ≥，1a ∴≥；综上所述：实数a 的取值范围为{}1a a ≥.若选条件②：x A ∀∈，x B ∉，A B ∴⋂=∅；当0a =时，B =∅，满足题意；当a<0时，1B x x a ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，又{}1,2,3A =，11a∴<，解得：a<0或1a >（舍），<0a ∴；当0a >时，1B x x a ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，又{}1,2,3A =，13a ∴>，解得：103a <<，103a ∴<<；综上所述：实数a 的取值范围为13aa ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭.若选条件③：x A ∃∈，x B ∉，A B ∴≠∅R ð；当0a =时，B =∅，则B =R R ð，又{}1,2,3A =，{}1,2,3A B ∴=R ð，满足题意；当a<0时，1B x x a ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，则1B x x a ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭R ð，又{}1,2,3A =，13a∴<，解得：a<0或13a >（舍），<0a ∴；当0a >时，1B x x a ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，则1B x x a ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭R ð，又{}1,2,3A =，11a ∴>，解得：01a <<，01a ∴<<；综上所述：实数a 的取值范围为{}1a a <.19.已知函数)21+=+g x .（1）求函数()g x 的解析式；（2）设()()2-=g x xf x x，若存在[]2,3x ∈使()0f x kx -≤成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）()()()212=-≥g x x x ；（2）3,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）由配凑法得))2221g =-22+≥，即可求出()g x 的解析式；（2）先求出()f x ，将题设转化为2141k xx ≥-+在[]2,3x ∈上有解，换元后利用二次函数的性质求出最小值即可求解.【小问1详解】)))2221121g x =+==-，则()()21g x x =-22≥，则()()()212=-≥g x x x ；【小问2详解】()()()22212142g x x x x x f x x x x x x --+-===+-≥，又存在[]2,3x ∈使()0f x kx -≤成立，即2141k x x≥-+在[]2,3x ∈上有解，令111,,32t t x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，设()()224123=-+=--h t t t t ，易得()h t 在11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦单减，则()min 1324h t h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，即34k ³-，故实数k 的取值范围为3,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.20.已知函数2()x a f x x+=，且(1)2f =（1）求实数a 的值；（2）判断函数()f x 在[)1,+∞上的单调性，并用定义证明；（3）求函数()f x 在[)1,3上的值域．【答案】（1）1a =（2）函数()f x 在[)1,+∞上的单调递增，证明见解析（3）102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）利用待定系数法，即可求出结果；（2）根据函数单调性定义，证明即可得到结果；（3）由（2）可知()f x 在[)1,3上单调递增，利用单调性即可求出函数的值域.【小问1详解】解：(1)2f = ，121a +∴=，解得1a =.【小问2详解】解：由（1）得21()x f x x+=函数()f x 在[)1,+∞上的单调递增，证明如下：设[)12,1,x x ∀∈+∞，且12x x <，则有()()()()222212122121121212121212111x x x x x x x x x f x f x x x x x x x x x x +++---==--=-121x x ≤<Q ，120x x ∴-<，1210x x ->，120x x >，12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x <，∴函数()f x 在[)1,+∞上的单调递增.【小问3详解】解：由（2）得函数()f x 在[)1,+∞上的单调递增，[)[)1,31,⊆+∞ ，()f x ∴在[)1,3上单调递增，又(1)2f =，10(3)3f =()f x ∴在[)1,3上的值域是102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭.21.已知函数()232f x x x =-+-．（1）求不等式()3f x ≤的解集M ；（2）在（1）的条件下，设M 中的最小的数为m ，正数,a b 满足3a b m +=，求225b a a b ++的最小值．【答案】（1）28|33M x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭（2）132【解析】【分析】（1）将()f x 表示为分段函数的形式，由此解不等式()3f x ≤.（2）结合基本不等式求得225b a a b ++的最小值.【小问1详解】()353,232321,2235,2x x f x x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=-+-=-≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩，不等式()3f x ≤可化为32533x x ⎧<⎪⎨⎪-≤⎩，或32213x x ⎧≤≤⎪⎨⎪-≤⎩，或2353x x >⎧⎨-≤⎩，解得2833x ≤≤，所以28|33M x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭.【小问2详解】由（1）可知23m =，所以2a b +=，所以()()22222525a b b a a b a b-+-++=+224944a a b b ab -+-+=+()94941948662a b a b a ba b a b ⎛⎫=+++-=+-=++- ⎪⎝⎭194113136136222b a a b ⎛⎫⎛⎫=++-≥-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当94b a a b =，23a b =，即64,55a b ==时等号成立，所以225b a a b ++的最小值为132．22.某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍惜水果树的单株产量W (单位：千克)与施用肥料x (单位：千克)满足如下关系：()253,02()50,251x x W x x x x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费)20x 元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为()f x (单位：元)（1）写单株利润()f x (元)关于施用肥料x (千克)的关系式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）27530225,02()75030,251x x x f x x x x x⎧-+⎪=⎨-<⎪+⎩ ；（2）4千克，480元﹒【解析】【分析】(1)用销售额减去成本投入得出利润()f x 的解析式；(2)分段判断()f x 的单调性，求出()f x 的最大值即可．【小问1详解】依题意()15()1020f x W x x x =--，又()253,02()50,251x x W x x x x ⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，∴27530225,02()75030,251x x x f x x x x x⎧-+⎪=⎨-<⎪+⎩ ．【小问2详解】当02x 时，2()7530225f x x x =-+，开口向上，对称轴为15x =，()f x ∴在[0，15上单调递减，在1(5，2]上单调递增，()f x ∴在[0，2]上的最大值为()2465f =．当25x <时，25()78030(1)780304801f x x x =-++-⨯=+ ，当且仅当2511x x=++时，即4x =时等号成立．∵465480<，∴当4x =时，max ()480f x =．∴当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是480元．。
2021-2022学年江苏省无锡市太湖高级中学高一年级下册学期3月月考数学试题【含答案】
2021-2022学年江苏省无锡市太湖高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．在矩形中，，，则（ ）ABCD 3AB =4=AD AB AC AD ++= A ．5B ．6C ．8D ．10D【分析】只需用几何法直接求对角线的长度即可.【详解】由题意 ， ；AC AB AD =+ 210AB AC AD AC ++=== 故选：D.2．如图，在中，设，，若点E 在上，且，则ABCD AB a = AD b = CD 2CE ED ==（ ）BEA ．B ．C ．D ．23a b - 23a b -+13a b -+ 13a b - B【分析】运用平面向量基本定理，结合平面向量加法的运算性质、平行四边形的性质进行求解即可.【详解】因为，所以，2CE ED = 23CE CD=在中，，ABCD ,CD BA BC AD == 所以，22223333BC CE AD CD AD BA BE AD AB b a=+=+=+=-=-故选：B3．设，向量，，，若，则,x y R ∈()1,2a =()3,4b =()5,6c =c xa yb =+ （ ）x y +=A ．B ．C ．1D ．33-1-C【分析】利用向量的坐标公式计算即可.【详解】向量，，，()1,2a =()3,4b =()5,6c =c xa yb =+ ，∴()()()5,61,23,4x y =+，解得.53624x yx y =+⎧∴⎨=+⎩12x y =-⎧⎨=⎩则.1x y +=故选：C4．设向量，，且，则向量与的夹角为(,1)a x =(1,b = a b ⊥a b A ．B ．C ．D ．6π3π23π56πD【详解】向量，，且，则(),1a x =(1,b =a b ⊥0,a bx x ⋅=== ,a =-(0,4)=()014(a b⋅=⨯+⨯=- ,设向量与的夹角为，则4,2a b =a b θ ，，选D.cos θ=50,6πθπθ≤≤∴= 5．在△ABC 中，△ABC 的最小角为（ ）7,a b c ===A．B ．C ．D ．3π6π4π12πB【分析】由小边对小角原理判断三边大小可知最小，求即可.C cos C 【详解】由三角形边角关系可知，角C 为△ABC 的最小角，则cos C =，所以C =.222π22a b c C ab +-=<<6π故选：B .本题考查由余弦定理求解最小角，属于基础题6．在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，则必为ABC cos cAb <ABC （ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰三角形A【分析】由正弦定理得到，得出，进而sin cos sin C A B <sin cos 0A B <，即可求解.sin 0,0cos A B ><【详解】因为，由正弦定理可得，即，cos cAb <sin cos sin C A B <sin cos sin C A B <又因为，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+所以，即，sin cos cos s co si in s n A B A B A B +<sin cos 0A B <因为，所以，,(0,)A B π∈sin 0,0cos A B ><所以，所以为钝角三角形.(,)2B ππ∈ABC 故选：A.7．在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，，且D ABC 4b c ==120A =︒是边上的动点(不含端点)，则的取值范围是（ ）BC ()()DA DB DA DC+⋅+A ．B ．C ．D ．[8,10)-[16,40)-[8,40)-[16,48)-C【分析】以BC 所在直线为轴，以BC 的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标x y 系，利用向量数量积的坐标运算求出即可求解.()()DA DB DA DC +⋅+【详解】解：以BC 所在直线为轴，以BC 的中垂线为轴建立如图所示的平面直角x y 坐标系，因为，，所以，，，设，4b c ==120A =︒()0,2A ()B -()C (),0D x，(x ∈-则，，，(),2DA x =-(),0DB x =--(),0DC x =-所以，()()()()22,22,248DA DB DA DC x x x +⋅+=--⋅=-因为，所以，(x ∈-()248[8,40)x-∈-所以的取值范围是，()()DA DB DA DC +⋅+[8,40)-8．已知O 为锐角三角形的外心，，则的值为ABC 2340OA OB OC ++=cos ACB ∠（ ）ABC ．D ．1434A【分析】根据平面向量数量积的定义和运算运算性质，结合余弦的二倍角公式、三角形外心的性质进行求解即可.【详解】设锐角三角形的外接圆的半径为，即，ABC R OA OB OC R ===，22223404(23)164912OA OB OC OC OA OB OC OA OB OA OB ++=⇒=-+⇒=++⋅ ，显然是锐角，2221164912cos cos 04R R R R R AOB AOB ⇒=++⋅⋅⋅∠⇒∠=>AOB ∠因为O 为锐角三角形的外心，所以O 在锐角三角形内部，ABC ABC 由圆的性质可知：，显然是锐角，12ACB AOB ∠=∠ACB ∠211cos 2cos 1cos 44AOB ACB ACB ∠=⇒∠-=⇒∠=故选：A 二、多选题9．下列说法中错误的为（ ）A ．若，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是()1,2a =()1,1b =a ab l + λ5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底()12,3e =-213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C ．若，则在方向上的投影向量的模为//a b a b aD ．非零向量和满足，则与的夹角为a b a b a b==- a a b + 60︒ACD【分析】对于A ，由与的夹角为锐角，可得且与不共线，a ab l + ()0a a b λ⋅+> a a b l +从而可求出的取值范围，对于B ，判断两个向量是否共线，对于C ，由可得与λ//a b a可能同向，也可能反向，然后利用数量积的几何意义求解即可，对于D ，由b，可得，从而可求出，，再利用向量的夹角公式可a a b=- 22b a b=⋅ ()a a b⋅+ a b+【详解】对于A ，，，与的夹角为锐角，(1,2)a = (1,1)b = a a b l + ，∴()(1,2)(1,2)142350a a b λλλλλλ⋅+=⋅++=+++=+>且（时与的夹角为），所以且，故A 错误；0λ≠=0λa a b l + 0︒53λ>-0λ≠对于B ，向量，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B12(2,3)4e e =-=正确；对于C ，若，当与反向时，则在方向上的投影为，故C 错误；//a b a b a b a- 对于D ，因为，两边平方得，则，a ab =- 22b a b=⋅()2232a a b a a b a ⋅+=+⋅=a + 故，cos ,a a b +[]0,π得与的夹角为，故D 项错误．a ab +6π故选：ACD10．等边三角形中，，，与交于F ，则下列结论正确ABC BD DC = 2EC AE =AD BE 的是（ ）A ．B ．()12AD AB AC=+2133BE BA BC=+C ．D ．1344AFAB AE=+ 1123BF BA BC=+ ABC【分析】根据向量线性运算，求得各选项的表达式，由此判断出正确选项.