2018年高考数学二轮复习第一部分专题一第五讲导数的应用第五讲导数的应用(一)习题

第五讲 导数的应用(一)限时规范训练 A 组——高考热点强化练一、选择题1．曲线y ＝e x在点A 处的切线与直线x ＋y ＋3＝0垂直，则点A 的坐标为( ) A ．(－1，e －1) B ．(0,1) C ．(1，e)D ．(0,2)解析：与直线x ＋y ＋3＝0垂直的直线的斜率为1，所以切线的斜率为1，因为y ′＝e x，所以由y ′＝e x ＝1，解得x ＝0，此时y ＝e 0＝1，即点A 的坐标为(0,1)，选B. 答案：B2．已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，若f ′(x )是f (x )的导函数，则函数f ′(x )在原点附近的图象大致是( )解析：因为f ′(x )＝2x －2sin x ，[f ′(x )]′＝2－2cos x ≥0，所以函数f ′(x )在R 上单调递增，故选A. 答案：A3．曲线f (x )＝x ln x 在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：因为f (x )＝x ln x ，所以f ′(x )＝ln x ＋1，所以f ′(1)＝1，所以曲线f (x )＝x ln x 在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为π4.答案：B4．若函数f (x )＝2x 3－3mx 2＋6x 在(2，＋∞)上为增函数，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，2] C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，52 D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，52解析：因为f ′(x )＝6x 2－6mx ＋6，当x ∈(2，＋∞)时，令f ′(x )≥0，即6x 2－6mx ＋6≥0，则m ≤x ＋1x ，又因为y ＝x ＋1x 在(2，＋∞)上为增函数，故当x ∈(2，＋∞)时，x ＋1x >52，故m ≤52，故选D. 答案：D5．函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( )A.12 B ．1 C ．0D ．不存在解析：f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x，且x >0.令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得0<x <1.∴f (x )在x ＝1处取得最小值，且f (1)＝12－ln 1＝12.答案：A6．已知常数a ，b ，c 都是实数，f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx －34的导函数为f ′(x )，f ′(x )≤0的解集为{x |－2≤x ≤3}，若f (x )的极小值等于－115，则a 的值是( ) A ．－8122B.13 C ．2D ．5解析：由题意知，f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ≤0的解集为[－2,3]，且在x ＝3处取得极小值－115，故有⎩⎪⎨⎪⎧3a >0，－2＋3＝－2b 3a ，－2×3＝c3a ，f 3＝27a ＋9b ＋3c －34＝－115，解得a ＝2.答案：C7．(2017·沈阳模拟)已知偶函数f (x )(x ≠0)的导函数为f ′(x )，且满足f (1)＝0，当x >0时，xf ′(x )<2f (x )，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)解析：根据题意，设函数g (x )＝f x x 2(x ≠0)，当x >0时，g ′(x )＝f ′x ·x －2·f xx 3<0，说明函数g (x )在(0，＋∞)上单调递减，又f (x )为偶函数，所以g (x )为偶函数，又f (1)＝0，所以g (1)＝0， 故g (x )在(－1,0)∪(0,1)上的函数值大于零，即f (x )在(－1,0)∪(0,1)上的函数值大于零． 答案：D8．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，若x 2f ′(x )＋xf (x )＝sin x (x ∈(0,6))，f (π)＝2，则下列结论正确的是( ) A ．xf (x )在(0,6)上单调递减 B ．xf (x )在(0,6)上单调递增 C ．xf (x )在(0,6)上有极小值2πD ．xf (x )在(0,6)上有极大值2π解析：因为x 2f ′(x )＋xf (x )＝sin x ，x ∈(0,6)，所以xf ′(x )＋f (x )＝sin x x，设g (x )＝xf (x )，x ∈(0,6)，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )＝sin x x，由g ′(x )>0得0<x <π，g ′(x )<0得π<x <6，所以当x ＝π时，函数g (x )＝xf (x )取得极大值g (π)＝πf (π)＝2π. 答案：D 二、填空题9．曲线y ＝x 2＋1x在点(1,2)处的切线方程为________．解析：∵y ′＝2x －1x2，∴y ′|x ＝1＝1，即曲线在点(1,2)处的切线的斜率k ＝1，∴切线方程为y－2＝x －1， 即x －y ＋1＝0. 答案：x －y ＋1＝010．设函数f (x )＝x (e x－1)－12x 2，则函数f (x )的单调增区间为________．解析：因为f (x )＝x (e x －1)－12x 2，所以f ′(x )＝e x －1＋x e x －x ＝(e x－1)(x ＋1)．令f ′(x )>0，即(e x－1)·(x ＋1)>0，解得x ∈(－∞，－1)或x ∈(0，＋∞)．所以函数f (x )的单调增区间为(－∞，－1)和(0，＋∞)． 答案：(－∞，－1)和(0，＋∞)11．函数f (x )＝x 3－3x 2＋6在x ＝________时取得极小值．解析：依题意得f ′(x )＝3x (x －2)．当x <0或x >2时，f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0.因此，函数f (x )在x ＝2时取得极小值． 答案：212．(2017·高考全国卷Ⅰ)如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D ，E ，F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA, △FAB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm 3)的最大值为________．