解直角三角形(方位角、坡度角)
解直角三角形方位角与坡度
B
30º
A
C
5.5米
2.如图7-3-4所示，某地下车库的入口处有斜坡AB，其坡 度i=1∶1.5，且AB= 13 m.
C
如图，水库的横截面是梯形，坝高23m，迎水
坡AB的坡度是 i 1 : 3 ，背水坡CD的坡度 是i=1:1,求坡角a和坝底宽AD
BC
i 1: 3
α A
EF
DHale Waihona Puke 如图:一艘轮船由海平面上A地出发向南 偏西400的方向行驶40海里到达B地,再 由B地向北偏西200的方向行驶40海里到 达C地,则A,C两地的距离为 ____
为建设山水园林式城市，内江市正在对城区河 段进行区域性景观打造.如图，某施工单位为 测得某河段的宽度，测量员先在河对岸边取一 点A,再在河这边沿河边取两点B,C.在点B处测 得点A在北偏东30度方向上，在C点处测得点A 在西北方向上，量得BC长为200米.请你求出 该河段的宽度（结果保留根号）.
北
C 北
D
A 有一个角是600的三 角形是等边三角形
B
二、探究
例、如图，海岛A四周20海里周围内为暗礁区，一艘货 轮由东向西航行，，航行24海里到C，在B处见岛A在北 偏西60˚.在c见岛A在北偏西30˚，货轮继续向西航行， 有无触礁的危险？
解：过点A作AD⊥BC于D,
设CD=x,则BD=X+24
解直角三角形方位角与
解直角三角形的应用
概念反馈
在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念
（1）仰角和俯角
视线
h
（2）坡度 i ＝
l
α为坡角
h
α
l
铅
α垂
=tan
线
解直角三角形方位角坡度
P A C B
2、如图，一渔船由西往东航行，在A点 测得海岛C位于北偏东60°的方向，前 进20海里到达B点，此时，测得海岛C位 于北偏东30°的方向，则海岛C到航线 AB的距离CD等于____海里．
3、一渔船在海岛A南偏东20°方 向的B处遇险，测得海岛A与B的 距离为20海里，渔船将险情报告 给位于A处的救援船后，沿北偏 西80°方向向海岛C靠近．同时， 从A处出发的救援船沿南偏西 10°方向匀速航行．20分钟后， 救援船在海岛C处恰好追上渔船， 求救援船航行的速度为多少？
2、如图，水坝的横断面是梯形，背水 坡AB的坡度为 3⋅：1，坡长AB=20 3m， 为加强水坝强度，将坝底从A处向后水 平延伸到F处，使新的背水坡BF的坡度 为1：1，求AF的长度．（结果精确到1 米）．
3、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为 0.6米的一块(阴影部分是挖去部分)，已知渠道内 坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求： ①横断面(等腰梯形)ABCD的面积； ②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．
h 的比叫做坡面坡度（或坡比）.记作i,即i= h/l l
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a面就越陡.
坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶. 6
1、如图，一水库大坝的横断面为梯形 ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜 坡AB的坡度i=1：2.5，斜坡CD的坡角 为30°，求坝底AD的长度．（精确到 0.1米)
解直角三角形(2) ——方位角
归纳 方位角的定义：
指北或指南方向线与目标方向线所 成的小于90°的角叫做方位角。
1、如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东 65°方向，距离灯塔80n mile的A处，它 沿着正南方向航行一段时间后，到达位于 灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时， B处距离灯塔P有多远？（结果取整数）
2024年解直角三角形方位角、坡度角讲课精彩教案
2024年解直角三角形方位角、坡度角讲课精彩教案一、教学内容1. 利用直角三角形的性质，解决实际生活中的方位角问题；2. 利用直角三角形计算坡度角，并应用于地形、建筑设计等领域。
二、教学目标1. 理解并掌握方位角与坡度角的概念及计算方法；2. 能够运用直角三角形的性质解决实际问题，如确定物体方位和计算坡度；3. 培养学生的空间想象能力和解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点教学难点：理解方位角和坡度角的实际应用，以及计算方法的灵活运用。
教学重点：掌握直角三角形的性质，以及如何利用这些性质解决方位角和坡度角问题。
四、教具与学具准备1. 教具：直角三角形模型、地球仪、坡度计算器；2. 学具：三角板、量角器、计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）利用地球仪展示不同地点的方位角，引导学生思考如何计算和确定方位角。
2. 知识讲解（15分钟）（1）回顾直角三角形的性质；（2）介绍方位角的概念及计算方法；（3）介绍坡度角的概念及计算方法。
3. 例题讲解（15分钟）（1）计算给定地点的方位角；（2）计算给定地形的坡度角。
4. 随堂练习（10分钟）（1）学生独立完成练习题，计算给定地点的方位角；（2）学生分组讨论，计算给定地形的坡度角。
六、板书设计1. 方位角的定义及计算方法；2. 坡度角的定义及计算方法；3. 例题及解答过程。
七、作业设计1. 作业题目：（1）给定一点，求该点的方位角；（2）给定一个斜面，求其坡度角。