【详解】如下图所示：选项A ：，为中点，，A 正确；BD DC = D ∴BC ()12AD AB AC∴=+选项B ：，B 正确；()11213333BE BA AE BA AC BA AB BC BA BC=+=+=++=+选项C ：,,由于三点共线，，故2EC AE = 13AE AC∴=,,E F B BF BE λ= ，设()()1113AF AE AB AC ABλλλλ=+-=+- ，由此可得，()111222AF xAD x AB AC xAB xAC==+=+11332411122x x x λλλ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=-=⎪⎪⎩⎩，C 正确；()111111332224444AF AD AB AC AB AE AB AE∴==⨯+=+⨯=+ 选项D ：，D()111111++222224BF BA AF BA AD BA BD BA BA BC BA BA BC⎛⎫=+=+=-=-=+ ⎪⎝⎭错误.故选：ABC.11．已知的重心为G ，点E 是边上的动点，则下列说法正确的是（ ）ABC BC A ．A BG CGG +=B ．若，则的面积是面积的2133AE AB AC=+ EAC ABC 23C ．若，，则2AB AC ==3BC =76AB AG ⋅=D ．若，，则当2AB AC ==3BC =EA EB ⋅ BCD【分析】根据三角形重心的向量性质判断A ，由向量的线性运算求得与的关系，EC BC 判断B ，由数量积的定义计算判断C ，设，计算数量积后求最小值，从而可计BE x =算出判断D ．AE 【详解】因为的重心为G ，所以，所以，A 错；ABC 0GA GB GC ++=AG BG CG +=- 2133AE AB AC=+32AE AB AC ⇒=+ 2()2AE AB AC AE BE EC ⇒-=-⇒= ，B 正确；23EC BC ⇒=23EAC BACS S ⇒= ，， 是等腰三角形，，2AB AC ==3BC =ABC 332sin 24BAG ∠==是锐角，BAG ∠cos BAG ∠==AG =，C 正确；7cos 26AB AG AB AG BAG ⋅=∠==设，，(03)BE x x =≤≤3cos 4B =2223()cos()2(4EA EB AE BE AB BE BE AB BE BE AB BE B x x x π⋅=⋅=+⋅=⋅+=-+=⋅-+ ，22339(2416x x x =-=--所以时，取得最小值，34x =EA EB ⋅916-此时， D 正确．BE ==故选：BCD ．12．在的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是（ ）ABC A ．若，则B ．若，22ab c =04C π<<2a b c +=03C π<≤C ．若，则D ．若，则为锐角三角()2a b c ab +<2C π>444a b c +=ABC 形ABD【分析】根据题目所给的条件，运用余弦定理以及基本不等式可以得出结论.【详解】对于A ，，22ab c =由余弦定理（当且仅当 时等号成立），222322cos 224ab aba b ab C ab ab +--=≥=>a b = 故A 正确；对于B ， ， ，22224a b ab c ++=22224a b abc ++=由余弦定理，()22222223131144222cos 2222a b ab a b a b ab ab ab C ab ab ab +++-+--==≥=当且仅当 时等号成立，故B 正确；a b =对于C ，依条件有，，()a b c ab≤+<24abc c <由余弦定理 （当且仅当 时等222222744cos 02228ab aba b ab a b c C ab ab ab +--+-=>≥=>a b =号成立），故C 错误；对于D ，， ，()()222222220a b c a b +-=>222a b c +>并且 ，由三角形大边对大角得 ,,c a c b >>,C A C B ∠>∠∠>∠由余弦定理 ，222cos 02a b c C ab +-=>角C 是锐角，所以角A 和角B 也是锐角，故D 正确；故选：ABD.三、填空题13．已知，是两个不共线的向量，若与共线，则的a b()m a kb k R =-+∈ 32n a b =- k 值为_________．23【分析】根据题意得到，列出方程组，即可求解.λ= m n 【详解】由题意，向量与共线，m a kb =-+ 32n a b =-可得，即，可得，解得.λ= m n (32)a kb a b λ-+=- 312k λλ=-⎧⎨=-⎩23k =故答案为.2314．设的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且，则角ABC cos a C b =的大小为_________．A 6π30【分析】由正弦定理得，化简得到2sin 2sin cos B C A C =，进而求得的值，即可求解.2cos sin 0A C C =cos A【详解】因为，可得的，cos a C b =2cos 2a C b =由正弦定理得，2sin 2sin cos B C A C =因为，2sin 2sin()2sin cos 2cos sin B A C A C A C =+=+化简得，2cos sin 0A C C =又因为，可得，所以(0,)C π∈sin 0C >cos A =又由，可得.(0,)A π∈6A π=故答案为.6π15．在中，，，，若对任意的实ABC (,2)AB m m =+ (cos ,sin )AC αα= (,)m α∈∈R R 数t ，恒成立，则面积的最小值是_________AB t AC AB AC-≥- ABC 0.512【分析】由对任意的实数t ，恒成立，可得，根据AB t AC AB AC CB-≥-= BC AC ⊥向量的模长公式以及勾股定理，求出、，从而根据即可求解.AC 12ABCBC S AC =【详解】解：因为对任意的实数t ，恒成立，AB t AC AB AC CB-≥-=所以由向量减法的几何意义可知，点B 到直线AC 的最短距离为BC ，所以，BC AC ⊥因为，，(,2)AB m m =+ (cos ,sin )AC αα=所以，1AC ==AB ==所以，即面积的最小1212ABC AC C S B ===≥ ABC 值是，12故答案为.12四、双空题16．已知的外接圆圆心为O ．且，，则ABC 2AO AB AC =+ 2OA AB == _________，向量在向量上的投影向量的模长为_________AB AC ⋅=CA CB ； .03【分析】根据平面向量的加法运算性质，结合平面向量数量积的运算性质、投影向量的定义进行求解即可.【详解】由，22AO AB AC AO OB OC OB A C AO O O ⇒=++==+⇒+所以点共线，因为的外接圆圆心为O ．B C O 、、ABC 所以是圆O 的直径，故，BC 900BAC AB AC AB AC ︒∠=⇒⊥⇒⋅= 因为，所以，，2OA = 4BC =21sin 3042ACB ACB ︒∠==⇒∠=向量在向量上的投影向量的模长为：CA CB，cos 3CA ACB ⋅∠== 故；03五、解答题17．在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ABC a =，，求边c 和的面积．b =30B =︒ABCc =ABC c =ABC 【分析】利用余弦定理可得，再利用三角形面积计算公式即可得出．c【详解】∵，，a =b =30B =︒∴，2222cos b a c ac B =+﹣∴，化为，解得．226230c c cos =+-⨯ 240c -+=c =当∴S △ABC =c =1sin 2ac B当∴S △ABC =c =1sin 2ac B18．设向量()()()122121a b c ===-，，，，，（1）若向量 与向量 平行，求 的值； a b λ-c λ（2）若向量 与向量互相垂直，求 的值.b c μ+b c μ- μ（1）；（2）1或.54λ=1-【分析】(1)根据平面向量的坐标运算，结合平行向量的判定定理求解即可；(2)根据平面向量的坐标运算，结合向量垂直的判定定理求解即可.【详解】（1），()122a b λλλ-=--， 向量 与向量 平行， a b λ- c ()512225404λλλλ∴-+-=-=⇒=（2）因为 ，()()()212221b c μμμμμ+=+-=-+，，， ，()()()221221b c μμμμμ-=--=+-，，，因为 与 互相垂直，所以 ，b c μ+ b c μ- ()()b c b c μμ+⋅-= 即，()()()()411110μμμμ-+++-=，解得 或 .()()3110μμ∴-+=1μ=1-19．如图，在中，点D 是边上一点，ABC BC 14,6,10AB BD AD ===(1)求的大小；ADC ∠(2)若的面积为，求边的长．ABCAC (1)；3π(2)【分析】（1）运用余弦定理，结合诱导公式进行求解即可；（2）根据正弦定理、余弦定理、三角形面积公式进行求解即可.【详解】(1)，因为，14,6,10AB BD AD ===所以，222100361961cos 221062AD BD AB ADB AD BD ∠+-+-===-⋅⋅⨯⨯；1cos cos()cos 23ADC ADB ADB ADC π∠π∠∠∠=-=-=⇒=(2)由正弦定理可知：，10sin sin sin sin AD AB ABD ABD ADB ABD =⇒=∠=∠∠∠因为的面积为ABC 所以，于是，114142BC BC ⨯⋅=⇒=1468CD BC BD =-=-=由余弦定理可知：.AC ===20．如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x 轴、y 轴正Ox Oy 60︒12,e e 方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标12OP xe ye =+ (),x y OP 系中的坐标，记，已知在该坐标系下Oxy (),OP x y =(1,2),(2,3)a b ==-(1)计算的大小a b+ (2)求与的夹角大小a b + aθ(1)，a + (2) .60θ︒=【分析】题目给出的是非直角坐标系，与直角坐标系不同的是，当两向量垂直的时候，其数量积不为0；（1）将向量 用基底 表示，按照模的运算法则即可；a b +12,e e （2）求出向量 的模，用向量夹角公式计算即可.a【详解】(1)依题意，1212122233a b e e e e e e +=++-=- ，()()2222212121239231023cos 607a b a be e e e e e ︒+=+=-=+-⨯=-⨯⨯=；a + (2)，()22221212122447a e e e e ee =+=++= ，()2212123251cos 72a b a e e e e a b aθ+-+====+ ；60θ︒=综上，，.a + 60θ︒=21．如图，在中，已知，，，点D 是上一点，满ABC 1CA =2CB =60ACB ∠=︒AB 足，点E 是边上一点，满足AD AB λ= CB BE BC λ=(1)当时，求12λ=AE CD⋅(2)是否存在非零实数，使得？若存在，求出的值：若不存在，请说明理λAE CD ⊥λ由(1)14(2)存在非零实数，使得23λ=AE CD⊥【分析】（1）当时，、分别是，的中点，则、12λ=D E BC AB 12AE AC CB=+ ，然后根据已知条件即可求解；1()2CD CA CB =+AE CD ⋅ （2）假设存在非零实数，使得，利用、为基底分别表示出和λAE CD ⊥ CB CA CD，AE由求出值即可．0AE CD ⋅=λ【详解】(1)解：当时，，，12λ=12AD AB = 12BE BC = 、分别是，的中点，D ∴E BC AB ，，∴12AE AC CE AC CB =+=+ 1()2CD CA CB =+∴11()()22AE CD AC CB CA CB ⋅=+⋅+ 211112244AC CA AC CB CB CA CB=⋅+⋅+⋅+；221111112cos12021cos6022244=-⨯+⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒+⨯14=(2)解：假设存在非零实数，使得，λAE CD ⊥ 由，得，AD AB λ=()AD CB CA λ=- ；∴()(1)CD CA AD CA CB CA CB CA λλλ=+=+-=+-又，BE BC λ= ；∴()()(1)AE AB BE CB CA CB CB CA λλ=+=-+-=-- ∴222(1)(1)(1)AE CD CB CB CA CB CA CA λλλλλ⋅=--⋅+-⋅-- ，解得或（不合题意，舍去）24(1)(1)(1)λλλλλ=--+---2320λλ=-+=23λ=0λ=，所以存在非零实数，使得．23λ=AE CD ⊥22．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A ，B ，C 满足1233OC OA OB=+(1)求证：A ，B ，C 三点共线，并求和值．AC CB(2)已知，，，若函数(1,cos )A x (1cos ,cos )B x x +,03x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的最小值为，求实数m 的值()223f x OA OC m AB⎛⎫=⋅-+ ⎪⎝⎭3-(1)证明见解析，2AC CB→→=(2)52【分析】(1) 化简得，进而可得的值；2BC CA = AC CB（2）先求出，再换元利用二次函数的图像和性质求实数2()cos 2cos 1f x x m x =-+的值.m 【详解】(1)由题意知，，即，32OC OA OB =+2()OC OB OA OC -=- 所以，则，为公共点，所以A ，B ，C 三点共线，2BC CA = //BC CAC 则.2AC CB= (2)易知，，，(1,cos )OA x = (1cos ,cos )OB x x =+(cos ,0)AB x →=则，，2(1cos ,cos )3OC x x →=+cos AB x=所以，2()cos 2cos 1f x x m x =-+令，cos t x =则，，其对称轴方程是.()222()211g t t mt t m m =-+=-+-1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t m =当时，的最小值为，解得（舍）；12m <()g t 15324g m ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭174m =当时，的最小值为，解得（舍）；112m ≤≤()g t ()213g m m =-=-2m =±当时，的最小值为，解得.1m >()g t (1)1213g m =-+=-52m =综上可知，实数的值为.m 52。
高一数学第一次月考试题与答案
2017-2018学年度高一数学9月月考试卷本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时间120分钟。
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________分卷I一、选择题(共12小题,每小题5.0分,共60分)1.已知集合M ＝{x ∈N ＋|2x ≥x 2}，N ＝{－1,0,1,2}，则(∁R M )∩N 等于( ) A ． ∅ B ． {－1} C ． {1,2} D ． {－1,0}2.已知集合P ＝{4,5,6}，Q ＝{1,2,3}，定义P ⊕Q ＝{x |x ＝p －q ，p ∈P ，q ∈Q }，则集合P ⊕Q 的所有真子集的个数为( )A ． 32B ． 31C ． 30D ． 以上都不对3.定义A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若A ＝{1,2,4,6,8,10}，B ＝{1,4,8}，则A －B 等于( ) A ． {4,8} B ． {1,2,6,10} C ． {1} D ． {2,6,10}4.下列各组函数中，表示同一个函数的是( ) A ．y ＝x －1和y ＝B ．y ＝x 0和y ＝1C ．f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2 D ．f (x )＝和g (x )＝5.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图像是( )A ．B ．C ．D ．6.下列三个函数：①y ＝3－x ；②y ＝；③y ＝x 2＋2x －10.其中值域为R 的函数有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 7.一次函数g (x )满足g [g (x )]＝9x ＋8，则g (x )是( ) A ．g (x )＝9x ＋8 B ．g (x )＝3x ＋8C ．g (x )＝－3x －4D ．g (x )＝3x ＋2或g (x )＝－3x －4 8.下列函数中，在[1，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝(x －2)2 B ．y ＝|x －1| C ．y ＝D ．y ＝－(x ＋1)2 9.若非空数集A ＝{x |2a ＋ ≤x ≤3a －5}，B ＝{x |3≤x ≤ }，则能使A ⊆B 成立的所有a 的集合是( ) A ． {a | ≤a ≤9} B ． {a |6≤a ≤9} C ． {a |a ≤9} D ． ∅10.若函数f (x )＝ ，， ， ，φ(x )＝， ， ， ，则当x ＜0时，f (φ(x ))为( ) A ． －x B ． －x 2C ．XD ．x 2 11.若函数f (x )＝的最小值为f (0)，则实数m 的取值范围是( )A ． [－1,2]B ． [－1,0]C ． [1,2]D ． [0,2]12.