第七部分能带——总结与习题指导
能带理论课件
2
k V k
II、能量的二级修正：
Ek(2)
k
Ek0 Ek0
kV k
a. k k n 2
a
kVka 10 aei2a nV()dVn
b. k kn2 kV k 0
a
2
二级微扰能：
E (2) k
k
kV k Ek0 Ek0
n
Vn 2
2 2m
k
2
(k
n a
2
)2
微扰下的电子能量就可写成：
有 N个具有相同能量 的束缚态波函数 ，所以在不考虑原 认为一个电子在离子实和其他电子所形成的势场中运动，称为哈特里—福克自洽场近似，也称为单电子近似。
二、近自由电子近似（Nearly Free Electron）模型
在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较 小，而电子的平均动能要比其势能的绝对值大得多时，电 子
的运动就几乎是自由的。因此，我们可以把自由电子看成是
它的零级近似，而将周期场的影响看成小的微扰来V求解。
（也称为弱周期V 场(近x)似）V。势场V(x)可用平均势 代替，
E
Ek0
Vn
2Tn
(
2Tn Vn
1)
Ek0 Vn
2Tn
(
2Tn Vn
1)
E i：原来较低的
E
0 k
态微扰使它下降为：
E ii：原来较高的
E
0 k
态微扰使它更高为：
差别为 2 V n
——在近自由电子近似中，在晶体中运动的共有电子被看成
是近自由电子。所有电子及原子实产生的场是具有晶格周期
性的等效势场，周期性势场的起伏对共有化电子
能带理论学习资料课件
Formal Charge High spin;
Automatic Low spin: 0
8: 0.00
eV P: 0.00
eV
0.00
eV
Formal spin
Spin state; Direction
High
Spin:
Help
Help
20
CASTEP Calculation
Setup Electronic] Propeties| Job Control
上面的右图可以发现， Pb 的 6s和 O2p 有态密度共振，也成键；另外 Pb6d 和 Pb6d 在 O2p 态密度处有明显的峰(有贡献),所以O2p 与Pb6s,6d 也是成键的。
15
七.识图
原则 1.能带和DOS一一对应，并相互印证 2.能带是分子轨道按能量大小排列
3.应结合PDOS进行分析
1
7.带宽：能带的最高和最低之间的能量差值。 其数值和几何构型有着密切的关系。
8.Caste和Dmol只能绘制散点图和线形图，并 且很不美观。后续通常需要origin进行处理。
2
二.费米能级
1.费米能级（fermi level ）是绝对零度下的最 高能级。
2.在Castep 中费米能级的默认值是0 。这给我 们带来了很大的方便。（在计算能带宽度 时）。
apha beta
5
四.性质
1.能带是能量关于d(k) 的函数 2.横坐标是布里渊区上的高对称性点（其距
离受到smearing 的影响） 3.在计算过程中只能简单的调节G点
6
4.有多少条线就有多少个轨道，就有多少条
能带。
5.能带的底部主要是成键，中部为非键，上
能带理论及其应用ppt课件
分布向电场反方向移动。因为有
dk
e
dt
•
（a）布洛赫振荡：刚有外场时，由于
v(k )
是
k
的周
期函数，故电子速度发生周期性振荡，电子在实空
间位置也发生振荡，此效应称为布洛赫振荡。
• （b）当电子运动时，受到晶格振动、杂质和缺陷 的散射，达到一个稳定的不对称分布，不再振荡。 此时，沿电场正反方向电子数不相等，总的电流不
(1)研究离子运动时，认为电子能跟上离子位置变化，不考 虑其影响——即晶格振动问题，描述原子或离子围绕平衡
位置的小振动问题。
(2)研究电子运动时，假定离子实静止在平衡位置上，晶格 具有严格周期性，而晶格振动对电子影响当作微扰来处
理——即能带理论，研究固体中的电子状态。
单电子近似：含有大量电子的体系中，每个电子受到其
•
出,
l1,
k
l2,l3 为整数），
相邻取值相差很小。
最新版整理ppt
12
•
2． 能带： 对于同一个n的
En(k)
由不同的
k
组成许多靠得很
近的能级组，称为能带。
• 3． 能带结构 对于不同的n，En(k) 形成单电子能谱。En(k) 的总体 称为晶体的能带结构。
1．
所以单电子能谱是由许多能带组成（每个n对应 一个能带）。 • 对值一，个靠能得带很中近的为准En(k连)是续）k 相的邻准能连带续E函n(k)数和（分立 En1(k) 之间可以相接，重叠或分开。
