基本积分公式
三十个基本积分公式
指数函数积分E(n, a)表示e的x次方的n次方的积分。
详细描述
∫e^(nx) dx = (e^n * x) / n + C，其中C是积分常数，x是变量。这个公式用于计算指数函数的不定积分，结果 是一个关于x的线性函数，乘以e的n次方，并除以n。
02
三角积分公式
正弦函数积分 Sin(n, a)
幂函数积分 Phi(n, a)
总结词
幂函数积分Phi(n, a)表示x的n次方的积分。
详细描述
∫x^n dx = (1/n+1) * x^(n+1) + C，其中C是积分常数，x是变量。这个公式用于 计算幂函数的不定积分，结果是一个关于x的幂函数，其指数增加1，并乘以 1/(n+1)。
指数函数积分 E(n, a)
04
反三角积分公式
反正弦函数积分 asin(n, a)
总结词
计算反正弦函数的定积分
详细描述
对于函数 f(x) = sin(nx) 在区间 [0, a] 的定积分，可以使用反正弦函数积分 公式计算，即：∫asin(nx) dx = acos(nx) + C，其中 C 是积分常数。
反余弦函数积分 acos(n, a)
03
对数积分公式
自然对数积分 ln(n, a)
总结词
计算自然对数积分，即求解函数 f(x) = ln(n, a) 的定积分。
详细描述
自然对数积分是数学中常见的一种积分，其定义为求解函数 f(x) = ln(n, a) 的定积分。其中，n 是底数，a 是真数。自然 对数积分在解决各种数学问题中具有广泛的应用，例如求解 微分方程、概率论和统计学等。
部积分法和递推法等。
常用积分公式
常用积分公式本文将介绍一些常用的积分公式，包括基本积分公式、换元积分公式、分部积分公式等。
通过掌握这些公式，能够更加方便地求解各类积分问题。
1. 基本积分公式1.1 定积分公式定积分公式是基本积分公式中的一种，用于求解在一定区间上的函数积分。
定积分公式如下：$$\\int_{a}^{b} f(x)dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$$其中，f(f)是要积分的函数，f(f)是f(f)的一个原函数，f和f是积分的区间。
1.2 不定积分公式不定积分公式是基本积分公式中的另一种，用于求解函数的原函数。
不定积分公式如下：$$\\int f(x)dx = F(x) + C$$其中，f(f)是要积分的函数，f(f)是f(f)的一个原函数，f是常数。
2. 换元积分公式换元积分公式是求解复杂函数积分的重要方法，通过引入一个新的变量进行替换，将原积分转化为一个更容易求解的形式。
2.1 第一换元法第一换元法也称为u-置换法，假设有函数f=f(f)，需要对其进行积分。
首先选取一个变量f=f(f)，使得$\\frac{du}{dx}=g'(x)$。
则积分公式变为：$$\\int f(x)dx = \\int f(g(x))g'(x)dx = \\int ydu$$其中，$\\int ydu$是对新变量f进行积分。
2.2 第二换元法第二换元法也称为t-置换法，假设有函数f=f(f)，需要对其进行积分。
首先选取一个变量f=f(f)，使得$\\frac{dt}{dy}=h'(y)$。
则积分公式变为：$$\\int f(x)dx = \\int f(x)h'(f(x))dx = \\int h(t)dt$$其中，$\\int h(t)dt$是对新变量f进行积分。
3. 分部积分公式分部积分公式是求解两个函数乘积的积分的方法之一。
根据分部积分公式，可以将一个复杂的积分转化为一个更简单的积分形式。
高数积分公式大全
高数积分公式大全高等数学中的积分是数学分析的重要内容之一，它是求函数面积、定积分、不定积分等的方法，被广泛应用于科学和工程领域。
下面是高等数学中常用的积分公式大全，供大家参考和学习。
一、基本积分公式：1. 常数函数积分公式：∫c dx = cx + C（其中c为常数，C为积分常数）2. 幂函数积分公式：∫x^n dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C（其中n不等于-1，C 为积分常数）3. 指数函数积分公式：∫e^x dx = e^x + C4. 三角函数积分公式：∫sin(x) dx = -cos(x) + C∫cos(x) dx = sin(x) + C5. 乘方函数积分公式：∫(a^x) dx = (1/log(a)) * (a^x) + C（其中a为正数且不等于1，C为积分常数）6. 对数函数积分公式：∫(1/x) dx = ln|x| + C二、常用积分公式：1. 三角函数的复合积分：∫sin(ax) dx = - (1/a) * cos(ax) + C∫cos(ax) dx = (1/a) * sin(ax) + C2. 反三角函数的积分：∫1/(√(1-x^2)) dx = arcsin(x) + C∫1/(1+x^2) dx = arctan(x) + C3. 指数函数的积分：∫e^(ax) dx = (1/a) * e^(ax) + C4. 对数函数的积分：∫(1/x) dx = ln|x| + C5. 分式函数的积分：∫(1/(x-a)) dx = ln|x-a| + C（其中a不等于0）∫(1/(x^2+a^2)) dx = (1/a) * arctan(x/a) + C（其中a不等于0）6. 三角函数的积分：∫sin^n(x) cos^m(x) dx7. 部分分式的积分：∫(p(x)/q(x)) dx8. 具体函数的特殊积分：∫e^x sin(x) dx∫e^x cos(x) dx∫(sin(x))^n (cos(x))^m dx（其中n和m为正整数）三、数列求和公式：1. 等差数列求和公式：S_n = (n/2)(a_1 + a_n)（其中S_n为前n项和，a_1为首项，a_n为末项）2. 等比数列求和公式：S_n = (a_1(1-q^n))/(1-q)（其中S_n为前n项和，a_1为首项，q为公比）以上是高等数学中一些常见的积分公式，通过掌握和灵活运用这些公式，可以帮助我们更好地解决数学中的问题。
