材料力学能量法最经典解析
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材料力学能量法讲解
第二组力q作用时，它在梁跨中引起的挠度为wC 。
由功的互等定理 FwC l[qdx w(x)] qAw
Aw
FwC q
5Fl4 384EI
材料力学
中南大学土木建筑学院
27
装有尾顶针的工件可简化为静不定梁。试利用互等定理
求C处的约束力。
F
解：解除C处约束的工件可 简化为悬臂梁，F、FC作为 第一组力。悬臂梁在C处加 单位力1作为第二组力。
三、功能原理
条 件：（1）弹性体（线弹性、非线弹性） （2）静载荷 —— 可忽略弹性体变形过程中的 能量损失。
原 理：外力功全部转化成弹性体的应变能。 Ve = W
材料力学
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9
已知：EI = 常数，用功能原理
F
计算A点的挠度。
A
B
解：①建立坐标系
wA
x
l
②列弯矩方程 M =－Fx （ 0 ≤ x ＜ l ）
1 2
Fi Di
1 2
FjD
j
Clapeyron原理
外力功和变形能不符合叠加原理
材料力学
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25
F D F D i ij
j ji
功的互等定理
注：力系、位移均为广义的。
线弹性体上甲力在乙力引起的位移上作的功，等于 乙力在甲力引起的位移上作的功。一般地，第一组 力在第二组力引起的相应位移上所作的功，等于第 二组力在第一组力引起的相应位移上所作的功。
n i 1
1 2
Fi Di
材料力学
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17
设各外载荷按相同的比例，从零开始缓慢增加到最 终值。即任一时刻各载荷的大小为： F1*=lF1, F2*=lF2 ,… Fi*=lFi ,…Fn*=lFn
由功的互等定理 FwC l[qdx w(x)] qAw
Aw
FwC q
5Fl4 384EI
材料力学
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27
装有尾顶针的工件可简化为静不定梁。试利用互等定理
求C处的约束力。
F
解：解除C处约束的工件可 简化为悬臂梁，F、FC作为 第一组力。悬臂梁在C处加 单位力1作为第二组力。
三、功能原理
条 件：（1）弹性体（线弹性、非线弹性） （2）静载荷 —— 可忽略弹性体变形过程中的 能量损失。
原 理：外力功全部转化成弹性体的应变能。 Ve = W
材料力学
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9
已知：EI = 常数，用功能原理
F
计算A点的挠度。
A
B
解：①建立坐标系
wA
x
l
②列弯矩方程 M =－Fx （ 0 ≤ x ＜ l ）
1 2
Fi Di
1 2
FjD
j
Clapeyron原理
外力功和变形能不符合叠加原理
材料力学
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25
F D F D i ij
j ji
功的互等定理
注：力系、位移均为广义的。
线弹性体上甲力在乙力引起的位移上作的功，等于 乙力在甲力引起的位移上作的功。一般地，第一组 力在第二组力引起的相应位移上所作的功，等于第 二组力在第一组力引起的相应位移上所作的功。
n i 1
1 2
Fi Di
材料力学
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17
设各外载荷按相同的比例，从零开始缓慢增加到最 终值。即任一时刻各载荷的大小为： F1*=lF1, F2*=lF2 ,… Fi*=lFi ,…Fn*=lFn
008-材料力学_能量法
U i Fi
U i Fi
Fj Fj
