对数判别法
交错级数的对数判别法
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1 + 2 + …+ n
1 1
数为
n=1
∑( - 1)
n- 1
1 e
, 由莱布尼茨判别法易知其收敛 .
n
又因为 1 +
1 1 + …+ < 2 n
∫x d x , 所以
1
1
1 e
∞
1 + 2 + …+ n
1
1
= e
1 + 1 + …+ 1 2 n
1
>
1 e = , n e - 1 + ln n 1 e
n →∞
注 对于级数 (i ) , 用莱布尼茨判别法判敛 , 显然较困难 . 这是因为证明 lim un = 0 有一定的困难 . 对 于级数 (ii ) , 虽然可用莱布尼茨判别法判敛 , 但不能说明其在收敛时是条件收敛还是绝对收敛 . 若用文 [ 1 ] , [ 2 ]所给的审敛法判敛 , 也比较困难 ( 计算 、 讨论繁杂) . 而用本文所给的审敛法 , 则显得较为简便 . 可 见 , 交错级数的对数判别法作为交错级数审敛法的一种补充是有一定价值的 .
lim un = 0 . 对 于 ε 0 =
n →∞
l
2
, ϖN ,当 n > N 时,
nln
un un+ 1
- l
<ε 0 =
l
2
,即
un un+1
> e2n > 1 +
交错级数的对数判别法
奎 ｛ 发 ，以 Ｕｍ０［ 。 莱 尼 判 法 ， （收 ．根 引 １ 散所 Ｎ＝，—“ ． 布 茨 别 知级 １ 敛再 据 理 ＋ Ｅｉ 由 Ｉ 一 ｌ ｍ 数）
＝
ｌ
可 知 ，＞ １时 ， 数 （ ） 对收 敛 ； ＜ｚ １时 ， 数 （ ） 件 收敛 ． ｚ 级 １绝 ０ ＜ 级 １条
－ ｔ ＝ ｎ ａ ｎ
ｌ ｉ ｍ
…
－ ” ｎ＋ ） ！ 『 （ ］ ａ ｒ ｉ＿ ．
１ １
［ｘ ｛］ ｌ １ｌ＋） ｉ －ｎ ｍ （ ＋
所 以 ｌ ｌ ｉ ｎ ｍｎ
“ ｔ ， １
－ ｌ一 ， … ＋ ｌ ｔ１ ｉ ｍ
［ 摘
要］ 从 正 项 级 数 的 Ｒ ａ ｅ 数判 别 法 人 手 ， 出 了 交 错 级 数 的 一 个 新 的 审 敛 方 法 ． 文 ［ ］ ［ ］ ａｂ 对 给 与 １ ，２ 所
给 的 审敛 法 相 比 ， 当交 错 级 数 的 一 般项 含有 幂 指 项 时 ， 用 该 审 敛 法 判 断 其 敛 散 性显 得尤 为简 便 ． 利 ［ 关键 词］ 交 错 级 数 ； 对 收 敛 ； 件 收 敛 绝 条 ［ 图分 类 号 ］ Ｏ１ ３ １ 中 ７ ． ［ 献 标 识 码 ］Ｃ 文 ［ 文章 编 号 ］ １ ７—４ ４２ １ ）２ ６ ２１５ （０ ０ ０一
（ｉ ｉ）当 ｌ ｉ ：ｏ时 ， 级数 （ ） 能条件 收敛也 可能发 散． １可 证 （）当 １ ０时 ， ｉ ＞ ２ 由极 限的保 号性 可知 ， Ｎ， ｎ Ｎ 时 ， “＋ ， 当 ２ ＞ “ ＞ 即数 列 ｛ 单调 递 减． 证 “） 下
ｌ ｉ ｍ‰ ＝ ０ ＝ ．对 于 ￡ ： 。一 百 １
若 ｌ ｌ ｉ ｎ ｍｎ
正项级数敛散性的判别方法
正项级数敛散性的判别方法正项级数是指级数的所有项都是非负数的级数。
判断正项级数的敛散性的方法主要有以下几种：比较判别法、根式判别法、积分判别法、极限判别法和对数判别法。
一、比较判别法：1. 比较判别法之比较大法：如果对于正项级数∑an和∑bn，当n趋向于无穷大时有an≤bn，那么若∑bn收敛，则∑an也收敛；若∑bn发散，则∑an也发散。
2. 比较判别法之比较小法：如果对于正项级数∑an和∑bn，当n趋向于无穷大时有an≥bn，那么若∑bn发散，则∑an也发散；若∑bn收敛，则∑an也收敛。
二、根式判别法：设an≥0，如果存在正常数p使得lim[(an)^1/n]=a，则1. 若a<1，则级数∑an收敛；2. 若a>1，则级数∑an发散；3.若a=1，根式判别法无法确定级数的敛散性。
三、积分判别法：将正项级数∑an转化为函数f(x)的积分，即∫f(x)dx，如果对于函数f(x)，当x趋向于无穷大时有f(x)递减且连续，则1. 若∫f(x)dx收敛，则级数∑an也收敛；2. 若∫f(x)dx发散，则级数∑an也发散。
四、极限判别法：如果存在常数L>0，使得lim(n→∞)n*an=L，则1. 若L<1，则级数∑an收敛；2. 若L>1，则级数∑an发散；3.若L=1，极限判别法无法确定级数的敛散性。
五、对数判别法：设an≥0，如果存在正常数p使得limln(an)/ln(n)=a，则1. 若a<1，则级数∑an收敛；2. 若a>1，则级数∑an发散；3.若a=1，对数判别法无法确定级数的敛散性。
这些判别方法在实际应用中都有其适用范围和局限性，需要根据具体情况选择合适的方法进行判断。
同时，在判断级数的敛散性时，还可以结合其他定理和方法，如柯西收敛准则、阿贝尔定理、绝对收敛等进行综合分析。
级数敛散性总结
摘要级数理论是数学分析的重要组成部分，研究级数对于深入探讨数学分析问题有着深远的意义。
级数理论中最重要的问题和学者研究最多的问题则是关于级数收敛与发散的问题。
级数的收敛与发散性质更是级数存在当中的最基本的立足点。
基于级数发散和收敛的问题，本文对级数进行了比较详细和系统的介绍，并在级数收敛性方面进行了较为详细的概括，包括级数的分类和收敛性的总结和应用。
本文第一个部分首先对常见的级数：常数项级数、正项级数、交错级数、函数项级数、幂级数、傅立叶级数，进行了大概的介绍，并从常见级数的定义、常见级数的分类、级数收敛发散的充要条件和对应级数常用的收敛判别方法进行详细的分析概括。
本文的第二个部分针对具体的级数收敛方法，从方法的定义和方法的具体例子应用两个方面对其进行较为全面的介绍和分析，其中包括：判别级数发散与收敛的简单方法、比较判别法、比值判别法、高斯判别法、达朗贝尔判别法、对数判别法、积分判别法、拉贝判别法、柯西判别法。
最后，本文第三部分通过整理级数散敛性判断的方法，对本文进行一个综合的概括，主要从基于级数类型的方法和基于通项特征的方法两个方面总结了解答收敛性问题的分析思路和如何更快的寻找有效的方法。
关键词：级数敛散性方法AbstractProgression theory is an important part of the mathematical analysis. The study of series is of profound significance for further discussing mathematical analysis problems. Series convergence and divergence problem is the most important question in progression theory that many researchers research on. For the analysis, series convergence and series divergence is of the basic foothold existing in mathematical analysis.Firstly, based on the series convergence and series divergence, this thesis gives a detailed and systematical introduction to series, and a more detailed summary