第八章+位移法
合集下载
第八章位移法new
1）在B结点增加附加转动约束（附加刚臂）( )。
附加转动约束只能阻止刚结点的转动，不能阻止结
点之间的相对线位移。此时产生固端弯矩
M
F。
BC
q
锁A 住
B 0
B
C
q
M
F BA
0,
M
F BC
ql2 。 8
B
M
F BC
C
2）令B结点产生转角
(
B
)。此时AB、BC杆类似
于B端为固端且产生转角 B 的单跨超静定梁。 4
20
三. 固端弯矩
单跨超静定梁在荷载作用下产生的杆端弯矩称为 固端弯矩。固端弯矩以顺时针方向为正，逆时针方向 为负。
1. 两端固定的梁：
q
ql 2 12
A
ql 2 24
l
ql 2 12 FP l 8
B
A
FP
FP l 8
B
FP l
l/2
8
l/2
M
F AB
ql 2 12
,
M
F BA
ql 2 。 12
增加附加链杆：
B EA C
Z1 BH CH
B EA = 有限值 C
Z1 BH
Z2 CH
A
DA
Z3 D
D
Z1 B
Z2 C
C
Z1 B
Z4 BH B
A
C
Z5 CH
Z2
B
BH
E A
D
当BD杆： EI无限大
D
？
12
§8-2 等截面直杆的刚度（转角位移）方程
08第八章_位移法
第八章位移法本章的问题：A.什么是位移法的基本未知量？B.为什么求内力时可采用刚度的相对值，而求位移时则需采用刚度的真值？C.在力法和位移法中，各以什么方式来满足平衡条件和变形连续条件？D.位移法的基本体系和基本结构有什么不同？它们各自在位移法的计算过程中起什么作用？E.直接平衡法和典型方程法有何异同？F.力法和位移法的优缺点？G.在位移法中如何运用结构的对称性？§8-1位移法概述对图8-1所示单跨梁，象力法[例题7-4]-[例题 7-6]那样进行求解，从而可建立表8-1所示杆端内力。
需要指出的是，对于斜杆除表中所示弯矩、剪力外，还有轴力。
由位移引起的杆端内力称为“形常数”（shape constant）。
由“广义荷载”产生的杆端内力称为“载常数”（load constant），其中外荷载产生的杆端内力称为固端内力（internal force of fixed-end）。
杆端内力的符号及正、负规定见第3章。
两端固定一固一铰一固一定向图8-1 位移法基本单跨梁示意图*P。
P 。
P 有了表8-1，则图8-2 所示的两端固定单跨梁，利用形、载常数和叠加原理可得杆端内力。
例如A 端杆端弯矩为F4322122646ABAB M l EI lEI l EI l EI M ++-+=∆∆∆∆ （a ） A 端杆端剪力为图8-2单跨梁杆段位移和荷载作用AB3∆4∆2∆1∆FQ 42332213Q 612612AB AB F l EI l EI l EI l EI F ++-+=∆∆∆∆ （b ）式（a ）和式（b ）中FAB M 和F Q AB F 为荷载引起的固端弯矩和固端剪力。
同理，也可叠加得到B 端的杆端内力BA M 和BA F Q 。
这些将杆端位移和杆端内力联系起来的式子，称为两端固定单跨梁的转角位移方程（slope-deflection equation ）或刚度方程（stiffness equation ）。
结构力学第8章位移法
结构力学第8章位移法位移法是结构力学中一种常用的分析方法。
它基于结构物由刚性构件组成的假设，通过计算结构在外力作用下产生的位移和变形，进而推导出结构的反力和应力分布。
位移法的基本思想是将结构的局部位移组合成整体位移，通过建立位移和反力之间的关系，解决结构的力学问题。
位移法的分析步骤通常包括以下几个方面：1.建立结构的整体位移函数。
位移函数是位移法分析的基础，通过解结构的运动方程建立结构的位移与自由度之间的关系。
2.应用边界条件。
根据边界条件，确定结构的支座的位移和转角值。
支座的位移和转角值可以由结构的约束条件和外力产生的位移计算得出。
3.构建位移方程组。
将结构的整体位移函数带入到结构的平衡方程中，得到位移方程组。
位移方程组是未知反力系数的线性方程组。
4.解位移方程组。
通过解位移方程组，求解未知反力系数。
可以使用高斯消元法、克拉默法则或矩阵方法等解方程的方法求解。
5.求解反力和应力分布。
通过已知的位移和未知的反力系数，可以计算出结构的反力和应力分布。
这些反力和应力分布可以进一步用于结构的设计和评估。
位移法的优点是适用范围广泛，适合复杂结构的分析。
它可以处理线性和非线性的结构，包括静力学和动力学的分析。
同时，位移法具有较高的精度和准确度，在结构的分析和设计中得到广泛应用。
然而，位移法也存在一些限制。
首先，位移法假设结构是刚性的，忽略了结构的变形和位移过程中的非线性效应。
其次，位移法需要建立适当的位移函数，对于复杂结构来说，这是一个复杂和困难的任务。
此外，位移法在处理大变形和非线性结构时可能会遭遇困难。
综上所述，位移法是结构力学中一种重要的分析方法。
它通过计算结构的位移和变形，推导出结构的反力和应力分布，为结构的设计和评估提供基础。
然而，位移法也存在一些限制，需要在具体的分析问题中谨慎应用。
结构力学上第8章 位移法
(非独立角位移) l FQBA
M AB M BA
F 3i A 3i M AB l 0
3、一端固 FQAB
A
B1
B
l
F M AB i A i B M AB F M BA i A i B M BA
(非独立线位移)
q B EI C L
Z1
q B
EI C
Z2 4i
Z1=1
EI A 原结构
L
=
Z2=1
EI A qL2 8 基本体系
=
3i
M1图×Z1 2i
+
6EI L2 6EI M2图×Z2 L2
+
qL2 8 MP图
在M1、M2、MP三个 图中的附加刚臂和链杆 中一定有约束反力产生， 而三个图中的反力加起 来应等于零。
M
q
应用以上三组转角位移方程，即可求出三种基本的单跨超 静定梁的杆端弯矩表达式，汇总如下：
F 1）两端固定梁 M AB 4i A 2i B 6i M AB