解析：如图，连接OD ，交BC 于点G ，由题意，知OD ⊥BC ，OG ＝36BC . 设OG ＝x ，则BC ＝23x ，DG ＝5－x ，三棱锥的高h ＝DG 2－OG 2＝25－10x ＋x 2－x 2＝25－10x ，S △ABC ＝12×23x ×3x ＝33x 2，则三棱锥的体积V ＝13S △ABC ·h ＝3x 2·25－10x ＝3·25x 4－10x 5.令f (x )＝25x 4－10x 5，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52，则f ′(x )＝100x 3－50x 4.令f ′(x )＝0得x ＝2.当x ∈(0,2)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，故当x ＝2时，f (x )取得最大值80，则V ≤3×80＝415.∴三棱锥体积的最大值为415 cm 3. 答案：415 cm 3三、解答题13．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解析：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x ，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2， 令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数； 当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数． 由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln 5. 14．设函数f (x )＝3x 2＋axex(a ∈R)． (1)若f (x )在x ＝0处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若f (x )在[3，＋∞)上为减函数，求a 的取值范围．解析：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝6x ＋a e x －3x 2＋ax e x e x 2＝－3x 2＋6－a x ＋ae x， 因为f (x )在x ＝0处取得极值，所以f ′(0)＝0，即a ＝0. 当a ＝0时，f (x )＝3x 2e x ，f ′(x )＝－3x 2＋6xe x， 故f (1)＝3e ，f ′(1)＝3e，从而f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －3e ＝3e (x －1)，化简得3x －e y ＝0.(2)由(1)知f ′(x )＝－3x 2＋6－a x ＋aex令g (x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋a ，由g (x )＝0解得x 1＝6－a －a 2＋366，x 2＝6－a ＋a 2＋366.当x <x 1时，g (x )<0，即f ′(x )<0，故f (x )为减函数； 当x 1<x <x 2时，g (x )>0，即f ′(x )>0，故f (x )为增函数； 当x >x 2时，g (x )<0，即f ′(x )<0，故f (x )为减函数．由f (x )在[3，＋∞)上为减函数，知x 2＝6－a ＋a 2＋366≤3，解得a ≥－92，故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－92，＋∞.15．(2017·高考北京卷)已知函数f (x )＝e xcos x －x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．解析：(1)因为f (x )＝e xcos x －x ，所以f ′(x )＝e x(cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0. 又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(2)设h (x )＝e x(cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x(cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e xsin x .当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，h ′(x )＜0，所以h (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减．所以对任意x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2有h (x )＜h (0)＝0，即f ′(x )＜0.所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减．因此f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2. B 组——高考能力提速练一、选择题1．函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b <0，c >0，d >0B ．a >0，b <0，c <0，d >0C ．a <0，b <0，c >0，d >0D ．a >0，b >0，c >0，d <0解析：∵函数f (x )的图象在y 轴上的截距为正值，∴d >0.∵f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，且函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，x 1)上单调递增，(x 1，x 2)上单调递减，(x 2，＋∞)上单调递增， ∴f ′(x )<0的解集为(x 1，x 2)，∴a >0，又x 1，x 2均为正数，∴c 3a >0，－2b6a>0，可得c >0，b <0.答案：A2．