23
紧束缚近似的晶格势场
A
rRm
注：
V(rR m)
r
Rm
Rm 处格点对A处
电子的作用；
a
V
第七部分 能带-总结与习题指导
(a)非简并情况
固定一个波矢 k，考虑一个特定的倒易点阵矢量 G1，使得相应的自由电子 能量满足
0 0 | εk U ，对固定的 k 和所有 G ≠ G1 -G1 − ε k -G |
2
这里 ε =
0 K
2
2m
K 2 ，表示波矢为 K 的自由电子能量。U 表示势的典型傅里叶分量。
由此(7.9)可以得到修正到 U2 的电子能量为
0 ε = εk -G + ∑
2
| U G -G1 |2
-G
ε
0 k -G1
− ε k -G
0
+ O(U 3 )
(7.13)
0 弱周期势对非简并自由电子能级 ε k -G1 的影响是 U 的二级小量。
(b)近简并情况
如 果 所 选 取 的 k 值 使 得 有 几 个 倒 易 点 阵 矢 量 G1 ， …… ， Gm 满 足
为对第一布里渊区内的 N 个 k 值独立求解方程(7.9)的问题。 对每一个 k 值， 解的 形式都是波矢和 k 只相差一个倒易点阵矢量的一组平面波的迭加，即
ψ k = ∑ Ck -G ei ( k -G ) i r
G
(7.10)
如果我们把上式写作
ψ k (r ) = eik i r (∑ Ck -G e− iG ir )
ψ (r + R) = e ik ⋅ Rψ (r )
此即布洛赫定理。布洛赫定理要求本征函数ψ h (r ) 具有如下的特殊形式
(7.1)
ψ k (r ) = e ik ⋅r uk (r )
(7.2)
这里，uk (r ) 是具有布喇菲点阵周期性的函数，对布喇菲点阵的所有点阵矢量 R 有
研究生课件-能带理论
这一能级分裂成由 N条能级组成的能带后， 能带最多能容纳 2N(2l +1)个电子。
6
2N(2l+1)
例如，1ｓ、2ｓ能带，最多容纳 2N个电子。 2ｐ、3ｐ能带，最多容纳 6N个电子。
电子排布时，应从最低的能级排起。
有关能带被占据情况的几个名词：
计算表明： U0b 的数值越大所得到的能带越窄。 由于原子的内层电子受到原子核的束缚较大， 与外层电子相比，它们的势垒强度较大。
所以，内层电子的能带较窄。 外层电子的能带较宽。
26
从 E ~ k 曲线还可以
E
看出： k 值越大，
相应的能带越宽。
E7
k n 2 n 2
Na L (n 0,1,2,)
maU 2
0b
sin
a
a
cos
(
a)
cos(ka)
(4)
式中
2mE
而 k 2 是电子波的角波数*。
（4）式就是电子的能量 E 应满足的方程,也是电子
能量 E与角波数 k 之间的关系式。
注*：有兴趣的读者可参阅〈固体物理基础〉
蔡伯熏编（1990）P 268。
21
maU 2
0b
s
in
a
由周期性边界条件可以推出:布洛赫波函数 的
波数 k 只能取一些特定的分立值。
13
证明如下:
由周期性边界条件 k ( x) k ( x Na)
(3)
按照布洛赫定理：
左边为 右边为
k ( x) ei k xuk ( x)
k
(
x
Na )
半导体物理知识点及重点习题总结
基本概念题：第一章半导体电子状态1.1 半导体通常是指导电能力介于导体和绝缘体之间的材料，其导带在绝对零度时全空，价带全满，禁带宽度较绝缘体的小许多。
1.2能带晶体中，电子的能量是不连续的，在某些能量区间能级分布是准连续的，在某些区间没有能及分布。
这些区间在能级图中表现为带状，称之为能带。
1.2能带论是半导体物理的理论基础，试简要说明能带论所采用的理论方法。
答：能带论在以下两个重要近似基础上，给出晶体的势场分布，进而给出电子的薛定鄂方程。
通过该方程和周期性边界条件最终给出E-k关系，从而系统地建立起该理论。
单电子近似：将晶体中其它电子对某一电子的库仑作用按几率分布平均地加以考虑，这样就可把求解晶体中电子波函数的复杂的多体问题简化为单体问题。
绝热近似：近似认为晶格系统与电子系统之间没有能量交换，而将实际存在的这种交换当作微扰来处理。
1.2克龙尼克—潘纳模型解释能带现象的理论方法答案：克龙尼克—潘纳模型是为分析晶体中电子运动状态和E-k关系而提出的一维晶体的势场分布模型，如下图所示利用该势场模型就可给出一维晶体中电子所遵守的薛定谔方程的具体表达式，进而确定波函数并给出E-k关系。
由此得到的能量分布在k空间上是周期函数，而且某些能量区间能级是准连续的（被称为允带），另一些区间没有电子能级（被称为禁带）。
从而利用量子力学的方法解释了能带现象，因此该模型具有重要的物理意义。