已知函数f (x )＝4x 2－kx －8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k 的取值范围是( )A． [160，＋∞) B． (－∞，40]C． (－∞，4 ]∪[ 6 ，＋∞) D． (－∞， ]∪[8 ，＋∞)分卷II二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分)13.已知M＝{2，a，b}，N＝{2a,2，b2}，且M＝N，则有序实数对(a，b)的值为________．14.已知函数y＝f(x2－1)的定义域为{x|－2＜x＜3}，则函数y＝f(3x－1)的定义域为____________．15.设函数f(x)＝， ，， ，若f(f(a))＝2，则a＝_________.16.已知函数y＝f(x)的定义域为{1,2,3}，值域为{1,2,3}的子集，且满足f[f(x)]＝f(x)，则这样的函数有________个．三、解答题(共6小题,,共70分)17.（10分）用单调性的定义证明函数f(x)＝2x2＋4x在[－1，＋∞)上是增函数．18（12分）.根据下列函数解析式求f(x)．(1)已知f(x＋1)＝2x2＋5x＋2；(2)已知f＝x3＋3－1；(3)已知af(x)＋f(－x)＝bx，其中a≠± 19（12分）.已知集合A＝{x| ≤x<7}，B＝{x|3<x<10}，C＝{x|x<a}．(1)求A∪B，(∁R A)∩B；(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围．20（12分）.经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数，且销售量近似满足g(t)＝80－2t，价格近似满足f(t)＝20－|t－10|.(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t( ≤t≤ )的函数表达式；(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．21（12分）.已知函数f(x)＝(x－a)2－(a2＋1)在区间[0,2]上的最大值为g(a)，最小值为h(a)(a∈R)．(1)求g(a)和h(a)；(2)作出g (a )和h (a )的图像，并分别指出g (a )的最小值和h (a )的最大值各为多少？22（12分）.已知函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，当x >1时，f (x )>0，且f (x ·y )＝f (x )＋f (y )． (1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )在定义域上是增函数；(3)如果f (3)＝－1，求满足不等式f (x )－f (x － )≥ 的x 的取值范围．2017-2018学年度高一数学9月月考试卷答案解析1.【答案】D【解析】因为M ＝{1,2}，所以(∁R M )∩N ＝{－1,0}，故正确答案为D. 2.【答案】B【解析】由所定义的运算可知P ⊕Q ＝{1,2,3,4,5}， ∴P ⊕Q 的所有真子集的个数为25－1＝31.故选B. 3.【答案】D【解析】A －B 是由所有属于A 但不属于B 的元素组成，所以A －B ＝{2,6,10}．故选D. 4.【答案】D【解析】A 中的函数定义域不同；B 中y ＝x 0的x 不能取0；C 中两函数的对应关系不同，故选D. 5.【答案】C【解析】考查四个选项，横坐标表示时间，纵坐标表示的是离开学校的距离，由此知，此函数图像一定是下降的，由此排除A ；再由小明骑车上学，开始时匀速行驶，可得出图像开始一段是直线下降型，又途中因交通堵塞停留了一段时间，故此时有一段函数图像与x轴平行，由此排除D，后为了赶时间加快速度行驶，此一段时间段内函数图像下降的比较快，由此可确定C正确，B不正确．故选C.6.【答案】B【解析】7.【答案】D【解析】∵g(x)为一次函数，∴设g(x)＝kx＋b，∴g[g(x)]＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kx＋b，又∵g[g(x)]＝9x＋8，∴9，8，解得3，或3，4，∴g(x)＝3x＋2或g(x)＝－3x－4.故选D.8.【答案】B【解析】y＝(x－2)2在[2，＋∞)上为增函数，在(－∞，2]为减函数；y＝|x－1|＝ ， ，，在[1，＋∞)上为增函数，故选B.9.【答案】B 10.【答案】B【解析】x＜0时，φ(x)＝－x2＜0，∴f(φ(x))＝－x2.11.【答案】D【解析】当x≤ 时，f(x)＝(x－m)2，f(x)min＝f(0)＝m2，所以对称轴x＝m≥ .当x>0时，f(x)＝x＋＋m≥ ＋m＝2＋m，当且仅当x＝，即x＝1时取等号，所以f(x)min＝2＋m.因为f(x)的最小值为m2，所以m2≤ ＋m，所以 ≤m≤ .12.【答案】C【解析】由于二次函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，因此函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5,20)上是单调函数．二次函数f(x)＝4x2－kx－8图像的对称轴方程为x＝8，因此8≤5或8≥ ，所以k≤4 或k≥ 6 .13.【答案】(0,1)或(4，)【解析】∵M＝{2，a，b}，N＝{2a,2，b2}，且M＝N，∴或即或或4当a＝0，b＝0时，集合M＝{2,0,0}不成立，∴有序实数对(a，b)的值为(0,1)或(4，)，故答案为(0,1)或(4，)．14.【答案】{x| ≤x＜3}【解析】∵函数y＝f(x2－1)的定义域为{x|－2＜x＜3}，∴－2<x<3.令g(x)＝x2－1，则－ ≤g(x)<8，故－ ≤3x－1＜8，即 ≤x＜3，∴函数y＝f(3x－1)的定义域为{x| ≤x＜3}．15.【答案】【解析】若a≤ ，则f(a)＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1>0，所以－(a2＋2a＋2)2＝2，无解；若a>0，则f(a)＝－a2<0，所以(－a2)2＋2(－a2)＋2＝2，解得a＝.故a＝.16.【答案】10【解析】∵f[f(x)]＝f(x)，∴f(x)＝x，①若f：{ , ,3}→{ , ,3}，可以有f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝3，此时只有1个函数；②若f：{ , ,3}→{ }，此时满足f(1)＝1；同理有f：{ , ,3}→{ }；f：{ , ,3}→{3}，共有3类不同的映射，因此有3个函数；③首先任选两个元素作为值域，则有3种情况．例如选出1,2，且对应关系f：{ , ,3}→{ , }，此时满足f(1)＝1，f(2)＝2.则3可以对应1或2，又有2种情况，所以共有3× ＝6个函数．综上所述，一共有1＋3＋6＝10个函数．17.【答案】设x1，x2是区间[－1，＋∞)上的任意两个实数，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝(2＋4x1)－(2＋4x2)＝2(－)＋4(x1－x2)＝2(x1－x2)(x1＋x2＋2)．∵－ ≤x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1＋x2＋2＞0，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在[－1，＋∞)上是增函数．18.【答案】(1)方法一(换元法)设x＋1＝t，则x＝t－1，∴f(t)＝2(t－1)2＋5(t－1)＋2＝2t2＋t－1，∴f(x)＝2x2＋x－1.方法二(整体代入法)∵f(x＋1)＝2x2＋5x＋2＝2(x＋1)2＋(x＋1)－1，∴f(x)＝2x2＋x－1.(2)(整体代入法)∵f＝x3＋3－1＝3－3x2·－3x·－1＝3－3－1，∴f(x)＝x3－3x－1(x≥ 或x≤－2)．(3)在原式中以－x替换x，得af(－x)＋f(x)＝－bx，于是得＋ － ＝ ，－ ＋ ＝－消去f(－x)，得f(x)＝.故f(x)的解析式为f(x)＝x(a≠± )．19.【答案】(1)因为A＝{x| ≤x<7}，B＝{x|3<x<10}，所以A∪B＝{x| ≤x<10}．因为A＝{x| ≤x<7}，所以∁R A＝{x|x<2或x≥7}，则(∁R A)∩B＝{x|7≤x<10}．(2)因为A＝{x| ≤x<7}，C＝{x|x<a}，且A∩C≠∅，所以a>2.20.【答案】(1)y＝g(t)·f(t)＝(80－2t)·( －|t－10|)＝(40－t)(40－|t－10|)＝3 4 ， ，4 5 ，(2)当 ≤t＜10时，y的取值范围是[1 200,1 225]，在t＝5时，y取得最大值1 225；当 ≤t≤ 时，y的取值范围是[600,1 200]，在t＝20时，y取得最小值600.综上，第5天，日销售额y取得最大值1 225元；第20天，日销售额y取得最小值600元．21.【答案】( )∵f(x)＝(x－a)2－(a2＋1)，又x∈[ , ]，∴当a≤ 时，g(a)＝f(2)＝3－4a，h(a)＝f(0)＝－1；当0<a≤ 时，g(a)＝f(2)＝3－4a，h(a)＝f(a)＝－(a2＋1)；当1<a<2时，g(a)＝f(0)＝－1，h(a)＝f(a)＝－(a2＋1)；当a≥ 时，g(a)＝f(0)＝－1，h(a)＝f(2)＝3－4a.综上可知g(a)＝3 4h(a)＝3 4(2)g(a)和h(a)的图像分别为：由图像可知，函数y＝g(a)的最小值为－1，函数y＝h(a)的最大值为－1.【解析】22.【答案】(1)解令x＝y＝1，得f(1)＝2f(1)，故f(1)＝0.(2)证明令y＝，得f(1)＝f(x)＋f()＝0，故f()＝－f(x)．任取x1，x2∈( ，＋∞)，且x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f()＝f().由于>1，故f()>0，从而f(x2)>f(x1)．∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(3)解由于f(3)＝－1，而f(3)＝－f(3)，故f(3)＝1.在f(x·y)＝f(x)＋f(y)中，令x＝y＝3，得f(9)＝f(3)＋f(3)＝2.故所给不等式可化为f(x)－f(x－ )≥f(9)，∴f(x)≥f[9(x－2)]，∴x≤94.又∴ <x≤94，∴x的取值范围是94.【解析】。
江苏省平潮高级中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题
江苏省平潮高级中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题一、单选题1．sin15cos75cos15sin 75+o o o o 等于（ ）．A ．0B ．12CD ．12．设平面向量()1,2a =r ，()2,b y =-r ，若a b r r∥，则3a b +r r 等于（ ）ABC D 3．已知cos 3sin 0αα+=，则tan2α=（ ）A ．34B ．34-C ．35-D ．38-4．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则DF =u u u vA ．1324AB AD -+u u uv u u u vB ．1223AB AD +u u uv u u u vC ．1132AB AD -u u u v u u u v D ．1324AB AD -u u u v u u u v 5．已知(,)22ππα∈-，且212sin 5cos 9αα-=，则cos2=α（ ） A ．13B ．79-C ．34-D ．186．已知平面向量,a b r r 满足|||1,(2)a b a a b ==⊥+r r r r r ，则向量,a b r r的夹角为（ ）A ．3π B ．4π C ．23π D ．34π7．已知()ππ,,,tan 3,cos 22αβααβ⎛⎫∈-=+= ⎪⎝⎭()tan αβ-=（ ）A ．52-B ．12C ．2D ．1128．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，下图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆DABE V ，BEC V ，ECD V 均是边长为4的等边三角形，设点P 为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，AC BP ⋅u u u r u u u r的最大值为（ ）A ．24 B．24+C．30+ D ．48二、多选题9．下列各式中值为12的是（ ）A ．2sin 75cos75︒︒B ．23tan151tan 15-︒︒C ．cos20cos40sin200sin140︒︒+︒︒D ．tan 20tan 25tan 20tan 25︒+︒+︒︒10．已知向量()2,1a =r ，()3,1b =-r ，e r是与b r 同向的单位向量，则下列结论正确的是（ ）A ．()a b a +r r r∥B．若c =⎝⎭r ，则a c ⊥r rC ．a r 与a b -r rD ．向量a r 在向量b r 上的投影向量为12e -r 11．定义：a r ，b r 两个向量的叉乘a b ⨯r r的模sin ,a b a b a b ⨯=⋅⋅r r r r r r ，则下列命题正确的是（ ） A ．若平行四边形ABCD 的面积为4，则4AB AD ⨯=u u u r u u u rB ．在正ABC V 中，若()AD AB AC AB AC =⨯+u u u r u u u r u u u uu u u r r u ur ，则33AD BC=u u u r u u ur C．若a b ⨯=r r ，1a b ⋅=r r，则2a b +r r的最小值为D ．若1a b ⨯=r r ，2b c ⨯=r r ，且b r为单位向量，则a c ⨯r r的值可能为2+三、填空题12．sin 48cos18sin 30sin18︒-︒︒=︒.13．如图，已知菱形ABCD 的边长为1，60DAB ∠︒＝，,2DE EC DF FB ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，则AE AF ⋅=u u u r u u u r．14．已知ABC V 中，AB 边上的中线2CM =，若动点P 满足()221sin cos 2AP AB AC R θθθ=⋅+⋅∈u u u r u u u r u u u r ，则()PA PB PC +⋅u u u r u u u r u u u r 的最小值是．四、解答题15．已知(1,3),(3,),(1,),//AB BC m CD n AD BC =-==u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r． （1）求实数n 的值；（2）若AC BD ⊥u u u r u u u r，求实数m 的值．16．已知π0π2αβ<<<<，tan 24πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，sin β=.（1）求sin 3cos 2sin cos αααα+-的值；（2）求()sin 2αβ+的值.17．如图，有一壁画，最高点A 处离地面6米，最低点B 处离地面3米．若从离地高2米的C 处观赏它，视角为θ.（1）若3tan 4θ=时，求C 点到墙壁的距离． （2）当C 点离墙壁多远时，视角θ最大？18．已知向量()2cos ,sin a x x θ=r，()2sin ,cos b x x θ=-r .(1)若a b r r∥，求()cos x θ+；(2)若4πθ=，函数()[]()0,f x a b x π=⋅∈r r，求()f x 的值域.19．如图，在ABC V 中，已知1CA =，2CB =，60ACB ∠=︒，点D 是AB 上一点，满足AD AB λ=uuu r uu u r，点E 是边CB 上一点，满足BE BC λ=u u u r u u u r(1)当12λ=时，求AE CD ⋅u u u r u u u r (2)是否存在非零实数λ，使得AE CD ⊥u u u r u u u r？若存在，求出λ的值：若不存在，请说明理由。
2021-2022学年高一下学期第一次月考数学试题含答案 (2)
（2）问从种植起，第几年树木生长最快？
22.对于定义在D上的函数f(x)，如果存在实数x0，使得f(x0)＝x0，那么称x0是函数f(x)的一个不动点.已知f(x)＝ax2＋1.
（1）当a＝－2时，求f(x)的不动点；
（2）若函数f(x)有两个不动点x1，x2，且x1＜2＜x2.
【答案】（1） ；（2） ．
19.已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 的定义域，并判断函数 的奇偶性；
（Ⅱ）求解关于 的不等式 ．
【19题答案】
【答案】（Ⅰ）定义域为 ，函数 既不是奇函数，也不是偶函数；（Ⅱ） .
20.已知函数 .
（1）求函数 的最小正周期；
（2）求函数 在区间 上 单调递增区间.
【20题答案】
A. B.
C. D.
【5题答案】
【答案】D
6. “ ”是“ ”成立的（）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【6题答案】
【答案】B
7.函数 的部分图象如图所示.将 图象上所有的点向右平移 个单位长度，所得图象的函数解析式是（）
A. B.
C. D.
【7题答案】
① 在区间 上是单调的；
②当定义域是 时， 的值域也是 ，则称 是函数 的一个“黄金区间”.