M BA
l F 2i A 4i B 6i M BA l
2）一端固定另一端铰支梁
F M AB 3i A 3i M AB l M BA 0 3）一端固定另一端定向支承梁 F M AB i A i B M AB
3
2
1
结点转角的数目：7个
独立结点线位移的数目：3个
D
E
A
B
C
C
D
刚架结构，有两个刚结点D、E， 故有两个角位移，结点线位移由铰 结体系来判断，W=3×4－2×6=0， 铰结体系几何不变，无结点线位移。
A
B
位移法
F B 端为铰支座固端弯矩 M AB 由上式得： F M BA F F 铰 支 M AB M AB (c) 2 B 端为滑动支座：q B FQBA 0
P M A 0 FQBAl M AB M BA M A 0
把式(a) 、(b)代入上式，得：
D F F P 6iq A 12i M AB M BA M A P M AB M BA M A l FQBA 0 l l F F P 6iq Al M ABl M BAl M A l 1 l F F P D q Al ( M AB M BA M A ) (d) 12i 2 12i
§8-3 无侧移刚架的计算
1、无侧移刚架基本未知量的判定：
其位移法基本未知量数目
结构上刚结点的独立角位移数 等于结构上的自由刚结点数 。
(a)
1 D E 2 C F
A
(b)
B
D
EA=
C
1 C
B
1 A
2 B
A
(c)
(d)
说明：
1）强调位移法基本未知量是结 构中自由结点上的独立结点位移。 结点上的独立角位移是自由刚结 点上的角位移。
(2) B 端为铰支座
式(8-5)中
M BA 0
，得：
D M AB 4iq A 2iq B 6i L D 0 2iq A 4iq B 6i L
整理上式得：
M AB
D 3iABq A 3i L
(8-9)
(3) B 端为滑动支座
代入(8-5)式，得：
D 1 qA 式(8-6)中 q B FQAB FQBA 0 ，得： L 2
(8-10)
第8章 位移法1
一.位移法基本概念 1. 考察变形情况,AB=AC=
A
EI
EI
B
l/2 P
l/2
C
2. AB杆：相当于一端固定一 端铰支梁在支座A处发生转 角 。 MAB=3i
3. AC杆：相当于两端固 定梁在支座A处发生转角 及荷载共同作用。
MAC=4i+Pl/8 MCA=2i-Pl/8
由上述分析可知，如果能求出 ，则各杆 的内力就可求出。所以可把转角 作为基 本未知量。 4. 如何求 ？
2
基本体系
r11 4i 6i R1P
2i
M1
q
ql 2 / 8 ql 2 / 8
MP
2 ql / 20 位移法求解过程 :
Z1 ql 2 / 80i
M M 1 Z1 M P
q 1)确定基本体系和基本未知量 2)建立位移法方程 3)作单位弯矩图和荷载弯矩图 4)求系数和自由项 ql2 / 40 M 5)解方程 6)作弯矩图
M AB
3i F 3i A AB M AB l
（三）一端固定一端定向杆的转角位移方程
A
B A
P
B
F M BA
A
A
M AB i A M BA －i A
B i
M
F AB
M AB i A M
F AB F BA
M BA i A M
二.单跨超静定梁的形常数与载常数
ql2/8
q D A
C 4i B 3i A 2i
D
C
B
M1图
3) 画出单位弯矩图和荷载弯矩图 4) 求各系数
MP图
5) 画出弯矩图
2 r11 8i R1P ql / 8 R1P ql2 Z1 r11 64i
A
EI
EI
B
l/2 P
l/2
C
2. AB杆：相当于一端固定一 端铰支梁在支座A处发生转 角 。 MAB=3i
3. AC杆：相当于两端固 定梁在支座A处发生转角 及荷载共同作用。
MAC=4i+Pl/8 MCA=2i-Pl/8
由上述分析可知，如果能求出 ，则各杆 的内力就可求出。所以可把转角 作为基 本未知量。 4. 如何求 ？
2
基本体系
r11 4i 6i R1P
2i
M1
q
ql 2 / 8 ql 2 / 8
MP
2 ql / 20 位移法求解过程 :
Z1 ql 2 / 80i
M M 1 Z1 M P
q 1)确定基本体系和基本未知量 2)建立位移法方程 3)作单位弯矩图和荷载弯矩图 4)求系数和自由项 ql2 / 40 M 5)解方程 6)作弯矩图
M AB
3i F 3i A AB M AB l
（三）一端固定一端定向杆的转角位移方程
A
B A
P
B
F M BA
A
A
M AB i A M BA －i A
B i
M
F AB
M AB i A M
F AB F BA
M BA i A M
二.单跨超静定梁的形常数与载常数
ql2/8
q D A
C 4i B 3i A 2i
D
C
B
M1图
3) 画出单位弯矩图和荷载弯矩图 4) 求各系数
MP图
5) 画出弯矩图
2 r11 8i R1P ql / 8 R1P ql2 Z1 r11 64i
第8章 位移法
第8章 位移法§8-1 概述§8-2 等截面直杆的转角位移方程§8-3 位移法的基本未知量和基本结构§8-4 位移法的典型方程及计算步骤§8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程§8-6 对称性的应用2021-5-1212021-5-12 1§8-1 位移法的基本概念内力对于线弹性结构位移位移内力两种方法的基本区别之一，在于基本未知量的选取不同：力法是以多余未知力（支反力或内力）为基本未知量，而位移法则是以结点的独立位移（角位移或线位移）为基本未知量。
用位移法分析结构时，先将结构拆分成单个的杆件，进行杆件受力分析（建立杆件的转角位移方程）；再将杆件组装成原结构，利用结点和截面平衡条件建立位移法方程，解出结点位移，再由转角位移方程求出内力。
2021-5-121一、引例1. 确定基本位移未知量图a所示两跨常刚度连续梁，抗弯刚度为EI。