1.2导带与价带1.3有效质量有效质量是在描述晶体中载流子运动时引进的物理量。
它概括了周期性势场对载流子运动的影响，从而使外场力与加速度的关系具有牛顿定律的形式。
其大小由晶体自身的E-k 关系决定。
1.4本征半导体既无杂质有无缺陷的理想半导体材料。
1.4空穴空穴是为处理价带电子导电问题而引进的概念。
设想价带中的每个空电子状态带有一个正的基本电荷，并赋予其与电子符号相反、大小相等的有效质量，这样就引进了一个假想的粒子，称其为空穴。
它引起的假想电流正好等于价带中的电子电流。
能带理论课程总结
能带理论课程总结能带理论是一种近似的理论，在固体中存在大量的电子，它们的运动是相互联系着的，每个电子的运动都要受到其它电子运动的牵连。
这种多电子系统严格的解显然是不可能的。
能带理论是单电子近似的理论，就是把每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动。
能带理论的出发点是固体中的电子不再束缚于个别的原子，而是在整个固体内运动，称为共有化电子。
在讨论共有化电子的运动状态时假定原子实处在平衡位置，而把原子实偏离平衡位置的影响看成微扰，对于理想晶体，原子规则排列成晶格，晶格具有周期性，因而等效势场也具有周期性，晶体中的的电子就是在一个具有晶格周期性的等效势场中运动，其波动方程为：也有：为任意晶格矢量。
在研究能带理论时，我们往往通过近似模型的转化，将相关问题简单化。
通过假定体积为V=，有N个带正电荷Ze的例子是，结合系统哈密顿量和体系中的薛定谔方程，首先应用绝热近似的观点将系统哈密顿量简化，实现多粒子问题到多电子问题的转化，再通过单电子近似即用分离变量法对单个电子独立求解得单电子所受势场为：从而实现了多电子问题到单电子问题的转化，最后假定电子所受到的势场具有平移对称性即存在周期场近似，则把能带理论顺利转化为周期性场中的单电子近似问题了。
1、布洛赫定理布洛赫定理指出，当势场具有晶格周期性时，波动方程的解具有以下性质：上式就是布洛赫定理。
根据该定理得到波函数：即布洛赫函数。
Bloch 发现，不管周期势场的具体函数形式如何，在周期势场中运动的单电子的波函数不再是平面波，而是调幅平面波，其振幅也不再是常数，而是按晶体的周期而周期变化。
具体波动图像如下所示：2、近自由电子模型在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较小，而电子的平均动能要比其势能的绝对值大得多时，电子的运动就几乎是自由的。
因此，我们可以把自由电子看成是它的零级近似，而将周期场的影响看成小的微扰来求解。
近自由电子（NFE）模型的定性描述：在NFE 模型中，是以势场严格为零的Schrödinger方程的解（即电子完全是自由的）为出发点的，但必须同时满足晶体平移对称性的要求，我们称之为空格子模型。
能带理论
第 四 章
绝热近似
固体的能带理论
价电子和内层电子的分离：内层电子与原子核一起运动构成离子实 绝热近似：由于电子的响应速度极快，可以将离子的运动与电子的运 动分离
离子实（原子）体系
决定材料中声波的传播，热膨胀，晶格比热，结构缺陷等性能 周期性排列的原子体系的行为可以通过晶格动力学理论处理（通过晶 格振动中能量量子-声子描述晶体的物理特性）
固体的能带
3p 3s 2p 2s
Mg
。 1s
Mg
3p 3s 2p 2s 1s
空带 价带
根据泡利不相容原理，原来的 能级已填满不能再填充电子— 分裂为两条
第 四 章
各原子间的相互作用
固体的能带
原来孤立原子的能级发生分裂 若有N个原子组成一体，对于原来孤立原子的 一个能级，就分裂成N条靠得很近的能级，称 为能带（energy band）。
提供了分析半导体理论问题的基础，推动了半导体
技术的发展
随着计算机技术的发展，能带理论的研究从定性的
普遍性规律发展到对具体材料复杂能带结构的计算
第 四 章
固体的能带理论
能带理论是信息技术的物理基础
1928-29 建立能带理论并由实验证实
1947.12 发明晶体管
1962 制成集成电路 1971 Intel 4004微处理器芯片 2300晶体管
金刚石的能带
钠的能带
第 四 章
固体的能带
电子在周期性晶格中的运动，电子共有化，受到 周期性势场的作用。
孤立原子中电子的 势阱
势垒
电子能级
+
第 四 章
固体的能带
解定态薛定谔方程， 可以得出两点重要结论：
《固体物理学》房晓勇主编教材-习题参考解答07第七章_能带结构分析
第七章 能带结构分析