M M M2 M M ( dx) dx L EI F L EI F Fi L 2EI i i Fj Fj Fj Fj
dx T T L GI p Fi Fj Fj
8.1 杆件的应变能
二、杆件的应变能 FN dx
dx d
克拉贝隆原理
U
L 2 FN 1 dx FN d L 2 2 EA
克拉贝隆原理
FN 拉压杆的应变能
d
FN dx EA
2 FN l U 2 EA
圆轴扭转的应变能
d
T
T2 1 U dx T d L 2GI L2 p T2l U 2GI p
拉压杆的应变能 F F
U dUV udV
V V
or U dU l
L
l l +Δ l FN dx
dx d
FN ( x) F ( x) N A( x) E EA( x)
1 u 2
2 FN ( x) 1 U udV dA dx dA dx V L A2 L 2 EA2 ( x) A
A F
Ay
2U 2 2 Fl1 ( ) () F E1 A1 2E2 A2
例：图示悬臂梁 AB 的 EI 是常数，在自由端作用一横力 F 和一力偶矩 m ，求梁的 应变能。
F m
解：由外力功计算应变能 横力的相应位移为自由端的挠度，力偶矩的相 应位移为自由端的转角，分别为：
B x l
例：图示悬臂梁 AB 的 EI 是常数，在跨中作用一横力 F ，求 yC 、 θA 。 解：F 是与 yC 相应的广义力，与 θA 相应的 F 广义力为作用在自由端的力偶矩，可虚设一 个“附加力” m ，最后在位移表达式中令其 m 为零即可。( 附加力法 ) C A B 2 l/2 l M dx 梁的应变能 U 0 2 EI l 由卡氏第二定理
材料力学第十三章 能 量 法
Vε Vε (D1 , D 2 ,, D i ,, D n )
假设位移 Di 有一微小增量 dDi 其它位移均保持不变 梁的应变能也有一增量 dVe
外力功的增量
d W Fi d D i
Ve d Ve d Di D i
d Ve d W
Ve Fi D i
卡氏第一定理
卡氏第一定理
Vε
l
0
F ( x) T ( x) dx dx 0 2GI 2 EA p
l
2 N
2
F ( x) M ( x) d x s dx 0 2 EI 0 2GA
l l
2
2 S
应变能恒为正 ，是内力或外力的二次函数。
非线性函数
一般情况：非线性弹性体
s s1 s e
外力作功：
de e 1
DAB 方向水平向外
§3-4 用能量法解超静定系统
解超静定问题要综合考虑三方面 几何方面 —— 建立变形几何相容条件 物理方面 —— 建立补充方程 静力学方面 —— 建立平衡方程
等直杆，发生基本变形，材料为线性弹性体 非等直杆或杆系结构，受较复杂荷载作用， 材料为非线性弹性体 易 难
能量法
例1：求图示超静定梁支座处的约束力。
③ 先加M，后加F
A
M AM
F
B
AF DCF
AM
Ml 3EI
D CF
Fl 48 EI
3
AF
Fl 16 EI
2
1 1 应变能： V M ε AM ( FD CF M AF ) 2 2 2 3 2 2 1 F l M l MFl ( ) EI 96 6 16
Ve Fi D i
材料力学第十三章 能 量 法
单元体上外力作功： W s e1 d e 0
应变能密度：
ve
e1 s d e
0
边长为dx、dy、dz的单元体： dVe ve d x d y d z
杆： Ve dVe V ve dV
线性弹性体：
ve
s e1
0
de
1 2
s
1e1
1 2
Ee12
1 2E
s
2 1
ve
1 d
0
1 2
1
AF
Fl 2 16 EI
应变能：
Vε
1 2
M AM
(1 2
FDCF
M AF )
1
F 2l3 (
M
2l
MFl 2
)
EI 96 6 16
④ M、F 分别单独作用
F
A
DCF
B
A M AM
B
DCF
Fl 3 48 EI
AM
Ml 3EI
应变能之和： VεF VεM
1 2
FDCF
1 2
M AM
1 EI
VεS
l
s
FS2 (x) d x 2GA