定积分公式大全24个
定积分公式大全24个1.基本积分公式：∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, 其中n≠-1∫ 1/x dx = ln，x， + C∫ e^x dx = e^x + C∫ a^x dx = (a^x)/ln(a) + C，其中a为正实数且不等于1∫ sin(x) dx = -cos(x) + C∫ cos(x) dx = sin(x) + C∫ sec^2(x) dx = tan(x) + C∫ csc^2(x) dx = -cot(x) + C∫ sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C∫ csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C2.反常积分公式：∫ 1/x dx = ln，x， + C, 其中x取区间(-∞, 0)或(0, +∞)∫ e^x dx = e^x + C, 区间为(-∞, +∞)∫ a^x dx = (a^x)/ln(a) + C，其中a为正实数且不等于1，区间为(-∞, +∞)∫ sin(x) dx = -cos(x) + C, 区间为(-∞, +∞)∫ cos(x) dx = sin(x) + C，区间为(-∞, +∞)3.分部积分法公式：∫ u dv = uv - ∫ v du，其中u, v是关于x的函数4.和差积分公式：∫ (f(x) ± g(x)) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx5.一些特殊函数的积分：∫ e^(x^2) dx = √π*erf(x)/2 + C∫ ln(x) dx = x(ln(x) - 1) + C∫ sin^2(x) dx = (x - sin(x)cos(x))/2 + C6.换元法公式：∫ f(g(x))g'(x) dx = ∫ f(u) du，其中u=g(x)7.可以通过递推关系求解的积分：∫ sin^n(x) dx = -1/n * sin^(n-1)(x) * cos(x) + (n-1)/n * ∫ sin^(n-2)(x) dx∫ cos^n(x) dx = 1/n * cos^(n-1)(x) * sin(x) + (n-1)/n * ∫ cos^(n-2)(x) dx8.积分的对称性：∫ f(x) dx = ∫ f(a+b-x) dx，其中a和b为常数以上是定积分的一些基本公式。
24个基本积分公式
24个基本积分公式24个基本积分公式是数学中常用的工具，它能帮助我们快速解决复杂的积分问题。
1.一个公式：恒积分公式，它是所有积分公式中最基本也是最重要的公式，它表示对某一函数$f(x)$的某一闭区间$[a,b]$进行积分，其公式如下：$$int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$$其中$F(x)$是$f(x)$的上原函数。
2.二个公式：幂积分公式，它也是一种常用的公式，它描述了当变量$x$的幂次为$n$时，$f(x)$的积分的公式如下：$$int x^nf(x)dx=frac{x^{n+1}}{n+1}f(x)-frac{n}{n+1}int x^{n-1}f(x)dx$$3.三个公式：复合公式，有时候积分可能会变得更加复杂，它描述了一种复合积分形式，其公式如下：$$int int_Rf(x,y)dydx=iint_Rf(x,y)dxdy$$其中$R$表示一个积分区域，$f(x,y)$表示函数。
4.四个公式：变量替代公式，当我们积分时，有时可能会用到变量替代的方法。
此时对于积分$int f(x)dx$，用变量$t$替代$x$，变量$t$的关于$x$的函数表达式为$t=t(x)$，当$x$的范围从$[a,b]$变为$[t_a,t_b]$时，这时需要用到变量替代公式，其公式如下：$$int_a^bf(x)dx=int_{t_a}^{t_b}f(t(x))t(x)dx$$ 其中$t(x)$表示$t$关于$x$的微分。
5.五个公式：指数积分公式，当我们积分某一函数$f(x)$关于$x$的幂为$n$时，能够用到指数积分公式，其公式如下：$$int x^ne^xdx=x^ne^x-nint x^{n-1}e^xdx$$6.六个公式：对数积分公式，当我们积分某一函数$f(x)$的流函数是一个对数函数的时候，可以用到对数积分公式，它的公式如下： $$int frac{1}{x}dx=ln|x|+C$$其中$C$是常量。
二十四个基本积分公式