of series convergence, including the classification of series, application of convergence. Firstly, this paper has a general introduction to common series, including constant series, series of positive term, staggered series, series with function terms, power series, fourier series. Besides, the paper has detailed analysis and summary of the definition of common series, the classification of common series, and the sufficient and necessary conditions for the convergence series, together with the commonly used identification methods of corresponding series.And then the second part of this article has a comprehensive introduction and analysis of the method’s definition and specific examples application of the method, including: simple method distinguishing the divergence of a series , comparative method, ratio method, Gauss method, D'Alembert discriminant method, Logarithmic method, integral method, Rabe method, and Cauchy method.Finally, the third part of this paper made a comprehensive summary through sorting out identifying methods of series convergence and divergence. Based on the types of series and the methods of general term characteristics, this paper summarized the analysis mentality and effective ways of solutions to convergence problem.Key words: Series Convergence Mathod第一章引言级数理论是数学分析的重要组成部分，与极限理论有密切的联系，它与另一个分支微积分学一起作为基础知识和工具出现在其余各分支中。
函数项级数一致收敛的比较判别法与对数判别法 毕业论文
函数项级数一致收敛的比较判别法与对数判别法摘 要：函数项级数在级数理论中占有重要地位，研究函数项级数的一致收敛性至关重要。
本文将通过已有结论发现判断函数项级数一致收敛性的一些新的判别法。
(1)比较判别法：对已有结论做进一步的推广，得到比较判别法。
再结合确界知识得出比较判别法的极限形式。
另外，将函数项级数特殊化得出M 判别法。
在此基础上，将对比的级数换成具有相同的敛散性的级数，将M 判别法作进一步的推广。
(2)对数判别法：当比较判别法中的两级数均为正项级数时，不等式()()n n u x v x ≤的两边同时取对数可得到对数判别法。
而且，当级数()n v x ∑取特殊的级数1pn ∑时，可将对数判别法特殊化，得到新的判别法。
关键词：函数项级数 ；一致收敛；比较判别法 ；对数判别法The Comparison criterion and logarithm criterion of theuniform convergence of Functions SeriesAbstract: Functional Series plays an important role in the series theory, it ’s very important to study the uniform convergence of Functions Series. This article will found some new criterion about the uniform convergence of Functions Series through the some results that already founded Series.(1) Comparison criterion : Made the results that already know more further promotion in order to get new criterion. Combined with knowledge obtained supremum,get the limit form of Comparison Tests. In addition, made Functional Series special to get M criterion. On this basis, comparison of the series will be replaced with series of the same convergence and divergence , let the M criterion gets further promotion. (2) Logarithm criterion: When the two series in the comparison criterion are both in positive terms, made a logarithm transform on the both sides of the inequality()()n n u x v x ≤ on the same time, then we get logarithm criterion. Moreover, when theseries()n v x ∑ be replaced by a special series logarithm criterion specialization ,and will get a new identification method.Keywords: Functions Series ；Uniform convergence ；Comparison criterion ；Logarithm criterion引言目前关于数项级数敛散性的研究很多，也已经得到了很多有价值的成果。
正项级数的拉阿贝对数判别法
定理１（第二对数判别法）
设∑口ｎ为正项级数（口ｎ＞ｏ），Ｊ；［。ｌ—ｉｍ。耐ｎ未２ ｚ：则
推广Raabe判别法是新近提出的关于正项级数敛散性问题一种普遍性方法.通过对它的进一步探讨,推出了几种常用判别法,同时得到了推广Raade判别 法与经典的Kummer判别法的关系.