设函数f (x )＝x －2sin x 是区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤t ，t ＋π2上的减函数，则实数t 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π－π6(k ∈Z)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π3，2k π＋11π6(k ∈Z)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π3(k ∈Z) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π3，2k π＋7π6(k ∈Z) 解析：由题意得f ′(x )＝1－2cos x ≤0，即cos x ≥12，解得2k π－π3≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z)，∵f (x )＝x －2sin x 是区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤t ，t ＋π2上的减函数，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤t ，t ＋π2⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3，∴2k π－π3≤t ≤2k π－π6(k ∈Z)，故选A. 答案：A3．(2017·重庆模拟)若直线y ＝ax 是曲线y ＝2ln x ＋1的一条切线，则实数a ＝( ) A ．e －12B ．2e －12C ．e 12D ．2e 12解析：依题意，设直线y ＝ax 与曲线y ＝2ln x ＋1的切点的横坐标为x 0，则有y ′|x ＝x 0＝2x 0，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2x 0，ax 0＝2ln x 0＋1，解得x 0＝e ，a ＝2x 0＝2e －12，选B.答案：B4．已知函数f (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1，若f (x )在区间[k,2]上的最大值为28，则实数k 的取值范围为( ) A ．[－3，＋∞) B ．(－3，＋∞) C ．(－∞，－3)D ．(－∞，－3]解析：由题意知f ′(x )＝3x 2＋6x －9，令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝－3，所以f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：x (－∞，－3)－3 (－3,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )单调递增极大值单调递减极小值单调递增又f (－3)＝28，f (1)＝－4，f (2)＝3，f (x )在区间[k,2]上的最大值为28，所以k ≤－3. 答案：D5．对∀x ∈R ，函数f (x )的导数存在，若f ′(x )>f (x )，且a >0，则以下说法正确的是( ) A ．f (a )>e a·f (0) B ．f (a )<e a·f (0) C ．f (a )>f (0) D ．f (a )<f (0)解析：设g (x )＝f xex，则g ′(x )＝f ′x －f xex>0，故g (x )＝f xex为R 上的单调递增函数，因此g (a )>g (0)， 即f aea>f 0e＝f (0)，所以f (a )>e a·f (0)，选A.答案：A6．若函数f (x )＝x e x－a 有两个零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．－1e <a <0B ．a >－1eC ．－e<a <0D ．0<a <e解析：构造函数g (x )＝x e x，则g ′(x )＝e x(x ＋1)，因为e x>0，所以由g ′(x )＝0，解得x ＝－1， 当x >－1时，g ′(x )>0，函数g (x )为增函数；当x <－1时，g ′(x )<0，函数g (x )为减函数， 所以当x ＝－1时函数g (x )有最小值：g (－1)＝－e －1＝－1e.画出函数y ＝x e x的图象，如图所示，显然当－1e <a <0时，函数f (x )＝x e x－a 有两个零点，故选A.答案：A7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋1x ≤0e axx >0在[－2,2]上的最大值为2，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12ln 2，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12ln 2C ．(－∞，0)D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12ln 2解析：设y ＝2x 3＋3x 2＋1(－2≤x ≤0)，则y ′＝6x (x ＋1)(－2≤x ≤0)，所以－2≤x <－1时y ′>0，－1<x <0时y ′<0，所以y ＝2x 3＋3x 2＋1在[－2,0]上的最大值为2，所以函数y ＝e ax在(0,2]上的最大值不超过2，当a >0时，y ＝e ax 在(0,2]上的最大值e 2a≤2，所以0<a ≤12ln 2，当a ＝0时，y＝1≤2，当a <0时，y ＝e ax在(0,2]上的最大值小于1，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12ln 2.答案：D8．定义在R 上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，已知f (x ＋1)是偶函数，且(x －1)f ′(x )<0.若x 1<x 2，且x 1＋x 2>2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是( )A ．f (x 1)<f (x 2)B ．f (x 1)＝f (x 2)C ．f (x 1)>f (x 2)D ．不确定解析：由(x －1)f ′(x )<0可知，当x >1时，f ′(x )<0，函数单调递减．当x <1时，f ′(x )>0，函数单调递增．因为函数f (x ＋1)是偶函数，所以f (x ＋1)＝f (1－x )，f (x )＝f (2－x )，即函数f (x )图象的对称轴为x ＝1.所以，若1≤x 1<x 2，则f (x 1)>f (x 2)；若x 1<1，则x 2>2－x 1>1，此时有f (x 2)<f (2－x 1)，又f (2－x 1)＝f (x 1)，所以f (x 1)>f (x 2)． 综上，必有f (x 1)>f (x 2)，选C. 答案：C 二、填空题9．曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为______．解析：y ′＝3ln x ＋1＋x ·3x＝3ln x ＋4，k ＝y ′|x ＝1＝4，切线方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x－3.