二十四个基本积分公式积分是微积分的基本概念之一，它是对函数曲线下其中一区间的面积进行求解的操作。
在求解积分时，我们可以利用一些基本的积分公式来简化计算。
下面将介绍二十四个常用的基本积分公式。
1. $\int x^ndx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$ （其中$n\neq -1$）这是幂函数的积分公式，对幂函数进行求积分时，指数加一后再乘以系数并且指数要除以新系数。
2. $\int \frac{1}{x}dx = \ln，x， + C$这是倒数函数的积分公式，对倒数函数求积分时，结果是该函数的自然对数的绝对值。
3. $\int e^xdx = e^x + C$这是指数函数的积分公式，对指数函数求积分时，结果是该函数本身。
4. $\int a^xdx = \frac{a^x}{\ln a} + C$ （其中$a>0, a\neq 1$）这是以底数为常数的指数函数的积分公式，对这种函数进行求积分时，结果是该函数除以对数的底数再加上常数。
5. $\int \sin xdx = -\cos x + C$这是正弦函数的积分公式，对正弦函数求积分时，结果是该函数的负余弦。
6. $\int \cos xdx = \sin x + C$弦。
7. $\int \tan xdx = -\ln，\cos x， + C$这是正切函数的积分公式，对正切函数求积分时，结果是该函数的负对数的余弦的绝对值。
8. $\int \sec xdx = \ln，\sec x + \tan x， + C$这是正割函数的积分公式，对正割函数求积分时，结果是该函数的对数的正割加正切的绝对值。
9. $\int \cot xdx = \ln，\sin x， + C$这是余切函数的积分公式，对余切函数求积分时，结果是该函数的对数的正弦的绝对值。
10. $\int \csc xdx = \ln，\csc x - \cot x， + C$这是余割函数的积分公式，对余割函数求积分时，结果是该函数的对数的余割减余切的绝对值。
高等数学积分公式大全
高等数学积分公式大全在高等数学中，积分是一个非常重要的概念，它在许多领域都有着广泛的应用，如物理学、工程学、经济学等。
积分公式则是解决积分问题的有力工具。
下面，我们就来详细介绍一下高等数学中的积分公式。
一、不定积分的基本公式1、常数的积分：∫k dx ＝ kx ＋ C （k 为常数，C 为积分常数）2、幂函数的积分：∫x^n dx ＝（1/（n ＋ 1)）x^（n ＋ 1) ＋ C （n ≠ －1）3、指数函数的积分：∫e^x dx ＝ e^x ＋ C∫a^x dx ＝（1 ／ lna)a^x ＋ C （a ＞ 0，a ≠ 1）4、对数函数的积分：∫lnx dx ＝ xlnx x ＋ C∫log_a x dx ＝（1 ／ lna)x(log_a x 1) ＋ C （a ＞ 0，a ≠ 1）二、三角函数的积分公式1、∫sinx dx ＝ cosx ＋ C2、∫cosx dx ＝ sinx ＋ C3、∫tanx dx ＝ ln|cosx| ＋ C4、∫cotx dx ＝ ln|sinx| ＋ C5、∫secx dx＝ ln|secx ＋ tanx| ＋ C6、∫cscx dx ＝ ln|cscx ＋ cotx| ＋ C三、反三角函数的积分公式1、∫arcsinx dx ＝ xarcsinx ＋√（1 x^2) ＋ C2、∫arccosx dx ＝xarccosx √（1 x^2) ＋ C3、∫arctanx dx ＝ xarctanx （1 ／ 2)ln(1 ＋ x^2) ＋ C4、∫arccotx dx ＝ xarccotx ＋（1 ／ 2)ln(1 ＋ x^2) ＋ C四、有理函数的积分有理函数是指两个多项式的商。
对于形如P(x) ／Q(x) 的有理函数，其中 P(x) 和 Q(x) 都是多项式，可以通过多项式的除法将其化为一个多项式和一个真分式之和。
真分式可以通过部分分式分解的方法化为较简单的分式，然后再进行积分。
基本积分公式直接积分法
基本积分公式直接积分法1.幂函数的积分公式：- 若a≠-1，则∫x^ndx=(1/n+1)x^(n+1)+C- 若a=-1，则∫1/xdx=ln，x，+C- 若a≠0，则∫a^xdx=1/(lna)*a^x+C2.指数函数的积分公式：- ∫e^xdx=e^x+C3.三角函数的积分公式：- 若n为奇数，则∫sin^nx dx= (-1/(n-1))*sin^(n-1)x*cosx +(n-2)/(n-1)∫sin^(n-2)x dx- 若n为偶数，则∫sin^nx dx= -(1/(n-1))*sin^(n-1)x*cosx +(n-2)/(n-1)∫sin^(n-2)x dx- 若n为奇数，则∫cos^nx dx= (1/(n-1))*cos^(n-1)x*sinx +(n-2)/(n-1)∫cos^(n-2)x dx- 若n为偶数，则∫cos^nx dx= (1/(n-1))*cos^(n-1)x*sinx +(n-2)/(n-1)∫cos^(n-2)x dx- ∫secxdx=ln，secx+tanx，+C- ∫cscxdx=ln，cscx-cotx，+C- ∫secxtanxdx= secx+C- ∫cscxcotxdx= -cscx+C4.反三角函数的积分公式：- ∫1/(√1-x^2)dx = sin^(-1)x + C- ∫1/(1+x^2)dx = tan^(-1)x + C- ∫1/(x√x^2-1)dx = sec^(-1)x + C这些基本积分公式为直接积分法提供了基础工具，也为我们求解各类函数的不定积分提供了便利。