5.期刊论文 杨钟玄.YANG Zhong-xuan 正项级数收敛性的又一新判别法 -贵州师范大学学报（自然科学版）
2005,23(4)
ｎ＿．∞
口ｎ＋１
ｏｎ＋１
ｌｎ去ｏｎ＋１＝上／７，＋鲁ｎ，（ｓ。一ｏ，ｎ一∞），ｊ口丢ｎ＋ １＝ｅｘｐ（÷＋ｎ鲁），ｎ（占。－＋ｏ，ｎ＿＋∞），
。１．．ｉｒａ。ｎ（未一ｌ’）＝。ｌｉｍ。［ｅｘｐ（÷＋鲁）一１］／÷＝。１．．ｉｒａ。［（／ｎ＋鲁）／÷］＝ｚ，
ｊｎ（旦口ｒｔ＋ｌ—１）＝ｚ＋占。，（８ｎ枷，ｎ一∞），；砉＝１＋÷＋鲁＝ｌ＋寺＋。（÷），
近年来,关于正项级数收敛性判别法又有一些新的研究,其中主要是得到了一些关于收敛性的新判别法以及对有关判别法的强弱进行了讨论.本文建立 了正项级数收敛性的又一个新判别法,它适用判别与级数∑∞n=2(1)/(n(lnn)s)敛散速度相当的正项级数的敛散性,因而新判别法比传统的Raabe判别法等 更为精细.此外,通过与Gauss判别法进行比较,得出了新判别法强于Gauss判别法的结论.
二对数判别法，并且证明了Ｒａａｂｅ判别法和第二对数判别法的等价性．
关键词
正项级数 Ｒａａｂｅ判别法 对数判别法 等价性 中图分类号０１７３．１
级数收敛的判别方法
级数收敛的判别方法级数理论在数学分析中占有很重要的一席之地,而级数理论中,研究无穷级数的收敛性则相当的重要。
仅由收敛原理来判别级数的敛散性,在实际问题中,往往是不可行的。
本文中,主要介绍了比较判别法,柯西判别法,达朗贝尔判别法,拉阿比判别法,对数判别法,双比值判别法,高斯判别法,柯西积分判别法,对于常用的判别法,本文对其有效性做了简单的比较,从而能够使读者更加深入的了解和熟悉各种判别法的使用范围。
标签：级数收敛发散判别法有效性1 级数的收敛性及其基本性质我们知道,一系列无穷多个数u1,u2,u3,…un,…,写成和式u1+u2+u3+…+un…就称为无穷级数,记为un,且若级数un的部分和数列{Sn}收敛于有限值S,即则称级数un收敛,记为,un=S,也称此值S为级数的和数。
若部分和数列{Sn}发散,则称un发散。
研究无穷级数的收敛问题,首先我们给出大家熟悉的收敛级数的一些基本性质[1]:性质1 若级数un收敛,a为任意常数,则aun亦收敛,且有aun=aun。
性质2 若两个级数un和vn都收敛,则(un±vn)也收敛,且有(un±vn)=un±vn。
性质 3 一个收敛级数un,对其任意项加括号后所成级数(u1+u2+…ui )+(ui +1+…ui )+…仍为收敛,且其和不变。
性质4 (收敛的必要条件)若级数un收敛,则un→0(n→∞)。
以上是收敛级数的一些最基本的性质,要指出的是,在实际问题中仅利用收敛原理来判断级数的收敛性,往往是相当困难的,所以在级数的理论中还必须建立一系列的判别法,利用它们就可以简便地来判别相当广泛的一类级数的收敛性,建立和总结这些判别法,就是本文的中心任务。
2 正项级数的收敛性判别一般的数项级数,它的各项可以是正数,负数或零。
现在我们讨论各项都是正数或零的级数,这种级数称为正项级数。
本文将就正项级数的收敛判别方法做一总结,若级数un=u1+u2+…+un…是一个正项级数(uk>0),它的部分和数列{sn}是一个单调增加的数列,即s1≤s2≤…≤sk≤…。
正项级数比值对数判别法
正项级数比值对数判别法作者：张运波周华军李顺龙来源：《中国科技纵横》2010年第15期摘要: 在正项级数敛散性的判别法中,达朗贝尔判别法是最简单又最常用的判别法之一,针对其中失效的情形,教材中通常采用拉贝判别法判别,在这里,通过对比值取对数,巧用麦克劳林级数展开式给出了一种不同于拉贝判别法,即比值对数判别法,该方法在判定某些正项级数敛散性时优于拉贝判别法.关键词:正项级数;敛散性;达朗贝尔判别法作者简介:张运波(1986.9-),男,四川达州人,大学本科学历,内江师范学院在读学生,研究方向:物理学;周华军、李顺龙,内江师范学院一引言对于正项级数敛散性的判定,高等数学教材中通常给出了比较判别法,比较法的极限形式,达朗贝尔判别法,柯西判别法,拉贝判别法及高斯判别法.