2. 答案：（1）方位角的计算结果为：度；（2）坡度角的计算结果为：度。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对方位角和坡度角的概念理解较为顺利，但在计算过程中仍存在一些问题，如计算方法不熟练、单位换算错误等，需要在课后加强练习。
2. 拓展延伸：引导学生思考在实际生活中，还有哪些问题可以利用直角三角形的性质来解决，鼓励学生进行探索和研究。
重点和难点解析1. 实践情景引入的理解和应用；2. 知识讲解中方位角和坡度角计算方法的掌握；3. 例题讲解中解题步骤的详细解释；4. 随堂练习的设计与实施；5. 作业设计中题目难度的把握及答案的准确性；6. 课后反思与拓展延伸的有效性。
解直角三角形方位角、坡度角讲课教案
解直角三角形方位角、坡度角讲课教案一、教学内容本节课的内容选自《初中数学》八年级下册第九章“勾股定理及其应用”的第三节“解直角三角形”。
具体包括：直角三角形的定义及性质，解直角三角形的概念，利用三角函数解直角三角形，以及方位角和坡度角的实际应用。
二、教学目标1. 知识目标：学生能够理解并掌握解直角三角形的基本概念，熟练运用三角函数求解直角三角形的未知边和角。
2. 技能目标：培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的空间想象力和逻辑思维能力。
3. 情感目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生合作交流、积极参与的学习态度。
三、教学难点与重点教学难点：解直角三角形的实际应用，特别是方位角和坡度角的计算。
教学重点：熟练运用三角函数解直角三角形，以及在实际问题中求解方位角和坡度角。
四、教具与学具准备教具：三角板、直尺、量角器、多媒体课件。
学具：直角三角形模型、计算器、练习本。
五、教学过程1. 导入：通过实际情景引入，如建筑工地上的方位角和坡度角问题，让学生了解解直角三角形在实际生活中的应用。
2. 新课导入：讲解直角三角形的定义及性质，引导学生回顾勾股定理，为解直角三角形打下基础。
3. 新知讲解：（1）介绍解直角三角形的定义及方法，如正弦、余弦、正切函数的定义和应用。
（2）通过例题讲解，让学生掌握解直角三角形的方法。
（3）讲解方位角和坡度角的概念，以及在实际问题中的应用。
4. 随堂练习：布置相关练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
5. 小组讨论：针对练习题中的问题，组织学生进行小组讨论，互相交流解题思路。
六、板书设计1. 直角三角形的定义及性质2. 解直角三角形的方法：（1）正弦函数：sin A = 对边/斜边（2）余弦函数：cos A = 邻边/斜边（3）正切函数：tan A = 对边/邻边3. 方位角和坡度角的计算方法七、作业设计1. 作业题目：（1）已知直角三角形的两个角和一条边，求其他未知边和角。
解直角三角形之方位角、坡度、坡比
解直角三角形之方位角、坡角、坡度方位角1、如图，一首轮船位于灯塔P处的北偏东60o方向,与灯塔P的距离为80海里的A处,他沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45o方向的B处,求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离.2、如图,为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度,小明在南岸B处测得对岸A处一棵柳树位于北偏东60o方向,他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达C,此时测得柳树位于北偏东30o方向,试计算此段河面的宽度.M N两工厂间修一条笔直的公路,但在M地北偏东45o方向、N地北偏西60o方向3、我市准备在相距2千米的,的P处,有一个半径为0.6千米的住宅小区(如图),问修筑公路时,这个小区是否有居民需要搬迁?≈≈)4、如图,海上有一灯塔P,在它周围6海里内有暗礁.一艘海轮以18海里/时的速度由西向东航行,行至A点处测得灯塔P在它的北偏东60o的方向上,继续向东行驶20分钟后,到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45o方向上,如图海轮不改变方向继续前进,有没有触礁的危险.坡比、坡度5、如图,水库的拦水坝的横截面是一个梯形,坝顶6BC =米,坝高9BE =米,斜坡AB 的坡角为45o ,斜坡 CD 的坡度为1:求坡CD 的坡角及坝底AD 的长.6、如图,拦水坝的横断面是梯形ABCD ,3BC =米,坝高6BE =米,坡AB 与坡CD 的坡度分别为1,i21:1i =.(1)坡AB 的坡角A ∠=____________,坡CD 的坡角D ∠=____________.(2)求梯形的面积.延伸题7、已知,,a b c 分别为ABC ∆中,,A B C ∠∠∠的对边,若关于x 的一元二次方程2()20b c x ax c b +-+-=有两个相等的实数根,且sin cos cos sin 0B A B A -=,说明ABC ∆的形状.。
1203解直角三角形的应方位角_、坡角
求斜坡AB的长，坡角α和坝底AD宽。
B
i 1: 3
C
i' 1: 1
α A
E
F
D
练习2:修建一条铁路要经过一座高山，
需在山腰B处开凿一条隧道BC。经测量，
西山坡的坡度i＝5:3，由山顶A观测到点
C的俯角为60°，AC的长为60m，如图所
坡面长为 2 3 ，
则坡度i＝___3____,坡角α＝=45°坡比i= 1∶1 2、坡比为 1: 3 ,坡角α= 30°
3 10
3、坡比为i=1∶ 3 ，坡角α的余弦值为 10
例1 如图，铁路的路基横断面是等腰梯形，
斜坡AB的坡度为1： 3 ，坡面AB的水平 宽度为 3 米，基面AD宽2米，
示，试求隧道BC的长.