直接积分法主要根据基本积分公式进行计算，其基本步骤如下：1.根据被积函数的形式，选择相应的基本积分公式。
2.对函数进行化简和分解，将其转化为基本积分公式形式。
3.由基本积分公式计算出积分结果。
4.在计算结果中加上积分常数C。
以下是一些例题来演示直接积分的具体过程：例题1：计算∫(3x^2 + 2x + 1)dx解：根据基本积分公式∫x^ndx=(1/n+1)x^(n+1)+C∫(3x^2 + 2x + 1)dx =(1/3+1)x^(3+1)+(1/2+1)x^(2+1)+x^(1+1)+C=(1/4)x^4+(1/3)x^3+x^2+C例题2：计算∫sin^3xdx解：根据基本积分公式∫sin^nx dx= (-1/(n-1))*sin^(n-1)x*cosx +(n-2)/(n-1)∫sin^(n-2)x dx∫sin^3xdx = (-1/(3-1))*sin^(3-1)x*cosx +(3-2)/(3-1)∫sin^(3-2)x dx= (-1/2)*sin^2x*cosx +(1/2)∫sinxdx= (-1/2)*sin^2x*cosx -(1/2)cosx + C通过以上例题，我们可以看到直接积分法的基本原理和步骤。
26个基本积分公式
26个基本积分公式基本积分公式是数学中常用的一组公式，用于求解定积分。
以下是26个基本积分公式：1. ∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n不等于-1。
2. ∫ 1/x dx = ln|x| + C，其中x不等于0。
3. ∫ e^x dx = e^x + C。
4. ∫ a^x dx = (a^x)/(lna) + C，其中a为常数且不等于1。
5. ∫ sin(x) dx = -cos(x) + C。
6. ∫ cos(x) dx = sin(x) + C。
7. ∫ sec^2(x) dx = tan(x) + C。
8. ∫ csc^2(x) dx = -cot(x) + C。
9. ∫ sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C。
10. ∫ csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C。
11. ∫ 1/(x^2 + a^2) dx = (1/a)arctan(x/a) + C。
12. ∫ 1/(sqrt(a^2 - x^2)) dx = arcsin(x/a) + C。
13. ∫ 1/(x√(x^2 - a^2)) dx = (1/a)arcsec(|x|/a) + C。
14. ∫ 1/(a^2 + x^2) dx = (1/a)arctan(x/a) + C。
15. ∫ 1/(a^2 - x^2) dx = (1/2a)ln|((a+x)/(a-x))| + C。
16. ∫ e^axsin(bx) dx = (e^ax/a^2 + b^2)e^axsin(bx) - (e^ax/a)(be^axcos(bx)) + C。
17. ∫ e^axcos(bx) dx = (e^ax/a^2 + b^2)e^axcos(bx)+ (e^ax/a)(be^axsin(bx)) + C。
18. ∫ sin^n(x) cos(x) dx = - (1/(n+1)) sin^(n+1)(x) + C，其中n不等于-1。
常见积分公式24个
常见积分公式24个积分是微积分的一个重要概念，它是对函数的一个连续求和过程。
在微积分中，我们常常使用积分公式来计算各种函数的积分，以解决实际问题。
下面是常见的24个积分公式，详细介绍每个公式的积分计算过程。
1. $∫dx=x+C$：对任意常数 $C$，常数的积分是它自己，即对$x$ 的积分是 $x$ 加上一个常数 $C$。
2. $∫x^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$：这个公式称为幂函数的积分公式，其中 $n$ 是不等于 $-1$ 的实数。
3. $∫e^xdx=e^x+C$：这是指数函数的积分公式，它的导数是 $e^x$。
4. $∫a^xdx=\frac{a^x}{\ln a}+C$：这是对数函数的积分公式，其中 $a$ 是大于 $0$ 且不等于 $1$ 的常数。
5. $∫\frac{1}{x}dx=\ln，x，+C$：这是倒数函数的积分公式，其中 $x$ 不等于 $0$。
6. $∫\sin xdx=-\cos x+C$：这是正弦函数的积分公式，它的导数是 $-\cos x$。
7. $∫\cos xdx=\sin x+C$：这是余弦函数的积分公式，它的导数是$\sin x$。
8. $∫\frac{1}{\cos^2 x}dx=\tan x+C$：这是正切函数的积分公式，它的导数是 $\frac{1}{\cos^2 x}$。
9. $∫\frac{1}{\sin^2 x}dx=-\cot x+C$：这是余切函数的积分公式，它的导数是 $\frac{1}{\sin^2 x}$。