然而,针对达朗贝尔判别法失效的情形,通常采用拉贝判别法,为此,不少学者探究出新的方法 ,但对于通项中含有因子及探讨通项中含有的正项级数敛散性时,拉贝判别法不易施行.就这类情况,本文给出了一种新的判别法,即比值对数判别法,该方法避开了求极限等繁琐过程,应用更为方便.二引理和主要结果引理 -级数的敛散性引理设为正项级数,若存在正整数 ,当时,有则(1) 若收敛,则收敛;(2)若发散,则发散.定理1设为正项级数,满足则(1) 当时,级数收敛;(2) 当时,级数发散.证明:(1)当时,由 ,有因为 ,所以 ,使 ,不妨令 ,则所以 .即对充分大的 ,有由引理1知级数收敛,再由引理2就能得到级数收敛.(2)同理,由 ,有因为 ,则则 .即对充分大的 ,有由引理1知级数发散,再由引理2得级数发散.综上,定理1得证.三应用例1. 判定正项级数的敛散性.解:因为达朗贝尔判别法失效.方法一,用拉贝判别法解..由于因为 ,所以原级数收敛.方法二,采用定理1解.由于因为 ,所以级数收敛.例2.讨论级数收敛的充分条件.解:因为于此,采用拉贝判别法难以施行.采用本文定理1得:则当时,级数是收敛.所以,级数收敛的充分条件为 .从以上两例可见,定理1在判断有些正项级数敛散性时的应用中是方便可行的,且避免了拉贝判别法中求极限的繁琐过程,还弥补了拉贝判别法难以施行的正项级数敛散性的辨别.但是本文给出的方法仍存在不足,针对a=1时,定理1未给出合理的验证方法,如调和级数用此法将无法判别其敛散性.参考文献1.凌国英,关于达朗贝尔判别法.[J]湖州师范学院学报,2003.Vol.25 11-15.2.姬小龙,王锐利,正项级数的Gauss指标判别法.[J]数学的实践与认识 Vol. 38 No.11.207-209.3.高等数学.第二册/四川大学数学系高等数学教研室编[M].北京:高等教育出版社,1996.4.李成章,黄玉民.数学分析(上)[M].北京:科学出版社,1999.5.钱伟懿,正向级数敛散性的一种判别方法.[J]渤海大学学报,2008.Vol.29 No.2. 155-1576.B.Ⅱ.吉米多维奇数学分析习题集题解(4)/费定晖编-2版-济南:山东科学技术出版社,1999.9。
对数级数收敛的判断方法
对数级数收敛的判断方法对数级数是形如$sumlimits_{n=1}^{infty}frac{a_n}{ln^nn}$的级数，其中$a_n$ 是正数。
判断这种类型的级数是否收敛，有以下几种方法： 1. 比较法若存在正数 $c$ 和 $N$，使得对于 $ngeq N$，有$frac{a_n}{ln^n n}leqfrac{c}{n}$，则$sumlimits_{n=1}^{infty}frac{a_n}{ln^n n}$ 收敛。
证明：由于 $frac{a_n}{ln^n n}leqfrac{c}{n}$，所以$frac{a_n}{ln^n n}$ 的级数收敛，即$sumlimits_{n=1}^{infty}frac{a_n}{ln^n n}$ 收敛。
2. 积分法若存在正数 $N$，使得 $int_{N}^{infty}frac{1}{xln^2x}mathrm{d}x$ 收敛，则$sumlimits_{n=1}^{infty}frac{a_n}{ln^n n}$ 收敛。
证明：由于 $frac{1}{xln^2 x}$ 是连续的正函数，且$frac{a_n}{ln^n n}$ 是单调递减的正数数列，所以由比较积分法可得结论。
3. Cauchy判别法若存在正数 $N$，使得$limsuplimits_{nrightarrowinfty}sqrt[n]{a_n}ln N<1$，则$sumlimits_{n=1}^{infty}frac{a_n}{ln^n n}$ 收敛。
证明：由于$limsuplimits_{nrightarrowinfty}sqrt[n]{a_n}ln N<1$，所以存在正数 $s$，使得 $sqrt[n]{a_n}leqfrac{s}{ln n}$ 对于充分大的$n$ 成立。