（二）参考阎守胜 3.8 面心立方晶胞含 3 个原子，设锌原子与铜原子之比为 m，则
n = (3 + 3m) / a3
kF3 = 3π 2n = 3(3 + 3m)π 2 a3
m
=
(akF )3
9π 2
−1
面心立方的倒格子为体心立方
⎧⎪a1 ⎪
=
a 2
(
j
+
k
)
⎪⎨a2 ⎪
=
a 2
k
=
= 2 k x2 2m1∗
+
=
2
k
2 y
2m2∗
整理有
kx2 2Em1∗
+
k
2 y
2Em2∗
=1
=2
=2
A(E)
=
π ab
=
π
2E =2
m1∗m2∗
ω
=
2π eB =2
dA( E
dE
)
=
2π eB =2
2π =2
m1∗m2∗ =
eB m1∗m2∗
7.6 如果电子的等能面方程为
4
( ) ( ) E k
( ) G
dk dt
=
−
1 =
G ev
G k
×
JG B
=
−e
⎛ ⎜
⎝
kx m1∗
G i+
ky m2∗
G j
⎞ ⎟
×
⎠
JG Bk′
写成分量形式，有
dkx dt
+
eBk y m2∗
=0
dk y dt
−
能带理论
能带理论能带理论是目前研究固体中电子运动的一个主要理论基础，它预言固体中电子能量会落在某些限定范围或“带”中，因此，这方面的理论称为能带理论。
对于晶体中的电子，由于电子和周围势场的相互作用，晶体电子并不是自由的，因而其能量与波失间的关系E(k)较为复杂，而这个关系的描述这是能带理论的主要内容。
本章采用一些近似讨论能带的形成，并通过典型的模型介绍能带理论的一些基本结论和概念。
一、三个近似绝热近似：电子质量远小于离子质量，电子运动速度远高于离子运动速度，故相对于电子的运动，可以认为离子不动，考察电子运动时，可以不考虑离子运动的影响，取系统中的离子实部分的哈密顿量为零。
平均场近似：让其余电子对一个电子的相互作用等价为一个不随时间变化的平均场。
周期场近似： 无论电子之间相互作用的形式如何，都可以假定电子所感受到的势场具有平移对称性。
原本哈密顿量是一个非常复杂的多体问题，若不简化求解是相当困难的，但 经过三个近似处理后使复杂的多体问题成为周期场下的单电子问题，从而本章的中心任务就是求解晶体周期势场中单电子的薛定谔方程，即其中二、两个模型（1）近自由电子模型1、模型概述在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较小，而电子的平均动能要比其势能的绝对值大得多时，电子的运动就几乎是自由的。
因此，我们可以把自由电子看成是它的零级近似，而将周期场的影响看成小的微扰来求解。
（也称为弱周期场近似） (222U m ∇+)()(r U R r U n =+2、怎样得到近自由电子模型近自由电子近似是晶体电子仅受晶体势场很弱的作用，E(K)是连续的能级。
由于周期性势场的微扰 E(K)在布里渊区边界产生分裂、突变形成禁带，连续的能级形成能带，这时晶体电子行为与自由电子相差不大，因而可以用自由电子波函数来描写今天电子行为。
3、近自由电子近似的主要结果1) 存在能带和禁带：在零级近似下，电子被看成自由粒子，能量本征值 E K0 作为 k 的函数具有抛物线形式。
能带理论的认识
能带理论的认识能带理论的认识罗照明 1302042026摘要：在形成分⼦时，原⼦轨道构成具有分⽴能级的分⼦轨道。
晶体是由⼤量的原⼦有序堆积⽽成的。
由原⼦轨道所构成的分⼦轨道的数量⾮常之⼤，以⾄于可以将所形成的分⼦轨道的能级看成是准连续的，即形成了能带。
引⾔：能带理论[1]是研究固体中电⼦运动的⼀个主要理论基础。
在⼆⼗世纪⼆⼗年代末和三⼗年代初期，在量⼦⼒学运动规律确定以后，它是在⽤量⼦⼒学研究⾦属电导理论的过程中开展起来的。
最初的成就在于定性地阐明了晶体中电⼦运动的普遍性的特点。
例如，在这个理论基础上，说明了固体为什么会有导体、⾮导体的区别；晶体中电⼦的平均⾃由程为什么会远⼤于原⼦的间距等。
在这个时候半导体开始在技术上应⽤，能带理论正好提供了分析半导体理论问题的基础，有利地推动了半导体技术的发展。
后来由于电⼦计算机的发展使能带论的研究从定性的普遍规律到对具体材料复杂能带的结构计算。
到⽬前，计算材料能带结构的⽅法有:近⾃由电⼦近似法、包络函数法(平⾯波展开法)[2，9，10，13]、赝势法[3，6]、紧束缚近似——原⼦轨道线性组合法[4，5， 7， 8， 11]、 K.P ⽅法[12]。
⼈们⽤这些⽅法对量⼦阱[2， 8， 9，10]。
量⼦线[11，12，13]、量⼦点结构[16， 17]的材料进⾏了计算和分析，并取得了较好计算结果。