10. $∫\sec x\tan xdx=\sec x+C$：这是正割函数的积分公式，它的导数是 $\sec x\tan x$。
11. $∫\csc x\cot xdx=-\csc x+C$：这是余割函数的积分公式，它的导数是 $\csc x\cot x$。
12. $∫\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$：这是反正弦函数的积分公式，它的导数是 $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。
积分基本公式
2.基本积分公式表(1)∫ 0dx=C(2)=ln|x|+C(3)(m≠ -1， x>0)(4)(a>0,a≠ 1)(5)(6)∫ cosxdx=sinx+C(7)∫ sinxdx=-cosx+C(8)∫ sec2xdx=tanx+C(9)∫ csc2xdx=-cotx+C(10)∫ secxtanxdx=secx+C(11)∫ cscxcotxdx=-cscx+C(12)=arcsinx+C(13)=arctanx+C注． (1)不是在m=-1的特例．(2)=ln|x|+C，ln后面真数x要加绝对值，原因是(ln|x|)' =1/x．事实上，对 x>0， (ln|x|)' =1/x；若 x<0，则(ln|x|)' =(ln(- x))' =.(3)要特别注意与的区别：前者是幂函数的积分，后者是指数函数的积分．下面我们要学习不定积分的计算方法，首先是四则运算．6.复合函数的导数与微分大量初等函数含有复合函数的成分，它们的导数与微分计算法则具有特别重要的意义．定理 .(链锁法则 )设 z=f(y)，y= (x)分别在点 y0= (x0)与 x0可导，则复合函数 z=f[ (x)] 在x0可导，且或(f o )' (x0)=f '(y0) '(x0)．证．对应于自变量 x0处的改变量x，有中间变量 y 在 y00y 及因= (x )处的改变量变量 z 在 z0=f(y0) 处的改变量 z，（注意y 可能为 0）．现z=f (y0) y+v， y= (x0) x+u，且令，则v=y，（注意，当y=0 时， v=y 仍成立）． y 在 x0可导又蕴含y 在 x0连续，即y=0．于是=f '(y0) '(x0 )+0 '(x0)=f '(y0 ) '(x0)为理解与记忆链锁法则，我们作几点说明：(1)略去法则中的 x=x 0与 y=y0，法则成为公式，其右端似乎约去 dy 后即得左端，事实上，由前面定理的证明可知，这里并不是一个简单的约分过程．(2) 计算复合函数的过程：x y z复合函数求导的过程：z y x：各导数相乘例 2.3.15 求y=sin5x的导数．解．令 u=5x，则精品文档精品文档y' ==cosu 5=5cos5x．例 2.3.16 求y=lncosx的导数．解．令 u=cosx，则 y=lnu．于是y'．=例 2.3.17 求幂函数y=x m的导数，m为任意实数．解．因 y=，令u=mlnx，则y=e u．y' ==e u mm 是正整数 n 时，即例 2.3.2．(3)链锁法则可以推广到多层次中间变量的复合函数：复合函数的求值：x y z u⋯v w复合函数的求导：w v⋯u z y x：各导数相乘(4)在熟练掌握链锁法则以后，为简便写法，中间变量 v，u， z， y 等可不必写出，只要做到心中有数．例 2.3.18 求的导数解．=．(5) 链锁法则的微分形式是：df( (x))= f ( (x))d (x)例 2.3.19 求函数y=的微分解． dy =dsin2x=2sinxdsinx精品文档思考题 .请你仔细研究例 2.3.18 的解题过程，函数的构成除由基本初等函数复合之外还包含四则运算，因此求导的过程也应遵循四则运算与链锁法则，两个方面必须同时考虑.5.导数与微分的四则运算设 u=u(x)， v=v(x) 为可导函数， c 是常数，则有公式 (1) (u v)' = u' v'， d(u v) = du dv．公式 (2) (uv)' = u' v+uv'，d(uv) = vdu+udv．公式 (3) (cu)' = cu'， d(cu) = cdu．公式 (4)，(v 0)．点击此处看公式 (1)－ (4)的证明．例 2.3.11 求y=tanx的导数解． (tanx)' ===sec2x．同理可得 (cotx)' = csc2x．例 2.3.12 求y=secx的导数．解． (secx)' ==secx tanx．同理可得 (cscx)' = cscx cotx．例 2.3.13 求y=(1+4 x)(2x23x3)的导数．解一． y' =(1+4 x) (2x2 3x3)+(1+4x)(2x2 3x3)'=4(2x2 3x3)+(1+4 x)(2 2x 3 3x2)=8x2 12x3+4x 9x2 +16x2 36x3=4x+15x2 48x3解二．因 y =2x2+5x3 12x4，故y' =2 2x+5 3x2 12 4x3=4x+15x2 48x3．例 2.3.14 求函数y=(x+sinx)lnx的微分．解． dy=ln xd(x+sinx)+(x+sinx)dln x=ln x(dx+dsinx)+(x+sinx)dx=ln x (dx+cosxdx)+dx=dx．2.导数的定义从曲线的切线斜率以及其他有关函数变化速度问题，我们抽象出函数的导数概念.定义 .