A
i = 5：3
B
C
练习3:利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为 0.6米的一块(图6-35阴影部分是挖去部分)，已知渠道 内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：①横断面 (等腰梯形)ABCD的面积；②修一条长为100米的渠道要挖 去的土方数．
❖ 练习4.(2008 山东 聊城)如图，在平地上种 植树时，要求株距（相邻两树间的水平距 离）为4m．如果在坡度为0.5的山坡上种 植树，也要求株距为4m，那么相邻两树间 的坡面距离约为（ ） 5 2.236
求路基高AE、坡角∠B和基底BC的宽.
2
A
D
B
E
F
C
3
例2：如果你是修建三峡大坝的工程师，现在 有这样一个问题请你解决：如图，
水库大坝的横断面是 梯形，坝顶宽6m，坝 高23m，斜坡AB的坡度 i=1∶3，斜坡CD的坡 度I’=1∶2.5，求斜坡 坝底宽AD和斜坡AB的 长．
2024年解直角三角形方位角、坡度角讲课教案
2024年解直角三角形方位角、坡度角讲课教案一、教学内容本节课我们将学习教材第十章“解直角三角形的应用”中的方位角与坡度角。
具体内容包括：理解方位角的概念，掌握利用正切值计算方位角；理解坡度角的概念，掌握利用正弦值和余弦值计算坡度角。
二、教学目标1. 理解并掌握方位角与坡度角的概念。
2. 学会使用正切、正弦和余弦值计算方位角与坡度角。
3. 能够在实际问题中运用所学的知识，解决有关方位角与坡度角的问题。
三、教学难点与重点重点：方位角与坡度角的概念及其计算方法。
难点：在实际问题中运用所学的知识，解决有关方位角与坡度角的问题。
四、教具与学具准备1. 教具：三角板、量角器、多媒体课件。
2. 学具：直角三角形模型、计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过展示实际生活中的方位角与坡度角问题，引导学生思考如何解决这些问题。
2. 知识讲解：a. 讲解方位角的概念，引导学生通过观察三角板理解方位角的含义。
b. 讲解正切值在计算方位角中的应用，通过例题进行演示。
c. 讲解坡度角的概念，引导学生通过观察直角三角形模型理解坡度角的含义。
d. 讲解正弦值和余弦值在计算坡度角中的应用，通过例题进行演示。
3. 随堂练习：让学生完成教材中的相关习题，巩固所学知识。
4. 解题方法与技巧讲解：针对学生在随堂练习中遇到的问题，进行讲解和指导。
六、板书设计1. 方位角与坡度角的概念。
2. 正切、正弦和余弦值在计算方位角与坡度角中的应用。
3. 例题解答步骤。
七、作业设计1. 作业题目：a. 计算给定直角三角形的方位角。
b. 计算给定直角三角形的坡度角。
2. 答案：见附页。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对方位角与坡度角的概念掌握情况，以及计算方法的运用。
2. 拓展延伸：引导学生思考方位角与坡度角在实际生活中的应用，如建筑设计、地形测量等。
重点和难点解析1. 教学内容的针对性及深度。
2. 教学目标的明确性与可衡量性。
3. 教学难点与重点的识别。
《用解直角三角形解方位角、坡角的应用》PPT课件
4.4 解直角三角形的应用
第2课时 用解直角三角形解方 位角、坡角的应用
1 课堂讲解 用解直角三角形解方位角问题
用解直角三角形解坡角问题
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
观察下图中图形的方位，试着描述它们的位置.
知识点 1 用解直角三角形解方位角问题
知1－讲
1. 方向角的定义： 指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的 角叫作方向角. 特别警示：方向角和方位角不同，方位角是指从某点 的指北方向线起， 按顺时针方向到目标方向线之间 的水平夹角，变化范围为0 ~ 360°，而方向角的变 化范围是0 ~ 90° .
如图1，从山脚到山顶有两条路 AB 与 BD，问哪条
路比较陡?
B
A
D
图1
知2－讲
如何用数量来刻画哪条路陡呢? 如图2，从山坡脚下点 A 上坡走到点 B 时，升高的
高度 h ( 即线段 BC 的长度 ) 与水平前进的距离 l ( 即线 段 AC 的长度 ) 的比叫作坡度，用字母 i 表示，即
i h (坡度通常写成 1：m 的形式) . l
则在Rt △ ACE 中，CE= 3x ，AC=2x，
在Rt △BCE 中，BE=CE= 3x,
∴ BC= 6x.
∵ AB=AE+BE，∴ x + 3x＝60( 6 + 2) ,
解得x = 60 2 海里.