使得对这些结构的器件的设计有所依据。
并对⼀些器件的特性进⾏了合理的解释。
固体能带论指出，由于周期排列的库仑势场的祸合，半导体中的价电⼦状态分为导带与价带，⼆者⼜以中间的禁带(带隙)分隔开。
从半导体的能带理论出发引出了⾮常重要的空⽳的概念，半导体中电⼦或光电⼦效应最直接地由导带底和价带顶的电⼦、空⽳⾏为所决定，由此提出的P-N 结及其理论⼰成为当今微电⼦发展的物理依据。
半导体能带结构的具体形态与晶格结构的对称性和价键特性密切相关，不同的材料〔如Si,Ge 与GaAs,InP)能带结构各异，除带隙宽度外、导带底价带顶在k 空间的位置也不同，GaAs,InP 等化合物材料的导带底价带顶同处于k 空间的中⼼位置，称为直接带隙材料，此结构电⼦-空⽳的带间复合⼏率很⼤，并以辐射光⼦的形态释放能量，由此引导⼈们研制了⾼效率的发光⼆极管和半导体激光器，在光电⼦及光⼦集成技术的发展中，其重要性可与微电⼦技术中的晶体管相⽐拟。
固体物理总结能带理论、固体物理知识点总结
一、考试重点晶体结构、晶体结合、晶格振动、能带论的基本概念和基本理论和知识二、复习内容第一章晶体结构基本概念1、晶体分类及其特点：单晶粒子在整个固体中周期性排列非晶粒子在几个原子范围排列有序（短程有序）多晶粒子在微米尺度内有序排列形成晶粒，晶粒随机堆积准晶体粒子有序排列介于晶体和非晶体之间2、晶体的共性：解理性沿某些晶面方位容易劈裂的性质各向异性晶体的性质与方向有关旋转对称性平移对称性3、晶体平移对称性描述：基元构成实际晶体的一个最小重复结构单元格点用几何点代表基元，该几何点称为格点晶格、平移矢量基矢确定后，一个点阵可以用一个矢量表示，称为晶格平移矢量基矢元胞以一个格点为顶点，以某一方向上相邻格点的距离为该方向的周期，以三个不同方向的周期为边长，构成的最小体积平行六面体。
原胞是晶体结构的最小体积重复单元，可以平行、无交叠、无空隙地堆积构成整个晶体。
每个原胞含1个格点，原胞选择不是唯一的晶胞以一格点为原点，以晶体三个不共面对称轴（晶轴）为坐标轴，坐标轴上原点到相邻格点距离为边长，构成的平行六面体称为晶胞。
晶格常数WS元胞以一格点为中心，作该点与最邻近格点连线的中垂面，中垂面围成的多面体称为WS原胞。
WS原胞含一个格点复式格子不同原子构成的若干相同结构的简单晶格相互套构形成的晶格简单格子点阵格点的集合称为点阵布拉菲格子全同原子构成的晶体结构称为布拉菲晶格子。
4、常见晶体结构：简单立方、体心立方、面心立方、金刚石闪锌矿铅锌矿氯化铯氯化钠钙钛矿结构5、密排面将原子看成同种等大刚球，在同一平面上，一个球最多与六个球相切，形成密排面密堆积密排面按最紧密方式叠起来形成的三维结构称为密堆积。
六脚密堆积密排面按AB\AB\AB…堆积立方密堆积密排面按ABC\ABC\ABC…排列5、晶体对称性及分类：对称性的定义晶体绕某轴旋转或对某点反演后能自身重合的性质对称面对称中心旋转反演轴8种基本点对称操作14种布拉菲晶胞32种宏观对称性7个晶系6、描述晶体性质的参数：配位数晶体中一个原子周围最邻近原子个数称为配位数。
2020全国高中物理竞赛辅导课件-固体物理学-第七章 能带理论(共69张PPT)
rr r
TT f
r
T
f
r
r
r
a
f
r
r a ar
f r a a TT f r
因为f(r)是任意函数，所以，TT－ T T=0
THf
r r
T
h2 2m
2r r
U
r r f
r r
h2 2m
2r r ra
U
rr r a
f
rr r a
k
k
❖
行进波因子
ur r
ei kr
表明电子可以在整个晶体中运动
的，称为共有化电子，它的运动具有类似行进平面
波的形式
r
❖
周期函数
uur k
r
的作用则是对这个波的振幅进行
调制，使它从一个原胞到下一个原胞作周期性振
荡，但这并不影响态函数具有行进波的特性
r
ur r r
晶体中电子： ur r ei u kr ur r
ur
ur r
对于 k ： eika
ur ur ur 对于 k k G n ：
uur r
ur r uur r
ur r
'
ei ka
e e e i ka iGn a
i ka
ur ur ur ur
＝1, 2, 3
波矢量 k 和 k k G n 所描述的电子在晶体中
的运动状态相同
ur 与讨论晶格振动的情况相似，通常将 k 取在由各
能带论是单电子近似的理论。用这种方法求出的电 子能量状态将不再是分立的能级，而是由能量的允带和 禁带相间组成的能带，故称为能带论。
§7.1 Bloch定理
一、周期场模型
XT_04_能带理论_例题与习题.