答案：y ＝4x －310．已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意知f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立．又∵y ＝－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上单调递减，∴⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋1x max ＝83，∴2a ≥83，即a ≥43.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞11．已知函数f (x )＝ln x ，则函数g (x )＝f (x )－f ′(x )在区间[2，e]上的最大值为________． 解析：因为f (x )＝ln x ，所以f ′(x )＝1x ，则g (x )＝f (x )－f ′(x )＝ln x －1x，函数g (x )的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝1x ＋1x2>0在x ∈(0，＋∞)上恒成立，所以函数g (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以g (x )在区间[2，e]上的最大值g (x )max ＝g (e)＝ln e －1e ＝1－1e .答案：1－1e12．已知y ＝f (x )为R 上的连续可导函数，且xf ′(x )＋f (x )>0，则函数g (x )＝xf (x )＋1(x >0)的零点个数为________．解析：本题考查导数在函数中的应用，考查考生的构造思想．设F (x )＝xf (x )，则F ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )>0在R 上恒成立，且F (0)＝0，所以F (x )＝xf (x )>0在(0，＋∞)上恒成立，所以在(0，＋∞)上g (x )＝xf (x )＋1>1恒成立，则函数g (x )＝xf (x )＋1的零点个数为0. 答案：0 三、解答题13．已知函数f (x )＝ln x －a x.(1)若a >0，试判断f (x )在定义域内的单调性； (2)若f (x )在[1，e]上的最小值为32，求a 的值．解析：(1)x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋a x 2＝x ＋ax2(a >0)，显然f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数． (2)由(1)可知，f ′(x )＝x ＋ax 2. ①若a ≥－1，则当x ∈(1，e)时，x ＋a >0，即f ′(x )>0，故f (x )在[1，e]上为增函数， ∴f (x )min ＝f (1)＝－a ＝32，∴a ＝－32(舍去)．②若a ≤－e ，则当x ∈(1，e)时，x ＋a <0，即f ′(x )<0，故f (x )在[1，e]上为减函数，∴f (x )min ＝f (e)＝1－a e ＝32，∴a ＝－e2(舍去)．③若－e<a <－1，令f ′(x )＝0，得x ＝－a ，当1<x <－a 时，f ′(x )<0，f (x )在(1，－a )上为减函数； 当－a <x <e 时，f ′(x )>0，f (x )在(－a ，e)上为增函数． ∴f (x )min ＝f (－a )＝ln(－a )＋1＝32，∴a ＝－ e.综上所述，a ＝－ e.14．(2017·潍坊模拟)已知函数f (x )＝a x＋b ln x ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝x .(1)求函数f (x )的单调区间及极值；(2)若∀x ≥1，f (x )≤kx 恒成立，求k 的取值范围． 解析：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝bx －ax 2，故f ′(1)＝b －a ＝1， 又f (1)＝a ，点(1，a )在直线y ＝x 上， ∴a ＝1，则b ＝2.∴f (x )＝1x ＋2ln x 且f ′(x )＝2x －1x2，当0<x <12时，f ′(x )<0，当x >12时，f ′(x )>0.故函数f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，f (x )极小值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－2ln 2，无极大值．(2)由题意知，k ≥f x x ＝2ln x x ＋1x 2(x ≥1)恒成立， 令g (x )＝2ln x x ＋1x2(x ≥1)， 则g ′(x )＝2－2ln x x 2－2x 3＝2x －x ln x －1x 3(x ≥1)， 令h (x )＝x －x ln x －1(x ≥1)，则h ′(x )＝－ln x (x ≥1)，当x ≥1时，h ′(x )≤0，h (x )在[1，＋∞)上为减函数，故h (x )≤h (1)＝0，故g ′(x )≤0， ∴g (x )在[1，＋∞)上为减函数，故g (x )的最大值为g (1)＝1，∴k ≥1.15．已知函数f (x )＝13x 3－32x 2＋2x ＋5. (1)求函数f (x )的图象在点(3，f (3))处的切线方程；(2)若曲线y ＝f (x )与y ＝2x ＋m 有三个不同的交点，求实数m 的取值范围．解析：(1)∵f (x )＝13x 3－32x 2＋2x ＋5，∴f ′(x )＝x 2－3x ＋2. 易求得f ′(3)＝2，f (3)＝132. ∴f (x )的图象在(3，f (3))处的切线方程是y －132＝2(x －3)，即4x －2y ＋1＝0. (2)令f (x )＝2x ＋m ，即13x 3－32x 2＋2x ＋5＝2x ＋m ，得13x 3－32x 2＋5＝m ， 设g (x )＝13x 3－32x 2＋5， ∵曲线y ＝f (x )与直线y ＝2x ＋m 有三个不同的交点，∴曲线y ＝g (x )与直线y ＝m 有三个不同的交点，易得g ′(x )＝x 2－3x ，令g ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝3，当x <0或x >3时，g ′(x )>0，当0<x <3时，g ′(x )<0，∴g (x )在(－∞，0)，(3，＋∞)上单调递增，在(0,3)上单调递减，又g (0)＝5，g (3)＝12，即g (x )极大值＝5，g (x )极小值＝12， ∴可画出如图所示的函数g (x )的大致图象．1 2<m<5.∴实数m的取值范围为。