忽略二杆的轴向变形，B结点不会发生线位移，而仅会产生角位移，设此角位移为Z1。
因B结点刚结两梁段于B端，从而保证两梁段在B端有相同的角位移，均为Z1。
2021-5-1212. 分列各组成杆的转角位移方程AB和BC二杆在B端具有相同的角位移和零线位移后，因此可将二杆在B端处分开，单独分析。
2021-5-1211）AB杆2）BC杆2021-5-1213. 通过B结点的平衡条件求出Z1由B结点的平衡可得2021-5-1214. 将Z1代回转角位移方程，求出各杆端弯矩2021-5-1212021-5-121二、其他示例（a） 若略去受弯直杆的轴向变形，并不计由于弯曲而引起杆段两端的接近，则可认为三杆长度不变，因而结点A没有线位移，而只有角位移。
对整个结构来说，求解的关键就是如何确定基本未知量q A的值。
2021-5-1212021-5-121三、位移法计算原理思路小结1. 把结构在非支座结点处拆开，将各杆视为相应的单跨超静定梁。
第8章 位移法
第八章 位移法
§8－1 概述
基本方法——力法、位移法
结构：外因→内力~位移——恒具有一定关系 力 法： 内力 → 位移 位移法：位移 → 内力
基本未知量 力法——多余未知力 位移法——结点位移（线位移，转角位移）
基本概念：（以刚架为例）
n=2 （超静定次数） 忽略轴向变形，
结点位移
Z1（角位移，无线位移） 变形协调条件
§8－2 等截面直杆的转角位移方程
单跨超静定梁——由杆端位移及荷载求杆端力 两端固定等截面梁（两端约束杆） 杆AB有杆端位移φA、φB、ΔAB， 只考虑相对线位移ΔAB
弦转角βAB = ΔAB∕l 顺时针为（＋）
求杆端力 ——力法求支座移动引起的内力
11x1 12 x2 1 A 21x1 22 x2 2 B
1、基本未知量的确定 刚架 —— 除结点角位移外还有结点线位移 假定 ①理想刚结点，铰结点 ②忽略轴力产生的轴向变形 ③小变形（直杆弯曲两端距离不变） 角位移数＝刚结点数
固定端角位移＝0 铰结点、铰支座处杆端转角不独立
线位移数＝独立的结点线位移数
a．观察——φ、Δ
b．独立线位移数——几何构造分析方法确定： （1）将所有刚结点（包括固定支座）变铰结点 （2）铰结体系的自由度数＝独立的线位移数
图8－7 M1：r11=3i + 3i＝6i MP： R1P=96-120=-24kN∙m Z1=-R1P/r11=4kN∙m/i M=MP+Z1M1
无侧移刚架： 【题9－9】2个转角位移 （对称性利用——1个转角位移）
例：（图8－9） （a）有侧移结构
计算步骤 （1）基本未知量 z1（φ1）、z2（Δ2） 刚结点——附加刚臂（只约束转动，不约束移动） 结点——附加支座链杆（独立线位移方向）
§8－1 概述
基本方法——力法、位移法
结构：外因→内力~位移——恒具有一定关系 力 法： 内力 → 位移 位移法：位移 → 内力
基本未知量 力法——多余未知力 位移法——结点位移（线位移，转角位移）
基本概念：（以刚架为例）
n=2 （超静定次数） 忽略轴向变形，
结点位移
Z1（角位移，无线位移） 变形协调条件
§8－2 等截面直杆的转角位移方程
单跨超静定梁——由杆端位移及荷载求杆端力 两端固定等截面梁（两端约束杆） 杆AB有杆端位移φA、φB、ΔAB， 只考虑相对线位移ΔAB
弦转角βAB = ΔAB∕l 顺时针为（＋）
求杆端力 ——力法求支座移动引起的内力
11x1 12 x2 1 A 21x1 22 x2 2 B
1、基本未知量的确定 刚架 —— 除结点角位移外还有结点线位移 假定 ①理想刚结点，铰结点 ②忽略轴力产生的轴向变形 ③小变形（直杆弯曲两端距离不变） 角位移数＝刚结点数
固定端角位移＝0 铰结点、铰支座处杆端转角不独立
线位移数＝独立的结点线位移数
a．观察——φ、Δ
b．独立线位移数——几何构造分析方法确定： （1）将所有刚结点（包括固定支座）变铰结点 （2）铰结体系的自由度数＝独立的线位移数
图8－7 M1：r11=3i + 3i＝6i MP： R1P=96-120=-24kN∙m Z1=-R1P/r11=4kN∙m/i M=MP+Z1M1
无侧移刚架： 【题9－9】2个转角位移 （对称性利用——1个转角位移）
例：（图8－9） （a）有侧移结构
计算步骤 （1）基本未知量 z1（φ1）、z2（Δ2） 刚结点——附加刚臂（只约束转动，不约束移动） 结点——附加支座链杆（独立线位移方向）
位移法
示。基本结构的变形与原结构是相同的，要使它们受力也相同，则
基本结构在荷载与Z1、Z2的共同作用下，附加联系(含附加刚臂及附 加链杆)处的反力矩及反力应为零(因为原结构不存在这些约束)，假 设附加刚臂处的反力矩为 R1，附加链杆处的反力为R2，则
R1 0 R2 0
(a)
设由Z1、Z2及荷载引起的附加刚臂上的反力矩为R11、R12、R1P，
“附加链杆”阻止结点的移动。位移法中的基本未知量用Z表示，
这是一个广义的位移，并用“ ⌒”及“→”分别表示原结点处
的角位移、线位移的方向，加在附加刚臂及附加链杆处，以保证 基本结构与原结构变形是一致的，如图8-5(c)、(f)。 对于图8-7(a)所示刚架，刚结点E、G的转角为基本未知量，分别 用Z1、Z2表示，铰结点处的竖向线位移也是一个基本未知量用Z3 表示，基本结构为图8-7(b)。图8-7(c)所示刚架，F为一组合结点， 即BF、EF杆在F处为刚结,该结构
(8-4)
式(8-3)称为图8-4(a)所示单跨梁的转角位移方程。式(8-3)还 可由式(8-1)推出，由MBA=0可得(荷载项单独考虑)
2i A 4i B
6i AB 0 l
(a)
B
1 3 ( A ab ) 2 l
将(a)式代入式(8-1)第一式可得
M AB 4i A 2i[ 3i A 1 3 6i ( A AB )] AB 2 l l
l
独立的角位移数目也就是刚结点的数目。图8-5(d)所示刚架，
E为铰结点，汇交于E结点的三根杆件各杆端转角由上节可
知不是独立的，故该刚架,
。 n 2, n 1.