由于 $sumlimits_{n=1}^{infty}frac{1}{nln n}$ 是发散的，所以 $sumlimits_{n=1}^{infty}frac{s}{nln^2 n}$ 也是发散的。
数全等三角形对数技巧
数全等三角形对数技巧摘要：1.引言：全等三角形对数技巧的重要性2.全等三角形的判定方法及其在对数中的应用3.具体技巧：如何利用全等三角形解决对数问题4.例题解析：全等三角形对数问题的经典案例5.总结：全等三角形对数技巧的关键点和注意事项正文：在全等三角形的问题中，对数技巧起着至关重要的作用。
掌握这一技巧，可以极大地提高解题效率。
下面我们将详细介绍全等三角形对数技巧的各个方面。
首先，我们要了解全等三角形的判定方法。
常见的判定方法有：边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）等。
这些判定方法可以应用于全等三角形在对数问题中的解决。
全等三角形在对数问题中的应用主要体现在以下几个方面：1.利用全等三角形的判定方法，可以快速判断两个三角形是否全等，从而简化问题。
2.根据全等三角形的性质，可以得到对应边和对应角的关系，进一步解决对数问题。
3.在对数问题中，全等三角形可以作为一种桥梁，将复杂的问题转化为简单的计算。
接下来，我们来看看具体如何利用全等三角形解决对数问题。
【例题解析】题目：已知三角形ABC和DEF为全等三角形，求证：log_3(BC) =log_5(EF)。
解析：由于三角形ABC和DEF为全等三角形，根据全等三角形的判定方法，我们可以得到对应边的关系：BC = EF。
因此，log_3(BC) = log_3(EF)。
又因为log_3(EF) = log_5(EF)，所以log_3(BC) = log_5(EF)。
得证。
通过这个例子，我们可以看到全等三角形对数问题的解决起到了关键作用。
最后，我们来总结一下全等三角形对数技巧的关键点和注意事项：1.熟练掌握全等三角形的判定方法，提高对全等三角形的识别能力。
2.利用全等三角形的性质，得到对应边和对应角的关系，简化对数问题。
3.在解决对数问题时，注意寻找全等三角形的条件，以便利用全等三角形性质。
4.熟练掌握对数的基本运算和性质，提高对数问题的解决能力。
正项级数对数判别法的极限形式
由数列极限的定义 袁埚N袁当 n>N 时,有
移 ln
1 an
lnn
∞
<q+着=茁<1袁由定理知袁级数 an 发散曰
n=1
当 q=-∞ 时袁 由数列极限的 负无穷大的定义袁坌M>1袁
埚N袁
当 n>N 时,有
移 ln
1 an
lnn
∞
<-M袁由定理知袁级数 an 发散. n=1
∞
移 例 1
判别级数
1
n = 2 姨n lnn
的敛散性.
解 因为
lim
n→∞
ln
1 an
lnn
=lim n→∞
ln 姨n lnn lnn
=lim n→∞
ln lnn nlnn
由罗比达 法则知袁
lim
x→∞
ln lnx xlnx
=lim x→∞
1 xlnx渊 1+lnx冤
=0
-３ -
∞
移 故 lim n→∞
ln lnn nlnn
=0袁 由 上 述 推 论 知 袁 级 数
n=2
1 姨n lnn
的发
散.
∞
移 例 2
判别级数 n = 2渊
1 lnn冤 ln lnn
的敛散性.
解 因为
lim
n→∞
ln
1 an
lnn
=lim n→∞
ln渊 lnn冤 lnlnn lnn
=lim n→∞
ln渊 ln lnn冤 2 lnn
由罗比达法则知
lim
x→∞
ln渊 ln lnx冤 2 lnx
移 若有lim n→∞
ln
Z11_对数判据应用
临界点
（-1，j0)
开环频率 特性曲线相对 于临界点的位 置，即偏离临 界点的程度反 映了系统的相 对稳定性。
（一）相位裕量 相位裕量 在幅值穿越频 率ωc上,使系统达 到不稳定边缘所需 要的额外相位滞后 量.