4.12 设有二维正方晶格，晶体势场
用近自由电子近似的微扰论 近似求出在布里渊顶角(/a, /a)处的能隙 晶体布里渊顶角处的能隙 近自由电子近似__势能函数的第n个傅里叶系数
1 V (n) 2 a
a
0
e
iGn
U ( )d
04_能带理论_例题与习题
—— 晶体势场
04_能带理论_例题与习题
近自由电子近似 —— 势能函数的第n个傅里叶系数
04_能带理论_例题与习题
E g1 2 V1
8m 2b2
3
E g 2 2 V2
m 2b2
2
04_能带理论_例题与习题
补充习题 一维周期势场中电子的波函数满足布洛赫定理 如果晶格常数为a ,电子的波函数为
3) 如每个原子 s 态中只有一个电子, 计算 T=0K 的费密能级 和 处的能态密度
s态原子能级相对应的能带函数
04_能带理论_例题与习题
任选一个格点为原点 —— 两个最近邻格点:
E s (k ) s J 0 2 J 1 cos ka
能带密度函数的计算
04_能带理论_例题与习题
5
04_能带理论_例题与习题
4.3 电子在周期场中的势能函数
且a=4b，是常数。 1) 画出此势能曲线，并计算势能的平均值；
2) 用近自由电子模型
计算晶体的第一个和第二个带隙宽度
04_能带理论_例题与习题
04_能带理论_例题与习题
势能的平均值
04_能带理论_例题与习题
势能的平均值
令
a2 V m 2 96
04_能带理论_例题与习题
—— 如果不发生能带重合__电子刚好填满一个能带 能带交叠__能带1中的电子填充到能带2中__满足
整理能带理论.doc
§5.11 导体、半导体和绝缘体尽管所有的固体都包含大量有电子，但有些固体具有很好的电子导电性能，而另一些固体则观察不到任何电子的导电性。
对于固体为什么分为导体、绝缘体和半导体呢？这一基础事实曾长期得不到解释，能带论对这一问题给出了一个理论说明，并由此逐步发展成为有关导体、绝缘体和半导体的现代理论。
晶体中电子有能量本征值分裂成一系列能带，每个能带均由N 个准连续能级组成（N 为晶体原胞数），所以，每个能带可容纳2N 个电子。
晶体电子从最低能级开始填充，被电子填满的能带称作满带，被电子部分填充的能带称为不满带，没有电子填充的能带称为空带。
能带论解释固体导电的基本观点是：满带电子不导电，而不满带中的电子对导电有贡献。
5. 11. 1 满带电子不导电从前面的知识中，已经知道，晶体中电子能量本征值E (k )是k 的偶函数，可以证明v (-k )=-v (k )，即v (k )是k 的奇函数。
一个完全填满的电子能带，电子在能带上的分布，在k 空间具有中心对称性，即一个电子处于k 态，其能量为E(k )，则必有另一个与其能量相同的E (-k )=E (k )电子处于-k 态。
当不存在外电场时，尽管对于每一个电子来证，都带有一定的电流-e v ，但是k 态和-k 态的电子电流-e v (k )和-e v (-k )正好一对对相互抵消，所以说没有宏观电流。
当存在外电场或外磁场时，电子在能带中分布具有k 空间中心对称性的情况仍不会改变。
以一维能带为例，图1中k 轴上的点子表示简约布里渊区内均匀分布的各量子态的电子。
如上所述，在外电场E 的作用下，所有电子所处的状态都以速度d e dt=-k E…………………………………………………………………………………………(1) 沿k 轴移动。
由于布里渊区边界A 和A '两点实际上代表同一状态，在电子填满布里渊区所有状态即满带情况下，从A 点称动出去的电子同时就从A '点流进来，因而整个能带仍处于均匀分布填满状态，并不产生电流。
能带理论
2) 贵金属导体 4)过渡金属导体
1.8.4 载流子和费米能级
载流子:导带中的电子和价带中的空穴具有相反的电荷，在电场的 作用上沿着相反的方向运动，它们都能导电。
费米能：
固体中电子的能量分要用费米-狄拉克量子统计来描述。能量在 E到E+dE之间的电子数为：
N（E）dE=S(E)f(E)dE
S(E)
（2）当T≠0时，如E=Ef， f(E)=1/2；如E<Ef， 1/2<f(E)<1；如E>Ef， 0<f(E)<1/2。这表明温 度较高时，由于电子的 热运动，它可以从价带 跃迁到导带中，成为导 带电子，而在价带中留 下空穴。温度影响费米 分布，但是由于Ef很大， 而KT很小，f(E)变化剧 烈的部分，通常只是在 离Ef左右0.1eV的区间。
否由价带跃迁到空带中，主要取
决于能隙的大小。C,Si,Ge,Sn的
能隙大小分别为5.4、1.0、0.67和 0.08eV，这就决定了金刚石是绝
有满带和空带，其间有禁带相隔，Eg=0.5-3.0ev
缘体，Si,Ge是半导体,Sn为弱的
导电体。
例题：估计电子在室温下（27℃）下进入导带的几率（1） 金刚石，（2）硅，（3）锗，（4）锡
0.349eV
293 373
(2)、掺杂半导体
掺杂半导体是在本征半导体中加入少量的杂质元素（Ⅴ族元素 或III族元素），
n型半导体 利用杂质元素在导带上产生大量电子的叫n型半导体。 例如:半导体Si中掺入Ⅴ族元素As半导体 ,As称作施主型杂质。
p型半导体 利用杂质元素在价带上产生大量空穴的叫p型半导体。 例如:半导体锗掺入Ⅲ族元素 Ga，Ga称作受主型杂质。
1.8.2 绝缘体
7第7章小结和习题讲解
Va 2 8 36 20V Vb 2 5 2 6 2 2 24 2V VC 2 2 24 20V
I
物理教研室
7-8 在图7-23中，b为电位器移动触点的引出端.R１ 10 6 c 4 和R２为何值时Vb等于零? a R1 R2
物理教研室
10
5
I
10 10
7-14 用叠加原 理求图7-27中的 电流I
30V
10
90V
解
法一：用叠加原理求解
10 5
I
10 10
10
5
I
10 10
30V
10
10
90V
30 1 I 1A 15 2
I I I 1 3 2 A
10
解之得：
I 2 A
物理教研室
法三：用电源变换法求解
10 5
I
10 10
5
I
30V
10
90V 3A 10
10 10 10 9A
15 45 I 2 A 555
5 5
I
5
5
I
15V
45V
3A
5
5
9A
物理教研室
a
c
2 2 4 4
20V
R0=RS
物理教研室
物理教研室
7－1、 直流电源的内阻为0.1Ω，当输出电流为 l00A时的端电压为220V。(1)求电源的电动势;(2)求 负载的电阻值.