l
独立的线位移数目，对于较复杂的结构无法直接观察而得，可采
第8章位移法
将系数和自由项代入典型方程并求解，可得
9 Fl 22 Fl 2 Z1 ， Z2 552 i 552 i
结构的最后弯矩图可由叠加法绘制： M
M1Z1 M 2 Z 2 M P
内力图校核同力法，略。
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
位移法计算步骤
（1）确定基本未知量：独立的结点角位移和线位移，加入附加
§8-6 对称性的利用
绘弯矩图d、e、g。
6 EI r11 10m r12 r21
112EI r22 1000m 3 6EI 100m 2
R1P 100kN m R2P 60kN
232.7kN m 2 Z1 EI 解得 660.4kN m 3 Z2 EI
图a所示刚架，结点角位移数目=4（注意结点2）
结点线位移数目=2
加上4个刚臂，两根支座链杆，可得基本结构如图b。
§8-3 位移法的基本未知量和基本结构
图a所示刚架，结点线位移数目=2
图b所示刚架，结点角位移数目=2 结点线位移数目=2
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
图a所示连续梁（EI为常数），只有一个独立结点角位移Z1。在结点B 加一附加刚臂得到基本结构。令基本结构发生与原结构相同的角位移Z1，二 者的位移完全一致了。
典型方程
主系数：主斜线上的系数rii，或称为主反力，恒为正值。 副系数：其他系数rij，或称为副反力，可为正、负或零。 rij= rji。 每个系数都是单位位移引起的反力或反力矩→结构的刚度系数； 位移法典型方程→结构的刚度方程；位移法→刚度法。
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
例8-1 试用位移法求图a所示阶梯形变截面梁的弯矩图。E=常数。
9 Fl 22 Fl 2 Z1 ， Z2 552 i 552 i
结构的最后弯矩图可由叠加法绘制： M
M1Z1 M 2 Z 2 M P
内力图校核同力法，略。
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
位移法计算步骤
（1）确定基本未知量：独立的结点角位移和线位移，加入附加
§8-6 对称性的利用
绘弯矩图d、e、g。
6 EI r11 10m r12 r21
112EI r22 1000m 3 6EI 100m 2
R1P 100kN m R2P 60kN
232.7kN m 2 Z1 EI 解得 660.4kN m 3 Z2 EI
图a所示刚架，结点角位移数目=4（注意结点2）
结点线位移数目=2
加上4个刚臂，两根支座链杆，可得基本结构如图b。
§8-3 位移法的基本未知量和基本结构
图a所示刚架，结点线位移数目=2
图b所示刚架，结点角位移数目=2 结点线位移数目=2
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
图a所示连续梁（EI为常数），只有一个独立结点角位移Z1。在结点B 加一附加刚臂得到基本结构。令基本结构发生与原结构相同的角位移Z1，二 者的位移完全一致了。
典型方程
主系数：主斜线上的系数rii，或称为主反力，恒为正值。 副系数：其他系数rij，或称为副反力，可为正、负或零。 rij= rji。 每个系数都是单位位移引起的反力或反力矩→结构的刚度系数； 位移法典型方程→结构的刚度方程；位移法→刚度法。
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
例8-1 试用位移法求图a所示阶梯形变截面梁的弯矩图。E=常数。
第8章位移法
在图（c）、（d）、（e）中分别利用结点和杆件的平衡条件可计算出系数和自由项如下：
（4）解方程求基本未知量。将系数和自由项代入位移法方程，得
解方程得
（5）绘内力图。由 叠加绘出最后M图，如图（f）所示。
（6）校核，在图（f）中取结点1为隔离体，验算是否满足 的平衡条件。由
可知计算无误。
题8-5试用位移法计算图（a）所示刚架，并绘制弯矩图。
（6）校核。在图（e）中取结点1为隔离体，验算是否满足平衡条件。由
可知计算无误。
题8-3试用位移法计算图（ห้องสมุดไป่ตู้）所示刚架，并绘制内力图。
题8-3图
解：（1）形成基本结构。此刚架的基本未知量为结点1的角位移 ，基本结构如图（b）所示。
（2）列出位移法方程
（3）求系数和自由项。绘出 和荷载作用在基本结构上的弯矩图，如图（c）、（d）所示。
（4）解方程求基本未知量。将系数和自由项代入位移法方程，得
解方程得
（5）绘弯矩图。由 叠加绘出最后M图，如图（f）所示。
（6）校核心。在图（f）中取结点1为隔离体，有
再取杆12为隔离体，有
可知计算无误。
题8-6试用位移法计算题19。6图（a）所示刚架，并绘出弯矩图。
题8-6图
解：（1）形成基本结构。此刚架的基本未知量为结点1的角位移 和结点1的水平线位移 ，基本结构如图（b）所示。
在图（c）、（d）中分别利用结点的平衡条件计算出系数和自由项如下：
（4）解方程求基本未知量。将系数和自由项代入位移法方程，得
解方程得
（5）绘地内力图。由 叠加绘出最后M图，如图（e）所示。利用杆件和结点的平衡条件可作出 图，分别如图（f）、（g）所示。其中在绘 图时需补充水平方向的变形条件才能求出，即A1杆的伸长量与B1杆的伸长量之和等于零。
（4）解方程求基本未知量。将系数和自由项代入位移法方程，得
解方程得
（5）绘内力图。由 叠加绘出最后M图，如图（f）所示。
（6）校核，在图（f）中取结点1为隔离体，验算是否满足 的平衡条件。由
可知计算无误。
题8-5试用位移法计算图（a）所示刚架，并绘制弯矩图。
（6）校核。在图（e）中取结点1为隔离体，验算是否满足平衡条件。由
可知计算无误。
题8-3试用位移法计算图（ห้องสมุดไป่ตู้）所示刚架，并绘制内力图。
题8-3图
解：（1）形成基本结构。此刚架的基本未知量为结点1的角位移 ，基本结构如图（b）所示。
（2）列出位移法方程
（3）求系数和自由项。绘出 和荷载作用在基本结构上的弯矩图，如图（c）、（d）所示。
（4）解方程求基本未知量。将系数和自由项代入位移法方程，得
解方程得
（5）绘弯矩图。由 叠加绘出最后M图，如图（f）所示。
（6）校核心。在图（f）中取结点1为隔离体，有
再取杆12为隔离体，有
可知计算无误。
题8-6试用位移法计算题19。6图（a）所示刚架，并绘出弯矩图。
题8-6图
解：（1）形成基本结构。此刚架的基本未知量为结点1的角位移 和结点1的水平线位移 ，基本结构如图（b）所示。
