-等腰三角形与勾股定理

2010年中考数学复习试题汇编之17.2-等腰三角形与勾股定理11．（2009年衡阳市）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 、AE 分别是∠BAC 和∠BAC 和外角的平分线，BE ⊥AE ． （1）求证：DA ⊥AE ；（2）试判断AB 与DE 是否相等？并证明你的结论． 【关键词】等腰三角形、矩形【答案】解：（1）证明：AE DA DAE BAF BAC ⊥⇒︒=∠⇒︒=︒⨯=∠+∠∠+∠⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫︒=∠+∠∠∠⇒∠∠∠⇒∠909018021)(21BAE BAD 180BAF BAC BAF 21BAE BAF AE BAC 21BAD BAC AD ＝＝平分＝平分（2）AB ＝DE ，理由是：DE AB D AE DAE AEB AE BE ADB BC AD BAC AD AC AB =⇒⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫︒=∠︒=∠⇒⊥︒=∠⇒⊥⇒⎭⎬⎫∠=是矩形四边形平分B 90 90 9012．（山东省临沂市）如图，A ，B 是公路l （l 为东西走向）两旁的两个村庄，A 村到公路l 的距离AC ＝1km ，B 村到公路l 的距离BD ＝2km ，B 村在A 村的南偏东45方向上． （1）求出A ，B 两村之间的距离； （2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P ，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P 的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）．A B CD E解：（1）方法一：设AB 与CD 的交点为O ，根据题意可得45A B ∠=∠=°． ACO ∴△和BDO △都是等腰直角三角形．AO ∴=，BO = ∴A B ，两村的距离为AB AO BO =+==km ）． 方法二：过点B 作直线l 的平行线交AC 的延长线于E ． 易证四边形CDBE 是矩形， ∴2CE BD ==．在Rt AEB △中，由45A ∠=°，可得3BE EA ==．∴AB ==km ） ∴A B ，两村的距离为．（2）作图正确，痕迹清晰．作法：①分别以点A B ，为圆心，以大于12AB 的长为 半径作弧，两弧交于两点M N ，， 作直线MN ；②直线MN 交l 于点P ，点P 即为所求． （7分 13．（四川省泸州市）在某段限速公路BC 上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60千米／时 (即350米／秒)，并在离该公路100米处设置了一个监测点A ．在如图8所示的直角坐标系中，点A 位于y 轴上，测速路段BC 在x 轴上，点B 在A 的北偏西60°方向上，点C 在A 的北偏东45°方向上，另外一条高等级公路在y 轴上，北东BACDlBA CDlN MOPAO 为其中的一段．(1)求点B 和点C 的坐标；(2)一辆汽车从点B 匀速行驶到点C 所用的时间是15秒，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速?(参考数据：7.13≈)(3)若一辆大货车在限速路上由C 处向西行驶，一辆小汽车在高等级公路上由A 处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少?解：在Rt ΔAOB 中，OA ＝100,∠BAO ＝60° 所以OB ＝OA ·tan ∠BAO ＝Rt ΔAOC 中,∠CAO ＝45° 所以OC ＝OA ＝100,所以（100，0） （2）BC ＝BO+CO ＝18≈18>503, 所以这辆车超速了。

（3）高大货车行驶到某一时刻行驶了x 米，则此时小汽四行驶 了2x 米，且两车的距离为y =当x ＝60时，y=答：两四相距的最近距离为 14．（2009年重庆）作图，请你在下图中作出一个以线段AB 为一边的等边ABC △．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作，保留作图痕迹，不写作法和结论）已知： 求作：【关键词】等边三角形, 尺规作图 【答案】解：已知：线段AB ． 求作：等边ABC △．AB 19题图作图如下：（注：每段弧各1分，连接线段AC BC 、各1分）15．（2009年重庆）已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，DE ⊥AC 于点F ，交BC 于点G ，交AB 的延长线于点E ，且AE AC =． （1）求证：BG FG =；（2）若2AD DC ==，求AB 的长．【关键词】勾股定理、直角三角形性质、等腰三角形性质和全等三角形的判定方法 【答案】（1）证明：90ABC DE AC ∠=°，⊥于点F ， ABC AFE ∴∠=∠．AC AE EAF CAB =∠=∠，， ABC AFE ∴△≌△ AB AF ∴=． 连接AG ，AG ＝AG ,AB ＝AF ，Rt Rt ABG AFG ∴△≌△． BG FG ∴=．（2）解：∵AD ＝DC,DF ⊥AC ，1122AF AC AE ∴==． 30E ∴∠=°．