s — 剪切形状因数
S
S
通常，梁的剪切应变能远小于弯曲应变能。
杆件发生组合变形
在线弹性、小变形的条件下，每一基本变形的内力仅 在其相应的基本变形上作功，在其他基本变形上不作功。
Vε
l FN2 (x) d x 0 2EA
l T 2 (x) dx
0 2GIp
材料是线弹性的，但变形 D 与力F 不是线性的
几何非线性弹性问题
材料是非线性弹性的
物理非线性弹性问题
材料力学第12章 能量法
范围内工作时，其轴线弯曲成为一段圆弧，如图12.5（a）所示。两端横截
面有相对转动，其夹角为θ ，由第7章求弯曲变形的方法可以求出
图12.5 与前面的情况相似，在线弹性范围内，当弯曲外力偶矩由零逐渐增加到M0时
，梁两端截面相对于转动产生的夹角也从零逐渐增加到θ ，M0与θ 的关系也
是斜直线，如图12.5（b）所示，所以杆件纯弯曲变形时的应变能为
dW在图12.2（a）中以阴影面积来表示。拉力从零增加到FP的整个加载过程
中所做的总功则为这种单元面积的总和，也就是说是△OAB的面积，即
可以将以上的分析推广到其他受力情况，因而静载荷下外力功的计算式可以
写为 式中的 F是广义力，它可以是集中力或集中力偶；Δ 是与广义力F相对应的
位移，称为广义位移，它可以是线位移或角位移。式（12.2）表明，当外力
在工程实际中，最常遇到的是横力弯曲的梁。这时梁横截面上同时有剪力和
弯矩，所以梁的应变能应包括两部分：弯矩产生的应变能和剪力产生的应变 能。在细长梁的情况下，剪切应变能与弯曲应变能相比，一般很小，可以不
计，常只计算弯曲应变能。另外，此时弯矩通常均随着截面位置的不同而变
化，类似于式（12.5）与式（12.9），梁的弯曲应变能为
表面上的剪力与相应的位移方向垂直，没有做功。因此，单元体各表面上的 剪切力在单元体变形过程中所做的功为
故单元体内积蓄的应变能为
则单元体内积蓄的应变比能为
下
这表明，vε 等于γ 直线
的面积。由剪切胡克定律=Gγ ,比能又可以写成下列形式
（3）扭转 如图12.4（a）所示的受扭圆轴，若扭转力偶矩由零开始缓慢增加到最终值T
，积蓄在弹性体内的应变能Vε 及能量耗损Δ E在数值上应等于载荷所做的功 ，既 如果在加载过程中动能和其他形式的能量耗损不计，应有
材料力学第8章-能量法
能量原理的应用
能量原理可以应用于弯曲、拉伸、压缩等各种不同的力学问题。通过计算系统的势能和应变能，可以分 析材料的应力分布、变形情况和稳定性。
弹性势能和弹性材料的能量原 理
弹性势能是指弹性材料在外力作用下产生的能量。通过应变能和弹性势能之 间的关系，可以推导出弹性材料的力学性质和变形方程。
弹塑性材料的能量原理
材料力学第8章-能量法
材料力学的能量法是研究材料变形和力学行为的重要方法，它具有广泛的应 用。本章将介绍能量法的基本概念和应用，以及弹性和弹塑性材料的能量原 理。
能量法的基本概念
能量法是一种力学分析方法，通过考虑系统的能量变化，推导出材料的力学 性质和变形行为。能量法的基本概念包括势能和应变能的概念，以及能量守 恒定律。
通过能量法，我们可以分析臂梁在外力作用下的弯曲行为。通过计算和优化梁的几何参数和材料性质， 可以设计出更加稳定和高效的悬臂梁结构。
总结和要点
能量法是一种重要的材料力学分析方法，它通过考虑材料的能量变化，分析 材料的力学性质和变形行为。
对于弹塑性材料，除了考虑弹性势能外，还需要考虑应变能和塑性势能的贡献。能量原理可以用来分析 弹塑性材料的强度和变形行为。
能量法在材料力学中的重要性
能量法是材料力学中的一种基本方法，它可以用来分析各种不同类型的力学问题，包括材料的变形、破 坏和失稳行为。掌握能量法对于研究和设计材料结构至关重要。
应用实例：悬臂梁弯曲问题的分析
材料力学第26讲 Chapter3-1第三章 能量法(应变能 余能)
利用功和能的概念求解可变形固体的位移、变形及内力等 的方法，统称为能量方法。
能量方法是用有限元法解固体力学问题的重要基础。
4
能量方法用途很广：
不仅适用于线弹性问题； 也可用于非线性弹性问题； 曲杆问题；
5