∴ AC =120 2海里，BC = 120 3 海里.
知1－讲
解：(2) 如图，过点 D 作 DF ⊥ AC 于点 F，
俯角为 60°. 已知该山坡的坡度i 为1 ∶ 3 ，点P，H，
B，C，A 在同一个平面上，点H，B，C 在同一条直 线上，且PH ⊥ HC. (1) 山坡坡角的度数等于
解直角三角形应用题(方位角、仰角与俯角、坡度)分类汇编
:i h l=hlα基础知识2解直角三角形的应用举例1.仰角与俯角：仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
2.坡度与坡角：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。
用字母i 表示，即hi l=。
坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等. 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan hi lα== 3.方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方位角.如图,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）.【题型1】仰角与俯角如图，两幢建筑物AB 和CD ，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AB ＝15m ，CD ＝20m ，AB 和CD 之间有一观景池，小南在A 点测得池中喷泉处E 点的俯角为42°，在C 点测得E 点的俯角为45°（点B 、E 、D 在同一直线上），求两幢建筑物之间的距离BD （结果精确到0.1m ）.（参考数据：sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90）【变式训练】1.如图,宁宁在家里楼顶上的点A处，测量建在与自家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m，则电梯楼的高BC为多少米（精确到0.1）.2.如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上），已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到0.1m）.（参考数据：≈1.414，≈1.732）3.如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋大楼顶部B的俯角为30°，看这栋大楼底部C的俯角为60°，热气球A的高度为240米，求这栋大楼的高度．4.如图，曦曦在M处用高1米(DM＝1米)的测角仪测得旗杆AB的顶端B的仰角为30°，再向旗杆方向前进10米到F处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，请求出旗杆AB的高度．【题型2】坡度与坡角如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1，堤坝高BC=50m，则应水坡面AB的长度是多少？【变式训练】1.如图，在坡度为1∶2的山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少米？2.如图，为了缓解交通拥堵，方便行人，在某街道计划修建一座横断面为梯形ABCD的过街天桥，若天桥斜坡AB的坡角∠BAD为35°，斜坡CD的坡度为i＝1∶1.2(垂直高度CE与水平宽度DE的比)，上底BC＝10 m，天桥高度CE＝5 m，求天桥下底AD的长度．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin35°≈ 0.57，cos35°≈ 0.82，tan35°≈ 0.70)3.如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i＝1∶3，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC＝25米，与亭子距离CE＝20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比).4.如图，曦曦在山坡坡脚A 处测得电视塔尖点C 的仰角为60° ，沿山坡向上走到P 处再测得点C 的仰角为45° ，已知OA=100米，山坡坡度为i=1:2， 且O 、A 、B 在同一条直线上。
28.2.2.2与方位角、坡度有关的解直角三角形的应用教案
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）理解方位角的概念及其在解直角三角形中的应用；
（2）掌握坡度的计算方法及其在实际问题中的应用；
（3）运用解直角三角形的方法解决与方位角、坡度有关的实际问题。
举例使学生理解方位角的概念，并学会在解直角三角形中运用。
4.结合实例，让学生学会在实际情境中运用解直角三角形的知识，提高解决问题的能力。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
1.理解并掌握方位角、坡度与解直角三角形之间的关系，提高空间想象能力和几何直观；
2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提升数学应用意识；
3.增强学生逻辑推理能力，使其在解决问题过程中能够运用严密的数学思维；
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调方位角的计算方法和坡度的实际应用这两个重点。对于难点部分，如将实际问题抽象为解直角三角形模型，我会通过具体实例和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与方位角、坡度相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用三角板和量角器测量并计算实际物体的方位角。
28.2.2.2与方位角、坡度有关的解直角三角形的应用教案