30FAD E ∴∠=∠=°，AF ∴=AB AF ∴==16．（2009年广西钦州）已知：如图2，⊙O 1与坐标轴交于A （1，0）、B （5，0）两D CEB GA F AB CDCEB GAF点，点O 1．求⊙O 1的半径． 【关键词】垂径定理、勾股定理 【答案】解：过点O 1作O 1C ⊥AB ，垂足为C ，则有AC ＝BC ．图2由A （1，0）、B （5，0），得AB ＝4，∴AC ＝2．在1Rt AO C △中，∵O 1， ∴O 1C．∴⊙O1的半径O 1A 3．17．(2009年甘肃定西)如图13，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，D 为AB 边上一点，求证：（1）ACE BCD △≌△；（2）222AD DB DE +=．【关键词】全等三角形、勾股定理【答案】证明:（1） ∵ ACB ECD ∠=∠，∴ ACE ACD BCD ACD ∠+∠=∠+∠． 即 ACE BCD ∠=∠．∵ EC DC AC BC ==,， ∴ △ACE ≌△BCD ．（2）∵ ACB ∆是等腰直角三角形， ∴ ︒=∠=∠45BAC B ．∵ △ACE ≌△BCD ， ∴ ︒=∠=∠45CAE B ． ∴ ︒=︒+︒=∠+∠=∠904545BAC CAE DAE ．∴ 222DE AE AD =+． 由（1）知AE ＝DB ，∴ 222AD DB DE +=． 18．（2009年莆田）已知：等边ABC △的边长为a ． 探究（1）：如图１，过等边ABC △的顶点A B C 、、依次作AB BC CA 、、的垂线围成MNG △，求证：MNG △是等边三角形且．MN =；探究（2）：在等边ABC △内取一点O ，过点O 分别作OD AB OE BC OF CA ⊥⊥⊥、、，垂足分别为点D E F 、、． ①如图2，若点O 是ABC △的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证明）：结论1．2OD OE OF a ++=；结论2．32AD BE CF a ++=；②如图3，若点O 是等边ABC △内任意一点，则上述结论12、是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．【关键词】等边三角形证明：如图1，ABC △为等边三角形 60ABC ∴∠=°BC MN BA MG ⊥⊥， ∴90CBM BAM ∠=∠=°9030ABM ABC ∴∠=∠=︒°-9060M ABM ∴∠=︒∠=︒-同理：60N G ∠=∠=︒ MNG ∴△为等边三角形．在Rt ABM △中，sin sin 60AB a BM M ===︒ 在Rt BCN △中，tan 60BC a BN N ===︒ MN BM BN ∴=+=MAGC B（图1）NMA GC BAF CE BDA F CE B D（图1）（图2）（图3）O AF CE B D（图4）O O（2）②：结论1成立．证明；方法一：如图2，连接AO BO CO 、、由ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△＝()12a OD OE OF ++ 作AH BC ⊥，垂足为H ，则sin sin 602AH AC ACB a a =∠=⨯︒=1122ABC S BC AH a ∴==△· ()11222a OD OE OF a ∴++=·2OD OE OF a ∴++=方法二：如图3，过点O 作GH BC ∥，分别交AB AC 、于点G H 、，过点 H 作HM BC ⊥于点M ， 6060DGO B OHF C ∴∠=∠=∠=∠=°，° AGH ∴△是等边三角形 GH AH ∴= OE BC ⊥ OE HM ∴∥∴四边形OEMH 是矩形 HM OE ∴=在Rt ODG △中，sin sin 602OD OGDGO OG =∠=︒=··在Rt OFH △中，sin sin 60OF OHOHF OH =∠=︒=·· AFCE BD（图2）OH A F CEBDO M H G在Rt HMC △中，sin sin 602HM HCC HC HC ==︒=··222OD OE OF OD HM OF OG HC OH ∴++=++=++)222GH HC AC a =+==（2）②:结论2成立．证明：方法一：如图４，过顶点A B C 、、依次作边AB BC CA 、、的垂线围成MNG △，由（1）得MNG △为等边三角形且MN =过点O 分别作OD MN '⊥于D ',OE NG '⊥于NG 于点E OF MG ''⊥，于点F ' 由结论1得：32OD OE OF a '+'+'=== 又OD AB AB MG OF MG ⊥⊥'⊥，， 90ADO DAF OF A ∴∠=∠'=∠'=︒ ∴四边形ADOF '为矩形 OF ∴'=AD同理：OD BE '=，OE CF '=32AD BE CF OD OE OF a ∴++='+'+'=方法二：（同结论1方法二的辅助线）在Rt OFH △中，tan OF FH OHF ==∠A F CEBDO F 'D 'MGNE 'A F C E BD （图3）OM HG在Rt HMC △中，sin 3HM HC OE C ==33CF HC FH ∴=+=+同理：3333AD OF BE =+=+， AD BE CF ∴++＝333333OD +++++)OD OE OF ++由结论1得：OD OE OF ++=322AD BE CF a a ∴++== 方法三：如图5，连接OA OB OC 、、，根据勾股定理得：22222BE OE OB BD OD +==+①22222CF OF OC CE OE +==+② 22222AD OD AO AF OF +==+③ ①+②+③得：222222BE CF AD BD CE AF ++=++()()()222222BE CF AD a AD a BE a CF ∴++=-+-+-222222222a AD a AD a BE a BE a CF a CF =-++-++-+整理得：()223a AD BE CF a ++=32AD BE CF a ∴++= 12分20．