第七部分能带——总结与习题指导

第七部分 能带
——总结与习题指导
内容提要
1．布洛赫(Bloch)定理
周期势场中，单电子哈密顿量 H = − 2∇2 / 2m +U (r) (对布喇菲点阵的所有 R，有
U (r) = U (r + R) )的本征因数可以这样选取，使得和每个ψ 相联系的有一个波矢 k ，对
于布喇菲点阵的所有 R 有
ψ (r + R) = eik⋅Rψ (r)
3．弱周期势场中的电子[1]
对弱周期势场中的电子(近自由电子)，我们可以从索末菲的自由电子论出发，加
上弱周期势的修正来处理。分以下两种情况来讨论。
(a)非简并情况
固定一个波矢 k，考虑一个特定的倒易点阵矢量 G1，使得相应的自由电子能量 满足
ε| 0 k -G1
−
ε
0 k -G
|
U ，对固定的 k 和所有 G ≠ G1
(7.1)
此即布洛赫定理。布洛赫定理要求本征函数ψ h (r) 具有如下的特殊形式
ψ k (r) = eik⋅r uk (r)
(7.2)
这里， uk (r) 是具有布喇菲点阵周期性的函数，对布喇菲点阵的所有点阵矢量 R 有
uk (r) = uk (r + R)
(7.3)
ψ k (r) 称为布洛赫函数，它具有调幅波的特性。
K
(7.5)
∑ K
=
3 i =1
mi Ni
bi
(7.6)
其中 mi 为整数，Ni 是数量级为 N1/3 的整数，N=N1N2N3 是晶体中初基晶胞的数目。将
1
周期势 U(r)用倒易点阵矢量 G 展开，
∑ U (r) = UGeiGir
G
(7.7)
适当选择势的零点，使 U0=0，对中心反演对称的晶体，由于 U(r)是实函数，应有
UG = U−G = UG* 。将上式代入式(7.4)得到单电子薛定谔方程在动量空间的形式：
2
∑ (
2m
K2
− ε )CK
+
G′
UG′CK -G′
=0
用第一布里渊区内的波矢 k = K + G ，式(7.8)又可写为
(7.8)
∑ h2
[ (k 2m
-G
)2
- ε]Ck-G
+
G′
U C G′-G k -G′
∑ ∑ ∑ ε ε ε (
- εk0-Gi
)Ck -Gi
=
U C G j -Gi k -G j
i =1
+
m
( U − U )C j=1 G≠G1 ...Gm
G -Gi G j -G 0 k -G
k -G j
Байду номын сангаас
+ O(U 3)
(7.14)
于是求解 U 的二级近似下 m 个简并能级的能量修正问题化为求解 m 个 Ck-Gi 的联立方
程(7.14)的问题。如果仅仅修正到 U 的首项，则方程(7.14)简化为
m
∑ (ε
ε- )C 0 k -Gi
k -G i
=
UGj-Gi Ck-Gj (i = 1,..., m)
j =1
(7.15)
这正是 m 个量子能级体系的一般方程式。
用式(7.14 )、(7.15)可以求解几个布喇格平面(G 的中垂面)交点附近的电子能级。
布洛赫定理是由晶体的平移对称性导出的，凡属周期结构中的波都应具有布洛赫
函数的形式。
2．周期场中电子的波动方程 周期场中单电子薛定谔方程为
2
Hψ = [− ∇2 +U (r)]ψ = εψ
(7.4)
2m
在周期性边界条件下，将波函数ψ 展成平面波的线性组合
K 取周期性边界条件所容许的值
∑ ψ (r) = CK eiK ir
的影响是
U
的二级小量。
(b)近简并情况
如果所选取的 k 值使得有几个倒易点阵矢量 G1，……，Gm 满足
ε0 k -G1
，……
ε
0 k
-Gm
彼此都相差在
U
的数量级内，而和其它
ε
0 k -(G ≠G1
, ...... ,Gm
)
之差则远大于 U，即
|
ε
0 k -G
ε − 0 k -Gi
|
Ui = 1,..., m,G ≠ G1 , ...,Gm ，由式(7.9)可以得到
=
0
(7.9)
对于第一布里渊区内指定的波矢 k，式(7.9)对所有倒易点阵矢量 G 代表一组方程
式，这组方程式把那些波矢和 k 相差一个倒易点阵矢量的系数 Ck ， Ck-G′ ， Ck-G′′ ， Ck-G′′′ …联系起来，于是求解周期势场中单电子薛定谔方程(7.4)的问题化为对第一布里 渊区内的 N 个 k 值独立求解方程(7.9)的问题。对每一个 k 值，解的形式都是波矢和 k
K
= UGCK -G
⎫⎪ ⎬
(ε
-
ε
0 K
-G
)CK
-G
= U -GCK
=
U
* G
CK
⎪⎭
(7.16) (7.17)
ε0 K -G
≈
ε
0 K
,
|
ε
0 K
− ε K -G′
|
U ，对 G′ ≠ G, 0 ，由式(1.17)可得能量的两个根为
ε
=
1 2
(ε
0 K
+
ε
0 k -G
)
±
[(
ε
0 K
−
ε
0 k -G
4．能隙
在某些能量范围内，波动方程不存在布洛赫解，这些能量值构成所谓能量禁区，
即能隙。在此区内，波函数在空间被阻尼，波矢 k 为复值。绝缘体的出现正是由于能
只相差一个倒易点阵矢量的一组平面波的迭加，即
如果我们把上式写作
∑ ψ k =
C ei(k -G)ir k -G
G
(7.10)
令周期函数 u(r)为
∑ ψ k (r) = eikir (
Ck
e−iG
-G
ir
)
G
(7.11)
∑ u(r) =
C e−iGir k -G
G
(7.12)
则式(7.10)就具有布洛赫形式(7.2)。
对于近简并的二能级体系，式(7.15)简化为
(ε (ε
ε- )C 0 k -G1
k -G1
ε- )C 0 k -G2
k -G2
=
U C G2 -G1 k -G2
⎫⎪ ⎬
= UG1 -G2 Ck -G1 ⎪⎭
引用符号 K=k-G1，G=G2-G1，式(7.16)又可写为
这里有
(ε
-
ε
0 k -G1
)C
2
)2 + |UG
|2 ]1/2
(7.17′)
3
用式(7.17′)可以求解一级近似下单个布喇格平面附近的电子能级。
由于近简并情况下一级能量修正和 U 有线性关系，和非简并情况相比较，我们看
到，只有近简并能级才受到弱周期势最强烈的影响。也就是说，弱周期势的主要影响
只表现在对那些波矢靠近布喇格平面的自由电子能级上。
2
2
这里
ε
0 K
=
2m
K 2 ，表示波矢为
K
的自由电子能量。U
表示势的典型傅里叶分量。由此
(7.9)可以得到修正到 U2 的电子能量为
∑ ε
ε = 0 k -G2
+
-G
| UG -G1 |2
ε ε − 0
0
k -G1
k -G
+ O(U 3 )
(7.13)
弱周期势对非简并自由电子能级
ε0 k -G1