设函数y=f(x)在包含点x0的一个开区间X(这样的开区间称为x0的邻域 )内有定义， y000，我们称 x=x x0=f(x )．如果 x X x0( 读作 delta)为自变量的改变量，y=f(x) f(x0)为函数的(对应)改变量，比值为函数的差商或平均变化率．如果极限存在，则称函数y=f(x) 在点x0可导(或可微 )，该极限称为函数y=f(x)在x0点关于自变量x 的导数 (或微商 )．记作．因 x=x x0，x=x0+ x，故还有．此时，曲线 y=f(x)在点 (x0， f(x0))的切线方程是．注意 . x 可正可负，依x 大于或小于x0而定．根据定义求已知函数y=f(x)在给定点 x0的导数的步骤是：(1)计算函数在自变量 x0+ x 处的函数值 f(x0+ x)；(2)计算函数的改变量 y=f(x0+ x) f(x0 )；(3) 写出函数的差商；(4)计算极限，即导数值．例 2.3.1 求常数函数y=c 的导数．解．因 y=y(x+ x) y(x)=c c=0，差商=0，故=0．此处 x 可为任意实数，即常数函数y=c 在任意点 x 处的导数为 0．例 2.3.2 设n是正整数，求幂函数y=x n在点 x 处的导数．解．因y(x+ x)=( x+ x)n =x n+，y=y(x+ x) y(x)=，故=．特别，当 n=1 时，函数 y=x 在任意点 x 处的导数为1．例 2.3.3 求曲线y=x3在点(2,8)处的切线方程．解．在上例中取n=3 可知函数 y=x3在点 x 处的导数为3x2，于是在点 (2， 8)处的切线斜率是： y'(2)=322=12，故曲线 y=x3在 (2,8)处的切线方程是y 8=12 (x 2)12x y 6=0．注．(1)从上述例子我们看到，一般情况下，给定函数y=f(x)在某个区间 X 内每一点都可导，这样可求出X 内每一点的导数y'(x)， x X ．于是 y'(x)成为 X 内有定义的一个新函数，我们称它为给定函数y=f(x) 的导函数，且常常省略定义中的字样“在x 点处关于自变量的”，甚至简称f(x)的导数．例如我们说常数函数y=c 的导数是 0， y=x 的导数是1，y=x n的导数是等等，分别记作c' =0，x' =1，(x n)' =等等．(2)关于改变量的记号，应把它与其后面的变量x 或 y 看作一个整体量，就象sinx 中的 sin 一样，绝不能把x 看成与x的乘积，特别，为避免误解，我们用(x)2来表示x 的平方而不写x2．从导数的定义我们还可以导出其它一些初等函数的导数公式:(点击此处看例 2.3.4，例 2.3.5，例 2.3.6 证明 )例 2.3.4 y=sinx的导数是(sinx)' =cosx，y=cosx 的导数是 (cosx)' = sinx ．例 2.3.5 y=log a x(0<a 1)的导数是(log a x)' =．特别， (ln x)' = 1/x ．例 2.3.6 指数函数y=a x(0<a 1)的导数是(a x)' =a x lna．特别， ( e x)' =e x．8.导数的导数 -- 二阶导数一般来说，函数y=f(x) 的导数还是以x 为自变量的函数：y' =f '(x)，如果它还可导，我们又可得 f ' (x) 的导数： (y' )' =[ f ' (x)] ' ，称为 y=f(x)的二阶导数，记作y'' =f '' (x) ，或=．如果它还可导，我们就可继续逐次求三阶，四阶，⋯的导数，对任意正整数n ，n 阶导数被定义为y(n)=(y(n 1))' ，n=2， 3，⋯统称为函数y 的高阶导数．例 2.3.22 求y=sin x的n阶导数．解． y' =cosx=sin，用归纳法不难求出y(n)=sin．例 2.3.23若s =s(t)为质点运动的路程函数，则s' (t)= v(t)是运动速度．又,二阶导数s''(t)=v' (t)=a(t) 则是运动的加速度．例 2.3.24求y =arc tanx的二阶导数y'' ．解． y' =，y'' = (1+x2)2(1+x2)' =．思考题 .对于可导函数y=f(x)来说，导数f ' (x)表示曲线的切线斜率，请你考虑，如果f ' (x)还可导，那么 f '' (x)的正或负，反映函数 y=f(x) 的图像的什么性态 .实验题 .选择不同的函数，使二阶导数取正或负值，然后作出函数的图像，观察二阶导数对函数图像的影响 .7.基本初等函数的导数与微分公式求导公式求微分公式(1)c' =0dc= 0(2)( x m)' =mx m-1dx m=mx m-1dx， m R(3)(a x)' =a x lnada x=a x lnadx，0 <a 1( e x )' = e x d e x= e x dx(4) ( a x)' = d a x=，0<a 1log log精品文档(ln x)' =dlnx=(5) (x)' =x d x=xdxsin cos sin cos(6) (x)' =x d x=xdxcos sin cos sin(7) (x)' =2x d x=2xdxtan sec tan sec(8) (x)' =csc2x d x=2xdxcot cot csc(9) (x)' =x x d x=x xdxsec sec tan sec sec tan(10) (x)' = cscx cotx d x=x cotxdxcsc csc csc(11) (arc x)' =darc x=sinsindarc x=cos (12) (arc x)' =cosdarc x=tan(13) (arc x)' =darccotx= tan(14) (arccot x)' =例 2.3.20求 y=arcsin的微分．