一、教学内容
本节课选自教材《数学》第八册，章节28.2.2.2，主要内容包括：与方位角、坡度有关的解直角三角形的应用。具体教学内容如下：
1.方位角的定义及计算方法；
2.坡度的定义及计算方法；
3.利用解直角三角形的方法解决实际生活中的问题，如确定物体方位、计算物体的高度等；
人教版九年级数学下册22 第3课时 利用方位角、坡度角解直角三角形教案与反思
28.2.2应用举例满招损，谦受益。
《尚书》原创不容易，【关注】，不迷路！第3课时利用方位角、坡度解直角三角形1．知道测量中方位角、坡角、坡度的概念，掌握坡度与坡角的关系；(重点) 2．能够应用解直角三角形的知识解决与方位角、坡度有关的问题．(难点)一、情境导入在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度(的形式，如i＝1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i＝hl＝tanα.显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．我们这节课就解决这方面的问题．二、合作探究探究点一：利用方位角解直角三角形【类型一】利用方位角求垂直距离如图所示，A、B两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心，100km为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据：3≈1.732，2≈1.414)．解析：过点P作PC⊥AB，C是垂足．AC与BC都可以根据三角函数用PC表示出来．根据AB的长得到一个关于PC的方程，求出PC的长．从而可判断出这条高速公路会不会穿越保护区．解：过点P作PC⊥AB，C是垂足．则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°.∵AC＋BC＝AB，∴PC·tan30°＋PC·tan45°＝200，即33PC＋PC＝200，解得PC≈126.8km＞100km.答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．方法总结：解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练第1题【类型二】利用方位角求水平距离“村村通”公路工程拉近了城乡距离，加速了我区农村经济建设步伐．如图所示，C村村民欲修建一条水泥公路，将C村与区级公路相连．在公路A处测得C村在北偏东60°方向，沿区级公路前进500m，在B处测得C村在北偏东30°方向．为节约资源，要求所修公路长度最短．画出符合条件的公路示意图，并求出公路长度．(结果保留整数)解析：作CD⊥AB于D在Rt△ACD中，据题意有∠CAD＝30°，求得AD.在Rt △CBD中，据题意有∠CBD＝60°，求得BD.又由AD－BD＝500，从而解得CD.解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足落在AB的延长线上，CD即为所修公路，CD 的长度即为公路长度．在Rt △ACD 中，据题意有∠CAD ＝30°，∵tan ∠CAD ＝D AD ，∴AD ＝CD tan30°＝3CD .在Rt △CBD 中，据题意有∠BD ＝60°，∵tan ∠CBD ＝CD BD ，∴BD ＝CD tan60°＝33CD .又∵AD －BD ＝500，∴3CD －33CD ＝500，解得CD ≈433()．答：所修公路长约为433m.方法总结：在解决有关方位角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方位角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题探究点二：利用坡角、坡度解直角三角形 【类型一】利用坡角、坡度解决梯形问题如图，某水库大坝的横截面为梯形ABCD ，坝顶宽BC ＝3米，坝高为2米，背水坡AB 的坡度i ＝1∶1，迎水坡CD 的坡角∠ADC 为30°.求坝底AD 的长度．解析：首先过B 、C 作BE ⊥AD 、CF ⊥AD ，可得四边形BEFC 是矩形，又由背水坡AB 的坡度i ＝1∶1，迎水坡CD 的坡角∠ADC 为30°，根据坡度的定义，即可求解．解：分别过B 、C 作BE ⊥AD 、CF ⊥AD ，垂足为E 、F ，可得BE ∥CF ，又∵BC ∥AD ，∴BC ＝EF ，BE ＝CF .由题意，得EF ＝BC ＝3，BE ＝CE ＝2.∵背水坡AB 的坡度i ＝1∶1，∴∠BAE ＝45°，∴AE ＝BEtan45°＝2，DF ＝CFtan30°＝23，∴AD ＝AE ＋EF ＋DF ＝2＋3＋23＝5＋23(m)．答：坝底AD 的长度为(5＋23)m.方法总结：解决此类问题一般要构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型二】利用坡角、坡度解决三角形问题如图，某地下车库的入口处有斜坡AB，它的坡度为i＝1∶2，斜坡AB 的长为65m，斜坡的高度为A，参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25)．解析：(1)利用坡度为i＝1∶2，得出A；(2)∵A，∴B，∴C.在Rt△A.答：点B与点C之间的距离是12m.方法总结：本题考查了解直角三角形的应用中坡度、坡角问题，明确坡度等于坡角的正切值是解题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题三、板书设计1．方位角的意义；2．坡度、坡比的意义；3．应用方位角、坡度、坡比解决实际问题．将解直角三角形应用到实际生活中，有利于培养学生的空间想象能力，即要求学生通过对实物的观察或根据文字语言中的某些条件，画出适合他们的图形．这一方面在教学过程应由学生展开，并留给学生思考的时间，给学生充分的自主思考空间和时间，让学生积极主动地学习.【素材积累】岳飞应募参军，因战功累累不断升职，宋高宗亲手写了“精忠岳飞”四个字，制成旗后赐给他。
坡角方向角与解直角三角形