在图（c）、（d）中分别利用结点的平衡条件计算出系数和自由项如下：
（4）解方程求基本未知量。将系数和自由项代入位移法方程，得
解方程得
（5）绘地内力图。由 叠加绘出最后M图，如图（e）所示。利用杆件和结点的平衡条件可作出 图，分别如图（f）、（g）所示。其中在绘 图时需补充水平方向的变形条件才能求出，即A1杆的伸长量与B1杆的伸长量之和等于零。
第8章_位移法
k11
MP
3i
3
1
k11 4i 3i 7i
4i
将以上两式代入基本方程，得：
kR1111
4i
1
2
3Pl 7i Z1 16 0
1=Z1
Z1=
3i 1
3Pl Z1 112i
3
2i
M1
4、根据叠加原理作最后弯矩图
M M1Z1 MP
3Pl Z1 112i
3Pl 28
1
2
11Pl 56
3
3Pl 56
1
M 2
X2=1 1/l
l 3EI
X1
l 6EI
X2
l
A
l 6EI
X1
l 3EI
X2
l
B
A
fA
X1
fB
令 i EI l 线刚度
X1
4i A
2iB
6i l
X1=1
X2
2i A
4iB
6i l
1
M AB
4i A
2i B
6i l
M BA
2i A
4i B
6i l
M 1
M 2
X2=1
VAB
M AB
M BA l
C
D
C
D
1
C
D
A
B
A
B
1
试确定图示结构的独立线位移数
4
0
3、位移法的基本未知数
n n nl
例：确定结构按位移法求解的基本未知数
n 4 n n nl 4 2 6
nl 2
思考：确定结构按位移法求解的基本未知数
n n nl 6 2 8
第8章 位移法
FQ BA
6i l
A
6i l
B
12i l2
FF Q BA
§8.2
等截面直杆的转角位移方程
（2）一端固定一端铰支的单跨超静定梁
A
M
MAB
A
A
FQAB
q
FP
B
EI
B1
B
(非独立角位移)
FQBA l
M AB
3iA
3i l
M
F AB
M BA 0
FQ AB FQ BA
3i l
A
3i l
A
3i l2 3i l2
σ M1 = M13 + M12 = 0
（a）
σ Fx = Fs13 + Fs24 = 0
（b）
利用转角位移方程（8-2）、（8-3）及
（8-5）
r11Z1 + ⋯ + r1iZi + ⋯ + r1nZn + R1p = 0 ⋯⋯⋯⋯⋯
ri1Z1 + ⋯ + riiZi + ⋯ + rinZn + Rip = 0 ⋯⋯⋯⋯⋯
rn1Z1 + ⋯ + rniZi + ⋯ + rnnZn + Rnp = 0
在上述典型方程中，主斜线上的系数rii称为主系数或主反力；其 他系数rij称为副系数或副反力；Rip称为自由项。系数和自由项的 符号规定是：以与该附加联系所设位移方向一致者为正。主反力
§8.3
位移法的基本未知量和基本结构
用位移法计算超静定结构时，每一根杆件都可以看成是一根单跨 超静定梁，因此位移法的基本结构就是把每一根杆件都暂时变成两 端固定的或一端固定一端铰支的单跨超静定梁。为此，可以在每个 刚结点上假想的加上一个附加刚臂，以阻止刚结点的转动（但不能 阻止结点的移动），同时加上附加支座链杆以阻止结点的线位移。 例如图8-3a所示刚架，在两刚结点1、3处分别加上刚臂，并在结点 3处加上一根水平支座链杆，则原结构的每根杆件就都成为两端固 定或一端固定一端铰支的梁。原结构的基本结构如图8-3所示，它 是单跨超静定梁的组合体。 又如图8-4a所示刚架，其结点角位移数目为4（注意其中结点2也是 刚结点，即杆件62与32在该处刚结），结点线位移数目为2，一共 有6个基本未知量。加上4个刚臂和两根支座链杆后，可得到基本结 构如图8-4b
第8章 位移法
(非独立线位移)
M
q
FP
应用以上三组转角位移方程，即可求出三种基本的单跨超静定梁 的杆端弯矩。至于杆端剪力，则可根据平衡条件导出为
FQAB FQBA
M AB M BA 0 ( ) FQAB l M AB M BA 0 ( ) FQBA l
0 F0 式中，QAB 和 FQBA 分别表示相当简支梁在荷载作用下的杆 端弯矩。
k11 Z 1 F1P 0
这就是求解基本未知量Z1的位移法基本方程，其实质是平衡条件 。
为了求出系数k11和自由项F1P，可利用表8-2和表8-1，在 基本结构上分别作出荷载作用下的弯矩图（MP图）和 Z1=1引起的弯矩图（ M 1 图）。
F1P
FP l 8
FP
FP l 8 C 4i
k11 Z 1=1 A 4i
c) 基本体系 C
A Z1
三、位移法方程
l/2 l/2 FP lFP l/2 /2 A A Z 1Z
1
C C Z1 Z
1
F1=0F1=0 FP Z1 Z1 A A Z1 Z Z1 Z1 1
FP
C
F1P
F1P A
FP
FP
C
C
A
C
EI =常数 B
l
EI =常数
B
l
c)
B
基本体系
B
B
d)
B
锁住结点
F11 A C
Z3 Z5
n n y nl 42 6
Z4 F E G
a)
原结构
D A B E G H
c)
“增设链杆”
D G E H
①
A
③
《结构力学》第八章-位移法
(5) 按叠加法绘制最后弯矩图。
18
例 8—1 图示刚架的支座A产生了水平位移a、竖向位移b=4a
及转角=a/L，试绘其弯矩图。
L
解：基本未知量 Z 1(结点C转角)； C EI
B C Z1
B
基本结构如图示；
2EI
建立位移法典型方程： r11Z1+R1△=0
A Z1
基本结构 A
为计算系数和自由项，作
链为了杆能数简，捷即地为确定原出结结构构的的独独立立线线位
(b)
移位移数数目目(见，可图以b)。
11
2.位移法的基本结构
用位移法计算超静定结构时，每一根杆件都视为一根单跨超静
定梁。因此，位移法的基本结构就是把每一根杆件都暂时变为一根
单跨超静定梁(或可定杆件)。通常 的做法是，在每个刚结点上假想 1
构在荷载等外因和各结点位移共同作用下，各附加联系上的反力矩
或反力均应等于零的条件，建立位移法的基本方程。
(3) 绘出基本结构在各单位结点位移作用下的弯矩图和荷载作
用下(或支座位移、温度变化等其它外因作用下)的弯矩图，由平衡
条件求出各系数和自由项。
(4) 结算典型方程，求出作为基本未知量的各结点位移。
正。
B
B
B′
X2
X3
M1图
1
M
图
2
7
将以上系数和自由项代入典型方程，可解得 X1=
X2=
令
称为杆件的线刚度。此外，用MAB代替X1，用
MBA代替X2，上式可写成
MAB= 4iA+2i B－ MBA= 4i B +2i A－
(8—1）
是此两端固定的梁在荷载、温度变化等外因作用下的杆
第八章 位移法
FSBA
转角位移方程(刚度方程) Slope-Deflection (Stiffness) Equation