解．．例 2.3.21 求y=+arctan e x的导数．解．．12.二元函数的导数与微分 ( 选学）设 z=f(x， y)是两个自变量x 与 y 的函数， x 与 y 的变化都会引起函数z 的变化，实际问题中有时需考虑单个自变量的变化引起的函数变化，即将另一自变量固定不变，看作常数，此时函数就像一元函数了．函数z 关于一个变量x 的导数就称为 z 关于 x 的偏导数．记作，事实上，按导数定义，应该是=，同理， z 关于变量 y 的偏导数是=．我们也记．若 z=f(x， y)有连续的偏导数 f x(x，y)， f y(x，y)，则自变量x 与 y 的改变量x 与 y 的线性表达式f x(x，y) x+f y(x， y) y称为 z=f(x， y)在 (x，y) 处对应于x，y 的全微分，记作dz=f x(x，y) x+f y(x， y)y．由于自变量的微分等于自变量的改变量：dx= x，dy= y，于是二元函数的微分公式是dz=．例 2.3.30设f(x，y)=xy+x2 2 y3，求．解．=y+2x (把 y 看作常数，对x 求导数 )．=x 6y2 ( 把 x 看作常数，对y 求导数 )．例 2.3.31 求z= e x siny的全微分．解． dz=siny d e x+e x dsiny=siny e x dx+e x cosy dy=e x(sinydx+cosy dy)．例 2.3.32 设x+2y+2z 2=0 确定二元函数 z=z(x，y)，求．解．对方程 x+2y+2z 2=0 两边求微分，则左端得dx+2dy+2dz 2d右端的微分是0，于是解得dz =，由此得，．13.分段函数的导数 ( 选学）我们通过分段函数在衔接点处导数的研究，了解函数的可导性与连续性的关系．函数 y=f(x)在点 x0的导数被定义为极限，这等价于=0 ，记，则=0 ，由此f(x0+ x)-f(x0)=[ u( x)+f’(x0)] x，于是[f(x000+ x)-f(x )]=[u( x)+f’(x)] x=0，即f(x0+ x) = f(x0) ．如果记 x=x0+ x，则得f(x)= f(x0) ．这表明函数f(x)在 x0连续．因此有定理．若函数 y=f(x)在 x0可导，则 f(x)在 x0连续．因此，连续性是函数可导性的必要条件．但上述命题的逆是不正确的．请看下例．例 2.3.33 讨论函数在点 x=0 的连续性与可导性．解．因,,故,且 f(0)=e0=1．由此可见f(x)在 x=0 连续．其次，为讨论 f '(0)，我们需计算极限．为方便计，用x 代替x，为此我们研究极限．现在，，．由此可见，极限不存在，即f(x)在x=0不可导．你能看到，在函数y =f(x)的图像上点 (1，0)处没有切线，因为在其左边有一条“半切线”，斜率是1，但在其右边有一条“半切线”，斜率是0定义．设函数 y =f(x) 定义在区间 (a,b)内， x0(a,b)，如果极限存在，则称此极限为f(x)在点 x0处的右导数，记作f+'(x0)=．类似地，f(x)在点 x0的左导数是f-'(x0)=.只有 f+' (x0)与 f-' (x0)都存在且相等时，f(x)在点 x0才可导，且 f '(x0)=f+'(x0)=f-'(x0) ．即有定理．设函数 f(x)在区间 (a,b)内有定义， x0(a,b)．则f '( x0)存在f-' ( x0)与 f+'( x0)都存在且相等．左导数与右导数统称为单侧导数.例 2.3.34 讨论函数在 x=0 的可导性．解．首先讨论 f(x)在 x=0 的连续性．因，，f(0)=0 ，故 f(x)在 x=0 连续．其次，因，，故 f(x)在 x=0 可导，且 f '(0)=-1．注.上例中求左右导数或讨论分段函数衔接点处可导性的方法，必须首先研究函数在该点的连续性，在连续的前提下才可使用此方法，否则会出现错误．例如考虑函数此时 g(x)在 x=0 不连续，更不可导．如果你用上例方法求左右导数： g'+(0)=-1，g'-(0)=-1，得出 g'(0)=-1，那就大错特错了．事实上 , 上图中的原点并不属于函数 g(x)的图像 ,因此 ,原点右侧的“半切线”是不存在的 ,也就是说 ,原点处的右导数是不存在的．1.曲线的切线斜率我们知道，圆的切线定义为与圆相交于唯一点的直线．但对于一般曲线，切线是不能这样定义的．例如右下图中曲线在P 点处的切线 , 除 P 点外还交曲线于Q 点．为确切表达切线的含义，需应用极限的思想．请看下面的动画．说明：点 P(x0,f(x0))=P(x0,y0)是曲线 y=f(x) 上的给定点．点 Q(x,y)=Q(x,f(x))是曲线上的动点 , 可在 P 的两侧：在右侧时 x>x0；在左侧时 x<x0．动直线 PQ 是曲线的割线．如果动点 Q 无限地逼近定点 P 时 , 动直线 PQ 有一个极限位置 T, 即极限则称 PT 为曲线在 P 点的切线．为确定切线 PT 的位置 , 或建立 PT 的方程 , 只需确定其斜率．由于 PT 是 PQ 的极限 , 从而 PT 的斜率是 PQ 斜率的极限 , 极限过程是由 Q→ P 产生的．而Q→ P 即 x→ x0．设 PT 对于 x 轴的倾角 (即 x 轴正向逆时针旋转至PT 经过的角 )为 , PT 的斜率为k=tan ．现在割线 PQ 的斜率为：．而切线 PT 的斜率为：(PQ 的斜率 )=,由此得切线PT 的方程是： y f(x0)=k( x x0)．。