坡角方向角与解直角三角形引言：解直角三角形是初等数学中的一个重要概念，它涉及到三角比值的运用以及三角函数的基本性质。
在解直角三角形时，一个重要的考虑因素就是坡角方向角。
坡角是指一个物体或者地形相对水平面的角度，在实际问题中，坡角的方向角对于测量、设计以及工程规划等方面都具有重要的作用。
一、什么是解直角三角形？解直角三角形是指已知一个角的两边长度，求解其余两个角和两条边长度的过程。
直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角为90度，另外两个角的和为90度。
在解直角三角形时，可以利用三角函数（例如正弦函数、余弦函数和正切函数）来求解未知的角度或边长。
二、坡角方向角的定义及作用坡角方向角是指地表坡度与水平方向之间的夹角。
在地理学、土木工程、测量学等学科中，坡角方向角经常被用于描述地形地貌的起伏程度，决定工程设计和施工的难度，以及进行地理定位和导航等方面。
三、坡角方向角的测量方法测量坡角方向角的方法多种多样，根据具体的测量需求和仪器设备的不同选择合适的方法。
以下是几种常见的测量方法：1. 野外测量法野外测量法是在实地进行测量，通常使用测绳、地激仪、测角仪等仪器设备进行测量。
首先在水平面上设置基准点，然后使用测角仪或地激仪进行测角，测量坡角的方向角。
根据不同地形和测量需求，可以采用多种不同的测量方式，如正射线法、梁法和等距线法等。
2. 遥感测量法遥感测量法是利用遥感技术进行测量，通过航空摄影、卫星遥感等手段获取地表坡度和方向角的信息。
利用遥感图像处理软件和地理信息系统等工具，可以较准确地测量坡角方向角，并对地表的起伏程度进行分析和量化。
3. 数值模拟法数值模拟法是利用计算机进行模拟和计算，根据地表高程数据和坡度信息进行模拟计算出坡角方向角。
数值模拟法精度较高，适用于大范围地表的坡角方向角测量和分析。
四、坡角方向角与解直角三角形的关系在解直角三角形时，坡角方向角可以作为已知条件之一来求解未知的角度或边长。
具体来说，如果已知直角三角形的一条直角边的长度和坡角方向角，可以通过三角函数来计算出另一条直角边的长度和未知角的大小。
数学解直角三角形(仰角俯角方位角坡度坡角)课件(人教新课标九级下)资料
B
2、（2012广安）如图2012年4月10日，中国渔民在中国南 海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A地侦查发现，在南 偏东60°方向的B地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的 速度向正西方向的C地行驶，企图抓捕正在C地捕鱼的中国 渔民。此时，C地位于中国海监船的南偏东45 °方向的10 海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C地救援我 国渔民，能不能及时赶到？
塔楼AB的高. （参考数据：tan 40 21 , tan 55 7 ）
25
5
答案：空中塔楼AB高
A 约为105米
濠
河 55° 40°
B
C 50m D
1.如图，某飞机于空中 A处探测到目标C，此时 飞行高度AC=1200米， 从飞机上看地平面控制 点B的俯角α=16031`，求 飞机A到控制点B的距 离.(精确到1米）
tanA＝
a b
Ａ
bＣ
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般 过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图 形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函 数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
爬坡图1
爬 坡 图
2
爬坡图1
解：由题意得，在Rt△PAO与Rt△PBO中
PAO 30, PBO 45
PO tan 30, PO tan 45 P
OA
OB
α β
OA 450 450 3, tan 30
450米
OB 450 450 tan 45
AB OA OB (450 3 450)(m)O
《利用方位角、坡度角解直角三角形》课件精品 (公开课)2022年数学PPT
(B)
A. 10分钟 B. 15分钟 C. 20分钟 D. 25分钟
3. 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的 北偏西40°方向，则从C岛看A，B两岛的视角 ∠ACB等于 90° ．
4. 如图，海上B、C两岛分别位于A岛的正东和正北方
向，一艘船从A岛出发，以18海里/时的速度向正北
方向航行2小时到达C岛，此时测得B岛在C岛的南
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向
时，它距离灯塔P大约130n mile．
例2 如图，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼 群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°， 航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，
如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危
险？
解：过A作AF⊥BC于点F， 北
l 水平面
坡度通常写成 1∶m的形式，如i=1∶6.
3. 坡度与坡角的关系
i h tan
l 即坡度等于坡角的正切值.
坡面
i= h : l
h
α
l 水平面
练一练
1. 斜坡的坡度是 1 : 3 ，则坡角α =_3_0_度.
2. 斜坡的坡角是45° ，则坡比是 _1__: _1_.
3. 斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是__1_: __3__.
探究二 相反数的几何意义
思考：在数轴上，画出几组表示相反数的点，并观 察这两个点具有怎样的特征？
-5
-a -1 0 1 a 5
位于原点两侧，且与原点的距离相等.