本章要介绍的几种能量方法：
应变能原理－卡氏第一定理 余能原理－卡氏第二定理 虚位移原理及单位力法
6
§3–2 应变能 余能
应变能的计算：
I. 应变能
外力缓慢做功W ，无损失地转化为应变能 （不
转化成动能、热能） ，贮存于弹性体内部。
V W
7
一、 线弹性问题
1. 轴向拉压杆件应变能的计算
W 1 Fl
2
l Fl
W F 2l 2EA
F
EA
W＝V 功能原理
V
EAl2
2l
F 2l V 2 EA
5P1P2l3 48EI
23
进一步分析
21
P1
P2
12
l
l
2
2
21P16(E 2l)Il2(3l2l)458P1E l3I
l
l
2
2
12P26(E 2l)Il2(3l2l)4 58 P2 E lI3
P112 P221 ====== 功的互等定理 ======
第一组力在第二组力作用所产生位移上做的功 等于第二组力在第一组力作用所产生位移上做的功。
17
4.3 弯曲杆件应变能的计算
V
V vdV
V
1 2
dV
V
1 2E
2dV
l
A21E(M Izy)2dAdl l
A21E(M Iz )2y2dAdl
d l dx M 2 l 2EIz
能量方法是用有限元法解固体力学问题的重要基础。
4
能量方法用途很广：
不仅适用于线弹性问题； 也可用于非线性弹性问题； 曲杆问题；
5
本章要介绍的几种能量方法：
应变能原理－卡氏第一定理 余能原理－卡氏第二定理 虚位移原理及单位力法
6
§3–2 应变能 余能
应变能的计算：
I. 应变能
外力缓慢做功W ，无损失地转化为应变能 （不
转化成动能、热能） ，贮存于弹性体内部。
V W
7
一、 线弹性问题
1. 轴向拉压杆件应变能的计算
W 1 Fl
2
l Fl
W F 2l 2EA
F
EA
W＝V 功能原理
V
EAl2
2l
F 2l V 2 EA
5P1P2l3 48EI
23
进一步分析
21
P1
P2
12
l
l
2
2
21P16(E 2l)Il2(3l2l)458P1E l3I
l
l
2
2
12P26(E 2l)Il2(3l2l)4 58 P2 E lI3
P112 P221 ====== 功的互等定理 ======
第一组力在第二组力作用所产生位移上做的功 等于第二组力在第一组力作用所产生位移上做的功。
17
4.3 弯曲杆件应变能的计算
V
V vdV
V
1 2
dV
V
1 2E
2dV
l
A21E(M Izy)2dAdl l
A21E(M Iz )2y2dAdl
d l dx M 2 l 2EIz
材料力学能量法
材料力学能量法材料力学能量法是材料力学中的一种重要分析方法，它通过能量原理来研究材料的力学性能和行为。
能量法在工程应用中具有广泛的意义，可以用于解决各种复杂的材料力学问题。
本文将对材料力学能量法进行详细介绍，包括其基本原理、应用范围和计算方法等内容。
首先，我们来看一下材料力学能量法的基本原理。
能量法是以能量守恒原理为基础的一种力学分析方法，它认为在任何力学系统中，系统的总能量始终保持不变。
在材料力学中，通过能量方法可以方便地求解结构的变形、应力分布和稳定性等问题。
能量法的基本原理为系统的总能量等于外力对系统做功的总和，即系统的内能和外力对系统做功的总和保持恒定。
其次，材料力学能量法的应用范围非常广泛。
它可以用于分析材料的弹性、塑性、断裂等力学性能，也可以用于研究材料的疲劳、蠕变、冷却等行为。
在工程实践中，能量法可以应用于各种材料的设计、优化和性能评估，如金属材料、复合材料、土木工程材料等。
通过能量法分析，可以更好地理解材料的力学行为，为工程设计和材料选型提供科学依据。
最后，我们来介绍一下材料力学能量法的计算方法。
能量法的计算方法主要包括弹性能量法、弹塑性能量法和断裂能量法等。
在应用中，需要根据具体问题选择合适的能量方法，并结合数值计算和实验验证进行分析。
在计算过程中，需要考虑材料的本构关系、加载条件和边界约束等因素，以确保计算结果的准确性和可靠性。
综上所述，材料力学能量法是一种重要的力学分析方法，具有广泛的应用前景和深远的理论意义。