如果 可是函数 的一个“黄金区间“，则 的最大值为（）
A. B.1C. D.2
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9.若 为第二象限角，则下列结论正确的是（）
A B. C. D.
【9题答案】
高一数学第一次月考试题(含解析)
所以CC1⊥BC．
因为AC=BC=2， ，
所以由勾股定理的逆定理知BC⊥AC．
又因为AC∩CC1=C，
所以BC⊥平面ACC1A1．
因为AM 平面ACC1A1，
所以BC⊥AM．
(Ⅱ）过N作NP∥BB1交AB1于P，连结MP，则NP∥CC1．
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
【答案】A
【解析】
试题分析：先利用正弦定理化简 得 ，再由 可得 ，然后利用余弦定理表示出 ，把表示出的关系式分别代入即可求出 的值，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的值．
由 及正弦定理可得 ，
故选A．
考点：正弦、余弦定理
4.如图， 是水平放置的 的直观图，则 的面积为
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.在 中，角 的对边分别为 ，若 ，则角 的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据余弦定理得到 由特殊角的三角函数值得到角B.
【详解】根据余弦定理得到 进而得到角B= .
故答案为： .
【点睛】在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
A. 6B.
C. D. 12
【答案】D
【解析】
△OAB是直角三角形，OA＝6，OB＝4，∠AOB＝90°，∴S△OAB＝ ×6×4＝12.
江苏省南京市高一上学期第一次月考数学试卷
高一第一学期第一次月考试卷一．客观题（1~8为单选题，9~10为多选题，每题5分）1．若x，y为实数，且x+2y＝6，则3x+9y的最小值为（ ）A．18B．27C．54D．902．已知关于x的不等式x2﹣4ax+3a2＜0，（a＜0）的解集为{x|x1＜x＜x2}，则的最大值是（ ）A．B．C．D．3．已知二次函数f（x）＝ax2+2x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则的最小值为（ ）A．﹣4B．4C．8D．﹣84．已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣2，4），则不等式cx2﹣bx+a＜0的解集是（ ）A．{x|x＜﹣或x＞}B．{x|﹣＜x＜}C．{x|x＜﹣或x＞}D．{x|﹣＜x＜}5．若实数a，b满足，则的最小值为（ ）A．6B．4C．3D．26．已知a＝，b＝﹣，c＝﹣，则a，b，c的大小关系为（ ）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a7．若关于x的不等式x2﹣（m+3）x+3m＜0的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（ ）A．（6，7]B．[﹣1，0）C．[﹣1，0）∪（6，7]D．[﹣1，7] 8．已知正实数a，b满足ab+2a﹣2＝0，则4a+b的最小值是（ ）A．2B．C．D．69．下列条件中，为“关于x的不等式mx2﹣mx+1＞0对∀x∈R恒成立”的充分不必要条件的有（ ）A．0≤m＜4B．0＜m＜2C．1＜m＜4D．﹣1＜m＜6 10．设a＞0，b＞0，则（ ）A．B．a2+b2≥2（a+b+1）C．D．三．填空题（共4小题，每题5分）11．函数的定义域是 12．已知命题“∀x∈R，”是假命题，则实数a的取值范围为 13．已知a，b为正实数，且a+b＝1，则的最小值为 ．14．已知二次函数y＝x2+2ax+2，a∈R．若1≤x≤5时，不等式y＞3ax恒成立，求a的取值范围 ．四．解答题（共2小题，每题15分）15．经观测，某公路段在某时段内的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千/小时）之间有函数关系：．（1）在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？（精确到0.01千辆）；（2）为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？16．已知二次函数f（x）＝x2+2ax+2．（1）若1≤x≤5时，不等式f（x）＞3ax恒成立，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式（a+1）x2+x＞f（x）（其中a∈R）．参考答案与试题解析一．客观题（1~8为单选题，9~10为多选题，每题5分）1．若x，y为实数，且x+2y＝6，则3x+9y的最小值为（ ）A．18B．27C．54D．90【解答】解：∵x+2y＝6，∴3x+9y＝3x+32y≥2＝2＝54，当且仅当3x＝32y即x＝3，y＝时等号成立，∴3x+9y的最小值为54，故选：C．2．已知关于x的不等式x2﹣4ax+3a2＜0，（a＜0）的解集为{x|x1＜x＜x2}，则的最大值是（ ）A．B．C．D．【解答】解：由于a＜0，由x2﹣4ax+3a2＜0得，3a＜x＜a，故x1+x2＝4a，x1x2＝3a2，则＝4a+＝4a+＝﹣（﹣4a+）＝﹣，当且仅当﹣4a＝﹣，即a＝﹣时取等号，此时式子取得最大值﹣．故选：C．3．已知二次函数f（x）＝ax2+2x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则的最小值为（ ）A．﹣4B．4C．8D．﹣8【解答】解：根据题意，二次函数f（x）＝ax2+2x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），必有，变形可得a＝＞0，则＝a+≥2＝4，当且仅当a＝2时等号成立，则的最小值为4；故选：B．4．已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣2，4），则不等式cx2﹣bx+a＜0的解集是（ ）A．{x|x＜﹣或x＞}B．{x|﹣＜x＜}C．{x|x＜﹣或x＞}D．{x|﹣＜x＜}【解答】解：由题意得，所以b＝﹣2a＞0，c＝﹣8a＞0，所以不等式cx2﹣bx+a＝﹣8ax2+2ax+a＜0，即8x2﹣2x﹣1＜0，解得﹣＜x＜．故选：B．5．若实数a，b满足，则的最小值为（ ）A．6B．4C．3D．2【解答】解：∵，∴2a﹣1＞0，b﹣1＞0，∴（2a﹣1）+（b﹣1）＝1，∴＝++2＝（+）[（2a﹣1）+（b﹣1）]+2＝++4≥2+4＝6，当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立，∴的最小值为6，故选：A．6．已知a＝，b＝﹣，c＝﹣，则a，b，c的大小关系为（ ）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：a＝﹣，b＝﹣，c＝﹣，∵2＞＞，∴a＞b＞c．故选：A．7．若关于x的不等式x2﹣（m+3）x+3m＜0的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（ ）A．（6，7]B．[﹣1，0）C．[﹣1，0）∪（6，7]D．[﹣1，7]【解答】解：不等式x2﹣（m+3）x+3m＜0可化为（x﹣3）（x﹣m）＜0，当m＞3时，不等式的解集为（3，m），要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，所以6＜m≤7；当m＝3时，不等式的解集为∅，此时不符合题意；当m＜3时，不等式的解集为（m，3），要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，所以﹣1≤m＜0；综上知，m的取值范围是{m|﹣1≤m＜0或6＜m≤7}，即为[﹣1，0）∪（6，7]．故选：C．8．已知正实数a，b满足ab+2a﹣2＝0，则4a+b的最小值是（ ）A．2B．C．D．6【解答】解：因为正实数a，b满足ab+2a﹣2＝0，所以ab＝2﹣2a，所以b＝﹣2，所以4a+b＝4a+﹣2≥2﹣2＝4﹣2，当且仅当4a＝，即a＝时取“＝”，所以4a+b的最小值是4﹣2．故选：B．9．下列条件中，为“关于x的不等式mx2﹣mx+1＞0对∀x∈R恒成立”的充分不必要条件的有（ ）A．0≤m＜4B．0＜m＜2C．1＜m＜4D．﹣1＜m＜6【解答】解：∵关于x的不等式mx2﹣mx+1＞0对∀x∈R恒成立，当m＝0时，原不等式即为1＞0恒成立；当m＞0时，不等式mx2﹣mx+1＞0对x∈R恒成立，可得Δ＜0，即m2﹣4m＜0，解得0＜m＜4；当m＜0时，y＝mx2+mx﹣1的图象开口向下，原不等式不恒成立，综上可得m的取值范围是[0，4），∴“关于x的不等式mx2﹣mx+1＞0对∀x∈R恒成立”的充分不必要条件的有0＜m＜2，1＜m＜4，故选：BC．10．设a＞0，b＞0，则（ ）A．B．a2+b2≥2（a+b+1）C．D．【解答】解：a＞0，b＞0，（a+2b）（）＝5+≥5+4＝9，当且仅当时取等号，A成立；a2﹣2a+b2﹣2b﹣2＝（a﹣1）2+（b﹣1）2﹣4≥0不一定成立，B不成立；＝2a+2b，当且仅当且即a＝b时取等号，∴成立，C成立；∵＝＝≥0一定成立，当a＝b 时取等号，故，即D成立．故选：ACD．三．填空题（共4小题,每题5分）11．函数的定义域是 （1，2） 【解答】解：由函数，可得x﹣1＞0，且2﹣x＞0，解得1＜x＜2，即函数的定义域为（1，2）．故答案为：（1，2）．12．已知命题“∀x∈R，”是假命题，则实数a的取值范围为______【解答】解：根据题意，命题∀x∈R，4x2+（a﹣2）x+＞0是假命题，则有Δ＝（a﹣2）2﹣4×4×＝（a﹣2）2﹣4≥0，解可得：（﹣∞，0]∪[4，+∞），即a的取值范围为（﹣∞，0]∪[4，+∞）．13．已知a，b为正实数，且a+b＝1，则的最小值为 3 ．【解答】解：a，b为正实数，且a+b＝1，则＝+＝+﹣1，（+）（a+b）＝2++≥2+2＝2+2＝4．当且仅当a＝b＝时，取得最小值4．∴+﹣1≥4﹣1＝3，故答案为：3．14．已知二次函数y＝x2+2ax+2，a∈R．若1≤x≤5时，不等式y＞3ax恒成立，求a的取值范围______．【解答】解：\等式f（x）＞3ax即为：x2﹣ax+2＞0，当x∈[1，5]时，可变形为：a＜＝x+，即a＜（x+）min，又x+≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝∈[1，5]时，等号成立，∴（x+）min＝2，即a＜2，∴实数a的取值范围是：{a|a＜2}；四．解答题（共2小题，每题15分）15．经观测，某公路段在某时段内的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千/小时）之间有函数关系：．（1）在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？（精确到0.01千辆）；（2）为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？【解答】解：（1）函数可化为当且仅当v＝40时，取“＝”，即千辆，等式成立；（2）要使该时段内车流量至少为10千辆/小时，即使，即v2﹣89v+1600≤0⇒v∈[25，64]16．已知二次函数f（x）＝x2+2ax+2．（1）若1≤x≤5时，不等式f（x）＞3ax恒成立，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式（a+1）x2+x＞f（x）（其中a∈R）．【解答】解：（1）不等式f（x）＞3ax即为：x2+2ax+2＞3ax，当x∈[1，5]时，不等式可变形为a＜＝x+，因为x+≥2＝2，当x＝时取等号，且∈[1，5]，所以（x+）min＝2，所以a＜2，即实数a的取值范围是（﹣∞，2）；（2）不等式（a+1）x2+x＞f（x），即（a+1）x2+x＞x2+2ax+2，等价于（a+1）x2+x﹣2ax﹣x2﹣2＞0，即ax2+（1﹣2a）x﹣2＞0，转化为（x﹣2）（ax+1）＞0；①当a＝0时，不等式为x﹣2＞0，解得x＞2；②当a＞0时，因为﹣＜0＜2，所以不等式（x﹣2）（ax+1）＞0 的解集为{x|x＜﹣或x＞2}；③当−＜a＜0时，因为﹣＞2，所以不等式（x﹣2）（ax+1）＞0 的解集为{x|2＜x＜﹣}；④当a＝﹣时，因为﹣＝2，所以不等式（x﹣2）（ax+1）＞0 的解集为∅；⑤当a＜﹣时，因为﹣＜2，所以不等式（x﹣2）（ax+1）＞0 的解集为{x|﹣＜x＜2}；综上知，当a＝0时，不等式的解集为（2，+∞）；当a＞0时，不等式的解集为（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）；当−＜a＜0时，不等式的解集为（2，﹣）；当a＝﹣时，不等式的解集为∅；当a＜﹣时，不等式的解集为（﹣，2）．。
江苏省南京市第九中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷
江苏省南京市第九中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷一、单选题1．若不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为（ ） A ．()3,0-B ．[)3,0-C ．(]3,0-D ．[]3,0- 2．已知集合{N 4x M x =∈且}N 6x *∈，集合Z 24x N x ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．M N ∈ B ．Z 12x M N x ⎧⎫⋃=∈⎨⎬⎩⎭C ．M N =D ．N 24x M N x *⎧⎫⋂=∈⎨⎬⎩⎭3．已知a b c >>，且0a b c ++=，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．22ab bc >B ．22ab b c >C ．()()0ab ac b c -->D ．()()0ac bc a c --> 4．已知正实数,a b 满足21a b +=.则25a b a ab ++的最小值为（ ） A ．3 B ．9 C ．4 D ．8二、多选题5．下列四个命题中正确的是（ ）A 20y +=的解集为{}2,2-B ．由(),R aba b a b +∈所确定的实数集合为{}2,0,2-C ．集合(){},3216,N,N x y x y x y +=∈∈可以化简为()()(){}0,8,2,5,4,2D ．6N,Z 3A a a a ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭中含有三个元素 6．已知实数,R a b +∈，且21a b +=，则下列结论正确的是（ ）A ．ab 的最大值为18B ．22a b +的最小值为25C ．11a b+的最小值为6 D ．1021b a -<<- 7．下列四个命题是真命题的是（ ） A ．若函数()f x 的定义域为[]22-,，则函数()1f x +的定义域为[]3,1-B ．函数y x =7,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．若函数24y x mx =++的两个零点都在区间为()1,+∞内，则实数m 的取值范围为()5,4--D ．已知()()222f x x m x =-++在区间[]1,3上是单调函数，则实数m 的取值范围是][(),04,∞∞-⋃+8．已知集合{|13}A x x =-<<，集合{|1}B x x m =<+，则A B =∅I 的一个充分不必要条件是（ ）A ．2m ≤-B ．2m <-C ．2m <D ．43m -<<- 9．若0a b <<，且0a b +>，则（ ）A ．1a b >-B ．110a b +>C ．a b <D ．()()110a b --<三、填空题10．定义在R 上的函数()f x 满足11222f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1133784848f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 11．若命题“[]1,2x ∃∈-，使得250x mx m +--≥”是假命题，则m 的取值范围是． 12．已知关于x 的不等式0ax b +>的解集为()3,-+∞，则关于x 的不等式20ax bx +<的解集为.13．在ΔABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若B C ∠=∠且2227a b c ++=则ΔABC 面积的最大值为．四、解答题14．命题p ：实数x 满足22430x ax a -+<（其中0a >）,命题q ：实数x 满足12302x x x ⎧-≤⎪⎨+≥⎪-⎩. (1)若1a =,且命题p q 、均为真命题,求实数x 的取值范围；(2)若q 是p 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围. 15．已知函数()21x b f x x +=-是定义域()1,1-上的奇函数. （1）确定()f x 的解析式；（2）用定义证明：()f x 在区间()1,1-上是减函数； （3）解不等式()()10f t f t -+<.16．已知函数()23f x x ax =++，R a ∈(1)若函数()1y f x =的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若当[]2,2x ∈-时，函数y =a 的取值范围. (3)若函数()()()2g x f x a x a =--+，函数()y g g x =⎡⎤⎣⎦的最小值是5，求实数a 的值. 17．若,(0,)x y ∈+∞，230x y xy ++=.（1）求xy 的取值范围；（2）求x y +的取值范围.18．已知关于x 的函数212y x x =-和22416y x =-.(1)若12y y ≥，求x 的取值范围；(2)若关于x 的不等式()21222y t x t y ≥--≥（其中02t <≤）的解集[],D mn =，求证：n m -。