解
E U R0 I 220 0.1 100 230 V
U 220 R 2.2 I 100
物理教研室
7-2．电源的开路电压为1.6V,短路电流为500mA. 求：电动势和内阻．
固体物理学能带理论小结
能带理论一、本章难易及掌握要求要求重点掌握：1）理解能带理论的基本假设和出发点；2）布洛赫定理的描述及证明；3）三维近自由电子近似的模型、求解及波函数讨论；4）紧束缚近似模型及几个典型的结构的计算；5）明白简约布里渊区的概念和能带的意义及应用；6）会计算能态密度。
本章难点：1）对能带理论的思想理解，以及由它衍生出来的的模型的应用。
比如将能带理论应用于区分绝缘体，导体，半导体； 2）对三种模型的证明推导。
了解内容：1）能带的成因及对称性；2）万尼尔函数概念；3）波函数的对称性。
二、基本内容1、三种近似在模型中它用到已经下假设：1）绝热近似：由于电子质量远小于离子质量，电子的运动速度就比离子要大得多。
故相对于电子，可认为离子不动，或者说电子的运动可随时调整来适合离子的运动。
多体问题化为了多电子问题。
2）平均场近似：在上述多电子系统中，可把多电子中的每一个电子，看作是在离子场及其它电子产生的平均场中运动，这种考虑叫平均场近似。
多电子问题化为单电子问题。
3）周期场近似：假定所有离子产生的势场和其它电子的平均势场是周期势场，其周期为晶格所具有的周期。
单电子在周期性场中。
2、周期场中的布洛赫定理1）定理的两种描述当晶体势场具有晶格周期性时，电子波动方程的解具有以下性质：形式一：()()ni k R n r R e r ψψ⋅+= ，亦称布洛赫定理，反映了相邻原包之间的波函数相位差形式二：()()ik rr e u r ψ⋅= ，亦称布洛赫函数，反映了周期场的波函数可用受)(r u k 调制的平面波表示.其中()()n u r u r R =+ ，n R 取布拉维格子的所有格矢成立。
2）证明过程：a. 定义平移算符 T ，)()()()(332211321a T a T a T R T m m m m =b ． 证明 T 与ˆH 的对易性。
ααHT H T = c.代入周期边界条件，求出 T 在 T 与ˆH 共同本征态下的本征值 λ。
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——总结与习题指导
内容提要
1．布洛赫(Bloch)定理
周期势场中，单电子哈密顿量 H = − 2∇2 / 2m +U (r) (对布喇菲点阵的所有 R，有
U (r) = U (r + R) )的本征因数可以这样选取，使得和每个ψ 相联系的有一个波矢 k ，对
于布喇菲点阵的所有 R 有
ψ (r + R) = eik⋅Rψ (r)
2
)2 + |UG
|2 ]1/2
(7.17′)
3
用式(7.17′)可以求解一级近似下单个布喇格平面附近的电U 有线性关系，和非简并情况相比较，我们看
到，只有近简并能级才受到弱周期势最强烈的影响。也就是说，弱周期势的主要影响
只表现在对那些波矢靠近布喇格平面的自由电子能级上。
∑ ∑ ∑ ε ε ε (
- εk0-Gi
)Ck -Gi
=
U C G j -Gi k -G j
i =1
+
m
( U − U )C j=1 G≠G1 ...Gm
G -Gi G j -G 0 k -G
k -G j
+ O(U 3)
(7.14)
于是求解 U 的二级近似下 m 个简并能级的能量修正问题化为求解 m 个 Ck-Gi 的联立方
K
= UGCK -G
⎫⎪ ⎬
(ε
-
ε
0 K
-G
)CK
-G
= U -GCK
=
U
* G
CK
⎪⎭
(7.16) (7.17)
ε0 K -G
≈
ε
0 K
,
|
ε
0 K
− ε K -G′
|
U ，对 G′ ≠ G, 0 ，由式(1.17)可得能量的两个根为
ε
=
1 2
(ε
0 K
+
ε
0 k -G
)
±
[(
ε
0 K
−
ε
0 k -G
3．弱周期势场中的电子[1]
对弱周期势场中的电子(近自由电子)，我们可以从索末菲的自由电子论出发，加
上弱周期势的修正来处理。分以下两种情况来讨论。
(a)非简并情况
固定一个波矢 k，考虑一个特定的倒易点阵矢量 G1，使得相应的自由电子能量 满足
ε| 0 k -G1
−
ε
0 k -G
|
U ，对固定的 k 和所有 G ≠ G1
的影响是
U
