热学[李椿 章立源 钱尚武]习题解答_第三章气体分子热运动速率与能量的统计分布律
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第 三 章 气体分子热运动速率和能量的统计分布律
3-1 设有一群粒子按速率分布如下：
试求(1)平均速率V ；（2）方均根速率2
V （3）最可几速率Vp
解：（1）平均速率：
18.32
864200
.5200.4800.3600.2400.12≅++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
V (m/s)
(2) 方均根速率
37.32
2
≅∑∑=
i
i i N V N V
(m/s)
3-2 计算300K 时，氧分子的最可几速率、平均速率和方均根速率。
解：s m RT
V P /39510
32300
31.8223
=⨯⨯⨯=
=
-μ
s m RT
V /446103214.3300
31.8883=⨯⨯⨯⨯=
=
-πμ
s m RT
V
/48310
32300
31.8333
2
=⨯⨯⨯=
=
-μ
3-3 计算氧分子的最可几速率，设氧气的温度为100K 、1000K 和10000K 。
解：μ
RT
V P 2=
代入数据则分别为：
T=100K 时 s m V P /1028.22⨯=
T=1000K 时 s m V P /1021.72⨯= T=10000K 时 s m V P /1028.23⨯=
3-4 某种气体分子在温度T 1时的方均根速率等于温度T 2时的平均速率，求T 2/T 1。
解：因μ
RT
V
32
=
πμ
2
8RT V =
由题意得：
μRT
3πμ
2
8RT =
∴T 2/T 1=8
3π
3-5 求0℃时1.0cm 3氮气中速率在500m/s 到501m/s 之间的分子数（在计算中可
将dv 近似地取为△v=1m/s ）
解：设1.0cm 3氮气中分子数为N ，速率在500~501m/s 之间内的分子数为△N ，
由麦氏速率分布律：
△ N=V V e KT
m
N V KT m
∆⋅⋅⋅-2223
2)2(4ππ
∵ V p2=
2KT
m
，代入上式 △N=
V
V V p
p
e V V V
N
∆-
-⋅⋅22
221
4ρπ
因500到501相差很小，故在该速率区间取分子速率V =500m/s ， 又s m V P /40210
28273
31.823
≅⨯⨯⨯=
- △V=1m/s （v
v p
=1.24）代入计算得：△N=1.86×10－3N 个
3-6 设氮气的温度为300℃，求速率在3000m/s 到3010m/s 之间的分子数△N 1
与速率在1500m/s 到1510m/s 之间的分子数△N 2之比。 解： 取分子速率为V 1=3000m/s V 2=1500m/s, △V 1=△V 2=10m/s 由5题计算过程可得： △V 1=
1
22
12214V V V p p
p
e V V V
N
∆-
-⋅⋅π
△N 2=
2
2
222
14V V V p
p
p
e V V V
N
∆-
-⋅⋅π
∴ △N/△N 2=
2
12
1)(
2
1)(
2
1)(
)(
p
p
p
V V V V p e V V e V V --⋅
其中V P =
3
3
1018.210
257331.82⨯=⨯⨯⨯-m/s v 1v p =1.375，v 2
v p
=0.687
∴ 969.0687.0375.12
2
687.02375
.1221≅⨯⨯=∆∆--e
e N N 解法2：若考虑△V 1=△V 2=10m/s 比较大，可不用近似法，用积分法求△N 1，
△N 2
dN=
dV
V V V p P
e
V N
22
34--⋅π
△N 1=⎰⎰⎰-=1
2
21
V V V V dN dN dN
△N 2=⎰⎰⎰-=3
443
V V V V dN dN dN
令X i =v i
v p
i=1、2、3、4利用16题结果:
2
2
)([0
i i
x i i V e x x erf N dN --
=⎰
π
∴ △N 1=]2
)([]2
)([2
12
2112x x i e x x erf N e x x erf N ---
--
π
π
（1）
△N 2=]2
)([]2
)([2
32
43344x x e x x erf N e x x erf N ---
--
π
π
（２）
其中V P =
s m RT
/10182.223⨯=μ
375.111==
P V V x 379.122==P
V V
x 687.033==P V V x 6722.044==P V V x
查误差函数表得：
erf(x 1)=0.9482 erf(x 2)=0.9489 erf(x 3)=0.6687 erf(x 4)=0.6722
将数字代入（１）、（２）计算，再求得：
703.021
=∆∆N N
3-7 试就下列几种情况，求气体分子数占总分子数的比率： （1） 速率在区间v p ～1.0v p 1内 （2） 速度分量v x 在区间v p ～1.0v p 1内
（3） 速度分量v p 、v p 、v p 同时在区间v p ～1.0v p 1内
解：设气体分子总数为N ，在三种情况下的分子数分别为△N 1、△N 2、△N 3