高中数学练习题 2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区高一(下)第一次月考数学试卷(3月份)
（VIP&校本题库）2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区金陵中学高一（下）第一次月考数学试卷（3月份）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限1．（5分）如果α是第二象限的角，那么α3必然不是下列哪个象限的角（ ）A ．22B ．-22C ．1D ．-22或222．（5分）角α的终边上有一点（m ,m ）（m ≠0），则sinα=（ ）√√√√A ．0B ．1C ．2D ．-23．（5分）若π2<α<π，则-cosα|cosα|+1−cos 2αsinα的值为（）√A ．0B ．πC ．-πD ．-2π4．（5分）已知函数f （x ）=|sinx |，x ∈[-2π，2π]，则方程f （x ）=12的所有根的和等于（ ）A ．y =-sin |x |B ．y =cos |x |C ．y =sin （2x +π2）D ．y =cos （2x +π2）5．（5分）下列函数中，周期为π，且在[π4，π2]上为减函数的是（ ）A ．[1，4]B ．[14，1]C ．[2，4]D ．[14，4]6．（5分）若sinθ=1-log 2x ,则x 的取值范围是（ ）A ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平行移动π8个单位长度7．（5分）要得到函数y =2cosx 的图象，需将函数y =2sin （2x +π4）的图象上所有的点的变化正确的是（ ）√√二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）B．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向右平行移动π4个单位长度C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动π4个单位长度D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动π8个单位长度A．1B．2C．3D．48．（5分）已知f（x）=a•sin3x+b3x•cos3x+4（ab≠0且a、b为实常数），若f（sin10°）=5，则f（cos100°）的值为（）A．图象关于点（π3，0）成中心对称B．图象关于直线x=π6成轴对称C．在区间（-π6，5π6）上单调递增D．在区间（-5π6，π6）上单调递增9．（5分）下列关于函数y=tan（x+π3）的说法正确的是（）A．B．C．D．10．（5分）已知a是实数，则函数f（x）=1+asinax的图象不可能是（）A．π6B．π3C．2π3D．5π6 11．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，0<φ<π）的图象关于直线x=π3对称，且f(7π12)=0，则ω取最小时，φ的值为（）A．（-∞，-32]B．[32，+∞）C．（-∞，-2]∪[32，+∞）D．（-∞，32]∪[2，+∞）12．（5分）函数f（x）=2sinωx在x∈[−π3，π4]上最小值为-2，则ω的取值范围为（）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）13．（5分）已知扇形的圆心角为π3，半径为2，则该扇形的面积为．14．（5分）已知α∈（0，π），sinα+cosα=15，则tanα=．15．（5分）若不等式-cos 2x +4cosx +a ≥0对一切实数x 均成立，则实数a 的取值范围是．16．（5分）对于函数f （x ）=V W X sinx ,sinx ≤cosxcosx ,sinx >cosx 给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x =π+2kπ（k ∈Z ）时，该函数取得最小值-1；③该函数的图象关于x =5π4+2kπ（k ∈Z ）对称；④当且仅当2kπ<x <π2+2kπ（k ∈Z ）时，0<f （x ）≤22其中正确命题的序号是．（请将所有正确命题的序号都填上）√17．（10分）已知sinα-2cosα=0．（1）求sinα+2cosα5cosα−sinα的值；（2）求sinαcosα-1的值．18．（12分）已知f （θ）=sin (θ+52π)cos (32π−θ)cos (θ+3π)cos (−π2−θ)sin (−32π−θ)．（1）化简f （θ）；（2）若sin （θ-π6）=35，求f （θ+π3）的值．19．（12分）已知函数f （x ）=x 2+2xtanθ-1，其中θ≠π2+kπ，k ∈Z ．（1）当θ=−π6，x ∈[−1，3]时，求函数f （x ）的最大值与最小值；（2）函数g (x )=f (x )x为奇函数，求θ的值；（3）求θ的取值范围，使y =f （x ）在区间[−1，3]上是单调函数．√√20．（12分）已知函数f （x ）=Asin （ωx +φ），x ∈R （其中A >0，ω>0，0<φ<π2）的图像如图所示，将函数f （x ）的图像向右平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g （x ）的图像．（1）求函数g （x ）的递减区间和对称中心；（2）求g （x ）在区间[0，π2]上的值域．21．（12分）已知函数f（x）=sin（2ωx+φ）（其中ω>0，|φ|<π2）的最小正周期为π，它的一个对称中心为（π6，0）．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）当x∈[0，2π3]时，方程f（x）=2a-3有两个不等的实根，求实数a的取值范围；（3）若方程f（x）=13在（0，π）上的解为x1，x2，求cos（x1-x2）．22．（12分）已知指数函数y=g（x）满足：g（3）=27，定义域为R的函数f（x）=n−g(x)m+3g(x)是奇函数．（Ⅰ）确定y=g（x），y=f（x）的解析式；（Ⅱ）若h（x）=kx-g（x）在（0，1）上有零点，求k的取值范围；（Ⅲ）若对任意的t∈（1，4），不等式f（2t-3）+f（t-k）>0恒成立，求实数k的取值范围．。
江苏省常熟中学2020-2021学年高一第一学期第一次月考数学试卷
江苏省常熟中学2020~ 2021学年度第一学期第一次月考试卷高一数学一.单项选择题:共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U={-1, 0, 1, 2, 3}, B= {x ∈N |x 2<4},则()U A B ⋃=() A. {-1}B.{0, 1}C.{-1, 2, 3}D. {-1, 0, 1, 3} 2.设集合2{|40},{|20}A x x B x x a =-≤=+≤,且A ∩B= {x|-2≤x ≤1},则a=() A.-4B.-2C.2D.4 3.命题”21,1x x ∀≥≥”的否定形式是()2.1,1A x x ∀≥< 2.1,1B x x ∃≥< 2.1,1C x x ∀<< 2.1,1D x x ∃≥<4.设x ∈R ,则“0<x<5”是“0<x<1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知实数a, b, c 满足0<a<b, 0<c<1,, 则下列选项一定成立的是()A.a+c>b+cB. ac> bcC.ac<bD. bc< a6.设全集U=R , A={x|x ≤1}, B={x|-1<x< 2},则图中阴影部分对应的集合为().{|12}A x x << .{|12B x x ≤<C. {x|x>1} .{1}D x ≥ 7.已知a<0,关于x 的一元二次不等式2(2)20ax a x -++>的解集为()2.|{A x x a <或1}x > 2.{|1}B x x a << 2.{|C x x a >或x<1} 2.|1}{D x x a<< 8.设全集U=R ,集合A={x|x ≤1或x ≥3},集合(1){|0,},x k B x k x k-+=<∈-R 且(),U B A ⋂≠∅则( ) A.15 B.12 C.16D.25 二.多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.若x<-1<y<0,则下列不等式确的是()A.x< -yB.|y|<-x 22.C x y < 11.D x y > 10. 若不等式2230x x --<的解集为A,不等式260x x +-<的解集为B,不等式220x x a a ++-<的解集为C.命题:p x A ∈“且x ∈B ”,命题:,q x C ∈“”若p 是q 的充分不必要条件,则实数a 的可能值()A.-1B.0C.2D.311.若a, b ∈R ,且ab> 0,则下列不等式中,恒成立的是().A a b +≥22.2B a b ab +≥ .2b a Ca b +≥11.D a b +> 12. 关于x 的不式230,ax bx ++>则关于此不等式的解集的结论正确的是()A.不等式230ax bx ++>的解集可以是{x|x> 3}B.不等式230ax bx ++>的解集可以是RC.不等式230ax bx ++>的解集可以是∅D.不等式230ax bx ++>的解集可以是{x|-1<x<3}三.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13. 函数已知x<2,则42y x x =+-的最大值是______. 14.已知A={x|1<x<5}, B={x|a ≤x ≤a+4}, ,若A ∩B= B,则实数a 的取值范围是______. 15. 已知x>0, y>0,且x+2y=1, 则xy 的最大值___;2242x y xy ++的最小值是______.(注:第一个空2分,第二个空3分)16.在实数集R 中定义一种运算“*”具有性质: ①对任意a, b ∈R , a*b= b*a;②对任意a ∈R ,a*0= a;③对任意, ,(*)**()**5.a b a b c c ab a c b c c ∈=++-R 则函数1()*(0)f x x x x=>的最小值为______. 四.解答题:共6小题,共70分,解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. (10分)设集合22{|0},{|(21)20}.1x A x B x x m x m x -=<=-++<+ (1) 当m=2时,求A ∪B;(2)若A ∪B=A,求实数m 的取值范围.18. (12分)已知集合{1,,3},{2,,}b a A B a a b ==若A ∩B={1, 2}. (1) 求实数a, b 的值;(2) 当x>0, y>0,且满足1a b x y+=时,不等式222x y k k +≥++恒成立,求实数k 的取值范围.19. (12分)给定两个命题2:,10p x ax ax ∀∈++>R 恒成立;命题q:2,0.x x x a ∃∈-+=R 如果命题P 与q 中有且仅有一个为真命题,求实数a 的取值范围.20. (12分)某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由长方形的休闲区1111A B C D (阴影部分)和环公园人行道组成已知休闲区1111A B C D 的面积为4000平方米,人行道的宽分别为4米和10米.(1)若设休闲区的长11A B x =米,求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数S 的解析式,并指出x 的取值范围;(2)要使公园所占面积最小,休闲区1111A B C D 的长和宽该如何设计?21.(12分)已知关于x 的不等式2220()x mx m m -++≤∈R 的解集为M.(1) 当M 是空集时,求实数m 的取值范围; (2) 在(1)的条件下,求2251m m m +++的最小值; (3)在M 不是空集,且M ⊆{x|1≤x ≤4}时,求实数m 的取值范围.22. (12 分)已知关于的函数232(,,, 0)y ax bx c a b c a =++∈≠R 中,a+b+c=0, (3a + 2b+c)c> 0.(1)求证:方程2320ax bx c ++=有实根;(2)求b a的取值范围; (3)设12,x x 是方程2320ax bx c ++=的两个实根,求12||x x -的取值范围.。
高一数学下学期第一次月考试卷卷一 试题
智才艺州攀枝花市创界学校瑶厦08-09高一下学期第一次月考〔卷一〕〔数学〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一个是符合题目要求的〕1．将－300o化为弧度为〔〕A．－43π；B．－53π；C．－76π；D．－74π；2．函数)421sin(2π+=xy的周期，振幅，初相分别是〔〕A．4,2,4ππB．4,2,4ππ--C．4,2,2ππD．4,2,4ππ３．假设点)cos2,cos(sinθθθP位于第三象限，那么角θ所在象限是〔〕Ａ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限４．假设1弧度的圆心角，所对的弦长等于2，那么这圆心角所对的弧长等于〔〕A．1sin2B．6πC．11sin2D.．12sin2５．假设角α的终边落在直线y=2x上，那么sinα的值是〔〕A．B．C．15±D．12±6．函数sin()y A x Bωϕ=++的一局部图象如右图所示，假设0,0,||2Aπωϕ>><，那么〔〕A．4=A B．1ω=C．6πϕ=D．4=B７.在ABC∆中，①sin()sinA B C++；②cos()cosB C A++；③2tan2tanCBA+；④cos()sinB C A++，其中恒为定值的是〔〕A．①②B．③④C．②④D．②③８．点O是平行四边形ABCD对角线的交点,那么下面结论正确的选项是()A．AB CB AC+=B．AB AD AC+＝C．AD CD BD+≠D．0AO CO OB OD+++=９．函数)sin(φϖ+=xAy在同一周期内，当3π=x时有最大值2，当x=0时有最小值-2，那么函数的解析式为〔〕A．xy23sin2=B．)23sin(2π+=xyC．)23sin(2π-=xyD．xy3sin21=10．假设α角的终边落在第三或者第四象限，那么2α的终边落在〔〕A ．第二或者第四象限B ．第一或者第三象限C ．第一或者第四象限D ．第三或者第四象限11．定义新运算“a ※b 〞为a ※b=,,a a b b a b ≤⎧⎨>⎩，例如1※2=1，3※2=2，那么函数 ()sin f x x =※cos x 的值域是()A．[-B．C ．[1,1]-D．[ 1021年8月，在召开的国际数学家大会会标如下列图，它是由4个一样的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，假设直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是θθ22cos sin ,251-则的值等于〔〕A ．1B.2524-C ．257 D.725-二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分，请把答案写在题中横线上〕13．函数sin 1y a x =+的最大值是3，那么它的最小值______________________14．向量，8b =，那么a b+的最大值是，a b-的最小值是。
江苏省扬州市宝应县氾水高级中学2022-2023学年高一下学期3月第一次月考数学试题
] ，故q
=
p 4
r a ，即
r b 与
45o 的夹角为
.