相位裕量
180 (c )
L/dB
0
ωc
0
-180
γ
相位裕量的含义： 对于一个闭环稳定的系统，如 果系统开环相频特性再滞后γ度， 则系统将处于临界稳定状态。
0
ωg
-180
波德图上穿越的定义
φ
正 穿 越
0
（-1，j0)
正穿越
-180
自下而上穿越-180线
（-1，j0)点以左或 单位圆外对应对数 幅频特性大于0
穿越的定义
在幅频特性大于零的情况下，
相频特性自下而上穿越-π线为正穿越,
自上而下穿越-π线为负穿越。
• 对数判据II:
若开环系统特征方程有m个右根,
要想把奈氏判据转换到波德图上， 需要解决如何表示开环GH轨迹包围 （-1，j0) 点
（一）剪切频率和相位穿越频率
ωc
ωg
1
剪切频率ωc: 开环频率特性与单位 圆交点的频率。
相位穿越频率ωg: 开环频率特性与负实 轴交点的频率。
（二）奈氏判据另一形式
ωc
ωg
假设系统开环稳定
c g
闭环不稳定
V=1
V=2
K G( s) s(T1s 1)(T2 s 1)
开环轨迹不包围（-1，0） 点，因此闭环稳定
K ( s 3) G ( s) s ( s 1)
正穿越1次 负穿越1/2次
正负穿越代数和1/2次 开环不稳定极点1个
正项级数比值对数判别法
正项级数比值对数判别法摘要: 在正项级数敛散性的判别法中,达朗贝尔判别法是最简单又最常用的判别法之一,针对其中失效的情形,教材中通常采用拉贝判别法判别,在这里,通过对比值取对数,巧用麦克劳林级数展开式给出了一种不同于拉贝判别法,即比值对数判别法,该方法在判定某些正项级数敛散性时优于拉贝判别法.关键词:正项级数;敛散性;达朗贝尔判别法作者简介:张运波(1986.9-),男,四川达州人,大学本科学历,内江师范学院在读学生,研究方向:物理学;周华军、李顺龙,内江师范学院一引言对于正项级数敛散性的判定,高等数学教材中通常给出了比较判别法,比较法的极限形式,达朗贝尔判别法,柯西判别法,拉贝判别法及高斯判别法.然而,针对达朗贝尔判别法失效的情形,通常采用拉贝判别法,为此,不少学者探究出新的方法,但对于通项中含有因子及探讨通项中含有的正项级数敛散性时,拉贝判别法不易施行.就这类情况,本文给出了一种新的判别法,即比值对数判别法,该方法避开了求极限等繁琐过程,应用更为方便.二引理和主要结果引理-级数的敛散性引理设为p即对充分大的,有由引理1知级数发散,再由引理2得级数发散.综上,定理1得证.三应用例1. 判定正项级数的敛散性.解:因为达朗贝尔判别法失效.方法一,用拉贝判别法解..由于因为,所以原级数收敛.方法二,采用定理1解.由于因为,所以级数收敛.例2.讨论级数收敛的充分条件.解:因为于此,采用拉贝判别法难以施行.采用本文定理1得:则当时,级数是收敛.所以,级数收敛的充分条件为.从以上两例可见,定理1在判断有些正项级数敛散性时的应用中是方便可行的,且避免了拉贝判别法中求极限的繁琐过程,还弥补了拉贝判别法难以施行的正项级数敛散性的辨别.但是本文给出的方法仍存在不足,针对a=1时,定理1未给出合理的验证方法,如调和级数用此法将无法判别其敛散性.参考文献1.凌国英,关于达朗贝尔判别法.[J]湖州师范学院学报,2003.V ol.25 11-15.2.姬小龙,王锐利,正项级数的Gauss指标判别法.[J]数学的实践与认识V ol.38 No.11.207-209.3.高等数学.第二册/四川大学数学系高等数学教研室编[M].北京:高等教育出版社,1996.4.李成章,黄玉民.数学分析(上)[M].北京:科学出版社,1999.5.钱伟懿,正向级数敛散性的一种判别方法.[J]渤海大学学报,2008.V ol.29 No.2. 155-1576.B.Ⅱ.吉米多维奇数学分析习题集题解(4)/费定晖编-2版-济南:山东科学技术出版社,1999.9。
函数级数一致收敛的Gauss判别法与对数判别法
( i) 若 N N+ , n > N , x I , 都 有
ln
1 un( x
)
lnn
l > 1, 则
un(x) 在区间 I 上一致收
敛;
( ii) 若 N N+ , n > N , x I , 都 有
ln
1 un( x
)
lnn
1, 则 un ( x ) 在 x
I 都发散.
证明 ( i) 由 N N+ , n > N , x I , 都
摘 要: 基于将正项级数审敛法推广到函数级数一致收敛上去 的思想, 类比 正项级数 的 Gauss 判别法、对数 判
别法、拟对数判别法以及它们的极限形式, 得到了函数级数一致收敛的相应判别法, 丰富了 函数级数一 致收敛审 敛
法.
关键词: 函数级数; 一致收敛; G auss 判别法; 对数判别法; 拟对数判别法
中图分类号: O173
文献标志码: A
文章编号: 1671- 1785( 2011) 06- 0014- 04
0 引言
函数级数在数学科学本身和工程技术领域都有 重要应用. 函数级数的一个基本问题是研究其一致收 敛性, 而一致收敛的判别比较困难. 一种自然的思想 是将正项常数项级数的判别法推广到函数项级数一 致收敛的判别上去. 目前, 正项级数的 D Alembert 判别法、Cauchy 判别法、Raabe 判别法和它们的极限 形式顺利地推广到了函数项级数 一致收敛审敛 上 去[ 1 6] , 本文继续将正项级数的 G auss 判别法[ 7 8] 、对 数判别法和拟对数判别法[ 8] 推广到函数项级 数的 一致收敛审敛上去, 以丰富函数级数一致收敛审敛 法. 正项级数的对数判别法和拟对数判别法是分别 优于 R aabe 判别法和 Gauss 判别法的[ 9 11] . 可以证 明, 函数级数一致收敛的相应判别法也有类似的结 论.