石铁大 结构力学
Chapter 8 Displacement Method
同理，另两类杆的转角位移方程为 A端固定B端铰支
M AB = 3iϕ A − 3i F ∆AB + M AB l
3i 3i F FSAB = − φ A + 2 ∆ AB + FSAB l l 3i 3i F FSBA = − φ A + 2 ∆ AB + FSBA l l
石铁大 结构力学
Chapter 8 Displacement Method
§8-1 概
EA = ∞ Z1
述(Introduction)
内力计算的关键是 求结点位移Z1
l/2 P l/2
Z1 =
EI
EI
Z1=1
× Z1
Z1
Z1 =
P
P
+
石铁大 结构力学
Chapter 8 Displacement Method
R2P r12
q
M2
4i / l
M1
4i
3i 2i
ql / 8 ql 2 / 8
MP
2
q R1P
3i / l
r11 = 34i / 3l 2
r12 = −4i / l
16 i / 3 l 3 i / l 2
2
r22 r11
3i 4i
r21
3i
R1 P = −3ql 2 / 4 r21 = −4i / l r22 = 10i R2 P = 0
石铁大 结构力学
Chapter 8 Displacement Method
第8章位移法
AD
2 9
0.222
M
F BA
30kN / m (4m)2 12
40kN m
M
F AB
30kN / m (4m)2 12
40kN m
M
F AD
3 50kN 4m 8
75kN m
M
F DA
50kN 8
4m
25kN
m
§9-2 力矩分配法的基本原理
（3）进行力矩的分配和传递。结点A的不平衡力矩为 计算过程如图b。
M
F 1j
)
M13 M1F3
S13 ( S1 j
M
F 1j
)
M
F 13
13 (
M
F 1j
)
(a)
M12
M
F 14
S14 ( S1 j
M1Fj ) M1F4 14 (
M
F 1j
)
（a）式的第一项为固端弯矩，荷载产生的； 第二项相当于把不平衡力矩反号后按劲度系数大 小的比例分配给各近端→分配弯矩。
此时，各层柱子两端均无转角，只有侧移。分析任一层柱子例如BC 两端的相对侧移时，可将其看作是下端固定上端滑动。如图c
F SCB 2ql
§9-4 无剪力分配法
推知：不论刚架有多少层，每一层柱子均可视为上端滑动下端固定的梁， 除了柱身承受本层荷载外，柱顶处还承受剪力，其值等于柱顶以上 各层所有水平荷载的代数和。
由剪力可确定各竖柱的弯矩。
§9-5 剪力分配法
例9-6 试用剪力分配法求图a所示刚架竖柱的弯矩图。竖柱E 为常数。
解：为计算方便，设12EI/h3=1。 则上层各竖柱的侧移刚度为 D1=D2=D3=1
下层各竖柱（左到右）的侧移刚度为
《结构力学》第八章 位移法
位移未知数确定举例
位移未知数确定举例
位移未知数确定举例
位移未知数确定举例
位移未知数确定练习
na 5 nl 2
na 2 nl 2
位移未知数确定练习
na 3 nl 4
na 0 nl 1
位移未知数确定练习
na 3 nl 1
na 3 nl 0
位移未知数确定练习
na 2 nl 3
基本思路
两种解法对比：
典型方程法和力法一样，直接对结构按统 一格式处理。最终结果由迭加得到。
平衡方程法对每杆列转角位移方程，视具 体问题建平衡方程。位移法方程概念清楚， 杆端力在求得位移后代转角位移方程直接可 得。
位移法方程：
两法最终方程都是平衡方程。整理后形式 均为：
K R 0
典型方程法基本概念
有一(A 点
转角,设为
).
位移法第一种基本思路
利用转角位移 方程可得:
M AD M
M AC
3i
ql 2 8
M AB
4i
FP l 8
M AE
i
FP l 2
在此基础上,由图示结点平衡得 M 0
第一种基本思路
位移法思路(平衡方程法)
以某些结点的位移为基本未知量 将结构拆成若干具有已知力-位移(转角-位移) 关系的单跨梁集合 分析各单跨梁在外因和结点位移共同作用下 的受力 将单跨梁拼装成整体 用平衡条件消除整体和原结构的差别,建立 和位移个数相等的方程 求出基本未知量后,由单跨梁力-位移关系可 得原结构受力
超静定单跨梁的力法结果(3) 载
载 载
1
超静定单跨梁的力法结果(4) 载 形 形 载
超静定单跨梁的力法结果(5) 载 载 载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 2 3
独立的结点角位移 数目为2。
4
5
6
第八章 位移法 2、结构线位移：
每个结点有两个线位移，为了减少未知量，引入与实 际相符的两个假设(轴向刚度条件）： 1）忽略轴向力产生的轴向变形； 2）弯曲变形是微小的，受弯直杆变形后其两端距离保 持不变。 上面两个假设导致杆件变形后两个端点距离保持不变。 2
Z1
Z1
q
Z1
2 2
q
Z1
EI=常数 3
l
可见，在计算刚架时，如果以Z1为基 本未知量，设法首先求出Z1，则各杆 的内力即可求出。这就是位移法的基 本思路。
3
l
第八章 位移法
R11
Z1
R1P
Z1
实现位移状态可分两步完成：
q
2
1
1）在可动结点上附加约束， 限制其位移，在荷载作用下， 附加约束上产生附加约束力； 2）使结构发生与原结构一致 的结点位移,附加约束上产生 附加约束力。
一、单跨超静定梁的三种类型（近端固定） 远端固定 远端铰支 远端滑动支座 （定向支座)。
A
B
A
B
A
B
第八章 位移法 二、杆端力和杆端位移的正负规定:
1、杆端弯矩对杆端以顺时针为正；对结点或支座以逆 时针为正。
2、杆端转角fA、fB 以顺时针方向转动为正。 3、杆件两端在垂直于杆轴方向上的相对线位移Δ以使 杆件顺时针转动为正；杆端剪力以使杆件绕另一端顺时 针旋转为正
q
1
C X1
ql 12
2
A
l/2
C
l/2
B
M1
ql 2 8
C X1=1
ql 2 12
1l 1 l 11 EI EI 1P ql 2 X1 11 24
2 1 1 2 l ql 3 1P ( ql 1) EI 3 8 2 24 EI
ql 2 24
第八章 位移法
第八章 位移法 3、位移法的基本未知数
例：确定结构按位移法求解的基本未知数
fA 6i A l X1 6i B l X1=1 12i 2 l 1
A
fB
M1 M2
X2=1
Δ
1/ l
Δ
X2
B
1
1/ l
第八章 位移法 2、几种不同远端支座的刚度方程
M AB 4i M BA 2i 6i V AB l MBA 2i 4i 6i l 6i A l 6i B l 12i 2 l
位移法：以某些结点位移为基本未知量，由平衡条件建 立位移法方程，求出位移后再计算内力。