(2009年南充)如图8，半圆的直径10AB =，点C 在半圆上，6BC =． （1）求弦AC 的长；（2）若P 为AB 的中点，PE AB ⊥交AC 于点E ，求PE 的长．A FC EBD（图5）O【关键词】圆的性质，三角形相似的性质【答案】解：AB 是半圆的直径，点C 在半圆上， 90ACB ∴∠=°．在Rt ABC △中，8AC == （2）PE AB ⊥，90APE ∴∠=°．90ACB ∠=°， APE ACB ∴∠=∠． 又PAE CAB ∠=∠， AEP ABC ∴△∽△，PE APBC AC∴=110268PE ⨯∴= 301584PE ∴==．19．(2009年湖州)如图，在平面直角坐标系中，直线l ∶y ＝28x --分别与x 轴，y 轴相交于A B ，两点，点()0P k ，是y 轴的负半轴上的一个动点，以P 为圆心，3为半径作P ⊙．（1）连结PA ，若PA PB =，试判断P ⊙与x 轴的位置关系，并说明理由；（2）当k 为何值时，以P ⊙与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形？【关键词】直线与圆的位置关系，相切的判定，正三角形的性质，相似的性质 【答案】PBC EA解：（1）P ⊙与x 轴相切．直线28y x =--与x 轴交于()40A -，，与y 轴交于()0B ，-8，48OA OB ∴==，， 由题意，8OP k PB PA k =-∴==+，．在Rt AOP △中，()222483k k k +=+∴=-，， OP ∴等于P ⊙的半径，P ∴⊙与x 轴相切．（2）设P ⊙与直线l 交于C D ，两点，连结PC PD ，． 当圆心P 在线段OB 上时，作PE CD ⊥于E ．PCD △为正三角形，13322DE CD PD PE ∴===∴=，，90AOB PEB ABO PBE AOB PEB ∠=∠=∠=∠∴°，，△∽△，AO PEAB PB ∴=，22PB PB =∴=，，808PO BO BP P ⎛⎫∴=-=-∴- ⎪ ⎪⎝⎭，8k ∴=-．当圆心P 在线段OB延长线上时，同理可得08P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，8k ∴=-，∴当8k =-或8k =-时，以P ⊙与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形．20．(2009年湖州)若P 为ABC △所在平面上一点，且120APB BPC CPA ∠=∠=∠=°，第（1）题第（2）题则点P 叫做ABC △的费马点．（1）若点P 为锐角ABC △的费马点，且60ABC PA PC ∠===°，3，4，则PB 的值为________；（2）如图，在锐角ABC △外侧作等边ACB △′连结BB ′． 求证：BB ′过ABC △的费马点P ，且BB ′＝PA PB PC ++．【关键词】阅读理解题，等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，综合题 【答案】（1）（2）证明：在BB '上取点P ，使120BPC ∠=°，连结AP ，再在PB '上截取PE PC =，连结CE ．120BPC ∠=°，60EPC ∴∠=°， PCE ∴△为正三角形， 60PC CE PCE CEB '∴=∠=∠，°，＝120°， ACB '△为正三角形，AC B '∴=C ACB '∠，＝60°，PCA ACE ACE ECB '∴∠+∠=∠+∠＝60°， PCA ECB '∴∠=∠′， ACP B '∴△≌△CE ． APC B '∴∠=∠120CE PA EB '==°，， 120APB APC BPC ∴∠=∠=∠=°， P ∴为ABC △的费马点，BB '∴过ABC △的费马点P ，且BB '＝EB '+PB PE PA PB PC +=++．21．(2009年温州)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4．0为BC 边上一点，以0为圆心，OB 为半径作半圆与BC 边和AB 边分别交于点D 、点E ，连结DE ． ’ (1)当BD ＝3时，求线段DE 的长；(2)过点E 作半圆O 的切线，当切线与AC 边相交时，设交点为F ．求证：△FAE 是等腰三角形．ABB 'B '【关键词】直角三角形、圆的性质，相似的判定，切线的性质，等腰三角形的判定 【答案】解：（1）∵∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，∴AB ＝5， ∵DB 为直径，∴∠DEB ＝∠C ＝90°，又∵∠B ＝∠B ，∴△DBE ∽△ABC∴ABBDAC DE =即533=DE ∴DE ＝59。