反常积分敛散性的新对数判别法
反常积分敛散性的新对数判别法赵建华【摘要】在很多实际问题中,要突破积分区间的有穷性和被积函数的有界性,由此得到了定积分的两种形式的推广:无穷限反常积分和瑕积分.我们将这两种积分统称为反常积分.因为反常积分涉及到一个收敛问题,所以反常积分敛散性的判定就显得非常重要了.本文就讨论了一种判定反常积分敛散性的新的对数判别法,并证明了这种新的对数判别法比旧的对数判别法更加精细.%In many practical problems, we must break through the finite interval of integral and the boundedness of integrand function, and consequently we get two forms of improper integrals: the improper integral in an infinite interval and the improper integral of an unbounded function. Because improper integrals are related to convergence, therefore, the determination of convergence and divergence of improper integrals are very important. This work discusses a new logarithmetic criterion for improper integrals, and proves that the new logarithmetic criterion is more precise than the old logari-thetic criteria.【期刊名称】《河北工程大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(029)002【总页数】5页(P108-112)【关键词】反常积分;敛散性;新判别法【作者】赵建华【作者单位】上海海事大学,上海200135【正文语种】中文【中图分类】O172函数的定积分，有两个重要的约束条件，即积分区间的有限性和被积函数的有界性。
对数判别法
对数判别法什么是对数判别法？对数判别法（Logarithmic discrimination）是一种用于判断数值大小关系的方法。
在数学中，我们通常使用对数函数来简化计算和比较复杂的数值。
对数判别法就是利用对数函数的性质来比较两个数的大小关系。
对数函数的性质对数函数的定义为：y=log b(x)其中，x是底数为b的对数的真数，y是对数。
对数函数的几个常见性质如下：1. 对数的基本性质•log b(b x)=x，即对数函数和指数函数互为反函数。
•log b1=0，对数函数对应于指数函数的单位元。
•log b b=1，对数函数在底数和真数相等时取到最大值。
2. 对数的乘法性质•log b(xy)=log b x+log b y，对数的乘法规则。
)=log b x−log b y，对数的除法规则。
•log b(xy3. 对数的幂指数性质•log b(x y)=ylog b x，对数的幂指数规则。
•log b x=lnx，换底公式。
lnb对数判别法的使用对数判别法主要用于比较两个数的大小关系。
通过对两个数取对数，可以将复杂的乘除运算转化为简单的加减运算。
对数判别法有以下几个步骤：首先，我们需要确定所使用的底数。
常见的底数有自然对数e和常用对数10。
根据实际情况选择合适的底数。
步骤二：取对数对于需要比较的两个数x和y，分别取其对数：log b x=Alog b y=B步骤三：比较对数比较两个数的对数，即比较A和B的大小关系。
步骤四：判断原数大小根据步骤二中取得的对数结果，判断x和y的大小关系。
对数函数具有单调递增的性质，即对数越大，原数越大。
因此，若A>B，则x>y；若A<B，则x<y；若A=B，则x=y。
对数判别法的例子下面通过一个例子来演示如何使用对数判别法来比较两个数的大小。
例题：比较x=210和y=103的大小。
步骤一：确定底数由于题目中给出的数分别为2的指数和10的指数，我们可以使用常用对数10作为底数。
双比值判别法与对数判别法的比较
r 1 是奇数 , 则 ( 2 s - 1 N 2 2 r r +2 s- 2 + - 1) + 1 = 2 N + 仍是正整数 , 记此数 2 22 为σ 2 ( n) , 则有σ 1 ( n ) = 2 [σ 2 ( n) - 1 ] + 1 , 并且不妨
) N +1 . ( 16) Φ a σ ( n) < aN (λ + ε s
∞
a2 n a2 n +1 lim = lim =ρ n →∞ a n n →∞ a n +1
定理 1 设
lim
n →∞
n =2
∑a
n
是正项级数 , 如果
( 1)
1 1 存在 , 则当ρ < 时级数 ∑a n 收敛 ; 当ρ > 时 , 2 2 n =1
∞
∞
a n +1 = λ, 0 ≤λ ≤+ ∞, an a2 n a2 n +1 = lim = ρ, n →∞ an an
a n +1 < λ +ε . an ( 4)
对数判别法 :设
n =2
∑a
ln (
n
是正项级数 , 如果
) = q
1
lim
n →∞
an ln n
存在 , 则 q > 1 时级数收敛 ; q < 1 时级数发散 . 其次 , 不难证明
∞
( i ) 先设 (2) 式中的极限值 ρ 满足 :0 < ρ < + ∞(由引理知此时必有 λ = 1) . 由极限定义 , 对上述 ε > 0 , 存在正整数 N >