A A A
P
A
力法计算,4个基本未知量 位移法计算, 1个基本未知量
第八章 位移法
位移法要点：
1.位移法的基本未知量是结点位移； 2.位移法以单根杆件为计算单元； 3.由平衡条件建立以结点位移为基本未知量的基本方程。 4.先将结构拆成杆件，再将杆件搭成结。这就将复杂结 构的计算问题转换为简单的杆件分析与综合问题。 P
q
ql 12
2
ql 2 8
ql 2 12
A
l/2
C
l/2
B
ql 2 24
M AB
ql 2 12
0 AB
M BA
ql 2 12
VAB
M AB M BA ql V 2 l
0 BA
M AB M BA ql VBA V 2 l
第八章 位移法
由荷载或温度变化引起的杆端内力称为载常数（P187表8-2）
6i l 6i X 2 2i A 4i B l X 1 4i A 2i B
1
M1
X2=1
Δ
1/ l
Δ
X2
B
1
1/ l
第八章 位移法 可以将上式写成矩阵形式
M AB 4i M BA 2i 6i V AB l 2i 4i 6i l
q
B
ql 2 8
其他荷载情况下的载常数可参见表8－2（P187－188）。
第八章 位移法 注意：
表8-1、8-2列出了常见的形常数和载常数。形常 数要求牢记（表8-1） ，载常数要会查表。表中单位 角位移、线位移、荷载、弯矩、剪力均设为正值。
表中单位角位移是顺时针，相对线位移绕另一端 也是顺时针，荷载绕（左）固定端同样是顺时针的。 如果单位角位移、线位移是逆时针的，则表中所 列形常数的正负号要反号。如果荷载绕固定端（左） 是逆时针的；则表中所列载常数的正负号也要反号。 当计算某一结构时，应根据杆件两端实际的位移 方向和荷载方向，判断形常数和载常数的正负。
fA
EI
(1)
l
因MBA = 0，代入(1)式可得
6i 2i A 4i B 0 l 6i B ( 2i A ) 4i l 3i M AB 3i A l
第八章 位移法 （3）远端为定向支座
MAB
6i M AB 4i A 2 i l 6i MBA M 2i B 4i BA l 6i 6 i 12 i V 2 AB l l l 0
2）确定以结构的哪些结点作 为基本未知量，选取位移法的 基本体系； 3）如何建立求解基本未知量 的位移法方程。
3
第八章 位移法
§8-2 等截面直杆的转角位移方程 用位移法计算超静定刚架时，每根杆件均视为单跨 超静定梁。计算时，要用到各种单跨超静定梁在杆端产 生位移(线位移、角位移)时的杆端内力(弯矩、剪力),以 及在荷载等因素作用下的杆端内力(弯矩、剪力)。
第八章 位移法
第八章
§8-1 概述
位移法
§8-2 等截面直杆的转角位移方程 §8-3 位移法的基本概念
§8-4 位移法的典型方程
§8-5 位移法计算步骤及举例
§8-7 直接利用平衡条件建立位移法方程
第八章 位移法
§8-1 概述
力法和位移法是分析超静定结构的两种基本方法。力 法于十九世纪末开始应用，位移法建立于二十世纪初。 力法：以多余未知力为基本未知量，由位移条件建立力 法方程，求出内力后再计算位移。
单跨超静定梁简图
A A A A
MAB
B B
MBA
VAB= VBA
f=1
4i
1
2i
6i l
f=1
6i l
B B
1
3i 3i l
0 0
A
f=1
6i l 12i l2 3i l 3i l2
B
i
-i
0
两链杆与杆轴垂直或斜交的定向支座应视为固定端
第八章 位移法 四、转角位移方程-载常数 两端固定受均布荷载：
C
D
C
B
D
1
A
第八章 位移法 线位移数的确定——几何方法 1）将结构中所有刚结点和固定支座，代之以铰结点 和铰支座，2）分析新体系的几何构造性质，若为几何可 变体系，则通过增加支座链杆使其变为无多余联系的几何 不变体系，3）所需增加的链杆数，即为原结构位移法计 算时的线位移数。4)若新（铰接）体系是几何不变的，则 原结构的各点均无线位移。
MAB
A
EI
l
B
MBA
第八章 位移法 三、转角位移方程-形常数 1、两端固定:
A
X1
fA
fB
11 X 1 12 X 2 1C A 21 X 1 22 X 2 2C B
11
1 l 2 l 22 EI 2 3 3EI
X1=1
单跨超静定梁简图
MFAB
MFBA
VFAB
VFBA
q
A A A
l 2 l 2
P
B B B
ql 2 12
Pl 8
M 8
ql 2 12
Pl 8
ql 2
P2
ql 2
P 2
l 2 l 2
A A
l 2
M P
0 0
0
9M 8l
11P 16 5ql 8
9M 8l
l 2
B
3Pl 16
5P 16 3ql 8
A A A
A
力法计算,4个基本未知量 位移法计算, 1个基本未知量
第八章 位移法
关于刚架的结点未知量
刚架在荷载q作用下将发生如虚线所示的变形。 在刚结点1处发生转角Z1，结点没有线位移。 1 则12杆可以视为一根两端固定的梁（见右 图）。其受荷载q作用和支座1发生转角Z1这 两种情况下的内力均可以由力法求。 1 1 同理，13杆可以视为一根一端固定 另一端铰支的梁（见右图）。 而在固定端1处发生了转角Z1，其内 力同样由力法求出。
1
1 l1 l 12 21 EI 2 3 6 EI
M1 M2
X2=1
Δ
1/ l
1C
2C l
Δ
X2
B
1
1/ l
第八章 位移法
l l X1 X 2 A 3EI 6 EI l l l X1 X 2 B 6 EI 3EI l
fA
EI
(1)
l
因 B 0,VAB VBA
6i 6i 12i VAB VBA A B 2 0 (2) l l l
由（2）式可得： 则有： M AB iA
独立的结点角位移 数目为2。
4
5
6
第八章 位移法 2、结构线位移：
每个结点有两个线位移，为了减少未知量，引入与实 际相符的两个假设(轴向刚度条件）： 1）忽略轴向力产生的轴向变形； 2）弯曲变形是微小的，受弯直杆变形后其两端距离保 持不变。 上面两个假设导致杆件变形后两个端点距离保持不变。 2
Z1
Z1
q
Z1
2 2
q
Z1
EI=常数 3
l
可见，在计算刚架时，如果以Z1为基 本未知量，设法首先求出Z1，则各杆 的内力即可求出。这就是位移法的基 本思路。
3
l
第八章 位移法
R11
Z1
R1P
Z1
实现位移状态可分两步完成：
q
2
1
1）在可动结点上附加约束， 限制其位移，在荷载作用下， 附加约束上产生附加约束力； 2）使结构发生与原结构一致 的结点位移,附加约束上产生 附加约束力。
一、单跨超静定梁的三种类型（近端固定） 远端固定 远端铰支 远端滑动支座 （定向支座)。
A
B
A
B
A
B
第八章 位移法 二、杆端力和杆端位移的正负规定:
1、杆端弯矩对杆端以顺时针为正；对结点或支座以逆 时针为正。
