时 瞬时变化率——导数

复习回顾:
1、平均变化率
一般的，函数 化率为
f
(
x)
在区间上[
x1
,
x2
]
的平均变
f (x2 ) f (x1)
x2 x1
曲线“陡峭”程度
函数变化快慢
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问问题题情2景高台跳水
在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单
位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
利用割线求切线
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变式训练
变式:1.求 f
(x)
1 x2
过点(1,1)的切线方程
y 2x 3
（2）若曲线方程为y
3x2 2
1
3x
0 32
x
2
x2
求此曲线在x 1和x 3处的切线斜率。
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求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
1、求从 x0 起横坐标改变 x 时纵坐标的改变量 y
kPQ (x x) x
x
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(3)如何求切线的斜率?
y
y=f(x) Q
割 线
T 切线
o
P
x
kPQ
f (x x) x
f (x)
当x无限趋近0时, kPQ就无限趋近点P处的切线斜率。
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例题讲解
例1、已知f (x) x2 2x，分别求曲线y f (x) 在x 1, x 0, x 1处的切线的斜率。
(1)概念:曲线的割线和切线 y=f(x) 割
y
线 Q
T 切线
P o
结论:当Q点无限逼近P点时,此时 x 直线PQ就是P点处的切线.
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(2)如何求割线的斜率?
y
y=f(x)
Q
f (x x) f (x)
P
o
x
x x x x
f (x x) f (x) f (x x) f (x)
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课堂小结
求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
1、求从 x0 起横坐标改变 x 时纵坐标的改变量 y
2、求yx 3、让 x无限趋近于0时，确定 y 无限趋近值（常
x
数A），常数A即为曲线C在点 Px0, y0 处的切线斜率。 4、利用点斜式求出切线的方程。
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课堂练习
• 1:曲线y=x2+1在点P(1,2)处的切线方程y是什Q 么?
解 : P(1, 2), Q(1 x, (1 x)2 y 1=)x,2则+1 (1 x)2 1 2
kPQ (1 x) 1 2 x 当x无限趋近于0时, kPQ无限
y
P
M
x
1j
wk.baidu.com
x
趋近于常数2
-1 O 1
2、求yx 3、让 x无限趋近于0时，确定 y 无限趋近值（常
x
数A），常数A即为曲线C在点 Px0, y0 处的切线斜率。 4、利用点斜式求出切线的方程。
Vy y y0 Vx (x x0 ) y y0 A(x x0 )
割线方程 Vx 0 切线的方程
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例题讲解
例2、曲线y x3在点P处切线斜率为k,当k 12时, P点的坐标为_________ . 变式：求曲线y 3x2 2x在x 2处的切线方程， 并判断该切线是否过点（1，2）？
所以点P(2, 4)处的切线斜率为2
因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.
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2．已知曲线 y 2x2 上一点 A(-1,2)，
求(1) 点 A 处的切线的斜率. K=-4 (2)点 A 处的切线的方程.
3．求曲线 y 2x2 1 在点 P(2，9)处的切 线方程．
K=8
如果用运动员在某段时间内的平均速度 v 描述其运
动状态, 那么:
在0 ≤ t ≤0.5这段时间里, 在1≤ t ≤2这段时间里,
v h(0.5) h(0) 4.05(m/s); 0.5 0
v h(2) h(1) 8.2(m/s); 2 1
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探 究:
计算运动员在 0 t 65 这段时间里的平均速度,
如右图所示，直线 l1, l2为经过
曲线上的一点 p的两条直线。
（1）试判断哪一条直线在点P 附 近更加逼近曲线。
（2）在点P附近你能作出一条
l 比 l1, l2 更加逼近曲线的直线
吗？
3
l1
l2
•p
（3）在点P附近你能作出一条比更 l1, l2 , l3
加逼近曲线的直线 l4吗？
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怎样找到在曲线上一点P处最逼近曲线的直线l ?
并思考下面的问题:
49
(1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
平均速度不能反映他在这段时间里运动状态， 需要用瞬时速度描述运动状态。
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问题思考
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋
势，那么，如何精确的刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？