思考：数轴上到原点的距离相等的点所表示的数有什
么特点？借助数轴填一填：
1.数轴上与原点距离是2的点有_两___个，这些点表示的
解直角三角形方位角、坡度角讲课教案
解直角三角形方位角、坡度角讲课教案一、教学内容本节课教学内容选自《数学》第九章第二节，主题为“解直角三角形方位角、坡度角”。
详细内容包括：回顾直角三角形的性质，掌握方位角和坡度角的概念，学会运用三角函数解决实际问题，包括计算方位角和坡度角。
二、教学目标1. 理解并掌握方位角和坡度角的概念，能够区分它们在实际问题中的应用。
2. 学会运用三角函数求解直角三角形中的方位角和坡度角。
3. 能够将所学知识应用于实际问题，提高解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点教学难点：三角函数在求解方位角和坡度角中的应用。
教学重点：方位角和坡度角的概念及其在直角三角形中的应用。
四、教具与学具准备教具：三角板、量角器、直尺、多媒体教学设备。
学具：三角板、量角器、直尺、练习本、铅笔。
五、教学过程1. 导入：通过实际情景引入，如房屋建筑的斜坡、灯塔观测等，引导学生思考如何求解方位角和坡度角。
2. 知识讲解：a. 回顾直角三角形的性质。
b. 介绍方位角和坡度角的概念。
c. 讲解三角函数在求解方位角和坡度角中的应用。
3. 例题讲解：讲解两个典型例题，一个求解方位角，一个求解坡度角，详细演示解题过程。
4. 随堂练习：布置两道练习题，要求学生在课堂上完成，并及时给予反馈。
六、板书设计1. 解直角三角形方位角、坡度角2. 内容：a. 直角三角形的性质b. 方位角和坡度角的概念c. 三角函数在求解方位角和坡度角中的应用d. 典型例题及解题步骤e. 随堂练习题目七、作业设计1. 作业题目：a. 求解一个直角三角形的方位角。
b. 求解一个直角三角形的坡度角。
2. 答案：见附录。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：对本节课的教学效果进行反思，针对学生的掌握情况，调整教学方法。
2. 拓展延伸：a. 探讨非直角三角形中方位角和坡度角的求解方法。
b. 了解其他学科中方位角和坡度角的应用，如地理、物理等。
重点和难点解析一、教学难点与重点的关注细节1. 三角函数在求解方位角和坡度角中的应用。
方位角坡度
h i tan 的形式。 l
坡度越大
h
坡角大 坡面越陡
l
巩固练习
1、一段坡面的坡角为60°，则坡度 i= 。 B
h i tan l
h
A
60°
l
E
巩固练习
2、小明沿着坡度i = 的山坡向上 走了50m，这时他离地面25m。 B
h i tan l
h
A α
l
E
例题尝试 例2 如图，某一拦水坝的横断面为梯形ABCD，
AD∥BC，斜坡AB的长10 2米，坝顶宽16米， 坝高10米，斜面CD的坡比i=1： 3 求：（1）坡角α和β； （2）拦水坝横断面面积（结果保留根号）
β
α
解直角三角形 ----方位角和坡度
知识回顾
1、仰角和俯角 在进行测量时， 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
视线 铅 直 线 仰角 水平线 俯角
视线
解直角三角形的应用：
1、从实际问题抽象出数学模型，画示意图
2、审清已知未知 3、解直角三角形 4、解决实际问题
B
D
练习;如图，小岛A在港口P的南偏西45° 方向，距离港口81海里处，甲船从小岛 A出发，沿AP方向以9海里/时的速度驶 向港口；乙船从港口P出发，沿南偏东 60°方向，以18海里/时的速度驶离港 北 口。已知两船同时出发。 P (1)出发后几小时两船与 东 港口P的距离相等？ (2)出发后几小时乙船在 A 甲船的正东方向？
达标检测 反思目标
1、如右下图，海船以5海里/小时的速度向正东方向行 驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2小时 后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45方 向，求此时灯塔B到C处的距离.
解直角三角形方位角、坡度角讲课教案
解直角三角形方位角、坡度角讲课教案一、教学内容本节课我们将探讨教材第十二章“直角三角形的应用”中的方位角与坡度角。
具体内容包括：1. 理解方位角的概念，掌握其在实际情境中的应用；2. 学习坡度角的计算，了解其在工程及地理等方面的实际意义；3. 掌握运用三角函数解决实际问题时，如何确定直角三角形的各个角度和边长。
二、教学目标1. 学生能够理解并运用方位角描述物体在空间中的位置关系；2. 学生能够通过计算得出坡度角，并应用于实际情境中；3. 学生能够运用三角函数解决直角三角形相关问题。
三、教学难点与重点1. 教学难点：方位角与坡度角的实际应用，以及三角函数在解决直角三角形问题中的应用；2. 教学重点：理解方位角和坡度角的概念，掌握计算方法，并能应用于实际情境。
四、教具与学具准备1. 教具：三角板、量角器、直尺、多媒体教学设备；2. 学具：练习本、铅笔、三角板、量角器。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过展示一座山和观察点的位置关系，引导学生思考如何描述这个关系；2. 知识讲解：（1）方位角的概念及计算方法；（2）坡度角的概念及计算方法；（3）三角函数在解决直角三角形问题中的应用；3. 例题讲解：（1）通过实际例题，讲解如何计算方位角；（2）通过实际例题，讲解如何计算坡度角；4. 随堂练习：让学生分组讨论并完成指定的练习题；5. 答疑环节：对学生在练习中遇到的问题进行解答；六、板书设计1. 方位角、坡度角的概念；2. 方位角、坡度角的计算方法；3. 三角函数在解决直角三角形问题中的应用；4. 例题解答步骤；5. 练习题。
七、作业设计1. 作业题目：（1）已知一个观察点A，以及目标点B的方位角，求目标点B 到观察点A的距离；（2）已知一个斜坡的长度和高度，求该斜坡的坡度角。
2. 答案：八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对方位角和坡度角的概念理解是否到位，能否将其应用于实际情境；2. 拓展延伸：引导学生思考如何将方位角和坡度角应用于其他领域，如航海、建筑等。
第2课时 坡度、方位角与解直角三角形
四：Байду номын сангаас
课堂
总结
反思
【达标测评】
1.拦水坝横断面如图28－2－85所示，迎水坡AB的坡比为1∶，坝高BC＝10 m，则坡面AB的长度是(D)
A.15 mB．20mC．10mD．20 m
2.小强沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降了(A)
A.1米B.米C．2米D.米
图28－2－85图28－2－86图28－2－87
图28－2－81图28－2－82
教师讲解：如图28－2－82，我们通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度或坡比，坡面与水平面的夹角叫做坡角，通常用α表示，即tanα＝.显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡.