故选：C.
答案第21 页，共22 页
6．C
【解析】根据向量平行可求得
x
，利用坐标运算求得
ar
+
r b
=
(
-3,
6)
，根据模长定义求得结
果.
【详解】Q
ar
/
r /b
\-4 - 2x = 0
\ x = -2
r
\b = (-2, 4)
\
ar
+
r b
-¥,
1 2
ö ÷ø
4．设点
A，B，C
uuuv 不共线，则“ AB
uuuv 与 AC
的夹角为锐角”是“
uuuv AB
+
uuuv AC
>
uuuv BC
”的
A．充分而不必要条件 C．充分必要条件
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
r 5．已知向量 a
r 和b
满足
r a
=1，
r b
=
r rr
rr
=
1 3
SV
AB1C1
，
答案第31 页，共22 页
uuur 由 OB1
uuur uuuur = 3OB ， OC1
=
uuur -lOC
，知 SVOAB
=
1 3
SVOAB1
， SVOBC
=
1 3
´
1 -l
SVOB1C1
=
-
1 3l
SVOB1C1
，
SVOAC
2024-2025学年高一上第一次月考数学试卷附答案解析(9月份)
2024-2025学年高一上第一次月考数学试卷（9月份）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x∈N|1＜x＜6}，B＝{x|4﹣x＞0}，则A∩B＝（）A．{2，3，4}B．{2，3}C．{2}D．{3}2．（5分）下列说法正确的是（）A．∅∈{0}B．0⊆N C．D．{﹣1}⊆Z3．（5分）命题“∀x∈（0，1），x3＜x2”的否定是（）A．∀x∈（0，1），x3＞x2B．∀x∉（0，1），x3≥x2C．∃x0∈（0，1），D．∃x0∉（0，1），4．（5分）“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）若集合A＝{x|2mx﹣3＞0，m∈R}，其中2∈A且1∉A，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．6．（5分）满足集合{1，2}⫋M⊆{1，2，3，4，5}的集合M的个数是（）A．6B．7C．8D．157．（5分）设集合A＝{x|1＜x≤2}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（）A．{a|a＜1}B．{a|a≤1}C．{a|a＞2}D．{a|a≥2}8．（5分）已知集合A＝{1，2}，B＝{0，2}，若定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，则集合A*B 的所有元素之和为（）A．6B．3C．2D．0二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。
（多选）9．（6分）已知命题p：x2﹣4x+3＜0，那么命题p成立的一个充分不必要条件是（）A．x≤1B．1＜x＜2C．x≥3D．2＜x＜3（多选）10．（6分）集合A＝{x|ax2﹣x+a＝0}只有一个元素，则实数a的取值可以是（）A．0B．C．1D．（多选）11．（6分）设S是实数集R的一个非空子集，如果对于任意的a，b∈S（a与b可以相等，也可以不相等），都有a+b∈S且a﹣b∈S，则称S是“和谐集”，则下列命题中为真命题的是（）A．存在一个集合S，它既是“和谐集”，又是有限集B．集合{x|x＝3k，k∈Z}是“和谐集”C．若S1，S2都是“和谐集”，则S1∩S2≠∅D．对任意两个不同的“和谐集”S1，S2，总有S1∪S2＝R三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
高一下学期数学第一次月考试卷附带答案
高一下学期数学第一次月考试卷附带答案（满分150分 时间：120分钟）一.单选题。
（共8小题，每小题5分，共40分） 1.已知（1+i ）z=3－i ，其中i 为虚数单位，则|z |=（ ） A.5 B.√5 C.2 D.√22.已知复数z=1+2i1+i （i 为虚数单位），则z 的共轭复数z ̅在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.如图，正方形O’A’B’C’的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）A.4B.6C.8D.2+2√2（第3题图） （第4题图）4.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，AA 1=1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为（ ） A.2√33B.23C.√24D.135.设b ，c 表示两条直线，α，β表示两个平面，下列命题正确的是（ ） A.若b ∥α，c ⊂α，则b ∥c B.若b ⊂α，b ∥c ，则c ⊂α C.若c ∥α，α⊥β，则c ⊥β D.若c ∥α，c ⊥β，则α⊥β6.已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，若过直线OP 的平面截圆锥所得的截面是面积为4的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）A.4√2πB.2√2πC.4πD.（4√2+4）π7.已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为4π5，则该圆锥的体积为（ ） A.62√213π B.32√6π C.16√6π D.32√213π8.已知在正方体中，AD 1，A 1D 交于点O ，则（ ）A.OB⊥平面ACC1A1B.OB⊥平面A1B1CDC.OB∥平面CD1B1D.OB⊥BC1二．多选题.（共4小题，每小题5分，共20分）9.已知复数z=3+4i，下列说法正确的是（）A.复数z的实部为3B.复数z的共轭复数为3－4iC.复数z的虚部为4iD.复数z的模为510.如图，点A，B，C，M，N是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足MN∥平面ABC的有（）A. B. C. D.11.如图，一个圆柱盒一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（）A.圆锥的侧面积为2πR2B.圆柱与球的表面积比为32C.圆柱的侧面积与球的表面积相等D.圆柱与球的体积比为32（第11题图）（第12题图）12.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF 以及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，下列说法正确的是（）A.AG⊥平面EFHB.AH⊥平面EFHC.HF⊥平面AEHD.HG⊥平面AEF二.填空题。
2021-2022学年江苏省无锡市市北高级中学高一年级下册学期第一次月考数学试题【含答案】
2021-2022学年江苏省无锡市市北高一下学期第一次月考数学试题一、单选题 1．2i12i-=+（ ） A ．1 B ．−1 C ．i D ．−iD【分析】根据复数除法法则进行计算. 【详解】2(2)(12)512(12)(12)5i i i ii i i i ----===-++- 故选：D本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题.2．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3A π=，a =1b =，则c等于（ ）A．2 B C D A【分析】由余弦定理求解【详解】由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即220c c --=，解得2c = 故选：A3．正三棱锥底面边长为a ，则此正三棱锥的侧面积为（ ）A ．234aB ．232aC 2D 2A【分析】根据条件，可计算正三棱锥的斜高，利用侧面积公式计算即可求出.【详解】，23⨯=，且棱锥，22632632a a a ，斜高2221222aa a ，所以侧面积为21133224S a a a .选A. 本题主要考查了正三棱锥的性质，侧面积公式，属于中档题. 4．已知i 是虚数单位，20172i i 2iz -=-+，且z 的共轭复数为z ，则z 在复平面内对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限A【详解】()2223939255555i i z i i i z i i --=-=-=-⇒=++故z 在复平面内对应的点在第一象限5．已知向量,a b 的夹角为60°，且2,227a a b =-=，则向量b 在a 方向上的投影等于（ ） A ．32B ．32C ．12D ．1B【分析】由模与数量积的关系求出向量的数量积a b ⋅，再根据投影的定义求解．【详解】由题意22222(2)4428a b a b a a b b -=-=-⋅+=，即214424282b b -⨯⨯⨯+=，解得3b =，向量b 在a 方向上的投影为13cos60322b ︒=⨯=．故选：B.本题考查向量的投影，考查向量的模与数量积之间的关系，掌握数量积的性质是解题关键．6．水平放置的ABC ，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的A B C '''，其中2,O A O B ''''== 3O C ''=，则ABC 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（ ）A ．83πB ．163πC ．(833)πD ．(16312)πB【分析】根据斜二测画法的基本原理，将平面直观图还原为原几何图形，可得2AO BO ==，23OC =ABC 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体,圆锥的侧面展开图是扇形根据扇形面积公式即可求得组合体的表面积. 【详解】根据“斜二测画法”可得2AO BO ==，3OC =4AB AC BC ===，ABC 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体，它的表面积为22234163S rl πππ==⨯=. 故选:B本题考查斜二测画法的应用及组合体的表面积求法,难度较易.7．在ABC 中，向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭，且22BA BC BA BC ⋅=，则ABC 为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰非等边三角形B【分析】根据已知条件可知角A 的角平分线与BC 垂直，可得AB AC =，再由向量夹角公式得2cos B π4B =，求出,A C 即可得ABC 的形状.【详解】AB AB，AC AC分别为向量AB 与AC 的单位向量，因为0AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，所以角A 的角平分线与BC 垂直， 所以ABC 是等腰三角形，且AB AC =， 由2cos 2BA BC B BA BC =⋅=，0πB <<，所以π4B =， 所以π4C B ==，可得π2A =， 所以ABC 是等腰直角三角形. 故选：B8．点P 是正三角形ABC 外接圆圆O 上的动点，正三角形的边长为6，则2OP OB OP OC ⋅+⋅的取值范围是（ ）A ．[43,43]-B ．[3,3]-C ．[123,123]-D ．[3,3]-C【分析】将2OP OB OP OC ⋅+⋅变形为()2OP OB OC ⋅+，然后根据,2OP OB OC +同向和反向时求解出()2OP OB OC ⋅+的最值，由此确定出2OP OB OP OC ⋅+⋅的取值范围. 【详解】因为()22cos ,22OP OB OP OC OP OB OC OP OB OC OP OB OC ⋅+⋅⋅+⋅++==⋅<>，又因为正三角形的边长为6，所以3=23cos30OC OB OP ===︒所以222244481242323cos120=36OB OC OB OC OB OC +=++⋅=++⨯︒， 所以26OB OC +=，当,2OP OB OC +同向时，此时2OP OB OP OC ⋅+⋅取最大值为236cos 0123⨯= 当,2OP OB OC +反向时，此时2OP OB OP OC ⋅+⋅取最小值为236cos180123⨯︒=- 综上可知，2OP OB OP OC ⋅+⋅的取值范围是123,123⎡⎤-⎣⎦，故选：C.结论点睛：已知两个非零向量,a b 的模为,a b ，求a b ⋅的最值时： 当,a b 同向时，此时a b ⋅有最大值； 当,a b 反向时，此时a b ⋅有最小值. 二、多选题9．在复数范围内，有下列命题，则其中真命题的有（ ） A ．若1z ，2z 是两个复数，则1212z z z z +一定是实数 B ．“1z =”是“1z R z+∈”的充分不必要条件C ．方程20(0)x t t +=>的根是D ．22z z =ABC【分析】根据复数的运算以及和复数有关的定义分别判断即可． 【详解】解：设1i z a b =+，2i z c d =+， 则1212z z z z +(i)(i)(i)(i)a b c d a b c d =+-+-+(i i )(i i )ac ad bc bd ac ad bc bd =-++++-+22ac bd R =+∈，故A 正确；设i z a b =+(a ，)b R ∈，当0b =时，由||1z =则1z =±，所以1z R z+∈，若11z a R z a +=+∈得不到||1z =，当0b ≠时，若||1z ==，则222222222211i 1i i i=i a b a a b az a b a b a b a R z a b a b a b a b a b ⎛⎫-+-+=++=++=+++∈ ⎪+++++⎝⎭， ∴ “||1z =”是“1z R z+∈”的充分不必要条件，故B 正确；方程20(0)x t t +=>的根是，故C 正确；z 是复数，2z 可能是复数，但2||z 是复数的模，一定是实数，如1i z =+，则()221i 2i z =+=，但是22z =，故D 错误；故选：ABC ．10．在△ABC 中，角A ，B 的对边分别为a ，b ，根据下列条件解三角形，其中只有一解的为（ ）A ．a ＝50，b ＝30，A ＝60°B ．a ＝30，b ＝65，A ＝30°C ．a ＝30，b ＝50，A ＝30°D ．a ＝30，b ＝60，A ＝30°AD由已知结合正弦定理求解sin B ，再由正弦函数的值域及三角形中大边对大角分析得答案．【详解】对于A ，由a ＝50，b ＝30，A ＝60°， 利用正弦定理可得：503060sin sinB=︒则sin B =， ∵a ＞b ，且A 为锐角，∴B 有一解，故三角形只有一解； 对于B ，由a ＝30，b ＝65，A ＝30°， 利用正弦定理可得：306530sin sinB=︒ 则sin B 13112=>，此三角形无解； 对于C ，由a ＝30，b ＝50，A ＝30°， 利用正弦定理可得：305030sin sinB=︒ 则sin B 56=， ∵b ＞a ，且A 为锐角，则角B 有两解，故三角形有两解； 对于D ，由a ＝30，b ＝60，A ＝30°， 利用正弦定理可得：306030sin sinB=︒， 则sin B ＝1，B ＝90°，三角形为直角三角形，仅有一解． 故选：AD本题考查三角形解的个数的判定，考查正弦定理的应用，注意三角形中大边对大角是关键，是中档题．11．在ABC 中，下列说法正确的是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B > B ．若2C π>，则222sin sin sin C A B >+C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形D ．存在ABC 满足cos cos 0A B +≤ ABC根据大角对大边，以及正弦定理，判断选项A ；利用余弦定理和正弦定理边角互化，判断选项B ；结合诱导公式，以及三角函数的单调性判断CD. 【详解】A.A B >，a b ∴>，根据正弦定理sin sin a bA B=，可知sin sin A B >，故A 正确； B.2C π>，222cos 02a b c C ab +-∴=<，即222a b c +<，由正弦定理边角互化可知222sin sin sin C A B >+，故B 正确；C.当02A π<<时，sin cos cos cos 2A B A B π⎛⎫<⇔-< ⎪⎝⎭，即22A B A B ππ->⇒+<，即2C π>，则ABC 为钝角三角形，若2A π>，sin cos cos cos 2A B A B π⎛⎫<⇔-< ⎪⎝⎭，即22A B A B ππ->⇒>+成立，A 是钝角，当2A π=是，sin cos A B >，所以综上可知：若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形，故C 正确；D.A B A B ππ+<⇒<-，0,0A B πππ<<<-<，()cos cos cos A B B π∴>-=-，即cos cos 0A B +>，故D 不正确. 