基本积分公式范文
基本积分公式范文1.基本初等函数的积分公式：(1)常数函数的积分：∫k dx = kx + C其中k是常数，C是常数项。
(2)幂函数的积分：∫x^n dx = 1/(n+1) * x^(n+1) + C其中n不等于-1(3)正弦函数的积分：∫sin(x) dx = -cos(x) + C(4)余弦函数的积分：∫cos(x) dx = sin(x) + C(5)指数函数的积分：∫e^x dx = e^x + C(6)自然对数函数的积分：∫1/x dx = ln，x， + C(7)反正切函数的积分：∫1/(1 + x^2) dx = arctan(x) + C(8)反双曲正弦函数的积分：∫1/√(x^2 + 1) dx = arsinh(x) + C2.基本三角函数的积分公式：(1)正弦函数的平方的积分：∫sin^2(x) dx = (1/2) * (x - sin(x) * cos(x)) + C(2)余弦函数的平方的积分：∫cos^2(x) dx = (1/2) * (x + sin(x) * cos(x)) + C(3)正弦函数与余弦函数的积分：∫si n(x) * cos(x) dx = -(1/2) * cos^2(x) + C(4)正切函数的积分：∫tan(x) dx = -ln，cos(x)， + C3.基本换元积分公式：(1)一阶换元法：∫f(u) du = ∫f(g(x)) * g'(x) dx(2)二阶换元法：∫f(u, v) dx = ∫f(g(x, y), h(x, y)) * ，J(g,h)(x, y)， dydx 其中J(g,h)(x,y)是雅可比行列式。
这些是一些基本的积分公式，它们是求解不定积分的基本方法。
在实际应用中，可以通过这些公式进行积分计算，然后再根据具体问题进行适当的变换和运算。
掌握这些公式可以极大地简化积分计算的过程，提高计算的效率。
同时，还可以通过这些公式深入理解积分的性质和应用。
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§5.3基本积分公式
重点与难点提示
基本积分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好坏直接影响积分的能力，应熟记一些常用的积分公式.
因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式.
(1) （ 5.6 ）
(2) ( 5.7 )
(3)
( 5.8 )
(4) ( 5.9 )
(5)
( 5.10 )
(6) ( 5.11 )
(7) ( 5.12 )
(8) ( 5.13 )
(9) ( 5.14 )
(10) ( 5.15 )
(11) ( 5.16 )
对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记.
公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数.
公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与.
当时，，
积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次.
特别当时，有.
当时，
公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为
，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清.
当时，有.
是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变.
应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同.
公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.
公式（10）是一个关于无理函数的积分
公式（11）是一个关于有理函数的积分
下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分.
例1 求不定积分.
分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式.
解：
（为任意常数）
例2 求不定积分.
分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式.
解：由于，所以
（为任意常数）
例3 求不定积分.
分析：将按三次方公式展开，再利用幂函数求积公式.
解：
(为任意常数 )
例4 求不定积分.
分析：用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次.
解：
（为任意常数）
例5 求不定积分.
分析：基本积分公式表中只有
但我们知道有三角恒等式：
解：
（为任意常数）
同理我们有：
（为任意常数）
例6
（为任意常数）。