通过能量法分析，可以更好地理解材料的力学性能和行为，为工程实践提供科学依据。
在今后的研究和应用中，我们需要进一步深入理解能量法的基本原理和计算方法，推动其在材料力学领域的发展和应用。
材料力学第10章-能量法
10-4 卡氏定理
（2）先加载dFi ，则力 dFi 在其相应的位移 di上做的功为
1
W1 dFi di
2
F1
再加载F1, F2 ,, Fn ，在相应
的位移 i 上所做的功为
1
n1
W2 i1 2 Fi i V
F2
2
dFi Fi
di
i
n
Fn
原来载荷 dFi 对位移i 上所做的功为
W3 dFi i
F A
F
在位移坐标轴上取了一个微段d ，
该微段对应的外力可视为常力。则常力作
功为
dW Fd k d
B
当外载荷和相应的位移由零缓慢增加 O
d
至F 和 时，在这个过程中外力作功
k 2 F
W kd 0
2
2
SOAB
线弹性范围内，外载荷所做的功等于力与位移乘积的一半。
10-2 外载荷做的功
二、多个力作用下的外力功
量的损失），弹性体内部所贮存的应变能，在数
值上等于外力所作的功，即满足：
V W
l
P
利用功和能的概念来求解可变形固体的位移、变形和内力
等的方法，通称为能量方法。
10-2 外载荷做的功
一、单个力作用下的外力功
材料服从胡克定律，即在线弹性范围内，弹性体在外力
作用下位移 与外载荷F 成正比，即
F k
横力弯曲时，弯矩为x的函数，则横力弯曲时的应变能为
M (x)2 dx dV
2EI
M (x)2 dx
V l 2EI
四、用广义力和广义位移表示的应变能
轴向压力
扭转
弯曲
F l V 2
V M e
材料力学第10章能量法介绍
A
（4）能量守恒：W=U
1 1 67 F 2 FvB 2 2 20 EA
67 F vB 20 EA
1.6m C 1.2m
B
F
U vB F
10.2 卡氏 (Castigliano)定理
10.2.1 卡氏第一定理
卡氏定理
1879年，意大利工程师Alerto Castigliano发表了两个 “内功的积分系数定理”—卡氏定理 建立应变能和外力、位移的关系
第一步：加增量dPn 应变能
1 dPn dn 2
n
第二步：施加外荷载。应变能 U ndPn 该步总能量
U 2total
1 U ndPn dPn dn U ndPn 2
3. 应变能与加载次序无关
U1total U 2total
U U dPn U ndPn Pn U n Pn
例10-2
图示悬臂刚架，已知F、a、EI，求应变能和C点竖直位 移（忽略AB杆段的压缩应变能）。
解：
（1）分段写弯矩函数
B
a
x2
F
x1 C
BA段：
M ( x2 ) Fa
a
A
CB段：
M ( x1 ) Fx1
（2）应变能
2 M 2 dx 2 a ( Fx ) dx a ( Fa) dx 1 1 U 2 l 2 EI 0 0 2EI 2 EI 2 F 2a3 3 EI
10.1 杆件的弹性应变能 10.2 卡氏定理 10.3 冲击应力与冲击韧性
功和能
弹性体在外力作用下产生变形，变形过程中外力所 做的功=外力功W 外力功转化为弹性势能存储于杆件内，该弹性势能= 应变能U（内力的功） 能量守恒： U = W
材料力学 第11章 能量法讲解
x Me
A
l FAy
B FBy
(1) 应变能计算
梁的约束力
FA
FB
Me l
梁的弯矩方程
代入应变能公式
M (x)
FA x M e
x Me(l
1)
Vε
M 2(x) dx
l 2EI
1 2EI
l 0
M
2 e
(
x l
1)2 dx
M e2l 6EI
15/65
11.1 外力功与应变能 【例11-1】解
10/65
11.1 外力功与应变能
11.1.3 克拉贝依隆原理
F1Δ12 F2 Δ21
W
1 2
F1 Δ11
1 2
F2 Δ22
F1 Δ12
上式可推广到有多个广义力共同作用于线性弹性体的情况 Vε W
Vε
W
1 2
Fi Δi
上式称为克拉贝依隆原理。