2、杆端转角fA、fB 以顺时针方向转动为正。 3、杆件两端在垂直于杆轴方向上的相对线位移Δ以使 杆件顺时针转动为正；杆端剪力以使杆件绕另一端顺时 针旋转为正
q
1
C X1
ql 12
2
A
l/2
C
l/2
B
M1
ql 2 8
C X1=1
ql 2 12
1l 1 l 11 EI EI 1P ql 2 X1 11 24
2 1 1 2 l ql 3 1P ( ql 1) EI 3 8 2 24 EI
ql 2 24
第八章 位移法
第八章 位移法 3、位移法的基本未知数
例：确定结构按位移法求解的基本未知数
fA 6i A l X1 6i B l X1=1 12i 2 l 1
A
fB
M1 M2
X2=1
Δ
1/ l
Δ
X2
B
1
1/ l
第八章 位移法 2、几种不同远端支座的刚度方程
M AB 4i M BA 2i 6i V AB l MBA 2i 4i 6i l 6i A l 6i B l 12i 2 l
位移法：以某些结点位移为基本未知量，由平衡条件建 立位移法方程，求出位移后再计算内力。
A A A
P
A
力法计算,4个基本未知量 位移法计算, 1个基本未知量
第八章 位移法
位移法要点：
1.位移法的基本未知量是结点位移； 2.位移法以单根杆件为计算单元； 3.由平衡条件建立以结点位移为基本未知量的基本方程。 4.先将结构拆成杆件，再将杆件搭成结。这就将复杂结 构的计算问题转换为简单的杆件分析与综合问题。 P
q
ql 12
2
ql 2 8
ql 2 12
A
l/2
C
l/2
B
ql 2 24
M AB
ql 2 12
0 AB
M BA
ql 2 12
VAB
M AB M BA ql V 2 l
0 BA
M AB M BA ql VBA V 2 l
第八章 位移法
由荷载或温度变化引起的杆端内力称为载常数（P187表8-2）
6i l 6i X 2 2i A 4i B l X 1 4i A 2i B
1
M1
X2=1
Δ
1/ l
Δ
X2
B
1
1/ l
第八章 位移法 可以将上式写成矩阵形式
M AB 4i M BA 2i 6i V AB l 2i 4i 6i l
q
B
ql 2 8
其他荷载情况下的载常数可参见表8－2（P187－188）。
第八章 位移法 注意：
表8-1、8-2列出了常见的形常数和载常数。形常 数要求牢记（表8-1） ，载常数要会查表。表中单位 角位移、线位移、荷载、弯矩、剪力均设为正值。
表中单位角位移是顺时针，相对线位移绕另一端 也是顺时针，荷载绕（左）固定端同样是顺时针的。 如果单位角位移、线位移是逆时针的，则表中所 列形常数的正负号要反号。如果荷载绕固定端（左） 是逆时针的；则表中所列载常数的正负号也要反号。 当计算某一结构时，应根据杆件两端实际的位移 方向和荷载方向，判断形常数和载常数的正负。
fA
EI
(1)
l
因MBA = 0，代入(1)式可得
6i 2i A 4i B 0 l 6i B ( 2i A ) 4i l 3i M AB 3i A l
第八章 位移法 （3）远端为定向支座
MAB
6i M AB 4i A 2 i l 6i MBA M 2i B 4i BA l 6i 6 i 12 i V 2 AB l l l 0
2）确定以结构的哪些结点作 为基本未知量，选取位移法的 基本体系； 3）如何建立求解基本未知量 的位移法方程。
3
第八章 位移法
§8-2 等截面直杆的转角位移方程 用位移法计算超静定刚架时，每根杆件均视为单跨 超静定梁。计算时，要用到各种单跨超静定梁在杆端产 生位移(线位移、角位移)时的杆端内力(弯矩、剪力),以 及在荷载等因素作用下的杆端内力(弯矩、剪力)。
第八章 位移法
第八章
§8-1 概述
位移法
§8-2 等截面直杆的转角位移方程 §8-3 位移法的基本概念
§8-4 位移法的典型方程
§8-5 位移法计算步骤及举例
§8-7 直接利用平衡条件建立位移法方程
第八章 位移法
§8-1 概述
力法和位移法是分析超静定结构的两种基本方法。力 法于十九世纪末开始应用，位移法建立于二十世纪初。 力法：以多余未知力为基本未知量，由位移条件建立力 法方程，求出内力后再计算位移。
单跨超静定梁简图
A A A A
MAB
B B
MBA
VAB= VBA
f=1
4i
1
2i
6i l
f=1
6i l
B B
1
3i 3i l
0 0
A
f=1
6i l 12i l2 3i l 3i l2
B
i
-i
0
两链杆与杆轴垂直或斜交的定向支座应视为固定端
第八章 位移法 四、转角位移方程-载常数 两端固定受均布荷载：
C
D
C
B
D
1
A
第八章 位移法 线位移数的确定——几何方法 1）将结构中所有刚结点和固定支座，代之以铰结点 和铰支座，2）分析新体系的几何构造性质，若为几何可 变体系，则通过增加支座链杆使其变为无多余联系的几何 不变体系，3）所需增加的链杆数，即为原结构位移法计 算时的线位移数。4)若新（铰接）体系是几何不变的，则 原结构的各点均无线位移。
MAB
A
EI
l
B
MBA
第八章 位移法 三、转角位移方程-形常数 1、两端固定:
A
X1
fA
fB
11 X 1 12 X 2 1C A 21 X 1 22 X 2 2C B
11
1 l 2 l 22 EI 2 3 3EI
X1=1
单跨超静定梁简图
MFAB
MFBA
VFAB
VFBA
q
A A A
l 2 l 2
P
B B B
ql 2 12
Pl 8
M 8
ql 2 12
Pl 8
ql 2
P2
ql 2
P 2
l 2 l 2
A A
l 2
M P
0 0
0
9M 8l
11P 16 5ql 8
9M 8l
l 2
B
3Pl 16
5P 16 3ql 8
A A A
A
力法计算,4个基本未知量 位移法计算, 1个基本未知量
第八章 位移法
关于刚架的结点未知量
刚架在荷载q作用下将发生如虚线所示的变形。 在刚结点1处发生转角Z1，结点没有线位移。 1 则12杆可以视为一根两端固定的梁（见右 图）。其受荷载q作用和支座1发生转角Z1这 两种情况下的内力均可以由力法求。 1 1 同理，13杆可以视为一根一端固定 另一端铰支的梁（见右图）。 而在固定端1处发生了转角Z1，其内 力同样由力法求出。
1
1 l1 l 12 21 EI 2 3 6 EI
M1 M2
X2=1
Δ
1/ l
1C
2C l
Δ
X2
B
1
1/ l
第八章 位移法
l l X1 X 2 A 3EI 6 EI l l l X1 X 2 B 6 EI 3EI l
fA
EI
(1)
l
因 B 0,VAB VBA
6i 6i 12i VAB VBA A B 2 0 (2) l l l
由（2）式可得： 则有： M AB iA