的二级小量。
(b)近简并情况
如果所选取的 k 值使得有几个倒易点阵矢量 G1，……，Gm 满足
ε0 k -G1
，……
ε
0 k
-Gm
彼此都相差在
U
的数量级内，而和其它
ε
0 k -(G ≠G1
, ...... ,Gm
)
之差则远大于 U，即
|
ε
0 k -G
ε − 0 k -Gi
|
Ui = 1,..., m,G ≠ G1 , ...,Gm ，由式(7.9)可以得到
只相差一个倒易点阵矢量的一组平面波的迭加，即
如果我们把上式写作
∑ ψ k =
C ei(k -G)ir k -G
G
(7.10)
令周期函数 u(r)为
∑ ψ k (r) = eikir (
Ck
e−iG
-G
ir
)
G
(7.11)
∑ u(r) =
C e−iGir k -G
G
(7.12)
则式(7.10)就具有布洛赫形式(7.2)。
(7.1)
此即布洛赫定理。布洛赫定理要求本征函数ψ h (r) 具有如下的特殊形式
ψ k (r) = eik⋅r uk (r)
(7.2)
这里， uk (r) 是具有布喇菲点阵周期性的函数，对布喇菲点阵的所有点阵矢量 R 有
uk (r) = uk (r + R)
(7.3)
ψ k (r) 称为布洛赫函数，它具有调幅波的特性。
4．能隙
在某些能量范围内，波动方程不存在布洛赫解，这些能量值构成所谓能量禁区，
即能隙。在此区内，波函数在空间被阻尼，波矢 k 为复值。绝缘体的出现正是由于能
K
(7.5)
∑ K
=
3 i =1
mi Ni
bi
(7.6)
其中 mi 为整数，Ni 是数量级为 N1/3 的整数，N=N1N2N3 是晶体中初基晶胞的数目。将
1
周期势 U(r)用倒易点阵矢量 G 展开，
∑ U (r) = UGeiGir
G
(7.7)
适当选择势的零点，使 U0=0，对中心反演对称的晶体，由于 U(r)是实函数，应有
对于近简并的二能级体系，式(7.15)简化为
(ε (ε
ε- )C 0 k -G1
k -G1
ε- )C 0 k -G2
k -G2
=
U C G2 -G1 k -G2
⎫⎪ ⎬
= UG1 -G2 Ck -G1 ⎪⎭
引用符号 K=k-G1，G=G2-G1，式(7.16)又可写为
这里有
(ε
-
ε
0 k -G1
)C
布洛赫定理是由晶体的平移对称性导出的，凡属周期结构中的波都应具有布洛赫
函数的形式。
2．周期场中电子的波动方程 周期场中单电子薛定谔方程为
2
Hψ = [− ∇2 +U (r)]ψ = εψ
(7.4)
2m
在周期性边界条件下，将波函数ψ 展成平面波的线性组合
K 取周期性边界条件所容许的值
∑ ψ (r) = CK eiK ir
UG = U−G = UG* 。将上式代入式(7.4)得到单电子薛定谔方程在动量空间的形式：
2
∑ (
2m
K2
− ε )CK
+
G′
UG′CK -G′
=0
用第一布里渊区内的波矢 k = K + G ，式(7.8)又可写为
(7.8)
∑ h2
[ (k 2m
-G
)2
- ε]Ck-G
+
G′
U C G′-G k -G′
2
2
这里
ε
0 K
=
2m
K 2 ，表示波矢为
K
的自由电子能量。U
表示势的典型傅里叶分量。由此
(7.9)可以得到修正到 U2 的电子能量为
∑ ε
ε = 0 k -G2
+
-G
| UG -G1 |2
ε ε − 0
0
k -G1
k -G
+ O(U 3 )
(7.13)
弱周期势对非简并自由电子能级
ε0 k -G1
程(7.14)的问题。如果仅仅修正到 U 的首项，则方程(7.14)简化为
m
∑ (ε
ε- )C 0 k -Gi
k -G i
=
UGj-Gi Ck-Gj (i = 1,..., m)
j =1
(7.15)
这正是 m 个量子能级体系的一般方程式。
用式(7.14 )、(7.15)可以求解几个布喇格平面(G 的中垂面)交点附近的电子能级。
=
0
(7.9)
对于第一布里渊区内指定的波矢 k，式(7.9)对所有倒易点阵矢量 G 代表一组方程
式，这组方程式把那些波矢和 k 相差一个倒易点阵矢量的系数 Ck ， Ck-G′ ， Ck-G′′ ， Ck-G′′′ …联系起来，于是求解周期势场中单电子薛定谔方程(7.4)的问题化为对第一布里 渊区内的 N 个 k 值独立求解方程(7.9)的问题。对每一个 k 值，解的形式都是波矢和 k