故选：ABC关键点点睛：本题考查判断三角形的形状，关键知识点是正弦定理和余弦定理，判断三角形形状，以及诱导公式和三角函数的单调性.12．如图，透明塑料制成的长方体容器1111ABCD A B C D -内灌进一些水，固定容器一边AB 于地面上，再将容器烦斜，随着倾斜度的不同（ ）A ．没有水的部分始终呈棱柱形B ．水面EFGH 所在四边形的面积为定值C ．当容器倾斜如图（2）所示时，AE DH +为定值D ．当容器倾斜如图（3）所示时，AE AH ⋅为定值 ACD【分析】根据棱柱的定义判断A ，由EFGH S EF FG =⋅即可判断B ，根据棱柱的体积公式判断C 、D ；【详解】解：对于A ，由于AB 固定，所以在倾斜的过程中，始终有//////AB EF HG DC ，且平面11//A D HE 平面11B C GF ，故没有水的部分始终呈棱柱状（四棱柱或三棱柱、五棱柱），且EF 为棱柱的一条侧棱，故A 正确；对于B ，因为水面EFGH 为矩形，所以EFGH S EF FG =⋅，其中EF AB =，FG 随着倾斜角的变化而变化，故水面EFGH 的面积是变化的，故B 错误；对于C ，当容器倾斜如图（2）所示时，四棱柱ADHE BCGF -的体积不变，又ADHE BCGF ADHE V S AB -=⋅，其中()2ADHE AE DH ADS +⋅=，又AB 是定值，AD 是定值，所以AE DH +为定值，故C 正确；对于D ，当容器倾斜如图（3）所示时，三棱柱BFG AEH -的体积不变，BFG AEH AEHV S AB -=⋅其中12AEHS AE AH =⋅，因为高AB 是定值，则底面积AEHS 为定值，即12AEHSAE AH =⋅为定值，则AE AH ⋅为定值，故D 正确． 故选：ACD ． 三、填空题13．已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为______．【分析】由条件求解底面半径和圆锥的高，即可求得圆锥的体积. 【详解】设底面半径为r ，由题意可知22r ππ=⨯，解得：1r =，圆锥的高h ，所以圆锥的体积213V r h π==14．设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z ，12i z z +=，则12||z z -=__________.【分析】方法一：令1,(,)z a bi a R b R =+∈∈，2,(,)z c di c R d R =+∈∈，根据复数的相等可求得2ac bd +=-，代入复数模长的公式中即可得到结果.方法二：设复数12z ,z 所对应的点为12Z ,Z ,12OP OZ OZ =+, 根据复数的几何意义及复数的模，判定平行四边形12OZ PZ 为菱形，12OZ OZ 2OP ===，进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算12z z -.【详解】方法一：设1,(,)z a bi a R b R =+∈∈，2,(,)z c di c R d R =+∈∈，12()z z a c b d i i ∴+=+++，1a cb d ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩12||=||=2z z ，所以224a b +=，224cd +=， 222222()()2()4a c b d a c b d ac bd ∴+++=+++++=2ac bd ∴+=-12()()z z a c b d i ∴-=-+-()22()()82a c b d ac bd =-+-=-+8423=+=.故答案为.23方法二：如图所示，设复数12z ,z 所对应的点为12Z ,Z ,12OP OZ OZ =+, 由已知12312OZ OZ OP =+===,∴平行四边形12OZ PZ 为菱形，且12,OPZ OPZ 都是正三角形，∴12Z 120OZ ∠=︒， 222221212121||||||2||||cos12022222()122Z Z OZ OZ OZ OZ =+-︒=+-⋅⋅⋅-=∴1212z 23z Z Z -==.方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解15．已知向量()2,6a =，()1,b λ=-，若向量a 与向量b 的夹角为钝角，则λ的范围是___________；()1,33,3⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭ 【分析】由题意可得0a b ⋅<，且a 与b 不共线，由此求得λ的取值集合． 【详解】解：向量()2,6a =，()1,b λ=-，若向量a 与向量b 夹角为钝角，∴1260a b λ⋅=-⨯+<，且a 与b 不共线，即13λ< 且216λ≠-⨯，即13λ<且3λ≠-，故()1,33,3λ⎛⎫∈-∞-- ⎪⎝⎭，故()1,33,3⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭．16．三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知222sin cos cos 3sin sin B A C B C +-=，且三角形ABC 外接圆面积为4π，则=a ___________.2【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式，正弦定理化简可得222b c a +-=，利用余弦定理可求cos A ，利用同角三角函数基本关系式可求sin A ，设外接圆半径为R ，由圆的面积公式可求R ，根据正弦定理即可求得a 的值．【详解】解：222sin cos cos sin B A C B C +-，可得：222sin 1sin 1sin sin B A C B C +--+，可得：222sin sin sin sin B A C B C -+=，∴由正弦定理可得：222b c a +-=，222cos 2b c a A bc +-∴=， ∴由A为三角形内角，可得sin 12A ==， 三角形ABC 外接圆面积为4π，设外接圆半径为R ，则24R ππ=，可得2R =，∴由正弦定理：2sin a R A =，可得：412a=，解得2a =．故2． 四、解答题17．已知向量()()1,,,4a k b k ==. （1）若//a b ，求k 的值；（2）若()()4a b a b +⊥+，求k 的值. （1）2k =或2k =-；（2）1k =-或4k =-.【分析】(1)已知向量a 、b 的坐标，根据向量平行(共线)，利用其坐标表示有240k -=，即可求k 的值；(2)首先用坐标表示向量a b +、4a b +，再根据垂直关系结合数量积的坐标公式有()()()()144440k k k k +++++=，即可求k 的值 【详解】（1）由//a b ，知：240k -=，解得2k =或2k =- （2）由题意知：()()1,4,44,44a b k k a b k k +=+++=++ 又∵()()4a b a b +⊥+∴()()()()144440k k k k +++++= 解得1k =-或4k =-本题考查了利用向量共线、垂直的坐标表示求参数值，属于基础题18．已知复数()()()2262i z m m m m m R =+-++-∈在复平面内所对应的点为A(1)若复数4z m +为纯虚数，求实数m 的值；(2)若点A 在第二象限，求实数m 的取值范围(1)-6(2)(3,2)(1,2)--⋃【分析】（1）先求得4z m +，根据其为纯虚数，可得2256020m m m m ⎧+-=⎨+-≠⎩，即可求得m 值. （2）先求得点A 在复平面内坐标，根据其在第二象限，可得226020m m m m ⎧+-<⎨+->⎩，即可求得m 的范围.【详解】(1)由题意得()()22562i 4m m m z m m +-++-+=，因为4z m +为纯虚数，所以2256020m m m m ⎧+-=⎨+-≠⎩，解得6m =-. (2)复数z 在平面内所对应的点为()226,2m m A m m +-+-，因为点A 在第二象限，所以226020m m m m ⎧+-<⎨+->⎩，解得32m -<<-或12m <<， 所以实数m 的取值范围为(3,2)(1,2)--⋃19．如图，在菱形ABCD 中，12BE BC =，2CF FD =.（1）若EF x AB y AD =+，求32x y +的值；（2）若6AB =，60BAD ∠=︒，求AC EF ⋅.（1）1-；（2）9-.【分析】（1）结合平面图形以及平面向量的线性运算即可求出x ，y 的值，进而求出结果；（2）根据平面向量的加法运算得到AC AB AD =+，在结合（1）中1223EF AD AB =-，利用平面向量数量积的运算律以及定义即可求解. 【详解】（1）因为12BE BC =，2CF FD =， 所以12122323EF EC CF BC DC AD AB =+=-=-， 所以23x =-，12y =，故213232132x y ⎛⎫+=⨯-+⨯=- ⎪⎝⎭. （2）∵AC AB AD =+，∴2212121()23236AC EF AB AD AD AB AD AB AB AD ⎛⎫⋅=+⋅-=--⋅ ⎪⎝⎭， ∵ABCD 为菱形，∴6AD AB ==，∴2211cos 66AC EF AB AB BAD ⋅=--∠11136369662=-⨯-⨯⨯=-，即9AC EF ⋅=-. 20．已知圆柱1OO 的底面半径为2，高为4．（1）求从下底面出发环绕圆柱侧面一周到达上底面的最短路径长；（2）若平行于轴1OO 的截面ABCD 将底面圆周截去四分之一，求截面面积；（3）在（2）的条件下，设截面将圆柱分成的两部分中较小部分为Ⅰ，较大部分为Ⅱ，求体积之比:I II V V ．(1) 241π+(2)82(3)232ππ-+ 【分析】(1)将侧面沿母线展开得到矩形,再求矩形对角线即可.(2)易得截面为矩形,求得长与宽再求面积即可.(3)求出三棱柱1AOB DO C -的体积,再计算四分之一个圆柱即可.【详解】(1) 将侧面沿母线展开得到矩形,临边分别为为224ππ⨯=和4,故最短路径为此矩形的对角线长241π+(2)因为截面ABCD 是矩形,且4=AD ,且2222AB OA OB +=故截面面积42282S =⨯=.(3)由题易得圆柱体积22416V ππ=⨯⨯=,又三棱柱1AOB DO C -的体积2012482V =⨯⨯=.故01484I V V V π=-=-.()1648128II I V V V πππ=-=--=+. 故482:12832I II V V ππππ--==++. 本题主要考查了圆柱的性质与面积体积的计算等,属于基础题型.21．如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台P ，已知射线AB ，AC 为两边夹角为120︒的公路(长度均超过3千米)，在两条公路AB ，AC 上分别设立游客上下点M ，N ，从观景台P 到M ，N 建造两条观光线路PM ，PN ，测得3AM =千米，3AN =千米.（1）求线段MN 的长度；（2）若60MPN ∠=︒，求两条观光线路PM 与PN 之和的最大值.（1）3千米；（2）最大值为6千米．【分析】（1）3AM =3AN 0120MAN ∠=用余弦定理，即可求出MN ； （2）设PMN α∠=，120PNM α∠=︒-，用正弦定理求出()23sin 120PM α=︒-，23PN α=，()23sin 12023sin PM PN αα+=︒-+展开，结合辅助角公式可化为()6sin 30α+︒，由α的取值范围，即可求解．【详解】解：（1）在AMN ∆中，由余弦定理得，22212cos1203323392MN AM AN AM AN ⎛⎫=+-⋅︒=+--= ⎪⎝⎭，3MN =， 所以线段MN 的长度为3千米；（2）设PMN α∠=，因为60MPN ∠=︒，所以120PNM α∠=︒-，在PMN ∆中，由正弦定理得，()323sin sin 120sin sin 60MN PM PN MPN αα====∠︒-︒所以()23sin 120PM α=︒-，3PN α=，因此()23sin 12023sin PM PN αα+=︒-+1sin 2ααα⎫=++⎪⎪⎭ ()3cos 6sin 30ααα=+=+︒，因为0120α︒<<︒，所以3030150α︒<+︒<︒.所以当3090α+︒=︒，即60α=︒时，PM PN +取到最大值6.所以两条观光线路PM 与PN 之和的最大值为6千米．解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．22．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos sin a C C b c +=+.(1)求A 的值；(2)若1a c +=，2b >，当ABC 的周长最小时，求b 的值；(3)若3BD DA =，11cos 14B =，且ABC 的面积为CD 的长度. (1)π3A =(2)2b =【分析】（1）cos 1A A =+，利用辅助角公式得到π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，结合角A 的范围，求出A ；（2）利用余弦定理，基本不等式求出周长最小值及此时b 的值；（3）由面积公式得到80bc =，结合正弦定理得到a b c ===4c AD ==.【详解】(1)由cos sin a C C b c =+及正弦定理，得sin cos sin sin sin A C A C B C =+，因为()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，且sin 0C ≠，cos 1A A =+，即π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因为0πA <<，所以π3A =；(2)由余弦定理，得222a b c bc =+-，将1c a =+代入，整理，得212b b a b -+=-， 因为2b >，所以ABC 的周长为()222261329922b b l a bc b b b b -+=++=++=-++≥--，当且仅当()6322b b -=-，即2b =所以当ABC 的周长最小时，2b =(3)由ABC 的面积为1sin 2bc A = 所以80bc =①，又11cos 14B =，所以sin B =()sin sin C A B =+= 由正弦定理，得::sin :sin :sin 7:5:8a b c A B C ==，②由①②可得a b c ===因为3BD DA =，所以4c AD ==在ACD △中，由余弦定理，得((222238π3CD =+-⨯=，所以CD =。
高一数学学期第一次月考试卷(附答案)
高一数学学期第一次月考试卷(附答案)选择题1. 下列哪一个选项不是数学中常用的数集？A. 自然数集B. 实数集C. 正整数集D. 有理数集答案：C2. 若集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A ∩ B = ?A. {2, 3}B. {1, 2, 3}C. {2, 3, 4}D. {4}答案：A3. 简化：$3 \times a \times 5$答案：$15a$填空题1. 若 $\frac{5}{6} x - \frac{1}{4} = \frac{3}{5} x - \frac{1}{2}$，则x = ?答案：$\frac{9}{20}$2. 若函数 $f(x) = ax^2 + bx - c$ 的图像开口朝上，且在x = 2处有最小值-3，则a = ?, b = ?, c = ?答案：a = 1, b = -8, c = -13解答题1. 解方程 $\frac{3}{5} (2x - 1) = \frac{1}{3} (4 - x)$解答：首先两边同时乘以15消去分数，得到：$9(2x - 1) = 5(4 - x)$ 进行分配和合并：$18x - 9 = 20 - 5x$移项：$23x = 29$最后得到解答：$x = \frac{29}{23}$2. 若正方形ABCD的边长为3cm，点E为AB边的中点，连线DE与BC交于点F，求线段DF的长度。
解答：由于ABCD是正方形，所以AD平行于BC。
由于E是AB边上的中点，所以AE = EB = 1.5cm。
由三角形相似性质可知，$\frac{AE}{AD} = \frac{DF}{DC}$。
将已知值代入，得到：$\frac{1.5}{3} = \frac{DF}{3}$化简得到：$DF = 1.5$cm以上为高一数学学期第一次月考试卷及答案。
人教版高一下学期数学第一次月考试题及答案解析