正项级数对数判别法的极限形式
1 发散. p q n（ lnn ） 由上述四个例子可以看出，正项级数的对数判别法主
v(n) （n ） 的敛散性. 要适用于判别幂指型级数∑u
证明
当 1<q ≤+∞ 时，任意选取适当小的 ε>0， 使
q- ε=α>1， 由数列极限的定义， 埚N， 当 n>N 时,有
∞ ln 1 an >q- ε=α>1， 由定理知， 级数Σan 收敛； lnn n =1
由罗比达法则知， 1 lim ln lnx =lim =0 （1+lnx ） xlnx x→∞ xlnx
当 - ∞≤q<1 时， 任意选取适当小的 ε>0， 使 q+ε=β<1， 敛； 埚N， 当 n>N 时,有 由数列极限的定义，
∞ ln 1 若 n≥n0 时， an ≤1， 则级数Σan 发散. lnn n =1 ∞ ln 1 an <q+ε=β<1， 由定理知， 级数Σan 发散； lnn n =1
2 ） 1 故 lim （ln lnn =0， 由上述推论知， 级数 Σ ln lnn n→∞ lnn lnn ） n = 2（
级数Σ
n =2
1 收 敛 ， 当 - ∞ ≤p<1 时 ， 级 数 Σ q n（lnn ） n =2
p
∞
发散. 判别级数Σ n n 的敛散性. lnn ） n = 2（ 因为
赤峰 024000 ）
文 ［1］ 给出了如下判别正项级数敛散性的对数判别法：
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一个比拉阿比判别法更精细的正项级数判别法
摘要：本文用级数∑
∞
=3
ln 1
n p
n n 做比较标准，得到一个比拉阿比判别法更为精细又应用方便的判别法，笔者称之为“对数判别法”。
关键词：比较判别法 级数判别法的极限形式 拉格朗日中值定理 对数判别法
目前较常用而又精细的正项级数判别法是拉阿比判别法，然而此判别法有时精确度仍然不够。
以下本文就以级数∑
∞
=3
ln 1
n p
n n 做比较标准，得到一个比拉阿比判别法更为精细又应用方便的判别法——“对数判别法”。
我们先看级数∑
∞
=3ln 1
n p
n
n 的敛散性：当1>p 时级数收敛；当1≤p 时级数发散。
这个结论可用柯西积分判别法证明（具体证明请参见邓东皋、尹小玲编著《数学分析简明教程》），本文不再细述。
先考虑发散的情况。
由比较判别法有：设数列}{n u 是正项数列，若n 足够大时，有
n
n n n u u n n ln )
1ln()1(1++<
+ 成立，则∑∞
=1
n n u 发散。
为了应用方便我们来寻求像拉阿比判别法那样的“极限形式”：
n n n n u u n n ln )1ln()1(1++<+n
n
n u n nu n n ln ln )1ln(1)1(1-+<
-+⇔+， 由拉格朗日中值定理知，对任意n ，存在)1,(+∈n n n ξ，使得 n
n n ξ1
ln )1ln(=
-+,
故
n n n n u u n n ln )
1ln()1(1++<+1]1)1([ln 1
<-+⇔+n n n u n nu n ξ， 要使n 足够大时有1]1)1([
ln 1
<-++n n
n u n nu n ξ成立，只需
1]1)1([
ln lim 1
<-++∞
→n n
n n u n nu n ξ，
而显然 1lim =∞→n n
n ξ，故当 1]1)1([ln lim 1<-++∞→n n
n u n nu n n 时，∑∞=1
n n u 发散。
收敛的情况可类似讨论：设数列}{n u 是正项数列，若存在1>p 使得n 足够大时，有
p
p n n n n n n u u )
(ln )]1)[ln(1(1++>+ 成立，则∑∞
=1n n u 收敛。
因为
p p n n n n n n u u )(ln )]1)[ln(1(1++>+n
n
n u n nu p
p p n n ln ln )1(ln 1)1(1-+>-+⇔+， 由拉格朗日中值定理知，对任意n ，存在)1,(+∈n n n ξ,使得 n
p n p
p
p n n ξξ1
][ln ln )1ln(-=
-+,
故 p p
n n n n n n u u )(ln )]1)[ln(1(1++>+1
11][ln ][ln ]1)1([ln --+>-+⇔p n p n n n n n p u n nu n n ξξ， 要使n 足够大时有 1
1
1][ln ][ln ]1)1([ln --+>-+p n p n n n n n p u n nu n n ξξ 成立，只需 ∞→n lim p n n p u n nu n n p n p n n n n =>-+--∞→+11
1]
[ln ][ln lim ]1)1([ln ξξ， 若 ∞
→n lim 1]1)1([
ln 1
>=-++s u n nu n n n n ，取121>+=s
p ,就有 ∞→n lim p n n p u n nu n n p n p
n n n n =>-+∞→+]
[ln ][ln lim ]1)1([ln 1ξξ， 故当∞→n lim 1]1)1([ln 1>=-++s u n nu n n n n 时，∑∞=1
n n u 收敛。
综合上述，得到下面的定理
定理（“对数判别法”）：设正项级数∑∞
=1
n n u 满足：
∞
→n lim s u n nu n n n n
=-++]1)1([
ln 1
，
则（1）当s>1时，∑∞
=1n n u 收敛
（2）当s<1时，∑∞
=1
n n u 发散
参考文献：
《数学分析简明教程》，邓东皋、尹小玲编著，高等教育出版社，1999年6月。