式中为全部外力（F1，F2，…，Fi，…，Fn）在广义力Fi处
l GI p
M xdq
2
w M EI
12/65
11.1 外力功与应变能
M(x)
T(x) FN(x) FN(x)
11.1.4 杆件的应变能
dq
T(x) M(x)
dj
dx
dx dd
dx
dx
dVε
FN2 (x)dx 2EA
T 2 (x)dx 2GIp
M 2 (x)dx 2EI
则整个圆截面杆的应变能 Vε
FN2 (x) dx l 2EA
A
l FAy
B FBy
(1) 应变能计算
梁的约束力
FA
FB
Me l
梁的弯矩方程
代入应变能公式
M (x)
FA x M e
x Me(l
1)
Vε
M 2(x) dx
l 2EI
1 2EI
l 0
M
2 e
(
x l
1)2 dx
M e2l 6EI
15/65
11.1 外力功与应变能 【例11-1】解
10/65
11.1 外力功与应变能
11.1.3 克拉贝依隆原理
F1Δ12 F2 Δ21
W
1 2
F1 Δ11
1 2
F2 Δ22
F1 Δ12
上式可推广到有多个广义力共同作用于线性弹性体的情况 Vε W
Vε
W
1 2
Fi Δi
上式称为克拉贝依隆原理。
式中为全部外力（F1，F2，…，Fi，…，Fn）在广义力Fi处
l GI p
M xdq
2
w M EI
12/65
11.1 外力功与应变能
M(x)
T(x) FN(x) FN(x)
11.1.4 杆件的应变能
dq
T(x) M(x)
dj
dx
dx dd
dx
dx
dVε
FN2 (x)dx 2EA
T 2 (x)dx 2GIp
M 2 (x)dx 2EI
则整个圆截面杆的应变能 Vε
FN2 (x) dx l 2EA
材料力学13能量法
FN (x)
T (x)
M (x)
FN (x)
T (x)Fs(x)
Vε
FN2 (x) dx l 2EA(x)
T 2(x) dx l 2GIp (x)
M 2(x) dx l 2EI (x)
kFs 2 (x) dx l 2GA(x)
对若k于是杆双用件向来及弯修杆曲正系，横的弯力变矩弯形沿曲是形时以心切弯主应曲轴力变分不形解沿为, 截主面的均，匀因分轴布力的和修剪正力系远数小，
)
再施加P1
AB又伸长
Dl AB
P1l1 EA
P2保持不变，作功为
V 2
P2
P1l1 EA
P1作功为
V 3
P12l1 2EA
（5）应变能是可逆的。(跳板跳水) 总功仍为上述表达式。10
直接利用功能原理求位移的实例 利用能量法求解时，所列
例 求简支梁外力P作用点C的挠度。 弯矩方程应便于求解。
V F
FL3 48 EI
wC
29
说明： （1）卡氏第二定理只适用于线性弹性体
δi
Vε Fi
（2）Fi 为广义力，i为相应的位移
一个力
一个力偶
一对力
一对力偶
一个线位移
一个角位移
相对线位移
相对角位移
30
（3）卡氏第二定理的应用
（a） 轴向拉伸与压缩
δi
Vε Fi
Fi
22
F
B2
wC1
解：由功的互等定理 F wC1 M B2
得：F
wC1
M
Fl 2 16EI
T (x)
M (x)
FN (x)
T (x)Fs(x)
Vε
FN2 (x) dx l 2EA(x)
T 2(x) dx l 2GIp (x)
M 2(x) dx l 2EI (x)
kFs 2 (x) dx l 2GA(x)
对若k于是杆双用件向来及弯修杆曲正系，横的弯力变矩弯形沿曲是形时以心切弯主应曲轴力变分不形解沿为, 截主面的均，匀因分轴布力的和修剪正力系远数小，
)
再施加P1
AB又伸长
Dl AB
P1l1 EA
P2保持不变，作功为
V 2
P2
P1l1 EA
P1作功为
V 3
P12l1 2EA
（5）应变能是可逆的。(跳板跳水) 总功仍为上述表达式。10
直接利用功能原理求位移的实例 利用能量法求解时，所列
例 求简支梁外力P作用点C的挠度。 弯矩方程应便于求解。
V F
FL3 48 EI
wC
29
说明： （1）卡氏第二定理只适用于线性弹性体
δi
Vε Fi
（2）Fi 为广义力，i为相应的位移