九江一中-下学期第一次月考数学试卷考试时间：120分钟 总分：150分 出卷人：高一数学备课组一、选择题（5×12=60分）1．已知集合{}0,1,2A =，={0,1}B ，则A B =（ ）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}0,1D ．{}02．下列说法正确的是（ ）A ．小于︒90的角是锐角B ．钝角是第二象限的角C ．第二象限的角大于第一象限的角D ．若角α与角β的终边相同，那么βα=3．若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，则a 为( )A ．1-B ．1C ．-2 D4．从件产品中选取50件，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从件产品中剔除3件，剩下的件再按系统抽样的方法抽取，则每件产品被选中的概率（ ）A ．不都相等B ．都不相等 C5．已知α是第二象限角，那么 （ ）A.第一象限角B.第二象限角C.第二或第四象限角D.第一或第三象限角6．一名小学生的年龄和身高（单位：cm ）的数据如下表：由散点图可知，身高与年龄之间的线性回归方程为8.8y x a =+，则a 的值为（ ）A ．65B ．74C ．56D ．477．向顶角为0120的等腰三角形ABC （其中BC AC =）内任意投一点M ，则AM 小于AC 的概率为（ ）A A ．60.50.7(0.7)(log 6)(6)f f f <<B ．60.50.7(0.7)(6)(log 6)f f f <<C ．60.50.7(log 6)(0.7)(6)f f f <<D ．0.560.7(log 6)(6)(0.7)f f f <<9 ）y xA ．动点A '在平面ABC 上的射影在线段AF 上B ．恒有平面GF A '⊥平面BCEDC ．三棱锥EFD A -'的体积有最大值11.已知函数是定义在上的增函数，函数的图象关于点)0,1(对称. 若对任意的，不等式恒成立，则当3x >时，的取值范围是（ ）12．已知函若方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则 ） A ．(1,)-+∞ B ．(]1,1- C ．(,1)-∞ D ．[)1,1-二、填空题（5×4=20分）13.数据 平均数为6，方差为2，则数据的平均数为 ，方差为 ；14.某校共有教师200人，男学生800人，女学生600人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本，已知从男学生中抽取的人数为10015. 执行如图的程序框图，如果输入的N 的值是6，那么输出的p 的值是 .16．若圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同点到直线0:=+by ax l 的距离为则直线l 的斜率的取值区间为 ．三、解答题17．（10分）对某校高二年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：（1）若已知M=40，求出表中m 、n 、p 中及图中a 的值； ()x f y =R ()1-=x f y R y x ∈,()()0821622<-++-y y f x x f 22y x +128,,,x x x 12826,26,,26x x x ---（2）若该校高二学生有240人，试估计该校高二学生参加社区服务的次数在区间)15,10[内的人数；18.（12分）已知扇形AOB 的周长为8．（1）若这个扇形的面积为3，求其圆心角的大小；（2）求该扇形的面积取得最大时，圆心角的大小.19．（12分）设关于x 的方程2220x ax b ++=．（1）若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（2）若a 是从区间[0，3]任取的一个数，b 是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．20. （12分）下图是一几何体的直观图、主视图、俯视图、左视图．（1）若F 为PD 的中点，求证：AF⊥面PCD ；（2）证明：BD∥面PEC ；（3）求该几何体的体积．21．（12分）已知A ，B 为圆O :224x y +=与y 轴的交点（A 在B 上），过点(0,4)P 的直线l 交圆O 于,M N 两点(点M 在上、点N 在下)．（1）若弦MN 的长等于23，求直线l 的方程；（2）若,M N 都不与A ，B 重合，直线AN 与BM 的交点为C.证明：点C 在直线y=1.22. （12分）已知定义在区间(0+)∞，上的函数()4()5f x t x x=+-，其中常数0t >．（1）若函数()f x 分别在区间(0,2),(2,)+∞上单调，试求t 的取值范围；（2）当1t =时，是否存在实数,a b ，使得函数()f x 在区间[,]a b 上单调、且()f x 的取值范围为[,]ma mb ，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．高一第一次月考试卷一、选择题CBCCD ABCDD CB二、填空题 13. 6 ， 8 ； 14.200； 15.105； 16. ]32,32[+-三、解答题17．对某校高二年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：（1）若已知M=40，求出表中m 、n 、p 中及图中a 的值；（2）若该校高二学生有240人，试估计该校高二学生参加社区服务的次数在区间)15,10[内的人数；解：（1）因为频数之和为40，所以424240,10m m +++==．100.2540m p M ===，0.6n =因为a 是对应分组)20,15[的频率与组距的商，所以0.60.125a ==．因为该校高二学生有240人，分组)15,10[内的频率是25.0， 所以估计该校高二学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人．18.已知扇形AOB 的周长为8．（1）若这个扇形的面积为3，求其圆心角的大小；（2）求该扇形的面积取得最大时，圆心角的大小.（1）解：设扇形半径为R ,扇形弧长为l ，周长为C ,解得⎩⎨⎧==16R l 或⎩⎨⎧==32R l ，圆心角19．设关于x 的方程2220x ax b ++=．（1）若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（2）若a 是从区间[0，3]任取的一个数，b 是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率． 解：设事件A 为“方程有实根”．当a ＞0，b ＞0时，方程有实根的充要条件为a≥b（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共12个：（0，0）（0，1）（0，2）（1，0）（1，1）（1，2）（2，0）（2，1）（2，2）（3，0）（3，1）（3，2） 其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，∴事件A 发生的概率为P==（2）由题意知本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为{（a ，b ）|0≤a≤3，0≤b≤2}满足条件的构成事件A 的区域为{（a ，b ）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}∴所求的概率是20.下图是一几何体的直观图、主视图、俯视图、左视图．（1）若F 为PD 的中点，求证：AF⊥面PCD ；（2）证明：BD∥面PEC ；（3）求该几何体的体积．解：（1）由几何体的三视图可知，底面ABCD 是边长为4的正方形, 而且PA ABCD ⊥面,PA ∥EB ，4,2PA AD EB ===． 取PD 的中点F ，如图所示. ∵PA AD =,∴AF PD ⊥， 又∵,,CD DA CD PA PADA A ⊥⊥=，∴CD ⊥面ADP , ∴CD AF ⊥．又CD DP D =,∴AF ⊥面PCD ．（2）如图，取PC 的中点M ,AC 与BD 的交点为N ，连结MN 、ME ，如图所示.∴12MN PA =，MN ∥PA ，∴MN EB =，MN ∥EB ， ∴四边形BEMN 为平行四边形，∴EM ∥BN ，又EM 面PEC ,∴BN ∥面PEC ，∴面．（3）380442213144431=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=+=--BCE P ABCD P V V V . 21．已知A ，B 为圆O :224x y +=与y 轴的交点（A 在B 上），过点(0,4)P 的直线l 交圆O 于,M N 两点．（1）若弦MN 的长等于23，求直线l 的方程；（2）若,M N 都不与A ，B 重合，直线AN 与BM 的交点为C.证明：点C 在直线y=1.解：（Ⅰ）①当k 不存在时，4==AB MN 不符合题意②当k 存在时，设直线l ：4y kx =+||23MN =∴圆心O 到直线l 的距离2231d =-=2|4|11k ∴=+，解得15k =±综上所述，满足题意的直线l 方程为（Ⅱ）设直线MN 的方程为：4y kx =+，1122(,y )(,y )N x x 、M联立2244y kx x y =+⎧⎨+=⎩得：22(1)8120k x kx +++= 直线AN ：，直线BM ：消去x 得：要证：C 落在定直线1y =上，只需证：即证：121122636kx x x kx x x --=+即证：121246()0kx x x x ++=显然成立． 所以直线AN 与BM 的交点在一条定直线上．22.已知定义在区间(0+)∞，上的函数()4()5f x t x x=+-，其中常数0t >．（1）若函数()f x 分别在区间(0,2),(2,)+∞上单调，试求t 的取值范围；（2）当1t =时，是否存在实数,a b ，使得函数()f x 在区间[,]a b 单调，且()f x 的取值范围为[,]ma mb ，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．试题解析：（1x ∵0t > ∴函数()h x 分别在区间(0,2),(2,)+∞上单调 且()4h x t ≥ 要使函数()f x 分别在区间(0,2),(2,)+∞上单调则只需54504t t -≥⇒≥ （2）当1t =时， 如图，可知01m <<，()f x 在(0,1)、(1,2)、(2,4)、(4,)+∞均为单调函数（Ⅰ）当[](],0,1a b ⊆时，()f x 在[],a b 上单调递减则()()f a mb f b ma =⎧⎨=⎩两式相除整理得()(5)0a b a b -+-= ∵(],0,1a b ∈ ∴上式不成立 即,a b 无解，m 无取值 10分（Ⅱ）当[](],1,2a b ⊆时，()f x 在[],a b 上单调递增 则()()f a ma f b mb=⎧⎨=⎩ 在(]1,2a ∈有两个不等实根作()t ϕ在分 （Ⅲ）当[](],2,4a b ⊆时，()f x 在[],a b 上单调递减 则()()f a mb f b ma =⎧⎨=⎩两式相除整理得()(5)0a b a b -+-=∴5a b += ∴5b a a =->则m 关于a的函数是单调的，而∴此种情况无解（Ⅳ）当[][),4,a b⊆+∞时，同（Ⅰ）可以解得m无取值综上，m的取值范围为第11页共11页。
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江苏省高一下学期数学第一次月考试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2018高三上·邹城期中) 已知 , ，则与的夹角为（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分） (2020高一下·扬州期中) 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若
，则的形状是（）
A . 锐角三角形
B . 直角三角形
C . 钝角三角形
D . 不确定
3. （2分） (2015高二下·会宁期中) 等差数列{an}中，S10=120，那么a2+a9的值是（）
A . 12
B . 24
C . 16
D . 48
4. （2分）已知平面向量，，若，则等于（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分）(2018·吉林模拟) 若公差为的等差数列的前项和为 ,且成等比数列，则（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分） (2020高一下·河北期中) 在中，若，则的形状是（）
A . 钝角三角形
B . 直角三角形
C . 锐角三角形
D . 不能确定
7. （2分）如图，在塔底的正西方处测得塔顶的仰角为，在它的南偏东的处测得塔顶的仰角为，若的距离是，则塔高为（）
A .
B .
C .
D .
8. （2分） (2016高一下·石门期末) 在△ABC中，tanA是以﹣4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tanB是以为第三项，9为第六项的等比数列公比，则这个三角形是（）
A . 钝角三角形
B . 锐角三角形
C . 等腰直角三角形
D . 以上都不对
9. （2分） (2019高二上·河南期中) 为了测量某塔的高度，某人在一条水平公路两点进行测量.在
点测得塔底在南偏西，塔顶仰角为，此人沿着南偏东方向前进10米到点，测得塔顶的仰角为，则塔的高度为（）
A . 5米
B . 10米
C . 15米
D . 20米
10. （2分） (2019高一下·淮安期末) 三条线段的长分别为5，6，8，则用这三条线段（）
A . 能组成直角三角形
B . 能组成锐角三角形
C . 能组成钝角三角形
D . 不能组成三角形
11. （2分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）
A . 直角三角形
B . 锐角三角形
C . 钝角三角形
D . 不确定
12. （2分） (2019高二上·大冶月考) 已知数列满足，，则
（）.
A . 9
B . 15
C . 18
D . 30
二、填空题 (共4题；共5分)
13. （1分） (2020高一下·陕西月考) 在中，，，，则的面积等于________.
14. （1分） (2020高一上·苏州期末) 已知 A(2,−3),B(8,3)，若，则点 C 的坐标为________.
15. （1分）(2018·淮南模拟) 若数列为等差数列，为其前项和，且，则
________
16. （2分）(2019·四川模拟) 在体积为的四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，侧棱底面ABCD ，其中，，，则线段BC的长度为________．
三、解答题 (共6题；共62分)
17. （10分） (2020高二下·海安月考) 已知等差数列的前n项和为．
（1）求的通项公式；
（2）数列满足为数列的前n项和，是否存在正整数m ，，使得 ?若存在，求出m ， k的值；若不存在，请说明理由．
18. （10分） (2019高二下·镇海期末) 已知在△ABC中，|AB|＝1，|AC|＝2．
（Ⅰ）若∠BAC的平分线与边BC交于点D，求；
（Ⅱ）若点E为BC的中点，当取最小值时，求△ABC的面积．
19. （10分） (2019高一上·金华期末) 设平面向量，， . （1）求的值；
（2）若，求的值.
20. （2分） (2020高二上·舒城开学考) 已知分别为三个内角的对边，
.
（1）求A的大小；
（2）若a= 7，求的周长的取值范围．
21. （15分）(2017·芜湖模拟) 设等差数列{an}的前n项和为Sn ，若S9=81，a3+a5=14．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn= ，若{bn}的前n项和为Tn ，证明：Tn＜．
22. （15分） (2018高三上·重庆期末) 已知数列满足：。
（I）求证：为等差数列；
（II）设，求数列的前项和。
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
答案：1-1、
考点：
解析：
答案：2-1、
考点：
解析：
答案：3-1、
考点：
解析：
答案：4-1、考点：
解析：
答案：5-1、考点：
解析：
答案：6-1、考点：
解析：
答案：7-1、考点：
解析：
答案：8-1、考点：
解析：
答案：9-1、考点：
解析：
答案：10-1、考点：
解析：
答案：11-1、
考点：
解析：
答案：12-1、
考点：
解析：
二、填空题 (共4题；共5分)
答案：13-1、考点：
解析：
答案：14-1、考点：
解析：
答案：15-1、考点：
解析：
答案：16-1、考点：
解析：
三、解答题 (共6题；共62分)
答案：17-1、
答案：17-2、
考点：解析：
答案：18-1、考点：
解析：
答案：19-1、
答案：19-2、考点：
解析：
答案：20-1、答案：20-2、
考点：
解析：
答案：21-1、
答案：21-2、考点：
解析：
答案：22-1、考点：
解析：。