3.总结利用解直角三角形的知识解决实际问题的过程：
师生活动：师生共同总结过程，学生进行口述，教师引导.
情感态度
进一步提高学生数形结合、分析问题以及解决问题的能力和应用数学知识的意识，树立理论来源于实践又应用于实践的辩证唯物主义观点．
教学
重点
利用方位角的相关知识，借助锐角三角函数解决航海等实际问题．
教学
难点
把实际问题转化为数学问题；直角三角形解法的灵活应用．
授课
类型
新授课
课时
教具
多媒体
教学活动
教学
步骤
通过分析图形，教师引导学生板书解题过程.
PC＝PA·cos25°＝80×cos25°≈72.505.
在Rt△BPC中，PB＝≈≈130(n mile)．
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130 n mile.
2.关于坡度问题的探究：
问题：如图28－2－81所示，斜坡AB和斜坡A1B1哪一个倾斜程度较大？你是根据什么来进行判断说明的呢？
解直角三角形方位角坡度角
例5. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中 i=1:3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比 ），根据图中数据求：（1）坡角a和β;
（2）坝顶宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m）
解：（1）在Rt△AFB中，∠AFB=90°
tanAFi1： 1.5
BF
i=1:1. 5
α B
33.7
在Rt△CDE中，∠CED=90°
α
在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面 的方法分别算出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再 “积零为整”，把h1,h2,…,hn相加，于是得到山高h.
以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化 曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的 基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中， 你会更多地了解这方面的内容．
tanDEi1:3
CE
18.4
AD 6m FE
i=1:3 β C
1.在解直角三角形及应用时经常接触到 的一些概念(方位角;坡度、坡角等)
2.实际问题向数学模型的转化 (解直角三角形)
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角 三角形的问题）；
修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注 明斜坡的倾斜程度.
坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做 坡面坡度（或坡比）. 记作i , 即 i = h .
l
坡度通常写成1∶m的形式，如 i=1∶6.坡面与水平
面的夹角叫做坡角，记作a，有i＝
h l
= tan a.
显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.
65° A P
C
34°
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65° P
°
B
例4.海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁， 渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏 东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A 在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东 航行，有没有触礁的危险？
A
30°
60°
B
12
D
F
解：由点A作BD的垂线
交BD的延长线于点F，垂足为F， ∠AFD=90° 由题意图示可知∠DAF=30°
设DF= x , AD=2x 则在Rt△ADF中，根据勾股定理
AF AD DF
2 2
A
60°
B D F 30°
2x
2
x 2 3x
在Rt△ABF中，
AF tan ABF BF
解得x=6
3x tan 30 12 x
6m
B
33.7
在Rt△CDE中，∠CED=90° DE tan i 1: 3 CE
18.4
1.在解直角三角形及应用时经常接触到 的一些概念(方位角;坡度、坡角等)
2.实际问题向数学模型的转化
(解直角三角形)
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角 三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角 形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案．
i 坡度或坡比
铅垂 高度
h
l水平长度
坡角
l
i h:l
化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题 的策略 解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根 据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测 量如图所示大坝的高度h时，只要测出仰角a和大坝 的坡面长度l，就能算出h=lsina，但是，当我们要测 量如图所示的山高h时，问题就不那么简单了，这 是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长度l
h
α
在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面 的方法分别算出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再 “积零为整”，把h1,h2,…,hn相加，于是得到山高h.
以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化 曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的 基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中， 你会更多地了解这方面的内容．
l l h α h
α
与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直” 的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？
我们设法“化曲为直，以直代曲”． 我们可以把 山坡“化整为零”地划分为一些小段，图表示其中一 部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近 似是“直”的，可以量出这段坡长l1，测出相应的仰 角a1，这样就可以算出这段山坡的高度h1=l1sina1l.
例5. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中 i=1:3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的 比），根据图中数据求：（1）坡角a和β; （2）坝顶宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m）
A i=1:1. 5 α F D i=1:3 β E C
解：（1）在Rt△AFB中，∠AFB=90°
AF tan i 11.5 ： BF
解直角三角形（3）
方位角
• 指南或指北的方向线与目标方向线构成小于 900的角,叫做方位角. • 如图：点A在O的北偏东30° • 点B在点O的南偏西45°（西南方向）
北 30° A
西
O 45°
东
B
南
例1. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距 离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后， 到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海 轮所在的B处距离灯塔P有多远？ （精确到0.01海里）
AF 6x 6 3 10.4
10.4 > 8没有触礁危险
修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注 明斜坡的倾斜程度. 坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做 h 坡面坡度（或坡比）. 记作i , 即 i = .
l
坡度通常写成1∶m的形式，如 i=1∶6.坡面与水平 h 面的夹角叫做坡角，记作a，有i＝ l = tan a. 显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.