一个力
一个力偶
一对力
一对力偶
一个线位移
一个角位移
相对线位移
相对角位移
30
（3）卡氏第二定理的应用
（a） 轴向拉伸与压缩
δi
Vε Fi
Fi
22
F
B2
wC1
解：由功的互等定理 F wC1 M B2
得：F
wC1
M
Fl 2 16EI
材料力学典型例题及解析 10.能量法典型习题解析
3
在 BE 段，以 B 为原点： M (x) = 3 x − (x + a) = x − a
2
2
则 wC
=
1 EI
∫⎡ a
⎢ ⎢⎣ 0
⎜⎜⎝⎛
F 4
x−
Fx 2 2a
⎟⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −
x ⎟⎞ d 2⎠
∫ x + a ⎜⎛ − 0⎝
Fa ⎟⎞⎜⎛ − 4 ⎠⎝
a ⎟⎞ d 2⎠
x + ∫0a(－Fx)(－x)d
∑ 由 ∆ = n FNi ⋅ FNili 得
i =1
EA
∑ [ ] uA
=
5 i =1
FNi FNi l i EA
= 1 F ⋅1⋅l + (− EA
2F )(−
2)
2l = Fl (1+ 2 EA
2)
3、计算 A 点铅垂位移 wA
在 A 点加铅垂方向的单位力, 计算 FNi （i=1,…,5），各值标于图 d。
1⋅ F x l dx=
F
l
xdx=
Fl
EA
l EA
E Al 0
2EA
题2图
下面计算不考虑杆自重，而在 B 端施加力 F（图 d）的情况。 3、杆的应变能
这种情况下，杆的轴力沿轴线为一常量，即 FN (x) = F 。所以杆的应变能为
∫ ∫ Vε =
l FN2 (x) d x = 0 2EA
l F 2 d x = F 2l
4 用单位载荷法求图示曲杆 A、B 两点间的相对位移 ∆AB 。 忽略轴力及剪力对曲杆变形的影
响。
解题分析：利用对称性，可以取曲
F l D
A
l
材料力学 第10章 能量法
材料力学第10章能量法在材料力学这门学科中，能量法是一种重要的分析方法。
它可以帮助我们计算杆件受力、弯曲、扭转等方面的机械能量，以及计算受力杆件的变形和应力分布等方面的物理能量。
本文将对材料力学第10章中的能量法做一简要介绍和讲解。
第一节：能量法的基本概念能量法的基本概念是物理学中的能量守恒定律。
根据能量守恒定律，能量可以被转化为其他形式，但总能量守恒不变。
在材料力学中，能量法通过分析杆件的受力变形过程，计算机械能、变形能和应变能等不同形式的能量，来求解某些物理量，如杆件的应力、变形等。
第二节：能量法的应用能量法可以应用在杆件的弯曲、扭转、受力等方面。
其中，弯曲问题是最为常见的。
在弯曲分析中，我们需要计算杆件上各点的剪力和弯矩，使用能量法时，我们可以采用双曲线弧长法和曲率半径法来计算。
在扭转分析中，我们需要计算杆件上各点的切向力和扭矩，使用能量法时，我们可采用扭转角度法和扭转能的变化法来计算。
在受力分析中，我们需要计算杆件上各点的应力和应变，使用能量法时，我们可以用弹性能和破裂能来计算杆件的应力和应变等物理量。
第三节：能量法的计算过程在应用能量法进行分析时，需要进行以下步骤：1. 建立受力变形模型：根据杆件的几何形状和受力情况建立受力变形模型，确定受力分布和变形情况。
2. 确定杆件的位移和应变能量：计算杆件受力变形后的弹性能、变形能等物理能量。
3. 利用能量守恒定律：将机械能、弹性能、变形能和应变能等能量之和等于零，根据能量守恒定律和受力变形模型，求解杆件的位移、应力和应变等物理量。
4. 对解得的结果进行有效检验：通过检查应力、应变等物理量的分布情况，对解得的结果进行有效检验。
总而言之，能量法是材料力学分析领域中非常重要的分析方法。
它广泛应用于工程设计、科研和生产实践等领域。
通过掌握能量法的理论基础和实际应用方法，可以有效地分析和解决杆件受力、弯曲、扭转等方面的技术问题，推动材料力学学科的发展进步。
材料力学能量法最经典解析
此题目的重点是分析的方法和思路。由弹簧变形与力和力矩之间 的关系找到变形协调方程求解超静定问题。
1M
EI
上边缘处：下边缘处： Nhomakorabea '' M
EI
y
-h
=（T1-T0）=
2
h
=（T2 -T0）=
2
（T2 -T1）=
h
1 = T h
BC段由温度引起的变形与Ab段 相同，但是应该是Ab段变形的 基础上再叠加Bc段变形。
2α变化范围是0~720度。 α是 0~360度，因此有4个值。满足
tan2 α=1
找到外力偶Me与扭转角之间的关系即可求出 扭转刚度
刚刚闭合时的压力可以很容易求出，重点是分析应变读数与压力的关系，进而得 到和闭合量的关系。
每根杆都沿杆的方向线变 形，后旋转到变形后的位 置。变形用作垂线代替。
该表达式上课过程中没 有出现过，但是很容易 推导出来。积分求得挠 曲线后可得到弯矩方程， 进而计算应变能。
极坐标方程是给一个角度能 够确定一个挠度。因此该问 题是求任意位置角的径向变 形。
注意2个角度φ和θ的意义。 Φ用于表示力F作用下任 意位置上的弯矩。而θ是用于表示任意位置的挠度， 单位力作用的位置。摩尔积分应该是对Φ积分。 Φ 在0到360度变化。
15，42，43，44，45，47，48，49 21，24
该类问题一般应力或者内力已知，根据应力或者内力计算应变能，利用应变能等 于外力功计算变形。
如果是均匀壁厚的薄壁圆筒，可以直接套用公式，而此处需要首先找到厚壁与 薄壁上应力的大小关系，应力合成等于内力偶进行分析。
应力已知，计算应变能从而得到外力功，最终获得 力作用下的变形。
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此处注意CD杆 变形转换后是 BC杆变形的一 半。
广义胡克定律的应用。 每一点的应力状态为
p p
此题仍然是有两个变 量，x是所求任意截面 的挠度值，而ξ是任意 截面的弯矩值，摩尔 积分是对ξ积分。
此类题目重点是分析圆盘 及2根杆的受力情况及变 形情况。
该表达式上课过 程中没有出现过， 但是很容易推导 出来。
2α变化范围是0~720度。 α是0~360度，因此有4个 值。满足tan2 α=1
找到外力偶Me与扭转角之间的关 系即可求出扭转刚度
刚刚闭合时的压力可以很容易求出，重点是分析应变读数与 压力的关系，进而得到和闭合量的关系。
每根杆都沿杆的方 向线变形，后旋转 到变形后的位置。 变形用作垂线代替。
利用力做功求变形
1、7，46
能 量 法
利用定理求变形
4，5，8，9
互等定理
50，51
其他
2，6，25
拉压杆变形相关
10，11，16，19，20，22，26，28
弯扭相关
3，12，13，14，17，18，23，27，35，36 29，30，31，32，33，34，
超 静 定
温度应力
装配应力
37，38，39，40，41，
该表达式上课过 程中没有出现过， 但是很容易推导 出来。积分求得 挠曲线后可得到 弯矩方程，进而 计算应变能。
极坐标方程是给一 个角度能够确定一 个挠度。因此该问 题是求任意位置角 的径向变形。
注意2个角度φ和θ的意义。 Φ用于表 示力F作用下任意位置上的弯矩。而θ 是用于表示任意位置的挠度，单位力 作用的位置。摩尔积分应该是对Φ积 分。 Φ在0到360度变化。
BC段由温度引起的变 形与Ab段相同，但是 应该是Ab段变形的基 础上再叠加Bc段变形。
总算结束了！
此题目的重点是分析的方法和思路。由弹簧变 形与力和力矩之间的关系找到变形协调方程求 解超静定问题。
M EI
上边缘处：
1
''
M EI
y
h = （T -T ） = 2
1 0
（T2 -T1） =
1
h
下边缘处：
h = （T2 -T0） =2源自=Th
利用对称性
15，42，43，44，45，47，48，49
一般刚架超静定
21，24
该类问题一般应力或者内力已知，根据应力或者内力计算应 变能，利用应变能等于外力功计算变形。
如果是均匀壁厚的薄壁圆筒，可以直接套用公式，而此处 需要首先找到厚壁与薄壁上应力的大小关系，应力合成等 于内力偶进行分析。
应力已知，计算应变能从而得到外力 功，最终获得力作用下的变形。